精品解析：山东省菏泽市曹县第一中学2024-2025学年高二12月月考数学试题

高二拓展月考试题 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列满足，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推公式求出、即可. 【详解】因为且， 所以，解得，则，即，解得. 故选：C 2. 已知等比数列共有项，奇数项之积为，偶数项之积为，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的公式及性质可得解. 【详解】由题意得. 故选：B. 3. 已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是20，则（ ） A. 5 B. C. D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】求出，由三角形的面积得到面积为10，设，则，将代入中得，求出，得到. 【详解】由题意得，故，故， 因为的面积为20，所以面积为10， 设，则，解得， 将代入中得， 故，则. 故选：D 4. 如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则中点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构建空间直角坐标系，应用向量法求点面距离即可. 【详解】以为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设为平面的法向量，则， 所以，令，所以， 点到平面的距离为． 故选：D 5. 已知等比数列 的公比为 ， 前 项积为 ， 若 ， 且 ， ， 均有 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用等比数列通项公式及项的性质计算解不等式即可. 【详解】当 时， 注意到 ， 因此 ， 即 解得 ; 当 时， 则 即 解得 ， 则 的取值范围为 . 故选 ：D. 6. 已知首项为2的正项数列的前n项和为，且当时，则值为（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】由与的关系，利用作差法求得，所以是首项为2，公差为的等差数列，求解即可. 【详解】当时， 所以，两式相减得：， 所以，即， 由于正项数列，所以，即， 所以是首项为2，公差为的等差数列， 所以. 故选：B 7. 数列的前n项和为，且，，则数列的前n项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用的关系求出，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列的前n项和， 当时，，而满足上式， 因此，， 所以. 故选：D 8. 已知函数，若数列为递增数列，则称函数为“数列保增函数”，已知函数为“数列保增函数”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，恒成立，参变分离可得，恒成立，结合函数的单调性求出的最大值，即可得解. 【详解】依题意，恒成立， 即，恒成立， 所以，恒成立， 又在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以当时， 所以，即的取值范围是. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是根据数列的单调性得到，恒成立，再参变分离得到，恒成立. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列满足，则（ ） A. B. 的前n项和为 C. 的前100项和为100 D. 的前30项和为357 【答案】AD 【解析】 【分析】当时，，两式相减可求出，检验满足，可判断A；由等差数列的前项和公式可判断B；由分组求和法可判断C，D. 【详解】当时，， 当时，， 两式相减可得：， 所以， 显然当时，满足，故，故A正确； 由等差数列求和公式知的前项和为，故B错误； 令，的前100项和为： ，故C错误； 令， 所以的前30项和为： ，故D正确. 故选：AD. 10. 已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数a的取值可以是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】BC 【解析】 【分析】利用数列的单调性结合函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】数列满足，且是递增数列， 则分段函数为增函数，则， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是， 则选项中和在内， 故选： 11. 已知在公差不为0的等差数列中，是与的等比中项，数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由等差数列的条件求得通项公式，进而求得，，可判断AC，再根据，的正负情况判断BD. 【详解】设等差数列的公差为，则，， ，因为是与的等比中项，所以， 即，解得或，又因为，所以， 所以，故A正确； ， 令，则，又因为，所以，此时， 即只有时，且，除此之外， 所以成立，故B正确； ，故C错误； 因为只有时，，除此之外，所以的最小值为， 又时，，所以的最大值为， 所以成立，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题求解，，都比较常规，关键点在于由的正负特征推出的最值，从而判断出BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，直线与相交于点，是抛物线上一点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线方程可确定两条直线垂直及所过定点，由此可得点轨迹为圆，设，结合圆上点到定点距离最值和二次函数最值的求法可求得结果. 【详解】，， 由得：，恒过定点； 由知：恒过定点； ，点轨迹是以为圆心，半径的圆（不含点）； 设，， 则当，即时，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆上点到曲线上的点的距离最值的求解问题，解题关键是能够根据两直线之间的位置关系及所过定点确定两直线交点轨迹为圆，进而利用圆的对称性来求解. 13. 已知正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式和等差数列的性质，先求出，再得到则，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，所以；又， 则， 当且仅当，即，即，时，等号成立. 故答案为： 14. 网络流行语“内卷”，是指一类文化模式达到某种最终形态后，既没办法稳定下来，也不能转变为新的形态，只能不断地在内部变得更加复杂的现象.数学中的螺旋线可以形象地展示“内卷”这个词.螺旋线这个词来源于希腊文，原意是“旋卷”或“缠卷”，如图所示的阴影部分就是一个美丽的旋卷性型的图案，它的画法是：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点E､F､G､H，作第二个正方形，然后再取正方形各边的四等分点M､N､P､Q，作第三个正方形，按此方法继续下去，就可以得到下图.设正方形的边长为，后续各正方形的边长依次为､､…､､…，如图阴影部分，设直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为､､…､､…，则下列说法正确的是___________. ①正方形的面积为 ② ③使不等式成立的正整数的最大值为4 ④数列的前项和 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据题意得到数列是以4为首项，为公比的等比数列，进而求出的通项公式，再根据得到，得到的通项公式，最后验证四个选项得到答案. 【详解】由题意可得，，，，，则，则数列是以4为首项，为公比的等比数列，即， 由题意可得，即，，，，则， 对于①，正方形的面积，所以①不正确； 对于②，由上述分析可得②正确； 对于③，由，则数列是单调递减数列，由于，，，，，则使不等式成立的正整数的最大值为4，故③正确； 对于④，数列的前项和，故④正确； 故答案为：②③④ 【点睛】方法点睛，解决新定义题的关键是读懂材料，将题意与已学过知识进行结合. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 等比数列中，，． （1）求的通项公式： （2）记为的前n项和，若，求m． 【答案】（1）或． （2）． 【解析】 【分析】（1）由条件求出公比，即可求解通项公式； （2）根据（1）的结果，代入等比数列的前项和公式，即可求解. 【小问1详解】 等比数列中，，． ，解得， 当时，， 当时，， 的通项公式为，或． 【小问2详解】 记为的前n项和． 当，时，， 由，得，，无解； 当，时，， 由，得，， 解得． 16. 已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设公差为d，根据等差数列的前n项和公式与等比中项公式列出关于和d的方程，求解即可得的通项公式； （2）由（1）可得等比数列的第三项，进而得，从而得到的通项公式，利用等差和等比数列前n项和公式分组求和即可求出. 【小问1详解】 因为为等差数列，设公差为d， 由，得，即， 由，，成等比数列得，， 化简得，因为，所以． 所以． 综上． 【小问2详解】 由知，， 又为公比是3的等比数列，， 所以，即， 所以，， 所以 . 综上. 17. 椭圆过点且离心率为，为椭圆的右焦点，过的直线交椭圆于，两点，定点. （1）求椭圆的方程； （2）若面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解出的值，则椭圆的方程可知； （2）设出直线的方程，联立直线的方程与椭圆方程得到纵坐标的韦达定理形式，根据，代入韦达定理求解出参数值，则直线的方程可知. 【小问1详解】 由题意可知，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率为时，显然不符合题意； 因为，设， 联立，可得， 则， ， 因为， 所以，解得， 所以直线的方程. 18. 如图，在四棱锥中，，，，，平面平面，为中点． （1）平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在一点，使∥平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值． 【答案】（1）证明：因为，为中点，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，再结合面面垂直的性质分析证明； （2）建系标点，求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角； （3）设，利用空间向量结合线面平行可得，即可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，分别为轴，平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得 由题意可知：平面的法向量， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 线段上是否存在一点，使平面. 设，则， 若平面，则， 可得，解得， 即，可知， 所以存在点，使平面，此时. 19. 已知数列满足，，公差不为的等差数列满足，，成等比数列， （1）证明：数列是等比数列． （2）求和的通项公式． （3）在与之间从的第一项起依次插入中的项，构成新数列：，，，，，，，，，，….求中前项的和． 【答案】（1） 数列中，， 则，而， 所以数列是等比数列，其首项为，公比为. （2）， （3）. 【解析】 【分析】（1）利用给定的递推公式计算即可得证. （2）由（1）按奇偶求出的通项公式，再列式求出的公差，进而求出通项公式. （3）根据数列的构成规律，求出前项中数列与的项数，再结合等差数列、等比数列前项和公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，， 所以数列的通项公式为； 设等差数列的公差为， 由成等比数列，得， 即，则有， 又，即，于是， 所以数列的通项公式为. 【小问3详解】 依题意，数列中，前有数列中的前项，有数列中的前项， 因此数列中，前共有项，当时，， 当时，，因此数列的前项中有数列中的前项，有数列中的前项， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二拓展月考试题 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列满足，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知等比数列共有项，奇数项之积为，偶数项之积为，则为（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是20，则（ ） A. 5 B. C. D. 10 4. 如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则中点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等比数列 的公比为 ， 前 项积为 ， 若 ， 且 ， ， 均有 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知首项为2的正项数列的前n项和为，且当时，则值为（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 7. 数列的前n项和为，且，，则数列的前n项和为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若数列为递增数列，则称函数为“数列保增函数”，已知函数为“数列保增函数”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列满足，则（ ） A. B. 的前n项和为 C. 的前100项和为100 D. 的前30项和为357 10. 已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数a的取值可以是（ ） A. B. C. D. 2 11. 已知在公差不为0的等差数列中，是与的等比中项，数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，直线与相交于点，是抛物线上一点，则的最小值为__________. 13. 已知正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为______________. 14. 网络流行语“内卷”，是指一类文化模式达到某种最终形态后，既没办法稳定下来，也不能转变为新的形态，只能不断地在内部变得更加复杂的现象.数学中的螺旋线可以形象地展示“内卷”这个词.螺旋线这个词来源于希腊文，原意是“旋卷”或“缠卷”，如图所示的阴影部分就是一个美丽的旋卷性型的图案，它的画法是：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点E､F､G､H，作第二个正方形，然后再取正方形各边的四等分点M､N､P､Q，作第三个正方形，按此方法继续下去，就可以得到下图.设正方形的边长为，后续各正方形的边长依次为､､…､､…，如图阴影部分，设直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为､､…､､…，则下列说法正确的是___________. ①正方形的面积为 ② ③使不等式成立的正整数的最大值为4 ④数列的前项和 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 等比数列中，，． （1）求的通项公式： （2）记为的前n项和，若，求m． 16. 已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和． 17. 椭圆过点且离心率为，为椭圆的右焦点，过的直线交椭圆于，两点，定点. （1）求椭圆的方程； （2）若面积为，求直线的方程. 18. 如图，在四棱锥中，，，，，平面平面，为中点． （1）平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在一点，使∥平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值． 19. 已知数列满足，，公差不为的等差数列满足，，成等比数列， （1）证明：数列是等比数列． （2）求和的通项公式． （3）在与之间从的第一项起依次插入中的项，构成新数列：，，，，，，，，，，….求中前项的和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $