专题6.2 平面向量的线性运算（4类必考点）-2024-2025学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第二册）

专题6.2 平面向量的线性运算 【考点1：向量的加法运算】 1 【考点2：向量的减法运算】 2 【考点3：向量的数乘运算】 4 【考点4：向量的共线定理与三点共线问题】 5 【考点1：向量的加法运算】 【知识点：向量的加法运算】 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 交换律：＋＝＋；结合律：(＋)＋＝＋(＋) [方法技巧] 1．平面向量的线性运算技巧 (1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解． (2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解． 2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置． (2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较、观察可知所求．　　 1．（23-24高二下·云南·期末）（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河南郑州·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）在平面四边形中，E，F分别为AD，BC的中点，则下列向量与不相等的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山东潍坊·开学考试）化简： ． 5．（2024高三·全国·专题练习）已知单位向量，…，，则的最大值是 ，最小值是 ． 6．（24-25高一下·全国·课堂例题）设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 【考点2：向量的减法运算】 【知识点：向量的减法运算】 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 减法 求与的相反向量－的和的运算 －＝＋(－) 1．（2024高二下·黑龙江·学业考试）在中，（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二上·北京·学业考试）如图，四边形是正方形，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）化简所得的向量是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知，点为边上一点，且满足，则向量（    ） A． B． C． D． 5．（2024高三·全国·专题练习）已知O为△ABC的重心，记，，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·全国·单元测试）化简下列各式： (1)； (2)． (3)． 【考点3：向量的数乘运算】 【知识点：向量的数乘运算】 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 数乘 求实数λ与向量的积的运算 |λ|＝|λ|||，当λ＞0时，λ与的方向相同；当λ＜0时，λ与的方向相反；当λ＝0时，λ＝0 λ(μ)＝(λ μ) ； (λ＋μ) ＝λ＋μ； λ(＋)＝λ＋λ 1．（2024高二上·黑龙江·学业考试）已知向量，化简（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）在中，点为边的中点，点在上，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）如图，在四边形中，，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知E为所在平面内的点，且.若，则（    ） A． B．3 C． D． 5．（2024高三·全国·专题练习）在矩形中，已知，，为的中点，且，则 ． 6．（24-25高一下·辽宁抚顺·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 【考点4：向量的共线定理与三点共线问题】 【知识点：平面向量的共线定理与三点共线问题】 向量与 (≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得＝λ. 【求解向量共线问题的注意事项】 (1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线． (3)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线⇔＝(1－t)·＋t (O为平面内任一点，t∈R)． [方法技巧]　　　 平面向量共线定理的三个应用 证明向量共线 对于非零向量，，若存在实数λ，使＝λ，则与共线 证明三点共线 若存在实数λ，使＝λ，与有公共点A，则A，B，C三点共线 求参数的值 利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值 [提醒]　证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点． 1．（24-25高三上·山东·期中）已知向量，不共线，，，若，，三点共线，则（    ） A． B．. C．1 D．2 2．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）在中，点满足，直线与交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）在中，点为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知、是两个不平行的向量，向量，，， (1)求证：； (2)判断三点的位置关系. 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.2 平面向量的线性运算 【考点1：向量的加法运算】 1 【考点2：向量的减法运算】 4 【考点3：向量的数乘运算】 6 【考点4：向量的共线定理与三点共线问题】 9 【考点1：向量的加法运算】 【知识点：向量的加法运算】 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 交换律：＋＝＋；结合律：(＋)＋＝＋(＋) [方法技巧] 1．平面向量的线性运算技巧 (1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解． (2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解． 2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置． (2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较、观察可知所求．　　 1．（23-24高二下·云南·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加法的三角形法则可得结果. 【详解】根据向量加法的三角形法则,得到. 故选：C. 2．（23-24高一下·河南郑州·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量加法的平行四边形法则求解即得. 【详解】在中，，则. 故选：C 3．（2024高三·全国·专题练习）在平面四边形中，E，F分别为AD，BC的中点，则下列向量与不相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的加法结合图形特征计算判断各个选项即可. 【详解】 因为在平面四边形中，E，F分别为AD，BC的中点， 所以，． 因为，， 所以，所以A正确； 因为，，所以，所以B正确； 因为，， 所以，所以C正确； 因为，所以D错误. 故选:D． 4．（24-25高二上·山东潍坊·开学考试）化简： ． 【答案】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】. 故答案为： 5．（2024高三·全国·专题练习）已知单位向量，…，，则的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 【分析】当单位向量，…，方向相同时取得最大值，当单位向量，…，首尾相连时取得最小值. 【详解】当单位向量，…，方向相同时， 取得最大值， ； 当单位向量，…，首尾相连时，， 所以的最小值为. 故答案为：； 6．（24-25高一下·全国·课堂例题）设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）根据向量线性运算的法则化简求解即可. 【详解】（1）． （2）． （3）． 【考点2：向量的减法运算】 【知识点：向量的减法运算】 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 减法 求与的相反向量－的和的运算 －＝＋(－) 1．（2024高二下·黑龙江·学业考试）在中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的减法及加法的三角形法则计算可得结果. 【详解】由三角形法则计算可得. 故选：C. 2．（2024高二上·北京·学业考试）如图，四边形是正方形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的运算法则可得结果. 【详解】易知. 故选：B 3．（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）化简所得的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的加减法的几何意义可得. 【详解】. 故选：B. 4．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知，点为边上一点，且满足，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的加法和减法运算法则即可求解. 【详解】, 另解：. 故选：B 5．（2024高三·全国·专题练习）已知O为△ABC的重心，记，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为为的重心，所以，表示出，则，代入即可得出答案. 【详解】因为为的重心， 所以， 所以， 而. 故选：A. 6．（24-25高一下·全国·单元测试）化简下列各式： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）由向量的加减法运算即可得答案. 【详解】（1）． （2）. （3）. 【考点3：向量的数乘运算】 【知识点：向量的数乘运算】 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 数乘 求实数λ与向量的积的运算 |λ|＝|λ|||，当λ＞0时，λ与的方向相同；当λ＜0时，λ与的方向相反；当λ＝0时，λ＝0 λ(μ)＝(λ μ) ； (λ＋μ) ＝λ＋μ； λ(＋)＝λ＋λ 1．（2024高二上·黑龙江·学业考试）已知向量，化简（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算计算即得. 【详解】. 故选：C 2．（2024高三·全国·专题练习）在中，点为边的中点，点在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量的线性运算即可得到答案. 【详解】如图，因为点为边的中点，点在上，且， 所以，． 又，， 所以， 故选：D． 3．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）如图，在四边形中，，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得. 【详解】因为， 所以 . 故选：C. 4．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知E为所在平面内的点，且.若，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算及平面向量基本定理将用表示，求得，即可得出答案. 【详解】    因为， 则， 所以， 所以， 所以，， 故. 故选：A. 5．（2024高三·全国·专题练习）在矩形中，已知，，为的中点，且，则 ． 【答案】 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】如图，由可得， 则 ， 则，，故． 故答案为：. 6．（24-25高一下·辽宁抚顺·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）应用向量的线性运算计算即可； （2）应用向量的线性运算计算即可； （3）应用向量的线性运算计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 【考点4：向量的共线定理与三点共线问题】 【知识点：平面向量的共线定理与三点共线问题】 向量与 (≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得＝λ. 【求解向量共线问题的注意事项】 (1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线． (3)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线⇔＝(1－t)·＋t (O为平面内任一点，t∈R)． [方法技巧]　　　 平面向量共线定理的三个应用 证明向量共线 对于非零向量，，若存在实数λ，使＝λ，则与共线 证明三点共线 若存在实数λ，使＝λ，与有公共点A，则A，B，C三点共线 求参数的值 利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值 [提醒]　证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点． 1．（24-25高三上·山东·期中）已知向量，不共线，，，若，，三点共线，则（    ） A． B．. C．1 D．2 【答案】D 【分析】因为，，三点共线，则与共线，由此可以根据向量共线的性质列出等式，进而求出与的关系，最后得出的值. 【详解】由于，，三点共线，所以与共线. 存在实数，使得，即. 因为，不共线，根据向量相等的性质，若，则. 由，将其代入可得. 故选：D. 2．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）在中，点满足，直线与交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件可知，，，三点共线，，，三点共线，利用共线定理设参数将，用，表示，再根据向量相等求出参数值，从而求出的值. 【详解】 设， 则， 因为，且，共线， 所以可设，即 所以， 所以，解得，所以，即， 故选：C. 3．（2025高三·全国·专题练习）在中，点为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 【答案】D 【分析】由题意得，且，再利用基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】 由题意，在中，点为线段上任一点（不含端点）， 若，则有， 设，则， 所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为16． 故选：D． 4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据向量共线定理和基本不等式即可求解. 【详解】因为三点共线， 所以存在实数k，使，即， 又向量不共线，所以， 由，所以， 当且仅当时，取等号， 即的最小值为4. 故选：B 5．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知、是两个不平行的向量，向量，，， (1)求证：； (2)判断三点的位置关系. 【答案】(1)证明见解析； (2)三点共线 【分析】（1）求出，找到使成立的即可证明； （2）根据可知三点共线. 【详解】（1）证明：， 因此， （2）由（1）知，又有公共点C，故三点共线. 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $$