专题09 探索与表达规律（7大题型）-【寒假分层作业】2025年七年级数学寒假培优练（北师大版2024）

专题09 探索与表达规律 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（7大题型） 题型一 数列的规律问题 题型二 图表的规律 题型三 算式的规律 题型四 图形的规律（一次类） 题型五 图形的规律（二次类） 题型六 图形的规律（指数类） 题型七 循环规律类问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 数列的规律问题 ⭐技巧积累与运用 数列的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系。 这类问题通常是给出一组数，通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性结论，解决这类问题的关键是找出题目中的规律，即不变的和变化的，变化部分与序号之间的关系。找规律时主要通过作差或作商来找到其规律，当然也要注意正负号的变化，常见的规律有等差规律、等比规律、二级等差规律。 1．（24-25七年级上·江苏南通·期中）观察下面三行数： ，4，，16，，64，．．．；① 0，6，，18，，66，．．．；② ，2，，8，，32，．．．；③ 设、、分别为第①②③行的第99个数，则的值为（　　） A． B．4 C． D．2 2．（2024·海南·一模）观察下列一组数：，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是 ，第个数是 ． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：； 第2个数：； 第3个数：；…… 第个数：． 那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（   ） A．第10个数 B．第11个数 C．第12个数 D．第13个数 图表的规律 ⭐技巧积累与运用 图表的规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系。 其实整体处理方法与题型1类似。 1．（24-25七年级上·四川成都·期中）将自然数按以下数表排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 … 第一行 第二行 … 第三行 … 第四行 … 第五行 … … … 数表中数在第二行第一列，与有序数对对应，数与对应，数与对应，根据这一规律，数对应的有序数对为 ． 2．（24-25七年级上·四川南充·期中）如图，数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两平行线之间的一列数：1，3，6， 10，15，……，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第n个数记为，则第30个数的值为 （      ）    A．240 B．285 C．435 D．465 3．（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）如图1，有一种密码，把26个英文字母、、、…z（不论大小写），依次对应自然数1，2，3，4，…26，当明码对应的序号x为奇数时，密码对应的序号是，当明码对应的序号为偶数时，密码对应的序号是，如明码为“time”，密码是“wegc”．按上述规定，把明码“name”译成密码是 ． 字母： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 0 序号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 算式的规律 ⭐技巧积累与运用 算式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系. 从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中规律，进而归纳或猜想出一般结论，最后验证结论的正确性。 1．（24-25七年级上·山东青岛·期中）观察下列等式，探究规律，回答问题： … (1)填空：__________________； (2)第个等式为：_________； (3)利用上述结论计算：． 2．（24-25七年级上·北京·期中）观察下列等式：． 将以上三个等式的两边分别相加，得． (1)直接写出计算结果：______． (2)计算：（写计算过程） (3)猜想并直接写出：______．（为正整数） 3．（24-25七年级上·福建泉州·期中）观察下列各式： ， …… 回答下面的问题：(1)直接写出的值是___________； 猜想：___________． (2)根据（1）中的结论，求的值． (3)思维拓展：求的值． 图形的规律（一次类） ⭐技巧积累与运用 图形规律：观察前项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论. 这类题通常是给出一组图形的排列（或通过操作得到一系列图形），探究图形的变化规律，以图形为载体考察图形所蕴藏的数量关系。解决此问题先观察图形的变化趋势是增加还是减少，然后从第一个图进行分析，运用从特殊到一般的思想，分析增加或减少的变化规律，并用含字母的代数式进行表示。也可以转化为数式规律题来进行解答。 1．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图是一组有规律的图案，它们由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形被涂黑，依此规律，第100个图案中被涂黑的小正方形个数为（   ） A．500 B．499 C．400 D．401 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、．．．、癸烷等，烷烃中甲烷的化学式是，乙烷的化学式是，丙烷的化学式是，⋯，其分子结构模型如图所示，按照此规律，设碳原子（C）的数目为（为正整数），则它们的化学式都可以用下列哪个式子来表示（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·四川成都·期中）小明用棋子按如图所示的规律摆出图形，第n个图形需要（   ）枚棋子 A． B． C． D． 图形的规律（二次类） ⭐技巧积累与运用 图形规律：观察前项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。同题型4类似。 1．（24-25八年级上·重庆·期中）如图所示，将形状大小完全相同的梅花按以下规律进行摆放，其中第1个图形中有5朵梅花，第2个图形中有8朵梅花，第3个图形中有13朵梅花，…以此类推，则第8个图形中含有的梅花朵数是（   ） A．40 B．53 C．68 D．85 2．（24-25六年级上·山东淄博·期末）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆…按此规律排列下去，第个图形中圆的个数是 个．第个图形中圆的个数是 个． 3．（24-25七年级上·四川广安·期中）观察图形，探索规律． 图1是三条长度都为a的线段构成的小三角形；图2是4个边长都为a的小角形拼成的大三角形：图3是9个边长都为a的小三角形拼成的大三角形；图4是16个边长都为a的小三角形拼成的大三角形。按此规律排列，图n中共有长度为a的线段 条．    图形的规律（指数类） ⭐技巧积累与运用 指数类的图形规律大多通过面积与周长的运算寻找出相关变化的规律，从而解决问题。 1．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，把面积为1的正方形进行分割，观察其规律，可得算式，再加上（   ）后，结果就是． A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川成都·期中）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推，则的值为 ． 3．（2024七年级·浙江·专题练习）如图，把边长为的等边三角形每边三等分，经其向外长出一个边长为原来三分之一的小等边三角形得到图，称为一次“生长”．在得到的多边形上类似“生长”，一共“生长”次，则得到的多边形的周长是 ． 循环规律类问题 ⭐技巧积累与运用 有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。 1．（2024七年级上·山东·专题练习）如图，以为端点画六条射线后，再从射线上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…则所描的第2028个点在（    ） A．射线上 B．射线上 C．射线上 D．射线上 2．（24-25七年级上·湖北孝感·阶段练习）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为是（其中是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取，则 若，则第2024次“”运算的结果为（   ） A．23 B．37 C．74 D．92 3．（2024七年级上·重庆·专题练习）如图，将一列有理数按如下规律排列，请解答下列问题： (1)在A，B，C三个数中，其中表示负数的是_____； (2)若A，B，C，D，E均表示对应的有理数，则的值是_____； (3)数2025排列在图中吗？若在，它的位置对应A，B，C，D，E中的什么位置？并说明理由． 1．（24-25七年级上·北京·期中）“数形结合”是一种重要的数学思想，观察下面的图形和算式：    上图对应的算式为：． 用类似的方法可以计算的值为（   ） A．2401 B．2500 C．9801 D．10000 2．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）如图所示，图（1）表示1张餐桌和6张椅子（三角形表示餐桌，每个小圆表示一张椅子），图（2）表示2张餐桌和8张椅子，图（3）表示3张餐桌和10张椅子…；若按这种方式摆放28张桌子需要的椅子张数是（   ） A．25张 B．50张 C．54张 D．60张 3．（2023·云南·校考模拟预测）观察下列按一定规律排列的数：，1，9，1，，1，18，1，…，则第15个数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·山东青岛·期中）将正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，根据以上操作，若要得到2025个正方形，则需要操作的次数是（   ） A．506 B．507 C．508 D．509 5．（24-25七年级上·北京·期中）是不为的有理数，我们把称为的差倒数，例如的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，……，以此类推，则 ． 6．（24-25七年级上·北京·期中）下列每一幅图都是由单位长度均为1的小正方形（包含白色小正方形和灰色小正方形）按某种规律组成的．根据规律，第个图中小白正方形共有 个，第个图形中，白色小正方形共有 个（用含的式子表示，为正整数） 7．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）（1）观察下列点阵图，写出与第4个点阵相对应的等式； ，，，______； （2）结合（1）观察下列点阵图，写出与第5个点阵相对应的等式． ，， ， ， ______； （3）写出（2）中与第个点阵相对应的等式：______． 8．（24-25七年级上·四川眉山·期中）将正整数按照如图所示的规律排列下去，若用有序数对表示第排，从左往右数第个数，如表示整数5，则表示的数是 ． 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）用相同的小菱形按如图的方式搭图形． （1）按这种方式搭下去，搭第 6 个图形需要 个小菱形； （2）按这种方式搭下去，搭第 n 个图形需要 个小菱形（用含 n 的代数式表示，其中 n 为偶数）；第 2025 个图形需要 个小菱形． 10．（24-25七年级上·山东济南·期中）从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程叫做归纳．它是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略． 【问题】在网格中，如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这个多边形就叫做格点多边形．格点多边形的面积S与内部的格点数a和边上的格点数b（含顶点）是否存在一定的数量关系？ 【特例感知】小明利用归纳的策略完成以下探究．在正方形网格纸中（其中每一个小正方形的面积为1），绘制了以下几种简单的情形，分别为图1至图3． 以上情形的数据如下： a b S 图1 1 6 3 3 图2 6 8 4 ① 图3 6 ② 5 10 ①处应填 ，②处应填 ； 由此发现规律：格点多边形的面积 ；（用含a，b的代数式表示），老师肯定了此规律的正确性． 【问题解决】在任意格点多边形中，如果，，那么格点多边形的面积 ； 【联系拓广】如图4，在等边三角形网格纸中（其中每一个小等边三角形的面积为1），格点多边形的面积S与多边形内部的点数a和多边形边上的点数b有新的数量关系．小明按照以上的归纳策略继续探究，得到图4中阴影三角形的面积为 ． 1．（24-25七年级上·四川成都·期中）如图是用三角形摆成的图案，摆第一层图案需要1个三角形，摆第二层图案需要3个三角形，摆第三层图案需要7个三角形，摆第四层图案需要13个三角形，摆第10层图案需要 个三角形，……，摆第层图案需要 个三角形． 2．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）成都准备建立急救服务系统，各急救站之间由电话线相互联络，每个急救站必须能够同其他所有急救站进行联络，或者直接联络，或者最多通过另一个急救站来联络，每个急救站最多能够通过三条电话线．如图上表示这种网络的一个例子，它联络着七个急救站，按这种方式建立的网络系统最多能够联络______个急救站． 3．（24-25七年级上·四川成都·期中）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若，则k的值为 ；若，则k的值为 ． 4．（24-25七年级上·四川成都·期中）“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割为若干三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体和光影效果．将长方形区域分割成三角形的过程是：在长方形内取一定数量的点，连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形．若长方形内有4个点，则三角形个数为 个，若长方形内有个点，则三角形个数为 个（不计被分割的三角形）． 5．（24-25七年级上·重庆·期中）近日，国产大作《黑神话：悟空》在全球持续火爆，它巧借人工智能、大数据、云计算、物联网等现代“黑技术”推动中华优秀传统文化“转型、升级、突围”，向世界传播承载中华文化、中国精神和中国力量的作品，展现了中国文化自信．小明同学也备受鼓舞，想设计一款小游戏，他首先尝试变化贪吃蛇游戏的场景，让贪吃蛇在圆柱体的侧面上运动，同时吃掉侧面有序排列的金币．小明想算出贪吃蛇按斜线S形吃完所有金币的路径总长，于是，把圆柱的侧面展开，那么金币在侧面展开图上可以看成点，每个金币在侧面展开图上呈行、列规律排列，每行有m个金币，每列有n个金币．如图1，行上相邻两个金币的间距都为a，斜着排列的相邻两金币的间距都为b（m，n均为正整数，，其中）．图2是贪吃蛇按斜线S形运动示意图． （1）圆柱体侧面上一共有 个金币．（用含m、n的代数式表示．） （2）用代数式表示贪吃蛇按斜线S形运动的路径总长为 （用含a、b、c、m、n的代数式表示．） 6．（24-25七年级上·四川达州·期中）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：和分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即；；……；若也按照此规律来进行“分裂”，则“分裂”出的奇数中，最小的奇数是 ．由此可得，当n为正整数时，“分裂”出的奇数中，最大的奇数是 ． 7．（24-25七年级上·四川自贡·阶段练习）在数学兴趣活动中，小容为了求的值，写出下列解题过程．解：设① 两边同乘以2得：② 由得：． (1)应用结论：根据题目的结论，直接写出：_________； (2)模仿计算：请模仿题目中的算法计算：． 8．（24-25七年级上·河南周口·期中）观察式子中的规律，并回答问题． (1)观察发现①；②；③； ④；……．式子④中_____，_____； (2)规律提炼 写出第个等式（用含有字母的式子表示）； (3)问题解决 求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 探索与表达规律 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（7大题型） 题型一 数列的规律问题 题型二 图表的规律 题型三 算式的规律 题型四 图形的规律（一次类） 题型五 图形的规律（二次类） 题型六 图形的规律（指数类） 题型七 循环规律类问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 数列的规律问题 ⭐技巧积累与运用 数列的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系。 这类问题通常是给出一组数，通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性结论，解决这类问题的关键是找出题目中的规律，即不变的和变化的，变化部分与序号之间的关系。找规律时主要通过作差或作商来找到其规律，当然也要注意正负号的变化，常见的规律有等差规律、等比规律、二级等差规律。 1．（24-25七年级上·江苏南通·期中）观察下面三行数： ，4，，16，，64，．．．；① 0，6，，18，，66，．．．；② ，2，，8，，32，．．．；③ 设、、分别为第①②③行的第99个数，则的值为（　　） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查数字的变化类，根据题目中的数据，可以发现第一行数字的变化特点，从而可以写出第n个数的式子，同理可以发现第二行的数字就是第一行对应的数字加上2，第三行数字的特点就是第一行对应的数字除以2，然后即可得到每行的第99个数字，再作和即可解答本题． 【详解】解：由题目中的数据可得，第一行数据的第n个数是，第二行数据的第n个数是， 第三行数据的第n个数是，故第一行的第99个数是，第二行数据的第99个数是，第三行数据的第99个数是， ，故选A． 2．（2024·海南·一模）观察下列一组数：，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是 ，第个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，根据题目中的数字，可以发现数字的分子和分母的变化特点，从而可以写出第个数，解题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数字． 【详解】解：，，，，…，这组数为：，，，…， 这一组数的第个数是，第个数是，故答案为：，． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：； 第2个数：； 第3个数：；…… 第个数：． 那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（   ） A．第10个数 B．第11个数 C．第12个数 D．第13个数 【答案】D 【分析】本题考了有理数的混合运算、数字类规律探索、有理数的大小比较，由题意得出规律第个数为，再求出第10个数、第11个数、第12个数、第13个数，比较即可得解． 【详解】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数： ；…， ∴第个数：， ∴第10个数为、第11个数为、第12个数为、第13个数分别为； ∵，∴最大的数是第13个数，故选：D． 图表的规律 ⭐技巧积累与运用 图表的规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系。 其实整体处理方法与题型1类似。 1．（24-25七年级上·四川成都·期中）将自然数按以下数表排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 … 第一行 第二行 … 第三行 … 第四行 … 第五行 … … … 数表中数在第二行第一列，与有序数对对应，数与对应，数与对应，根据这一规律，数对应的有序数对为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，解题的关键根据表格得出数字的变化规律．由已知可得：第一列的奇数行的数的规律是：第几行就是几的平方；第一行的偶数列的规律是：第几列就是几的平方；根据，可得数在行，第列，结合，即可求解． 【详解】解：由已知可得：第一列的奇数行的数的规律是：第几行就是几的平方； 第一行的偶数列的规律是：第几列就是几的平方；，数在行，第列， ，在第行，第列， 故数对应的有序数对为，故答案为：． 2．（24-25七年级上·四川南充·期中）如图，数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两平行线之间的一列数：1，3，6， 10，15，……，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第n个数记为，则第30个数的值为 （      ）    A．240 B．285 C．435 D．465 【答案】D 【分析】此题考查了数字变化规律问题，通过归纳出第n个数记为，再进行求解即可． 【详解】解：根据题意知 ，，，， 则，，故选：D． 3．（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）如图1，有一种密码，把26个英文字母、、、…z（不论大小写），依次对应自然数1，2，3，4，…26，当明码对应的序号x为奇数时，密码对应的序号是，当明码对应的序号为偶数时，密码对应的序号是，如明码为“time”，密码是“wegc”．按上述规定，把明码“name”译成密码是 ． 字母： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 0 序号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 【答案】 【分析】本题考查数字变化的规律，将“name”中各个字母对应的序号代入相应的代数式求出对应的值，再写出以该值为序号对应的字母，把这些字母依次排列起来即可． 【详解】解：对应的序号为14，则，20对应的字母为； 对应的数字为1，则，1对应的字母为； 对应的数字为13，则，7对应的字母为； 对应的数字为5，则，3对应的字母为；故答案为：． 算式的规律 ⭐技巧积累与运用 算式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系. 从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中规律，进而归纳或猜想出一般结论，最后验证结论的正确性。 1．（24-25七年级上·山东青岛·期中）观察下列等式，探究规律，回答问题： … (1)填空：__________________； (2)第个等式为：_________； (3)利用上述结论计算：． 【答案】(1)4，7(2)(3) 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，有理数的混合运算等知识点，通过观察所给的式子，探索出式子的一般规律，并能根据所求灵活应用规律是解题的关键． （1）根据所给等式的规律，直接写出即可；（2）通过观察可得，第个等式为； （3）由（2）可得，原式，再求解即可． 【详解】（1）解：根据所给等式的规律可知：，故答案为：4，7； （2）解：根据所给等式的规律可知，第个等式为：； （3）解： ． 2．（24-25七年级上·北京·期中）观察下列等式：． 将以上三个等式的两边分别相加，得． (1)直接写出计算结果：______． (2)计算：（写计算过程） (3)猜想并直接写出：______．（为正整数） 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题考查了探究数字规律、有理数的混合运算等知识点，根据已知等式、找出规律是解题的关键． （1）根据所给等式对进行拆分，然后进行计算即可； （2）按照（1）的思路对拆分，然后进行计算即可； （3）由（2）的结论，可以推出，然后运用该规律解答即可． 【详解】（1）解：．答案：． （2）解：． （3）解：= ．故答案为：． 3．（24-25七年级上·福建泉州·期中）观察下列各式： ， …… 回答下面的问题：(1)直接写出的值是___________； 猜想：___________． (2)根据（1）中的结论，求的值． (3)思维拓展：求的值． 【答案】(1)225；(2)41075(3)19900 【分析】（1）根据给出的等式寻找规律，得出答案即可； （2）根据例题得到原式等于，再根据规律计算即可； （3）将原式变形为，再对进行计算，最后仿照例题解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ，， ∴，； （2）解： ； （3）解： ＝． 【点睛】此题考查有理数的规律计算，能读懂例题，仿照例题依次得到每个算式的计算方法是解题的关键． 图形的规律（一次类） ⭐技巧积累与运用 图形规律：观察前项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论. 这类题通常是给出一组图形的排列（或通过操作得到一系列图形），探究图形的变化规律，以图形为载体考察图形所蕴藏的数量关系。解决此问题先观察图形的变化趋势是增加还是减少，然后从第一个图进行分析，运用从特殊到一般的思想，分析增加或减少的变化规律，并用含字母的代数式进行表示。也可以转化为数式规律题来进行解答。 1．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图是一组有规律的图案，它们由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形被涂黑，依此规律，第100个图案中被涂黑的小正方形个数为（   ） A．500 B．499 C．400 D．401 【答案】D 【分析】本题考查规律型图形的变化类，解决本题关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律，运用规律． 根据图形的变化发现规律：第个图案中涂有阴影的小正方形个数为，进而求得第个图案中涂有阴影的小正方形个数． 【详解】解：观察图形的变化可知：第1个图案中涂有阴影的小正方形个数为：； 第2个图案中涂有阴影的小正方形个数为：； 第3个图案中涂有阴影的小正方形个数为：；发现规律： 第n个图案中涂有阴影的小正方形个数为：； ∴第100个图案中涂有阴影的小正方形个数为：；故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、．．．、癸烷等，烷烃中甲烷的化学式是，乙烷的化学式是，丙烷的化学式是，⋯，其分子结构模型如图所示，按照此规律，设碳原子（C）的数目为（为正整数），则它们的化学式都可以用下列哪个式子来表示（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是数字规律探究题，读懂题意，找出规律，列出关系式是解题的关键．设碳原子的数目为，氢原子的数目为，由观察可知，进而即可得出答案． 【详解】解：设碳原子（C）的数目为（为正整数），氢原子的数目为， 观察可知，，，，， 碳原子（C）的数目为，则它们的化学式为，故选：A． 3．（24-25七年级上·四川成都·期中）小明用棋子按如图所示的规律摆出图形，第n个图形需要（   ）枚棋子 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知第一个图形有4枚棋子，后一个图形比前一个图形多3枚棋子，进行求解即可． 【详解】解：观察可知第一个图形有4枚棋子，后一个图形比前一个图形多3枚棋子， ∴第n个图形需要枚棋子；故选：B． 图形的规律（二次类） ⭐技巧积累与运用 图形规律：观察前项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。同题型4类似。 1．（24-25八年级上·重庆·期中）如图所示，将形状大小完全相同的梅花按以下规律进行摆放，其中第1个图形中有5朵梅花，第2个图形中有8朵梅花，第3个图形中有13朵梅花，…以此类推，则第8个图形中含有的梅花朵数是（   ） A．40 B．53 C．68 D．85 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据题意得出第个图形有朵梅花是解本题的关键．根据题意可得第1个图形有朵梅花，第2个图形有朵梅花，第3个图形有朵梅花，据此得出规律，进行解答即可． 【详解】解：∵第1个图形有朵梅花， 第2个图形有朵梅花，第3个图形有朵梅花， ∴第个图形有朵梅花，∴第8个图形中共有梅花的朵数是朵，故选：C． 2．（24-25六年级上·山东淄博·期末）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆…按此规律排列下去，第个图形中圆的个数是 个．第个图形中圆的个数是 个． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变换规律，找到图形的排列规律得到第个图形中圆的个数是解题的关键． 根据图形得出第个图形中圆的个数是进行解答即可． 【详解】解：第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆， 第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆； 可得第个图形中圆的个数是；∴时，一共有个圆； 故答案分别为：；． 3．（24-25七年级上·四川广安·期中）观察图形，探索规律． 图1是三条长度都为a的线段构成的小三角形；图2是4个边长都为a的小角形拼成的大三角形：图3是9个边长都为a的小三角形拼成的大三角形；图4是16个边长都为a的小三角形拼成的大三角形。按此规律排列，图n中共有长度为a的线段 条．    【答案】 【分析】本题主要考查了图形变化类，熟练掌握图形变化的规律，是解题的关键， 观察图形变化规律，每个图形三角形的数目都可以写成一边上三角形个数的平方，而图中小三角形边的数目可以写成行数和的3倍，据此计算边数． 【详解】第①个图形有个三角形，共有长度为a的线段3条， 第②个图形有个三角形，共有长度为a的线段（条）， 第③个图形有个三角形，共有长度为a的线段（条），第③个图形有个三角形，共有长度为a的线段（条）， 第⑤个图形有个三角形，拼成大正方形边长为，共有长度为a的线段（条），……，按此规律， 则第n个图形中三角形的个数：个三角形，图中共有长度为a的线段（条）．故答案为：． 图形的规律（指数类） ⭐技巧积累与运用 指数类的图形规律大多通过面积与周长的运算寻找出相关变化的规律，从而解决问题。 1．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，把面积为1的正方形进行分割，观察其规律，可得算式，再加上（   ）后，结果就是． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，规律性，根据题意设，则，则，从而再加上即可求解，解题的关键是明确题意，发现式子的特点，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：设， 则， ∴得：，∴再加上后，结果就是故选：． 2．（24-25七年级上·四川成都·期中）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化类问题，观察图形发现部分①的面积为 ，部分②的面积为 ……部分n的面积为，根据剩余阴影部分面积为，解答即可． 【详解】解：观察图形发现部分①的面积为 ，部分②的面积为 ……部分n的面积为， 如图所示，剩余阴影部分面积为 ∴，故答案为：． 3．（2024七年级·浙江·专题练习）如图，把边长为的等边三角形每边三等分，经其向外长出一个边长为原来三分之一的小等边三角形得到图，称为一次“生长”．在得到的多边形上类似“生长”，一共“生长”次，则得到的多边形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律，解题的关键是理解题意，数形结合．观察图形，求出一次“生长”和二次“生长”的图形的周长，从中发现规律，即可求解． 【详解】解：观察图形发现，第一个图形的周长是，经过一次“生长”的图形的周长是； 经过二次“生长”的图形的周长是； 以此类推，则“生长”次，得到的多边形的周长是，故答案为：． 循环规律类问题 ⭐技巧积累与运用 有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。 1．（2024七年级上·山东·专题练习）如图，以为端点画六条射线后，再从射线上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…则所描的第2028个点在（    ） A．射线上 B．射线上 C．射线上 D．射线上 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字变化规律，根据1在射线上，2在射线上，3在射线上，4在射线上，5在射线上，6在射线上，7在射线上，…得出每6个数为一周期．用2028除以6，根据余数来决定数2028在哪条射线上． 【详解】解：∵1在射线上，2在射线上，3在射线上，4在射线上，5在射线上， 6在射线上，7在射线上，…每六个一循环，， ∴所描的第2028个点所在射线和6所在射线一样，∴第2028个点在射线上．故选：D． 2．（24-25七年级上·湖北孝感·阶段练习）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为是（其中是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取，则 若，则第2024次“”运算的结果为（   ） A．23 B．37 C．74 D．92 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律，蕴涵了结果规律探索问题，检测学生阅读理解及应用能力．根据题意，可以写出前几次的运算结果，从而可以发现数字的变化特点，然后即可写出第2024次“运算”的结果． 【详解】解：当时，第一次运算：；第二次运算：；第三次运算：； 第四次运算：；第五次运算：；第六次运算：；第七次运算：；……， 可以发现从第七次开始，结果以、、、、、这6个数为一个周期循环．， 所以第2024次“”运算的结果为．故选：B． 3．（2024七年级上·重庆·专题练习）如图，将一列有理数按如下规律排列，请解答下列问题： (1)在A，B，C三个数中，其中表示负数的是_____； (2)若A，B，C，D，E均表示对应的有理数，则的值是_____； (3)数2025排列在图中吗？若在，它的位置对应A，B，C，D，E中的什么位置？并说明理由． 【答案】(1)B(2)2(3)数2025对应的位置是C，见解析 【分析】本题考查数字的变化规律及有理数加减运算的应用，通过观察探索出数字的循环规律是解题关键． （1）通过观察发现，点表示的数与的正负性相同，点表示的数与的正负性相同，点表示的数与的正负性相同，由此求解即可；（2）由（1）可求的值是； （3）通过观察发现，每个数是一组循环，由此求解即可． 【详解】（1）解∶点表示的数与的正负性相同，点表示的数与的正负性相同，点表示的数与的正负性相同，∴表示负数，故答案为∶； （2）解：由（1）知， 点表示的数与的正负性相同，点表示的数与的正负性相同，点表示的数与的正负性相同，点表示的数与的正负性相同， ∵，∴的值是，故答案为∶； （3）解：数2025排列在图中，它的位置对应C． 理由：由图可知，奇数的符号是正，偶数的符号是负，2025在排列图中，每6个数是一组循环， ，数2025对应的位置是C． 1．（24-25七年级上·北京·期中）“数形结合”是一种重要的数学思想，观察下面的图形和算式：    上图对应的算式为：． 用类似的方法可以计算的值为（   ） A．2401 B．2500 C．9801 D．10000 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先求出、和的值，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：由图可知，， 用类似的方法可知，， ， ， 归纳类推得：（且为正整数）， 则，故选：B． 2．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）如图所示，图（1）表示1张餐桌和6张椅子（三角形表示餐桌，每个小圆表示一张椅子），图（2）表示2张餐桌和8张椅子，图（3）表示3张餐桌和10张椅子…；若按这种方式摆放28张桌子需要的椅子张数是（   ） A．25张 B．50张 C．54张 D．60张 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，根据所给图形，依次求出图形中桌子和椅子的张数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知，摆1张桌子，需要的椅子张数为：； 摆2张桌子，需要的椅子张数为：；摆3张桌子，需要的椅子张数为：；…， 所以摆n张桌子，需要的椅子张数为张．当时，（张）故选：D． 3．（2023·云南·校考模拟预测）观察下列按一定规律排列的数：，1，9，1，，1，18，1，…，则第15个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得第k个奇数为，再由第15个数是第8个奇数，即可求解． 【详解】解：∵，1，9，1，，1，81，1，…， ∴偶数位置上的数都是1，奇数位置上的数分别是，9，，81，…， ∴第k个奇数为，∴第15个数是第8个奇数，为．故选C． 【点睛】本题主要考查了数字类的规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 4．（24-25七年级上·山东青岛·期中）将正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，根据以上操作，若要得到2025个正方形，则需要操作的次数是（   ） A．506 B．507 C．508 D．509 【答案】A 【分析】由题意可知，第1次：分别连接各边中点如图2，得到个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到个正方形…，以此类推，根据以上操作，则第n次得到个正方形，由此规律代入求得答案即可．此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出正方形个数的变化规律是解题关键． 【详解】解：∵第1次：分别连接各边中点如图2，得到个正方形； 第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到个正方形，…， 以此类推，根据以上操作，若第n次得到2025个正方形，则，解得：．故选：A 5．（24-25七年级上·北京·期中）是不为的有理数，我们把称为的差倒数，例如的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，……，以此类推，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数计算规律的知识，代数式，解题的关键是熟练掌握有理数计算规律性问题的性质，从而完成求解．根据题意，计算，，，找寻规律求解即可； 【详解】解：，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…… ，，，∴这列数每个数为一周期循环， ，故；故答案为： 6．（24-25七年级上·北京·期中）下列每一幅图都是由单位长度均为1的小正方形（包含白色小正方形和灰色小正方形）按某种规律组成的．根据规律，第个图中小白正方形共有 个，第个图形中，白色小正方形共有 个（用含的式子表示，为正整数） 【答案】 / 【分析】此题考查了图形变化类规律问题，熟练掌握用代数式表示式子是解题的关键； 根据题意归纳出本题第个图中共有个小正方形；根据题意归纳出本题第个图中共有个小正方形，灰色有个，白色小正方形共有个 【详解】（1）解：∵第个图中共有个小正方形，灰色有个，白色小正方形共有个， 第个图中共有个小正方形，灰色有个，白色小正方形共有个， 第个图中共有个小正方形，灰色有个，白色小正方形共有个， 第个图中共有个小正方形，灰色有个，白色小正方形共有个， 第个图中共有个小正方形，灰色有个，白色小正方形共有个； 故答案为：； 7．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）（1）观察下列点阵图，写出与第4个点阵相对应的等式； ，，，______； （2）结合（1）观察下列点阵图，写出与第5个点阵相对应的等式． ，， ， ， ______； （3）写出（2）中与第个点阵相对应的等式：______． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．（1）根据①②③观察会发现第四个式子的等号的左边是，右边分子上是，从而得到规律；（2）通过观察发现左边是，右边是25即5的平方； （3）过对一些特殊式子进行整理、变形、观察、比较，归纳出一般规律． 【详解】解：（1）根据题中所给出的规律可知：； （2）由图示可知点的总数是，所以； （3）由（1）（2）可知． 8．（24-25七年级上·四川眉山·期中）将正整数按照如图所示的规律排列下去，若用有序数对表示第排，从左往右数第个数，如表示整数5，则表示的数是 ． 【答案】124 【分析】本题考查了数字的变化类—规律型，正确总结出数字的变化规律是解题的关键． 根据题意总结出规律：，再代入即可求解． 【详解】解：由题意得，，，， 由此可以发现，对所有数对都有， ∴，∴表示的数为：故答案为： ． 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）用相同的小菱形按如图的方式搭图形． （1）按这种方式搭下去，搭第 6 个图形需要 个小菱形； （2）按这种方式搭下去，搭第 n 个图形需要 个小菱形（用含 n 的代数式表示，其中 n 为偶数）；第 2025 个图形需要 个小菱形． 【答案】 9 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据已知图形正确得出规律是解题关键． （1）根据图形得出：第1个图形到第5个图形需要小菱形的个数分别为，由此可求第 6 个图形需要小菱形的个数；（2）结合（1）得出的规律，再将代入计算，即可得到答案． 【详解】解：（1）第1个图形需要1个小菱形；第2个图形需要3个小菱形； 第3个图形需要4个小菱形；第4个图形需要6个小菱形；第5个图形需要7个小菱形； 第6个图形需要9个小菱形；故答案为：9； （2）第1个图形需要个小菱形；第2个图形需要个小菱形； 第3个图形需要个小菱形；第4个图形需要个小菱形； 第5个图形需要个小菱形；第6个图形需要个小菱形；； 当n为奇数时，第 n 个图形需要；当n为偶数时，第 n 个图形需要； 第 2025 个图形需要个小菱形，故答案为：，． 10．（24-25七年级上·山东济南·期中）从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程叫做归纳．它是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略． 【问题】在网格中，如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这个多边形就叫做格点多边形．格点多边形的面积S与内部的格点数a和边上的格点数b（含顶点）是否存在一定的数量关系？ 【特例感知】小明利用归纳的策略完成以下探究．在正方形网格纸中（其中每一个小正方形的面积为1），绘制了以下几种简单的情形，分别为图1至图3． 以上情形的数据如下： a b S 图1 1 6 3 3 图2 6 8 4 ① 图3 6 ② 5 10 ①处应填 ，②处应填 ； 由此发现规律：格点多边形的面积 ；（用含a，b的代数式表示），老师肯定了此规律的正确性． 【问题解决】在任意格点多边形中，如果，，那么格点多边形的面积 ； 【联系拓广】如图4，在等边三角形网格纸中（其中每一个小等边三角形的面积为1），格点多边形的面积S与多边形内部的点数a和多边形边上的点数b有新的数量关系．小明按照以上的归纳策略继续探究，得到图4中阴影三角形的面积为 ． 【答案】特例感知：9，10，；问题解决：16.5；联系拓广：10 【分析】此题考查的是格点多边形的面积问题，解决本题的关键是关键由特殊找出规律得出结论． 特例感知：观察图中特例计算出对应的数据，再由特殊情况计算找出规律即可得出结论； 问题解决：由特殊情况计算找出规律即可得出结论； 联系拓广：由特殊情况计算找出规律即可得出结论，再将图4中的a和b代入即可得解； 【详解】解：特例感知：图2的面积，故①处应填9；图3边上的格点数，②处应填10； 观察图1至图3数据可得；故答案为：9，10，； 问题解决：当，时，，故答案为：16.5； 联系拓广：如图5、图6 图5、图6中正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，数据如下表： a b S 图5 7 3 6 11 图6 8 1 2 8 图n 观察表格数据可得：， 图4中，，，故，故答案为：10． 1．（24-25七年级上·四川成都·期中）如图是用三角形摆成的图案，摆第一层图案需要1个三角形，摆第二层图案需要3个三角形，摆第三层图案需要7个三角形，摆第四层图案需要13个三角形，摆第10层图案需要 个三角形，……，摆第层图案需要 个三角形． 【答案】 【分析】本题考查了图形规律，理解图示中数量关系，找出数量关系是解题的关键． 根据层次与数量的关系可得：第层上的三角形个数比第层多个三角形，分别算出每个三角形的个数，运用整式混合运算即可求解． 【详解】解：第1层，1个三角形，第2层，3个三角形，比第一次多2个， 第3层，7个三角形，比第二次多4个，第4层，13个三角形，比第三次多6个， ∴第5层三角形的个数为：（个），第6层三角形的个数为：（个），， ∴第10层三角形的个数为：（个）， ∴第层与第的数量关系是：第层上的三角形个数比第层多个三角形， ∴第层三角形的个数为： ，故答案为：， ． 2．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）成都准备建立急救服务系统，各急救站之间由电话线相互联络，每个急救站必须能够同其他所有急救站进行联络，或者直接联络，或者最多通过另一个急救站来联络，每个急救站最多能够通过三条电话线．如图上表示这种网络的一个例子，它联络着七个急救站，按这种方式建立的网络系统最多能够联络______个急救站． 【答案】10 【分析】本题考查简单的极端原理，解题的关键是分情况考虑，正确画出图形．我们首先求出急救站的最多个数，然后验证是否可以构成具有这么多急救站的网络．选取一个特定的急救站，把它看作基地．它可以同另外1个、2个或3个急救站联络；急救站A，B和C中的每一个都还有两条未使用的电话线，因而每一个都能再与两个急救站联络；外面的急救站中的每一个都还有两条未使用的电话线，可以使用这些电话线把外面的急救站与所有的急救站紧密联络． 【详解】解：在这个问题中给出的例子说明，至少有7个急救站可以用这种方式进行联络．我们首先求出急救站的最多个数，然后验证是否可以构成具有这么多急救站的网络．让我们选取一个特定的急救站，把它看作基地．它可以同另外1个、2个或3个急救站联络，如图所示： （为了考虑到可能存在三条电话线并未完全使用的基地，就说A，B和C不一定不同．） 急救站A，B和C中的每一个都还有两条未使用的电话线，因而每一个都能再与两个急救站联络，如图所示： （同样，图中所示急救站不一定不同．）现在，我们来验证是否可以建立包含10个急救站的网络．在上面的图中，只有基地能与其他急救站紧密联络．例如，A距离B和C以外联络的急救站“太远了”． 但是这些外面的急救站中的每一个都还有两条未使用的电话线，可以使用这些电话线把外面的急救站与所有的急救站紧密联络． 这要求试着进行，最后我们确实会得到含有10个急救站的网络系统，如图所示：故答案为：10． 3．（24-25七年级上·四川成都·期中）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若，则k的值为 ；若，则k的值为 ． 【答案】 6 156 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先分别求出当、、、和时，的值，再归纳类推出当为偶数时和当为奇数时，的值的一般规律，由此即可得． 【详解】解：由题意可知，当时，，当时，，当时，， 当时，有，，，，和六种取法，即， 当时，有，，，，，，，和九种取法，即， 归纳类推得：当为偶数时，；当为奇数时，， 则当时，，故答案为：6，156． 4．（24-25七年级上·四川成都·期中）“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割为若干三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体和光影效果．将长方形区域分割成三角形的过程是：在长方形内取一定数量的点，连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形．若长方形内有4个点，则三角形个数为 个，若长方形内有个点，则三角形个数为 个（不计被分割的三角形）． 【答案】 10 【分析】本题考查图形规律探索，解题的关键是数形结合．根据长方形内有1个点时，三角形个数为（个）；长方形内有2个点时，三角形个数为（个）；依次类推得出规律，求出结果即可． 【详解】解：图2中长方形内有1个点时，三角形个数为（个）； 图3中长方形内有2个点时，三角形个数为（个）； 以此类推长方形内有3个点时，三角形个数为（个）； 长方形内有4个点时，三角形个数为（个）；…… 长方形内有个点时，三角形个数为个．故答案为：10；． 5．（24-25七年级上·重庆·期中）近日，国产大作《黑神话：悟空》在全球持续火爆，它巧借人工智能、大数据、云计算、物联网等现代“黑技术”推动中华优秀传统文化“转型、升级、突围”，向世界传播承载中华文化、中国精神和中国力量的作品，展现了中国文化自信．小明同学也备受鼓舞，想设计一款小游戏，他首先尝试变化贪吃蛇游戏的场景，让贪吃蛇在圆柱体的侧面上运动，同时吃掉侧面有序排列的金币．小明想算出贪吃蛇按斜线S形吃完所有金币的路径总长，于是，把圆柱的侧面展开，那么金币在侧面展开图上可以看成点，每个金币在侧面展开图上呈行、列规律排列，每行有m个金币，每列有n个金币．如图1，行上相邻两个金币的间距都为a，斜着排列的相邻两金币的间距都为b（m，n均为正整数，，其中）．图2是贪吃蛇按斜线S形运动示意图． （1）圆柱体侧面上一共有 个金币．（用含m、n的代数式表示．） （2）用代数式表示贪吃蛇按斜线S形运动的路径总长为 （用含a、b、c、m、n的代数式表示．） 【答案】 【分析】本题考查整式的基础问题，读懂并理解题意列出代数式是解题的关键， （1）由于圆柱体侧面为长方形，再根据每行的金币数，每列的金币数，即可得到答案； （2）根据贪吃蛇按斜线形运动的路程中，每行内路径的长度为：；斜线路径长度为：，可得到按斜线S形运动的路径总长为：每行内路径的长度与斜线路径长度的和，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵侧面展开图上呈行、列规律排列，每行有个金币，每列有n个金币， ∴圆柱体侧面上一共有个金币，故答案为：． （2）由题可得：贪吃蛇运动的路程中，每行内路径的长度为：； 斜线路径长度为：， 由图可知：贪吃蛇按斜线S形运动的路径总长为：每行内路径的长度与斜线路径长度的和， ∴贪吃蛇按斜线S形运动的路径总长为：，故答案为：． 6．（24-25七年级上·四川达州·期中）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：和分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即；；……；若也按照此规律来进行“分裂”，则“分裂”出的奇数中，最小的奇数是 ．由此可得，当n为正整数时，“分裂”出的奇数中，最大的奇数是 ． 【答案】 31 【分析】本题主要考查了数字变化规律．首先发现奇数的个数与前面的底数相同，再得出每一组分裂中的第一个数是底数 (底数)，“分裂”出的奇数的个数为，问题得以解决． 【详解】解：分裂中的第一个数是：，“分裂”出的奇数的个数为2； 分裂中的第一个数是：，“分裂”出的奇数的个数为3； 分裂中的第一个数是：，“分裂”出的奇数的个数为4； 分裂中的第一个数是：，“分裂”出的奇数的个数为5； ，分裂中的第一个数是：，“分裂”出的奇数的个数为6；……， 当n为正整数时，“分裂”出的奇数中，最小的奇数是，“分裂”出的奇数的个数为， 所以 “分裂”出的奇数中最小的是31；当n为正整数时，“分裂”出的奇数中，最大的奇数是．故答案为：31； 7．（24-25七年级上·四川自贡·阶段练习）在数学兴趣活动中，小容为了求的值，写出下列解题过程．解：设① 两边同乘以2得：② 由得：． (1)应用结论：根据题目的结论，直接写出：_________； (2)模仿计算：请模仿题目中的算法计算：． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查数字类规律探索题和图形类规律探索题，审清题意观察出式子前后的变化和规律是解题的关键．（1）将代入中即可得解； （2）模仿题目中的算法计算即可； 【详解】（1）解：由题干得：， 将代入得：，故答案为：； （2）解：设 两边同乘2得： 由得：． 8．（24-25七年级上·河南周口·期中）观察式子中的规律，并回答问题． (1)观察发现①；②；③； ④；……．式子④中_____，_____； (2)规律提炼 写出第个等式（用含有字母的式子表示）； (3)问题解决 求的值． 【答案】(1)；(2)(3) 【分析】本题考查用代数式表示数或式子的规律，有理数的混合运算， （1）观察已知算式即可得结果；（2）观察给出的算式，可得规律；（3）由（2）中的规律将式子中的每一项拆成两项，再进行加减运算即可；解题的关键是能找到式子的规律：． 【详解】（1）解：④，∴式子④中，，故答案为：；； （2）解：由（1）给出的算式可得第个等式：； （3） ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$