九年级数学期末模拟试卷（4）-2024-2025学年九年级数学上学期《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

九年级数学上册期末模拟试卷（4） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线y＝﹣x2+3的顶点坐标是（　　） A．（0，3） B．（0，﹣3） C．（3，0） D．（﹣3，0） 【思路点拨】根据抛物线解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标为（0，3），本题得以解决． 【解析】解：∵抛物线y＝﹣x2+3， ∴该抛物线的顶点坐标为（0，3）， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是可以根据抛物线的顶点式直接写出顶点坐标． 2．已知点A是⊙O外一点，且⊙O的半径为3，则OA可能为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【解析】解：∵点A是⊙O外一点，且⊙O的半径为3， ∴OA＞3． 故选：D． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 3．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC＝150°，则∠ABC的度数（　　） A．30° B．150° C．105° D．110° 【思路点拨】在优弧AC上取点D，连接AD，CD，根据圆周角定理求出∠ADC的度数，进而可得出结论． 【解析】解：如图，在优弧AC上取点D，连接AD，CD， ∵∠AOC＝150°， ∴∠ADC＝∠AOC＝75°， ∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180°﹣75°＝105°． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 4．如图为固定电线杆AC，在离地面高度为7米的A处引拉线AB，使拉线AB与地面BC的夹角为α，则拉线AB的长为（　　） A．7sinα米 B．7cosα米 C．7tanα米 D．米 【思路点拨】根据正弦的定义列式计算即可． 【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sinα＝， 则AB＝＝（米）， 故选：D． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟记正弦的定义是解题的关键． 5．在同一平面直角坐标系中，直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据各选项中直线经过的象限可得出a、b的符号，再依此找出二次函数图象的开口、对称轴以及顶点坐标，对照图象即可得出结论． 【解析】解：A、∵直线y＝ax+b经过第一、二、三象限， ∴a＞0，b＞0， ∴抛物线y＝ax2+b开口向上，对称轴为y轴，顶点为（0，b）， ∴该选项图象符合题意； B、∵直线y＝ax+b经过第一、二、四象限， ∴a＜0，b＞0， ∴抛物线y＝ax2+b开口向下，对称轴为y轴，顶点为（0，b）， ∴该选项图象不符合题意； C、∵直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+b的交点坐标为（0，b）， ∴该选项图象不符合题意； D、∵直线y＝ax+b经过第一、二、三象限， ∴a＞0，b＞0， ∴抛物线y＝ax2+b开口向上，对称轴为y轴，顶点为（0，b）， ∴该选项图象不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析四个选项中图象的正误是解题的关键． 6．如图，扇形AOB圆心角为直角，OA＝10，点C在上，以OA，CA为邻边构造▱ACDO，边CD交OB于点E，若OE＝8，则图中两块阴影部分的面积和为（　　） A．10π﹣8 B．5π﹣8 C．25π﹣64 D．50π﹣64 【思路点拨】连接OC．利用勾股定理求出EC，根据S阴＝S扇形AOB﹣S梯形AOEC，计算即可． 【解析】解：连接OC． ∵四边形OACD是平行四边形， ∴OA∥CD， ∴∠OEC+∠EOA＝180°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠OEC＝90°， ∴EC＝＝＝6， ∴S阴＝S扇形AOB﹣S梯形OECA＝﹣×（6+10）×8＝25π﹣64． 故选：C． 【点睛】本题考查扇形的面积的计算，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握割补法求阴影部分的面积． 7．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD＝BD＝4，PC＝6，那么CD的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【思路点拨】根据圆周角定理，可证∠C＝∠B，又由AD＝BD，可证∠B＝∠DAB，即得∠DAP＝∠C，可证△DAP∽△DCA，得到AD：CD＝DP：AD，代值计算即可求CD的长． 【解析】解：连接AC， 由圆周角定理知，∠C＝∠B， ∵AD＝BD ∴∠B＝∠DAB， ∴∠DAP＝∠C ∴△DAP∽△DCA， ∴AD：CD＝DP：AD， 得AD2＝DP•CD＝CD•（CD﹣PC）， 把AD＝4，PC＝6代入得，CD＝8． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 8．在平面直角坐标系中，设函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1（a是常数，a≠0）． ①无论a取何值，该函数图象必定经过两个定点． ②如果在﹣1＜x＜0时，始终有y随x的增大而减小，则﹣1≤a≤1且a≠0． 则（　　） A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 【思路点拨】①把二次函数关系式y＝ax2+（a﹣1）x﹣1化为y＝ax2+（a﹣1）x﹣1＝ax（x+1）﹣（x+1）＝（x+1）（ax﹣1），可以判断两个定点； ②分两种情况讨论，顶点关于a的不等式，解不等式即可求得． 【解析】解：①∵y＝ax2+（a﹣1）x﹣1＝ax（x+1）﹣（x+1）＝（x+1）（ax﹣1），当x＝﹣1时，y＝0，当x＝0时，y＝﹣1，∴无论a取何值，该函数图象必过两定点（﹣1，0），（0，﹣1），故①正确； ②函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1（a是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣＝﹣+， 当a＞0时，如果在﹣1＜x＜0时，始终有y随x的增大而减小， 则﹣+≥0，解得a≤1， ∴0＜a≤1， 当a＜0时，如果在﹣1＜x＜0时，始终有y随x的增大而减小， 则﹣+≤﹣1，解得a≥﹣1， ∴﹣1≤a＜0， 综上，如果在﹣1＜x＜0时，始终有y随x的增大而减小，则﹣1≤a≤1且a≠0，故②正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键． 9．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，记S△ADE＝S1，S△CEF＝S2，S四边形BDEF＝S3，则下列关于S1，S2，S3的关系式正确的是（　　） A．S3＝S1+S2 B．S3＝2 C．S3＝ D．＝+ 【思路点拨】设AD＝a，BD＝b，DB与EF间的距离为h，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出S1，S2，S3的关系． 【解析】解：设AD＝a，BD＝b，DB与EF间的距离为h， ∵EF∥AB，DE∥BC， ∴四边形DBFE是平行四边形， ∴BD＝EF＝b， ∵DE∥BC，EF∥AB， ∴∠AED＝∠ACB，∠DAF＝∠FEC， ∴△ADE∽△EFC， ∴＝＝（）2＝， ∵S1＝ah， ∴S2＝， ∴S1S2＝， ∴bh＝2， ∵S3＝bh， ∴S3＝2． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方． 10．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形菜园的边AB的长为xm，面积为Sm2，其中AD≥AB．有下列结论： ①S与x之间的函数关系为S＝﹣2x2+30x； ②x的取值范围为2≤x≤10； ③AB的长只有一个值满足该矩形菜园的面积为100m2； ④矩形菜园ABCD的面积的最大值为． 其中，正确结论是（　　） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【思路点拨】表示出面积化简可以判断①；根据墙长为18m，AD≥AB，列不等式组，解不等式组即可求出自变量x的取值范围，从而可判断②；根据矩形的面积＝100列出方程，解方程求x的值，可以判断③；根据二次函数的性质和自变量的取值范围可以判断④． 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴S＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x，故①符合题意； 设这个菜园垂直于墙的一边AB的长为x m．则BC的长为（30﹣2x）m， ∵墙长为18m，AD≥AB， ∴， 解得， ∴x的取值范围为6≤x≤10，故②不符合题意； 当y＝100时，即x（30﹣2x）＝100， 解得x1＝5，x2＝10， ∵6≤x≤10， ∴x＝10， ∴AB的长有1个值满足该矩形菜园的面积为100m2，故③符合题意； ∵S＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣）2+， ∵﹣2＜0，且6≤x≤10， ∴当x＝时，S有最大值，即矩形菜园ABCD的面积的最大值为，故④符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用，熟练掌握最值问题的求法是解答本题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．若正多边形的一个内角等于150°，则这个正多边形的边数是 　12　． 【思路点拨】首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数． 【解析】解：∵正多边形的一个内角等于150°， ∴它的外角是：180°﹣150°＝30°， ∴它的边数是：360°÷30°＝12． 故答案为：12． 【点睛】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数． 12．已知扇形的面积为24πcm2，圆心角为216°，则该扇形的弧长是 　cm　． 【思路点拨】设扇形的半径是r cm，根据扇形的面积公式得出＝24π，求出半径，再根据弧长公式求出弧长即可． 【解析】解：设扇形的半径是r cm， ∵扇形的面积为24πcm2，圆心角为216°， ∴＝24π， 解得：r＝2（负数舍去）， 所以扇形的弧长为＝（cm）， 故答案为：cm． 【点睛】本题考查了扇形的面积计算和弧长公式，能熟记扇形的面积公式和弧长公式是解此题的关键． 13．设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），如表列出了x、y的部分对应值． x … ﹣5 ﹣3 1 2 3 … y … ﹣2.79 m ﹣2.79 0 n … 则不等式ax2+bx+c＜0的解集是 　﹣6＜x＜2　，方程ax2+bx+c＝m的解是 　x＝﹣3或x＝﹣1　． 【思路点拨】抛物线经过点（﹣5，﹣2.79），（1，﹣2.79）可知对称轴为直线x＝﹣2，然后利用二次函数的性质可判断不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣6＜x＜2，方程ax2+bx+c＝m的解是x＝﹣3或x＝﹣1． 【解析】解：∵抛物线经过点（﹣5，﹣2.79），（1，﹣2.79）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣2， ∴点（2，0）关于直线x＝﹣2的对称点是（﹣6，0），点（﹣3，m）关于直线x＝﹣2的对称点是（﹣1，m）， ∵抛物线开口向上， ∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣6＜x＜2，方程ax2+bx+c＝m的解是x＝﹣3或x＝﹣1， 故答案为：﹣6＜x＜2，x＝﹣3或x＝﹣1． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组），观察表格得出正确信息，以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 14．如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内原有液体的最大深度CD＝4cm．部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为2cm，则截面圆中弦AB的长减少了 　（4﹣8）　cm（结果保留根号）． 【思路点拨】由垂径定理和勾股定理分别求出AB和A'B'的长，即可得出答案． 【解析】解：设A'B'交OD于E， 由题意得：OA＝OA'＝OD＝5cm，OD⊥AB，OD⊥A'B'， ∴AC＝BC，A'E＝B'E， ∵CD＝4cm， ∴OC＝OD﹣CD＝1（cm）， ∴AC＝＝＝2（cm）， ∴AB＝2AC＝4（cm）， ∵DE＝2cm， ∴OE＝OD﹣DE＝3（cm）， ∴A'D＝＝＝4（cm）， ∴A'B'＝2A'D＝8（cm）， ∴AB﹣A'B'＝（4﹣8）cm， 即截面圆中弦AB的长减少了（4﹣8）cm， 故答案为：（4﹣8）． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AD于点E．若AB＝5，AC＝7，则＝　　，＝　6　． 【思路点拨】过C作CF∥AB交AD的延长线于F，得到∠BAD＝∠F，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，求得AC＝CF＝7，根据相似三角形的性质得到＝＝；延长BE交AC于H，根据全等三角形的性质得到AB＝AH＝5，求得CH＝2，过H作HG∥AD交BC于G，得到BD＝DG，求得DE＝HG，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解析】解：过C作CF∥AB交AD的延长线于F， ∴∠BAD＝∠F， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠F， ∴AC＝CF＝7， ∵AB∥CF， ∴△ABD∽△FCD， ∴＝＝； 延长BE交AC于H， ∵AE⊥BE， ∴∠AEB＝∠AEH＝90°， ∵AE＝AE， ∴△ABE≌△AHE（ASA）， ∴AB＝AH＝5， ∴CH＝2， 过H作HG∥AD交BC于G， ∴BD＝DG， ∴DE＝HG， ∵HG∥AD， ∴△CHG∽△CAD， ∴＝＝， ∴AD＝HG， ∴AE＝AD﹣DE＝3HG， ∴＝＝6， 故答案为：，6． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． 16．如图，AB是半圆的直径，BC是半圆的弦，沿弦BC折叠交直径AB于点D． （1）当AD＝BD＝5时，则BC的长为 　5　； （2）当AD＝4，BD＝6时，则BC的长为 　4　． 【思路点拨】（1）连接CA、CD，由圆周角定理得＝，则AC＝CD，∠ACB＝90°，再由直角三角形的性质得CD＝AB＝BD＝5，则AC＝CD＝5，然后由勾股定理求解即可； （2）连接CA、CD，由圆周角定理得＝，则AC＝CD，过点C作CE⊥AB于E，则AE＝ED＝2，再证△ACE∽△CBE，求出CE2＝AE•BE＝16，然后由勾股定理即可得出答案． 【解析】解：（1）连接CA、CD，如图1所示： 根据折叠的性质，弧CD所对的圆周角是∠CBD， ∵∠CBA＝∠CBD， ∴＝， ∴AC＝CD， ∵AB是半圆的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AD＝BD＝5， ∴AB＝AD+BD＝10，CD＝AB＝BD＝5， ∴AC＝CD＝5， ∴BC＝＝＝5， 故答案为：5； （2）连接CA、CD，如图2所示： 根据折叠的性质，弧CD所对的圆周角是∠CBD， ∵∠CBA＝∠CBD， ∴＝， ∴AC＝CD， 过点C作CE⊥AB于E， 则AE＝ED＝AD＝×4＝2， ∴BE＝BD+DE＝6+2＝8， ∵AB是半圆的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵CE⊥AB， ∴∠ACB＝∠AEC＝90°， ∴∠A+∠ACE＝∠ACE+∠BCE＝90°， ∴∠A＝∠BCE， ∴△ACE∽△CBE， ∴＝， 即CE2＝AE•BE＝2×8＝16， 在Rt△BCE中，BC＝＝＝4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了圆周角定理，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，圆心角、弧、弦的关系、勾股定理等知识，正确找出辅助线，证明AC＝CD是解题的关键． 三．解答题（共8小题，共66分） 17．计算： （1）已知＝，求的值． （2）tan60°+cos245°﹣sin230°． 【思路点拨】（1）利用比例的性质计算； （2）利用特殊角的三角函数值计算． 【解析】解：（1）∵＝， ∴4y﹣2x＝3y， ∴y＝2x， ∴＝， ∴的值为； （2）tan60°+cos245°﹣sin230°． ＝+（）2﹣（）2 ＝+﹣ ＝+． 【点睛】本题考查了比例的性质和特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握比例的性质和特殊角的三角函数值． 18．如图，抛物线y1＝ax2﹣2x+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）过点A的直线y2＝mx+n与抛物线在第一象限交于点D，若点D的纵坐标为5，请直接写出当y2＜y1时，x的取值范围是 　x＞4或x＜﹣1　． 【思路点拨】（1）先设抛物线的交点式，再列方程求解； （2）先求出D的坐标，再根据图象求解． 【解析】解：（1）由题意设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a， ∴ax2﹣2x+c＝ax2﹣2ax﹣3a， ∴a＝1，c＝﹣3， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）当y＝5时，x2﹣2x﹣3＝5，解得：x＝﹣2或x＝4， ∵D在第一象限， ∴D（4，5）， 由图象得：当x＞4或x＜﹣1时，y2＜y1， 故答案为：x＞4或x＜﹣1． 【点睛】本题考查了二次函数和不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． 19．2022年10月份，北仑疫情来势汹汹，全区上下团结一心，共度难关，涌现了一批”抗疫”英雄．现有三位“抗疫”英雄（依次标记为A，B，C），为了让同学们了解他们的英雄事迹，张老师设计了如下活动：取三张完全相同的卡片，分别在正面写上A，B，C三个标号，然后背面朝上放置，搅匀后请一位同学从中随机抽取一张，记下标号后放回，要求大家依据抽到标号所对应的人物查找相应“抗疫”英雄资料． （1）求班长在这三种卡片中随机抽到标号为B的概率． （2）用树状图或列表法求小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率． 【思路点拨】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【解析】解：（1）∵共有三张卡片，分别是A，B，C三个标号， ∴班长在这三种卡片中随机抽到标号为C的概率为； （2）画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的结果有6种， ∴小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率为＝． 【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 20．如图，在▱ABCD中，E是CD延长线上一点，BE与AD交于点F． （1）求证：△ABF∽△CEB． （2）设△DEF和▱ABCD的面积分别为S1，S2，若，求的值． 【思路点拨】（1）根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，AB∥CD，再根据平行线的性质得到∠ABF＝∠E，然后根据相似三角形的判定方法可得到结论； （2）由相似三角形的性质求出三角形DEF与三角形CEB的比值及三角形DEF与三角形ABF的比值，则可求出答案． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠A＝∠C，AB∥CD， ∴AB∥CE， ∴∠ABF＝∠E， ∴△ABF∽△CEB； （2）解：∵， ∴， ∵DF∥BC， ∴△DEF∽△CEB， ∴＝， 同理可得， 设S△DEF＝4x，则S△ABF＝9x，S四边形BCDF＝21x， ∴S平行四边形ABCD＝9x+21x＝30x， ∴＝． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质以及相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解决本题的关键． 21．某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，河旁有一座小山，山高BC＝80m，点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．若在此处建桥，求河宽EF的长．（结果精确到1m） [参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60] 【思路点拨】根据等腰三角形的性质可得CE＝BC＝80m．在Rt△BCF中，由三角函数的定义求出CF的长，根据线段的和差即可求出EF的长度． 【解析】解：在Rt△BCE中，BC＝80m，∠BEC＝∠DBE＝45°， ∴∠CBE＝45°， ∴∠BEC＝∠CBE＝45°， ∴CE＝BC＝80m． 在Rt△BCF中，BC＝80m，∠BFC＝∠DBF＝31°，tan∠BFC＝， ∴． ∴CF≈133.3． ∴EF＝CF﹣CE＝133.3﹣80＝53.3≈53（m）． 答：河宽EF的长约为53m． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键． 22．[基础巩固] （1）如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ADB＝∠DCB，求证：BD2＝BA•BC； [尝试应用] （2）如图2，四边形ABCD为平行四边形，F在AD边上，AB＝AF，点E在BA延长线上，连接EF、BF、CF，若∠EFB＝∠DFC，BE＝4，BF＝5，求AD的长； [拓展提高] （3）如图3，在△ABC中，D是BC上一点，连接AD，点E、F分别在AD、AC上，连接BE、CE、EF，若DE＝DC，∠BEC＝∠AEF，BE＝18，EF＝7，；求的值． 【思路点拨】（1）证明△ABD∽△DBC即可． （2）证明△EBF∽△FBC即可． （3）过点C作CM∥AD，交EF的延长线于点M，证明△BCE∽△ECM，再利用CM∥AD，得到． 【解析】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∵∠ADB＝∠DCB， ∴△ABD∽△DBC， ∴， ∴BD2＝BA•BC． （2）解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠AFB＝∠FBC，∠DFC＝∠FCB， ∵AB＝AF， ∴∠AFB＝∠ABF， ∴∠ABF＝∠FBC， ∵∠EFB＝∠DFC， ∴∠EFB＝∠FCB， ∴△EBF∽△FBC， ∴， ∵BE＝4，BF＝5， ∴， 解得， ∴． （3）解：过点C作CM∥AD，交EF的延长线于点M， ∴∠EMC＝∠AEF，∠ECM＝∠DEC， ∵∠BEC＝∠AEF， ∴∠BEC＝∠EMC； ∵DE＝DC， ∴∠DCE＝∠DEC， ∴∠BCE＝∠ECM， ∴△BCE∽△ECM， ∴， ∵BE＝18，EF＝7， ∴，FM＝EM﹣EF＝12﹣7＝5， ∵CM∥AD， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 23．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+2（a，b是常数，a≠0）． （1）若a＝1，当x＝﹣1时，y＝4，求y的函数表达式． （2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点，并求此函数的顶点坐标． （3）已知，二次函数y＝ax2+bx+2的图象和直线y＝ax+4b都经过点（2，m），求证：a2+b2≥． 【思路点拨】（1）把a＝1代入二次函数的关系式，再把x＝﹣1，y＝4代入求出b的值，进而确定二次函数的关系式； （2）令y＝0，则ax2+bx+2＝0，当Δ＝0时，求得b2＝8a，据此写出一组a，b的值，化成顶点式即可求得顶点坐标； （3）根据题意得到4a+2b+2＝2a+4b，整理得b＝a+1，则a2+b2＝2a2+2a+1＝2（a+）2+，根据二次函数的性质即可得到a2+b2≥． 【解析】（1）解：把a＝1代入得，y＝x2+bx+2， ∵当x＝﹣1时，y＝4， ∴4＝1﹣b+2， ∴b＝﹣1， ∴二次函数的关系式为y＝x2﹣x+2； （2）解：令y＝0，则ax2+bx+2＝0， 当Δ＝0时，则b2﹣8a＝0， ∴b2＝8a， ∴若a＝2，b＝4时，函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点， ∴此时函数为y＝2x2+4x+2＝2（x+1）2， ∴此函数的顶点坐标为（﹣1，0）； （3）证明：∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象和直线y＝ax+4b都经过点（2，m）， ∴4a+2b+2＝2a+4b， ∴2a+2＝2b， ∴b＝a+1， ∴a2+b2 ＝a2+（a+1）2 ＝2a2+2a+1 ＝2（a+）2+， ∴a2+b2≥． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键：（1）熟知待定系数法；（2）求得b＝a+1；（3）熟知二次函数的性质． 24．如图，AB为⊙O的弦，P是劣弧上的动点，PO交AB于点C，交⊙O于点D，作PE⊥AB，分别交AB、OA于点E、F，交⊙O于点G，连结AG，GD，DB，CF． （1）求证：AG＝BD； （2）当∠OAB＝∠AOC＝30°时，求∠GDB的大小； （3）当CF∥OB时，①求证：DP平分∠GDB； ②若AG＝4，tan∠GPD＝，求⊙O的面积． 【思路点拨】（1）根据圆周角定理及平行线的判定定理推出AB∥GD，根据圆的有关性质即可得解； （2）根据三角形外角性质、平行线的性质得出∠GDP＝∠BCO＝60°，根据三角形内角和定理及直角三角形的性质得出∠ODB＝∠OBD＝45°，根据角的和差求解即可； （3）①连接AP，根据平行线的性质得出∠ACF＝∠OBA，结合等腰三角形的性质推出AF＝CF，根据等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定推出AP＝CP，则∠PAC＝∠PCA，根据圆周角定理、平行线的性质、角平分线的定义即可得解； ②连接BP，根据圆周角定理得出∠PGD＝∠PBD＝90°，利用AAS证明△PGD≌△PBD，根据全等三角形的性质得出DG＝BD，结合（1）得到DG＝4，解直角三角形得出PG＝6，PD＝2，进而得到⊙O的半径，根据圆的面积公式求解即可． 【解析】（1）证明：∵PD是OO的直径， ∴∠PGD＝90°， ∴PG⊥DG， ∵PG⊥AB， ∴AB∥GD， ∴＝， ∴AG＝BD； （2）解：∵∠OAB＝∠AOC＝30°， ∴∠BCO＝∠OAB+∠AOC＝30°+30°＝60°， ∵AB∥GD， ∴∠GDP＝∠BCO＝60°， ∵OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAB＝30°， ∴∠OBA+∠BCO＝30°+60°＝90°， ∴∠BOC＝90°， ∴∠BOD＝90°， ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠OBD＝×（180°﹣90°）＝45°， ∴∠GDP+∠ODB＝60°+45°＝105°， 即∠GDB＝105°； （3）①证明：如图，连接AP， ∵CF∥OB， ∴∠ACF＝∠OBA， ∵∠OBA＝∠OAB， ∴∠ACF＝∠OAB， ∴AF＝CF， ∵PE⊥AB， ∴AE＝CE， ∴AP＝CP， ∴∠PAC＝∠PCA， ∵AB∥GD， ∴∠PCA＝∠GDP， ∵∠PAC＝∠BDP， ∴∠GDP＝∠BDP， ∴DP平分∠GDB； ②解：如图，连接BP， ∵PD是⊙O的直径， ∴∠PGD＝∠PBD＝90°， 在△PGD和△PBD中， ， ∴△PGD≌△PBD（AAS）， ∴DG＝BD， ∵AG＝BD，AG＝4， ∴DG＝4， ∵∠PGD＝90°，tan∠GPD＝， ∴＝， ∴PG＝6， ∴PD＝＝2， ∴⊙O的半径， ∴⊙O的面积＝π•＝13π． 【点睛】此题是圆的综合题，考查了圆周角定理、圆的有关性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、圆的面积公式等知识，熟练掌握圆周角定理、圆的有关性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、圆的面积公式等知识并作出合理的辅助线是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学上册期末模拟试卷（4） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线y＝﹣x2+3的顶点坐标是（　　） A．（0，3） B．（0，﹣3） C．（3，0） D．（﹣3，0） 2．已知点A是⊙O外一点，且⊙O的半径为3，则OA可能为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC＝150°，则∠ABC的度数（　　） A．30° B．150° C．105° D．110° 4．如图为固定电线杆AC，在离地面高度为7米的A处引拉线AB，使拉线AB与地面BC的夹角为α，则拉线AB的长为（　　） A．7sinα米 B．7cosα米 C．7tanα米 D．米 5．在同一平面直角坐标系中，直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．如图，扇形AOB圆心角为直角，OA＝10，点C在上，以OA，CA为邻边构造▱ACDO，边CD交OB于点E，若OE＝8，则图中两块阴影部分的面积和为（　　） A．10π﹣8 B．5π﹣8 C．25π﹣64 D．50π﹣64 7．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD＝BD＝4，PC＝6，那么CD的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 8．在平面直角坐标系中，设函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1（a是常数，a≠0）． ①无论a取何值，该函数图象必定经过两个定点． ②如果在﹣1＜x＜0时，始终有y随x的增大而减小，则﹣1≤a≤1且a≠0． 则（　　） A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 9．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，记S△ADE＝S1，S△CEF＝S2，S四边形BDEF＝S3，则下列关于S1，S2，S3的关系式正确的是（　　） A．S3＝S1+S2 B．S3＝2 C．S3＝ D．＝+ 10．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形菜园的边AB的长为xm，面积为Sm2，其中AD≥AB．有下列结论： ①S与x之间的函数关系为S＝﹣2x2+30x； ②x的取值范围为2≤x≤10； ③AB的长只有一个值满足该矩形菜园的面积为100m2； ④矩形菜园ABCD的面积的最大值为． 其中，正确结论是（　　） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．若正多边形的一个内角等于150°，则这个正多边形的边数是 　 　． 12．已知扇形的面积为24πcm2，圆心角为216°，则该扇形的弧长是 　 　． 13．设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），如表列出了x、y的部分对应值． x … ﹣5 ﹣3 1 2 3 … y … ﹣2.79 m ﹣2.79 0 n … 则不等式ax2+bx+c＜0的解集是 　 　，方程ax2+bx+c＝m的解是 　 　． 14．如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内原有液体的最大深度CD＝4cm．部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为2cm，则截面圆中弦AB的长减少了 　 　cm（结果保留根号）． 15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AD于点E．若AB＝5，AC＝7，则＝　 　，＝　 　． 16．如图，AB是半圆的直径，BC是半圆的弦，沿弦BC折叠交直径AB于点D． （1）当AD＝BD＝5时，则BC的长为 　 　； （2）当AD＝4，BD＝6时，则BC的长为 　 　． 三．解答题（共8小题，共66分） 17．计算： （1）已知＝，求的值． （2）tan60°+cos245°﹣sin230°． 18．如图，抛物线y1＝ax2﹣2x+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）过点A的直线y2＝mx+n与抛物线在第一象限交于点D，若点D的纵坐标为5，请直接写出当y2＜y1时，x的取值范围是 　 　． 19．2022年10月份，北仑疫情来势汹汹，全区上下团结一心，共度难关，涌现了一批”抗疫”英雄．现有三位“抗疫”英雄（依次标记为A，B，C），为了让同学们了解他们的英雄事迹，张老师设计了如下活动：取三张完全相同的卡片，分别在正面写上A，B，C三个标号，然后背面朝上放置，搅匀后请一位同学从中随机抽取一张，记下标号后放回，要求大家依据抽到标号所对应的人物查找相应“抗疫”英雄资料． （1）求班长在这三种卡片中随机抽到标号为B的概率． （2）用树状图或列表法求小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率． 20．如图，在▱ABCD中，E是CD延长线上一点，BE与AD交于点F． （1）求证：△ABF∽△CEB． （2）设△DEF和▱ABCD的面积分别为S1，S2，若，求的值． 21．某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，河旁有一座小山，山高BC＝80m，点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．若在此处建桥，求河宽EF的长．（结果精确到1m） [参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60] 22．[基础巩固] （1）如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ADB＝∠DCB，求证：BD2＝BA•BC； [尝试应用] （2）如图2，四边形ABCD为平行四边形，F在AD边上，AB＝AF，点E在BA延长线上，连接EF、BF、CF，若∠EFB＝∠DFC，BE＝4，BF＝5，求AD的长； [拓展提高] （3）如图3，在△ABC中，D是BC上一点，连接AD，点E、F分别在AD、AC上，连接BE、CE、EF，若DE＝DC，∠BEC＝∠AEF，BE＝18，EF＝7，；求的值． 23．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+2（a，b是常数，a≠0）． （1）若a＝1，当x＝﹣1时，y＝4，求y的函数表达式． （2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点，并求此函数的顶点坐标． （3）已知，二次函数y＝ax2+bx+2的图象和直线y＝ax+4b都经过点（2，m），求证：a2+b2≥． 24．如图，AB为⊙O的弦，P是劣弧上的动点，PO交AB于点C，交⊙O于点D，作PE⊥AB，分别交AB、OA于点E、F，交⊙O于点G，连结AG，GD，DB，CF． （1）求证：AG＝BD； （2）当∠OAB＝∠AOC＝30°时，求∠GDB的大小； （3）当CF∥OB时，①求证：DP平分∠GDB； ②若AG＝4，tan∠GPD＝，求⊙O的面积． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$