精品解析：山西省大同市新荣区两校联考2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

2024—2025学年第一学期期中考试 八年级 数学试卷 （时间：120分钟 满分120分） 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并填入下表相应的位置） 1. 下列生肖汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小杰在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A、B间的距离可能是（ ） A. 4米 B. 12米 C. 16米 D. 22米 3. 如图，在中，点为上一点，连接，为的中线，连接．若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（　　） A. 3 B. 4 C 5 D. 6 5. 如图，在△中，，于点，若，，则△ABC的周长是( ) A 10 B. 14 C. 16 D. 20 6. 在△ABC中，将∠B，∠C按如图方式折叠，点B，C均落在边BC上点G处，线段MN，EF为折痕．若，则∠MGE的度数为（ ） A. 50° B. 90° C. 40° D. 80° 7. 如图，在四边形中，，连接，添加下列条件后仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 小红同学误将点的横纵坐标次序颠倒，写成，另一学生误将点的坐标写成关于轴对称的点的坐标，写成，则，两点原来的位置关系是（ ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 和重合 D. 以上都不对 9. 如图所示，正五边形的顶点在射线上，顶点在射线上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论： ①；②；③平分；④平分 其中正确的结论个数有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将正确答案填在题中横线上） 11. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为_______________． 12. 如图，是平面镜，光线从点出发经上点反射后照射到点，若入射角为，反射角为（反射角等于入射角），于点，于点，且，，则______． 13. 如图，，是等腰三角形，，，．则的度数为________． 14. 如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为__________． 15. 如图，是等边三角形，，点、分别为边、上的动点，当的周长最小时，的度数是______________. 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 一个多边形的内角和比其外角和的3倍多，求这个多边形的边数． 17. 如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点．求证：是等腰三角形． 18. 如图，在正方形网格中，点，，均在格点上，建立平面直角坐标系，解答下列问题： （1）分别写出，两点的坐标及点关于轴对称的点和点关于轴对称的点的坐标． （2）在图中画出一个以点，，，为顶点的四边形，使其为轴对称图形，要求点在格点上． 19. 下面是证明等腰三角形性质定理“三线合一”的三种方法，选择其中一种完成证明． 等腰三角形性质定理：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简记为：三线合一）． 方法一： 已知：如图，中，，平分． 求证：，． 方法二： 已知：如图，中，，点为中点． 求证：，． 方法三： 已知：如图，中，，． 求证：， 20. 如图，在中，是的平分线，的垂直平分线交于点F，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）与的大小是否相等？若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由． 21. 学科实践 为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处，测得河北岸的一棵树底部点恰好在点的正北方向，测量方案如下表： 实践课题 测量河流宽度 测量工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从点沿正东方向走到点处，此时恰好测得． 观测者从点沿正东方向走到点，点是的中点，然后从点沿垂直于的正南方向走，直到，，三点在同一条直线上． 测量示意图 （1）第一小组认为，河宽的长度就是线段________的长度． （2）第二小组的方案灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为河宽的长度就是线段的长度，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． （3）请你代表第三小组，设计一个测量方案，把测量方案和测量示意图填入上表，并说明方案的可行性． 22. 【问题呈现】 小明在学习中遇到这样一个问题： 如图①，在中，，平分，于点，猜想与，之间的数量关系． （1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路．于是尝试代入，的值求的值，得到下面几组对应值： /度 /度 /度 上表中________，于是得到与，之间的数量关系为_______________． 变式应用】 （2）小明继续研究，在图②中，，，其他条件不变，若把“于点”改为“是线段上一点，于点”，求的度数，并直接写出与，之间的数量关系． 思维发散】 （3）小明突发奇想，交换，两个字母的位置，在图③中，若把（2）中的“是线段上一点”改为“是的延长线上一点”，其余条件不变，当，时，的度数为________． 23. 如图，在平面直角坐标系中，，，点为线段上的一个动点（点不与点，重合），点在的延长线上，，且是的平分线，连接． （1）求证：． （2）当点是的中点时，求点的坐标． （3）在点运动的过程中，的大小是否发生变化？如果变化，请求出的度数的取值范围；如果不变，请求出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第一学期期中考试 八年级 数学试卷 （时间：120分钟 满分120分） 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并填入下表相应的位置） 1. 下列生肖汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A． 2. 如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小杰在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A、B间的距离可能是（ ） A. 4米 B. 12米 C. 16米 D. 22米 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系得到，根据的范围判断即可． 【详解】解：如图：连接， 根据三角形的三边关系得： ， 即：， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，能正确运用三角形的三边关系是解此题的关键． 3. 如图，在中，点为上一点，连接，为的中线，连接．若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的面积和中线性质，根据三角形的中线的性质，得到答案． 【详解】解：为的中线， ，． ． 的面积为， ， 故选：B． 4. 如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】过点D作DH⊥OB于点H，如图，根据角平分线的性质可得DH=DP=4，再根据三角形的面积即可求出结果． 【详解】解：过点D作DH⊥OB于点H，如图， ∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DH⊥OB， ∴DH=DP=4， ∴△ODQ的面积=． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，属于基本题型，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键． 5. 如图，在△中，，于点，若，，则△ABC的周长是( ) A. 10 B. 14 C. 16 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等腰三角形三线合一的性质得出BD=CD，进一步即可求出结果. 【详解】解：∵，， ∴BD=CD=4， ∴△ABC的周长=AB+AC+BC=6+6+4+4=20. 故选D. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是求解的关键. 6. 在△ABC中，将∠B，∠C按如图方式折叠，点B，C均落在边BC上的点G处，线段MN，EF为折痕．若，则∠MGE的度数为（ ） A. 50° B. 90° C. 40° D. 80° 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形对折的性质，找到相等的角，然后利用平角的定义计算即可； 【详解】解：由题意知：， ∵， ∴ ∴ 故选D； 【点睛】本题考查了图形的对折，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键． 7. 如图，在四边形中，，连接，添加下列条件后仍不能判定的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A．添加，可根据“”判定； B．添加，可根据“”判定； C．添加，无法判定； D．添加，可根据“”判定， 故选：C． 8. 小红同学误将点的横纵坐标次序颠倒，写成，另一学生误将点的坐标写成关于轴对称的点的坐标，写成，则，两点原来的位置关系是（ ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 和重合 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】根据坐标的对称性求出A,B，故可求解． 【详解】解：∵小红同学误将点的横纵坐标次序颠倒，写成， ∴点的正确坐标为． ∵另一学生误将点的坐标写成关于轴对称的点的坐标，写成， ∴点的正确坐标为， ∴，两点原来的位置关系是关于轴对称． 故选A． 【点睛】此题主要考查坐标的对称，解题的关键是熟知坐标对称性的特点． 9. 如图所示，正五边形的顶点在射线上，顶点在射线上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式可算出正五边形的，由可算出，再根据的外角的性质即可求解． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， 在中，是外角， ∴， ∴，即， 故选：． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和、外角和定理，掌握多边形的内角和，三角形外角性质及计算方法是解题的关键． 10. 如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论： ①；②；③平分；④平分 其中正确的结论个数有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确； 根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确； 作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线判定方法得出MO平分，④正确； 由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】∵∠AOB＝∠COD＝36°， ∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC， 即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确； ∴∠OAC＝∠OBD， 由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC， ∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正确； 作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示： 则∠OGC＝∠OHD＝90°， 在△OCG和△ODH中， ， ∴△OCG≌△ODH（AAS）， ∴OG＝OH， ∴平分，④正确； ∵∠AOB＝∠COD， ∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC， 假设∠DOM＝∠AOM ∵△AOC≌△BOD， ∴∠COM＝∠BOM， ∵MO平分∠BMC， ∴∠CMO＝∠BMO， 在△COM和△BOM中， ， ∴△COM≌△BOM（ASA）， ∴OB＝OC， ∵OA＝OB ∴OA＝OC 与矛盾， ∴③错误； 正确的有①②④； 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将正确答案填在题中横线上） 11. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵是△ABC的外角，∠B=30°，∠ACB=45°， ∴=30°+45°=75°． 故答案为：75°． ． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角的和． 12. 如图，是平面镜，光线从点出发经上点反射后照射到点，若入射角为，反射角为（反射角等于入射角），于点，于点，且，，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据反射角等于入射角可知，进而得出，再根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：由题意知， ， ， ， ， 故答案为：5． 【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握：直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半． 13. 如图，，是等腰三角形，，，．则的度数为________． 【答案】##44度 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质等，先根据等边对等角、三角形内角和定理，求出，再根据平行线的性质得出，最后根据三角形外角的性质得出即可求解． 【详解】解：如图，延长，交于点． 是等腰三角形，，， ． ， ． ， ． 故答案为：． 14. 如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，延长与交于点利用等腰三角形的三线合一证明是的垂直平分线，从而得到 再次利用等腰三角形的性质得到：从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，延长与交于点 平分，， 是的垂直平分线， 故答案为： 【点睛】本题考查是等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键． 15. 如图，是等边三角形，，点、分别为边、上的动点，当的周长最小时，的度数是______________. 【答案】 【解析】 【分析】先作点D关于AC和BC的对称点G、H，连接GH交AC和BC于点E、F，此时△DEF的周长最小，再根据三角形内角和与等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，作点D关于AC的对称点G，点D关于BC的对称点H，连接GH交AC、BC于E、F， ∵D、G关于AC对称，D、H关于BC对称， ∴DE=EG，DF=FH， ∴的周长=DE+DF+EF=EG+EF+FH, ∴当G、E、F、H四个点在同一直线上时，的周长最小， ∵是等边三角形， ∴∠A=∠B = ， ∵D、G关于AC对称，D、H关于BC对称， ∴∠ADG= ，∠BDH= ，∠EDG=∠DGE，∠FDH=∠DHF， ∴∠GDH=， ∴∠DGE+∠DHF=， ∴∠EDG+∠FDH=， ∴∠EDF=. 故答案是：. 【点睛】本题考查了用轴对称的性质解决最短路线问题，解决本题的关键是作点D关于AC和BC的对称点，找到符合条件的动点E和F． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 一个多边形的内角和比其外角和的3倍多，求这个多边形的边数． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是，与边数无关．多边形的外角和是，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍多，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数． 【详解】解：解：设这个多边形的边数是n，依题意得， ， ． ∴这个多边形的边数是9． 17. 如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征、余角的性质、对顶角的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 由可得，再由，可知，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，进而得到即可证明结论 【详解】证明： ， ． ， ． ，， ． ， ． ． 是等腰三角形． 18. 如图，在正方形网格中，点，，均在格点上，建立平面直角坐标系，解答下列问题： （1）分别写出，两点的坐标及点关于轴对称的点和点关于轴对称的点的坐标． （2）在图中画出一个以点，，，为顶点的四边形，使其为轴对称图形，要求点在格点上． 【答案】（1），，， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据图象并结合轴对称的性质写出坐标即可； （2）根据轴对称的定义作图即可． 【小问1详解】 解：，，， 【小问2详解】 解：答案不唯一，如图，四边形即为所求． ． 19. 下面是证明等腰三角形性质定理“三线合一”的三种方法，选择其中一种完成证明． 等腰三角形性质定理：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简记为：三线合一）． 方法一： 已知：如图，中，，平分． 求证：，． 方法二： 已知：如图，中，，点为中点． 求证：，． 方法三： 已知：如图，中，，． 求证：， 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】三种方法证明，利用全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：方法一：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，； 方法二：∵点为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，； 方法三：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了三线合一定理的证明，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 20. 如图，在中，是的平分线，的垂直平分线交于点F，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）与的大小是否相等？若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】（1）根据角平分线定义得到，根据线段垂直平分线定义得到，推出，即可得到结论； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，推出，再根据，推出． 【小问1详解】 证明：∵是的平分线， ∴， ∵的垂直平分线交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ，理由如下： ∵的垂直平分线交于点F，交的延长线于点E． ∴， ∴， ∵，，， ∴． 【点睛】此题考查了角平分线的定义，平行线的判定定理，线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 21. 学科实践 为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处，测得河北岸的一棵树底部点恰好在点的正北方向，测量方案如下表： 实践课题 测量河流宽度 测量工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从点沿正东方向走到点处，此时恰好测得． 观测者从点沿正东方向走到点，点是的中点，然后从点沿垂直于的正南方向走，直到，，三点在同一条直线上． 测量示意图 （1）第一小组认为，河宽的长度就是线段________的长度． （2）第二小组的方案灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为河宽的长度就是线段的长度，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． （3）请你代表第三小组，设计一个测量方案，把测量方案和测量示意图填入上表，并说明方案的可行性． 【答案】（1） （2）可行；见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）根据等腰三角形的判定进行解答即可； （2）证明，得出，从而说明河宽的长度就是线段的长度； （3）根据三角形全等的方法，构造全等三角形，设计方案即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：第二小组的方案可行， 证明：点是的中点， ， ，， ， 在和中， ， ， 河宽长度就是线段的长度， 第二小组的方案可行． 小问3详解】 解：（答案不唯一）如第三小组测量方案：观测者从点沿正西方向走到点处，使用测量角度的仪器测得，交的延长线于点． 测量示意图： 理由：， ， 在和中， ， ． 河宽的长度等于线段的长度． 实践课题 测量河流宽度 测量工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从点沿正东方向走到点处，此时恰好测得． 观测者从点沿正东方向走到点，点是的中点，然后从点沿垂直于的正南方向走，直到，，三点在同一条直线上． 观测者从点沿正西方向走到点处，使用测量角度的仪器测得，交的延长线于点 测量示意图 22. 【问题呈现】 小明在学习中遇到这样一个问题： 如图①，在中，，平分，于点，猜想与，之间的数量关系． （1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路．于是尝试代入，的值求的值，得到下面几组对应值： /度 /度 /度 上表中________，于是得到与，之间的数量关系为_______________． 【变式应用】 （2）小明继续研究，在图②中，，，其他条件不变，若把“于点”改为“是线段上一点，于点”，求的度数，并直接写出与，之间的数量关系． 【思维发散】 （3）小明突发奇想，交换，两个字母的位置，在图③中，若把（2）中的“是线段上一点”改为“是的延长线上一点”，其余条件不变，当，时，的度数为________． 【答案】（1），；（2），；（3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）求出和的大小即可得出的值，再通过找规律的形式得出三者的关系； （2）分别用和表示出和，即可得出答案； （3）分别用和表示出和，即可得解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 于是得到与，之间的数量关系为； （2）如图，过点作于点． ，， ． ． ，， ，． 平分， ． ， ，． （3）如图，过点作于点． ，， ． ． 由（2）同理可得， ． ，， ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，，，点为线段上的一个动点（点不与点，重合），点在的延长线上，，且是的平分线，连接． （1）求证：． （2）当点是的中点时，求点的坐标． （3）在点运动的过程中，的大小是否发生变化？如果变化，请求出的度数的取值范围；如果不变，请求出的度数． 【答案】（1）见解析 （2） （3）不变， 【解析】 【分析】（1）证明，由，推出，再由，，推出； （2）如图，连接交轴于点．证明，进而求出点C的坐标； （3）证明，再根据三角形的外角的性质证明即可． 【小问1详解】 证明：，， ． ． ， ． ， ． ，， ． 【小问2详解】 解：如图，连接交轴于点． 点是的中点，， ． ，是的平分线， 轴． ． ． 在和中， ≌． ，． ． ． 【小问3详解】 解：不变． 是的平分线， ， ． ， ． ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$