精品解析：河南省郸城县第一高级中学2024-2025学年高三上学期12月阶段性测试数学试题

郸城一中高三年级2024——2025学年上学期阶段性测试 12月份数学试题 2024.12.26 一、单选题 1. 已知集合，或，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义求得答案. 【详解】依题意，. 故选：A 2. 若不等式的解集为，则b的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集求解参数即可. 【详解】因为不等式的解集为. 所以是方程的解. 所以. 故选：B. 3. 已知命题：，，命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】先判断命题的真假，再根据选项逐一判断即得. 【详解】因对于命题：，，若取，则，故命题是假命题； 对于命题q：，，因函数在区间上增函数，且值域为, 故必有解，即命题为真命题. 故A项错误；B项正确；C项错误；D项错误. 故选：B. 4. 已知等比数列的公比为，若，且成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列定义和等比数列通项公式可构造方程求得结果. 【详解】成等差数列，，又， ，整理可得：， ，解得：（舍）或. 故选：C. 5. 葫芦摆件作为中国传统工艺品，深受人们喜爱，它们常被视为吉祥物，象征福禄､多子多福.如图所示的葫芦摆件从上到下可近似看作由一个圆柱与两个完整的球组成的几何体，若上､中､下三个几何体的高度之比为，且总高度为，则下面球的体积与上面球的体积之差约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得两球的半径，结合球的体积公式运算求解即可. 【详解】由葫芦摆件总高度为，且高度之比为， 可得两个球的直径分别为，故它们的半径分别为， 所以下面球的体积与上面球的体积之差为. 故选：D. 6. 已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性、结合对数型复合函数的单调性列不等式求解作答. 【详解】由或. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 又函数在上单调递增，所以. 即的取值范围为：. 故选：D 7. 甲、乙两人有三个不同的学习小组可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组（两人参加各小组的可能性相同），则两人参加同一个学习小组的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得所有参加学习小组的情况，找出满足题意的情况，再根据古典概型的概率计算公式即可求得结果. 【详解】根据题意，甲乙两人所有可能的参加情况有如下种： ， 两人参加同一个学习小组的情况有如下种： ， 故两人参加同一个学习小组的概率. 故选：. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算与共轭复数的概念求解即可. 【详解】由题得，则， 所以． 故选：A. 二、多选题 9. 下列结论中错误的是（ ） A. 若角终边过点，则 B. 若是第二象限角，则为第二象限或第四象限角 C. 若，，则 D. 对任意，恒成立 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，B，都是通过取反例排除选项；对于C，通过对已知式平方化简求得，由此判定，则，故排除C；对于D，易得，通过设函数，求导判断其单调性，即可推得，即得结论正确. 【详解】对于A，当时，，而，故A错误； 对于B，若，是第二象限角，是第一象限角，故B错误； 对于C，由两边取平方，， 可得， 因，则，故， 由可得，故C错误； 对于D，因，则，故， 设，则， 即在区间上单调递增，故，即得， 故必有时，恒成立，即D正确. 故选：ABC. 10. 对任意两个实数，定义，若，，下列关于函数说法正确的是（　　） A. 函数是偶函数 B. 方程有两个解 C. 方程至少有三个根 D. 函数有最大值为0，无最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知条件得到函数图象，结合图象即可判断选项正误. 【详解】由题意，可得如下函数图象， ∴由函数图象知：是偶函数，与x轴有两个交点，根的个数可能有0,2,3,4个，有最大值为0，无最小值. 故选：ABD 11. 已知函数图象的任意一个对称中心到与之相邻的对称轴的距离为，且将该图象向左平移个单位长度得到的图象关于轴对称，则下列说法正确的是（ ） A. ， B. 直线为的图象的一条对称轴 C. 若在单调递增，则的最大值为 D. 对任意，关于的方程总有奇数个不同的根 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先根据函数的性质求函数的解析式，再利用整体代入的方法判断函数的对称轴，结合函数的单调区间，求的值，最后利用数形结合，结合对称性，判断实数根的个数. 【详解】A.由题意可知，，得， ，函数的图象向左平移个单位长度得到函数， 因为函数的图象关于轴对称，所以, 得，因为，所以 ， 所以，故A正确； B.当时，，所以直线为的图象的一条对称轴，故B正确； C.当时，，由题意可知，， ，，得，，只有当有解， 得，所以的最大值为，故C错误； D.，所以函数关于对称，而也关于对称， 所以两个函数图象必有一个交点，若有其他交点，交点也关于对称， 所以交点个数是奇数个，方程总有奇数个不同的根，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 12. 已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】令，，，OB的中点为D，AB的中点为E，OD的中点为F，与的夹角为，由题意，计算，，判断出点C的轨迹为以OD为直径的圆，利用向量基底表示，将转化为，然后转化为圆上任意一点到定点距离的最小值进而求解最小值. 【详解】令，，，OB的中点为D，AB的中点为E，OD的中点为F， 与的夹角为，连接CA、CB、CD、CO、EF. 由，，，得，， 因为，所以，在中，由余弦定理得. 又由，得，即， 所以点C的轨迹为以OD为直径的圆. 因为 ， 当且仅当点C、E、F共线，且点C在点E、F之间时，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题解题关键是通过平面向量的几何表示，将问题转化为圆上任意一点到定点距离的最值从而根据几何知识得解. 13. 如图是利用尺规作图得到的一个“九芒星”图形，若九芒星的顶点将圆九等分，设相邻两个顶点之间的劣弧对应的圆心角为，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用，结合三角函数的诱导公式即可求解. 【详解】由题可知，，所以， 因为 ， 即， 又因为，所以， 故答案为：. 14. 已知函数，若存在两条不同的直线与曲线和均相切，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出两曲线的切线方程，进而，利用方程根的个数与函数图象交点的个数之间的转化，结合导数讨论函数的单调性和数形结合的思想即可求解. 【详解】设曲线上的切点坐标为，又， 则公切线的方程为，即． 设曲线上的切点坐标为，又， 则公切线的方程为，即， 所以，消去，得． 若存在两条不同的直线与曲线均相切， 则关于的方程有两个不同的实数根． 设，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，由可得， 当且时，，当时，且， 则的大致图象如图所示， 由图可知，，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键点是两曲线的切线方程相等，消去得，利用数形结合的思想将方程的根个数转化为函数图象的交点个数. 四、解答题 15. 已知复数在复平面内对应的点分别为是坐标原点，点是复平面内一点，且. （1）若，求与的关系； （2）若不共线，三点共线，求的值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）由向量垂直的坐标表示即可求解； （2）由三点共线，得，再结合平面向量基本定理即可求解. 【小问1详解】 由题意，得， 则. 所以. 又，所以， 即， . 因为，所以与的关系为. 【小问2详解】 若三点共线，则有且或1. 所以有， 即.① 又由，得， 即.② 由①②知解得且或1. 所以的值为1. 16. 在中，角的对边分别为. （1）求； （2）已知为的平分线，交于点，且为线段上一点，且，求的周长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合和差公式展开化简可得； （2）利用面积公式和余弦定理列方程组求解出，可知为等腰三角形，然后结合已知即可得解. 【小问1详解】 ，， ， ， ，，， 又，. 【小问2详解】 因为BD为的平分线，，所以， 又，， 所以， 即，① 由余弦定理，得，即，② 由①②可得（舍去负值），， 所以a，c是关于的方程的两个实根，解得. 又因为BD为的平分线，所以， 又，， 所以，， 所以的周长为. 17. 已知数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，利用当时，可得，进而求出数列的通项公式； （2）求得，根据等比数列的求和公式求得结果. 【小问1详解】 依题意，当时，由，可知， 由，可得两式相减可知，，即， 因此时，， 即 【小问2详解】 由（1）可知，，当时，， 因此也适合，， 故， 故的前项和 18. 已知双曲线：一条渐近线的斜率为，直线的方程为. （1）若与的左、右两支分别相交，求的取值范围； （2）当，2时，对应的曲线分别为，，设直线与的左、右两支依次相交于点，，直线与的左、右两支依次相交于点，，为坐标原点，证明：的面积与的面积相等. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）联立直线与双曲线方程，得到韦达定理式，再利用判别式和韦达定理式即可得到不等式组，解出即可； （2）代入和结合韦达定理得到，即证明面积相等. 【小问1详解】 因为双曲线的一条渐近线的斜率为， 所以，所以， 联立消去并整理，得， 因为与左、右两支分别相交，所以， 因为，所以，所以， 即的取值范围为. 【小问2详解】 设， 当时，由（1）中及韦达定理，得， 当时，由（1）中及韦达定理，得， 所以与中点的横坐标都为.因为，，，在同一直线上， 所以与的中点重合，设该中点为，所以， 所以，所以， 所以的面积与的面积相等. 【点睛】关键点点睛：本题第一问的关键是利用韦达定理和判别式得到不等式组，解出即可得到范围. 19. 已知函数 （1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值； （2）求函数在区间上的最小值. 【答案】（1）1 （2）当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为. 【解析】 【分析】（1）先求出直线的斜率，因为曲线的切线垂直于直线，所以曲线的切线在该点的斜率与直线的斜率乘积为，即曲线在该点的导数与直线的斜率乘积为． （2）求出函数的导数，再讨论的范围，根据导数求出函数的最值 【小问1详解】 解：曲线在点处的切线垂直于直线， 又直线的斜率为1，函数的导数为， 【小问2详解】 解： ①当时，在区间上此时函数在区间上单调递减， 则函数在区间上的最小值为. ②当即时，在区间上，此时函数在区间上单调递减， 则函数在区间上的最小值为. ③当，即时， 在区间上，此时函数在区间上单调递减， 在区间上，此时函数在区间上单调递增， 则函数在区间上的最小值为. ④当，即时， 在区间上此时函数在区间上单调递减， 则函数在区间上的最小值为. 综上所述，当时，函数在区间上的最小值为，当时，函数在区间上的最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郸城一中高三年级2024——2025学年上学期阶段性测试 12月份数学试题 2024.12.26 一、单选题 1 已知集合，或，则（ ） A. B. C. D. 2. 若不等式的解集为，则b的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 3 3. 已知命题：，，命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 4. 已知等比数列公比为，若，且成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 5. 葫芦摆件作为中国传统工艺品，深受人们喜爱，它们常被视为吉祥物，象征福禄､多子多福.如图所示的葫芦摆件从上到下可近似看作由一个圆柱与两个完整的球组成的几何体，若上､中､下三个几何体的高度之比为，且总高度为，则下面球的体积与上面球的体积之差约为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两人有三个不同的学习小组可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组（两人参加各小组的可能性相同），则两人参加同一个学习小组的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列结论中错误的是（ ） A. 若角的终边过点，则 B. 若是第二象限角，则为第二象限或第四象限角 C. 若，，则 D. 对任意，恒成立 10. 对任意两个实数，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是（　　） A. 函数是偶函数 B. 方程有两个解 C. 方程至少有三个根 D. 函数有最大值为0，无最小值 11. 已知函数图象的任意一个对称中心到与之相邻的对称轴的距离为，且将该图象向左平移个单位长度得到的图象关于轴对称，则下列说法正确的是（ ） A. ， B. 直线为的图象的一条对称轴 C. 若在单调递增，则最大值为 D. 对任意，关于的方程总有奇数个不同的根 三、填空题 12. 已知平面向量，，满足，，，，则最小值为________. 13. 如图是利用尺规作图得到的一个“九芒星”图形，若九芒星的顶点将圆九等分，设相邻两个顶点之间的劣弧对应的圆心角为，则______. 14. 已知函数，若存在两条不同的直线与曲线和均相切，则实数的取值范围为______. 四、解答题 15. 已知复数在复平面内对应的点分别为是坐标原点，点是复平面内一点，且. （1）若，求与的关系； （2）若不共线，三点共线，求的值. 16. 在中，角的对边分别为. （1）求； （2）已知为的平分线，交于点，且为线段上一点，且，求的周长. 17. 已知数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列前项和. 18. 已知双曲线：的一条渐近线的斜率为，直线的方程为. （1）若与的左、右两支分别相交，求的取值范围； （2）当，2时，对应的曲线分别为，，设直线与的左、右两支依次相交于点，，直线与的左、右两支依次相交于点，，为坐标原点，证明：的面积与的面积相等. 19. 已知函数 （1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值； （2）求函数在区间上的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $