广东省江门市开平市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年广东省江门市开平市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（3分）做好垃圾分类，共创文明新风．下列垃圾分类指引标志文字上方的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣5＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝14 B．（x+3）2＝14 C．（x﹣3）2＝41 D．（x+3）2＝46 3．（3分）把抛物线y＝x2向右平移3个单位，然后再向下平移2个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　） A．y＝（x﹣3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+2 C．y＝（x+3）2+2 D．y＝（x+3）2﹣2 4．（3分）下列事件是必然事件的是（　　） A．声音会在空气中传播 B．抛掷一枚质地均匀的硬币，背面向上 C．过马路遇到红灯 D．如果am＝bm，那么a＝b 5．（3分）如图，一块含30°角的直角三角板ACB绕点C逆时针旋转一定的角度到△A'CB'的位置，且A′C⊥AB，则三角板ABC旋转的角度是（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 6．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为4，则这个正六边形的边心距OM为（　　） A．2 B． C． D．3 7．（3分）若A（﹣1，y1），B（0，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣1）2+m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3 8．（3分）若一次函数的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，在⊙O中，弦MN的长为，点A在⊙O上，MN⊥OA，∠ANM＝30°．若⊙O所在的平面内有一点P，且OP＝2，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定 10．（3分）如图，E为矩形ABCD对角线AC上的一点，AE＝AB＝3，AD＝4，则方程x2+6x﹣16＝0的正数解是（　　） A．线段AE的长 B．线段BE的长 C．线段CE的长 D．线段AC的长 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）已知点M和点N关于原点中心对称．若点M的坐标为（3，﹣2），则点N的坐标为 　 　． 12．（3分）一个盒子中装有除颜色外其他都相同的20个蓝色小球和若干个红色小球．小明通过多次摸取小球的试验发现，摸取到红色小球的频率稳定在0.2左右，则盒子中约有 　 　个红色小球． 13．（3分）若关于x的方程x2﹣3x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围是 　 　． 14．（3分）如图，小亮同学投掷实心球，出手（点M处）的高度OM是，出手后实心球沿一段抛物线路径运动．实心球到达最高点时，与小亮的水平距离是4m，高度是4m．若实心球的落地点为P，则OP＝ 　 　m． 15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，∠CAB＝60°，以点C为圆心，AC的长为半径作弧，分别交边BC，AB于点D，E，则阴影部分的面积为 　 　． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．（7分）解方程：x2+5x+4＝0． 17．（7分）已知二次函数y＝m（x+1）2﹣5的图象经过点（1，3）． （1）求m的值． （2）判断点（﹣2，﹣1）是否在这个二次函数的图象上． 18．（7分）瓷板画（图1）最早可追溯到秦汉时期，是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为⊙O上的两点，连接AC，AC∥l（桌面），⊙O的半径OA＝26cm，AB，CD分别与直线l垂直于B，D两点，AB＝CD＝3cm，AC＝20cm，过点O作OE⊥l于点E，交AC于点F，求圆心O到桌面l的距离OE． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．（9分）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在活动课上制作了A，B，C，D四张卡片，这四张卡片除图片内容不同外，没有其他区别．将这四张卡片放置于暗箱中摇匀． （1）小明从暗箱中随机抽取一张，抽中A卡片的概率是 　 　． （2）小华从暗箱中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小华抽到两张内容均为物理变化的卡片的概率． 20．（9分）（1）尺规作图：已知⊙O及圆外一点P，过点P作圆的两条切线PA，PB，切点分别是点A和点B、（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接BO并延长，交⊙O于点C，连接AC．若∠APB＝50°，求∠ACB的度数． 21．（9分）体育点燃梦想，奥运余温传至大湾区，第十五届全运会的举办将掀起新一轮运动浪潮．某市参加体育运动的人数逐年增多，从2022年的25万人增加到2024年的36万人． （1）求该市2022年到2024年参加体育运动的人数的年平均增长率． （2）为支持市民的体育运动，市政府决定从某公司购买某种运动器材套装．该公司规定：若购买数量不超过120套，则每套售价2400元；若购买数量超过120套，则每增加10套，售价每套可降低50元，但最低售价不得少于1500元．已知市政府向该公司支付货款40万元，求该市政府购买的这种运动器材的套数． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22．（13分）【知识技能】 （1）如图1，在等边三角形ABC内有一点M．若点M到顶点C，A，B的距离分别为6，10，8，求∠BMC的度数． 为了解决本题，我们可以将△AMC绕顶点C逆时针旋转60°到△BM'C处，此时△BM'C≌△AMC，这样就可以利用旋转变换，将三条线段AM，BM，CM转化到一个三角形中，从而求得∠BMC＝ 　 　°． 【构建联系】 利用（1）的解答思想方法，解答下面的问题． （2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P，Q为AB上的点，且∠PCQ＝45°，求证：PQ2＝BQ2+AP2． 【深入探究】 （3）如图3，在等边三角形ABC中，AC＝2，O为△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 23．（14分）如图，抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B和点C的坐标分别为（2，0）和（0，﹣5）． （1）求抛物线的解析式． （2）求线段AB的长． （3）如图2，P为抛物线第三象限上的一个动点，过点P作PH∥x轴，交y轴于点H，连接PC，PB，PB与y轴交于点D．设点P的横坐标为t，△CPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不用写出t的取值范围），并直接写出当OH：HC＝3：2时，S的值． 2024-2025学年广东省江门市开平市九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A A B B D D A C 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（3分）做好垃圾分类，共创文明新风．下列垃圾分类指引标志文字上方的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义逐项判断即可． 【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了轴对称图形、中心对称图形，熟练掌握这两个定义是解题的关键． 2．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣5＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝14 B．（x+3）2＝14 C．（x﹣3）2＝41 D．（x+3）2＝46 【分析】根据配方法放步骤求解即可． 【解答】解：x2﹣6x﹣5＝0， x2﹣6x＝5， x2﹣6x+9＝5+9， （x﹣3）2＝14． 故选：A． 【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解题的关键是掌握配方法的步骤． 3．（3分）把抛物线y＝x2向右平移3个单位，然后再向下平移2个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　） A．y＝（x﹣3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+2 C．y＝（x+3）2+2 D．y＝（x+3）2﹣2 【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线y＝x2的顶点为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移后的对应点的坐标为（3，﹣2），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式． 【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移3个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（3，﹣2），所以平移后抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 4．（3分）下列事件是必然事件的是（　　） A．声音会在空气中传播 B．抛掷一枚质地均匀的硬币，背面向上 C．过马路遇到红灯 D．如果am＝bm，那么a＝b 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：A、声音会在空气中传播是必然事件，符合题意； B、抛掷一枚质地均匀的硬币，背面向上是随机事件，不符合题意； C、过马路遇到红灯是随机事件，不符合题意； D、如果am＝bm，那么a＝b是随机事件，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 5．（3分）如图，一块含30°角的直角三角板ACB绕点C逆时针旋转一定的角度到△A'CB'的位置，且A′C⊥AB，则三角板ABC旋转的角度是（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 【分析】设A′C⊥AB于点H，则∠AHC＝90°，而∠A＝30°，所以∠ACA′＝60°，于是得到问题的答案． 【解答】解：设A′C⊥AB于点H，则∠AHC＝90°， ∵∠A＝30°， ∴∠ACA′＝90°﹣∠A＝60°， ∴三角板ABC的旋转的角度是60°， 故选：B． 【点评】此题重点考查旋转的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，由A′C⊥AB，∠A＝30°，求得∠ACA′＝60°是解题的关键． 6．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为4，则这个正六边形的边心距OM为（　　） A．2 B． C． D．3 【分析】根据正六边形的性质求出∠BOM，利用余弦的定义计算即可． 【解答】解：正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为4，如图，连接OB， ∴， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式、熟记余弦的概念是解题的关键． 7．（3分）若A（﹣1，y1），B（0，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣1）2+m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3 【分析】由二次函数的解析式，可得出二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，利用二次函数的性质，可得出离对称轴越远，函数值越小，再结合点A，B，C三点的横坐标，即可得出y2＞y1＞y3． 【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+m，﹣1＜0， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝1， ∴离对称轴越远，函数值越小， 又∵|﹣1﹣1|＝2，|0﹣1|＝1，|4﹣1|＝3，1＜2＜3， ∴y2＞y1＞y3． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记“当a＞0时，抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大；当a＜0时，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小”是解题的关键． 8．（3分）若一次函数的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】依据题意，一次函数的图象从左往右是上升的，且与y轴的交点在x轴上方得﹣＞0，c＞0，则在二次函数中，c＞0，对称轴为直线x＝﹣＞0，可得二次函数的图象与y轴的交点在x轴的上方，对称轴在y轴的右侧，从而可以判断得解． 【解答】解：∵一次函数的图象从左往右是上升的，且与y轴的交点在x轴上方， ∴﹣＞0，c＞0， ∴在二次函数中，c＞0，对称轴为直线x＝﹣＞0． ∴二次函数的图象与y轴的交点在x轴的上方，对称轴在y轴的右侧， 故选：D． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 9．（3分）如图，在⊙O中，弦MN的长为，点A在⊙O上，MN⊥OA，∠ANM＝30°．若⊙O所在的平面内有一点P，且OP＝2，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定 【分析】先根据垂径定理得出MB＝NB＝MN，再由∠ANM＝30°得出∠AOM＝60°，故∠M＝30°，可知OM＝2OB，设OB＝x，则OM＝2x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出OM的长，根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【解答】解：设MN与OA交于点B， ∵弦AB的长为2，MN⊥OA， ∴MB＝NB＝MN＝， ∵∠ANM＝30°， ∴∠AOM＝2∠ANM＝60°， ∴∠M＝30°， ∴OM＝2OB， 设OB＝x，则OM＝2x， 在Rt△BOM中，OB2+BM2＝OM2， 即x2+（）2＝（2x）2， 解得x＝±1（负值舍去）， ∴OM＝2x＝2， ∵OP＝2， ∴OP＝OM， ∴点P在⊙O上． 故选：A． 【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，垂径定理及勾股定理，圆周角定理，熟知点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r是解题的关键． 10．（3分）如图，E为矩形ABCD对角线AC上的一点，AE＝AB＝3，AD＝4，则方程x2+6x﹣16＝0的正数解是（　　） A．线段AE的长 B．线段BE的长 C．线段CE的长 D．线段AC的长 【分析】首先求出一元二次方程的解为x＝2或8，然后由矩形的性质得到BC＝AD＝4，∠ABC＝90°，利用勾股定理求出，进而得到CE＝AC﹣AE＝5﹣3＝2，即可求解． 【解答】解：x2+6x﹣16＝0， （x﹣2）（x+8）＝0， x﹣2＝0或x+8＝0， 解得x＝2或8； ∵四边形ABCD是矩形，AE＝AB＝3， ∴BC＝AD＝4，∠ABC＝90°， ∴， ∴CE＝AC﹣AE＝5﹣3＝2． ∴方程x2+6x﹣16＝0的正数解是线段CE的长． 故选：C． 【点评】此题考查了解一元二次方程，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）已知点M和点N关于原点中心对称．若点M的坐标为（3，﹣2），则点N的坐标为 　（﹣3，2）　． 【分析】利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而求出即可． 【解答】解：∵点M和点N关于原点中心对称．若点M的坐标为（3，﹣2）， ∴点N的坐标为：（﹣3，2）． 故答案为：（﹣3，2）． 【点评】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键． 12．（3分）一个盒子中装有除颜色外其他都相同的20个蓝色小球和若干个红色小球．小明通过多次摸取小球的试验发现，摸取到红色小球的频率稳定在0.2左右，则盒子中约有 　5　个红色小球． 【分析】用蓝色小球的个数除以其频率求得小球的总个数，继而可得答案． 【解答】解：盒子中球的总个数约为20÷（1﹣0.2）＝25（个）， 则红色小球的个数约为25﹣20＝5（个）， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 13．（3分）若关于x的方程x2﹣3x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围是 　c＜　． 【分析】根据方程x2﹣3x+c＝0有两个不相等的实数根，得到Δ＝9﹣4c＞0，从而得到结果． 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+c＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝9﹣4c＞0， ∴c＜， 故答案为：c＜． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键． 14．（3分）如图，小亮同学投掷实心球，出手（点M处）的高度OM是，出手后实心球沿一段抛物线路径运动．实心球到达最高点时，与小亮的水平距离是4m，高度是4m．若实心球的落地点为P，则OP＝ 　　m． 【分析】先建立平面直角坐标系，然后求出抛物线解析式，再求出抛物线与x轴的交点，从而可以得到OP的长度． 【解答】解：建立平面直角坐标系，如图， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+4， ∵点（0，）在该抛物线上， ∴＝a（0﹣4）2+4， 解得a＝﹣， ∴y＝﹣（x﹣4）2+4， 令y＝0，则0＝﹣（x﹣4）2+4， 解得x1＝﹣，x2＝， ∴OP＝， 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，建立合适的平面直角坐标系，求出相应的解析式． 15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，∠CAB＝60°，以点C为圆心，AC的长为半径作弧，分别交边BC，AB于点D，E，则阴影部分的面积为 　　． 【分析】连接CE，过点C作CF垂直于AB交AB于点F．根据等边三角形的判定与性质求出∠ACE、AE，从而求出∠DCE，根据三角函数求出CF，再由扇形和三角形面积公式，根据S阴影＝S扇形ACD+SRt△ABC﹣2（S△ACE+S扇形DCE）计算阴影部分的面积即可． 【解答】解：如图，连接CE，过点C作CF垂直于AB交AB于点F． ∵∠CAB＝60°，AC＝CE， ∴△ACE是等边三角形， ∴∠ACE＝60°，AE＝AC＝3， ∴CF＝AC•sin∠CAB＝3×＝， ∵∠ACB＝90°， ∴BC＝AC•tan∠CAB＝3×＝3，∠DCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°， ∴S阴影＝S扇形ACD+SRt△ABC﹣2（S△ACE+S扇形DCE）＝π×32+×3×3﹣2×（×3×+π×32）＝+﹣﹣＝． 故答案为：． 【点评】本题考查扇形面积的计算、含30°角的直角三角形，掌握等边三角形的判定与性质、特殊角的三角函数、扇形和三角形的面积计算公式是解题的关键． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．（7分）解方程：x2+5x+4＝0． 【分析】分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：x2+5x+4＝0， （x+4）（x+1）＝0， ∴x+4＝0或x+1＝0， ∴x1＝﹣4，x2＝﹣1． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 17．（7分）已知二次函数y＝m（x+1）2﹣5的图象经过点（1，3）． （1）求m的值． （2）判断点（﹣2，﹣1）是否在这个二次函数的图象上． 【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值； （2）代入x＝﹣2，求出y值，再将其与﹣1比较后，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝m（x+1）2﹣5的图象经过点（1，3）， ∴3＝m（1+1）2﹣5， 解得：m＝2， ∴m的值为2； （2）当x＝﹣2时，y＝2×（﹣2+1）2﹣5＝﹣3， ∵﹣3≠﹣1， ∴点（﹣2，﹣1）不在这个二次函数的图象上． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代入点的坐标，求出m的值是解题的关键． 18．（7分）瓷板画（图1）最早可追溯到秦汉时期，是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为⊙O上的两点，连接AC，AC∥l（桌面），⊙O的半径OA＝26cm，AB，CD分别与直线l垂直于B，D两点，AB＝CD＝3cm，AC＝20cm，过点O作OE⊥l于点E，交AC于点F，求圆心O到桌面l的距离OE． 【分析】先根据AC∥l，OE⊥l，可得OF⊥AC，EF＝AB＝CD＝3cm，再根据垂径定理得，然后根据勾股定理得，即可得出答案． 【解答】解：由条件可知：OF⊥AC，EF＝AB＝CD＝3cm． ∵AC＝20cm， ∴． 在Rt△AOF中，根据勾股定理得， ∴OE＝OF+EF＝24+3＝27（cm）． 【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，平行线间的距离，熟练掌握以上知识点是关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．（9分）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在活动课上制作了A，B，C，D四张卡片，这四张卡片除图片内容不同外，没有其他区别．将这四张卡片放置于暗箱中摇匀． （1）小明从暗箱中随机抽取一张，抽中A卡片的概率是 　　． （2）小华从暗箱中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小华抽到两张内容均为物理变化的卡片的概率． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中小华抽到两张内容均为物理变化的卡片的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）∵某学习小组在活动课上制作了A，B，C，D四张卡片，将这四张卡片放置于暗箱中摇匀， ∴小明从暗箱中随机抽取一张，抽中A卡片的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小华抽到两张内容均为物理变化的卡片的结果有2种，即BD、DB， ∴小华抽到两张内容均为物理变化的卡片的概率为＝． 【点评】此题考查了树状图法求概率以及概率公式．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 20．（9分）（1）尺规作图：已知⊙O及圆外一点P，过点P作圆的两条切线PA，PB，切点分别是点A和点B、（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接BO并延长，交⊙O于点C，连接AC．若∠APB＝50°，求∠ACB的度数． 【分析】（1）连接OP，作以线段OP为直径的圆，交⊙O于点A、点B，由“直径所对的圆周角是直角”可知OAP＝∠OBP＝90°，则直线PA，PB都是⊙O的切线． （2）由∠OAP＝∠OBP＝90°，∠APB＝50°，求得∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠APB＝130°，则∠ACB＝∠AOB＝65°． 【解答】解：（1）作法：1．连接OP， 2．作OP的垂直平分线QR，交OP于点M， 3．以点M为圆心，以MP为半径作圆，交⊙O于点A、点B， 4．作直线PA、PB， 直线PA，PB就是所求的⊙O的切线． 理由：连接OA、OB， 由作法可知，OP是⊙M的直径， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∵OA、OB是⊙O的半径，且PA⊥OA，PB⊥OB， ∴PA、PB都是⊙O的切线． （2）由（1）得∠OAP＝∠OBP＝90°， ∵∠APB＝50°， ∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°， ∴∠ACB＝∠AOB＝×130°＝65°， ∴∠ACB的度数是65°． 【点评】此题重点考查尺规作图、切线的性质与判定、圆周角定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 21．（9分）体育点燃梦想，奥运余温传至大湾区，第十五届全运会的举办将掀起新一轮运动浪潮．某市参加体育运动的人数逐年增多，从2022年的25万人增加到2024年的36万人． （1）求该市2022年到2024年参加体育运动的人数的年平均增长率． （2）为支持市民的体育运动，市政府决定从某公司购买某种运动器材套装．该公司规定：若购买数量不超过120套，则每套售价2400元；若购买数量超过120套，则每增加10套，售价每套可降低50元，但最低售价不得少于1500元．已知市政府向该公司支付货款40万元，求该市政府购买的这种运动器材的套数． 【分析】（1）设该市2022年到2024年参加体育运动的人数的年平均增长率为x，根据从2022年的25万人增加到2024年的36万人，列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设该市政府购买的这种运动器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款40万元，列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【解答】解：（1）设该市2022年到2024年参加体育运动的人数的年平均增长率为x， 根据题意得：25（1+x）2＝36， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， 答：该市2022年到2024年参加体育运动的人数的年平均增长率为20%； （2）设该市政府购买的这种运动器材的套数为m套， ∵2400×120＝288000（元），288000＜400000， ∴m＞120， 根据题意得：m（2400﹣×50）＝400000， 整理得：m2﹣600m+80000＝0， 解得：m1＝200，m2＝400， 当m＝200时，2400﹣×50＝2400﹣×50＝2000＞1500，符合题意； 当m＝400时，2400﹣×50＝2400﹣×50＝1000＜1500，不符合题意，舍去； 答：该市政府购买的这种运动器材的套数为200套． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22．（13分）【知识技能】 （1）如图1，在等边三角形ABC内有一点M．若点M到顶点C，A，B的距离分别为6，10，8，求∠BMC的度数． 为了解决本题，我们可以将△AMC绕顶点C逆时针旋转60°到△BM'C处，此时△BM'C≌△AMC，这样就可以利用旋转变换，将三条线段AM，BM，CM转化到一个三角形中，从而求得∠BMC＝ 　150　°． 【构建联系】 利用（1）的解答思想方法，解答下面的问题． （2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P，Q为AB上的点，且∠PCQ＝45°，求证：PQ2＝BQ2+AP2． 【深入探究】 （3）如图3，在等边三角形ABC中，AC＝2，O为△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 【分析】（1）根据全等三角形的性质及等边三角形的判定及性质得出△CMM′为等边三角形，再根据等边三角形的性质得出MM′＝CM＝6，∠CMM′＝60°，然后利用勾股定理的逆定理得出∠BMM′＝90°，最后根据角的和差即可得出答案； （2）把△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCP′，根据旋转的性质可得BP′＝AP，CP′＝CP，∠BCP′＝∠ACP，∠CBP′＝∠A，∠PCP′＝90°，再求出∠P′CQ＝45°，从而得到∠PCQ＝∠P′CQ，然后利用“边角边”证明△PCQ≌△P′CQ，根据全等三角形对应边相等可得PQ＝P′Q，再利用勾股定理列式即可得证． （3）根据等边三角形的性质得到AB＝BC＝AC＝2，∠ABC＝60°，将△AOC绕点C顺时针旋转60°至△CO′B处，连接OO′，推出△COO′是等边三角形，得到∠COO′＝∠CO′O＝60°，CO＝CO′，推出点A，O，O′共线，BO＝BO′＝OO′＝OC，∠OBO′＝60°，得到BC垂直平分OO°，求得∠CBO′＝∠OBO′＝30°，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）解：∵△ACM′≌△ABM，M到顶点C，A，B的距离分别为6，10，8， ∴AM＝BM′＝10，CM′＝CM＝6，∠AP′C＝∠APB， ∵等边△ABC内有一点M，△AMC绕顶点C逆时针旋转60°到△BM'C处， ∴∠ACB＝60°， ∴∠MCM′＝60°， ∴△CMM′为等边三角形， ∴MM′＝CM＝6，∠CMM′＝60°， ∴MM′2+BM2＝62+82＝102＝BM′2， ∴△MM′B为直角三角形，且∠BMM′＝90°， ∴∠BMC＝∠AP′C＝∠CMM′+∠BMM′＝60°+90°＝150°； 故答案为：150； （2）证明：如图2，把△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCP′， 由旋转的性质得，BP′＝AP，CP′＝CP，∠BCP′＝∠ACP，∠CBP′＝∠A，∠PCP′＝90°， ∵∠PCQ＝45°， ∴∠P′CQ＝∠BCP′+∠BAQ＝∠ACP+∠BCQ＝∠ACB﹣∠PCQ＝90°﹣45°＝45°， ∴∠PCQ＝∠P′CQ， 在△PCQ和△P′CQ中， ， ∴△PCQ≌△P′CQ（SAS）， ∴PQ＝P′Q， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝∠CBA＝45°， ∴∠P′BQ＝45°+45°＝90°， 在直角三角形CE′F中，由勾股定理得，P′Q2＝BP′2+BQ2， 即PQ2＝BQ2+AP2； （3）解：如图3，∵△ABC是等边三角形，AC＝2， ∴AB＝BC＝AC＝2，∠ABC＝60°， 将△AOC绕点C顺时针旋转60°至△CO′B处，连接OO′， ∴CO＝CO′，∠OCO′＝60°，∠CO′B＝∠AOC＝120°， ∴△COO′是等边三角形， ∴∠COO′＝∠CO′O＝60°，CO＝CO′， ∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°， ∴∠BOO′＝∠BO′O＝60°， ∴△BOO′是等边三角形，∠AOC+∠COO′＝180°， ∴点A，O，O′共线，BO＝BO′＝OO′＝OC，∠OBO′＝60°， ∴BC垂直平分OO′， ∴∠CBO′＝∠OBO′＝30°， ∴∠ABO′＝90°， ∴∠BAO′＝30°，AB2+BO′2＝AO′2， ∴AO′＝2BO′， ∴22+BO′2＝4BO′2， ∴BO＝， ∴OA+OB+OC＝2． 【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 23．（14分）如图，抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B和点C的坐标分别为（2，0）和（0，﹣5）． （1）求抛物线的解析式． （2）求线段AB的长． （3）如图2，P为抛物线第三象限上的一个动点，过点P作PH∥x轴，交y轴于点H，连接PC，PB，PB与y轴交于点D．设点P的横坐标为t，△CPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不用写出t的取值范围），并直接写出当OH：HC＝3：2时，S的值． 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）令y＝0，求得A点的坐标，即可求解； （3）过点P作PQ⊥x轴于点Q，则PQ∥OD，四边形OQPH是矩形，根据△PQB∽△DOB，表示出OD，进而求得CD的长，根据三角形的面积公式，列出函数关系式，进而根据OH：HC＝3：2得出P纵坐标为﹣3，即可求解． 【解答】解：（1）抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B和点C的坐标分别为（2，0）和（0，﹣5）．将点B和点C的坐标代入得： ， 解得：， ∴； （2）在中， 令y＝0，得：， 解得：x1＝﹣5，x2＝2， ∴A（﹣5，0）， ∴AB＝2﹣（﹣5）＝7； （3）∵P为抛物线第三象限上的一个动点，设点P的横坐标为t， ∴t＜0，， 如图2，过点P作PQ⊥x轴于点Q，则PQ∥OD，四边形OQPH是矩形， ∵PQ∥OD， ∴△PQB∽△DOB， ∴， 即， ∴OD＝t+5， ∴CD＝5﹣OD＝5﹣（t+5）＝﹣t， ∴， 即， ∵四边形OQPH是矩形，OC＝5，当OH：HC＝3：2时，则OH＝3， ∴， 解得：t＝﹣4或t＝1（不合题意，舍去）， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$