精品解析：山东省临沂市兰山区2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷

2024~2025学年度上学期期中阶段质量检测试题 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共6页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题纸规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂到答题卡中． 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是( ) A. B. C. ， D. 4. 已知关于的一元二次方程有实数根，则系数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 如图，是的外接圆的直径，若，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，绕点的顺时针旋转，旋转的角是，得到，那么下列说法错误的是（ ） A. 平分 B. C. D. 7. 若为二次函数的图象上的三点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，分别与相切于，两点，点为上异于点，的一点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 或 9. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图： ①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH； ②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O； ③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆． 则⊙O的半径为（　　） A. 2 B. 10 C. 4 D. 5 10. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，有下列6个结论：①；②；③；④；⑤方程有两个相等的实数根；⑥当时，随的增大而减小．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 12. 某药厂两年前生产某种药品每吨的成本是万元，现在生产这种药品每吨的成本为万元．设这种药品的成本的年平均下降百分率为，则可列方程为________． 13. 某产品进价为90元，按100元一个售出时，每天售500个，如果这种产品涨价1元，其销售量每天就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为____元． 14. 如图，点分别在正方形的边上，且．把绕点顺时针旋转得到．若，则的长度为____________． 15. 如图，是直径，、是上的两点，且，连接和，下列四个结论中：①；②垂直平分；③；④．所有正确结论的序号是______． 16. 如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 用适当的方法解下列方程 （1）； （2） 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点的坐标分别是A（﹣5，2），B（﹣2，4），C（﹣1，1）． （1）在图中作出△A1B1C1，使△A1B1C1和△ABC关于x轴对称； （2）画出将△ABC以点O为旋转中心，顺时针旋转90°对应的△A2B2C2； （3）直接写出点B关于点C的对称点的坐标． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）证明：无论取何值，此方程总有两个实数根； （2）若方程有两个不相等的实数根分别为，且，求的值． 20. 如图，在中，，以边为直径作交边于点，过点作的切线交于点的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 根据以下素材，探究完成任务． 如何把实心球掷得更远？ 素材1 小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到的水平距离为时，达到最大高度为． 素材2 根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处（如图）架起距离地面高为的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离． 问题解决 任务1 计算投掷距离 建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离． 任务2 探求高度变化 求素材2和素材1中球的最大高度的变化量 任务3 提出训练建议 为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议． 22. 把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C2． （1）求抛物线C2的函数关系式； （2）点A（4，y1）和点B（m，y2）在抛物线C2上，若y2＜y1，结合图象求m的取值范围； （3）若抛物线C2的顶点为C，点P是线段AC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线C2于点Q．当线段PQ最长时，求点P的坐标． 23. 如图1，在中，分别为的中点． （1）将绕点逆时针方向旋转得到（如图2），使直线恰好过点，连接． ①判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②求的长； （2）如图3，若将绕点逆时针方向旋转一周，分别取的中点的中点，连接，则长度的最大值为____________，最小值为____________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度上学期期中阶段质量检测试题 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共6页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题纸规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂到答题卡中． 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A.不是中心对称图形，不符合题意； B.是中心对称图形，符合题意； C.不是中心对称图形，不符合题意； D.不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式，即可得出答案． 【详解】解： 即， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 3. 平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是( ) A. B. C. ， D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是，进而得出答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为：． 故选：B． 4. 已知关于的一元二次方程有实数根，则系数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：且， 故选：D． 5. 如图，是的外接圆的直径，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理推论：直径所对圆周角为直角、同圆中等弧所对圆周角相等即可得到结论． 【详解】解：是的外接圆的直径， 点，，，在上， ， ， 是的外接圆的直径， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，由圆周角定理得到，是解题的关键． 6. 如图，绕点的顺时针旋转，旋转的角是，得到，那么下列说法错误的是（ ） A. 平分 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质即可得到结论． 【详解】解：将△ADE绕点D顺时针旋转，得到△CDB， ∴∠ADE=∠CDB，AD=CD，AE=BC，故A、B、D选项正确； ∵∠B=∠E，但∠B不一定等于∠BDC，即∠E不一定等于∠CDB， ∴BD不一定平行于AE， 故C选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、平行线的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键． 7. 若为二次函数的图象上的三点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据开口向上的二次函数，离对称轴越远，函数值越大，只需要比较出A、B、C三点离对称轴距离的大小即可得到答案． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵，开口向上， ∴离对称轴越远的点的纵坐标越大， ∵， ∴， 故选：D． 8. 如图，，分别与相切于，两点，点为上异于点，的一点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了四边形内角和定理、切线的性质、圆周角定理．首先连接、，根据切线的性质可知，根据四边形内角和定理可以求出，根据点在圆上的位置分两种情况求的度数． 【详解】解：如下图所示，连接、， ，分别与相切于，两点， ， 又， ， 如下图所示，当点在劣弧上时， ， 如下图所示，当点在优弧上时， ， 综上所述的度数为或． 故选：D． 9. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图： ①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH； ②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O； ③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆． 则⊙O的半径为（　　） A. 2 B. 10 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】如图，设OA交BC于T．解直角三角形求出AT，再在Rt△OCT中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，设OA交BC于T． ∵AB＝AC＝2，AO平分∠BAC， ∴AO⊥BC，BT＝TC＝4， ∴AE＝， 在Rt△OCT中，则有r2＝（r﹣2）2+42， 解得r＝5， 故选：D． 【点睛】本题考查作图——复杂作图，等腰三角形的性质，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，有下列6个结论：①；②；③；④；⑤方程有两个相等的实数根；⑥当时，随的增大而减小．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系．根据二次函数的图象与性质求出，，进而可判断①；根据特殊点的函数值和二次函数的对称性可判断②；根据二次函数与坐标轴的交点可判断③；由对称轴为直线可判断④；根据二次函数与一元二次方程的关系可判断⑤；根据二次函数的图象的增减性质可判断⑥． 【详解】解：①抛物线的开口向下：， 对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴； ∴，故①错误； ②抛物线的对称轴为直线， ∴关于直线的对称点为， 关于直线的对称点为， ∴当时，，故②正确； ③∵抛物线与轴有两个交点：，故③正确； ④对称轴为直线， ∴，故④错误； ⑤∵顶点坐标为， ∴当且仅当时，， ∴有两个相等的实数根．故⑤正确； ⑥由图可知：当时，随的增大而增大， 故⑥错误； 综上：正确的是②③⑤，共3个． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，把根代入方程中，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：； 故答案为：1． 12. 某药厂两年前生产某种药品每吨的成本是万元，现在生产这种药品每吨的成本为万元．设这种药品的成本的年平均下降百分率为，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题可设这种药品的成本的年平均下降率为x，则一年前这种药品的成本为万元，今年在元的基础之又下降x，变为即万元，进而可列出方程，求出答案． 【详解】设这种药品的成本的年平均下降率为x，则今年的这种药品的成本为100(1−x)2万元， 根据题意得，. 故答案为. 【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题目，设出未知数，找出等量关系，列方程求解. 13. 某产品进价为90元，按100元一个售出时，每天售500个，如果这种产品涨价1元，其销售量每天就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为____元． 【答案】120 【解析】 【分析】设售价上涨x元,根据产品涨价1元,销售量每天就减少10个,可得销售量是:（500-10x）个,根据销售利润=(售价-进价) ×销售量,可得:,最后根据二次函数的性质求函数取最大值时x的取值即可求解. 【详解】设售价上涨x元,销售利润为y,由题意可得: , =x2+400x+5000, =(x-20)2+9000, 当x=20时,y有最大值,最大值是9000, 所以此时定价是100+20=120(元), 故答案为:120. 【点睛】本题主要考查二次函数解决最大利润问题,解决本题的关键是要熟练掌握销售问题中销售利润,价格,销售量之间的函数关系. 14. 如图，点分别在正方形的边上，且．把绕点顺时针旋转得到．若，则的长度为____________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查三角形全等和旋转问题，熟练掌握全等三角形的判定与性质，旋转的性质是解题的关键，根据旋转的性质可得到，再根据题意易证，得到，从而可得到的长度． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 15. 如图，是直径，、是上的两点，且，连接和，下列四个结论中：①；②垂直平分；③；④．所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据平行线的性质，等边对等角，得出，即可得出，进而根据得出，即可判断②，根据不一定相等即可判断③，根据圆周角定理，即可判断④． 【详解】解：∵ ∴ 又∵,则 ∴ ∴，故①正确； 连接，， ∵， ∴， 又，则， 又 ∴ ∴ ∴垂直平分，故②正确； 当且仅当时，，故③错误， ∵ ∴ ∵ ∴，故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，弧与圆心角的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 16. 如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称的性质、坐标与图形性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质，分别判断出的横坐标和纵坐标是解题的关键． 首先根据是边长为2的等边三角形，求出和的坐标．然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，即可求出的坐标． 【详解】解：是边长为2的等边三角形， 的坐标为：，的坐标为：； 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， 的横坐标为，纵坐标为，即； 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， 的横坐标为，纵坐标为，即； 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， 的横坐标为，纵坐标为，即； ……， 由此可知，的横坐标为， 当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是， 的顶点的坐标是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 用适当的方法解下列方程 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）先进行配方得到，然后进行开方即可； （2）先提取公因式即可得到，再解两个一元一次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点的坐标分别是A（﹣5，2），B（﹣2，4），C（﹣1，1）． （1）在图中作出△A1B1C1，使△A1B1C1和△ABC关于x轴对称； （2）画出将△ABC以点O为旋转中心，顺时针旋转90°对应的△A2B2C2； （3）直接写出点B关于点C的对称点的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）（0，−2）． 【解析】 【分析】（1）根据轴对称性质即可在图中作出△A1B1C1，使△A1B1C1和△ABC关于x轴对称； （2）根据旋转的性质即可画出将△ABC以点O为旋转中心，顺时针旋转90°对应的△A2B2C2； （3）根据B（−2，4），C（−1，1）．即可写出点B关于点C对称点的坐标． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，△A2B2C2即为所求； （3）点B关于点C对称点的坐标为（0，−2）． 【点睛】本题考查了作图−旋转变换，作图−轴对称变换，解决本题的关键是掌握旋转和轴对称的性质． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）证明：无论取何值，此方程总有两个实数根； （2）若方程有两个不相等的实数根分别为，且，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）或3 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，解决本题的关键是掌握根与系数的关系． （1）根据方程的系数结合根的判别式可得出，进而可证出：无论k为何实数，方程总有两个实数根； （2）根据根与系数的关系可得出，结合，即可得出关于k的方程，解之即可得出结论． 【小问1详解】 证明：方程中， ， 无论取何值，此方程总有两个实数根． 【小问2详解】 解：， ． ， 解得， 当时，方程有两个不相等的实数根，即， 的值为或3． 20. 如图，在中，，以边为直径作交边于点，过点作的切线交于点的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接 ， ． ， ， ． ． 又是的切线 ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题． （1）连接、，由圆周角的性质定理和等腰三角形的三线合一定理，即可得到答案； （2）先求出的长度，然后由三角形的面积公式，即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 为的直径， ， ． ， ． 在中，， ． 又， ， 即， 21. 根据以下素材，探究完成任务． 如何把实心球掷得更远？ 素材1 小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到的水平距离为时，达到最大高度为． 素材2 根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处（如图）架起距离地面高为的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离． 问题解决 任务1 计算投掷距离 建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离． 任务2 探求高度变化 求素材2和素材1中球的最大高度的变化量 任务3 提出训练建议 为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议． 【答案】任务一：4m；任务二：；任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角 【解析】 【分析】任务一：建立直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，过点，利用待定系数法求出解析式，当时求出x的值即可得到； 任务二：建立直角坐标系，求出任务二的抛物线解析式，得到顶点纵坐标，与任务一的纵坐标相减即可； 任务三：根据题意给出合理的建议即可． 【详解】任务一：建立如图所示的直角坐标系， 由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，过点， ∴， 解得， ∴， 当时，， 得（舍去）， ∴素材1中的投掷距离为4m； （2）建立直角坐标系，如图， 设素材2中抛物线的解析式为， 由题意得，过点， ∴， 解得， ∴ ∴顶点纵坐标为， （m）， ∴素材2和素材1中球的最大高度的变化量为； 任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，求函数解析式，求抛物线与坐标轴的距离，正确理解题意建立恰当的直角坐标系是解题的关键． 22. 把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C2． （1）求抛物线C2的函数关系式； （2）点A（4，y1）和点B（m，y2）在抛物线C2上，若y2＜y1，结合图象求m的取值范围； （3）若抛物线C2的顶点为C，点P是线段AC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线C2于点Q．当线段PQ最长时，求点P的坐标． 【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）0＜m＜4；（3）点P的坐标为（3，1）． 【解析】 【分析】（1）根据平移规律“左加右减，上加下减”写出平移后抛物线的解析式； （2）根据抛物线的轴对称性质解答； （3）利用待定系数法确定直线AC解析式，然后根据直线与抛物线的交点求得PQ的长度． 【详解】解：（1）∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2， ∴抛物线C1的顶点为（﹣1，2）， ∴把抛物线C1先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C2的顶点为（2，﹣1）， ∴抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣2）2﹣1或y＝x2﹣4x+3； （2）点A坐标为（4，3），它关于直线x＝2对称的点为（0，3）， ∵抛物线C2的函数关系式为 y＝x2﹣4x+3, ∴抛物线C2的对称轴为直线 ∴抛物线C2上的点离对称轴越远其函数值越小， ∵y2＜y1， ∴0＜m＜4； （3）点A的坐标为（4，3），点C的坐标为（2，﹣1）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b， 则， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝2x﹣5． 设点P的坐标为（t，2t﹣5），则点Q的坐标为（t，t2﹣4t+3）， ∴PQ＝﹣t2+6t﹣8． ∴当t＝时，PQ最长． 当t＝3时，2t﹣5＝1， ∴点P的坐标为（3，1）． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的综合，二次函数的对称性，二次函数的平移等等，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的性质． 23. 如图1，在中，分别为的中点． （1）将绕点逆时针方向旋转得到（如图2），使直线恰好过点，连接． ①判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②求的长； （2）如图3，若将绕点逆时针方向旋转一周，分别取的中点的中点，连接，则长度的最大值为____________，最小值为____________． 【答案】（1）①与的数量关系为，位置关系为．理由见解析；② （2）， 【解析】 【分析】（1）①根据证明解题即可； ②设 在中，由勾股定理得解方程即可； （2）连接，，根据三角形的三边关系解题即可． 【小问1详解】 解：①，，理由为： ∵， ， 分别为的中点， ∴， 即 ∵， 即， ∴， ∴， ，， ∵， ， ， ∴， ∴ ∴， 即：； ②中， ， ， 同理可求 ∵， ， 设 在中，由勾股定理得： 解得： (舍负) ， ； 【小问2详解】 连接，， ∵点M，N是和的中点， ∴，， 根据三角形的三边关系的应用可得：， 即， 即最大值为，最小值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等的应用，三角形三边关系的应用，正确熟练掌握知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $