4.1.2 分步乘法计数原理（教学课件）数学湘教版2019选择性必修第一册

湘教版2019高一数学（选修一）第四章 计数原理 4.1.2 分步乘法计数原理 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 学习目标 2 掌握分步乘法计数原理，能运用它解决简单的实际问题（难点） 1 通过实例，能归纳出分步乘法计数原理（重点） 3 根据实际问题的特征，正确区分“分类”或“分步”（难点） 分类加法计数原理： 如果完成一件事情有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法， 在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的 方法，每种方法都能独立完成这件事，那么完成这件事共有 N = m1＋m2＋…＋mn 种不同的方法． 我们把分类加法计数原理简称为分类计数原理，或加法原理． 复习导入 4 问题3 从甲地到乙地，需从甲地乘汽车到丙地，再于次日从丙地乘火车到乙地，如果一天内有4趟汽车从甲地开往丙地，有3列火车从丙地开往乙地，那么两天内从甲地到达乙地有多少种不同的乘车选择？ 解：假定从甲地到丙地的4趟汽车分别为a，b，c，d，从丙地到乙地的三 列火车分别为1，2，3，则从甲地到乙地的不同路径为： a1，a2，a3， b1，b2，b3， c1，c2，c3， d1，d2，d3． 共有4×3=12（种)不同的乘车选择． 新知探究 5 问题4 某书架有三层，第一层放有3本不同的数学书，第二层放有2本不同的语文书，第三层放有2本不同的英语书，从书架的第一、二、三层各取1本书，共有多少种不同的取法？ 解：记：3本不同的数学书分别为M1，M2，M3，2本不同的语文书分别为 C1，C2，2本不同的英语书分别为E1，E2，则从书架的第一、二、三层各 取1本书的所有可能结果为： M1C1E1，M1C1E2，M1C2E1，M1C2E2， M2C1E1，M2C1E2，M2C2E1，M2C2E2， M3C1E1，M3C1E2，M3C2E1，M3C2E2． 共有3×2×2=12（种)不同的取法． 6 分步乘法计数原理： 如果完成一件事需要分成n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2 步有m2种不同的方法，…，第n步有mn 种不同的方法，每个步骤都完成 才算做完这件事，那么完成这件事共有 N = m1×m2×…×mn 种不同的方法． 我们把分步乘法计数原理简称为分步计数原理，或乘法原理． 7 例2 通信公司在某一段时间内向市场投放一批手机号码，这一批号码（共11位数字）的前七位是统一的，后四位都是0～9之间的一个数字，那么这一号段共有多少个不同的号码? 分析：由于前七位已确定，我们只需分4步来确定后四位数字，11位 手机号码就最终确定．所以，要用分步乘法计数原理来计算． 解：后四位中的每一位都可以从0～9这10 个数字中任选一个，都有 10种选法． 根据分步乘法计数原理，可依次确定手机号码的第八、九、十、十一 位，那么这一号段共有 10×10×10×10=10000 个不同的号码． 课本例题 8 例3 某校在艺术节期间需要举办一场文娱演出晚会，现要从3名教师、4名男同学和5名女同学当中选出若干人来主持这场晚会（任一人都可主持）． （1）如果只需一人主持，共有多少种不同的选法？ 解：（1）从3名教师、4名男同学和5名女同学当中选出一人主持晚会， 结果可分为3类： 第一类，选一名教师主持，有3种选法； 第二类，选一名男同学主持，有4种选法； 第三类，选一名女同学主持，有5种选法． 根据分类加法计数原理，共有 3＋4＋5 = 12 种不同的选法． 9 利用分步乘法计数原理解题的注意点及解题思路 (1)应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可. (2)利用分步乘法计数原理解题的一般思路 ①分步：将完成这件事的过程分成若干步； ②计数：求出每一步中的方法数； ③结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果. 归纳总结 两个计数原理的联系与区别   分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 用来计算完成一件事的方法种类 不同点 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘 每类办法中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事(每步中的一种方法不能独立完成这件事) 注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整 归纳总结 11 例3 某校在艺术节期间需要举办一场文娱演出晚会，现要从3名教师、4名男同学和5名女同学当中选出若干人来主持这场晚会（任一人都可主持）． （2）如果需要教师、男同学和女同学各一人共同主持，共有多少种不同的选法？ 解：（2）从3名教师、4名男同学和5名女同学当中各选出一人共同主持晚 会，可分3步： 第一步，选出一名教师，有3种选法； 第二步，选出一名男同学，有4种选法； 第三步，选出一名女同学，有5种选法． 以上3个步骤依次完成后，事情才算完成．根据分步乘法计数原理，共有 3×4×5 = 60 种不同的选法． 12 在使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决问题时，一定要分清完成这件事是有n类办法还是有n个步骤． 分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数． 分步要做到“步骤完整”——依次完成所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理求积，得到总数． 13 (1)在处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事件，关键是看能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏. (2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰. 归纳总结 1 某农场要在4种不同类型的土地上，分别试验种植 A，B，C，D四个不同品种的小麦，共有多少种不同的种植方案? 解：依题意，知可要在4种不同类型的土地上试验种植小麦分四步 来完成， 第一步，种植第一块地，有4种选法； 第二步，种植第二块地，有3种选法； 第三步，种植第三块地，有2种选法； 第四步，种植第四块地，有1种选法． 根据分步乘法计数原理，共有 4×3×2×1= 24种不同的选法． 课堂练习 15 2 乘积(x1＋x2＋x3＋x4)(y1＋y2＋y3)(z1＋z2)展开后共有多少项? 解：根据分步乘法计数原理，(x1＋x2＋x3＋x4)(y1＋y2＋y3)(z1＋z2)展开后， 共有 4×3×2 = 24 项． 16 3 某校确定的优秀毕业生候选人中，一班有3人，二班有5人，三班有2人． （1）从三个班中评选出一名优秀毕业生，有多少种不同的选法? 解：依题意，根据分类加法计数原理，评选出1名优秀毕业生，共有 3＋5＋2 = 10 种不同的选法． （2）从三个班中各评选出一名优秀毕业生，有多少种不同的选法? 解：依题意，从三个班中各评选出一名优秀毕业生需分三步来完成， 第一步，从一班选出一名优秀毕业生，有3种选法； 第二步，从二班选出一名优秀毕业生，有5种选法； 第三步，从三班选出一名优秀毕业生，有2种选法． 根据分步乘法计数原理，共有 3×5×2 = 30 种不同的选法． 17 随堂检测 1.如图，一条电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为（ ） A.8 B.6 C.5 D.3 B 从A处到B处的电路接通可分两步：第一步，前一个并联电路接通，有2条线路；第二步，后一个并联电路接通，有3条线路.由分步乘法计数原理知电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为2×3＝6. 2.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个不同的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有（ ） A.30个 　　　　B.42个 　　　　C.36个 　　　　D.35个 C 要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)，有6种方法， 第二步确定a，有6种方法，故由分步乘法计数原理知，共有6×6＝36(个)虚数. 3.某小区有4个门，规定只能从主门进，从任一个门出，则共有____种不同走法. 4 由分步乘法计数原理得，共有1×4＝4(种)不同走法. 4.小张与其3位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有（ ） A.27种 　　　　B.36种 　　　　C.54种 　　　　D.81种 小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，根据分步乘法计数原理，共有2×3×3×3＝54(种)不同的报名方法. 54 5.从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则形成的不同的直线有（ ） A.18条 　　　　B.20条 　　　　C.25条 　　　　D.10条 第一步取A的值，有5种取法，第二步取B的值，有4种取法， 其中当A＝1，B＝2时，与当A＝2，B＝4时所得直线是相同的； 当A＝2，B＝1时，与当A＝4，B＝2时所得直线是相同的， 故共有5×4－2＝18(条)不同的直线. A 6.用1,2,3,4四个数字(可重复)组成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}. (1)写出这个数列的前11项； 111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133. (2)这个数列共有多少项？ 这个数列的项数就是用1,2,3,4组成的三位数的个数，每个数位上都有4个数字可以选择，则共有4×4×4＝64(项). (3)若an＝341，求n. 比an＝341小的数有两类： ① ② 百位 十位 个位 1 × × 2 × × 百位 十位 个位 3 1 × 3 2 × 3 3 × 共有2×4×4＋1×3×4＝44(项). 所以n＝44＋1＝45. 分步乘法计数原理： 如果完成一件事需要分成n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，…，第n步有mn 种不同的方法，每个步骤都完成才算做完这件事，那么完成这件事共有 N = m1×m2×…×mn 种不同的方法． 我们把分步乘法计数原理简称为分步计数原理，或乘法原理． 课堂小结 24 方法总结： 1．如果完成一件事有两类方案，这两类方案彼此之间是相互独立的，无论哪一类方案中的哪一种方法都能单独完成这件事，求能完成这件事的方法种数就用分类加法计数原理． 2．如果完成一件事需要分成多个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤有若干种不同的方法,求能完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理． 3．按元素性质分类，按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法，区分“分类”与“分步”的关键，是验证提供的某一种方法是否完成了这件事情，分类中的每一种方法都完成了这件事情，而分步中的每一种方法不能完成这件事情，只是向事情的完成迈进了一步． 25 $$