精品解析：广西壮族自治区玉林市北流市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024年秋季期期中适应性训练 九年级数学 （全卷共三大题，共4页，满分为120分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．本考卷分试题卷和答题卡两部分．请将答案填写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．选择题每小题选出答案后，考生用2B铅笔把答题卡上对应题目的选项标号涂黑． 3．非选择题，考生用直径0.5毫米黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答． 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案涂在答题卡相应的位置上． 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3， B. 3，6， C. 3，，1 D. 3，6，1 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. 等腰梯形 B. 矩形 C. 正三角形 D. 平行四边形 3. 抛物线开口方向是（ ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 4. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，把绕着点D顺时针旋转得到，点A的对应点C落在边上，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 平分 C. D. 7. 已知抛物线与轴交于点，，则关于的方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 八卦脑景区风力发电机（图①）既可以在风力作用下发电，也是景区的一道靓丽风景线．转子叶片图案（图②）绕中心旋转后能与原来的图案重合，那么的值可能是（ ） A. 45 B. 60 C. 90 D. 120 9. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 10. 某校成立“情暖校园”爱心基金会，去年上半年发给每个经济困难的学生600元，今年上半年发给了800元，设每半年发给的资金金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（　　） A. B. C. D. 11. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 12. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，有以下结论：①；②，③；④．其中正确结论的个数是（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 13. 点关于原点的对称点的坐标是______． 14. 如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④，则的大小关系为________． 15. 已知是关于x的方程的一个根，则的值是___________． 16. 已知函数是二次函数，则m＝________． 17. 已知是方程的两实数根，则的值为__________． 18. 在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若．则下列四个结论：①；②是等边三角形；③；④的周长是9．其中正确的结论是______（填序号）． 三、解答题：本大题共8小题，满分共72分．将解答过程写在答题卡的相应位置上，作图或添辅助线先用铅笔画完，再用水性笔描黑． 19. 解方程：． 20. 已知二次函数（是常数）． （1）若该函数的图象与轴有两个不同的交点，求的取值范围． （2）若该二次函数的图象与轴的其中一个交点坐标为，求一元二次方程的解． 21. 10×10网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上． （1）画出绕点O逆时针方向旋转得到的； （2）画出向下平移4个单位长度得到的． （3）的面积是______． 22. 观察下列一组方程：；；；；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”． 若也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程； 请写出第n个方程和它的根． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． （1）求线段的长； （2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标． 24. “泥兴陶，，是钦州的一张文化名片．钦州市某妮兴陶公司以每只60元的价格销售一种成本价为40元的文化纪念杯，每星期可售出100只．后来经过市场调查发现，每只杯子的售价每降低1元，则平均何星期可多买出10只．若该公司销售这种文化纪念杯要想平均每星期获利2240元，请回答: (1)每只杯应降价多少元? (2)在平均每星期获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该公司应该按原售价的几折出售? 25. 2023年8月5日，在成都举行的第31届世界大学生夏季运动会女子篮球金牌赛中，中国队以99比91战胜日本队，夺得冠军．女篮最重要的球员之一韩旭在日常训练中也迎难而上，勇往直前．投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是，韩旭进行了两次投篮训练． （1）第一次训练时，韩旭投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 … 竖直高度y/m … ①在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； ②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是______，并求y与x满足的函数解析式； ③已知此时韩旭距篮筐中心的水平距离，韩旭第一次投篮练习是否成功，请说明理由； （2）第二次训练时，韩旭出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，若投篮成功，此时韩旭距篮筐中心的水平距离d_____5（填“”，“”或“”）． 26. （1）【探究证明】在中，，直线经过点C，且于点D，于点E，当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：； （2）【发现探究】当直线绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）【解决问题】当直线绕点C旋转到图3的位置时，若，则的长为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季期期中适应性训练 九年级数学 （全卷共三大题，共4页，满分为120分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．本考卷分试题卷和答题卡两部分．请将答案填写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．选择题每小题选出答案后，考生用2B铅笔把答题卡上对应题目的选项标号涂黑． 3．非选择题，考生用直径0.5毫米黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答． 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案涂在答题卡相应的位置上． 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3， B. 3，6， C. 3，，1 D. 3，6，1 【答案】A 【解析】 【分析】考查了一元二次方程的一般形式：（是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．找出所求的系数及常数项即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是3，，． 故选：A． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. 等腰梯形 B. 矩形 C. 正三角形 D. 平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】中心对称图形的定义：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解： 等腰梯形、正三角形只是轴对称图形，矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，平行四边形只是中心对称图形， 故选B 【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的定义，即可完成． 3. 抛物线开口方向是（ ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以解答本题． 【详解】∵ ∴抛物线的开口向下． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 4. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、当时，不是一元二次方程，故不合题意； B、不是整式方程，故不合题意； C、是一元一次方程，故不合题意； D、是一元二次方程，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 5. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点式直接求解即可． 【详解】解：的顶点坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查求顶点坐标，熟记概念是关键． 6. 如图，把绕着点D顺时针旋转得到，点A的对应点C落在边上，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 平分 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．由旋转的性质得，故可解答本题． 【详解】解：由旋转的性质得，，故选项A、D正确，不符合题意； 由旋转的性质得， ∴平分，故选项B正确，不符合题意； 由旋转得， ∴与不一定平行，故C错误，符合题意， 故选：C． 7. 已知抛物线与轴交于点，，则关于的方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的根与抛物线与x轴的交点的横坐标的关系，二次函数的性质等知识点，利用抛物线与x轴的交点的横坐标与一元二次方程根的联系即可得出结论．熟练掌握其性质，利用数形结合法是解决此题的关键． 【详解】∵与x轴交于点，两点， ∴方程的两个根为，， 故选：B． 8. 八卦脑景区风力发电机（图①）既可以在风力作用下发电，也是景区的一道靓丽风景线．转子叶片图案（图②）绕中心旋转后能与原来的图案重合，那么的值可能是（ ） A. 45 B. 60 C. 90 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：该图形被平分成三部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故的最小值为120． 故选：D． 【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 9. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0,0），把点（0,0）向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的点的坐标为（2,3），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式． 【详解】∵函数y=x2的图象的顶点坐标为，将函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴平移后，新图象的顶点坐标是． ∴所得抛物线的表达式为． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 10. 某校成立“情暖校园”爱心基金会，去年上半年发给每个经济困难的学生600元，今年上半年发给了800元，设每半年发给的资金金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程-求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．先用含x的代数式表示去年下半年发放给每个经济困难学生的钱数，再表示出今年上半年发放的钱数，令其等于800即可列出方程． 【详解】解：设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则去年下半年发放给每个经济困难学生元，今年上半年发放给每个经济困难学生元， 由题意，得：． 故选：D． 11. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数图像上点的坐标满足其解析式，也考查了二次函数的性质． 根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 距离直线是1个单位， 1距离直线是2个单位， 2距离直线是3个单位， 抛物线的开口向下， 离对称轴距离越近则y的值越大， ， 故答案为：A． 12. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，有以下结论：①；②，③；④．其中正确结论的个数是（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴可得，，再根据对称轴为直线可得，由此即可判断结论①和③；根据抛物线与轴有两个交点可得关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，然后根据方程根的判别式即可判断结论②；根据当时取得最大值可得，时的函数值大于时的函数值，由此即可判断结论④． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，与轴的交点位于轴正半轴， ∴，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ，故结论③正确； ∴，故结论①正确； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴这个方程的根的判别式， ∴，故结论②正确； 由函数图象可知，当时，， 又∵抛物线的开口向下，其对称轴是直线， ∴当时，取得最大值， ∴时的函数值大于时的函数值，即：，故结论④正确； 综上，正确的结论有：，共个， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象判断式子符号，二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数图象确定相应方程根的情况，一元二次方程根的判别式，二次函数的最值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 13. 点关于原点的对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案． 【详解】点关于原点的对称点的坐标是 故答案为： 14. 如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④，则的大小关系为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解决问题的关键是采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小． 设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小． 【详解】解：直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，， ， 故答案为：． 15. 已知是关于x的方程的一个根，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．正确理解方程的解的含义是解答此类题目的关键． 根据一元二次方程的解的定义，将代入一元二次方程，即可求得的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴满足一元二次方程， ∴， ∴； 故答案为：． 16. 已知函数是二次函数，则m＝________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义得出且，求出即可． 【详解】解：函数是二次函数， 且， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是能熟记二次函数的定义即：表示形式为． 17. 已知是方程的两实数根，则的值为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】根与系数的关系得到，，再运用通分和完全平方公式变形得到=然后利用整体代入的方法计算得． 【详解】解：根据根与系数的关系得到，， ∴=． 故答案为：10． 【点睛】此题考查了根与系数的关系，掌握一元二次方程的两个根关系，是本题的关键． 18. 在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若．则下列四个结论：①；②是等边三角形；③；④的周长是9．其中正确的结论是______（填序号）． 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．先根据等边三角形的性质得，再根据旋转的性质得到，，所以，则根据平行线的判定方法即可得到；由绕点B逆时针旋转，得到得到，则可判断是等边三角形；根据等边三角形的性质得，而，则可判断；由是等边三角形得到，再利用绕点B逆时针旋转，得到，则，所以的周长． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵绕点B逆时针旋转，得到， ∴， ∴， ∴，所以①正确； ∵绕点B逆时针旋转，得到， ∴， ∴是等边三角形，所以②正确； ∴， ∵， 又, ∴ ∴，所以③错误； ∵是等边三角形， ∴， 而绕点B逆时针旋转，得到， ∴， ∴的周长，所以④错误． 所以，正确的结论是①②， 故答案为：①②． 三、解答题：本大题共8小题，满分共72分．将解答过程写在答题卡的相应位置上，作图或添辅助线先用铅笔画完，再用水性笔描黑． 19. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 本题直接根据因式分解法即可求解． 【详解】解：， ， 或 解得，． 20. 已知二次函数（是常数）． （1）若该函数的图象与轴有两个不同的交点，求的取值范围． （2）若该二次函数的图象与轴的其中一个交点坐标为，求一元二次方程的解． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的图形与轴有两个不同的交点，得b2－4ac＞0，计算即可． （2）根据题意把x=－1代入=0求出m，得到关于x的一元二次方程，解方程得到答案． 【详解】（1）∵二次函数的图象与轴有两个不同的交点， ∴一元二次方程=0有两个不相等的实数根， ∴b2-4ac＞0，即0，解得； （2）∵二次函数的图象与轴的其中一个交点坐标为(-1，0)， ∴，解得， ∴一元二次方程=0为0，解得，． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键，方程ax2+bx+c=0的两根就是抛物线y=ax2 +bx+c与x轴交点的横坐标． 21. 10×10网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上． （1）画出绕点O逆时针方向旋转得到的； （2）画出向下平移4个单位长度得到的． （3）的面积是______． 【答案】（1）如图，为所作； （2） 如图，为所作； （3） 【解析】 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点、、，然后描点即可； （2）利用点平移的坐标变换规律画出点、、，然后描点即可； （3）利用割补法求面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图−旋转变换和平移变换以及割补法求面积，熟练掌握平移和旋转变换的性质是解本题的关键． 22. 观察下列一组方程：；；；；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”． 若也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程； 请写出第n个方程和它的根． 【答案】（1）k＝－15，x1＝7，x2＝8.（2）x1＝n－1，x2＝n. 【解析】 【分析】（1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到56是7与8的乘积,确定k值即可解题,（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解. 【详解】解：(1)由题意可得k＝－15，则原方程为x2－15x＋56＝0，则(x－7)·(x－8)＝0，解得x1＝7，x2＝8. (2)第n个方程为x2－(2n－1)x＋n(n－1)＝0，(x－n)(x－n＋1)＝0，解得x1＝n－1，x2＝n. 【点睛】本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键. 23. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． （1）求线段的长； （2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）当的值最小时，P点坐标为 【解析】 【分析】本考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径问题． （1）利用配方法把一般式化为顶点式，从而得到抛物线的对称轴为直线；先解方程得，再确定，由两点间距离公式可求出； （2）交直线于点P，如图，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，接着利用待定系数法求出直线的解析式为，然后确定P点坐标． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， 当时，即， 解得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， 点与点关于直线对称， ， 当点、、共线时，为最小值， 即为的最小值． 设直线的解析式为， 由（1）可知，，， 把，分别代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴当的值最小时，P点坐标为． 24. “泥兴陶，，是钦州的一张文化名片．钦州市某妮兴陶公司以每只60元的价格销售一种成本价为40元的文化纪念杯，每星期可售出100只．后来经过市场调查发现，每只杯子的售价每降低1元，则平均何星期可多买出10只．若该公司销售这种文化纪念杯要想平均每星期获利2240元，请回答: (1)每只杯应降价多少元? (2)在平均每星期获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该公司应该按原售价的几折出售? 【答案】（1）所以每只杯子应降价4元或6元. (2)应按原价的九折出售. 【解析】 【详解】试题分析：（1）设每只杯子应降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折． 试题解析：（1）设每只杯子降价x元， 根据题意，可列方程：， 整理得：， 解得. 所以每只杯子应降价4元或6元. (2) 因为要保持每星期获利不变，且尽可能利于顾客，因为该公司应使价格尽量低，因此应降价6元． 所以有，所以应按原价的九折出售. 点睛：本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解.注意（2）尽可能让利于顾客. 25. 2023年8月5日，在成都举行的第31届世界大学生夏季运动会女子篮球金牌赛中，中国队以99比91战胜日本队，夺得冠军．女篮最重要的球员之一韩旭在日常训练中也迎难而上，勇往直前．投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是，韩旭进行了两次投篮训练． （1）第一次训练时，韩旭投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 … 竖直高度y/m … ①在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； ②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是______，并求y与x满足的函数解析式； ③已知此时韩旭距篮筐中心的水平距离，韩旭第一次投篮练习是否成功，请说明理由； （2）第二次训练时，韩旭出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，若投篮成功，此时韩旭距篮筐中心的水平距离d_____5（填“”，“”或“”）． 【答案】（1）①如图，即为所求； ；②；； ③成功，理由如下： 当时，， 解得：或1（舍去）， 即韩旭距篮筐中心的水平距离时，篮球运行的高度为， ∴韩旭第一次投篮练习是成功； （2） 【解析】 【分析】（1）①直接利用描点法画出函数图象，即可；②设y与x满足的函数解析式为，再把点代入，求出m的值，即可；③把代入②中函数解析式，即可； （2）把点代入，求出函数解析式，再把把代入，求出x，即可． 【小问1详解】 解：①略 ②根据题意得：篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是； 设y与x满足的函数解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴y与x满足的函数解析式为； ③略 【小问2详解】 解：把点代入得： ， 解得：， ∴此时y与x满足的函数解析式为， 当时，， 解得：或（舍去）， ∵， ∴此时韩旭距篮筐中心的水平距离． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确求出函数解析式是解题的关键． 26. （1）【探究证明】在中，，直线经过点C，且于点D，于点E，当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：； （2）【发现探究】当直线绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）【解决问题】当直线绕点C旋转到图3的位置时，若，则的长为 ． 【答案】 （1）证明：如图1， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴． （2）（1）中结论不成立，结论为：．理由如下：如图2， ∵， ∴． 又∵于点D， ∴， ∴． 在和中， ， ∴； ∴， ∴，即． 故答案为：； （3））6 【解析】 【分析】本题考查了几何变换综合题，等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的四种判定方法是关键：；在证明线段的和与差时，利用全等三角形将线段转化到同一条直线上得出结论． （1）由垂直得，由同角的余角相等得：，因此根据可以证明，结合全等三角形的对应边相等证得结论； （2）根据全等三角形的判定定理推知，然后由全等三角形的对应边相等、图形中线段间的和差关系以及等量代换证得； （3）先同（2）的方法得出，代值即可得出结论． 【详解】解：（1）略； （2）略； （3）如图3，同（2）的方法得，， ∴， ∴ ∵， ∴． 故答案为：6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $