第3课时 等腰三角形的判定与反证法(PDF部分书稿)-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年八年级下册数学（北师大版 贵州专版）

第3课时 等腰三角形的判定与反证法 冒名师导学。预习先知 8基础过关。逐点击破 新知梳理 知识点1等腰三角形的判定 ①定理：有两个角相等的三角形是 L.情境题平板保护壳如图是一个自带支架的平板保护壳及 三角形.这一定理可以筒述为： 其简易图，若∠ACB=∠ABC,AB-13cm,则AC的长 为 ( ②先假设命题的结论不成立，然后推 A.11 cm B.12 cm C.13 cm D.14 cm 导出与定义，基本事实、已有定理或 灯塔CN 已知条件相 681 的结果，从而 岛B 证明命题的结论一定成立，这种证 明方法称为 岛4 例题团路 (第1题图) (第2题图)》 【例1】如图，AD平分∠BAC,AD⊥BD, 2.(教材P。习题T,变式)如图，上午8时，一条船从海岛A 垂足为D,DE∥AC,交AB于点E 出发，以20 n mile/h的速度向正北航行，10时到达海岛B 求证：△BDE是等腰三角形. 处.从海岛A,B望灯塔C,测得∠NAC=34°，∠NBC= 【名师点拨】先证明∠EAD=∠EDA, 68°，则从海岛B到灯塔C的距离为 n mile. 再由∠B+∠EAD=∠EDA+∠EDB =90°，可得∠B=∠EDB. 3.如图，点C为∠AOB平分线上一点，CD∥OB交OA于点D. 【学生解答】 求证：△DOC是等腰三角形. 知识点2反证法 4.用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐 角”时，应先假设 ) A.三个内角都是锐角 B.三个内角都是钝角 C.三个内角都不是锐角 D.三个内角都不是钝角 5.阅读下列文字，回答问题 【例2】用反证法证明：一个三角形中不 题目：在Rt△ABC中，∠C-90°，若∠A≠45°，则AC≠BC 能有两个钝角。 证明：假设AC=BC.因为∠A≠45°，∠C=90°，所以∠A≠ 【学生解答】 ∠B,所以AC≠BC.这与假设矛盾，所以AC≠BC 上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方 法；若有错误，请予以纠正. 5数学Ⅲ八年级下册(BS) 能力提升。整合运用 思维拓展。学科素养 6.学思想分类讨论如图，平面直角坐标内有 10.新考法精想验证法如图，在△ABC中，已知 一点A(3,一2)，O为原点，P是x轴上的 ∠ABC=∠ACB,BO平分∠ABC.CO平 一个动点.如果以点P,O,A为顶点的三 分∠ACB. 角形是等腰三角形，那么符合条件的动点 (1)图①中的等腰三角形是 P的个数为 ( (2)若过点O作一直线EF和边BC平行， A.2 B.3 C.4 D.1 与AB交于点E,与AC交于点F,如图 ②，则图②中有哪几个等腰三角形？线 段EF和EB,FC之间有怎样的数量关系？ C P (3)若∠ABC≠∠ACB,其他条件不变，如 (第6题图) (第7题图) 图③，则图③中是否还有等腰三角形？ 7.做学愿想分类讨论（贵阳期未）如图，∠AOB (2)中第二问的关系是否还存在？写出 60°，C是BO延长线上的一点，OC=12cm, 你的理由 动点P从点C出发，沿CB以3cm/s的速度 移动，动点Q从点O出发，沿OA以2cm/s 的速度移动.如果点P,Q同时出发，用(s) 表示移动的时间，当= s时， 图① 图② △POQ是等腰三角形. 8.用反证法证明：如图，a⊥b,c与b不垂直. 求证：a与c必相交 9.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点D,BE平分∠ABC交AD于点F,交 AC于点E. 求证：△AEF为等腰三角形 【变式】（教材P,随堂练习T 变式)如图，在△ABC中， BC=7,∠ABC和∠ACB的 平分线相交于点D,过点D 8 作BC的平行线交AB于点E,交AC于点 F.若△AEF的周长为14，则△ABC的周 长是 第一章三角形的证明6参考答案 第一章 三角形的证明 ∠ABC ACB. 在△EBC和△DCB中， 1等腰三角形 BE=CD. ∠EBC=∠DCB,.∴.△EBC≌△DCB(SAS)..∴.∠ECB 第1课时 全等三角形和等腰三角形 BC=CB, 新知梳理 ∠DBC 4.C5.B6.15 ①相等②相等相等日相等 等边对等角 ④平 能力提升 分线中线高线 7.D8.B9.45°10.解：(1)△ABC是等边三角形， 例题引路 ∴.∠B=∠A=∠C=60°..∠B+∠1=∠DEC=∠DEF 【例1】5 【例2】证明：在△ABD和△ACD中， +∠2，又，∠DEF=60°，.∠B=∠DEF,∴∠2=∠1= AB=AC, 50;(2)DF∥BC,∴.∠2=∠3.同(1)，得∠1=∠2. BD=CD,.△ABD≌△ACD(SSS),∴.∠BAD ∴.∠1=∠3. AD=AD, 思维拓展 弥 ∠CAD,即AD为∠BAC的平分线.又，在△ABC中，AB I1.解：(1)过点P作PF∥QC交AB于点F.,△ABC是 =AC,点E在AD上，∴.AE⊥BC 等边三角形，∴，∠A=∠ABC=∠C=60°.，PF∥QC, 解 基础过关 ∴∠AFP=∠ABC=60°，∠APF=∠C=60,则∠A 1.B2.33.B4.100°5.D6.证明：过点A作AP⊥ ∠AFP=∠APF=60°，∴△AFP是等边三角形，∴.AP BC于点P.AB=AC,∴.BP=PCAD=AE,∴.DP= PF=AF,,点P,Q同时出发，且速度相同，，BQ=AP, PE,∴.BP-DP=PC-PE,即BD=CE ∴.BQ=PF.,PF∥QC,∴.∠DQB=∠DPF.又∠BDQ 能力提升 =∠FDP,∴.△DBQ≌△DFP(AAS),∴.BD=FD. 7.B8.D9.100°10.证明：连接AD.AB=AC,D是 :∠BQD=30°，∴.∠BDQ=∠ABC-∠BQD=60°-30 BC的中点，∴.AD平分∠BAC,∴.∠EAD=∠FAD.在 =30°，.∠BDQ=∠BQD,∴.BQ=BD,则BD=FD=BQ 地 AE=AF. △AED和△AFD中， ∠EAD=∠FAD.∴.△AED≌ =PF=AF=子AB=号×6=2，∴AP=2:(2)线段DE AD-AD, 的长不发生变化.DE=3.[解析：由(1)，得BD=FD △AFD(SAS),.DE=DF.1L.解：(1)DB=DE, :△AFP是等边三角形，PE⊥AF,∴AE=EF.:DE十 封 ∠DBE=∠DEB.:BE平分∠ABC,.∠DBE= (BD+AE)=AB=6...DE+(FD+EF)=6.DE+DE ∠CBE,∠DEB=∠CBE,∴.DE∥BC:(2)DE∥BC, =6,,.DE=3 .∠C=∠AED=45”.,在△ABC中，∠A+∠ABC+ 第3课时 等腰三角形的判定与反证法 ∠C=180°，∴.∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-65° 新知梳理 45=70,BE是△ABC的角平分线，∴.∠EBC= ①等腰等角对等边②矛盾反证法 2∠ABC-2×70=35. 例题引路 思维拓展 【例1】证明：，DE∥AC,∴.∠CAD=∠EDA.AD平分 12.解：(1)15°(2)20°(3)∠BAD=2∠EDC ∠BAC,.∠CAD=∠EAD,∴.∠EAD=∠EDA.:AD (4)∠BAD=2∠EDC仍成立.理由如下：：AD=AE, ⊥BD,∴.∠EAD+∠B=90°，∠EDA+∠BDE=90 ∴.∠ADE=∠AED,∴.∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE ∴∠B=∠BDE,∴BE=DE,∴.△BDE是等腰三角形. +∠EDC-∠AED+∠EDC=(∠EDC+∠C)+∠EDC 【例2】证明：假设在△ABC中有两个钝角，不妨设∠A≥ =2∠EDC+∠C.AB=AC..∠B=∠C,∴.∠BAD= 90°，∠B>90°，则∠A+∠B>180°，而∠C>0°，.∠A+ 2∠EDC. ∠B+∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾，故假设 第2课时 等腰三角形的特殊性质 不成立，.一个三角形中不能有两个纯角。 基础过关 与等边三角形的性质 1.C2.403.证明：OC平分∠AOB,∴.∠AOC= 新知梳理 ∠BOC.CD∥OB,.∠DCO=∠BOC..∠AOC= ②相等601 ∠DCO..OD=CD,△DOC是等腰三角形.4.C 例题引路 5.解：有错误，改正如下：假设AC=BC,则∠A=∠B. 【例1】D【例2】证明：，△ABC和△BDE都是等边三角 ,∠C=90°，.∠B=∠A=45,这与∠A≠45矛盾， 形，∴.AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°，BE=BD.在 AC=BC不成立，∴.AC≠BC. AB=CB, 能力提升 △ABE和△CBD中， ∠ABE=∠CBD,∴.△ABE≌ BE=BD, 6.C7号或12 8.证明：如图 假设a与c △CBD(SAS),∴.AE=CD 基础过关 1.C2.33.证明：：BD,CE是△ABC的两条中线， 不相交，则a∥c.a⊥b,∠1=90.又，a∥c,∴∠2= .CD= 1 AC.BE-AB.AB-AC,BE-CD, ∠1=90°，∴.c⊥b,这与c和b不垂直相矛盾，.假设 2 不成立，.a与c必相交. 9.证明：，在△ABC中， 第1页（共36页） ∠BAC-90°，AD⊥BC,∴.∠BAD+∠CAD=90°，∠CAD 数学思想专题运用分类讨论思想求 +∠C=90°，.∠BAD=∠C.,BE平分∠ABC, 解等腰三角形中多解问题 ∴.∠ABF=∠CBE.∠AFE=∠ABF+∠BAD,∠AEF 1.C2.70°，55°，55或70°，70°，40°3.C4.B5.9或5 =∠CBE+∠C,∴.∠AFE=∠AEF,AF=AE,即 6.解：分两种情况讨论：①若∠A<90°，如图①.，BD⊥ △AEF为等腰三角形. AC,∴∠A+∠ABD=90.∠ABD=48°，.∠A=90 思维拓展 10.解：(1)△ABC,△BC(2)有5个等腰三角形： -48=42.”AB=AC.·∠ABC=∠C=号(180°- △ABC,△BC,△BEO,△CFO,△AEF.线段EF和EB, ∠A)=号×(180°-42)=69：②若∠A>90,如图②.同 FC之间的数量关系为EF=EB十FC:理由略：(3)还有等 腰三角形，即△BOE和△COF,(2)中EF=EB+FC仍然 ①可得∠BAD=90°-48=42°.，AB=AC,∴∠ABC= 成立.理由如下：：BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, ∠C·∠BAD=∠ABC+∠C=2∠C,∴.∠ABC=∠C= ∴.∠EBO=∠CBO,∠FCO=∠BCO.又，EF∥BC, ∠BAD=号×42=21.综上所述，该等腰三角形底角 .∠EOB=∠CBO,∠FOC=∠BCO,∴.∠EBO= 的度数为69或21° ∠EOB,∠FOC=∠FCO,,.BE=EO.FO=FC,.EF EO+FO=EB+FC.【变式21 第4课时等边三角形的判定 新知梳理 ①等边三角形②60°图一半 图① 例题引路 7.解：分两种情况讨论：①如图①，当AB的垂线MN与 【例1】解：△DEF是等边三角形.理由如下：，△ABC是 AC相交时，MN交AC于点D,交AB于点E,,∠AED 等边三角形，∴.∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°.：∠1= =90°，∠ADM=40°，∴.∠A=90°-40°=50°.AB=AC, ∠2=∠3，'.∠DFE=∠3+∠FAC=∠1+∠FAC= ∠CAB=6O°.同理，得∠DEF=∠EDF=60°，∴△DEF ∴∠B=∠C=2180°-∠A)=7×180°-01=65， 是等边三角形.【例2】B ②如图②，当AB的垂线MN与CA的延长线相交时，MN 基础过关 交CA的延长线于点D,交AB于点E,:∠AED=90°， ∠ADE=40,.∠DAB=90°-40°=50°.AB=AC, 1.D2.10m3.证明：，DC=DB,,.∠DCB=∠B 30°，.∠ADC=∠DCB+∠B=30°+30=60°.又.AD ∴∠B=∠C.∠DAB=∠B+∠C=2∠B,∴.∠B=∠C =DC,.△ADC是等边三角形.4.A5.B6.12 =7∠DAB=2×50'=25,综上所述，底角∠B的度数 能力提升 为65或25 7.A8.200m9.6或1210.解：(1)：AB=AC, ∴∠B=∠C.:FE⊥BC,∴∠CEF=90,∴∠F+∠C= 90°，∠BDE+∠B=90°，∴∠F=∠BDE.:∠BDE= ∠FDA,∴·∠F=∠FDA,∴.AF=AD,.△ADF是等腰 三角形：(2)：DE⊥BC,∴∠DEB=90.:∠B=60, 图① 图② 8.A9.75或120或901 ÷∠BDE=90°-∠B=90°-60=30.BE=壹BD= 方法技巧专题活用“三线合一”巧解题 合×6=3.：AB=AC,∠B=60,∴△ABC是等边三角 1.证明：连接AD.,△ABC为等腰直角三角形，∠BAC 90,∴.∠B=∠C=45.D为BC中点，.AD⊥BC,AD 形，.BC=AB=AD+BD=3+6=9,.EC=BC-BE= 平分∠BAC,∴.∠EAD=∠CAD=∠C=45°，∴.AD= 9-3=6. AE=CF. 思维拓展 CD.在△ADE和△CDF中， ∠EAD=∠C,∴.△ADE≌ 11.解：(1)，△ABC和△CDE均为等边三角形，AC= AD=CD. BC,EC=DC,∠ACB=∠ECD=6O°，∴.∠ACB+∠ACE △CDF(SAS),∴.DE=DE.2.证明：连接BD.在等边 =∠ECD+∠ACE,即∠ECB=∠ACD.在△ACD和 AC=BC. 三角形ABC中，点D是AC的中点心∠DBC=∠ABC △BCE中，∠ACD=∠BCE,∴.△ACD≌△BCE(SAS), CD=CE. =7×60=30,∠ACB=60.:CE=CD.∠CDE '.AD=BE:(2):△ACD≌△BCE,.∠CBH=∠CAG. ∠E.·∠ACB=∠CDE+∠E,∴.2∠E=60,∴∠E=30, :∠ACB=∠ECD=60,点B,C,D在同一条直线上， ∴∠DBC=∠E=30°，∴.BD=ED,△BDE为等腰三角形. ∴.∠ACG=180°-∠ACB-∠ECD=180°-60°-60°= 又，DM⊥BC,∴.BM=EM3.证明：过点A作AEI 60°，，∴.∠ACB=∠ACG.在△ACG和△BCH中， BC于点E.∴∠CAE+∠C=90°.：AB=AC,,∠CAE I∠CAG=∠CBH, Z∠BAC.'BD⊥AC,∴·∠DBC+∠C=90, AC=BC, ,.△ACG≌△BCH(ASA): ∠ACG=∠BCH, ∴∠DBC=∠CAE,∠DBC=专∠BAC4证明： (3)△CGH是等边三角形.理由如下：：△ACG≌△BCH, :AC=BC,CE为△ABC的中线，∴∠CAB=∠B,CE⊥ ∴.CG=CH.又，∠ACG=60°，∴.△CGH是等边三角形. AB,∴·∠CAB+∠ACE=90°.：AD为△ABC的高线， 第2页（共36页）