九年级数学期末模拟试卷（5）-2024-2025学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

九年级数学上册期末模拟试卷（5） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．tan30°的值是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案． 【解析】解：tan30°＝． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 2．下列说法正确的是（　　） A．“打开电视，正在播放动画片”是必然事件 B．“明天太阳从西边升起”是必然事件 C．“掷一枚质地均匀的骰子一次，向上一面的点数是5”是随机事件 D．“1个大气压下水加热到100℃时开始沸腾”是不可能事件 【思路点拨】根据事件的分类，对每个选项逐个进行分类，判断每个选项是否为不可能事件． 【解析】解：A．“打开电视，正在播放动画片”是随机事件，此选项不符合题意； B．“明天太阳从西边升起”是不可能事件，此选项不符合题意； C．“掷一次质地均匀的骰子，向上一面的点数是5”是随机事件，此选项符合题意； D．“1个大气压下水加热到100℃时开始沸腾”是必然事件，此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3．如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，若AD＝2BD，则的值为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据DE∥BC，得出△ADE∽△ABC，即可得出＝，进而得出的值． 【解析】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝， ∵AD＝2DB， ∴＝＝． 则的值为． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 4．关于二次函数y＝2（x﹣1）2+3，下列说法正确的是（　　） A．图象的对称轴是直线x＝﹣1 B．图象与x轴有两个交点 C．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大 D．当x＝1时，y取得最大值，且最大值为3 【思路点拨】根据二次函数解析式得出函数对称轴，顶点坐标，开口方向，然后由函数的性质即可解答． 【解析】解：∵二次函数y＝2（x﹣1）2+3， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，3），对称轴为直线x＝1， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＝1时，y有最小值，最小值为3，抛物线与x轴没有交点， 故A，B，D错误，C正确， 故选：C． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的图象性质，熟悉性质是解题关键． 5．如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝1m，CD＝2.5m，则拱门所在圆的半径为（　　） A．1.25m B．1.3m C．1.4m D．1.45m 【思路点拨】如图，连接OA，先证明CD⊥AB，AD＝BD＝0.5，再进一步的利用勾股定理计算即可． 【解析】解：如图，连接OA， ∵D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，AB＝1m， ∴CD⊥AB，AD＝BD＝0.5， 设拱门所在圆的半径为rm， ∴OA＝OC＝r，而CD＝2.5m， ∴OD＝2.5﹣r， ∴r2＝0.52+（2.5﹣r）2， 解得：r＝1.3， ∴拱门所在圆的半径为1.3m； 故选B． 【点睛】本题考查的是垂径定理的实际应用、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 6．如图，△ABC中，∠BAC＝114°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB′C′，当B′在边BC上时，∠C′CB＝（　　） A．60° B．62° C．64° D．66° 【思路点拨】先根据旋转的性质得到∠BAB′＝∠CAC′，AB＝AB′，AC＝AC′，则可判断△ABB′∽△ACC′，所以∠ACC′＝∠B，然后利用等量代换得到∠C′CB＝180°﹣∠BAC． 【解析】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB′C′， ∴∠BAB′＝∠CAC′，AB＝AB′，AC＝AC′， ∴△ABB′∽△ACC′， ∴∠ACC′＝∠B， ∴∠C′CB＝∠C′CA+∠ACB＝∠B+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣114°＝66°． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 7．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（　　） A．五位 B．四位 C．三位 D．二位 【思路点拨】分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据所在的范围解答即可． 【解析】解：因为取一位数时一次就拨对密码的概率为； 取两位数时一次就拨对密码的概率为； 取三位数时一次就拨对密码的概率为； 取四位数时一次就拨对密码的概率为． 故密码的位数至少需要4位． 故选：B． 【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，作如下作图： ①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BA、BC于点M、N； ②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在△ABC内部交于点P； ③作射线BP交AC于点D； 根据以上作图，判断下列结论正确的有（　　） ①∠C＝2∠A；②AD＝BC；③BC2＝CD•AB；④． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【思路点拨】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABC＝∠C＝72°，再根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠DBC＝36°，从而可得∠A＝∠ABD＝36°，进而可得DA＝DB，再利用三角形内角和定理可得∠CDB＝∠C＝72°，从而可得AD＝BD＝BC；然后证明△CBD∽△CAB，从而利用相似三角形的性质可得BC2＝CD•AC，进而可得BC2＝CD•AB；再根据等量代换可得AD2＝CD•AC，从而可得点D是AC的黄金分割点，最后根据黄金分割的定义可得＝＝，即可解答． 【解析】解：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝＝72°， ∴∠C＝2∠A； 由题意得：BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°， ∴∠A＝∠ABD＝36°， ∴DA＝DB， ∵∠CDB＝180°﹣∠C﹣∠DBC＝72°， ∴∠CDB＝∠C＝72°， ∴BC＝BD， ∴AD＝BD＝BC； ∵∠C＝∠C，∠DBC＝∠A， ∴△CBD∽△CAB， ∴＝， ∴BC2＝CD•AC， ∴BC2＝CD•AB； ∵AD＝BC， ∴AD2＝CD•AC， ∴点D是AC的黄金分割点， ∴＝＝， ∴CD＝AD； 所以，根据以上作图，判断上列结论正确的有①②③④， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，作图﹣基本作图，黄金分割，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 9．设函数y1＝﹣（x﹣a1）2，y2＝﹣（x﹣a2）2．直线x＝1的图象与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，c1），B（1，c2），得（　　） A．若1＜a1＜a2，则c1＜c2 B．若a1＜1＜a2，则c1＜c2 C．若a1＜a2＜1，则c1＜c2 D．若a1＜a2＜1，则c2＜c1 【思路点拨】根据题意分别画出y1，y2的图象，继而根据图象即可求解． 【解析】解：∵直线x＝1的图象与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，c1），B（1，c2）， A．若1＜a1＜a2，如图所示， 则c1＞c2 B．若a1＜1＜a2，如图所示， 则c1＞c2 则c1＜c2， 故B选项不合题意， C．若a1＜a2＜1，如图所示， ∴c1＜c2，故C选项正确，D选项不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，数形结合是解题的关键． 10．如图，AD是△ABC的外角平分线，与△ABC的外接圆交于点D，连结BD交AC于点F，且BC＝CF，则下列结论错误的是（　　） A．∠ADB＝∠CDB B．3∠ACB+∠ACD＝180° C．3∠BDC+2∠ABD＝180° D．3∠BAD+∠ABD＝360° 【思路点拨】设∠DCB＝α，∠BDC＝β，表示出有关的角，由圆周角定理，圆内接四边形的性质，可以解决问题． 【解析】解：AD是△ABC的外角平分线， ∴∠EAD＝∠DAC， ∵∠EAD＝∠DCB，∠DAC＝∠DBC， ∴∠DBC＝∠DCB， ∵BC＝CF， ∴∠FBC＝∠CFB， ∴∠BDC＝∠BCF， ∵∠ADB＝∠BCF， ∴∠ADB＝∠BDC． 故A正确， 设∠DCB＝α，∠BDC＝β，则∠ADB＝∠ACB＝β， ∴2α+β＝180°， ∴3∠ACB+∠ACD＝3β+（α﹣β）＝α+2β≠180°， 故B错误； 3∠BDC+2∠ABD＝3β+2∠ACD＝3β+2（α﹣β）＝2α+β＝180°， 故C正确； 3∠BAD+∠ABD＝3（180°﹣α）+（α﹣β）＝540°﹣（2α+β）＝540°﹣180°＝360°， 故D正确； 故选：B． 【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，关键是设∠DCB＝α，∠BDC＝β，表示出有关的角． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．已知线段a＝2，b＝8，若线段c是线段a，b的比例中项，则c＝　4　． 【思路点拨】根据比例中项的定义得到c2＝ab，然后利用算术平方根的定义求c的值． 【解析】解：∵线段c是线段a、b的比例中项， ∴c2＝ab＝2×8＝16， ∴c＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 12．学习电学知识后，小婷同学用四个开关 A、B、C、D，一个电源和一个灯泡设计了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的概率等于 　　． 【思路点拨】画树状图，共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【解析】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有6种， ∴小灯泡发光的概率＝＝， 故答案为：． 【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 13．如图，点A，B，C都在⊙O上，如果∠AOC＝∠ABC，那么∠A+∠C的度数为 　120°　． 【思路点拨】先利用圆周角定理以及周角是360°可得∠AOC+2∠ABC＝360°，再结合已知可得3∠AOC＝360°，从而可得∠AOC＝∠ABC＝120°，然后利用四边形内角和是360°进行计算即可解答． 【解析】解：如图： ∵∠AOC+∠1＝360°，∠1＝2∠ABC， ∴∠AOC+2∠ABC＝360°， ∵∠AOC＝∠ABC， ∴3∠AOC＝360°， ∴∠AOC＝∠ABC＝120°， ∴∠A+∠C＝360°﹣∠AOC﹣∠ABC＝120°， 故答案为：120°． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 14．对于二次函数y＝2x2﹣3，当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是 　﹣3≤y≤5　． 【思路点拨】由抛物线解析式可得对称轴为直线x＝0，且开口向上，再由﹣1≤x≤2可知，当x＝0时，取得最小值，当x＝2时，取得最大值，即可求出答案． 【解析】解：∵二次函数的解析式为y＝2x2﹣3， ∴抛物线的对称轴为直线x＝0， ∵a＝2＞0， ∴抛物线开口向上， ∵﹣1≤x≤2， 当x＝0时，取得最小值y＝﹣3， 当x＝﹣1时，y＝﹣1， 当x＝2时，y＝5， ∴当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是﹣3≤y≤5， 故答案为：﹣3≤y≤5． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握抛物线对称轴和增减性是解决本题的关键． 15．如图6个大小相同的小正方形，恰好放置在三角形ABC中，若小正方形的边长为1，则： （1）tanB＝　　； （2）BC＝　8　． 【思路点拨】（1）先将图形补全，依题意可得FH∥BC，EH＝1，FH＝2，进而得∠B＝∠EFH＝，即可求出答案； （2）根据DE∥FH，DE＝2，CD＝3得∠EFH＝∠ADE，进而得到tan∠EFH＝tan∠ADE，由此可求出AD，进而求出AC的长，再由（1）的结论可得出BC的长． 【解析】解：（1）如图， 依题意得：FH∥BC，EH＝1，FH＝2， ∴∠B＝∠EFH， ∴tanB＝tan∠EFH＝． 故答案为：； （2）依题意得：DE∥FH，DE＝2，CD＝3， ∴∠EFH＝∠AED， ∴tan∠EFH＝tan∠AED＝， ∴AD＝1， ∴AC＝AD+CD＝1+3＝4， ∴tanB＝＝， ∴BC＝2AC＝8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质和正切函数的定义． 16．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于点M，连接AM交CE的延长线于点N．对角线AC分别交BE、EF于点G、H．下面四个结论正确的序号是 　①②④　． ①S△ABE＝S△DCE；②H是AC的中点；③2AM＝5AN；④AG：GH：HC＝2：1：3． 【思路点拨】①依题意得AD∥BC，AE＝DE＝AD，则△ABD的边AE上的高与△DCE的边DE上的高相同，由此可对该结论进行判断； ②根据点F是BC的中点得AE＝DE＝BF＝CF＝BC＝AD，证明△AEH和△CFH相似得＝＝1，则AH＝CH，由此可对该结论进行判断； ③过点M作MQ∥BC交CN的延长线于点Q，证明△MED和△MBC相似得＝＝，则ME＝BE，再证明△MQE和△BCE相似得＝＝1，则MQ＝BC＝2AE，然后证明△MNQ和△ANE相似得＝＝2，则MN＝2AN，进而得AM＝3AN，由此可对该结论进行判断； ④证明△ADE和△CGB相似得＝＝，设AG＝a，CG＝2a，则AH＝a+GH，HC＝2a﹣GH，再根据点H是AC的中点得a+GH＝2a﹣GH，则GH＝，HC＝，进而得可得AG：GH：HC＝2：1：3，由此可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 【解析】解：①∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴点E是AD的中点， ∴AE＝DE＝AD， ∴△ABD的边AE上的高与△DCE的边DE上的高相同， ∴S△ABE＝S△DCE， 故结论①正确； ②∵点F是BC的中点， ∴BF＝CF＝BC， ∵AE＝DE＝AD，AD＝BC， ∴AE＝DE＝BF＝CF＝BC＝AD， ∵AD∥BC， ∴△AEH∽△CFH， ∴＝＝1， ∴AH＝CH， ∴点H是AC的中点， 故结论②正确， ③过点M作MQ∥BC交CN的延长线于点Q，如图所示： ∴AD∥BC， ∴△MED∽△MBC， ∴＝＝， ∴BM＝2ME， ∵ME＝BE， ∵MQ∥BC， ∴△MQE∽△BCE， ∴＝＝1， ∴MQ＝BC， ∴MQ＝2AE， ∴MQ∥BC，AD∥BC， ∴MQ∥AD， ∴△MNQ∽△ANE， ∴＝＝2， ∴MN＝2AN， ∴AM＝AN+MN＝3AN， ∴2AM＝6AN， 故结论③不正确； ④∵AD∥BC， ∴△ADE∽△CGB， ∴＝＝， 设AG＝a，则CG＝2a， ∴AH＝AG+GH＝a+GH，HC＝CG﹣GH＝2a﹣GH， ∵点H是AC的中点， ∴AH＝HC， ∴a+GH＝2a﹣GH， ∴GH＝， ∴HC＝2a﹣GH＝， ∴AG：GH：HC＝＝2：1：3， 故结论④正确， 综上所述：结论正确的序号是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，理解行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 三．解答题（共8小题，共66分） 17．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频率表如下： 抽取件数 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数 42 88 141 176 445 724 901 合格频率 0.84 a 0.94 0.88 0.89 0.91 b （1）计算表中a，b的值并估计任抽一件衬衣是合格品的概率． （2）估计出售2000件衬衣，其中次品大约有几件． 【思路点拨】（1）根据频率＝合格频数÷抽取件数可得a、b的值，再根据大量重复实验下，频率稳定的数值即可估计任抽一件衬衣是合格品的概率； （2）用总数量×（1﹣合格的概率）列式计算即可． 【解析】解：（1）a＝88÷100＝0.88，b＝901÷1000＝0.901， 估计任抽一件衬衣是合格品的概率为0.90； （2）次品的件数约为2000×（1﹣0.90）＝200（件）． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 18．如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F． （1）求证：AC＝BD． （2）若CD＝8，EF＝2，求⊙O的半径． 【思路点拨】（1）由垂径定理得到CF＝DF，由等腰三角形的性质得到AF＝BF，从而证明AC＝BD； （2）设⊙O的半径是r，由勾股定理，垂径定理列出关于r的方程，即可求出⊙O的半径． 【解析】（1）证明：∵OE⊥AB， ∴CF＝DF， ∵OA＝OB， ∴AF＝BF， ∴AF﹣CF＝BF﹣DF， ∴AC＝BD； （2）解：设⊙O的半径是r， ∵CO2＝CF2+OF2， ∴r2＝42+（r﹣2）2， ∴r＝5， ∴⊙O的半径是5． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于半径的方程． 19．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E，F分别在线段BD，AC上，连结AD，EF交于点G，∠CEF＝2∠CAD． （1）求证：△ABC∽△EFC． （2）若BE＝2DE，＝，求的值． 【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，∠CAB＝2∠CAD，根据题意不难证明△ABC∽△EFC； （2）过点F作FH∥BC，交AD于点H，）根据等腰三角形的性质可得BD＝CD，则DE＝，易证明△AHF∽△ADC，则，易证明△HFG∽△DEG，则，将DE＝，代入即可求解． 【解析】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵点D是BC的中点， ∴∠CAB＝2∠CAD， ∵∠CEF＝2∠CAD， ∴∠CEF＝∠CAB， 在△ABC和△EFC中， ， ∴△ABC∽△EFC； （2）过点F作FH∥BC，交AD于点H， ∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，点D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵BE＝2DE， ∴，即DE＝， ∵HF∥BC， ∴△AHF∽△ADC， ∴， ∵＝， ∴， ∴， ∵HF∥BC， ∴△HFG∽△DEG， ∴， 由上述知，DE＝，， ∴＝． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，根据相似三角形的对应边成比例答题时解题关键． 20．要修建一个圆形喷水池，在池中央竖直安装一个柱形喷水装置，顶端安有一个喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是． （1）求喷出的水流最高处距离地面多少米？ （2）若喷水池的半径为3m，请判断喷出的水流会不会落在池外，并说明理由． 【思路点拨】（1）将函数关系式化为顶点式，求出二次函数最大值即可得到答案； （2）令y＝0，解得x的值，再和3比较即可． 【解析】解：（1）∵y＝﹣x2+3x+＝﹣（x﹣）2+4，且﹣1＜0， ∴当x＝时，y取最大值，最大值为4， ∴喷出的水流最高处距离地面4米； （2）当y＝0时，﹣x2+3x+＝0， 解得x＝3.5或x＝﹣0.5（舍去）， ∵3.5＞3， ∴喷出的水流会落在池外． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转与数学问题联系起来． 21．如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距60m，在建筑物的顶部分别观测铁塔底部的俯角为30°、铁塔顶部的仰角为45°，求建筑物AB的高度和铁塔CD的高度（结果保留根号）． 【思路点拨】过A点作AE⊥CD于E点，则四边形ABDE为矩形，再根据特殊角的三角函数值求出DE的长，得AB的长，然后由等腰直角三角形的性质得出EC长，即可得出CD． 【解析】解：过A点作AE⊥CD于E点， 则四边形ABDE为矩形， ∴AE＝BD＝60m，AB＝DE， ∵∠DAE＝30°，tan30°＝， ∴AB＝DE＝tan30°•AE＝×60＝20（m）， ∵∠CAE＝45°， ∴△AEC是等腰直角三角形， ∴AE＝EC， ∴CE＝60m， ∴CD＝CE+ED＝（60+20）（m）， 即铁塔CD的高度是（60+20）m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，借助仰角俯角构造直角三角形与矩形是解题的关键． 22．如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E，且点E是的中点，连接DE． （1）求证：△ABC是等腰三角形． （2）若BC＝10，CE＝6，求线段AD的长． 【思路点拨】（1）连接BE，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEC＝90°，从而可得∠C+∠CBE＝90°，∠BEA＝90°，进而可得∠A+∠DBE＝90°，然后根据已知易得＝，从而利用等弧所对的圆周角相等可得∠CBE＝∠DBE，进而可得∠A＝∠C，最后根据等角对等边即可解答； （2）利用（1）的结论易得CE＝DE＝6，然后利用圆内接四边形对角互补，以及平角定义可得∠ADE＝∠C，再利用（1）的结论可得∠A＝∠ADE，从而可得AE＝ED＝6，最后证明△ADE∽△ACB，从而利用相似三角形的性质，进行计算即可解答． 【解析】（1）证明：连接BE， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠BEC＝90°， ∴∠C+∠CBE＝90°，∠BEA＝180°﹣∠BEC＝90°， ∴∠A+∠DBE＝90°， ∵点E是的中点， ∴＝， ∴∠CBE＝∠DBE， ∴∠A＝∠C， ∴AB＝BC， ∴△ABC是等腰三角形； （2）解：∵＝， ∴CE＝DE＝6， ∵四边形DBCE是⊙O的内接四边形， ∴∠C+∠BDE＝180°， ∵∠BDE+∠ADE＝180°， ∴∠ADE＝∠C， ∵∠A＝∠C， ∴∠A＝∠ADE， ∴AE＝ED＝6， ∴AC＝AE+CE＝12， ∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB， ∴＝， ∴＝， ∴AD＝， ∴线段AD的长为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 23．二次函数y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是常数）的图象与x轴交于A，B两点． （1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴； （2）若函数y1的图象经过点（2，m），且x1+x2＝2时，求m的最大值； （3）若一次函数y2＝kx+b（k，b是常数，k≠0），它的图象与y1的图象都经过x轴上同一点，且x1﹣x2＝2．当函数y＝y1+y2的图象与x轴仅有一个交点时，求k的值． 【思路点拨】（1）利用待定系数法解答即可； （2）将已知条件代入解析式中，得到m关于x1的函数关系式，利用二次函数的性质，配方法解答即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法分别得到y关于x1，x2的解析式，再利用待定系数法和已知条件解答即可． 【解析】解：二次函数y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2）＝2x2﹣2（x1+x2）x+2x1x2， ∵二次函数y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2）经过（1，0），（2，0）， ∴， 解得：， ∴函数y1的表达式为y1＝2x2﹣6x+4． ∵y1＝2x2﹣6x+4＝2﹣， ∴函数y1的对称轴为直线x＝； （2）∵函数y1的图象经过点（2，m）， ∴m＝2×22﹣4（x1+x2）+2x1x2＝8﹣4（x1+x2）+2x1x2， ∵x1+x2＝2， ∴x2＝2﹣x1， ∴m＝8﹣4×2+2x1•（2﹣x1） ＝﹣2+4x1 ＝﹣2+2， ∵﹣2＜0， ∴当x1＝1时，m有最大值为2． ∴m的最大值为2； （3）由题意：二次函数y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是常数）的图象与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点， ①若两函数的图象都经过x轴上同一点（x1，0）， ∴0＝kx1+b， ∴b＝﹣kx1， ∴y2＝kx﹣kx1． ∵y＝y1+y2， ∴y＝2x2﹣2（x1+x2）x+2x1x2+kx﹣kx1 ＝2x2﹣（2x1+2x2﹣k）x+2x1x2﹣kx1． ∵函数y＝y1+y2的图象与x轴仅有一个交点， ∴Δ＝0． 即＝0， 整理得：＝0， ∴k＝﹣2（x1﹣x2）． ∵x1﹣x2＝2， ∴k＝﹣2×2＝﹣4； ②若两函数的图象都经过x轴上同一点（x2，0）， ∴0＝kx2+b， ∴b＝﹣kx2， ∴y2＝kx﹣kx2． ∵y＝y1+y2， ∴y＝2x2﹣2（x1+x2）x+2x1x2+kx﹣kx2 ＝2x2﹣（2x1+2x2﹣k）x+2x1x2﹣kx2． ∵函数y＝y1+y2的图象与x轴仅有一个交点， ∴Δ＝0． 即﹣4×2（2x1x2﹣kx2）＝0， 整理得：＝0， ∴k＝2（x1﹣x2）． ∵x1﹣x2＝2， ∴k＝2×2＝4． 综上，当函数y＝y1+y2的图象与x轴仅有一个交点时，k的值为4或﹣4． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，一次函数的性质，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，配方法，数形结合法，利用待定系数法和分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 24．等腰△ABD内接于⊙O，BA＝BD．点C是劣弧BD上的动点，连接AC，AC与BD相交于点E． （1）如图1，若∠ABD＝50°，BE＝BC， ①求∠DBC的度数； ②若，求的值． （2）如图2，当AC刚好过圆心O，且AB＝3BC，AD＝4时，求CD的长． 【思路点拨】（1）①求出∠BAD、∠BDA的度数，由，求出∠BCA，根据三角形的内角和即可求出结果； ②由，设AB＝BD＝4x，AD＝3x，证明△DAE∽△DBA，求出DE＝，进而得到BE，证明△BCE∽△BDA，得，求出CE，根据即可求出结果； （2）设BC＝k，AB＝BD＝3k，在Rt△ABC中，运用勾股定理求出AC，证明△BEC∽△AED，求出AE、DE，证明△BEA∽△CED，求出CD，根据AC2＝AD2+CD2，列方程求出x，即可得到结果． 【解析】解：（1）①∵∠ABD＝50°，BA＝BD， ∴∠BAD＝∠BDA＝＝65°， ∵， ∴∠BCA＝∠BDA＝65°， ∵BE＝BC， ∴∠BCA＝∠BEC＝65°， ∴∠DBC＝180°﹣∠BCA﹣∠BEC＝50°； ②方法1： 由，设AB＝BD＝4x，AD＝3x， ∵， ∴∠DBC＝∠DAE＝50°， ∵∠DAE＝∠DBA＝50°，∠ADE＝∠BDA＝65°， ∴△DAE∽△DBA， ∴，即， ∴DE＝， ∴BE＝BD﹣DE＝， ∵∠CBE＝∠DBA，∠BCE＝∠BDA， ∴△BCE∽△BDA， ∴， ∴， ∴CE＝， ∴＝＝； （2）由AB＝3BC，设BC＝k，AB＝BD＝3k， ∵AC刚好过圆心O， ∴∠ABC＝∠ADC＝90°， 在Rt△ABC中， ∵BC＝k，AB＝3k， ∴AC＝＝， ∵∠CBD＝∠DAC，∠BEC＝∠AED， ∴△BEC∽△AED， ∴，即， ∴AE＝，DE＝， ∵∠CAB＝∠BDC，∠BEA＝∠CED， ∴△BEA∽△CED， ∴， ∴CD＝， 在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2＝AD2+CD2， ∴， ∴CD＝． 方法2： 过点A作AM⊥BD， ∵∠ACB＝∠ADM，∠ABC＝∠AMD＝90°， ∴△ABC∽△AMD， ∵AB＝3BC， ∴AM＝3DM， 在Rt△AMD中， ∵AM2+DM2＝AD2， ∴DM＝，AM＝， 设AB＝BD＝x，则BM＝x﹣， 在Rt△ABM中， ∵AM2+BM2＝AB2， ∴， ∴AB＝BD＝， ∴BC＝， ∴AC＝＝， ∴CD＝＝． 【点睛】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的相似与判定，勾股定理，本题的关键是灵活运用相似三角形的性质与判定，寻找线段的数量关系解题． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学上册期末模拟试卷（5） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．tan30°的值是（　　） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（　　） A．“打开电视，正在播放动画片”是必然事件 B．“明天太阳从西边升起”是必然事件 C．“掷一枚质地均匀的骰子一次，向上一面的点数是5”是随机事件 D．“1个大气压下水加热到100℃时开始沸腾”是不可能事件 3．如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，若AD＝2BD，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．关于二次函数y＝2（x﹣1）2+3，下列说法正确的是（　　） A．图象的对称轴是直线x＝﹣1 B．图象与x轴有两个交点 C．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大 D．当x＝1时，y取得最大值，且最大值为3 5．如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝1m，CD＝2.5m，则拱门所在圆的半径为（　　） A．1.25m B．1.3m C．1.4m D．1.45m 6．如图，△ABC中，∠BAC＝114°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB′C′，当B′在边BC上时，∠C′CB＝（　　） A．60° B．62° C．64° D．66° 7．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（　　） A．五位 B．四位 C．三位 D．二位 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，作如下作图： ①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BA、BC于点M、N； ②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在△ABC内部交于点P； ③作射线BP交AC于点D； 根据以上作图，判断下列结论正确的有（　　） ①∠C＝2∠A； ②AD＝BC； ③BC2＝CD•AB； ④． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 9．设函数y1＝﹣（x﹣a1）2，y2＝﹣（x﹣a2）2．直线x＝1的图象与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，c1），B（1，c2），得（　　） A．若1＜a1＜a2，则c1＜c2 B．若a1＜1＜a2，则c1＜c2 C．若a1＜a2＜1，则c1＜c2 D．若a1＜a2＜1，则c2＜c1 10．如图，AD是△ABC的外角平分线，与△ABC的外接圆交于点D，连结BD交AC于点F，且BC＝CF，则下列结论错误的是（　　） A．∠ADB＝∠CDB B．3∠ACB+∠ACD＝180° C．3∠BDC+2∠ABD＝180° D．3∠BAD+∠ABD＝360° 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．已知线段a＝2，b＝8，若线段c是线段a，b的比例中项，则c＝　 　． 12．学习电学知识后，小婷同学用四个开关 A、B、C、D，一个电源和一个灯泡设计了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的概率等于 　 　． 13．如图，点A，B，C都在⊙O上，如果∠AOC＝∠ABC，那么∠A+∠C的度数为 　 　． 14．对于二次函数y＝2x2﹣3，当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是 　 　． 1．如图6个大小相同的小正方形，恰好放置在三角形ABC中，若小正方形的边长为1，则： （1）tanB＝　 　； （2）BC＝　 　． 2．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于点M，连接AM交CE的延长线于点N．对角线AC分别交BE、EF于点G、H．下面四个结论正确的序号是 　 　． ①S△ABE＝S△DCE；②H是AC的中点；③2AM＝5AN；④AG：GH：HC＝2：1：3． 三．解答题（共8小题，共66分） 17．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频率表如下： 抽取件数 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数 42 88 141 176 445 724 901 合格频率 0.84 a 0.94 0.88 0.89 0.91 b （1）计算表中a，b的值并估计任抽一件衬衣是合格品的概率． （2）估计出售2000件衬衣，其中次品大约有几件． 18．如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F． （1）求证：AC＝BD． （2）若CD＝8，EF＝2，求⊙O的半径． 19．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E，F分别在线段BD，AC上，连结AD，EF交于点G，∠CEF＝2∠CAD． （1）求证：△ABC∽△EFC． （2）若BE＝2DE，＝，求的值． 20．要修建一个圆形喷水池，在池中央竖直安装一个柱形喷水装置，顶端安有一个喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是． （1）求喷出的水流最高处距离地面多少米？ （2）若喷水池的半径为3m，请判断喷出的水流会不会落在池外，并说明理由． 21．如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距60m，在建筑物的顶部分别观测铁塔底部的俯角为30°、铁塔顶部的仰角为45°，求建筑物AB的高度和铁塔CD的高度（结果保留根号）． 22．如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E，且点E是的中点，连接DE． （1）求证：△ABC是等腰三角形． （2）若BC＝10，CE＝6，求线段AD的长． 23．二次函数y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是常数）的图象与x轴交于A，B两点． （1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴； （2）若函数y1的图象经过点（2，m），且x1+x2＝2时，求m的最大值； （3）若一次函数y2＝kx+b（k，b是常数，k≠0），它的图象与y1的图象都经过x轴上同一点，且x1﹣x2＝2．当函数y＝y1+y2的图象与x轴仅有一个交点时，求k的值． 24．等腰△ABD内接于⊙O，BA＝BD．点C是劣弧BD上的动点，连接AC，AC与BD相交于点E． （1）如图1，若∠ABD＝50°，BE＝BC， ①求∠DBC的度数； ②若，求的值． （2）如图2，当AC刚好过圆心O，且AB＝3BC，AD＝4时，求CD的长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$