精品解析：山东省济南市章丘区2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试题

章丘区2024-2025学年度第一学期期中考试 九年级数学试题 本试题分选择题和非选择题两部分．选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间120分钟．本考试不允许使用计算器． 选择题部分 共40分 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 四个角都相等 D. 对角线互相垂直 3. 若，则的值等于（ ） A. 2 B. C. D. 4. 已知菱形ABCD，BD＝8，面积等于24，则菱形ABCD的周长等于（　　） A. 5 B. 10 C. 10 D. 20 5. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在两个全等的正方形纸片上，分别绘有大小不等的圆，其中正方形甲中圆的直径与正方形的边长相等，正方形乙中的四个圆互不重叠，其直径均为正方形边长的一半，所有圆均在相应正方形的内部．若向每个正方形中随机投掷一个点，在甲、乙两个正方形中点落在阴影部分的概率分别为、，则（ ） A. B. C. D. 与正方形的边长有关，无法判断 7. 硕硕和鹏鹏一起解一道一元二次方程题，硕硕看错了一次项系数，解得方程的两个根为和，鹏鹏看错了常数项，解得方程的两个根为和．则原方程正确的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图，点D是中边上的一点，点E在射线上．若，则以A，D，E为顶点的三角形与相似时，的长度为（    ） A. 2或 B. 6或 C. D. 9. 一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，边长为的正方形，对角线相交于点，点为边上一动点（不与点，点重合），交于点，点为中点．给出如下四个结论：①；②点在运动过程中，面积不变化；③周长的最小值为；④点在运动过程中，当时，．其中正确的结论是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ①③④ 非选择题部分 共110分 二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据： 幼树移植数（棵） 100 1000 5000 8000 10000 15000 20000 幼树移植成活数（棵） 87 893 4485 7224 8983 13443 18044 幼树移植成活的频率 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是______．（结果精确到0.1） 12. 一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 13. 图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，和相交于点O，点A、B之间的距离为米，，根据图②中的数据可得C、D之间的距离为__________米． 14. 在一次研学活动中，张老师带领同学们利用落叶堆烤红薯，首先将红薯埋在落叶堆中，在确保消防安全的前提下将落叶点燃，落叶堆点燃后徐徐燃烧，经测算落叶堆内部温度和时间的函数关系如图，首先落叶堆内部温度以每分钟上涨的速度匀速升高，达到后，温度维持不变一段时间，然后落叶堆熄灭，温度缓缓降低，直至冷却，已知在落叶堆熄灭后，温度是时间的反比例函数，且在第108分钟时，温度降为，同学们通过查阅资料得知，当温度满足时，红薯中的淀粉可以在淀粉酶的作用下更快的被分解为麦芽糖，增加了红薯的甜度，此过程称为糖化过程．则在这次烤红薯的过程中，糖化过程时长为________分钟． 15. 如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，P为中点，连接，则的最小值是______． 三、解答题（本大题共10小题，共90分）． 16. 解方程： （1） （2） （3） 17. 如图，在菱形中，E，F分别是边和上的点，且，求证：． 18. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为， ， ，若与关于点O位似，且点A的对应点坐标为． （1）请在图中做出（点B的对应点为点，点C的对应点为点）． （2）若中边上的高为m，则中边上的高为_________（用关于m的代数式表示）． （3）连接 则与四边形的面积比为________． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 （1）求m的取值范围． （2）若，求m的值． 20. 如图，点E是矩形中边上一点，连接，沿线段翻折，点D的对应点F恰好落在边上． （1）求证：． （2）若，求的长． 21. 如图，某同学学习物理《电流和电路》后设计了如图所示的电路图，其中分别表示四个可开闭的开关，“”表示小灯泡，“”表示电源．电源、小灯泡、开关和线路都能正常工作，当闭合开关中任意一个，再闭合开关时，小灯泡发光，按要求完成下列问题： （1）当开关闭合时，再随机闭合开关或或其中一个，小灯泡发光的概率为__________； （2）当随机闭合开关中的两个，请用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率． 22. 某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个；第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出． （1）根据题意，填写如下表格： 售价 销售量 总成本 第一周 10 200 元 第二周 第三周 4 （2）如果这批旅游纪念品共获利1250元，问：第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 23. 小敏同学在学习了投影一章的知识后，想利用相关知识测量小区内一座假山的高度，于是他设计了这样的方案： 如图1，假山的顶端有一盏路灯E，小敏同学在假山的一侧垂直于地面树立一根高度为的标杆，移动标杆的位置，测量路灯下标杆投影的长度，以及标杆底段B到假山正下方点D的距离，利用三角形相似的相关知识便可以求出假山的高度． （1）若，，请用关于a，b的代数式表示假山的高度． （2）在实际操作中，小敏测得，但在测量的长度时，发现假山正下方的点D处根本无法直接到达，小敏稍加思索，便得出了改进方案，如图2所示，他将竖直标杆移动到C点处，测得此时标杆在路灯下的影长变为，根据这些数据便可以计算假山的高度，请你帮助小敏求出假山的高度． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，B两点，点C是一次函数的图象与y轴的交点 （1）求一次函数的表达式和点B的坐标． （2）根据图象直接写出不等式的解集． （3）连接，，若点P是y轴上一点，连接，，若的面积是的面积的，求点P的坐标． 25. 如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，，连接，点M，P，N分别为，，的中点． （1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是________，位置关系是________； （2）探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断中与的关系，并说明理由． （3）拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 章丘区2024-2025学年度第一学期期中考试 九年级数学试题 本试题分选择题和非选择题两部分．选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间120分钟．本考试不允许使用计算器． 选择题部分 共40分 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从上面看：共有3列，从左往右分别有1，2，1个小正方形，据此可画出图形． 【详解】解：如图所示的几何体的俯视图是： ． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形． 2. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 四个角都相等 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】考查正方形对角线相互垂直平分相等与矩形对角线平分相等的性质 【详解】解：A、平行四边形对角线都是平分的，故选项不合题意； B、矩形，正方形对角线都是相等的，故选项不合题意； C、正方形，矩形四个角都是直角，故选项不合题意； D、正方形对角线相互垂直，但矩形对角线不一定垂直，故选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，本题的关键是理解正方形的性质与矩形的性质之间的联系与区别． 3. 若，则的值等于（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，如果或，那么，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果，那么或（）．根据比例的性质变形即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选A． 4. 已知菱形ABCD，BD＝8，面积等于24，则菱形ABCD的周长等于（　　） A. 5 B. 10 C. 10 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】由菱形的面积求出AC＝6，再由勾股定理求出AB＝5，即可解决问题． 【详解】解：设AC与BD交于点O，如图： ∵四边形ABCD是菱形，BD＝8， ∴AB＝BC＝CD＝AD，OB＝BD＝4，OA＝OC，AC⊥BD， ∵菱形ABCD的面积＝24， ∴AC×BD＝24， 即AC×8＝24， ∴AC＝6， ∴OA＝3， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝， ∴菱形ABCD的周长＝4AB＝20， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和勾股定理，求出AC的长是解题的关键． 5. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 6. 如图所示，在两个全等的正方形纸片上，分别绘有大小不等的圆，其中正方形甲中圆的直径与正方形的边长相等，正方形乙中的四个圆互不重叠，其直径均为正方形边长的一半，所有圆均在相应正方形的内部．若向每个正方形中随机投掷一个点，在甲、乙两个正方形中点落在阴影部分的概率分别为、，则（ ） A. B. C. D. 与正方形的边长有关，无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率问题，熟练掌握面积型几何概率问题是解题的关键，分别求出甲、乙两个图形中圆的面积，比较后即可得到答案． 【详解】解：∵甲中圆的直径与正方形的边长相等， ∴甲中圆的面积为：， ∵乙中圆的直径为正方形边长的一半， ∴乙中圆的面积为：， ∴， ∴， 故选：C． 7. 硕硕和鹏鹏一起解一道一元二次方程题，硕硕看错了一次项系数，解得方程的两个根为和，鹏鹏看错了常数项，解得方程的两个根为和．则原方程正确的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根与系数关系，一元二次方程的一般式，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程组解决问题； 设一元二次方程为，构建方程组求出，，即可求解； 【详解】解：设一元二次方程为， 由题意得：， ， 方程为， ， 或， 解得：，； 故选：C 8. 如图，点D是中边上的一点，点E在射线上．若，则以A，D，E为顶点的三角形与相似时，的长度为（    ） A. 2或 B. 6或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，分和两种情况，分别利用相似三角形对应边成比例求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：当时，则，即， ∴， ∴； 当时，则，即， ∴， ∴； 综上所述，的长度为2或， 故选：A． 9. 一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一次函数图象确定a、b的符号，进而求出的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可． 【详解】解：A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A不符合题意； B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B不符合题意； C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C不符合题意； D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键． 10. 如图，边长为的正方形，对角线相交于点，点为边上一动点（不与点，点重合），交于点，点为中点．给出如下四个结论：①；②点在运动过程中，面积不变化；③周长的最小值为；④点在运动过程中，当时，．其中正确的结论是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】①易证得，则可证得结论①正确；②由的值随着点E在运动，长度变化，根据三角形面积公式即可判断选项②错误；③先求得，设，则，利用勾股定理得到，利用非负数的性质求得的最小值，即可求得选项③正确；④利用直角三角形斜边中线的性质，即可得出选项④正确． 【详解】解：①∵四边形是正方形，相交于点O， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形； ∴，故①正确； ②∵的值随着点E从到运动，长度发生变化， ∴面积发生变化；故②错误； ③∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴周长的最小值为；故③正确； ④如图，连接， ∵，G为中点． ∴， 当， 则，是等边三角形， ∴ ，故④正确； 综上，①③④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线以及等腰直角三角形的性质，二次函数的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 非选择题部分 共110分 二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据： 幼树移植数（棵） 100 1000 5000 8000 10000 15000 20000 幼树移植成活数（棵） 87 893 4485 7224 8983 13443 18044 幼树移植成活的频率 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是______．（结果精确到0.1） 【答案】0.9 【解析】 【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】∵幼树移植数20000时，幼树移植成活的频率是0.902， ∴估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9， 故答案为：0.9． 【点睛】本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． 12. 一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】由一元二次方程有两个相等的实数根，则 从而列方程可得答案． 【详解】解： 方程有两个相等的实数根， 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键． 13. 图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，和相交于点O，点A、B之间的距离为米，，根据图②中的数据可得C、D之间的距离为__________米． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应高的比等于相似比． 14. 在一次研学活动中，张老师带领同学们利用落叶堆烤红薯，首先将红薯埋在落叶堆中，在确保消防安全的前提下将落叶点燃，落叶堆点燃后徐徐燃烧，经测算落叶堆内部温度和时间的函数关系如图，首先落叶堆内部温度以每分钟上涨的速度匀速升高，达到后，温度维持不变一段时间，然后落叶堆熄灭，温度缓缓降低，直至冷却，已知在落叶堆熄灭后，温度是时间的反比例函数，且在第108分钟时，温度降为，同学们通过查阅资料得知，当温度满足时，红薯中的淀粉可以在淀粉酶的作用下更快的被分解为麦芽糖，增加了红薯的甜度，此过程称为糖化过程．则在这次烤红薯的过程中，糖化过程时长为________分钟． 【答案】52 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，求出反比例函数的解析式，求出温度上升至和下降到时的时间，进行求解即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为：， 由图象，把点代入，得：， ∴， 当时，， ∵刚燃烧时，落叶堆内部温度以每分钟上涨的速度匀速升高， ∴当温度上升到时，所需时间为：， ∴糖化过程时长为； 故答案为：． 15. 如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，P为中点，连接，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线定理，垂线段的性质等，解题的关键是通过作辅助线确定点的运动轨迹． 如图，取中点，连接交于，连接，由中位线定理可得即为点的运动轨迹，由垂线段最短可知，当时，有最小值，即可求解； 【详解】解：如图，取中点，连接交于，连接，连接， 四边形是矩形， ，， ∵矩形中，点是中点，点是中点， ，四边形是矩形， ， 四边形是矩形， 点是的中点， 又是的中点， 即为点的运动轨迹， 当时，有最小值， 过点作，垂足为点H， ， 的最小值为； 故答案为： 三、解答题（本大题共10小题，共90分）． 16. 解方程： （1） （2） （3） 【答案】（1），； （2），； （3），． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程的常用方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 利用配方法可得：，然后再把等式两边同时开平方可得方程的解； 首先利用平方差公式把方程的左边分解因式，然后把等号右边的部分移项到等号的左边，再提公因式，可得：，根据两个因数的积为可知这两个因数至少有一个因数为，从而得到，然后再解一元一次方程求出一元二次方程的解； 利用十字相乘法分解因式解方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项：， 配方得：， 因式分解得：， 两边同时开平方得：， 方程的解为：； 【小问2详解】 解：， 分解因式得：， 移项得：， 提公因式得：， ， ； 【小问3详解】 解：， 十字相乘法分解因式得：， ， ； 17. 如图，在菱形中，E，F分别是边和上的点，且，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，欲证明，只要证明即可．解题关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ， ，， ∴． 18. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为， ， ，若与关于点O位似，且点A的对应点坐标为． （1）请在图中做出（点B的对应点为点，点C的对应点为点）． （2）若中边上的高为m，则中边上的高为_________（用关于m的代数式表示）． （3）连接 则与四边形的面积比为________． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得，与的相似比为，结合位似的性质作图即可． （2）根据相似三角形的性质：相似三角形的高的比等于相似比，可得答案． （3）结合位似的性质以及相似三角形的判定可得，相似比为，则可得与的面积比为，进而可得答案． 本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：与的相似比为，中边上的高为， 中边上的高为． 故答案为：． 【小问3详解】 解：与关于点位似，相似比为， ． ， ，相似比为， 与的面积比为， 与四边形的面积比为． 故答案为：． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 （1）求m的取值范围． （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式． （1）根据一元二次方程有两个不相等实数根可得，可得关于m的不等式，求解即可； （2）利用根与系数的关系可得，，再整体代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程中，，，， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得； 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系可得，， ， ∵， ∴， 解得：， ∵由（1）得， ∴舍去， ∴． 20. 如图，点E是矩形中边上一点，连接，沿线段翻折，点D的对应点F恰好落在边上． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵沿线段翻折，点D的对应点F落在边上， ∴， ∴， ∴． （2）的长为9 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）矩形的性质，得到，折叠得到，进而得到，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，求出，勾股定理得到，求出的长，折叠得到的长，根据矩形的对边相等，结合线段的和差关系进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵折叠， ∴， ∴， ∴的长为9． 21. 如图，某同学学习物理《电流和电路》后设计了如图所示的电路图，其中分别表示四个可开闭的开关，“”表示小灯泡，“”表示电源．电源、小灯泡、开关和线路都能正常工作，当闭合开关中任意一个，再闭合开关时，小灯泡发光，按要求完成下列问题： （1）当开关闭合时，再随机闭合开关或或其中一个，小灯泡发光的概率为__________； （2）当随机闭合开关中的两个，请用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了画树状图或列表法求一个事件的概率． 当开关闭合时，再随机闭合开关或或中的任何一个都可以使小灯泡发光，所以小灯泡发光的的概率为； 列表可知随机闭合开关中的两个，共有种等可能出现的情况，只有闭合的开关中有时，可以使小灯泡发光，可以使小灯泡发光的情况有种情况，从而可求小灯泡发光的概率． 【小问1详解】 解：当开关闭合时，再随机闭合开关或或中的任何一个都可以使小灯泡发光， 小灯泡发光的的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下， 随机闭合开关中的两个，共有种等可能出现的情况， 只有闭合的开关中有时，可以使小灯泡发光， 可以使小灯泡发光的情况有种情况， 可以使小灯泡发光的概率为． 22. 某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个；第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出． （1）根据题意，填写如下表格： 售价 销售量 总成本 第一周 10 200 元 第二周 第三周 4 （2）如果这批旅游纪念品共获利1250元，问：第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 【答案】（1） 填表如下： 售价 销售量 总成本 第一周 10 200 元 第二周 第三周 4 （2）第二周每件售价为9元【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设该商店第二周降低元销售，则销售数量为；第三周首先求得降价为6元，然后进一步求得销量即可； （2）先求出清仓处理的件数，由总利润单件利润销售数量，可求出清仓处理的利润，再将第一周、二周、清仓处理的利润相加，即可得出该商店对剩余纪念品清仓处理后的利润，令其等于1250，即可得出关于的一元二次方程，解得即可求出的值，再将其代入中即可． 【小问1详解】 解：设该商店第二周降低元销售， 则售价为：元；销售数量为个， 第三周售价为4元时，降价为（元）， 销售数量为（个）； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得， ∴， 答：第二周每件售价为9元． 23. 小敏同学在学习了投影一章的知识后，想利用相关知识测量小区内一座假山的高度，于是他设计了这样的方案： 如图1，假山的顶端有一盏路灯E，小敏同学在假山的一侧垂直于地面树立一根高度为的标杆，移动标杆的位置，测量路灯下标杆投影的长度，以及标杆底段B到假山正下方点D的距离，利用三角形相似的相关知识便可以求出假山的高度． （1）若，，请用关于a，b的代数式表示假山的高度． （2）在实际操作中，小敏测得，但在测量的长度时，发现假山正下方的点D处根本无法直接到达，小敏稍加思索，便得出了改进方案，如图2所示，他将竖直标杆移动到C点处，测得此时标杆在路灯下的影长变为，根据这些数据便可以计算假山的高度，请你帮助小敏求出假山的高度． 【答案】（1）DE=m （2）假山的高度为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）先证，得，进而得，再代入，，即可得出结论； （2）先证，，得，再由得，，得关于x的方程，解方程得，即，再由（1）的结论得． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴，即，即， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 设，则，， ∴， 解得，即， 由（1）得 ∴假山的高度为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，B两点，点C是一次函数的图象与y轴的交点 （1）求一次函数的表达式和点B的坐标． （2）根据图象直接写出不等式的解集． （3）连接，，若点P是y轴上一点，连接，，若的面积是的面积的，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入之中得点，再将点代入之中得，由此可得一次函数的表达式；解方程组可得点的坐标； （2）根据点，，结合函数的图象可得出不等式的解集； （3）过点作轴于，过点作轴于，则，，再求出，则，进而，则的面积是4，设，分两种情况讨论如下：①当点在点的上方时，则点，根据得，由此解出，进而可得点的坐标；②当点在点的上方时，则点，同理得，进而可得点的坐标，综上所述即可得出答案． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ∴， 点， 一次函数的图象经过点， ， 解得：， 一次函数的表达式为：， 解方程组，得，， 点的坐标为， 故一次函数的表达式为，点； 【小问2详解】 解：一次函数与反比例函数的图象交于，， 不等式的解集为：或； 【小问3详解】 解：过点作轴于，过点作轴于，如图1所示： 点，点， ，， 对于，当时，， 一次函数与轴的交点的坐标为， ， ， 的面积是的面积的， 的面积是4， 设， 分两种情况讨论如下： ①当点在点的上方时，则，如图2所示： 点的坐标为， ， ， 解得：， 点的坐标为； ②当点在点的下方时，则，如图2所示： 点的坐标为， 同理：， 点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式，及反比例函数与一次函数的交点坐标，理解反比例函数与一次函数的性质是解决问题的关键． 25. 如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，，连接，点M，P，N分别为，，的中点． （1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是________，位置关系是________； （2）探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断中与的关系，并说明理由． （3）拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 【答案】（1）， （2），，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理得，，，，从而得出，； （2）首先推导出，得到，，再由（1）同理说明结论成立； （3）由（2）知，，且，最大时，的面积最大，当点在的延长线上时，最大值为，进而求得，，进而利用三角形的面积计算公式解答即可． 【小问1详解】 解：点，是，的中点， ∴，， 点，是，的中点， ∴，， ，， ， ， ∵， ， ∵， ， ， ， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：，；理由如下： 由旋转知，， ，， ， ，， 利用三角形的中位线得，，， ； 同（1）的方法得， ， 同（1）的方法得， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：面积的最大值为；理由如下： 由（2）知，，且， 最大时，的面积最大， 当点在的延长线上时，最大值为， ， ， 面积的最大值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理等知识，掌握中位线的性质，旋转的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $