复习专题08 三角函数的图象与性质8题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 复习专题08 三角函数的图象与性质8题型分类 1．正余弦函数 (1)正弦曲线． (2)余弦曲线． (3)正余弦函数的周期性：正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)都是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它们的周期．最小正周期为2π． (4)正余弦函数的奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数． (5)正余弦函数的单调性与最值． 正弦函数 余弦函数 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] 单调性 (k∈Z)上单增 (k∈Z)上单减 [2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单增 [2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单减 最值 x＝＋2kπ(k∈Z)时,ymax＝1 x＝－＋2kπ(k∈Z)时,ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1 x＝2kπ＋π(k∈Z)时,ymin＝－1 2．正切函数 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 最小正周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在(k∈Z)上是增函数 对称性 对称中心(k∈Z) （一） 求三角函数的值域 (1)求解形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性． (2)求解形如y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝acos2x＋bcosx＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sinx(或cosx)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sinx(或cosx)的有界性． 题型1：三角函数的定义域 1．（23-24高二下·浙江·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·北京门头沟·期中）函数的定义域为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（23-24高一上·江苏南通·期中）在内函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4．（2022高三·全国·专题练习）函数的定义域为（　　） A． B．且 C． D．或 5．（22-23高一下·内蒙古包头·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 题型2：三角函数的值域 6．（23-24高一上·安徽·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·江苏常州·期末）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·江西抚州·期中）函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·海南·期末）若当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（21-22高一上·江苏常州·期末）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·广东汕头·期末）函数 的最小值是（    ） A． B． C． D．-2 13．（23-24高三上·重庆渝中·期中）函数的最大值为（    ） A．2 B． C．0 D． 14．（23-24高一上·宁夏银川·期末）函数在上的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． （二） 1．作y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)，x∈[0,2π]图象的步骤 2．三角函数的周期 (1)定义法：即利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝． (3)观察法：即通过观察函数图象求其周期． 题型3：三角函数图象的应用 15．（21-22高一上·安徽合肥·期末）方程，实根的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 16．（湖北省部分重点中学2022-2023学年高一上学期期末联考数学试题）已知函数（），若在上有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（21-22高一下·辽宁沈阳·阶段练习）函数的图象在[0，2]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（    ） A．[π，2π） B． C． D． 题型4：三角函数的周期 18．（23-24高一下·上海松江·期末）下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高一下·辽宁大连·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 20．（23-24高一下·山东济宁·期末）设函数（、、都是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高一下·河南驻马店·期末）函数的最小正周期为T，若，则（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知函数的最小正周期为，则函数在的最大值是（ ） A． B． C． D． 23．（23-24高二下·山西长治·期末）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高一下·山东东营·期末）函数的相邻两个零点之间的距离为（   ） A． B．6 C． D．12 （三） 1．三角函数奇偶性的判断 (1)根据诱导公式先将函数式化简后再判断． (2)研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则． 2．三角函数周期性与奇偶性 (1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解． (2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(Aω≠0)或y＝Acos ωx(Aω≠0)其中的一个． 题型5：三角函数的奇偶性 25．（24-25高三上·湖北·期中）已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若为偶函数，则正实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一下·江西南昌·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一下·上海静安·期末）已知函数，且，则（    ） A．11 B．14 C．17 D．20 28．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，当时，的表达式为（    ）． A． B． C． D． 29．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数为奇函数，则实数的值为（    ） A． B．1 C．0 D．-1 30．（23-24高一下·北京·期中）已知函数，则“”是“为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 31．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D．2 32．（2024·山东泰安·模拟预测）函数的部分图象大致是（    ） A．B．C． D． 33．（23-24高一上·广东深圳·期末）与分段函数的定义域和奇偶性均相同的函数是（    ） A． B． C． D． （四） 三角函数的对称性 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性 对称中心:(kπ,0) 对称轴:x＝kπ 对称中心:(kπ,0) 对称轴:x＝kπ 对称中心:(,0) 无对称轴 题型6：三角函数的对称性 34．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知函数的最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平移个单位长度所得图象关于对称，则正实数m的最小值为（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高一下·甘肃白银·期末）函数，则下列直线不是图象的一条对称轴的为（    ） A． B． C． D． 36．（23-24高二下·贵州毕节·期末）函数在一个周期内的图象如图所示，则函数的一个对称中心为（    ）    A． B． C． D． 37．（23-24高一下·辽宁大连·期末）将函数图象上的所有点向右平移个单位，得到函数的图象，则图象的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 38．（23-24高一下·山东青岛·期末）将的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于对称 C．是的一个零点 D．是的一个单调减区间 39．（23-24高一下·北京·期末）下列函数中，以为周期，且图象关于点中心对称的是（   ） A． B． C． D． 40．（23-24高二下·广西贵港·期末）把函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 41．（23-24高二下·浙江金华·期末）已知函数的对称中心为，则能使函数单调递增的区间为（    ） A． B． C． D． 42．（2024·安徽·三模）“”是“函数的图象关于对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 43．（23-24高一上·湖北·期末）设函数（）的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期可以是（    ） A． B． C． D． （五） 三角函数的单调性 (1)求含有绝对值三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定． (2)求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． 题型7：三角函数的单调性 44．（21-22高一上·黑龙江佳木斯·期末）设，若在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 45．（22-23高一下·重庆·期末）函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 46．（20-21高一下·陕西西安·期末）在下列函数中，以为最小正周期且在区间单调递增的所有函数序号为（    ）． ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①②④ D．①④ 47．（22-23高一上·湖北黄冈·期末）已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型8：三角函数性质的综合 48．（22-23高一下·辽宁铁岭·期末）已知函数的部分图像如图所示.    (1)求的解析式； (2)求不等式的解集. 49．（22-23高一上·河南安阳·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式以及单调递增区间； (2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于x的方程在上有两个不等实根，求实数a的取值范围． 50．（21-22高一下·北京·期末）已知函数. (1)请用五点法做出一个周期内的图像； (2)若函数在区间上有两个零点，请写出的取值范围，无需说明理由. 0 0 1 0 0 51．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)先将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向左平移个单位长度，最后得到函数的图象，求在区间上的值域. 52．（23-24高一下·广西崇左·期末）已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)求在区间上的值域. 53．（23-24高一下·北京东城·期末）设函数．从下列三个条作中选择两个作为已知，使得函数存在． (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)若对于任意的，都有，求实数的取值范围． 条件①：函数的图象经过点； 条件②：在区间上单调递增； 条件③：足的一条对称轴． 54．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知函数 (1)求函数的最小正周期及对称轴方程； (2)若函数，当时，函数有零点，求的取值范围 55．（23-24高一上·天津·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递减区间； (2)求函数在上的最值； (3)若，求的值. 一、单选题 1．（2023·四川泸州·一模）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·上海黄浦·期末）设，满足的x的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 3．（23-24高二下·云南·期末）函数的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24高二下·云南·期末）下列函数中，在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）函数在上的零点个数为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·河北承德·期末）已知函数，若在上单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知函数，将图象上所有点向左平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（22-23高三上·山东·阶段练习）已知函数，下列选项中正确的是（    ） A．的最小值为 B．在上单调递增 C．的图象关于点中心对称 D．在上值域为 9．（22-23高一上·江苏苏州·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（   ） A．的最小正周期为 B．是的最小值 C．在区间上的值域为 D．把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象 10．（24-25高二上·广东广州·期中）已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A． B．在区间有两个零点 C．直线是曲线的对称轴 D．在区间单调递增 11．（22-23高一上·广东深圳·期末）已知函数，下列选项正确的有（     ） A．的最小正周期为 B．函数的单调递增区间为 C．在区间上只有一个零点 D．函数在区间的值域为 三、填空题 12．（23-24高二下·云南·期末）若函数的最小正周期为，则常数 ． 13．（24-25高二上·云南文山·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则 . 14．（2024·广东佛山·一模）已知函数在上单调，且，则的最大值为 ． 15．（23-24高二下·河北石家庄·期末）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若，则的最小值为 ． 四、解答题 16．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知函数的表达式为，． (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调增区间； (2)若，设函数的表达式为，求当时，的值域． 17．（23-24高一下·河北承德·期末）已知函数的图象经过点，且的最小值是． (1)求的解析式； (2)若函数在上有3个零点，求实数的取值范围． 18．（23-24高一下·河南·期末）已知函数，（，，）的部分图象如图所示： (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)若函数在上至少有2个零点，求的最小值. 19．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数. (1)求的最大值； (2)求成立的的取值集合. 20．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知函数. (1)求的单调增区间； (2)当时，求的值域. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 复习专题08 三角函数的图象与性质8题型分类 1．正余弦函数 (1)正弦曲线． (2)余弦曲线． (3)正余弦函数的周期性：正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)都是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它们的周期．最小正周期为2π． (4)正余弦函数的奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数． (5)正余弦函数的单调性与最值． 正弦函数 余弦函数 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] 单调性 (k∈Z)上单增 (k∈Z)上单减 [2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单增 [2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单减 最值 x＝＋2kπ(k∈Z)时,ymax＝1 x＝－＋2kπ(k∈Z)时,ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1 x＝2kπ＋π(k∈Z)时,ymin＝－1 2．正切函数 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 最小正周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在(k∈Z)上是增函数 对称性 对称中心(k∈Z) （一） 求三角函数的值域 (1)求解形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性． (2)求解形如y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝acos2x＋bcosx＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sinx(或cosx)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sinx(或cosx)的有界性． 题型1：三角函数的定义域 1．（23-24高二下·浙江·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据开偶次方被开方数非负以及分母不能为零结合一元二次不等式以及三角不等式即可求解. 【详解】由题得，，或， 所以函数的定义域为. 故选：D. 2．（23-24高一下·北京门头沟·期中）函数的定义域为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】依题意可得，根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】对于函数，令，即， 解得，， 所以函数的定义域为，. 故选：C 3．（23-24高一上·江苏南通·期中）在内函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，其中有意义， 则满足，其中，即，其中， 解得，即函数的定义域为. 故选：C. 4．（2022高三·全国·专题练习）函数的定义域为（　　） A． B．且 C． D．或 【答案】C 【分析】由对数式的真数大于，分式的分母不为，联立不等式组求解． 【详解】解：由，得， ∴且． ∴函数的定义域为． 故选：C． 5．（22-23高一下·内蒙古包头·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切函数的定义域，利用整体思想，建立不等式，可得答案. 【详解】由题意可得：，解得， 函数的定义域为. 故选：A. 题型2：三角函数的值域 6．（23-24高一上·安徽·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，可得，再结合正弦函数的图象求解即可. 【详解】由，得， 则. 故选：C. 7．（23-24高一下·江苏常州·期末）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简函数为，结合正弦函数与二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数， 因为， 所以当时，可得；当时，可得， 所以函数的值域为. 故选：D. 8．（23-24高一下·江西抚州·期中）函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，令，转化为二次函数求解. 【详解】解：依题意， 令， 故. 故当时，有最大值，当时，有最小值3， 故所求值域为. 故选：B. 9．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，可得出，求出二次函数在上的值域即可得解. 【详解】因为，则，则， 令， 所以，，则， 则， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 当时，；当时，，则. 因此，当时，则函数的值域为. 故选：D. 10．（23-24高二下·海南·期末）若当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于不等式左侧结合二倍角公式、两角差的正弦公式和辅助角公式进行化简，再根据求出，从而得到的取值范围； 【详解】 因为所以，则， 又因为不等式恒成立， 所以的取值范围为， 故选：B. 11．（21-22高一上·江苏常州·期末）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的范围，可得的范围，结合余弦函数的性质进而求出函数的值域． 【详解】因为，所以， 因为函数在上递增，上递减， 又，，，所以 即. 故选：A． 12．（23-24高一上·广东汕头·期末）函数 的最小值是（    ） A． B． C． D．-2 【答案】B 【分析】由同角三角函数基本关系转化为余弦函数，配方后求最小值. 【详解】因为， 所以当时，， 故选：B 13．（23-24高三上·重庆渝中·期中）函数的最大值为（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】先利用二倍角的正弦公式和两角和的余弦公式化简，再令，利用换元法求解即可. 【详解】， 令，则， 故， 则， 所以当时，， 所以函数的最大值为. 故选：A. 14．（23-24高一上·宁夏银川·期末）函数在上的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用正切函数的单调性可得在处取得最小值. 【详解】由正切函数的单调性可知，在上为单调递增， 所以其最小值为. 故选：D （二） 1．作y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)，x∈[0,2π]图象的步骤 2．三角函数的周期 (1)定义法：即利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝． (3)观察法：即通过观察函数图象求其周期． 题型3：三角函数图象的应用 15．（21-22高一上·安徽合肥·期末）方程，实根的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】画出与，的图象，数形结合即可判断. 【详解】因为， 则与，的图象如下所示：      由图可得与，有且仅有个交点， 所以方程，实根有个. 故选：C 16．（湖北省部分重点中学2022-2023学年高一上学期期末联考数学试题）已知函数（），若在上有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的范围，数形结合得到关于的范围，求出的取值范围. 【详解】，，则， 故，解得：. 故选：A 17．（21-22高一下·辽宁沈阳·阶段练习）函数的图象在[0，2]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（    ） A．[π，2π） B． C． D． 【答案】D 【分析】首先代入求的取值范围，再根据三角函数的图象，列式求的取值范围. 【详解】当时，，若函数在此区间恰取得两个最大值，则，解得：. 故选：D 题型4：三角函数的周期 18．（23-24高一下·上海松江·期末）下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性和周期性一一判断即可. 【详解】对A，是偶函数，周期为，故A错误； 对B，设，定义域为，且，则其为偶函数， 因为周期为，则的周期为，故B正确； 对C，是奇函数，周期为，故C错误； 对D，是奇函数，周期为，故D错误. 故选：B. 19．（23-24高一下·辽宁大连·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式和正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性和奇偶性即可判断. 【详解】对A，，其定义域为，设， 因为，故其为偶函数，故A错误； 对B，，其定义域为，设， 则，则其为奇函数，且最小正周期为，故B正确； 对C，，其最小正周期为，故C错误； 对D，，其最小正周期为，故D错误. 故选：B. 20．（23-24高一下·山东济宁·期末）设函数（、、都是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记函数的最小正周期为，根据正弦函数的单调性、对称性计算可得. 【详解】记函数的最小正周期为，则，可得． 又，且， 又，所以函数的一个对称中心为， 函数的一条对称轴为，又， ，解得． 故选：B． 21．（23-24高一下·河南驻马店·期末）函数的最小正周期为T，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用周期公式，代入解析式．再已知函数值，求角度即可 【详解】，则，即， 即，即，则，又，则. 故选：B. 22．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知函数的最小正周期为，则函数在的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的最小正周期可得，进而可得最值. 【详解】由函数， 则，得， 即， 当时，， 所以当，即时函数取最大值为， 故选：D. 23．（23-24高二下·山西长治·期末）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用二倍角公式化简函数，再求最小正周期即可. 【详解】由二倍角公式得， 故设的最小正周期为，. 故选：A 24．（23-24高一下·山东东营·期末）函数的相邻两个零点之间的距离为（   ） A． B．6 C． D．12 【答案】B 【分析】函数的相邻两个零点之间的距离即为最小正周期，求解即可. 【详解】由正切函数的图象可知， 函数的相邻两个零点之间的距离即为最小正周期， 又最小正周期为， 所以函数的相邻两个零点之间的距离为. 故选：B. （三） 1．三角函数奇偶性的判断 (1)根据诱导公式先将函数式化简后再判断． (2)研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则． 2．三角函数周期性与奇偶性 (1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解． (2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(Aω≠0)或y＝Acos ωx(Aω≠0)其中的一个． 题型5：三角函数的奇偶性 25．（24-25高三上·湖北·期中）已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若为偶函数，则正实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据周期性求得，根据图象平行结合偶函数性质可得，即可得结果. 【详解】因为， 若函数的最小正周期为，且， 则，解得，可得， 将的图象向右平移个单位后得到函数的图象， 则， 可得，解得， 可知当时，正实数取得最小值. 故选：B. 26．（23-24高一下·江西南昌·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，再根据奇函数可得与. 【详解】由， 又函数为奇函数， 则，， 解得，， 所以， 故选：D. 27．（23-24高一下·上海静安·期末）已知函数，且，则（    ） A．11 B．14 C．17 D．20 【答案】B 【分析】根据可求的值. 【详解】因为，故， 而，故， 故选：B. 28．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，当时，的表达式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先设，根据偶函数的性质，即可求解函数的解析式. 【详解】设，，， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以. 故选：B 29．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数为奇函数，则实数的值为（    ） A． B．1 C．0 D．-1 【答案】A 【分析】利用的奇偶性建立方程，求解参数即可. 【详解】若函数为奇函数，故有， 可得，解得， 此时，， 显然成立，故是奇函数，故A正确. 故选：A 30．（23-24高一下·北京·期中）已知函数，则“”是“为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用正余弦函数性质，充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，，为偶函数； 反之，为偶函数，则或， 所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件. 故选：A 31．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用求解． 【详解】因为， 故，而，故， 故选：B. 32．（2024·山东泰安·模拟预测）函数的部分图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】先利用奇函数定义判断函数为奇函数，排除A；再利用y轴右侧有两个零点排除B；在根据函数值的符号排除C，即可判断. 【详解】函数的定义域为， 因为，所以为奇函数，排除A； 易知，排除B； 当且无限趋近于0时，，即，排除. 故选：D 33．（23-24高一上·广东深圳·期末）与分段函数的定义域和奇偶性均相同的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出的定义域，再利用奇偶性的定义判断即可. 【详解】因为的定义域为 当时，，，，所以； 当时，，，，所以； 所以为奇函数. 对于A，的定义域为 ，所以为偶函数； 对于B，的定义域为 ，所以为奇函数； 对于C，的定义域为，且为奇函数； 对于D，的定义域为， ，为偶函数； 故选：B. （四） 三角函数的对称性 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性 对称中心:(kπ,0) 对称轴:x＝kπ 对称中心:(kπ,0) 对称轴:x＝kπ 对称中心:(,0) 无对称轴 题型6：三角函数的对称性 34．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知函数的最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平移个单位长度所得图象关于对称，则正实数m的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数并求出，再由平移后的函数图象对称轴列式求解即得. 【详解】依题意，，则，解得，， 将函数的图象沿x轴向右平移个单位长度得的图象， 于是，解得， 所以正实数m的最小值为. 故选：D 35．（23-24高一下·甘肃白银·期末）函数，则下列直线不是图象的一条对称轴的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用三角恒等变换公式化简，再根据正弦函数的对称性求出的对称轴方程即可得解. 【详解】由题得 ， 令， 分别取，0，1，对应得，，， 不存在使得，故不是图象的一条对称轴. 故选：B. 36．（23-24高二下·贵州毕节·期末）函数在一个周期内的图象如图所示，则函数的一个对称中心为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图象可得函数最小正周期和对称中心，验证选项即可. 【详解】由图象可知，函数最小正周期， ，图象上函数的一个对称中心为， 所以函数的对称中心为，， 当时，有或， 时，函数的一个对称中心为， 时，函数的一个对称中心为， 只有选项D满足. 故选：D. 37．（23-24高一下·辽宁大连·期末）将函数图象上的所有点向右平移个单位，得到函数的图象，则图象的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象变换先得函数，再利用整体法求对称轴. 【详解】根据题意，， 令，得 当时，. 故选：A 38．（23-24高一下·山东青岛·期末）将的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于对称 C．是的一个零点 D．是的一个单调减区间 【答案】B 【分析】先根据三角函数图象变换规律求出的解析式，然后逐个分析判断即可. 【详解】将的图象向左平移个单位得, ， 所以， 对于A，的最小正周期为，所以A错误， 对于B，因为， 所以为图象的一条对称轴，即的图象关于对称，所以B正确， 对于C，因为， 所以不是的零点，所以C错误， 对于D，由，得，得， 因为在上单调递增，所以是的一个单调增区间，所以D错误. 故选：B 39．（23-24高一下·北京·期末）下列函数中，以为周期，且图象关于点中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的性质判断A，根据函数的变换规则及正弦函数的性质判断B，利用三角恒等变换公式化简，再由正（余）弦函数的性质判断C、D. 【详解】对于A：函数的最小正周期，对称中心为，故A错误； 对于B：函数的图象是由将轴下方部分关于轴对称上去，轴及轴上方部分不变， 所以的最小正周期，没有对称中心，故B错误； 对于C：，则最小正周期， 且当时，所以函数关于点中心对称，故C正确； 对于D：因为， 所以函数的最小正周期，故D错误. 故选：C 40．（23-24高二下·广西贵港·期末）把函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据图象变换得到，再利用对称中心和整体替换得到的最小值； 【详解】由题意得，由， 得，即．故的最小值为． 故选：C. 41．（23-24高二下·浙江金华·期末）已知函数的对称中心为，则能使函数单调递增的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦函数的对称中心在其图象上，将代入解析式可求得，再利用余弦函数单调性求出单调递增区间即可的答案.. 【详解】由图象的一个对称中心是，所以， 则，，即，， 又，所以，得函数， 令，， 即，； 故的单调递增区间为，， 而当时，单调递增区间为，又， 所以C正确，其余区间都不符合题意. 故选：C 42．（2024·安徽·三模）“”是“函数的图象关于对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】若函数的图象关于对称，根据正切函数的对称性可得，再根据充分、必要条件结合包含关系分析求解. 【详解】若函数的图象关于对称， 则，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“函数的图象关于对称”的充分不必要条件. 故选：A. 43．（23-24高一上·湖北·期末）设函数（）的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正切函数的图象与性质计算即可. 【详解】由题意可知：（）， ∴，则， 显然当时， 是的一个最小正周期． 不存在，使得，或. 故选：B （五） 三角函数的单调性 (1)求含有绝对值三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定． (2)求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． 题型7：三角函数的单调性 44．（21-22高一上·黑龙江佳木斯·期末）设，若在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦函数的单调性，求出函数的单增区间，列不等式组 ，整理即可得解. 【详解】由正弦函数的单调性可得， 所以，， 因为在区间上单调递增， 所以，，解得，, 因为，所以，解得， 当时，解得. 故选：D 【点睛】本题考查了利用三角函数单调性求参数的取值范围，考查了恒成立思想，要求较高的计算能力，属于难题. 45．（22-23高一下·重庆·期末）函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整体法求解正弦型函数的单调性，即可求解. 【详解】令,所以， 当，由于，故D正确，ABC均错误， 故选：D 46．（20-21高一下·陕西西安·期末）在下列函数中，以为最小正周期且在区间单调递增的所有函数序号为（    ）． ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①②④ D．①④ 【答案】D 【分析】由图象判断满足要求，根据单调性判断不满足要求，由周期公式判断不满足要求，根据周期公式及正切函数单调性判断满足题意. 【详解】对①，作的图象，如图， 由图可知函数的最小正周期为，且在上单调递增，故正确； 对于②，当时，，，函数单调递减，故错误； 对于③，的最小正周期为，故错误； 对于④，的最小正周期为，当时，，由正切函数的单调性可知函数单调递增，故正确. 故选：D 47．（22-23高一上·湖北黄冈·期末）已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若在区间上单调递增，满足两条件：①区间的长度超过；②的整体范围在余弦函数的增区间内，取合适的整数k求出ω的取值范围. 【详解】， ∵函数在区间内单调递增， ∴，∴， ∵，∴， 若在区间上单调递增，则， 解得，当时，，又因为，∴. 故选：A 题型8：三角函数性质的综合 48．（22-23高一下·辽宁铁岭·期末）已知函数的部分图像如图所示.    (1)求的解析式； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的周期求出的值, 再根据最值求出A的值,再根据最小值点求出的值即得解; （2）利用余弦函数图像解不等式即得解. 【详解】（1）由题意可得，则. 因为，且，所以. 由图可知，则， 解得. 因为，所以. 由图可知. 故. （2）由，得，即， 则 解得， 即不等式的解集为. 49．（22-23高一上·河南安阳·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式以及单调递增区间； (2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于x的方程在上有两个不等实根，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，递增区间为， (2) 【分析】（1）根据图象得到函数中，最小正周期，进而得到，再代入特殊点的坐标求出，得到解析式及递增区间； （2）得到平移后的解析式，转化为与的图象在上有两个不同的交点，结合函数的单调性，且，，得到a的取值范围． 【详解】（1）设的最小正周期为T． 由题图得，， 因为，所以，解得． 所以， 将，即代入解析式得：， 结合图象可，， ，，又， ∴． ∴． 令，，解得，， ∴的单调递增区间为，． （2）将的图象向右平移单位长度得到的图象， 再将图象上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变）， 得到函数的图象． ∵方程在上有两个不等实根，与的图象在上有两个不同的交点． ∵函数在上单调递减，在上单调递增， 且，， ∴， 即a的取值范围是． 50．（21-22高一下·北京·期末）已知函数. (1)请用五点法做出一个周期内的图像； (2)若函数在区间上有两个零点，请写出的取值范围，无需说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据五点法列表描点连线即可求解； （2）结合图象求解直接写出结果即可 【详解】（1）列表 0 0 1 0 0 （2）的取值范围是. 51．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)先将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向左平移个单位长度，最后得到函数的图象，求在区间上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图可得出的值，求出的最小正周期，可求得的值，由结合的取值范围可求得的值，可得出函数的解析式； （2）利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的性质即可得解. 【详解】（1）由图可知，， 函数的最小正周期为，， ，可得， ，则，，则， 所以. （2）将函数的图象的横坐标缩小为原来的，可得到函数的图象， 再将得到的函数图象向左平移个单位，最后得到函数的图象， 则， 当时，，则，所以， 因此在区间上的值域为. 52．（23-24高一下·广西崇左·期末）已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)求在区间上的值域. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用正弦函数的单调区间去解不等式即可； （2）利用给定区间去求得相位的取值范围，再利用正弦曲线在该区间的单调性求出最值即可. 【详解】（1）由题意可得 ， 令， 解得， 故的单调递减区间为. （2）因为，所以. 当，即时，取得最大值，最大值为 当，即时，取得最小值，最小值为. 故在区间上的值域为. 53．（23-24高一下·北京东城·期末）设函数．从下列三个条作中选择两个作为已知，使得函数存在． (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)若对于任意的，都有，求实数的取值范围． 条件①：函数的图象经过点； 条件②：在区间上单调递增； 条件③：足的一条对称轴． 【答案】(1)，单调递减区间为； (2) 【分析】（1）利用辅助角公式化简，结合所选条件，利用周期与单调性求出，求函数解析式即可； （2）由的范围求出的范围，即可求出函数的值域，依题意． 【详解】（1）因为， 若选①②：由①函数的图象经过点， 则，，即，， 由②在区间上单调递增，有，即， 又且，即，所以，此时不存在； 选条件②③：由②在区间上单调递增，有，即， 又且，即，所以， 由③是的一条对称轴，则，， 所以，，所以， 所以，则的最小正周期， 由，解得， 所以的单调递减区间为； 若选①③：由①函数的图象经过点， 则，，即，， 由③是的一条对称轴，则，，所以，， 此时不存在； （2）由（1）可知， 因为，所以， 所以，， 因为对于任意的，都有，所以， 即的取值范围为． 54．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知函数 (1)求函数的最小正周期及对称轴方程； (2)若函数，当时，函数有零点，求的取值范围 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式和辅助角公式进行化简，再借助正弦函数的性质求解即可. （2）利用正弦函数的性质求出函数在上的值域，再利用零点的意义求出范围. 【详解】（1）依题意，， 所以的最小正周期； 由，得， 所以的对称轴方程. （2）由（1）知，，当时，， 则，， 由函数有零点，得，解得. 所以的取值范围是. 55．（23-24高一上·天津·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递减区间； (2)求函数在上的最值； (3)若，求的值. 【答案】(1)，单调减区间为. (2)， (3) 【分析】（1）化简函数为，结合三角函数的图象与性质，即可求解； （2）由(1)得出函数的单调递增区间，结合，和的值，即可求解；（3）根据题意，求得，结合，即可求解. 【详解】（1）解：由函数 ， 所以的最小正周期为， 令，可得， 所以的单调减区间为. （2）解：由(1)知，函数的单调递增区间为， 因为，所以在上单调递增，在上单调递减， 且，，，所以，. （3）解：由函数，可得， 因为， 所以. 一、单选题 1．（2023·四川泸州·一模）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用整体法，结合三角函数图象性质对进行最值分析，对区间上进行单调分析，得到 ，其中，求得，进而求得的取值范围． 【详解】因为，当时，， 因为函数在上存在最值，则，解得， 当时，， 因为函数在上单调， 则， 所以其中，解得， 所以，解得， 又因为，则， 当时，；当时，；当时，． 又因为，所以的取值范围是. 故选：C. 2．（24-25高三上·上海黄浦·期末）设，满足的x的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】利用正弦的和角公式及辅助角公式结合三角函数的图象与性质计算即可. 【详解】由可得， 即，其中， 所以原方程化为，即， 不妨令，因为，所以， 易知时，成立，即满足题意； 又的周期为，且， 所以在区间上还有一个根，如图所示， 故选：C 3．（23-24高二下·云南·期末）函数的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据三角函数的知识求得正确答案. 【详解】由于，所以， 所以的最大值为，此时. 故选：C 4．（23-24高二下·云南·期末）下列函数中，在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据常见函数的单调性分析判断即可. 【详解】对于A，函数在上单调递增，在上单调递减； 对于B，函数在上单调递增； 对于C，函数在，上单调递增， 在，上单调递减； 对于D，函数在，上单调递减， 在，上单调递增. 故选：B. 5．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）函数在上的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点的定义直接求解. 【详解】， 令，得或， 又，所以有两个解，分别为和， 在上有两个解， 且在上单调递增，，， 所以在有一个解， 综上所述在上有个解，即在上有个零点， 故选：C. 6．（23-24高一下·河北承德·期末）已知函数，若在上单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数化为为正弦型函数，由在上单调，得，利用正弦函数的单调性列出不等式组，求出的取值范围． 【详解】函数， 因为函数在上单调，则，所以， 当时， ， 因为函数在上单调， 所以， 则或， 所以的取值范围为. 故选：D. 7．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知函数，将图象上所有点向左平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知，由在区间上单调递增，则，即可求得的取值范围. 【详解】因为函数， 将图象上所有点向左平移个单位长度得到函数的图象， 则， 因为函数在区间上单调递增， 结合各选项，只需即可， 所以，即， 又因为，所以. 故选：C. 二、多选题 8．（22-23高三上·山东·阶段练习）已知函数，下列选项中正确的是（    ） A．的最小值为 B．在上单调递增 C．的图象关于点中心对称 D．在上值域为 【答案】BD 【分析】根据三角函数的性质逐项判断即可． 【详解】当，即时，取最小值，故A错误； 当时，，故在上单调递增，故B正确； 当时，，， 则的图象关于点中心对称，故C错误； 当时，， 则当或，即或时，取最小值； 当，即时，取最大值3， 故在上值域为，故D正确． 故选：BD． 9．（22-23高一上·江苏苏州·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（   ） A．的最小正周期为 B．是的最小值 C．在区间上的值域为 D．把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象 【答案】ABD 【分析】根据给定的图象求出函数的解析式可判断A；将代入解析式可判断B；利用正弦型函数的值域可判断C；利用图像的平移可判断D. 【详解】函数的周期，则，， 当时，， 由， 得，即， 所以函数解析式为； 当时，， 由， 得，即， 所以函数解析式为， 因为， 所以， 对于A，函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，是的最小值，故B正确； 对于C，当时，， 利用正弦函数的性质知，， 得，故C错误； 对于D，函数的图象上所有点向右平移个单位长度， 得到函数的图象，故D正确. 故选：ABD. 10．（24-25高二上·广东广州·期中）已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A． B．在区间有两个零点 C．直线是曲线的对称轴 D．在区间单调递增 【答案】ABD 【分析】由已知求得函数解析式，然后根据正弦函数性质进行判断． 【详解】由已知，， 又，所以，A正确； 所以， ，，区间是函数的一个周期，而，因此在区间有两个零点，B正确； ，因此C错； 时，，在此区间上单调递增，D正确， 故选：ABD． 11．（22-23高一上·广东深圳·期末）已知函数，下列选项正确的有（     ） A．的最小正周期为 B．函数的单调递增区间为 C．在区间上只有一个零点 D．函数在区间的值域为 【答案】AC 【分析】利用余弦型函数的周期公式可判断A选项；利用余弦型函数的单调性可判断B选项；当时，解方程，可判断C选项；利用与余弦型函数的值域可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，A对； 对于B选项，由得， 所以，函数的单调递增区间为，B错； 对于C选项，当时，， 由可得，所以，函数在区间上只有一个零点，C对； 对于D选项，当时，，则， 则函数在区间的值域为，D错. 故选：AC. 三、填空题 12．（23-24高二下·云南·期末）若函数的最小正周期为，则常数 ． 【答案】 【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知余弦型函数求周期问题，直接利用周期公式求解. 13．（24-25高二上·云南文山·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则 . 【答案】 【分析】根据平移规则可得平移后的解析式，再利用奇偶性以及即可得. 【详解】函数的图象向右平移个单位以后可得； 即为奇函数，因此可得，即； 又，可知当时，符合题意. 故答案为： 14．（2024·广东佛山·一模）已知函数在上单调，且，则的最大值为 ． 【答案】/1.8 【分析】根据单调性分析可得，根据题意可得为的对称中心，若求的最大值，即的最小值，根据图像结合三角函数性质分析求解即可. 【详解】设的最小正周期为，且， 因为在上单调，则，可得， 又因为，且，可知为的对称中心， 不妨设，如图所示： 依次讨论对应为点，A，，种情况，且， 若对应为点（或点之后），则，即，不合题意； 若求的最大值，即的最小值，即与之间包含的周期最多， 若对应为点，则为的对称轴， 且，则，，满足， 且此时为最小值，所以取值的最大值为． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：对于三角函数问题的处理，常常与周期性相结合，本题根据对称性可得，并分析与之间包含的周期最多，即可得解. 15．（23-24高二下·河北石家庄·期末）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若，则的最小值为 ． 【答案】/0.5 【分析】利用平移变化得到的解析式，再根据知，，代入的解析式即可求出的取值范围，再结合，求出的最小值. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度得到函数， 又，则， ，或 即，或， 又，的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 16．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知函数的表达式为，． (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调增区间； (2)若，设函数的表达式为，求当时，的值域． 【答案】(1)，单调增区间为； (2) 【分析】（1）根据最小正周期得到方程，求出，并用整体法求出函数递增区间； （2）利用三角恒等变换得到，结合，得到，从而得到函数值域. 【详解】（1）因为，所以，解得， ， 令，解得， 故单调递增区间为； （2），， 时，，故， 所以. 17．（23-24高一下·河北承德·期末）已知函数的图象经过点，且的最小值是． (1)求的解析式； (2)若函数在上有3个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； 【分析】(1)根据的最小值求解出； (2)首先根据方程与函数的零点问题求解得或，然后结合三角函数的图像和性质求解出实数的取值范围． 【详解】（1）由题意可得的最小正周期，则． 又，所以． 因为的图象经过点，所以． 所以，即 又，所以． 故. （2）令，即， 解得或． 因为，所以， 所以． 因为在上有3个零点，所以方程在上有2个不同的实根， 在上有1个实根或在上有1个实根， ，在上有2个不同的实根， 则 解得或． 故的取值范围为． 18．（23-24高一下·河南·期末）已知函数，（，，）的部分图象如图所示： (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)若函数在上至少有2个零点，求的最小值. 【答案】(1) (2)，. (3) 【分析】（1）根据正弦型函数的特点，结合正弦型函数中各参数的意义进行求解即可； （2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可； （3）由题意可知，函数在上至少有两个零点，由，可得，只需要满足，计算求解即可. 【详解】（1）由图象可知，解得， 又由于， 所以，由，得， 又，所以，所以. （2）由（1）知，， 令，， 得，， 所以的单调递增区间为，. （3）函数在上至少有2个零点， 即函数在上至少有两个零点， 因为时，， 所以，解得，所以的最小值为. 19．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数. (1)求的最大值； (2)求成立的的取值集合. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）首先利用二倍角余弦公式及两角和与差的正弦公式化简，再求最大值即可； （2）结合（1）的化简结果，利用正弦型函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）. 的最大值为. （2），即， 所以，， 解得，， 故成立的的取值集合为. 20．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知函数. (1)求的单调增区间； (2)当时，求的值域. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先应用诱导公式及二倍角公式结合辅助角净化简，再应用正弦函数的增区间求解即可； （2）结合正弦函数的值域求解. 【详解】（1） ，令，解得，故的单调增区间为，. （2）当时，，所以，， 故的值域为. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$