第2课时 等腰三角形的特殊性质与等边三角形的性质(PDF部分书稿)-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年八年级下册数学（北师大版 贵州专版）

第2课时 等腰三角形的特殊性质与等边三角形的性质 圆名师导学。预习先知 基础过关。逐点击破 新知梳理 知识点1等腰三角形中的相等线段 ①等腰三角形两腰上的中线长相等， L.如图，在△ABC中，AB=AC=9,BD,CE分别为∠ABC, 两腰上的高相等，两底角的平分线 ∠ACB的平分线.若BD=7,则CE的长度为() 相等 A.3.5 B.4.5 C.7 D.9 ②定理：等边三角形的三个内角都 ,并且每个角都等干 例题引路 【例1】如图，在△ABC中，AB=AC,给 (第1题图) (第2题图) 出的下列条件中，不能使BD=CE的 是 () 2.如图，在△ABC中，CA=CB,AD⊥BC,BE⊥AC,AB=5, AD=4,则AE的长为 3.(教材P:例1变式)如图，在△ABC中，AB-AC,中线 BD,CE相交于点O.求证：∠ECB=∠DBC A.∠ABD= 号∠ABC,∠ACE =3∠ACB B.BD,CE分别为AC,AB上的高 C.BD,CE为△ABC的角平分线 D.∠ABD=∠BCE 【学生解答】 【例2】如图，已知△ABC和△BDE都 知识点2等边三角形的性质 是等边三角形.求证：AE-CD, 4.如图，△ABC是等边三角形，点D在AB边上.若∠BCD= 13°，则∠ADC的度数为 A.45 B.60° C.73 D.77 【学生解答】 (第4题图) (第5题图) (第6题图) 5.如图，AD是等边三角形ABC的高，且BD=1cm,那么 AB的长是 A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 6.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC,垂足为D,点E在 线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE的度数为 3数学Ⅲ八年级下册(BS) 能力提升0整合运用 ②思维拓展。学科素养 7.衢境题钢架(2024·四川自贡)如图，等边三 11.断考法化动为定法如图，△ABC是边长为6 角形ABC钢架的立柱CD LAB于点D,AB 的等边三角形，P是AC边上一动点，由点 长12m.现将钢架立柱缩短成DE,∠BED= A向点C运动（点P与点A,C不重合），Q 60°，则新钢架减少用钢 ( 是CB延长线上一动点，由点B沿CB延长 A.(24-123)m 线的方向运动（点Q与点B不重合），点P, B.(24-8V3)m Q同时出发，且速度相同.过点P作PE⊥ AB于点E,连接PQ交AB于点D C.(24-6√3)m (1)当∠BQD=30°时，求AP的长： D.(24-43)m (2)在运动过程中线段DE的长是否发生变 8.装移黄中法已知点P是等边三角形ABC的 化？如果不发生变化，请直接写出线段 边BC上的一点，若∠APC=104°，则在以线 DE的长：如果发生变化，请说明理由。 段AP,BP,CP为边的三角形中，最小内角 的大小为 A.14°B.16 C.24 D.26 9.如图，已知等边三角形ABC纸 片，点E在AC边上，点F在 AB边上，沿EF折叠，使点A 落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC, 则∠EFD= 10.如图①，△ABC是等边三角形，D,E,F分 别是AB,BC,AC上一点，且∠DEF=60° (1)若∠1=50°，求∠2的度数： (2)如图②，连接DF,若DF∥BC. 求证：∠1=∠3. 图①① 图② 第一章三角形的证明4参考答案 第一章 三角形的证明 ∠ABC ACB. 在△EBC和△DCB中， 1等腰三角形 BE-=CD. ∠EBC=∠DCB.∴.△EBC≌△DCB(SAS),∴.∠ECB 第1课时 全等三角形和等腰三角形 BC=CB 新知梳理 =∠DBC. 4.C5.B6.15 0相等②相等相等目相等 等边对等角 ④平 能力提升 分线中线高线 7.D8.B9.45°10.解：(1)：△ABC是等边三角形. 例题引路 ∴.∠B=∠A=∠C=60°.：∠B+∠1=∠DEC=∠DEF 【例1】5 【例2】证明：在△ABD和△ACD中， +∠2，又'∠DEF=60°，∴∠B=∠DEF,∠2=∠1= (AB=AC, 50°：(2)，DF∥BC,∴.∠2=∠3.同(1)，得∠1=∠2. BD=CD..△ABD2△ACD(SSS),∴.∠BAD ∴.∠1=∠3. AD=AD, 思维拓展 弥 ∠CAD,即AD为∠BAC的平分线.又，在△ABC中，AB 11.解：(I)过点P作PF∥QC交AB于点F.,△ABC是 =AC,点E在AD上，.AE⊥BC 等边三角形，∴.∠A=∠ABC=∠C=60°.，PF∥QC, 帐 基础过关 ∴∠AFP=∠ABC=60°，∠APF=∠C=60°，则∠A= L.B2.33.B4.100°5.D6.证明：过点A作AP⊥ ∠AFP=∠APF=60°.∴.△AFP是等边三角形.∴.AP= BC于点P.AB=AC,.BP=PC.AD=AE,∴.DP= PF=AF,点P,Q同时出发，且速度相同，∴.BQ=AP PE,.'.BP-DP=PC-PE,BD=CE. ∴.BQ=PF.,PF∥QC,∴.∠DQB=∠DPF.又∠BDQ 能力提升 =∠FDP,∴.△DBQ≌△DFP(AAS),.BD=FD. 7.B8.D9.100°10.证明：连接AD.AB=AC,D是 :∠BQD=30°，∴.∠BIDQ=∠ABC-∠BQD=60°-30 BC的中点，∴.AD平分∠BAC,∴.∠EAD=∠FAD.在 =30°，∴.∠BDQ=∠BQD,∴.BQ=BD,则BD=FD=BQ AE-AF. 的 △AED和△AFD中， ∠EAD=∠FAD,.△AED≌ =PF=AF=子AB=号×6=2∴AP=2:(2)线段DE AD-AD. 的长不发生变化.DE=3.[解析：由(1)，得BD=FD. △AFD(SAS),.DE=DF.1L.解：(1)DB=DE, :△AFP是等边三角形，PE⊥AF,AE=EF.:DE十 封 ∠DBE=∠DEB.:BE平分∠ABC,.∠DBE= (BDAE)=AB=6...DE+(FD+EF)=6.DE+DE ∠CBE,∴.∠DEB=∠CBE,∴.DE∥BC:(2)DE∥BC. =6,,.DE=3] '.∠C=∠AED=45.,在△ABC中，∠A+∠ABC+ 第3课时 等腰三角形的判定与反证法 ∠C=180°..∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-65° 新知梳理 45°=70°.BE是△ABC的角平分线，.∠EBC ①等腰等角对等边②矛盾反证法 z∠ABC=号×70°=35 例题引路 思维拓展 【例1】证明：，DE∥AC,.∠CAD=∠EDA.:AD平分 12.解：(1)15°(2)20°(3)∠BAD=2∠EDC ∠BAC,∴.∠CAD=∠EAD,∴.∠EAD=∠EDA.AD (4)∠BAD=2∠EDC仍成立.理由如下：：AD=AE, ⊥BD,.∠EAD+∠B=90°，∠EDA+∠BDE=90°， .∠ADE=∠AED,∴.∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE ∴∠B=∠BDE,.BE=DE,∴△BDE是等腰三角形. +∠EDC=∠AED+∠EDC=(∠EDC+∠C)+∠EDC 【例2】证明：假设在△ABC中有两个钝角，不妨设∠A =2∠EDC+∠CAB=AC,∴∠B=∠C.∴.∠BAD= 90°，∠B>90°，则∠A+∠B>180°，而∠C>0°，∴.∠A十 线 2∠EDC ∠B+∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾，故假设 第2课时 等腰三角形的特殊性质 不成立，∴.一个三角形中不能有两个纯角。 基础过关 与等边三角形的性质 1.C2.403.证明：OC平分∠AOB,.∠AOC= 新知梳理 ∠BOC.:CD∥OB,∴.∠DCO=∠BOC,.∠AOC 9相等60 ∠DCO,∴.OD=CD,∴.△DC是等腰三角形.4.C 例题引路 5.解：有错误.改正如下：假设AC=BC,则∠A=∠B 【例1】D【例2】证明：，△ABC和△BDE都是等边三角 ∠C=90°，.∠B=∠A=45°，这与∠A≠45矛盾， 形，∴.AB=BC,∠ABC=∠DBE=60,BE=BD.在 ∴.AC=BC不成立，∴.AC≠BC AB-CB. 能力提升 △ABE和△CBD中. ∠ABE=∠CBD,∴.△ABE≌ BE=BD 6.C7.号或128证明：如图。 假设a与c △CBD(SAS)..AE=CD 基础过关 L.C2.33.证明：，BD,CE是△ABC的两条中线 不相交，则a∥c.,a⊥b,∠1=90°.又：a∥c,∴.∠2= CD-AC,BE=合AB“AB=AC,dBE=CD, ∠1=90°，∴.c⊥b,这与c和b不垂直相矛盾，∴.假设 不成立，.a与c必相交. 9.证明：，在△ABC中， 第1页（共36页）