专题6.2 平面向量的数量积运算（特色专题卷）-2024-2025学年高一数学特色专题卷（人教A版2019必修第二册）

专题6.2平面向量的数量积运算 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高一上·河北沧州·期末）下列命题正确的是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的数量积运算，逐一判断即可得出结果. 【详解】A.当时，可得，故A不正确； B. 是与方向相同的向量，是与方向相同的向量，故B不正确； C. 向量数量积的分配律，故C正确； D. ，当与的夹角、与的夹角不同时不成立，故D不正确. 故选：C 2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知向量是单位向量，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据垂直关系可得，再根据模长关系运算求解. 【详解】因为单位向量，所以， 又因为， 所以， 则， 所以. 故选：C. 3．（2024·全国·高考真题）设向量满足，，则 A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【详解】试题分析：因为，所以………………①，又，所以…………②，①-②得，所以，故选A． 考点：1．向量模的定义及运算；2．向量的数量积． 4．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）在平行四边形中，点是的中点，点分别满足，设，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出，利用，结合数量积为零得出结论. 【详解】， 由，得 ，得，即得，则C选项正确. 故选：C 5．（24-25高一下·福建厦门·阶段练习）已知，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】将两边平方，求出的值，利用向量夹角公式，即可求得答案. 【详解】由于，故， 即，则， 故， 故选：A. 6．（2024·四川成都·三模）在中，“是钝角”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先将等价变形为，两边平方后得，且三点不共线，即可做出判断. 【详解】“”等价于“”， 所以， 从而， 在中，显然三点不共线，即两个向量不能方向相反，则是钝角，则必要性成立， 若是钝角，则，则，则充分性成立， 则“是钝角”是“”的充要条件. 故选：C． 7．（24-25高一下·北京·阶段练习）已知同一平面内的三个非零向量，，，下列命题正确的是（    ） A．若，则，的夹角是锐角 B．若，则 C．若，则存在实数，使得 D．若，则 【答案】C 【分析】对于A,根据数量积的定义即可判断；对于B，举反例即可说明；对于C，根据数量积的含义结合向量的数乘可进行判断；对于D，将等式两边平方，可得 ，进行判断. 【详解】对于A, 时，则的夹角为锐角或同向，故A错误； 对于B，当时，成立，但不一定有，故B错误； 对于C，设，，则，当时，， 令，则，当时，则，所以,又三个向量是共面向量， 所以,存在实数,使得 故C正确； 对于D，将两边平方得，，不一定有，D错误， 故选：C 8．（24-25高三上·河南·阶段练习）如图，点在的内部，，是边，的中点(，，三点不共线)，，，则向量与的夹角大小为（    ） A．105° B．120° C．135° D．150° 【答案】B 【分析】由，是边，的中点，得，由可得答案. 【详解】连接，如下图所示. 因为，是边，的中点，所以，且，所以，所以 ，解得.又因为， 所以.则向量与的夹角大小为120°， 故选：B. 【点睛】本题考查向量的线性运算，数量积. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（23-24高一下·山东济南·期末）（多选）关于平面向量，下列说法中错误的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】ACD 【分析】A.由向量判断；B.由向量的运算律判断；C.由数量积的运算律判断；D.由向量共线判断. 【详解】A.若向量，则不一定平行，故错误； B.根据向量的运算律可知，B正确； C. ，且，所以或，故错误； D.表示与向量共线的向量，表示与向量共线的向量，与不一定相等，故错误. 故选：ACD 10．（24-25高一下·辽宁大连·阶段练习）已知向量，满足，，则与的夹角可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】通过平方的方法化简已知条件，根据向量夹角、基本不等式等知识确定正确答案. 【详解】由两边平方得①， 由两边平方得②， ①+②得， ①-②得. ， 而，所以， 所以ABD选项符合，C选项不符合. 故选：ABD 11．（2025·辽宁·模拟预测）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC、BD均过点P，则下列说法正确的是（    ） A．为定值 B．的取值范围是 C．当时，为定值 D．的最大值为12 【答案】AC 【分析】根据题设中的圆幂定理可判断AC的正误，取的中点为，连接，利用向量的线性运算可判断B的正误，根据直径的大小可判断D的正误. 【详解】 如图，设直线与圆于，. 则, 故A正确. 取的中点为，连接，则 ， 而，故的取值范围是，故B错误. 当时， ，故C正确. 因为，故，故D错误. 故选：AC 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高三上·浙江宁波·阶段练习）已知且与垂直，则实数的值为 ． 【答案】. 【详解】试题分析： ，所以，解得 考点：向量的数量积． 13．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）已知，，，则与的夹角为 . 【答案】 【分析】根据平面向量数量积的运算律运算可求得结果. 【详解】由得， 所以， 所以， 因为，所以，即与的夹角为. 故答案为： 14．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）为边长为的正八边形内部及边界上的一点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】先求出在方向上的投影的最大值，再由数量积的定义求出的最大值即可. 【详解】如图，作的延长线于M，的延长线于N， 根据正八边形的特征，可知， 于是在方向上的投影的最大值为， 结合向量数量积的定义可知，等于的模与在方向上的投影的乘积， 又，∴的最大值为. 故答案为：. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高三上·贵州铜仁·阶段练习）已知. (1)若，夹角为，求 ； (2)若与垂直，求，的夹角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量数量积的定义求解，在根据数量积的性质求解即可； （2）由与垂直，可得，利用夹角余弦值与数量积的关系求解，的夹角即可. 【详解】（1）解：已知，，夹角为，则 ； （2）解： ， ，又 所以，即，的夹角为. 16．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知，，. (1)求的值； (2)当为何值时，与垂直？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合条件，按照数量积的运算律计算可得结果； （2）利用第（1）问的结论，根据向量垂直的数量积关系计算可求出的值. 【详解】（1）因为，，， 所以，则. （2）若与垂直，则， 从而，解得：. 17．（24-25高一下·河南开封·期末）已知矩形中，，，，. (1)若，求、； (2)求与夹角的余弦值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用平面向量加法的平行四边形法则可求得、的值； （2）计算出、、的值，利用平面向量的数量积可求得与夹角的余弦值. 【详解】（1）解：在矩形中，，且， ，故，. （2）解：由勾股定理可得，，且， ， 所以，. 因此，与夹角的余弦值为. 18．（24-25高二上·吉林白城·阶段练习）已知，，且与夹角为， 求：（1）； （2）； （3）与的夹角. 【答案】（1）12；（2）；（3）. 【解析】（1）先计算，再把展开，代入已知计算可得答案； （2）先对进行平方运算，再开方可得答案； （3）先对进行平方运算，再开方求其模长，再计算，最后代入夹角公式可得答案. 【详解】（1） 所以； （2）因为， 所以； （3）因为， 所以，又， 所以， 所以与的夹角为. 【点睛】本题考查了向量的数量积、模长的计算，考查了向量的夹角公式，属于基础题. 19．（24-25高一下·浙江台州·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点．设向量，． (1)求的值； (2)用，表示； (3)求 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量的模长公式和数量积运算进行求解； （2）利用平面向量加法的平行四边形法则和数乘运算进行求解； （3）先利用模长公式、数量积运算求出、、，再利用夹角公式进行求解. 【详解】（1）解：由题意，得 ； （2）解：因为平面向量加法的平行四边形法则， 且BD，AC相交于点O，M为BO中点， 所以 即； （3）解：由（1），得， 且， 由（2），得， 则 ， 所以. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.2平面向量的数量积运算 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高一上·河北沧州·期末）下列命题正确的是（    ） A．或 B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知向量是单位向量，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．2 3．（2024·全国·高考真题）设向量满足，，则 A．1 B．2 C．3 D．5 4．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）在平行四边形中，点是的中点，点分别满足，设，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·福建厦门·阶段练习）已知，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C．0 D．1 6．（2024·四川成都·三模）在中，“是钝角”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（24-25高一下·北京·阶段练习）已知同一平面内的三个非零向量，，，下列命题正确的是（    ） A．若，则，的夹角是锐角 B．若，则 C．若，则存在实数，使得 D．若，则 8．（24-25高三上·河南·阶段练习）如图，点在的内部，，是边，的中点(，，三点不共线)，，，则向量与的夹角大小为（    ） A．105° B．120° C．135° D．150° 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（23-24高一下·山东济南·期末）（多选）关于平面向量，下列说法中错误的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 10．（24-25高一下·辽宁大连·阶段练习）已知向量，满足，，则与的夹角可以为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·辽宁·模拟预测）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC、BD均过点P，则下列说法正确的是（    ） A．为定值 B．的取值范围是 C．当时，为定值 D．的最大值为12 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高三上·浙江宁波·阶段练习）已知且与垂直，则实数的值为 ． 13．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）已知，，，则与的夹角为 . 14．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）为边长为的正八边形内部及边界上的一点，则的最大值为 ． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高三上·贵州铜仁·阶段练习）已知. (1)若，夹角为，求 ； (2)若与垂直，求，的夹角. 16．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知，，. (1)求的值； (2)当为何值时，与垂直？ 17．（24-25高一下·河南开封·期末）已知矩形中，，，，. (1)若，求、； (2)求与夹角的余弦值． 18．（24-25高二上·吉林白城·阶段练习）已知，，且与夹角为， 求：（1）； （2）； （3）与的夹角. 19．（24-25高一下·浙江台州·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点．设向量，． (1)求的值； (2)用，表示； (3)求 的值． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$