第4课时 等边三角形的判定(PDF部分书稿)-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年八年级下册数学（北师大版 贵州专版）

第4课时等边三角形的判定 圆名师导学。预习先知 基础过关⊙逐点击破 新知梳理 知识点1等边三角形的判定 ①定理：三个角都相等的三角形是 1.下列三角形中，不一定是等边三角形的是 A.有两个角等于60的三角形 ②定理：有一个角等于 的等腰 B.有一个外角等于120°的等腰三角形 三角形是等边三角形 C.三个角都相等的三角形 ③定理：在直角三角形中，如果一个锐 D.一边上的高也是这边的中线的三角形 角等于30°，那么它所对的直角边等 2.小明假期去成都大熊猫繁育研究基地参 于斜边的 观.如图，EF为熊猫基地的围栏，点A处 例题引路 有一只熊猫，小明想要知道他与熊猫的距 【例1】如图，△ABC是等边三角形，且 离AB.他在点B处测得∠ABF=60°，然后沿着EF的方 ∠1=∠2=∠3，判断△DEF的形状， 向走了10m到达点C处，测得∠ACE=60°，则AB的长 并说明理由。 为 3.如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，且AD=DC DB,∠B=30°.求证：△ADC是等边三角形 【名师点拨】利用三个角都相等证明 △DEF是等边三角形. 【学生解答】 知识点2含30°角的直角三角形的性质 4.境题古建筑(2024·贵阳一模)中国古建筑是结构决定 外观，这种传统结构形式侧面很容易呈现出等腰三角形 如图所示是这种建筑剖面图，建筑屋顶是一个等腰三角 形，它的底角为30°，腰为10m,则底边上的高是( ) A.5 m B.10m C.103mD.15√3m 【例2】如图，E是等边三角形ABC中 D B D (第4题图)》 (第5题图) (第6题图) AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD,则 5.(2024·贵阳期末)如图，点C为直线AB上一个定点，点 △ADE的形状是 D为直线AB上一个动点，直线AB外有一点P,CP=4, A等腰三角形 ∠PCB=30°，当PD最短时，PD的长是 () B.等边三角形 C.不等边三角形 A.√③ B.2 C.23 D.4 D.不能确定形状 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，BD= 【学生解答】 3,则AB的长为 7数学Ⅲ八年级下册(BS) 能力提升0整合运用 ②思维拓展。学科素养 7.△ABC的三边长分别为a,b,c,若满足(a 1L.如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角 b)2+|b-c+(c-a)2=0,则△ABC的形状 形，且点B,C,D在同一条直线上，连接 为 AD,BE,分别交CE,AC于点G,H,连 A等边三角形 接GH. B.等腰直角三角形 (1)请说出AD=BE的理由： C.有30°角的直角三角形 (2)试说出△ACG≌△BCH的理由： D.钝角三角形 (3)试猜想：△CGH是什么特殊的三角形， 8.如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸 并加以证明 A,B两点，“九曲桥”的每一段与AC平行或 BD平行.若AB=100m,∠CAB=∠DBA 60°，则此“九曲桥”的总长度为 609 100m (第8题图) (第9题图) 9.学思想分类讨论(2024·新疆)如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8. 若点D在直线AB上（不与，点A,B重合）， 且∠BCD=30°，则AD的长为 10.(2024·毕节期末未)如图，△ABC是等腰三 角形，AB=AC,点D是AB上一点，过点D 作DE⊥BC交BC于点E,交CA的延长线 于点F (1)求证：△ADF是等腰三角形： (2)若∠B=60°，BD=6,AD=3,求EC 的长 第一章三角形的证明8∠BAC-90°，AD⊥BC,∴.∠BAD+∠CAD=90°，∠CAD 数学思想专题运用分类讨论思想求 +∠C=90°，.∠BAD=∠C.,BE平分∠ABC, 解等腰三角形中多解问题 ∴.∠ABF=∠CBE.∠AFE=∠ABF+∠BAD,∠AEF 1.C2.70°，55°，55或70°，70°，40°3.C4.B5.9或5 =∠CBE+∠C,∴.∠AFE=∠AEF,AF=AE,即 6.解：分两种情况讨论：①若∠A<90°，如图①.，BD⊥ △AEF为等腰三角形. AC,∴∠A+∠ABD=90.∠ABD=48°，.∠A=90 思维拓展 10.解：(1)△ABC,△BC(2)有5个等腰三角形： -48=42.”AB=AC.·∠ABC=∠C=号(180°- △ABC,△BC,△BEO,△CFO,△AEF.线段EF和EB, ∠A)=号×(180°-42)=69：②若∠A>90,如图②.同 FC之间的数量关系为EF=EB十FC:理由略：(3)还有等 腰三角形，即△BOE和△COF,(2)中EF=EB+FC仍然 ①可得∠BAD=90°-48=42°.，AB=AC,∴∠ABC= 成立.理由如下：：BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, ∠C·∠BAD=∠ABC+∠C=2∠C,∴.∠ABC=∠C= ∴.∠EBO=∠CBO,∠FCO=∠BCO.又，EF∥BC, ∠BAD=号×42=21.综上所述，该等腰三角形底角 .∠EOB=∠CBO,∠FOC=∠BCO,∴.∠EBO= 的度数为69或21° ∠EOB,∠FOC=∠FCO,,.BE=EO.FO=FC,.EF EO+FO=EB+FC.【变式21 第4课时等边三角形的判定 新知梳理 ①等边三角形②60°图一半 图① 例题引路 7.解：分两种情况讨论：①如图①，当AB的垂线MN与 【例1】解：△DEF是等边三角形.理由如下：，△ABC是 AC相交时，MN交AC于点D,交AB于点E,,∠AED 等边三角形，∴.∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°.：∠1= =90°，∠ADM=40°，∴.∠A=90°-40°=50°.AB=AC, ∠2=∠3，'.∠DFE=∠3+∠FAC=∠1+∠FAC= ∠CAB=6O°.同理，得∠DEF=∠EDF=60°，∴△DEF ∴∠B=∠C=2180°-∠A)=7×180°-01=65， 是等边三角形.【例2】B ②如图②，当AB的垂线MN与CA的延长线相交时，MN 基础过关 交CA的延长线于点D,交AB于点E,:∠AED=90°， ∠ADE=40,.∠DAB=90°-40°=50°.AB=AC, 1.D2.10m3.证明：，DC=DB,,.∠DCB=∠B 30°，.∠ADC=∠DCB+∠B=30°+30=60°.又.AD ∴∠B=∠C.∠DAB=∠B+∠C=2∠B,∴.∠B=∠C =DC,.△ADC是等边三角形.4.A5.B6.12 =7∠DAB=2×50'=25,综上所述，底角∠B的度数 能力提升 为65或25 7.A8.200m9.6或1210.解：(1)：AB=AC, ∴∠B=∠C.:FE⊥BC,∴∠CEF=90,∴∠F+∠C= 90°，∠BDE+∠B=90°，∴∠F=∠BDE.:∠BDE= ∠FDA,∴·∠F=∠FDA,∴.AF=AD,.△ADF是等腰 三角形：(2)：DE⊥BC,∴∠DEB=90.:∠B=60, 图① 图② 8.A9.75或120或901 ÷∠BDE=90°-∠B=90°-60=30.BE=壹BD= 方法技巧专题活用“三线合一”巧解题 合×6=3.：AB=AC,∠B=60,∴△ABC是等边三角 1.证明：连接AD.,△ABC为等腰直角三角形，∠BAC 90,∴.∠B=∠C=45.D为BC中点，.AD⊥BC,AD 形，.BC=AB=AD+BD=3+6=9,.EC=BC-BE= 平分∠BAC,∴.∠EAD=∠CAD=∠C=45°，∴.AD= 9-3=6. AE=CF. 思维拓展 CD.在△ADE和△CDF中， ∠EAD=∠C,∴.△ADE≌ 11.解：(1)，△ABC和△CDE均为等边三角形，AC= AD=CD. BC,EC=DC,∠ACB=∠ECD=6O°，∴.∠ACB+∠ACE △CDF(SAS),∴.DE=DE.2.证明：连接BD.在等边 =∠ECD+∠ACE,即∠ECB=∠ACD.在△ACD和 AC=BC. 三角形ABC中，点D是AC的中点心∠DBC=∠ABC △BCE中，∠ACD=∠BCE,∴.△ACD≌△BCE(SAS), CD=CE. =7×60=30,∠ACB=60.:CE=CD.∠CDE '.AD=BE:(2):△ACD≌△BCE,.∠CBH=∠CAG. ∠E.·∠ACB=∠CDE+∠E,∴.2∠E=60,∴∠E=30, :∠ACB=∠ECD=60,点B,C,D在同一条直线上， ∴∠DBC=∠E=30°，∴.BD=ED,△BDE为等腰三角形. ∴.∠ACG=180°-∠ACB-∠ECD=180°-60°-60°= 又，DM⊥BC,∴.BM=EM3.证明：过点A作AEI 60°，，∴.∠ACB=∠ACG.在△ACG和△BCH中， BC于点E.∴∠CAE+∠C=90°.：AB=AC,,∠CAE I∠CAG=∠CBH, Z∠BAC.'BD⊥AC,∴·∠DBC+∠C=90, AC=BC, ,.△ACG≌△BCH(ASA): ∠ACG=∠BCH, ∴∠DBC=∠CAE,∠DBC=专∠BAC4证明： (3)△CGH是等边三角形.理由如下：：△ACG≌△BCH, :AC=BC,CE为△ABC的中线，∴∠CAB=∠B,CE⊥ ∴.CG=CH.又，∠ACG=60°，∴.△CGH是等边三角形. AB,∴·∠CAB+∠ACE=90°.：AD为△ABC的高线， 第2页（共36页）