复习专题05 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性（14考点）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

专题05 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1：函数的单调性 1、函数的单调性 （1）设函数的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是单调递增函数； 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是单调递减函数。 （2）单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 2、函数的最大（小）值 （1）函数的最大值：对于函数y＝f(x)其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作 ymax＝f(x0). （2）函数的最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0). 3、单调函数的运算性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 4、定义法证明函数单调性的步骤 ①取值：设，为该区间内任意的两个值，且； ②作差变形：做差，并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形； ③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论； ④判断：根据定义做出结论． 知识点2：函数的奇偶性 1、函数奇偶性的定义 （1）奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称． （2）偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称． 偶函数的性质：，可避免讨论． 2、判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 【注意】判断与的关系时，也可以使用如下结论： ①如果或，则函数为偶函数； ②如果或，则函数为奇函数． （2）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称. （3）性质法：设，的定义域分别是，，在它们的公共定义域上，一般具有下列结论： 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不确定 奇 偶 奇 偶 不确定 奇 偶 奇 奇 奇 偶 奇 【注意】在中，的值域是定义域的子集 （4）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系。首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 3、函数奇偶性的应用 函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法，又是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用。 （1）由函数的奇偶性求参数：若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数。 （2）由函数的奇偶性求函数值：由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值。 （3）由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤 第一步：在哪个区间上求解析是，就设在哪个区间上； 第二步：把对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得 第三步：利用函数的奇偶性把改写成，从而求出. 知识点3：函数的周期性 1、周期函数的定义：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 2、函数周期性的常用结论（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（）． 知识点4：函数的对称性 1、函数对称性的常用结论 （1）若，则函数图象关于对称； （2）若，则函数图象关于对称； （3）若，则函数图象关于对称； （4）若，则函数图象关于对称． 2、函数的奇偶性与函数的对称性的关系 （1）若函数满足，则其函数图象关于直线对称， 当时可以得出，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数； （2）若函数满足，则其函数图象关于点对称， 当，时可以得出，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数． 3、函数对称性与周期性的关系 （1）若函数关于直线与直线对称，那么函数的周期是； （2）若函数关于点对称，又关于点对称，那么函数的周期是； （3）若函数关于直线，又关于点对称，那么函数的周期是． 4、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系 （1）①函数是偶函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为. （2）①函数是奇函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为. （3）①函数是奇函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为． （4）①函数是偶函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为． 其中，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个． 考点剖析 【考点1 函数单调性的判断与证明】 1．（23-24高一下·江西·月考）已知函数的定义域为，则“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 2．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函数的定义域为，区间，设，其中，则“”是“函数在区间I上单调递增”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·河南开封·期中）已知函数在区间上的最小值为1，最大值为10. (1)求，的值； (2)设，利用定义证明：函数在上是增函数. 4．（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知幂函数在上单调递增，且其图象经过点. (1)求的解析式； (2)若，用定义法证明：函数在上单调递增. 5．（24-25高一上·上海·月考）已知函数的图象过点和． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明． 【考点2 求函数的单调性/单调区间】 6．（24-25高一上·北京丰台·期中）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·江苏徐州·月考）函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D．， 8．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，则函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 9．（24-25高一上·福建泉州·月考）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·湖南·月考）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【考点3 根据函数的单调性求参数】 11．（24-25高一上·北京大兴·期中）设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·浙江·期中）函数，满足：对任意都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·上海·月考）已知函数在区间上对任意的，都满足，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知是定义在R上的函数，若对于任意，都有，则实数a的最大值是（    ） A． B． C． D．1 15．（24-25高一上·河南商丘·月考）已知函数，若对于且，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考点4 利用函数的单调性求值域】 16．（24-25高一上·江苏南通·期中）函数的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 17．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数，，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高一上·辽宁大连·月考）若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高一上·湖南·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高一上·浙江绍兴·期中），，记，函数的最大值（    ） A． B．1 C． D．2 【考点5 根据函数的值域求参数】 21．（24-25高一上·河北衡水·期中）设，若是的最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．（22-23高一上·湖北·月考）已知函数在区间上的最大值为，则实数的值为 ． 23．（23-24高一上·江苏镇江·月考）若函数 在 的最大值为2，则 的取值范围是 . 24．（23-24高一上·福建三明·期中）若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是 ． 25．（24-25高一上·江苏苏州·期中）设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是 . 【考点6 函数奇偶性的判断与证明】 26．（24-25高一上·广东佛山·月考）已知，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 27．（24-25高一上·上海·月考）条件甲：函数满足；条件乙：函数是偶函数，则甲是乙的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 28．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，则（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 29．（24-25高一上·内蒙古赤峰·月考）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 30．（24-25高一上·云南昆明·月考）（多选）函数，则下列函数的图象中关于轴对称的函数有（    ） A． B． C． D． 【考点7 利用函数的奇偶性求值求参】 31．（24-25高一上·河北·期中）已知函数的图象关于原点对称，则（    ） A．20 B．22 C．24 D．26 32．（24-25高一上·江苏南通·期中）若函数是奇函数，则实数a、b的值分别为（    ） A．1，1 B．， C．，1 D．1， 33．（24-25高一上·江苏南通·月考）已知函数，其中为常数，若，则（    ） A． B．7 C． D．4 34．（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B．2 C．3 D． 35．（24-25高一上·江苏南通·月考）已知函数是偶函数，则 . 【考点8 利用函数的奇偶性求解析式】 36．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知为上的奇函数，当时，，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知函数为偶函数，当时，则当时，（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高二上·浙江温州·期中）函数是定义在上的偶函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高一上·北京·期中）已知函数是上的偶函数，当时，，则时，函数的解析式为 . 40．（24-25高一上·天津和平·期中）已知函数是奇函数，函数为偶函数，若，则 . 【考点9 奇函数＋常数模型的应用】 41．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数，若，则 . 42．（24-25高一上·贵州·期中）已知函数，且，，则（    ） A． B． C． D． 43．（24-25高一上·四川巴中·月考）设函数在区间上的最大值是M，最小值为m，则等于（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 44．（24-25高一上·山东日照·月考）已知函数的最大值为，最小值为，则的值等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 45．（24-25高一上·湖南株洲·期中）设函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．0 D．4 【考点10 利用单调性与奇偶性解不等式】 46．（24-25高一上·江苏无锡·月考）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则当时的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47．（24-25高一上·广东惠州·月考）已知定义在上的函数满足：，都有，且对任意，，都有若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48．（24-25高一上·天津北辰·月考）已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 49．（24-25高一上·山东威海·月考）已知函数是定义域为的偶函数，当为两个不相等的正实数时，恒成立，若，则不等式的解为 ． 50．（24-25高一上·山西·月考）已知定义在上的函数满足，且对任意的，都有，则不等式的解集为 ． 【考点11 利用单调性与奇偶性比较大小】 51．（24-25高一上·福建莆田·期中）设偶函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 52．（24-25高一上·海南海口·月考）已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 53．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 54．（24-25高一上·江西赣州·月考）定义在上的函数满足以下条件：①，②对任意，当时都有，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 55．（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）（多选）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【考点12 函数周期性的应用】 56．（24-25高一上·河北邯郸·月考）已知函数对任意都有，且的图象关于对称，，则等于（    ） A．0 B． C． D． 57．（24-25高一上·贵州贵阳·月考）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则（    ） A．3 B．1 C．0 D． 58．（24-25高二上·浙江金华·期中）如果函数那么（    ） A．2020 B．2021 C．2023 D．2025 59．（24-25高一上·黑龙江·期中）已知函数是上的奇函数，对任意，都有成立，则（    ） A．4 B．2 C． D．0 60．已知函数满足，，则 . 【考点13 函数对称性的应用】 61．（24-25高一上·天津南开·期中）函数的图象关于直线对称，则 . 62．（24-25高一上·江苏扬州·月考）已知函数，曲线关于直线对称，则 63．（24-25高一上·江苏苏州·月考）若函数图象关于点成中心对称，则 . 64．（24-25高一上·江苏·月考）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）请写出函数图象的对称中心 . （2）利用题目中的推广结论，若函数的图象关于点对称，则 . 65．（24-25高一上·福建泉州·月考）（多选）已知函数为定义在上的奇函数，又函数，且与的函数图象恰好有2024个不同的交点，则下列叙述中正确的是（    ） A．的图象关于对称 B．的图象关于对称 C． D． 【考点14 抽象函数性质的综合应用】 66．（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）（多选）已知函数定义域为，对，恒有，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．，则周期为6 67．（24-25高一上·山东泰安·期中）（多选）定义域为的函数，对任意，，且不恒为0，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C．若，则关于中心对称 D．若，则 68．（24-25高一上·吉林松原·月考）已知定义在区间上的函数满足，且当时，.若. (1)证明的单调性； (2)解关于的不等式. 69．（24-25高一上·广东珠海·月考）已知函数是定义在上的单调函数，且对任意实数，，都有，且． (1)求，的值； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)若不等式恒成立，求的取值范围． 70．（24-25高一上·浙江·期中）函数满足：对任意实数，，有成立；函数，，，且当时，. (1)求并证明函数为奇函数； (2)证明：函数在上单调递增； (3)若关于的不等式恒成立，求的取值范围. 过关检测 一、单选题 1．（24-25高一上·天津·期中）函数在区间上的最大值和最小值分别是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河南商丘·月考）已知是奇函数，则实数的值为（    ） A．或 B． C． D． 3．（24-25高一上·辽宁大连·月考）已知是定义在上的偶函数，对任意的，且，都有，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·山东淄博·月考）已知是上减函数，那么的取值范围（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·河北石家庄·月考）已知是奇函数，是偶函数，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·广东广州·月考）已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高一上·广东东莞·期中）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·山东·月考）已知是定义在上的偶函数，且，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．为奇函数 C．的图象关于点对称 D． 9．（24-25高一上·江苏常州·月考）已知函数的定义域为，对任意的实数，满足，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为上的减函数 D．为奇函数 三、填空题 10．（24-25高一上·上海·月考）已知函数为奇函数，为偶函数，，则 ． 11．（24-25高一上·江苏·月考）已知函数为偶函数，则实数 ． 12．（24-25高一上·江苏泰州·月考）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为 ． 四、解答题 13．（24-25高一上·青海西宁·月考）已知函数，其中. (1)当时，若，求函数的最小值； (2)当时，若，判断并证明函数的单调性. 14．（24-25高一上·湖北武汉·月考）已知定义域为的函数满足对任意、都有. (1)求证：是奇函数； (2)设，证明：对任意、都有； (3)当时，，求不等式的解集． 15．（24-25高一上·安徽亳州·月考）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． (1)判断函数的奇偶性，求函数的图象的对称中心，并说明理由； (2)对于不同的函数与，若，的图象都是有且仅有一个对称中心，分别记为和. （i）求证：当时，的图象仍有对称中心； （ii）问：当时，的图象是否仍一定有对称中心？若一定有，请说明理由；若不一定有，请举出具体的反例. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1：函数的单调性 1、函数的单调性 （1）设函数的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是单调递增函数； 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是单调递减函数。 （2）单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 2、函数的最大（小）值 （1）函数的最大值：对于函数y＝f(x)其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作 ymax＝f(x0). （2）函数的最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0). 3、单调函数的运算性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 4、定义法证明函数单调性的步骤 ①取值：设，为该区间内任意的两个值，且； ②作差变形：做差，并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形； ③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论； ④判断：根据定义做出结论． 知识点2：函数的奇偶性 1、函数奇偶性的定义 （1）奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称． （2）偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称． 偶函数的性质：，可避免讨论． 2、判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 【注意】判断与的关系时，也可以使用如下结论： ①如果或，则函数为偶函数； ②如果或，则函数为奇函数． （2）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称. （3）性质法：设，的定义域分别是，，在它们的公共定义域上，一般具有下列结论： 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不确定 奇 偶 奇 偶 不确定 奇 偶 奇 奇 奇 偶 奇 【注意】在中，的值域是定义域的子集 （4）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系。首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 3、函数奇偶性的应用 函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法，又是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用。 （1）由函数的奇偶性求参数：若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数。 （2）由函数的奇偶性求函数值：由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值。 （3）由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤 第一步：在哪个区间上求解析是，就设在哪个区间上； 第二步：把对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得 第三步：利用函数的奇偶性把改写成，从而求出. 知识点3：函数的周期性 1、周期函数的定义：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 2、函数周期性的常用结论（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（）． 知识点4：函数的对称性 1、函数对称性的常用结论 （1）若，则函数图象关于对称； （2）若，则函数图象关于对称； （3）若，则函数图象关于对称； （4）若，则函数图象关于对称． 2、函数的奇偶性与函数的对称性的关系 （1）若函数满足，则其函数图象关于直线对称， 当时可以得出，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数； （2）若函数满足，则其函数图象关于点对称， 当，时可以得出，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数． 3、函数对称性与周期性的关系 （1）若函数关于直线与直线对称，那么函数的周期是； （2）若函数关于点对称，又关于点对称，那么函数的周期是； （3）若函数关于直线，又关于点对称，那么函数的周期是． 4、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系 （1）①函数是偶函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为. （2）①函数是奇函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为. （3）①函数是奇函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为． （4）①函数是偶函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为． 其中，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个． 考点剖析 【考点1 函数单调性的判断与证明】 1．（23-24高一下·江西·月考）已知函数的定义域为，则“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【解析】由得不到“函数在区间上单调递增”， 如，，显然满足， 但是函数在上递增，在上递减， 故“”不是“函数在区间上单调递增”的充分条件； 而由“函数在区间上单调递增”可得. 则“”是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件.故选：D. 2．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函数的定义域为，区间，设，其中，则“”是“函数在区间I上单调递增”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】函数在区间I上单调递增的充要条件是， 当时，都有，或当时，都有， 即对与同号，也即．故选：A． 3．（24-25高一上·河南开封·期中）已知函数在区间上的最小值为1，最大值为10. (1)求，的值； (2)设，利用定义证明：函数在上是增函数. 【答案】(1);(2)证明见解析 【解析】（1）因为，二次函数对称轴为， 所以在上为减函数，在上为增函数， 从而得，解得； （2）由(1)得，则， 设任意的，且，则， ， 因为，，， 所以，， 所以， 所以在上的增函数. 4．（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知幂函数在上单调递增，且其图象经过点. (1)求的解析式； (2)若，用定义法证明：函数在上单调递增. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由题意得，，解得， ∴的解析式为. （2）由函数图象经过点得，，解得， ∴. 对，且， ， ∵，∴， ∴，即， ∴函数在上单调递增. 5．（24-25高一上·上海·月考）已知函数的图象过点和． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明． 【答案】(1)；(2)函数在上为减函数.证明见解析. 【解析】（1）根据题意函数的图象过点和， 则，，解得，， 则； （2）函数在上单调递减， 证明：任取，，设， 则， 又因为，则，，，， 则；所以, 故函数在上为减函数. 【考点2 求函数的单调性/单调区间】 6．（24-25高一上·北京丰台·期中）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在上，是增函数，是增函数， 在上是减函数，在上是增函数， 时，是减函数，故选：D． 7．（23-24高一上·江苏徐州·月考）函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D．， 【答案】D 【解析】函数的定义域为， 又的图象是由向右平移个单位而来， 的单调递增区间为，， 所以的单调递增区间为，.故选：D 8．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，则函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】D 【解析】， 所以函数的图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到. 因为在和上单调递减， 所以在和上单调递减.故选：D 9．（24-25高一上·福建泉州·月考）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，， 则在单调递减，单调递增， 当时， 则在单调递增， 所以的减区间为，故选：B. 10．（24-25高一上·湖南·月考）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，解得，故的定义域为， 由于在上单调递减，由复合函数单调性可知， 故只需求解在内的单调递增区间， 开口向下，对称轴为，故即为所求.故选：B 【考点3 根据函数的单调性求参数】 11．（24-25高一上·北京大兴·期中）设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，.设，且， ， .    时，，此时，在上单调递增； 时，，此时，在上单调递减. 根据题意，函数在区间上单调递增， 所以，解得，.故选：B. 12．（24-25高一上·浙江·期中）函数，满足：对任意都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为对任意都有成立， 所以在定义域上为递增函数， 所以，解得， 所以的取值范围是.故选：A. 13．（24-25高一上·上海·月考）已知函数在区间上对任意的，都满足，则实数a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，函数在区间上单调递减， 则，解得， 即实数a的取值范围是.故选：C. 14．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知是定义在R上的函数，若对于任意，都有，则实数a的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】因为，所以， 即， 令，则， 故在上单调递增， 当时，满足在上单调递增， 当时，为二次函数， 需满足或，解得或， 综上，，实数a的最大值为.故选：C. 15．（24-25高一上·河南商丘·月考）已知函数，若对于且，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】不妨设，由得，， 所以函数在上单调递增， 则，解得， 即实数的取值范围为．故选：B． 【考点4 利用函数的单调性求值域】 16．（24-25高一上·江苏南通·期中）函数的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】由题意得，函数对称轴为直线，函数在上为减函数， ∴当时，.故选：A. 17．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数，，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，设，且， 则， 因为，所以， 又因为， 若，则，此时， 所以在上为减函数； 若，则，此时， 所以在上为增函数； 综上所述，函数在上为减函数，在上为增函数， 所以， 因为，所以， 所以函数，的值域为，故选：B. 18．（24-25高一上·辽宁大连·月考）若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的值域是， 所以函数的值域是， 令，则， 由对勾函数的性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增， 而，，， 则，即函数的值域是.故选：B. 19．（24-25高一上·湖南·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得，所以的定义域为． 因为与在上均为增函数， 所以在上为增函数， 所以，即函数的值域为.故选：A. 20．（24-25高一上·浙江绍兴·期中），，记，函数的最大值（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】由得或， 当时，，，在上单调递增， 当时，，，在上单调递增， 当时，，，在上单调递减， 因此在上单调递增，在上单调递减，，故选：B． 【考点5 根据函数的值域求参数】 21．（24-25高一上·河北衡水·期中）设，若是的最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，函数，若是的最小值， 可得，对称轴为，若是的最小值， 则，即得，可得， 当时，可得，当且仅当时等号成立， 要使得函数的最小值为，则，解得， 综上可得实数的取值范围为.故选：A. 22．（22-23高一上·湖北·月考）已知函数在区间上的最大值为，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】函数，即，,， 当时，不成立； 当，即时，在,递减，可得为最大值， 即，解得，成立； 当，即时，在,递增，可得为最大值， 即，解得，不成立； 综上可得． 23．（23-24高一上·江苏镇江·月考）若函数 在 的最大值为2，则 的取值范围是 . 【答案】 【解析】设，，， 因为函数在 的最大值为2，， 所以，解得：， 当时，函数在上先递减再递增， 而， 所以，，且，即函数在 的最大值为2，符合题意； 当时，函数在上递减，所以， 而，所以函数在 的最大值为2，符合题意， 综上，． 24．（23-24高一上·福建三明·期中）若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，，在上单调递增，无最小值，舍去； 当时，由于，故， 令，则， 由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增， 要想在上存在最小值，则，解得，满足； 当时，在上单调递增， 令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 要想在上存在最小值，则，解得，满足； 综上，实数的取值范围为. 25．（24-25高一上·江苏苏州·期中）设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为， 当且时，则，这与矛盾， 不合乎题意，所以，， 因为二次函数的对称轴为直线， 当时，即当时，则函数在上为增函数， 根据题意，则有，此时，； 当时，即时，当时，， 由题意可得，整理可得，解得，此时，不存在. 综上所述，实数的取值范围是. 【考点6 函数奇偶性的判断与证明】 26．（24-25高一上·广东佛山·月考）已知，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】B 【解析】由得，即可得， 所以函数的定义域为，关于原点对称. 又，可得是奇函数.故选：B 27．（24-25高一上·上海·月考）条件甲：函数满足；条件乙：函数是偶函数，则甲是乙的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】函数满足，则的定义域关于原点对称，且，是偶函数； 反之，是偶函数，如是R上的偶函数，而，无意义， 所以甲是乙的充分非必要条件.故选：A 28．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，则（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【解析】函数的定义域为，则，所以函数是奇函数， 函数的定义域为，所以，则是偶函数， 所以，不能确定奇偶性，A错误； ，不能确定奇偶性，B错误； ，则是奇函数，C正确； ，则是偶函数，D错误．故选：C. 29．（24-25高一上·内蒙古赤峰·月考）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，, 不满足，故不是奇函数，故A错误； 对于B，，定义域为, 满足，是奇函数，故B正确； 对于C，其定义域不关于原点对称， 所以不是奇函数，故C错误； 对于D，其定义域不关于原点对称， 所以不是奇函数，故D错误.故选：B 30．（24-25高一上·云南昆明·月考）（多选）函数，则下列函数的图象中关于轴对称的函数有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由，令，则， 得，化简得，即， 则，故关于轴对称； B选项，将的图象向右平移一个单位得到函数的图象， 故的图象关于直线对称，不关于轴对称； C选项，因为，， 不恒成立， 故函数的图象不关于轴对称； D选项，由A选项可知，，则， 易知的图象关于轴对称.故选：AD 【考点7 利用函数的奇偶性求值求参】 31．（24-25高一上·河北·期中）已知函数的图象关于原点对称，则（    ） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】C 【解析】因为的图象关于原点对称，故， 其中， ， 则， 由于恒成立，故，解得， ，是奇函数，符合题意， 则.故选：C 32．（24-25高一上·江苏南通·期中）若函数是奇函数，则实数a、b的值分别为（   ） A．1，1 B．， C．，1 D．1， 【答案】D 【解析】已知时，. 当时，，根据函数表达式，.   因为是奇函数，所以. 当时，. 由可得. 对于，等式两边对应项系数相等. 对于的系数，可得，解得. 对于的系数，可得.   故，.故选：D. 33．（24-25高一上·江苏南通·月考）已知函数，其中为常数，若，则（    ） A． B．7 C． D．4 【答案】A 【解析】函数的定义域为R，令， 则，所以是奇函数， 因此，而， 所以.故选：A. 34．（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【解析】当时，，则， 因为函数是定义在上的奇函数，所以.故选：B. 35．（24-25高一上·江苏南通·月考）已知函数是偶函数，则 . 【答案】2 【解析】易知的定义域为， 利用偶函数定义可得，即， 整理可得，解得. 故答案为：2 【考点8 利用函数的奇偶性求解析式】 36．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知为上的奇函数，当时，，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为上的奇函数，当时， 因为，所以， 所以.故选：C. 37．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知函数为偶函数，当时，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当，则，所以， 根据偶函数性质可知.故选：C 38．（24-25高二上·浙江温州·期中）函数是定义在上的偶函数，当时，，则在上的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数是定义在上的偶函数，所以， 当时，， 令，则，则， 所以当时，， 综上所述，.故选：A. 39．（24-25高一上·北京·期中）已知函数是上的偶函数，当时，，则时，函数的解析式为 . 【答案】 【解析】当，则，则， 且函数是上的偶函数，则. 故答案为：. 40．（24-25高一上·天津和平·期中）已知函数是奇函数，函数为偶函数，若，则 . 【答案】 【解析】因为函数是奇函数，函数为偶函数，且①， 所以，，即②， 联立①②得，，故. 故答案为：. 【考点9 奇函数＋常数模型的应用】 41．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数，若，则 . 【答案】 【解析】根据题意，因为， 则，则有. 又由，则. 42．（24-25高一上·贵州·期中）已知函数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 因为，，所以.故选：C 43．（24-25高一上·四川巴中·月考）设函数在区间上的最大值是M，最小值为m，则等于（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】设，， 则，所以函数为奇函数， 则，即.故选：D. 44．（24-25高一上·山东日照·月考）已知函数的最大值为，最小值为，则的值等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】设，函数定义域为，则，即为奇函数， 其图象关于原点对称，则的最大值与最小值之和为0， 则，故.故选：B 45．（24-25高一上·湖南株洲·期中）设函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．0 D．4 【答案】B 【解析】因为， 设，，且， 可知为奇函数，可得， 又因为，则，， 所以，即．故选：B． 【考点10 利用单调性与奇偶性解不等式】 46．（24-25高一上·江苏无锡·月考）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则当时的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵函数为定义在上的奇函数， ∴，又当时，， ∴当时，，则， 又，∴当时，， ∴，当且仅当时等号成立， ∴的取值范围为.故选：B 47．（24-25高一上·广东惠州·月考）已知定义在上的函数满足：，都有，且对任意，，都有若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数满足：，都有， 所以函数为偶函数，则函数的图象关于对称， 因为对任意，，都有， 所以函数在上单调递减， 则，解得， 则实数的取值范围是.故选：A. 48．（24-25高一上·天津北辰·月考）已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知，，当时， 都有， 设函数，则，且， 所以， 即在上单调递减， 又函数是上奇函数，则是上的偶函数， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以即为， 所以，解得且.故选：B. 49．（24-25高一上·山东威海·月考）已知函数是定义域为的偶函数，当为两个不相等的正实数时，恒成立，若，则不等式的解为 ． 【答案】 【解析】不妨令，则，即， 所以，令，则其在上单调递增， 又是定义域为的偶函数，则， 所以为奇函数，故其在上单调递增， 又，，不等式化为， 当，则，即， 当，则，即， 综上，不等式解集为. 故答案为： 50．（24-25高一上·山西·月考）已知定义在上的函数满足，且对任意的，都有，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】因为定义在上的函数满足， 所以， 设，则， 所以为奇函数． 因为对任意的，都有， 不妨设，则， 即，所以， 所以在上单调递减，所以在上单调递减， 因为，所以， 所以，解得， 即不等式的解集为． 故答案为： 【考点11 利用单调性与奇偶性比较大小】 51．（24-25高一上·福建莆田·期中）设偶函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为偶函数，所以， 又在区间上单调递增，，所以， 则.故选：B. 52．（24-25高一上·海南海口·月考）已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是定义域为的偶函数，所以， 又在区间上单调递增，所以在单调递减， 因为， 所以，即，故选：C. 53．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知在上单调递减， 又，， 所以，即，故选：C 54．（24-25高一上·江西赣州·月考）定义在上的函数满足以下条件：①，②对任意，当时都有，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为定义在上的函数满足条件， 所以函数是偶函数， 对任意，当时都有， 所以不妨设，则有， 因此时，函数是增函数， 因为函数是偶函数， 所以，， 因为时，函数是增函数， 所以，即，故选：A 55．（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）（多选）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且两函数在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， 所以，， 所以，，，所以BD正确，C错误； 若，则，故A错误.故选：BD. 【考点12 函数周期性的应用】 56．（24-25高一上·河北邯郸·月考）已知函数对任意都有，且的图象关于对称，，则等于（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】函数对任意都有， ，因此函数的周期. 又的图象关于对称， 所以的图象关于对称，因此函数为奇函数． .故选：B. 57．（24-25高一上·贵州贵阳·月考）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则（    ） A．3 B．1 C．0 D． 【答案】A 【解析】因为为奇函数，所以， 所以的图象关于点中心对称，则. 因为为偶函数，所以，所以的图象关于直线轴对称. 由，得，所以①， 则， 则，， 又由①知，则，故选：A. 58．（24-25高二上·浙江金华·期中）如果函数那么（    ） A．2020 B．2021 C．2023 D．2025 【答案】B 【解析】记，， 根据可得， ， 而， ，， ， ， ， 所以的周期为5，取值分别为2023，2024，2020，2021，2022， .故选：B 59．（24-25高一上·黑龙江·期中）已知函数是上的奇函数，对任意，都有成立，则（    ） A．4 B．2 C． D．0 【答案】D 【解析】因为函数是上的奇函数，所以. 又对任意，都有成立， 令，得，即， 所以，则， 所以，则， 故， 所以.故选：D 60．已知函数满足，，则 . 【答案】-2 【解析】由题意可得，， 所以，则是周期函数，且一个周期是8.        所以.     故答案为：－2. 【考点13 函数对称性的应用】 61．（24-25高一上·天津南开·期中）函数的图象关于直线对称，则 . 【答案】 【解析】由与轴交于点，保留图象在轴上方的部分， 把在轴下方的部分翻折到轴的上方可得的图象， 所以的图象关于对称， 又函数的图象关于直线对称，所以，解得. 故答案为：. 62．（24-25高一上·江苏扬州·月考）已知函数，曲线关于直线对称，则 【答案】 【解析】因为函数，的定义域为 则 则的定义域为，即函数的定义域为， 又因为曲线关于直线对称，则定义域也关于对称，即， 由对称的性质可知则 令可得 代入函数得，则, 所以，则. 当时， 验证是否关于对称： 成立； 所以. 故答案为：. 63．（24-25高一上·江苏苏州·月考）若函数图象关于点成中心对称，则 . 【答案】 【解析】由题意得， 由， 联立解得，所以， 故答案为： 64．（24-25高一上·江苏·月考）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）请写出函数图象的对称中心 . （2）利用题目中的推广结论，若函数的图象关于点对称，则 . 【答案】 6 【解析】（1）设函数的对称中心为. 根据推广结论，函数为奇函数. 又因为奇函数时，即. 化简，根据对数运算法则.则. 因为任意该等式都成立，则.解得，将代入. 得，解得. 所以函数图象的对称中心为. （2）因为函数的图象关于点对称. 根据结论，为奇函数. 对于奇函数，， 令，则，化简得② 又因为为奇函数时，展开， 即 即 即 根据可得，化简得. 将代入②式得. 所以. 故答案为：；6. 65．（24-25高一上·福建泉州·月考）（多选）已知函数为定义在上的奇函数，又函数，且与的函数图象恰好有2024个不同的交点，则下列叙述中正确的是（    ） A．的图象关于对称 B．的图象关于对称 C． D． 【答案】BC 【解析】因为函数为定义在上的奇函数，， 所以， 所以函数的图象关于点成中心对称，故A错误，B正确； 由，所以的图象也关于点成中心对称. 所以函数与的图象的交点关于点成中心对称. 不妨设， 则有， . 所以，故C正确； ，故D错误.故选：BC 【考点14 抽象函数性质的综合应用】 66．（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）（多选）已知函数定义域为，对，恒有，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．，则周期为6 【答案】BCD 【解析】在中， 令中，得或，A不正确； 当时，在中， 令中，得， 因此函数既是奇函数又是偶函数，所以成立， 当时，在中， 令中，，所以函数是偶函数， 因此成立，B正确； 在中， 令中，得， 令，因为，所以，即有，显然成立，C正确； 当时，在中， 令中，得， 则有， 可得 ，因此周期为6，D正确，故选：BCD 67．（24-25高一上·山东泰安·期中）（多选）定义域为的函数，对任意，，且不恒为0，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C．若，则关于中心对称 D．若，则 【答案】BCD 【解析】选项A：令可得，因为不恒为0，所以，A说法错误； 选项B：由A可知，令可得， 所以，即，为偶函数，B说法正确； 选项C：若，令可得， 即，所以关于中心对称，C说法正确； 选项D：令，则， 因为为偶函数，，所以， 因为任意，， 所以，即， 所以， 又因为关于中心对称，所以， 所以，即，D说法正确；故选：BCD 68．（24-25高一上·吉林松原·月考）已知定义在区间上的函数满足，且当时，.若. (1)证明的单调性； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）函数在上为增函数，下面用定义证明： 设任意， 则 因为，所以，所以. 即，所以函数在上为增函数. （2）因为，所以. 由. 所以所求不等式的解集为：. 69．（24-25高一上·广东珠海·月考）已知函数是定义在上的单调函数，且对任意实数，，都有，且． (1)求，的值； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)若不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)，；(2)奇函数，证明见解析；(3). 【解析】（1）令，可得， 令，可得，令，可得， 又，则. （2）为奇函数，证明如下： 令，则，则， 所以为奇函数. （3）由题设，函数是定义在上的单调函数，而，故为增函数， 由，则， 所以恒成立，易知不成立，则，可得. 70．（24-25高一上·浙江·期中）函数满足：对任意实数，，有成立；函数，，，且当时，. (1)求并证明函数为奇函数； (2)证明：函数在上单调递增； (3)若关于的不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）因为， 令，则，得； 令，则，得； 证明：，令， 依题意得，即， 所以是奇函数. （2）由得，即， ，，，则，则 可得， 即，所以函数在上单调递增. （3）因为，，且函数为奇函数， 则，可知是偶函数， 且， 因为，可得， 因为是偶函数，且，可得， 又因为函数在上单调递增，可得， 因为，则，可知， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立； 综上所述：. 可得，解得，且， 所以的取值范围为. 过关检测 一、单选题 1．（24-25高一上·天津·期中）函数在区间上的最大值和最小值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因 可知函数图象关于直线对称，且在上单调递减，在上单调递增， 又 故当时，取得最大值4；当时，取得最小值0.故选：D. 2．（24-25高一上·河南商丘·月考）已知是奇函数，则实数的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知，的定义域为， 由奇函数的定义可知，， 即， 整理得，所以，解得．故选：D 3．（24-25高一上·辽宁大连·月考）已知是定义在上的偶函数，对任意的，且，都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对任意，都有. 不妨设，则，因为， 所以，即.函数在单调递减. 因为是偶函数，所以. 又因为函数在上单调递减，所以，即.故选：A. 4．（24-25高一上·山东淄博·月考）已知是上减函数，那么的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当，是减函数，所以，即； 当，也是减函数，故； 当时，代入得，代入得， 所以要使函数在上是减函数，则，解得.故选：C. 5．（24-25高一上·河北石家庄·月考）已知是奇函数，是偶函数，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为①，且是奇函数，是偶函数， 则，即②， 由①②可得， 因为函数、均为上的增函数，所以，函数为上的增函数， 由，可得，解得. 因此，不等式的解集是.故选：A. 6．（24-25高一上·广东广州·月考）已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，在上单调递减，在上单调递增，所以， 当时，， 函数的最大值，所以，舍去； 当时，，符合题意； 当时，， 则或， 解得或， 综上，实数的取值范围是.故选：. 二、多选题 7．（24-25高一上·广东东莞·期中）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，由于导致， 故不是偶函数，故A错误； 对于B，由，解得，所以的定义域为，关于原点对称. 又，所以是偶函数. 而，所以是偶函数又存在零点，故B正确； 对于C，由，解得， 所以函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以是偶函数. 而，所以存在零点. 所以是偶函数又存在零点，故C正确； 对于D，由，解得，所以的定义域为. 所以定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故D错误.故选：BC. 8．（24-25高一上·山东·月考）已知是定义在上的偶函数，且，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．为奇函数 C．的图象关于点对称 D． 【答案】BCD 【解析】因为是偶函数，且， 所以，， 因此的图象关于点对称，则的图象也关于点对称， 由的图象关于点对称，得， 即，所以为奇函数， 故A错误，B和C正确． 因为，所以，于是， 所以，又， 所以，故D正确．故选：BCD. 9．（24-25高一上·江苏常州·月考）已知函数的定义域为，对任意的实数，满足，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为上的减函数 D．为奇函数 【答案】ABD 【解析】依题意，且， 令，得，故A选项正确. 令，则，， 即，故B选项正确 由于，故C选项错误. 令，得， 即，即， 所以为奇函数，故D选项正确.故选：ABD 三、填空题 10．（24-25高一上·上海·月考）已知函数为奇函数，为偶函数，，则 ． 【答案】 【解析】函数为奇函数，则， 为偶函数，则， 因为①，则， 所以②， 则由①-②可得. 11．（24-25高一上·江苏·月考）已知函数为偶函数，则实数 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义列式计算得解. 【解析】函数为偶函数， 则， 即，而不恒为0， 所以. 故答案为：1 12．（24-25高一上·江苏泰州·月考）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为 ． 【答案】1 【解析】由题意知，， 设，则， 因为，所以为奇函数， 所以在区间上的最大值与最小值的和为0，故， 所以． 四、解答题 13．（24-25高一上·青海西宁·月考）已知函数，其中. (1)当时，若，求函数的最小值； (2)当时，若，判断并证明函数的单调性. 【答案】(1)；(2)单调递减；证明见解析. 【解析】（1）因为，则， ∵，∴， 当且仅当，即时，等号成立. 故函数的最小值为. （2）因为，则 ，且，则 由，得，， 于是，即. 所以，函数在区间上单调递减. 14．（24-25高一上·湖北武汉·月考）已知定义域为的函数满足对任意、都有. (1)求证：是奇函数； (2)设，证明：对任意、都有； (3)当时，，求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）因为函数的定义域为， 对任意、都有， 令，得，故， 令，得，可得， 令，，得，故函数为奇函数. （2）因为，且，， 所以，，即. （3）设，则，所以， 因为， 所以，在上是减函数， 因为函数的定义域为，，且为奇函数， 所以，，即函数是偶函数， 由可得，则，解得且， 因此，不等式的解集为. 15．（24-25高一上·安徽亳州·月考）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． (1)判断函数的奇偶性，求函数的图象的对称中心，并说明理由； (2)对于不同的函数与，若，的图象都是有且仅有一个对称中心，分别记为和. （i）求证：当时，的图象仍有对称中心； （ii）问：当时，的图象是否仍一定有对称中心？若一定有，请说明理由；若不一定有，请举出具体的反例. 【答案】(1)为奇函数，对称中心，理由见解析；(2)（i）证明见解析；（ii）答案见解析. 【解析】（1）为奇函数，证明如下： 由可得，所以函数定义域为，关于原点对称， 又，故为奇函数， 由，可得， 令，则由可得或， 所以函数定义域为或，关于原点对称， 又， 所以为奇函数，即为奇函数， 所以由题意知图象的对称中心是. （2）（i）证明：由题意为奇函数， 所以， 为奇函数， 所以， 则当时有 令，则， 所以是奇函数， 所以的图象关于点对称， 即当时，的图象仍然有对称中心为. （ii）当时，不一定有对称中心． 设，易知函数的图象关于对称，得，， 设，易知函数的图象关于对称．得，， 此时，，令， 若函数图象关于点对称， 则为奇函数， 而函数要有意义则且， 若函数为奇函数，则，即， 此时，， 所以当时，，时，， 则由解得， 此时当时，， 所以不是奇函数， 故函数图象不关于点对称，即没有对称中心， 所以当，函数图象不一定有对称中心. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$