精品解析：广西壮族自治区贵港市桂平市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024年秋季期期中教学质量检测九年级数学 （考试时间：120分钟，满分120分） 注意：答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中只有一项是正确） 1. 下列函数是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的一般形式为选择即可，这也是解题关键． 【详解】解：∵反比例函数的一般形式为， ∴只有A选项符合． 故选A． 2. 方程的一次项系数是（ ） A. 1 B. 5 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式及其各项的概念，掌握一元二次方程的一般形式中，叫做方程的二次项，其中是二次项系数，叫做方程的一次项，其中是一次项系数，叫做方程的常数项是解题关键． 根据一元二次方程的一般形式中，叫做方程的一次项，其中b是一次项系数，进行解答即可． 【详解】解：化为， ∴一次项系数是5， 故选：B． 3. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，解决问题的关键是掌握：内项之积等于外项之积．依据比例的性质，将各选项变形即可得到正确结论． 【详解】解：A．由可得，，不合题意； B．由可得，，不符合题意； C．由可得，，符合题意； D．由可得，，不合题意； 故选：C． 4. 在中，，，，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正弦的定义，根据正弦的定义，可得，根据即可求解． 【详解】∵在中，，，， ∴， ∴ 故选：B． 5. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 函数的图象只在第一象限 C. 当时，必有 D. 点不在此函数的图象上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及性质，要知道，函数图象上的点符合函数解析式．根据反比例函数的性质进行判断． 【详解】解：由函数解析式为可知； A、，函数图象在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，故本选项错误； B、，函数图象在一、三象限，故本选项错误； C、，函数图象在一、三象限，当时，，故本选项正确； D、，点在此函数图象上，故本选项错误． 故选：C． 6. 下列的一元二次方程有实数根的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根，是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式，进行判断作答即可． 【详解】解：A、，方程无实数根，故本选项错误； B、 ，方程有实数根，故本选项正确； C、，方程无实数根，故本选项错误； D、由原方程得到，而，方程无实数根，故本选项错误； 故选：B． 7. 若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ） A. 1：2 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：16 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，利用面积之比是1：4，求出相似比，然后再根据相似三角形的周长之比等于相似比，即可求出它们的相似比． 【详解】∵两个相似三角形的面积之比是1：4， ∴两个相似三角形的相似比是1：2． ∴两个相似三角形的周长之比是1：2． 故选择A． 8. 河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比为，则的长为（ ） A. 12米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可以求得的长，再根据勾股定理即可求得的长，本题得以解决． 【详解】解：∵ 米，迎水坡AB的坡比为， ∴， 解得米， ∴米， 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用坡度和勾股定理解答． 9. 某闭合电路的电压，则其电流与电路的电阻之间的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义进行解答即可，因为电流等于电压除以电阻，所以设其电流与电路的电阻之间的函数表达式为，因为且某闭合电路的电压，则，即可作答． 【详解】解：∵电流等于电压除以电阻， ∴设其电流与电路的电阻之间的函数表达式为， 因为且某闭合电路的电压， 则， 故选：D 10. 近年来，由于新源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据月均下降率是表示出5月份的售价是解答此题的关键．首先根据3月份售价为23万元，月均下降率是可得出4月份的售价为万元，5月份的售价为万元，据此根据5月份售价为16万元可列出方程，进而可得出答案． 【详解】解：月份售价为23万元，月均下降率是，5月份售价为16万元， ． 故选：B． 11. 四分仪是一种十分古老的测量仪器。其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．图中，四分仪为正方形．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为．则井深为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出，代入数据即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， ∵测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为． ∴ 解得：， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 12. 如图，△AOC中三个顶点的坐标分别为（4，0）、（0，0）、（4，3），AP为△AOC中线，以O为位似中心，把△AOP每条边扩大到原来的2倍，得到，则的长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理求出OC，然后根据直角三角形的性质求出OP，进而分在第一象限和第三象限进行分类求解即可． 【详解】解：∵△AOC中三个顶点的坐标分别为（4，0）、（0，0）、（4，3）， ∴， ∴由勾股定理可得， ∵AP为△AOC中线， ∴， 当以O为位似中心，把△AOP每条边扩大到原来的2倍，得到，则可分： ①当在第一象限时，如图所示： ∴， ∴； ②当在第三象限时，如图所示： ∴， ∴； 综上所述：或； 故选D． 【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线定理及位似，熟练掌握直角三角形斜边中线定理及位似是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 13. 已知反比例函数，当时，函数的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是求反比例函数的值．把代入此反比例函数的解析式，求出y的对应值即可． 【详解】解：把代入得，， 故答案为：． 14. 若，则=_______． 【答案】． 【解析】 【分析】先把分式化简成已知的形式，再把已知整体代入即可 【详解】根据题意可得：原式=+1=． 【点睛】本题考查了分式的化简以及代入求值，解题的关键是运用整体思想代入求值． 15. 已知方程的一个根为1，则的值为_____． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．本题根据一元二次方程的根的定义求解即可． 【详解】解：∵方程的一个根为1， ∴， 解得：， 故答案为：16． 16. 如图，铁道口栏杆的短臂长为1.2m，长臂长为8m，当短臂端点下降0.6m时，长臂端点升高______________m（杆的粗细忽略不计)． ． 【答案】4 【解析】 【分析】如下图所示，两侧所组成的两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例可得，长短臂之比应该等于下降和上升高度比，根据题意列出比例式即可． 【详解】 解：如图，∵AB⊥AD，CD⊥AD， ∠COD=∠AOB， ∴△AOB∽△DOC， ∴， 即． 【点睛】此题难易程度适中，主要考查相似三角形的相似比，为常见题型． 17. 如图，从楼顶处看楼下荷塘处的俯角为，看楼下荷塘处的俯角为，已知楼高为，则荷塘的宽为_____（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，先说明，再由锐角三角函数定义求出的长，即可解决问题．熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键． 【详解】解：∵从楼顶处看楼下荷塘处的俯角为，看楼下荷塘处的俯角为， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即荷塘的宽为． 故答案为：． 18. 如图，点B是反比例函数y＝图象上的一点，矩形OABC的周长是20，正方形OCDF与正方形BCGH的面积之和为68，则k的值为_______ 【答案】16 【解析】 【分析】设B点坐标为(x，y)，根据题意得到，，再利用完全平方公式可得到xy=16，然后根据反比例函数的比例系数k的几何意义即可得到答案． 【详解】设B点坐标为(x，y)，则OC=y，BC=x， 根据题意得：，， ∴， ∴，即， ∴，即矩形OABC的面积是16， ∴， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴k=16． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了函数图象上点的坐标特征，完全平方公式的运用，反比例函数的比例系数k的几何意义，熟练掌握k的几何意义及完全平方公式是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先提公因式，再令每个因式为0，进行计算，即可作答． （2）先把原式整理为，再令每个因式为0，进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵ ∴或 ∴或 【小问2详解】 解：∵ 或 或 20. 如图，相交于点P，连接，且，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．先证明，根据相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， ， 的长为． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）当方程有两个实数根时，求的取值范围； （2）如果方程的两实数根为，，且，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式．一元二次方程根的判别式是，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．如果、是一元二次方程的两个实数根，则有、． 因为方程有两个实数根，所以可得，根据根的判别式可得关于的方程，解方程求出的值； 根据一元二次方程根与系数的关系可得：，，再利用完全平方公式进行变形可以求出的值． 【小问1详解】 解：方程有两个实数根， ， ， 解得：， 的取值范围是； 【小问2详解】 解：，， 又， ， ， 解得：．经检验符合题意 22. 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围； （3）在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）或 （3）存在，或或或 【解析】 【分析】（1）首先把点的坐标代入反比例函数解析式中，求得反比例函数解析式，然后把点坐标代入反比例函数解析式中求得点的坐标，再利用待定系数法求得一次函数的解析式即可； （2）一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围，就是反比例函数的图像在一次函数的图像的上方部分所对应的自变量的范围； （3）当是等腰三角形时，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求出点坐标即可． 【小问1详解】 解：将代入，得： ， 反比例函数的解析式是， 将代入，得： ， 的坐标为， 将，代入，得： ， 解得：， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：根据图像可知，使一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围为： 或； 【小问3详解】 解：在轴上存在点，使是等腰三角形，点的坐标为或或或， 理由如下： 如图，过点作轴于点， ， ，， ， 当是等腰三角形时，分三种情况讨论: ①当时， 由，等腰三角形三线合一的性质可得： ， ， ； ②当时， 根据题意，可得：， 在中，由勾股定理可得：， , 解得：， ； ③当时， 当点在点左侧时，， 当点在点右侧时，； 综上所述，点的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，求反比例函数解析式，从函数的图象获取信息，三线合一，勾股定理，已知两点坐标求两点距离，解一元一次方程等知识点，熟练掌握待定系数法求函数解析式并运用分类讨论思想是解题的关键． 23. 如图，在中，已知，，为上一点，，． （1）求的长； （2）求的面积． 【答案】（1）15 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． （1）由已知得为等腰直角三角形，所以，又因为已知的正弦值，即可求出的长． （2）利用勾股定理求得的长，利用三角形面积公式即可解答． 【小问1详解】 解： ，， 为等腰直角三角形， ， 又， ， 【小问2详解】 在中，，，由勾股定理，得 ， ， 即：， ， ． 24. 某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元． （1）若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率． （2）市场调研表明：当每台售价为2900 元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？ 【答案】（1）每次降价的百分率是 （2）每台冰箱的定价应为2750 元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出方程． （1）设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格降价前的价格（降价的百分率），则第一次降价后的价格是元，第二次后的价格是元，据此即可列方程求解； （2）假设下调a个50元，销售利润一台冰箱的利润销售冰箱数量，一台冰箱的利润售价进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每台的盈利销售的件数元，即可列方程求解． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率为x， 依题意得 ， 解得 （不合题意，舍去）． 答：每次降价的百分率是． 【小问2详解】 解：假设下调a个50元， 依题意得， 解得 ，则（元） 则每台冰箱的定价应为元， 答：每台冰箱的定价应为2750 元． 25. （综合与实践）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： （1）绘制函数图象，如图．列表：下表是与的几组对应值，其中_____； x … 1 2 3 4 … y … 3 1 m … 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整； （2）观察图象并分析表格，回答下列问题； ①当时，随增大而_____；（填“增大”或“减小”） ②函数的图象是由函数的图象向_____平移_____一个单位长度而得到； ③函数的图象关于点_____成中心对称．（填点的坐标） （3）设、是函数的图象上的两点，且，试求的值． 【答案】（1） 0；如图： （2）①减小②下，1；③ （3）2024 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象的平移和性质．根据列表、描点、连线画出函数图象，根据图象得到函数的性质是解题的关键． （1）将代入解析式求出函数值即可；将图中的点用平滑的曲线进行连接即可； （2）根据图象可分别求解①②③小题； （3）将点代入解析式，结合进行计算即可． 【小问1详解】 解：当时：， ； 故答案为：0； 【小问2详解】 解：如图， ①当时，随增大而减小； ②， 函数的图象是由函数的图象向下平移1个单位长度而得到； ③的图象关于原点对称， 的图象关于对称． 故答案为：减小；下，1；； 【小问3详解】 解：把，代入函数得： ，， ∵， ． 26. 如图1，和都是等边三角形，连接，． （1）求的值； （2）如图2，若和是直角三角形，，且．连接，，求的值； （3）如图3，是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，，延长交于点，设，求的长． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】本题是相似形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）证明，从而得出结论； （2）先证明，再证得，进而得出结果； （3）由“”可证，可得，由直角三角形的性质可求解． 【小问1详解】 解：和都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， 【小问2详解】 解：，， ， ，； ， ， ； 【小问3详解】 如图，过点作，交的延长线于，过点作于， 是等腰直角三角形，，， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，，，，， 和都是等边三角形， ，， ， ， ， ， 又，， ， ， ，， ，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季期期中教学质量检测九年级数学 （考试时间：120分钟，满分120分） 注意：答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中只有一项是正确） 1. 下列函数是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的一次项系数是（ ） A. 1 B. 5 C. 6 D. 3. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 5. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 函数的图象只在第一象限 C. 当时，必有 D. 点不在此函数的图象上 6. 下列的一元二次方程有实数根的是(　　) A. B. C. D. 7. 若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ） A. 1：2 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：16 8. 河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比为，则的长为（ ） A. 12米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 某闭合电路的电压，则其电流与电路的电阻之间的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 10. 近年来，由于新源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 四分仪是一种十分古老的测量仪器。其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．图中，四分仪为正方形．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为．则井深为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 12. 如图，△AOC中三个顶点的坐标分别为（4，0）、（0，0）、（4，3），AP为△AOC中线，以O为位似中心，把△AOP每条边扩大到原来的2倍，得到，则的长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 13. 已知反比例函数，当时，函数的值为_____． 14. 若，则=_______． 15. 已知方程的一个根为1，则的值为_____． 16. 如图，铁道口栏杆的短臂长为1.2m，长臂长为8m，当短臂端点下降0.6m时，长臂端点升高______________m（杆的粗细忽略不计)． ． 17. 如图，从楼顶处看楼下荷塘处的俯角为，看楼下荷塘处的俯角为，已知楼高为，则荷塘的宽为_____（结果保留根号）． 18. 如图，点B是反比例函数y＝图象上的一点，矩形OABC的周长是20，正方形OCDF与正方形BCGH的面积之和为68，则k的值为_______ 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解下列方程： （1） （2） 20. 如图，相交于点P，连接，且，，，，求的长． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）当方程有两个实数根时，求的取值范围； （2）如果方程的两实数根为，，且，求的值． 22. 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围； （3）在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 如图，在中，已知，，为上一点，，． （1）求的长； （2）求的面积． 24. 某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元． （1）若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率． （2）市场调研表明：当每台售价为2900 元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？ 25. （综合与实践）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： （1）绘制函数图象，如图．列表：下表是与的几组对应值，其中_____； x … 1 2 3 4 … y … 3 1 m … 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整； （2）观察图象并分析表格，回答下列问题； ①当时，随增大而_____；（填“增大”或“减小”） ②函数的图象是由函数的图象向_____平移_____一个单位长度而得到； ③函数的图象关于点_____成中心对称．（填点的坐标） （3）设、是函数的图象上的两点，且，试求的值． 26. 如图1，和都是等边三角形，连接，． （1）求的值； （2）如图2，若和是直角三角形，，且．连接，，求的值； （3）如图3，是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，，延长交于点，设，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $