第10讲 导数中的隐零点问题（思维导图+4知识点+三大考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教A版2019）

第10讲 导数中的隐零点问题 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 【考点一：利用隐零点解决最值、极值】 【考点二：利用隐零点判断零点个数】 【考点三：利用隐零点证明不等式】 模块四 小试牛刀过关测 1.了解隐零点的定义. 2掌握同构技巧在隐零点问题中的应用. 一、隐零点问题 隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）. 基本步骤： 第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程, 并结合的单调性得到零点的范围; 第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数 的正负, 进而得到的最值表达式; 第 3 步: 将零点方程适当变形, 整体代入最值式子进行化简: （1）要么消除最值式中的指对项 （2）要么消除其中的参数项; 从而得到最值式的估计. 二、函数零点的存在性定理 函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得. 三、隐零点的同构 实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 所以下面我们看到的这两个问题, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向. 我们看下面两例: 一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析 所以在解决形如 , 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作. 四、题设条件分析 1、隐零点指对于超越方程或者是一些带参数的方程，无法直接求得确切的零点，但是零点确实存在的问题。特别是在求导的过程，求函数极值点，对原函数求导后，令导函数等于零，就导函数零点进一步探寻原函数极值点或最值时会经常遇到“隐零点”问题。 2、隐零点常见题型，有证明零点个数，求解不等式，求最值的取值范围，求参数的范围。 3、解决办法，往往是“虚设零点”，设而不求，结合零点存在定理来初步确定零点的所在区间。往往这样的零点都与某个参数相关联，相互依赖。在使用零点存在定理确定区间时往往存在困难，必要时使用放缩法取含参的特殊值来确定零点存在区间。 4、特别是针对导函数的“隐零点”，求解取值范围时，需要根据导函数零点代入方程，把参数表示成含隐零点的函数，再来求原函数的极值或者最值问题，或证明不等式。构建关于隐零点作为自变量的新函数，求函数值域或者证明不等式恒成立问题。 【考点一：利用隐零点解决最值、极值】 一、解答题 1．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，，若在上不单调，求a的取值范围. 2．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）已知直线与函数的图象相切. (1)求的值； (2)求函数的极大值. 3．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，若在上恒成立，求实数的取值范围． 4．（2024高二·全国·专题练习）设，当时，求在上最大值 5．（2024高二下·全国·专题练习）已知函数对任意的恒成立，其中实数，求的取值范围. 6．（22-23高二下·江苏苏州·期末）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若都有，求的取值范围． 【考点二：利用隐零点判断零点个数】 一、解答题 1．（22-23高二下·重庆北碚·阶段练习）已知函数． (1)若在处的切线方程为，求m的值； (2)当时，求证：有且仅有两个零点； (3)若时，恒有，求m的取值范围． 2．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知函数． (1)求证：对．曲线在点处的切线恒过定点； (2)当时，判断函数的零点的个数，并说明理由． 3．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）已知函数，. (1)求函数的值域； (2)设函数，证明：有且只有一个零点，且. 【考点三：利用隐零点证明不等式】 一、解答题 1．（2024高二·全国·专题练习）设函数． (1)当时，证明：． (2)当时，证明：． 2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，. (1)当时，求的极小值； (2)若，求证：当时，. 3．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，函数与互为反函数. (1)讨论的奇偶性； (2)若存在，使成立，试求的取值范围； (3)求证：函数仅有1个零点，且. 4．（2024·广西·模拟预测）设函数，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)证明：． 一、解答题 1．（24-25高二上·浙江·开学考试）已知函数，其中. (1)若，求的最小值； (2)证明：至少有两个零点. 2．（24-25高二上·全国·期末）已知函数，为的导数．证明：在区间存在唯一极大值点． 3．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 4．（23-24高二下·辽宁·期末）已知函数. (1)设，求函数的单调区间； (2)若，函数，试判断是否存在，使得为函数的极小值点. 5．（23-24高二下·青海西宁·开学考试）已知函数． (1)若，当时，讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围． 6．（江苏省南通市新高考学科基地2024-2025学年高二上学期第一次大联考（12月）数学试题）已知数列满足：是公差为6的等差数列，是公差为9的等差数列，且. (1)证明：是等差数列； (2)设是方程的根，数列的前项和为，证明：. 7．（22-23高二上·河南·阶段练习）已知函数. (1)证明：有两个极值点，且分别在区间和内； (2)若有3个零点，求整数的值. 参考数据：，，，. 8．（2024·江西新余·模拟预测）已知函数. (1)若，求在处的切线方程. (2)讨论的单调性. (3)求证：若，有且仅有一个零点. 9．（23-24高二下·广东清远·期末）设函数. (1)当时，求在上的最大值; (2)讨论的单调性; (3)若，证明只有一个零点. 10．（23-24高二下·浙江温州·开学考试）已知函数为奇函数． (1)求a的值； (2)设函数， i．证明：有且只有一个零点； ii．记函数的零点为，证明：． 11．（23-24高二上·湖北·期末）已知函数，函数与互为反函数. (1)若函数的值域为，求实数的取值范围； (2)求证：函数仅有1个零点，且. 12．（23-24高二上·山西运城·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 13．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知函数，其中. (1)若在处取得极值，求的单调区间； (2)若对于任意，都有，求的值. 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(1)求的值； (2)求函数的极大值. 【答案】(1)； (2)0. 【分析】（1）设出切点，利用导数的几何意义求解即得. （2）利用导数判断函数的单调性，然后求出极值即可. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 设切点为，则切线的斜率为， 切线方程为， 又切线过点，于是，而，解得，所以. （2）由（1）知，，设，求导得， 令，得，当时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 于是，又， 则存在，当时，，当时，， 从而在上单调递减，在上单调递增， 所以存在唯一极大值. 3．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】采用分类讨论，说明时，满足题意，再讨论时，利用导数判断函数单调性说明符合题意；时，结合函数单调性说明在上不恒成立，综合即可得答案. 【详解】由题意，当时，，，而，则， ∴，满足题意； 注意到，，， 令， 当时，，∴在上单调递增， 结合知，从而在上单调递增， 又，∴恒成立，满足题意； 当时，，∴在上单调递增， 结合，，可得在上有唯一的零点， 且当时，，∴在上单调递减， 又，∴当时，，从而不能恒成立，不合题意； 综上所述，实数a的取值范围为． 4．（2024高二·全国·专题练习）设，当时，求在上最大值 【答案】. 【分析】根据给定条件，利用导数求出函数的可能最大值，再构造函数比较大小作答. 【详解】由，求导得，令，解得， 令，，求导得，函数在上单调递增，则， 则当时，，当时，，当时，， 于是函数在上单调递减，在上单调递增， 因此函数，最大值为与中最大的， 令，，求导得， 令，，求导得，即函数在上单调递减， 而，则存在，使得，即， 当时，，即，当时，，即， 从而函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，，则，即， 所以函数在上最大值为. 5．（2024高二下·全国·专题练习）已知函数对任意的恒成立，其中实数，求的取值范围. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用导数求出函数的最小值不小于0时的最小值点范围，再借助单调性求出的范围. 【详解】依题意，函数的最小值满足， 求导得，令， 显然，即函数在上单调递增， 而，而，则有 ， 因此存在，使得得， 当 时，单调递减；当时， 单调递增， 于是， 得，又函数在上单调递增，且， ， 由，即，解得， 所以的取值范围是. 6．（22-23高二下·江苏苏州·期末）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若都有，求的取值范围． 【答案】(1)函数是R上的增函数； (2). 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再判断导数值正负作答. （2）求出函数的导数，再分析导函数值的情况，分类探讨即可作答. 【详解】（1）当时，函数的定义域为R， ， 所以函数是R上的增函数. （2）函数，， 求导得， 当时，，即函数在上单调递增，，，因此； 当时，令，求导得， 函数在上单调递减，， 则存在，使得，当时，，在上单调递增， 当时，，即， 因此当时，，即，不符合题意； 当时，，不符合题意， 综上得， 所以的取值范围是. 【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以借助分段讨论函数的导函数，结合函数零点探讨函数值正负，以确定单调性推理作答. 【考点二：利用隐零点判断零点个数】 一、解答题 1．（22-23高二下·重庆北碚·阶段练习）已知函数． (1)若在处的切线方程为，求m的值； (2)当时，求证：有且仅有两个零点； (3)若时，恒有，求m的取值范围． 【答案】(1)0； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合已知求出m的值. （2）当时，按分段计算的取值情况，结合零点存在性定理求出的单调区间即可推理得证. （3）分段讨论可得恒成立，再按讨论求解. 【详解】（1）函数，求导得， 依题意，，解得，经验证符合题意， 所以m的值为0. （2）当时，，， 当时，， 当时，， 当时，函数在上单调递增，则在上单调递增， 而，，因此存在唯一，使得， 当时，，当时，，则在上递减，在上递增， 于是，而， 则函数在上有唯一零点，而，则0是在上的唯一零点， 所以函数有且仅有两个零点. （3）由（2）知，函数在上单调递增，此时， 当时，， 则当时，恒成立，当，即时，恒成立， 函数在上单调递增，恒有成立，则； 当时，，， 又函数在上的图象连续不断， 则必存在，使得，且时，， 因此函数在上单调递减，当时，，不符合题意， 所以m的取值范围是. 【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以借助分段讨论函数的导函数，结合函数零点探讨函数值正负，以确定单调性推理作答. 2．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知函数． (1)求证：对．曲线在点处的切线恒过定点； (2)当时，判断函数的零点的个数，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，再证明其经过定点即可； （2）根据函数的定义域分和两种情况讨论函数的零点情况，利用求导判断函数的单调性，再借助于零点存在定理判断零点个数即得. 【详解】（1）由求导可得，， 依题意，， 故曲线在点处的切线为， 即，因，故有，解得， 即切线恒过点，得证； （2）的定义域为，由（1）已得：，， ①当时，，则在上单调递增. 由，而， 因（下面证明），故， 即，由零点存在定理可得，在上有且仅有一个零点， 即在上只有一个零点； 下证：.设，则， 即在上单调递增，故，即成立. ②当时，，则在上单调递增. 由，因，则，而，故， 又， 因在上单调递增，故， 即，由零点存在定理可得，在上有且仅有一个零点, 即在上只有一个零点. 综上所述，时，在上有两个零点. 3．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）已知函数，. (1)求函数的值域； (2)设函数，证明：有且只有一个零点，且. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，首先判断的奇偶性，再利用换元法求出函数在时的取值范围，结合偶函数的性质得解. （2）结合零点的存在性定理分类讨论可证有且只有一个零点；结合零点性质与单调性放缩可得. 【详解】（1）因为， 所以， 则， 所以为偶函数， 当时， 令，则，令，， ，又，， 所以， 即当时，根据偶函数关于轴对称，所以当时， 综上可得. （2）因为， 当时，函数与函数均在上单调递增， 故在上单调递增， 又，， 故存在唯一零点， 当时，，，故， 当时，，，故， 故当时，无零点， 综上所述，有且只有一个零点，且该零点； 由上可知，且有， 则， 即， 由函数在区间上单调递增， 故. 【点睛】关键点睛：本题二问关键在于借助零点的存在性定理判定有且只有一个零点，借助零点得到，将转化为，结合函数单调性，得到. 【考点三：利用隐零点证明不等式】 一、解答题 1．（2024高二·全国·专题练习）设函数． (1)当时，证明：． (2)当时，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）当时，代入函数并对函数 进行求导，利用二阶导数得出导函数在上单调递增函数，再讨论的正负即可求得函数的最小值为，从而得证； （2）对函数 进行求导，得在上单调递增，根据零点的存在性定理可得存在，使得，从而可得的最小值为，再结合基本不等式即可证明. 【详解】（1）当时，，定义域为． ，构造函数， 则，， 所以在上单调递增，又， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增． 所以，故． （2），当时，易知在上单调递增， ， 所以存在，使得，即． 当时，单调递减； 当时，单调递增． 所以， 当且仅当时取等，此时，满足．故原不等式得证． 【点睛】思路点睛：在第二小问证明导函数在定义域内单调后，由于导函数的零点不易求出，故需要找出两个值分别代入，证明导函数的值有正有负，方可设而不求，此处计算较难．属于较难题. 2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，. (1)当时，求的极小值； (2)若，求证：当时，. 【答案】(1)0； (2)证明见解析. 【分析】（1）把代入，求出的导数，确定单调性求出极小值. （2）求出，利用不等式性质证明，再构造函数，利用导数探讨最小值即可推理得证. 【详解】（1）当时，，则， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，，则，在上单调递减， 所以函数在处取得极小值，为. （2）依题意，的定义域为， 当时，，则只需证， 令，求导得， 令，求导得 则函数在上单调递增，且，， 因此函数在上有唯一零点，且，即， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 于是， 则，所以当时，. 【点睛】思路点睛：含参数的函数不等式证明问题，可以利用不等式性质放缩，再构造函数，利用导数探讨单调性、极(最)值即可推理作答. 3．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，函数与互为反函数. (1)讨论的奇偶性； (2)若存在，使成立，试求的取值范围； (3)求证：函数仅有1个零点，且. 【答案】(1)奇函数； (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义即可判断； （2）将转化为或，最后利用函数的最值求解. （3）利用函数的单调性和零点存在定理即可得证. 【详解】（1） ， 因此，是奇函数； （2），使得即，使得 即，使得或 即，使得或 令 在递增，.即，所以； 因为，所以. 综上所述：. （3）因为的定义域为， 且均在上递增，所以在递增， ， 所以，故在上恰有一个零点 因此，在上仅有1个零点，且. 故 所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于函数不等式的证明，解答时要结合函数存在零点，得到关于零点的等式，进而结合该等式化简，从而构造函数，结合函数的单调性，证明结论. 4．（2024·广西·模拟预测）设函数，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)证明：． 【答案】(1)函数的单调递减区间为，单调递增区间为． (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的定义域，利用导数求出其单调区间即可. （2）通过导数及零点存在定理判断函数在上单调递减，在上单调递增，且，等式两边取对数并使用基本不等式证明即可. 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以， 令 因为， 所以在上单调递增， 即在上单调递增，注意到， 所以当时，； 当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）证明：， 即， 的定义域为， 且． 在上单调递增， 当时，在上单调递增， 故在上单调递增， 又，当趋近于0时，， 根据零点存在定理可知，导函数存在唯一的零点， 设该零点为．当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值． ，即， 两边同时取对数得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 故当时，， 即． 一、解答题 1．（24-25高二上·浙江·开学考试）已知函数，其中. (1)若，求的最小值； (2)证明：至少有两个零点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数求出最值可得答案； （2）求出，，由零点存在定理判断可得答案. 【详解】（1）由得， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 因此最小值为； （2）不全为0，不妨，， 所以，， 因此由零点存在定理，在各至少有一个零点，结论得证. 2．（24-25高二上·全国·期末）已知函数，为的导数．证明：在区间存在唯一极大值点． 【答案】证明见解析 【分析】构建，利用导数结合零点存在性定理分析的单调性和极值即可. 【详解】由题意可得， 设，则． 当时，因为在区间内单调递减， 可知在区间内单调递减，且，， 可得在上有唯一零点，设为． 当时，；当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减． 故在上存在唯一极大值点， 即在上存在唯一极大值点． 3．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）把代入，求出函数的图象在的切线方程即可求解. （2）求出函数的导数，按分类探讨函数的单调性即可得解. 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 则的图象在点处的切线方程为，该切线交轴于点，交轴于点， 所以该切线与坐标轴转成的三角形面积为. （2）当时，函数，求导得， 令，，求导得，则函数在上递增， 因此，当，即时，函数在上单调递增，， 当时，，则存在，使得， 当时，，函数在上单调递减，当时，，不符合题意， 所以关于的不等式在上恒成立，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： ①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； ②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． ③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 4．（23-24高二下·辽宁·期末）已知函数. (1)设，求函数的单调区间； (2)若，函数，试判断是否存在，使得为函数的极小值点. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为； (2)存在. 【分析】（1）求出函数及导数，进而求出单调区间. （2）求出函数，利用导数探讨单调性，结合零点存在性定理求解即得. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 由，得，由，得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）当时，函数，求导得. 令，求导得，由，得， 因此函数在区间上单调递增，又，， 则存在，使得且当，，当时，， 于是函数在上单调递减，在上单调递增，即当时，取得极小值， 所以存在，使得为函数的极小值点. 5．（23-24高二下·青海西宁·开学考试）已知函数． (1)若，当时，讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围． 【答案】(1)递增区间为，，递减区间为； (2). 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数求出单调区间即得. （2）等价变形不等式，构造函数，利用导数分类讨论求出a的范围. 【详解】（1）当，时，，求导得， 由，得或，当或时，，当时，， 所以函数的递增区间为，，递减区间为. （2）当时，， 令，求导得， 令，求导得，当时，，而， 则，函数在上递增，有， 当，即时，，函数在上递增，，符合题意，则； 当时，，而， 于是在上存在，使得，当时，， 因此函数在上单调递减，当时，，不符合题意， 所以a的取值范围是. 【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 6．（江苏省南通市新高考学科基地2024-2025学年高二上学期第一次大联考（12月）数学试题）已知数列满足：是公差为6的等差数列，是公差为9的等差数列，且. (1)证明：是等差数列； (2)设是方程的根，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意结合等差数列定义可得，，即可得，再求，验证可得即可； （2）构建，利用导数结合零点存在性定理可得，分析可知数列为等比数列，结合等比数列求和公式分析证明. 【详解】（1）因为是公差为6的等差数列，则， 设，可得，， 又因为是公差为9的等差数列， 则， 可得，即， 且，解得， 即，，可得， 综上所述：，所以是等差数列. （2）构建，则是函数的零点 因为，则在上单调递增， 且，可知有且仅有一个零点， 又因为， 可知数列是以首项，公比为的等比数列， 则， 又因为，可得， 所以. 7．（22-23高二上·河南·阶段练习）已知函数. (1)证明：有两个极值点，且分别在区间和内； (2)若有3个零点，求整数的值. 参考数据：，，，. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）求导，构建新函数，将极值问题转化为函数的零点问题，结合导数分析证明. （2）由（1）分析的单调性可得，再运用零点代换，结合零点的范围运算求解. 【详解】（1）函数，求导得， 令，求导得， 由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递减，且，， 因此在内有且仅有一个零点； 则在上单调递增， 且，， 因此在内有且仅有一个零点； 则函数有两个零点，且分别在区间和内， 设的两个零点为， 当时，，当或时，， 则在上单调递减，在，上单调递增， 所以有两个极值点，且分别在区间和内. （2）依题意，，而， 即， 因此，解得， 由，得，且为整数，则或0， 故整数的值为或0. 8．（2024·江西新余·模拟预测）已知函数. (1)若，求在处的切线方程. (2)讨论的单调性. (3)求证：若，有且仅有一个零点. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）根据给定条件，按，，，分类，利用导数求出单调区间. （3）利用（2）的结论，结合零点存在性定理推理证明即可. 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 求导得， ①当时，由，得，由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减； ②当时，由，得，由，得， 则函数在上单调递增，在，上单调递减； ③当时，，函数在上单调递减； ④当时，由，得，由，得， 则函数在上单调递增，在，上单调递减， 所以当时，函数的递增区间为，递减区间为； 当时，函数的递增区间为，递减区间为，； 当时，函数的递减区间为； 当时，函数的递增区间为，递减区间为，. （3）①当时，函数在上单调递减，而，， 因此存在唯一使，则有且仅有一个零点； ②当时，函数在处取得极小值， 令，求导得，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，即， ，当时，，则， 因此存在唯一使，则有且仅有一个零点； ③当时，函数在处取得极小值，， 同理存在唯一使，则有且仅有一个零点， 所以有且仅有一个零点. 9．（23-24高二下·广东清远·期末）设函数. (1)当时，求在上的最大值; (2)讨论的单调性; (3)若，证明只有一个零点. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先代入a的值，再求导函数得出单调性求出最大值； （2）先求导函数，再根据判别式分类讨论得出单调性即可； （3）先判断函数值正负，再应用零点存在定理判断零点个数. 【详解】（1）当时， , 当所以在上单调递增 , 当所以在上单调递减 , 所以在上的最大值为. （2），定义域为, 当时，所以 在上单调递增 . 时，时，有, 所以 在上单调递减,在上单调递增 ; 当时,在上单调递增 ,在上单调递减; 当时，在上单调递减,在上单调递增 . （3）当时, 当 时， , 所以 有且仅有一个零点; 时， 单调递增,,所以 有且仅有一个零点; 时，, 所以有且仅有一个零点; 综上，时只有一个零点. 【点睛】方法点睛：利用导数判断函数的单调性，进而求解函数在某个区间上的最值，以及分类讨论利用函数的单调性求函数值，进而判断函数零点存在情况 . 10．（23-24高二下·浙江温州·开学考试）已知函数为奇函数． (1)求a的值； (2)设函数， i．证明：有且只有一个零点； ii．记函数的零点为，证明：． 【答案】(1) (2)i．证明见解析；ii．证明见解析 【分析】（1）借助函数的奇偶性计算即可得； （2）结合零点的存在性定理分类讨论可证有且只有一个零点；结合零点性质与单调性放缩可得. 【详解】（1）， 即有，即恒成立， 故； （2）i．当时，函数与函数均在定义域上单调递增， 故在上单调递增， 又，， 故存在唯一零点， 当时，，，故， 当时，，，故， 故当时，无零点， 综上所述，有且只有一个零点，且该零点； ii．由上可知，且有， 则， 即， 由函数在区间上单调递增， 故. 【点睛】关键点睛：本题i．问关键在于借助零点的存在性定理判定有且只有一个零点，ii．问关键在于借助零点，将转化为，结合函数单调性，得到. 11．（23-24高二上·湖北·期末）已知函数，函数与互为反函数. (1)若函数的值域为，求实数的取值范围； (2)求证：函数仅有1个零点，且. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）由反函数定义可得，从而结合的值域为，讨论m的取值，结合解不等式，求得答案； （2）利用零点存在定理，并结合函数的单调性可证明函数仅有1个零点，从而得到，进而将要证明的不等式等价转化为，由此构造函数，利用函数的单调性证明结论. 【详解】（1）因为函数与互为反函数，所以. 因为的值域为，所以能取遍内的所有值， 当时，能取遍内的所有值，符合题意； 当时，则只需，解得， 综上所述，实数的取值范围为； （2）由（1）可得，定义域为， 因为，， （） 由零点存在定理有，存在零点，使得， 又因为在上单调递增，所以仅有1个零点， 且. 等价于， 令，显然函数在定义域上单调递增， 因为，所以， 因为，所以，则. 所以，故，得证. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于函数不等式的证明，解答时要结合函数存在零点，得到关于零点的等式，进而结合该等式化简，从而构造函数，结合函数的单调性，证明结论. 12．（23-24高二上·山西运城·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)增区间是，减区间是； (2). 【分析】（1）求出函数的导数，再讨论导函数小于0、大小0的x取值集合得解. （2）根据给定条件，构造函数，，利用导数结合零点存在性定理分类讨论求解即得. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， 当时，，又，则，，函数在上单调递减； 设，则， 当时，是增函数，即在上单调递增， 则，因此在上单调递增， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）不等式化为， 设，依题意，在上恒成立，而， 求导得，令，， 求导得，令，， 显然，则，即在上是增函数， ，当时，， 函数，即在上单调递增，于是在上单调递增， 所以恒成立，原不等式恒成立； 当时，则，又， 所以存在，使得， 当时，，即在上单调递减，时，， 即在上单调递增， 又，则当时，，从而在上单调递减， 于是当时，，不合题意． 所以实数a的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： ①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； ②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． ③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 13．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知函数，其中. (1)若在处取得极值，求的单调区间； (2)若对于任意，都有，求的值. 【答案】(1)增区间是，减区间是 (2) 【分析】（1）先求出，由题意得求出，检验可得； （2）先将“不等式恒成立”问题等价转化为“恒成立”问题，再构造函数，由与，分三类探究即可. 【详解】（1），由，函数定义域为. 则， ∵在处取得极值， ∴， 设，则在单调递减， 至多一个实数根，又， 方程有且仅有一个实数根. 当时，，其中. ， ， 当时，，则，在单调递增； 当时，，则，在单调递减； 所以在处取得极大值，极大值为. 故的增区间是，减区间是； （2）由（1）知，当时，在处取最大值，且最大值为， 即任意时，都有，满足题意. 由，得， 令，则，不等式转化为， 即在恒成立. 设，其中， ，其中， ①当时，且， 故存在，使，由在单调递减， 则当时，，在单调递减， 所以，故不满足恒成立，即不合题意； ②当时，且， 故存在，使，由在单调递减， 则当时，，在单调递增， 所以，故不满足恒成立，即不合题意； 综上所述，若对于任意，都有，则. 【点睛】已知不等式恒成立求参数问题，我们可以先取定义域内的一个或几个特殊点探路.如题目第（2）问中得到，由恒成立，考虑，再借助与的大小分类讨论求解即可. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$