复习专题09 y=Asin(ωx+φ)及其应用6题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 复习专题09 y=Asin(ωx+φ)及其应用6题型分类 1．φ对y＝sin(x＋φ)图象的影响 2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响 3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 4．y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义 5．函数模型 (1)收集数据． (2)画散点图． (3)选择函数模型． (4)求解函数模型． (5)检验． （一） 1．平移变换 对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数．再观察x前系数，当x前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为个单位． 2．伸缩变换 先平移后伸缩和先伸缩后平移中，平移的量是不同的，在应用中一定要区分清楚，以免混乱而导致错误．弄清平移对象是减少错误的好方法． 3．图象变换的步骤 题型1：三角函数图像的平移伸缩变换 1．（23-24高一上·浙江宁波·期末）为了得到的图象，只要将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 2．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）已知函数的图象为C，为了得到函数的图象，只要把C上所有点的（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．横坐标缩短到原来的倍.纵坐标不变 3．（23-24高一下·广东·期末）为了得到的图象，只需把图象上所有的点（    ） A．先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变 B．先向右平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 C．先向左平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变 D．先向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 4．（23-24高一下·四川眉山·期末）将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 5．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）要得到函数的图象，可将函数的图象（    ） A．先向左平移个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的倍 B．先向左平移个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍 C．先向右平移个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的倍 D．先向右平移个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍 6．（23-24高一下·云南玉溪·期末）要得到的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 7．（23-24高一下·浙江杭州·期末）为了得到函数的图象，可以把的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 8．（23-24高一下·四川·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 题型2：求图像变化前后的解析式 9．（24-25高二上·云南文山·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则 . 10．（24-25高三上·湖北·期中）已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若为偶函数，则正实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知函数，将图象上所有点向左平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·天津·期末）若将函数的图象向左平移个单位，得到函数图象解析式是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一下·四川绵阳·期末）将函数的图象先向左平移个单位，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． （二） 1．五点法作图 (1)先确定周期T，在一个周期内作出图象． (2)令X＝ωx+φ，令X分别取0，，π，，2π，求出对应的x值,由此可得五个关键点． (3)描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到y＝A sin（ωx+φ）的简图． 2．确定A，ω，φ的方法 (1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最值点代入公式ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，求φ． (2)待定系数法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式． (3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数． 题型3：y=Asin(ωx+φ)的图象 14．（24-25高三上·山东·期中）函数（，，）的部分图象如图所示，图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图象.若对任意的都有，则图中的值为（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高三上·天津和平·开学考试）已知函数的图象的一部分如图1，则图2中的函数图象对应的函数是（    ）    A． B． C． D． 16．（23-24高一上·甘肃嘉峪关·期末）函数的部分图象如图，则、可以取的一组值是（　　） A． B． C． D． 17．（23-24高二下·湖南·期末）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．在区间共有8097个零点 D．的图象向左平移个单位长度后得到的新图象关于轴对称 18．（23-24高一下·山东威海·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．在上单调递增 C．为偶函数 D． 19．（23-24高二下·贵州毕节·期末）函数在一个周期内的图象如图所示，则函数的一个对称中心为（    ）    A． B． C． D． 20．（23-24高二下·吉林·期末）函数的部分图象如图所示，则 （    ） A． B． C．1 D． 21．（23-24高一下·安徽亳州·期末）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，得函数的图象，则（    ） A．B． C． D． （三） 物理意义 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题． 题型4：y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义 22．（23-24高一上·湖南株洲·期末）不通过画图，写出函数的振幅、周期、初相，并说明如何由正弦曲线得到它的图象. 23．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的振幅、频率和初始相位. 24．（23-24高一·上海·课堂例题）已知函数（，）的振幅是3，最小正周期是，初始相位是.求这个函数的表达式. 25．（24-25高一上·全国·课后作业）某振动物体的运动方程是，下表是用“五点法”画该运动方程在某一个周期内的图象时所列表格． 0 ① ② ③ 0 2 0 0 (1)①为________，②为________，③为________（直接写出结果即可）； (2)求该振动物体的振幅、频率、初相． （四） 1．三角函数的奇偶性 (1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数． (2)对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数． 2．三角函数的单调性 (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间． 题型5：三角函数的综合性质 26．（24-25高三上·天津·阶段练习）关于函数有如下四个命题： 甲：该函数图象的一个对称中心为； 乙：该函数在上单调递增； 丙：该函数图象的一条对称轴方程为； 丁：该函数图象向右平移个单位长度得到一个奇函数. 如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲. B．乙 C．丙 D．丁 27．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）函数，其中，其最小正周期为，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数图象关于点对称 C．函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为 D．若，则函数的最大值为 28．（24-25高三上·天津·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列四个结论： ①是的一个解析式； ②是最小正周期为的奇函数； ③的单调递减区间为，； ④点是图象的一个零点． 其中正确结论的个数为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 29．（2024·山东泰安·模拟预测）将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数 的图象，则（    ） A． B．在上单调递增 C．在上的最小值为 D．直线是图象的一条对称轴 30．（23-24高三下·广东深圳·期中）已知函数，把的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，则（    ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C．在上的最大值为0 D．不等式的解集为 （五） 解三角函数应用问题的基本步骤 题型6：三角函数的应用 31．（24-25高一上·全国·课后作业）音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术．声音的本质是声波，而声波在空气中的振动可以用三角函数来表示．在音乐中可以用形如的正弦型函数来表示单音，将三个或以上的单音相叠加为和弦．若某和弦由三个单音组成，其中一个单音可以用表示，另外两个单音的正弦型函数图象如图所示，则该和弦的一个周期可能为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高一上·全国·课后作业）已知现代600千瓦风力发电机上，每个扇叶长度为20m，对应塔高（旋转中心距离地面的高度）为60m，扇叶逆时针方向每分钟旋转27转．若点为扇叶尖上一点，当位于最低点时开始计时，则离地面的距离（单位：m）与其转动时间（单位：s）的函数关系式为（    ）（角速度圆半径转过的弧度/运动时间） A． B． C． D． 33．（24-25高一上·全国·课后作业）某品牌汽车的轮胎内径为16英寸，在试验阶段为得到车辆相关数据，在轮胎内径边缘安装一传感器，可以实时监控汽车匀速直线运动时传感器所在点距离地面的高度，已知汽车匀速运动时轴承每秒转动2圈，从传感器转动到最高点处开始计时，则高度（单位：英寸）关于时间（单位：秒）的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高一上·全国·课后作业）某兴趣小组以某闰年春分为起始时间（已知春分时太阳直射点在赤道上），测量了一整年内太阳直射点纬度，并通过正弦函数来模拟该闰年太阳直射点的变化．已知太阳直射点移至最北端时纬度约为北纬，用代表天数，代表太阳直射点纬度，太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值，则该年太阳直射点的变化近似满足下列哪个函数（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高一下·陕西渭南·期末）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，且，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移小于的总时间为（    ） A． B． C． D． 36．（23-24高一下·四川成都·期末）筒车亦称“水转筒车”，一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图是某公园的筒车，假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针方向匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒距离水面的高度（单位：米，记水筒在水面上方时高度为正值，在水面下方时高度为负值）与转动时间（单位：秒）满足函数关系式，，且时，盛水筒位于水面上方米处，当筒车转动到第秒时，盛水筒距离水面的高度为（    ）米． A． B． C． D． 一、单选题 1．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知函数的最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平移个单位长度所得图象关于对称，则正实数m的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·北京海淀·期末）将的图象向左平移个单位后得到的图象，当时，，则（） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·山东青岛·期末）函数的图象如图所示，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 4．（23-24高一下·山东青岛·期末）将的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于对称 C．是的一个零点 D．是的一个单调减区间 5．（23-24高一下·安徽·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，再把函数的图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标保持不变），得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·四川成都·期末）将函数图象上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移后得函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·湖南娄底·期末）将函数的图象向左平移后得到函数的图象，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·广东广州·期末）将函数的图象向左平移个单位后，与函数的图象重合，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 10．（22-23高一上·江苏苏州·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（   ） A．的最小正周期为 B．是的最小值 C．在区间上的值域为 D．把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象 11．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称 D．在区间上单调递增 12．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数的图象的一条对称轴为 C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数 13．（23-24高一下·河北张家口·期末）已知函数（其中）的部分图象如下图，则（    ） A．可能为 B．若将函数图象向右平移得到，则为偶函数 C．的解析式可能为 D．在上的值域为 14．（23-24高一下·广西北海·期末）已知函数，则（    ）. A．函数的最小正周期为 B．直线是函数的图象的一条对称轴 C．若时，恒成立，则实数的取值范围为 D．将函数的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若时，函数有且仅有5个零点，则实数的取值范围为 三、填空题 15．（23-24高一上·吉林长春·期末）已知，是函数的两个不同零点，且的最小值是，有以下四个命题： ①函数周期是； ②函数的图象关于直线对称； ③函数的图象关于点中心对称； ④函数的图象可由图象向右平移个单位得到. 其中正确命题的序号是 . 16．（23-24高二下·河北石家庄·期末）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若，则的最小值为 ． 17．（23-24高一下·四川成都·期末）若函数的图象向左平移后，得到的函数图象与的图象重合，则的最小值为 ． 18．（23-24高一下·北京东城·期末）某实验室一天的温度（单位：）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：，，a，b为正实数，若，，则该实验室这一天的最大温差为 ；若该实验室这一天的最大温差为10，则的最大值为 ． 19．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）海洋潮汐是在太阳和月球的引力作用下，形成的具有周期性海面上升和下降的现象．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，停靠码头；在落潮时离开港口，返回海洋．已知某港口某天的水深（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式：，且当地潮汐变化的周期为．现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与洋底的距离）．若该船计划在当天下午到达港口，并在港口停靠一段时间后于当天离开，则它最多可停留 h． 四、解答题 20．（23-24高一下·四川绵阳·期末）风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而来推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈．风机叶片端点P从离地面最低位置开始，转动t秒后离地面的距离为h米，在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式为（，，）． (1)求函数的解析式； (2)当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点P离地面的高度不低于80米的时长． 21．（23-24高一下·北京·期末）某玩具厂为测试一款可升降玩具炮台的性能，建立了如下的数学模型：①如图，建立平面直角坐标系，炮口A的坐标为，炮台从炮口向右上方发射玩具弹，发射仰角为，初速度；②设玩具弹在运行过程中t（单位：s）时刻的横纵坐标分别为（单位：m），且满足；③玩具弹最终落在点.根据上述模型，解决下列问题： (1)当时. （i）若时，玩具弹刚好落在点，求及此次的发射仰角θ的值； （ii）求的最大值及此时的发射仰角θ； (2)当时，求证：. 22．（23-24高一下·四川凉山·期末）某地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月递增.下表是2024年前四个月的统计情况： 月份 1月份 2月份 3月份 4月份 收购价格（元/斤） 8 9 8 7 养殖成本（元/斤） 5 5.58 6 6.32 现打算从以下两个函数模型：①，（，，）；②中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系、养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系. (1)请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型解析式； (2)按照你选定的函数模型，分析今年该地区生猪养殖户在5，6，7，8月份分别是盈利还是亏损？ 23．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)先将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向左平移个单位长度，最后得到函数的图象，求在区间上的值域. 24．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数在区间上单调递增，且直线和为函数的图象的两条对称轴． (1)求的一个解析式； (2)将的象先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数p的取值范围． 25．（23-24高一下·山东威海·期末）已知函数，对，有. (1)求的值及的单调递增区间； (2)若，，求； (3)将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若，，求实数的取值范围. 26．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知函数（，，）的部分图象如下图所示．    (1)求函数的解析式； (2)写出函数的单调递增区间； (3)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的值域． 27．（23-24高一下·广东韶关·期末）已知函数的最大值为1，其图象相邻两对称轴之间的距离为．若将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象关于原点中心对称． (1)求函数的解析式； (2)已知常数，，且函数在内恰有2025个零点，求常数与n的值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 复习专题09 y=Asin(ωx+φ)及其应用6题型分类 1．φ对y＝sin(x＋φ)图象的影响 2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响 3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 4．y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义 5．函数模型 (1)收集数据． (2)画散点图． (3)选择函数模型． (4)求解函数模型． (5)检验． （一） 1．平移变换 对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数．再观察x前系数，当x前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为个单位． 2．伸缩变换 先平移后伸缩和先伸缩后平移中，平移的量是不同的，在应用中一定要区分清楚，以免混乱而导致错误．弄清平移对象是减少错误的好方法． 3．图象变换的步骤 题型1：三角函数图像的平移伸缩变换 1．（23-24高一上·浙江宁波·期末）为了得到的图象，只要将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】A 【分析】将变形为，由“左加右减，上加下减”的平移规则即可判断. 【详解】由可知，将函数的图象向左平移个单位长度即得的图象. 故选：A. 2．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）已知函数的图象为C，为了得到函数的图象，只要把C上所有点的（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．横坐标缩短到原来的倍.纵坐标不变 【答案】D 【分析】根据图象的伸缩变换即可求解. 【详解】将图象上的点的横坐标缩短到原来的倍.纵坐标不变就可得到， 故选：D 3．（23-24高一下·广东·期末）为了得到的图象，只需把图象上所有的点（    ） A．先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变 B．先向右平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 C．先向左平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变 D．先向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 【答案】C 【分析】根据平移变换知识即可判断. 【详解】根据平移变换知识先向左平移个单位长度可得， 再将所得曲线横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变得. 故选：C. 4．（23-24高一下·四川眉山·期末）将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【分析】根据三角函数图象的平移规律解答即可. 【详解】因为，所以将函数的图象向右平移个单位所得的图象对应的函数为. 故选：. 5．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）要得到函数的图象，可将函数的图象（    ） A．先向左平移个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的倍 B．先向左平移个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍 C．先向右平移个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的倍 D．先向右平移个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍 【答案】A 【分析】根据三角函数的变换规则一一判断即可. 【详解】将函数的图象先向左平移个单位得到， 再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的倍得到，故A正确； 将函数的图象先向左平移个单位得到， 再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的倍得到，故B错误； 将函数的图象先向右平移个单位得到， 再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的倍得到，故C错误； 将函数的图象先向右平移个单位得到， 再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的倍得到，故D错误. 故选：A 6．（23-24高一下·云南玉溪·期末）要得到的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【分析】根据图象的平移结合诱导公式分析判断. 【详解】对于选项A：可得，不合题意，故A错误； 对于选项B：可得，不合题意，故B错误； 对于选项C：可得，符合题意，故C正确； 对于选项D：可得，不合题意，故D错误； 故选：C. 7．（23-24高一下·浙江杭州·期末）为了得到函数的图象，可以把的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【分析】异名变同名，再由平移个单位得到，两个解析式相等即可. 【详解】， 可将的图象向右平移个单位长度得到的图象. 故选：D. 8．（23-24高一下·四川·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【分析】首先利用两角差的正弦公式及二倍角公式将函数化简，再结合三角函数的平移规则判断即可. 【详解】因为， ， 所以将向右平移个单位长度得到，故D正确； 若将向左平移个单位长度得到，故A错误； 若将向右平移个单位长度得到，故B错误； 若将向左平移个单位长度得到，故C错误； 故选：D 题型2：求图像变化前后的解析式 9．（24-25高二上·云南文山·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则 . 【答案】 【分析】根据平移规则可得平移后的解析式，再利用奇偶性以及即可得. 【详解】函数的图象向右平移个单位以后可得； 即为奇函数，因此可得，即； 又，可知当时，符合题意. 故答案为： 10．（24-25高三上·湖北·期中）已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若为偶函数，则正实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据周期性求得，根据图象平行结合偶函数性质可得，即可得结果. 【详解】因为， 若函数的最小正周期为，且， 则，解得，可得， 将的图象向右平移个单位后得到函数的图象， 则， 可得，解得， 可知当时，正实数取得最小值. 故选：B. 11．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知函数，将图象上所有点向左平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知，由在区间上单调递增，则，即可求得的取值范围. 【详解】因为函数， 将图象上所有点向左平移个单位长度得到函数的图象， 则， 因为函数在区间上单调递增， 结合各选项，只需即可， 所以，即， 又因为，所以. 故选：C. 12．（23-24高一上·天津·期末）若将函数的图象向左平移个单位，得到函数图象解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用图象平移“左加右减”的原则，直接推出平移后的函数解析式即可． 【详解】将函数的图象向左平移个单位后所得到的函数图象对应的解析式为：． 故答案为：C． 13．（23-24高一下·四川绵阳·期末）将函数的图象先向左平移个单位，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数的平移伸缩得出解析式即可. 【详解】的图象先向左平移可得, 纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍可得. 故选：C. （二） 1．五点法作图 (1)先确定周期T，在一个周期内作出图象． (2)令X＝ωx+φ，令X分别取0，，π，，2π，求出对应的x值,由此可得五个关键点． (3)描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到y＝A sin（ωx+φ）的简图． 2．确定A，ω，φ的方法 (1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最值点代入公式ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，求φ． (2)待定系数法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式． (3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数． 题型3：y=Asin(ωx+φ)的图象 14．（24-25高三上·山东·期中）函数（，，）的部分图象如图所示，图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图象.若对任意的都有，则图中的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】易得，再由平移变换得到函数的图象过点，进而求得周期，然后代入点求得的解析式即可. 【详解】解：由，得. 的图象上的所有点向左平移个单位长度后得的图象， 由题意知为奇函数，所以其图象关于原点对称，得函数的图象过点. 设的最小正周期为，则，所以，故. 又，，且，可得， 所以，. 故选：A. 15．（24-25高三上·天津和平·开学考试）已知函数的图象的一部分如图1，则图2中的函数图象对应的函数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的平移、伸缩变换可以得出函数关系． 【详解】由图1可知，，所以，所以， 图2可看成由图1向右平移1个单位长度，得， 再将所有点的横坐标变为原来的一半,纵坐标不变，得. 故选：D． 16．（23-24高一上·甘肃嘉峪关·期末）函数的部分图象如图，则、可以取的一组值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象可得周期，继而可求出，把点代入解析式可求出. 【详解】由， ，解得， 由， 所以， 则， 或1时，或， 又，而， 所以、可以取的一组值是，. 故选：. 17．（23-24高二下·湖南·期末）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．在区间共有8097个零点 D．的图象向左平移个单位长度后得到的新图象关于轴对称 【答案】D 【分析】由图可知，，即可判断A；利用周期计算即可判断B；利用所得解析式结合三角函数图象性质可判断C；利用三角函数平移性质计算可判断D. 【详解】对于A，由题图可知，，从而， 且位于单调递增区间，结合，可知，故A不正确； 对于B，由图可得，解得，， 又，所以，所以， 故，故B错误； 对于，， 令，则， 共有8096个零点，故C不正确； 对于D，的图象向左平移个单位长度后得到的图象的函数解析式为： ， 显然的定义域为全体实数，且为偶函数， 所以的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，故D正确. 故选：D. 18．（23-24高一下·山东威海·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．在上单调递增 C．为偶函数 D． 【答案】C 【分析】由图象分析取，，得，结合诱导公式，三角函数的单调性，奇偶性分别判断即可． 【详解】对于A，由图象可知，取，，即，则，取 ，即，取， 所以，故A错误； 对于B，当时，设， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上不单调，故B错误； 对于C，， 设，定义域为， ，所以为偶函数，故C正确； 对于D， ，故D错误； 故选：C． 19．（23-24高二下·贵州毕节·期末）函数在一个周期内的图象如图所示，则函数的一个对称中心为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图象可得函数最小正周期和对称中心，验证选项即可. 【详解】由图象可知，函数最小正周期， ，图象上函数的一个对称中心为， 所以函数的对称中心为，， 当时，有或， 时，函数的一个对称中心为， 时，函数的一个对称中心为， 只有选项D满足. 故选：D. 20．（23-24高二下·吉林·期末）函数的部分图象如图所示，则 （    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】结合函数图象，求得函数的解析式，再计算函数的函数值. 【详解】由图可知函数的周期， 故； 又由图象和函数解析式知函数过点，求得：，， 解得，，又， 故可得：， 故，满足， 则. 故选：D. 21．（23-24高一下·安徽亳州·期末）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，得函数的图象，则（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数图象求出解析式，再根据三角函数的变换规则及诱导公式计算可得. 【详解】依题意，，所以，解得， 所以，又， 则，解得，又，所以， 所以， 将的图象向右平移个单位长度得到. 故选：D （三） 物理意义 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题． 题型4：y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义 22．（23-24高一上·湖南株洲·期末）不通过画图，写出函数的振幅、周期、初相，并说明如何由正弦曲线得到它的图象. 【答案】振幅为，周期为，初相为；图象得到过程见解析 【分析】根据正弦型函数的的组成，结合简谐振动的物理量，可依次写出相关量，它的图象可由正弦曲线经过伸缩平移变换得到. 【详解】由可得：函数的振幅为，周期为，初相为. 它可以由正弦函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象， 再向右平移个单位长度，就得到函数的图象，最后将其图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）， 即得函数的图象. 23．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的振幅、频率和初始相位. 【答案】振幅为，频率为，初始相位为 【分析】利用三角函数振幅、频率和初始相位的定义即可得解. 【详解】对于， 其振幅为，周期， 则频率为，初始相位为. 24．（23-24高一·上海·课堂例题）已知函数（，）的振幅是3，最小正周期是，初始相位是.求这个函数的表达式. 【答案】 【分析】由振幅确定，最小正周期确定，初始相位确定. 【详解】因为函数（，）的振幅是3， 最小正周期是，初始相位是. 所以, ，. 即这个函数的表达式为 25．（24-25高一上·全国·课后作业）某振动物体的运动方程是，下表是用“五点法”画该运动方程在某一个周期内的图象时所列表格． 0 ① ② ③ 0 2 0 0 (1)①为________，②为________，③为________（直接写出结果即可）； (2)求该振动物体的振幅、频率、初相． 【答案】(1)①，②，③ (2)振幅为2，频率为，初相为． 【分析】（1）根据规律求出，再依次填入即可； （2）根据表格得到其周期，求出，再根据零点得到，则得到解析式，最后根据振幅、频率、初相即可得到答案. 【详解】（1）因为，则空②填； 空③填；空①填. （2）根据表中已知数据可得， ，因此最小正周期为，，则， 当时，，（），解得，（）. 因为，则， ∴函数表达式为． 因此振幅为2，频率为，初相为． （四） 1．三角函数的奇偶性 (1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数． (2)对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数． 2．三角函数的单调性 (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间． 题型5：三角函数的综合性质 26．（24-25高三上·天津·阶段练习）关于函数有如下四个命题： 甲：该函数图象的一个对称中心为； 乙：该函数在上单调递增； 丙：该函数图象的一条对称轴方程为； 丁：该函数图象向右平移个单位长度得到一个奇函数. 如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲. B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】对四个命题分别为假命题逐一分析，求出对应函数的解析式，结合正弦型函数的基本性质推导即可得出结论. 【详解】若甲为假命题，则乙丙丁正确，即函数图象的一条对称轴方程为， 可得，则， 因为，可得，即， 当时，，即函数在上单调递增； 将函数的图象向右平移个单位长度， 可得到函数为奇函数， 且，此时，甲为假命题，乙丙丁均为真命题，合乎题意； 若乙为假命题，则丙为真命题，可得函数，由上可知，丁为真命题，甲为假命题，不合乎题意； 若丙为假命题，则甲为真命题，即该函数图象的一个对称中心为， 可得，则， 因为，可得，则函数解析式为， 将该函数的图象向右平移个单位长度， 可得到函数，该函数不是奇函数， 即丁为假命题，不合乎题意； 若丁为假命题，由丙为真命题可知，函数解析式为， 则，即甲为假命题，不合乎题意. 故选：A. 27．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）函数，其中，其最小正周期为，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数图象关于点对称 C．函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为 D．若，则函数的最大值为 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，由正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；利用三角函数图象变换结合正弦型函数的奇偶性可判断C选项；利用正弦型函数的值域可判断D选项. 【详解】对于A选项， ， 因为，所以，可得，A错； 对于B选项，因为，则， 所以函数图象关于点对称，B错； 对于C选项，函数图象向右移个单位后， 得到函数的图象， 由题意可知，函数为偶函数， 所以，解得， 因为，当时，取最小值，C错； 对于D选项，当时，， 故当时，即当时，函数取最大值， 且，D对. 故选：D. 28．（24-25高三上·天津·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列四个结论： ①是的一个解析式； ②是最小正周期为的奇函数； ③的单调递减区间为，； ④点是图象的一个零点． 其中正确结论的个数为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据三角函数的变换规则得到的解析式，再根据余弦函数的性质计算依次判断即可求解. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 得到函数的图象，故①错误； 函数的最小正周期，但是， 故为非奇非偶函数，即②错误； 令，，解得，， 所以的单调递减区间为，，故③正确； 因为，所以不是零点，故④错误； 故选：A 29．（2024·山东泰安·模拟预测）将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数 的图象，则（    ） A． B．在上单调递增 C．在上的最小值为 D．直线是图象的一条对称轴 【答案】D 【分析】由平移变换内容得可判断A；求出的增区间可判断B；依据的范围即可求出的值域即可判断C；根据对称轴方程求解的对称轴方程即可判断D. 【详解】对于选项A，由题意，可得， 故A错误； 对于选项B，令，， 所以在上单调递增，故B错误； 对于选项C，因为，所以，故， 在上的最小值为0，故C错误； 对于选项D，函数的对称轴方程为， 化简可得，取，可得， 所以是图象的一条对称轴，故D正确. 故选：D. 30．（23-24高三下·广东深圳·期中）已知函数，把的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，则（    ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C．在上的最大值为0 D．不等式的解集为 【答案】C 【分析】根据三角函数图象的平移变换可得，结合正弦函数的奇偶性、对称性、单调性依次判断选项即可. 【详解】由题知. A：由于的定义域为，且， 故为奇函数，故A错误； B：又，故的图象不关于直线对称，故B错误； C：因为时，， 所以在上的最大值为0，最小值为-2，故C正确； D：，则，则， 故，故D错误. 故选：C （五） 解三角函数应用问题的基本步骤 题型6：三角函数的应用 31．（24-25高一上·全国·课后作业）音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术．声音的本质是声波，而声波在空气中的振动可以用三角函数来表示．在音乐中可以用形如的正弦型函数来表示单音，将三个或以上的单音相叠加为和弦．若某和弦由三个单音组成，其中一个单音可以用表示，另外两个单音的正弦型函数图象如图所示，则该和弦的一个周期可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数图象分别求得两个图象对应的函数分别为，，可得和弦可以表示为，再逐项判断即可. 【详解】设图①和图②所表示的正弦函数分别为， 由图①可得，又函数图象过点，所以， 所以，结合图象可得，所以， 所以， 由图②可得周期为，又，所以，可得， 所以该和弦可以表示为， 则，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误， 故该和弦的一个周期可能为． 故选：C. 32．（24-25高一上·全国·课后作业）已知现代600千瓦风力发电机上，每个扇叶长度为20m，对应塔高（旋转中心距离地面的高度）为60m，扇叶逆时针方向每分钟旋转27转．若点为扇叶尖上一点，当位于最低点时开始计时，则离地面的距离（单位：m）与其转动时间（单位：s）的函数关系式为（    ）（角速度圆半径转过的弧度/运动时间） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意建系，设，理解题意可得的值，代入点，求出，结合选项即得. 【详解】以旋转中心为原点，扇叶长度为半径建立平面直角坐标系． 由题意可得点作匀速圆周运动的角速度为， 可得秒后点旋转过的弧度为， 设函数，由题可得， 所以，当时，， 代入可得，则得， 则. 故选：A. 33．（24-25高一上·全国·课后作业）某品牌汽车的轮胎内径为16英寸，在试验阶段为得到车辆相关数据，在轮胎内径边缘安装一传感器，可以实时监控汽车匀速直线运动时传感器所在点距离地面的高度，已知汽车匀速运动时轴承每秒转动2圈，从传感器转动到最高点处开始计时，则高度（单位：英寸）关于时间（单位：秒）的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立合适的坐标系，求出关于的函数解析式； 【详解】以轮胎轴承中心为原点，分别以过原点且平行于地面的所在直线为轴， 垂直于地面的所在直线为轴建立平面直角坐标系，可设， 由轮胎内径为16英寸可得，轮胎的半径是8英寸，所以， 当时，将代入解得，又轴承每秒转动2圈， 则轴承的角速度为，则． 故选：. 34．（24-25高一上·全国·课后作业）某兴趣小组以某闰年春分为起始时间（已知春分时太阳直射点在赤道上），测量了一整年内太阳直射点纬度，并通过正弦函数来模拟该闰年太阳直射点的变化．已知太阳直射点移至最北端时纬度约为北纬，用代表天数，代表太阳直射点纬度，太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值，则该年太阳直射点的变化近似满足下列哪个函数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可设，根据已知求出即可. 【详解】设，又，则， 因为太阳直射点移至最北端时纬度约为北纬， 且太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值，所以， 则近似满足函数． 故选：B. 35．（23-24高一下·陕西渭南·期末）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，且，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移小于的总时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，根据得到，再令求解. 【详解】解：由，得， 所以，，则， 令，得， 解得， 所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移小于的总时间为： ， 故选：D 36．（23-24高一下·四川成都·期末）筒车亦称“水转筒车”，一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图是某公园的筒车，假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针方向匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒距离水面的高度（单位：米，记水筒在水面上方时高度为正值，在水面下方时高度为负值）与转动时间（单位：秒）满足函数关系式，，且时，盛水筒位于水面上方米处，当筒车转动到第秒时，盛水筒距离水面的高度为（    ）米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求出，即可得到函数解析式，再代入计算可得. 【详解】依题意可得，即，又，所以， 所以， 则当时， 即当筒车转动到第秒时，盛水筒距离水面的高度为米. 故选：B 一、单选题 1．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知函数的最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平移个单位长度所得图象关于对称，则正实数m的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数并求出，再由平移后的函数图象对称轴列式求解即得. 【详解】依题意，，则，解得，， 将函数的图象沿x轴向右平移个单位长度得的图象， 于是，解得， 所以正实数m的最小值为. 故选：D 2．（23-24高二下·北京海淀·期末）将的图象向左平移个单位后得到的图象，当时，，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】现根据平移得到的表达式，再由，可知在处，一个取最小值，一个取最大值，且相邻，进而可以列出等式，求解即可. 【详解】的图象向左平移个单位后得到， 因为， 所以在处，一个取最小值，一个取最大值， 不妨设，， 则， 因为，则，解得. 故选:. 3．（23-24高一下·山东青岛·期末）函数的图象如图所示，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据图象可得，结合周期可得，再根据时取得最值，可求得，代入，即可求得. 【详解】根据图象可得，， 所以，可求得，， 解之可得 ，又因，所以， 则，所以. 故选：A 4．（23-24高一下·山东青岛·期末）将的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于对称 C．是的一个零点 D．是的一个单调减区间 【答案】B 【分析】先根据三角函数图象变换规律求出的解析式，然后逐个分析判断即可. 【详解】将的图象向左平移个单位得, ， 所以， 对于A，的最小正周期为，所以A错误， 对于B，因为， 所以为图象的一条对称轴，即的图象关于对称，所以B正确， 对于C，因为， 所以不是的零点，所以C错误， 对于D，由，得，得， 因为在上单调递增，所以是的一个单调增区间，所以D错误. 故选：B 5．（23-24高一下·安徽·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，再把函数的图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标保持不变），得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先由左右平移和伸缩变化可以得到，再根据正弦函数对称轴的求法，从而得到的对称轴为，最后结合选项选择适合的答案即可. 【详解】首先将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数， 再把函数的图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标保持不变）， 得到函数， 最后令，解得， 即的对称轴为. 所以函数的图象的一条对称轴的方程为. 故选：A. 6．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移变换知识先求出的解析式，再根据三角函数的奇偶性得关于的方程即可计算求解. 【详解】由题意， 因为函数为奇函数，所以，， 又，所以当时，有最小值是. 故选：C. 7．（23-24高一下·四川成都·期末）将函数图象上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移后得函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数图象的伸缩以及平移变换规律，即可得答案. 【详解】将函数图象上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 得到的图象， 再将图象向左平移后得函数的图象，即， 故选：D 8．（23-24高二下·湖南娄底·期末）将函数的图象向左平移后得到函数的图象，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用函数的图象的平移变换和三角函数的诱导公式的变换求出结果． 【详解】解：函数的图象向左平移单位后， 得到函数的图象． 故选：C． 9．（23-24高一下·广东广州·期末）将函数的图象向左平移个单位后，与函数的图象重合，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由函数的图象与的图象重合，得即可求得答案. 【详解】将的图象向左平移个单位长度， 得，其图象与的图象重合， 则，解得，的值不可能为1，3，4，可以为2. 故选：B 二、多选题 10．（22-23高一上·江苏苏州·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（   ） A．的最小正周期为 B．是的最小值 C．在区间上的值域为 D．把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象 【答案】ABD 【分析】根据给定的图象求出函数的解析式可判断A；将代入解析式可判断B；利用正弦型函数的值域可判断C；利用图像的平移可判断D. 【详解】函数的周期，则，， 当时，， 由， 得，即， 所以函数解析式为； 当时，， 由， 得，即， 所以函数解析式为， 因为， 所以， 对于A，函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，是的最小值，故B正确； 对于C，当时，， 利用正弦函数的性质知，， 得，故C错误； 对于D，函数的图象上所有点向右平移个单位长度， 得到函数的图象，故D正确. 故选：ABD. 11．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称 D．在区间上单调递增 【答案】AC 【分析】求得的最小正周期可判断A；由，可判断B；求得平移后的函数解析式，可判断C；，结合余弦函数的单调性可判断D. 【详解】对于A，易知函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，因为，所以不是的图象的对称轴，故B错误； 对于C，设的图象向左平移个单位长度后的函数为 由， 由，可得函数为奇函数， 所以图象关于原点对称，故C正确； 对于D，因为，可得，所以由余弦函数的单调性可得函数在区间上单调递减，故D错误． 故选：AC． 12．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数的图象的一条对称轴为 C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数 【答案】AC 【分析】对于A：根据最小正周期公式运算求解即可；对于B：根据对称轴与最值点之间的关系分析判断；对于C：根据对称中心与函数零点之间的关系分析判断；对于D：根据三角函数图象变换结合诱导公式分析判断. 【详解】对于选项A：可知函数的最小正周期是，故A正确； 对于选项B：因为，不是最值， 所以不是函数的图象的一条对称轴，故B错误； 对于选项C：因为， 所以函数的图象关于点对称，故C正确； 对于选项D：函数的图象向右平移个单位长度后， 得到函数，故D错误； 故选：AC. 13．（23-24高一下·河北张家口·期末）已知函数（其中）的部分图象如下图，则（    ） A．可能为 B．若将函数图象向右平移得到，则为偶函数 C．的解析式可能为 D．在上的值域为 【答案】BC 【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出的解析式，再逐项分析判断即得. 【详解】观察图象得，，由，得，而，解得或， 函数的最小正周期，而且，于是且，解得， 又，且是函数递减区间上的零点，则， 当时，，则；当时，，无解， 因此，，，A错误； 对于B，，，为偶函数，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，当时，，，，D错误. 故选：BC 14．（23-24高一下·广西北海·期末）已知函数，则（    ）. A．函数的最小正周期为 B．直线是函数的图象的一条对称轴 C．若时，恒成立，则实数的取值范围为 D．将函数的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若时，函数有且仅有5个零点，则实数的取值范围为 【答案】AD 【分析】利用辅助角公式化简原函数，再求解最小正周期判断A，代入检验法判断B，利用三角函数的性质判断C，D即可. 【详解】因为； 所以的最小正周期为，故正确； 又由，故错误； 当时，可得， 当，即时，取得最小值， 因为时，恒成立，所以， 即实数的取值范围为，故C错误； 由题意得函数，因为， 所以，又因为函数有且仅有5个零点， 则满足，解得， 所以实数的取值范围是，故D正确. 故选：. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数，解题关键是对三角函数合理换元，然后求出新的自变量范围，再结合给定条件，得到所要求的参数范围即可． 三、填空题 15．（23-24高一上·吉林长春·期末）已知，是函数的两个不同零点，且的最小值是，有以下四个命题： ①函数周期是； ②函数的图象关于直线对称； ③函数的图象关于点中心对称； ④函数的图象可由图象向右平移个单位得到. 其中正确命题的序号是 . 【答案】①② 【分析】首先根据周期求得，然后由三角函数的单调性、对称性、值域等知识确定正确答案. 【详解】根据题意，的最小值是，所以， 所以，函数的最小正周期是，①正确； 由上可知，， 所以函数的图象关于直线对称，所以②正确； ， 所以不是的对称中心，所以③错误； ， 所以函数的图象可由图象向右平移个单位得到，④错误. 故答案为：①②. 16．（23-24高二下·河北石家庄·期末）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若，则的最小值为 ． 【答案】/0.5 【分析】利用平移变化得到的解析式，再根据知，，代入的解析式即可求出的取值范围，再结合，求出的最小值. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度得到函数， 又，则， ，或 即，或， 又，的最小值为. 故答案为：. 17．（23-24高一下·四川成都·期末）若函数的图象向左平移后，得到的函数图象与的图象重合，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】先求出平移后的函数图象，再依据图象重合列出方程求解即可. 【详解】的图象向左平移得到, 因为图象重合，所以, 即, 因为,所以的最小值为3. 故答案为：3. 18．（23-24高一下·北京东城·期末）某实验室一天的温度（单位：）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：，，a，b为正实数，若，，则该实验室这一天的最大温差为 ；若该实验室这一天的最大温差为10，则的最大值为 ． 【答案】 4 【分析】整理可得，分析可知最大温差为.若，，直接代入即可；若该实验室这一天的最大温差为10，可得，利用基本不等式运算求解. 【详解】因为， 且的最小正周期，即正好为一个满周期， 可知的最大值为，最小值为， 可得最大温差为， 若，，则最大温差； 若该实验室这一天的最大温差为10，即，可得， 又因为a，b为正实数，则，可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：4；. 19．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）海洋潮汐是在太阳和月球的引力作用下，形成的具有周期性海面上升和下降的现象．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，停靠码头；在落潮时离开港口，返回海洋．已知某港口某天的水深（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式：，且当地潮汐变化的周期为．现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与洋底的距离）．若该船计划在当天下午到达港口，并在港口停靠一段时间后于当天离开，则它最多可停留 h． 【答案】 【分析】根据函数周期性可得，令，结合正弦函数性质分析求解即可. 【详解】由题意可得：，则， 令，则， 可得，解得， 设该船到达港口时刻为，离开港口时刻为，可知， 则，即， 所以最多可停留时长为小时. 故答案为：. 四、解答题 20．（23-24高一下·四川绵阳·期末）风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而来推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈．风机叶片端点P从离地面最低位置开始，转动t秒后离地面的距离为h米，在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式为（，，）． (1)求函数的解析式； (2)当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点P离地面的高度不低于80米的时长． 【答案】(1) (2)秒 【分析】（1）根据题意，建立关于的方程组，解出即可； （2），解出三角不等式即可. 【详解】（1）由题意，得风机的角速度每秒，当时． 解得 ． （2）令，则，即， ，解得，． 当风机叶片端点P从离地面最低位置开始， 在转动一周的过程中，点P离地面的高度不低于80米的时长为秒． 21．（23-24高一下·北京·期末）某玩具厂为测试一款可升降玩具炮台的性能，建立了如下的数学模型：①如图，建立平面直角坐标系，炮口A的坐标为，炮台从炮口向右上方发射玩具弹，发射仰角为，初速度；②设玩具弹在运行过程中t（单位：s）时刻的横纵坐标分别为（单位：m），且满足；③玩具弹最终落在点.根据上述模型，解决下列问题： (1)当时. （i）若时，玩具弹刚好落在点，求及此次的发射仰角θ的值； （ii）求的最大值及此时的发射仰角θ； (2)当时，求证：. 【答案】(1)（i），；（ii） (2)证明见解析 【分析】（1）（i）根据，求得，进而求得； （ii）根据题意，得，进而求得，即可求解； （2）根据，整理得，再由辅助角公式化简得，即可求解. 【详解】（1）（i）当时，，由，得， 因为，所以此次的发射仰角为，； （ii）当时，， 由，得，所以， 因为，所以，所以时，取得最大值. （2）当时，， 由，得， 因为，所以， 代入式整理得， 得， 所以，其中， 所以，解得. 22．（23-24高一下·四川凉山·期末）某地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月递增.下表是2024年前四个月的统计情况： 月份 1月份 2月份 3月份 4月份 收购价格（元/斤） 8 9 8 7 养殖成本（元/斤） 5 5.58 6 6.32 现打算从以下两个函数模型：①，（，，）；②中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系、养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系. (1)请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型解析式； (2)按照你选定的函数模型，分析今年该地区生猪养殖户在5，6，7，8月份分别是盈利还是亏损？ 【答案】(1)模型①，模型② (2)答案见解析 【分析】（1）根据已知中的数据，求出参数的值，可得两个函数解析式； （2）根据（1）中函数模型，求出价格的估算值，与成本比较后可得答案． 【详解】（1）由表中数据可知，收购价格月份变化上下波动，应选模型①， 由表中数据可知，养殖成本逐月递增，应选模型②， 对于模型①，由点及，可得函数周期满足， 即，所以， 又函数最大值为，最小值为，解得，， 所以，又，所以， 又，所以， 所以模型①； 对于模型②，图象过点，， 所以， 解得：，所以模型②； （2）由（1）设，， 若时则盈利，若则亏损； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 这说明第5，6，7月份可能盈利，8月份生猪养殖户可能出现亏损． 23．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)先将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向左平移个单位长度，最后得到函数的图象，求在区间上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图可得出的值，求出的最小正周期，可求得的值，由结合的取值范围可求得的值，可得出函数的解析式； （2）利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的性质即可得解. 【详解】（1）由图可知，， 函数的最小正周期为，， ，可得， ，则，，则， 所以. （2）将函数的图象的横坐标缩小为原来的，可得到函数的图象， 再将得到的函数图象向左平移个单位，最后得到函数的图象， 则， 当时，，则，所以， 因此在区间上的值域为. 24．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数在区间上单调递增，且直线和为函数的图象的两条对称轴． (1)求的一个解析式； (2)将的象先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数p的取值范围． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）依题意可得两条对称轴之间的距离恰好为半个周期，由此求出，再根据“五点法”求出即可得到解析式； （2）先根据变换规律确定，再转化成,即可. 【详解】（1）根据题意可知，， 取,则， 又根据"五点法"可得， ， . （2）将的图象向左平移个单位长度得到的图象, 再将各点的横坐标伸长为原来的2倍得到的图象，故. 对任意的，不等式恒成立. 即对任意的， 即恒成立. 当时，， 当时，不等式恒成立. 当时，， 令， 设，，则 . 令，其值域为， ，即. 综上，的取值范围是. 25．（23-24高一下·山东威海·期末）已知函数，对，有. (1)求的值及的单调递增区间； (2)若，，求； (3)将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若，，求实数的取值范围. 【答案】(1)，单调递增区间为（） (2) (3)或 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，根据得到方程，求出，得到函数解析式，整体法得到函数单调性； （2）根据得到，凑角法，结合正弦和角公式得到答案； （3）根据伸缩和平移变换得到，令，故，令，从而得到，因为，所以当时，，所以，解出答案. 【详解】（1）， 因为对，有，可得当时，取得最值， 所以，， 可得，，又， 所以， 所以， 由，，可得，， 所以的单调递增区间为（）. （2）由，，， 可得，， 所以， 所以. （3）将函数图象上的所有点，向右平移个单位后得到 函数的图象，进而可得， 令， 只需， 令， 因为，所以， 所以， 因为，可得， 所以， 因为，所以当时，， 所以，即，解得或. 所以实数的取值范围为或. 26．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知函数（，，）的部分图象如下图所示．    (1)求函数的解析式； (2)写出函数的单调递增区间； (3)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由三角函数的图象，利用五点法求得函数的解析式； （2）由（1）可得：，结合三角函数的性质，即可求解. （3）由三角函数的图象变换，可得，结合正弦函数的有界性即可求解. 【详解】（1）由图象可知：，最小正周期， 且，可得，所以， 由图可求出最低点的坐标为，可得， 则，解得， 且，可得，所以. （2）由（1）可得：， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. （3）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到； 再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位，得到， 因为，则，可得，即， 所以在区间上的值域为. 27．（23-24高一下·广东韶关·期末）已知函数的最大值为1，其图象相邻两对称轴之间的距离为．若将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象关于原点中心对称． (1)求函数的解析式； (2)已知常数，，且函数在内恰有2025个零点，求常数与n的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由最大值得A，则周期得，写出变换的函数解析式，由对称性得，得函数解析式； （2）首先确定，即，这样零点问题转化为，求得函数的最大值和最小值，然后讨论方程解的个数，分类讨论求得． 【详解】（1）依题意可知：，可得， ，即，且，可得， 则， 将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度， 得到的函数为， 因为图象关于原点中心对称，则有，． 且，， 所以． （2）由题意可知： 当时，，则在内的零点个数为偶数个， 因为在内恰有2025个零点，为奇数个零点，故， 由，可得， 设，则， 可知在和上递减，且，， ①若，由得或， 则（n为奇数）或（n为偶数），解得n不是整数，舍去； ②若，由得或， 则由（n为奇数），解得n不是整数，舍去； 或， 解得； ③若且，在内的零点个数为偶数； ④或，在内的零点个数为偶数． 综上所述：，． 【点睛】关键点点睛：解题关键是把方程进行变形转化为能利用正弦函数的周期性确定解的个数，同时注意分离参数法的应用． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$