(四)用分类讨论求解等腰三角形多解问题寒假专项训练 2024-2025学年人教版数学八年级上册

2025年寒假八年级数学专题训练 (四)用分类讨论求解等腰三角形多解问题 类型一:对顶角和底角的分类讨论 例 如果等腰三角形中的一个角是另一个角度数的一半,求该等腰三角形各内角的度数. 方法归纳:对于等腰三角形,只要已知它的一个内角的度数,就能算出其他两个内角的度数,如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角,就要分两种情况来讨论.在分类时要注意:三角形的内角和等于180 ;等腰三角形中至少有两个角相等. 〖巩固练习1〗 1.若等腰三角形中有一个角等于40 ,则这个等腰三角形的顶角度数为( ) A.40 B.100 C.40 或70 D.40 或100 2.若等腰三角形中有一个角等于100 ,则这个等腰三角形的顶角度数为( ) A.40 B.100 C.40 或70 D.40 或100 3.若等腰三角形的一个外角为64 ,则底角的度数为_. 4.等腰三角形是有一个角为52 ,它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度? 5.已知等腰三角形ABC中,AD⊥BC于D,且AD=BC,则等腰三角形ABC的底角的度数为( ) A.45 B.75 C.45 或75 D.65 类型二:针对腰长和底边长进行分类 例 平面直角坐标系中,已知A(2,2)、B(4,0). (1)若在x轴上取点C,使 ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是 个; (2)若在y轴上取点C,使 ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是 个; (3)若在坐标轴上取点C,使 ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是 个; 方法归纳:在解答已知等腰三角形边长的问题时,当题目中的条件没有指明已知的这条边是腰长还是底边长时,就要分类讨论,按腰和底边两种情况分类.若涉及边的长度,应运用三角形的三边关系进行辨别取舍. 〖巩固练2〗 1.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4,则该等腰三角形的周长为( ) A.8或10 B.8 C.10 D.6或12 2.等腰三角形的两边长分别为7和9,则其周长为_. 3.如图,在Rt ABC中,∠ACB=90 ,AB=2BC,在直线BC或AC上取一点P,使得 PAB为等腰三角形,则符合条件的点P共有( ) A.7个 B.6个 C.5个 D.4个 4.如图,已知 ABC中,BC>AB>AC,∠ACB=40 ,如果D,E是直线AB上的两点,且AD=AC,BE=BC,求∠DCE的度数.21 世纪*教育网 类型三:针对锐角、直角和钝角三角形进行分类 例 AC为等腰 ABD的腰BD上的高,且∠CAB=60 .求这个三角形各内角的度数. 方法归纳:根据等腰三角形顶角的大小可以将其分为锐角、直角或钝角三角形.不同的三角形其高、中线、垂直平分线的交点位置均不同,比如锐角三角形腰上的高的交点在这个三角形的内部;直角三角形腰上的高的交点为两直角边的交点;钝角三角形腰上的高的交点在这个三角形的外部,因此在解答时需要分类讨论. 〖巩固练3〗 1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为,则等腰三角形的顶角度数为 . 2.等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25 ,求这个三角形的各个内角的度数. 3.已知 ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交成50 的角,求底角的度数. 4.一个等腰三角形一边上的高等于另一边的一半,则等腰三角形底角的度数是多少? 答 案 类型一: 对对顶角和底角的分类讨论 例解:设∠A,∠B,∠C是该等腰三角形的三个内角,且∠A=∠B. 设∠A=x ,则∠B=2x . ①若∠B是顶角,则∠A,∠C是底角,于是有∠C=∠A=x . ∵∠A+∠B+∠C=180 ,∴x+2x+x=180. 解得x=45,故∠A=∠C=45 ,∠B=90 ; ②若∠B是底角,∵∠A≠∠B, ∴∠A是顶角,∠C=∠B=2x . ∵∠A+∠B+∠C=180 ,∴x+2x+2x=180. 解得x=36,故∠A=36 ,∠B=∠C=72 . 综上所述,等腰三角形的各内角分别为45 、45 、90 或36 、72 、72 . 〖巩固练习1〗 1.C 2.B 3.32 4.当52 为底角时, ∵∠B=∠ACB=52 , ∴∠BCD=38 ; 当52 为顶角时, ∵∠A=52 , ∠B=∠ACB=64 , ∴∠BCD=26 ; ∴它的一条腰上的高与底边的夹角38 或26 . 5.5解:①如图1,当AB=AC时, ∵AD⊥BC, ∴BD=CD, ∵AD=BC, ∴AD=BD=CD, ∴底角为45 ; ②如图2,当AB=BC时, ∵AD=BC, ∴AD=AB, ∴∠ABD=30 , ∴∠BAC=∠BCA=75 , ∴底角为75 . ③如图3,当AB=BC时, ∵AD=BC,AB=BC, ∴AD=AB, ∴∠DBA=30 , ∴∠BAC=∠BCA=15 ; ∴ ABC底角的度数为45 或75 或15 . 故选C. 类型二: 针对腰长和底边长进行分类 (1)若在x轴上取点C,使 ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是 4 个; (2)若在y轴上取点C,使 ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是 2 个; (3)若在坐标轴上取点C,使 ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是 5 个; 〖巩固练习2〗 1.C 2.23或25 3.B 4.(1)当点D,E在点A的同侧,且都在BA的延长线上时,如图①, ∵BE=BC, ∴∠BEC=(180 -∠ABC) 2. ∵AD=AC, ∴∠ADC=(180 -∠DAC) 2=∠BAC 2. ∵∠DCE=∠BEC-∠ADC, ∴∠DCE=(180 -∠ABC) 2-∠BAC 2=(180 -∠ABC-∠BAC) 2=∠ACB 2=40 2=20 .2 1 c n j y (2)当点D,E在点A的同侧,且点D在D′的位置,点E在E′的位置时,如图②, 与(1)类似地也可以求得∠D′CE′=∠ACB 2=20 . (3)当点D,E在点A的两侧,且点E在E′的位置时,如图③, ∵BE′=BC,∴∠BE′C=(180 -∠CBE′) 2=∠ABC 2. ∵AD=AC,∴∠ADC=(180 -∠DAC) 2=∠BAC 2. 又∵∠DCE′=180 -(∠BE′C+∠ADC), ∴∠DCE′=180 -(∠ABC+∠BAC) 2=180 -(180 -∠ACB) 2=90 +∠ACB 2=90 +40 2=110 .【来源:21 世纪 教育 网】 (4)当点D,E在点A的两侧,且点D在D′的位置时,如图④, ∵AD′=AC, ∴∠AD′C=(180 -∠BAC) 2. ∵BE=BC, ∴∠BEC=(180 -∠ABC) 2. ∴∠D′CE=180 -(∠D′EC+∠ED′C)=180 -(∠BEC+∠AD′C), =180 -[(180 -∠ABC) 2+(180 -∠BAC) 2] =(∠BAC+∠ABC) 2=(180 -∠ACB) 2 =(180 -40 ) 2=70 . 综上所述,∠DCE的度数为20 或110 或70 . 类型三:针对锐角、直角和钝角三角形进行分类 例解:①如图1,高AC在 ABD的内部, 因为∠CAB=60 ,∠ACB=90 , 所以∠B=30 . 因为BA=BD,所以∠BAD=∠D=75 ; ②如图2,高AC在 ABD的外部, 因为∠CAB=60 ,∠ACB=90 , 所以∠ABC=30 . 所以∠ABD=150 . 因为BA=BD,所以∠BAD=∠D=15 ; ③如图3,高AC在 ABD的外部, 因为∠CAB=60 ,∠ACB=90 , 所以∠B=30 . 因为DA=DB,所以∠BAD=∠B=30 . 所以∠ADB=120 . 综上所述,这个三角形各内角的度数分别为30 ,75 ,75 或150 ,15 ,15 或120 ,30 ,30 . 〖巩固练习3〗 1.若三角形为锐角三角形时,如图,,,为高,即, 此时,∴, 若三角形为钝角三角形时,如图,,,为高,即, 此时,综上,等腰三角形的顶角的度数为或. 2.设AB=AC,BD⊥AC于点D. (1)当高与底边的夹角为25 时,高一定在 ABC的内部,如图①,∵∠DBC=25 ,∴∠C=90 -∠DBC=90 -25 =65 , ∴∠ABC=∠C=65 , ∴∠A=180 -2 65 =50 . (2)当高与另一腰的夹角的为25 时, 如图②,当高在 ABC的内部时, ∠ABD=25 ,∠A=90 -∠ABD=65 , ∴∠C=∠ABC=(180 -∠A) 2=57.5 ; 如图③,当高在 ABC的外部时,∠ABD=25 , ∴∠BAD=90 -∠ABD=90 -25 =65 ,∴∠BAC=180 -65 =115 , ∴∠ABC=∠C=(180 -115 ) 2=32.5 , 故三角形各内角的度数分别为:65 ,65 ,50 或65 ,57.5 ,57.5 或115 ,32.5 ,32.5 . 1com 3.由题意可判断该三角形不可能是直角三角形,可能是锐角三角形或钝角三角形,故分两种情况讨论: ①如图1,垂直平分线DE与腰AC相交,且∠AED=50 ,则∠A=40 ,所以∠B=∠C=70 ; ②如图2,垂直平分线DE与腰AC的反向延长线相交,且∠AED=50 ,则∠EAD=40 ,∠BAC=140 ,所以∠B=∠C=20 . 综上可知,等腰三角形的底角为70 或20 . 4.设∠A为顶角,则∠ABC、∠ACB为底角. (1)若∠A为锐角,如图1,作BD⊥AC于点D, 根据题意有BD=AB,∠BDA=90 , ∴∠A=30 ,∠ABC=∠ACB=75 ; (2)若∠A为直角,根据题意“等腰三角形一边上的高等于另一边的一半”,这种情况无解; (3)若∠A为钝角,有三种情况: ①如图2,作AD⊥BC于点D, 根据题意有AD=AB,∠ADB=90 , ∴∠ABC=∠ACB=30 ; ②如图3,作BD⊥CA的延长线于点D, 根据题意有BD=BC,∠ADB=90 , ∴∠ABC=∠ACB=30 ; ③如图4,作BD⊥CA的延长线于点D, 根据题意有BD=AB,∠ADB=90 , ∴∠BAD=30 ,∠ABC=∠ACB=15 . 综上所述,等腰三角形底角的度数是75 、30 或15 . 1 学科网(北京)股份有限公司 $$