精品解析：天津市武清区杨村第一中学2024-2025学年高二上学期第三次阶段性检测数学试题

2024-2025学年度高二年级第一学期第三次形成性检测数学试卷 一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分.每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得存在实数使得，即可得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，且， 所以，即， 所以，解得， 即． 故选：A. 2. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】B 【解析】 【分析】求出两圆的圆心和半径，得到圆心距和两圆半径的数量关系，得到两圆相交. 【详解】的圆心为，半径为2， 的圆心为，半径为3， 由于，， 故两圆相交. 故选：B 3. 在等差数列中，若，则的值为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列下标和的性质求得，进而可得的值. 【详解】由已知，， 所以，故． 故选：D 4. 已知过点P(2,2) 的直线与圆相切, 且与直线垂直, 则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：设过点的直线的斜率为，则直线方程，即，由于和圆相切，故，得，由于直线与直线，因此，解得，故答案为C. 考点：1、直线与圆的位置关系；2、两条直线垂直的应用. 5. 椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过焦点的弦长最小时，弦所在直线与轴（长轴）垂直，此时弦长为，焦点（弦边另一个焦点）的周长为，由此求得，得结论． 【详解】由题意可知，焦距等于2 故选：B． 6. 已知数列为等比数列，其中 为方程 的两根，则（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦达定理可得，利用等比数列的中项性质即可求解. 【详解】由题得，根据韦达定理可得，，则， 由等比数列的中项性质可得：. 因为等比数列的偶数项符号相同，都是负数， 所以. 故选：B. 7. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率分别为，，点P为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则双曲线的方程为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题先求出椭圆中的长半轴长与半焦距，然后在再分别由勾股定理，椭圆和双曲线的定义求解双曲线的实半轴长，即可求出双曲线方程． 【详解】椭圆中，，双曲线实半轴长， 在三角形中， ， 所以 ， 所以， 即， 所以，由题焦点在轴上， 故双曲线方程为， 故选：D． 8. 已知为等差数列的前n项和，为其公差，且，给出以下命题：①；②；③使得取得最大值时的n为8；④满足成立的最大n值为17.其中正确命题的序号为（   ） A. ①③ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】由及等差数列前n项和的函数性质判断①③；应用等差数列前n项和公式可得，并结合可判断②④. 【详解】由，即存在最大值，故，①③对； 可得，所以，②错； 由，可知， 所以满足成立的最大n值为15，④错. 故选：A 9. 抛物线：焦点为，准线与轴交于K，点P为抛物线上任意一点，的角平分线与轴交点为，则m最大值为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求出比值，，求出等式左边式子的范围，将等式右边代入，从而求解． 【详解】解：由题意可得，焦点F，准线方程为x＝−1，过点P作PM垂直于准线，M为垂足， 由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|＝x＋1， 记∠KPF的平分线与轴交于，， 根据角平分线定理可得， ， 当时，， 当时，， ， 综上：． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：利用数形结合进行转化是解决本题的关键．本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、考查学生的计算能力，属于中档题． 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆的标准方程的特征列方程组求解可得. 【详解】因为椭圆的焦点在y轴上， 所以，解得，即实数k的取值范围为. 故答案为： 11. 已知圆，过点的直线与圆交于两点，且，则直线的方程为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解。 【详解】由题知，圆的圆心为，半径为2． 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为，符合题意． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即 所以圆心到直线的距离为， 解得直线的方程为． 综上可知，直线的方程为或． 故答案为：或． 12. 已知点是抛物线的焦点，为坐标原点，若以为圆心，为半径的圆与直线相切，则抛物线的方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意知抛物线方程：的焦点，利用点到直线的距离为列出方程，解得，从而求解. 【详解】由题意知抛物线：的焦点， 又因为点到直线的距离为， 所以：，又因为：，解得：， 则抛物线的方程为：. 故答案为：. 13. 已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，则__________. 【答案】0 【解析】 【分析】利用等比数列性质求得，然后由等差数列前项和公式计算． 【详解】因为公差，且成等比数列， 所以，即，解得， 所以． 故答案为：0 14. 如图，已知F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，过F1作圆的切线与双曲线C的左，右两支分别交于M，N两点，若则双曲线C的离心率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】设直线与圆相切于点，连接，作作，垂足为，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到，的关系，即可得到结果． 【详解】设直线与圆相切于点，连接，作作，垂足为， 由于圆的半径为，则， 且为的中位线，可得， 又，所以，即有， 在直角三角形中，因为，所以， 则，可得，所以， 由双曲线的定义可得，即，所以， 由，则，所以双曲线C的离心率为. 故答案为：． 15. 已知F是抛物线的焦点，AB，CD是经过点F的弦，且，直线AB的斜率为k，且，C，A两点在x轴上方，则下列结论中正确的有：___________. ①；②若则；③；④四边形ACBD面积的最小值为 【答案】①③ 【解析】 【分析】设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理求出、关于的表达式判断①，利用基本不等式可判断④的正误，利用弦长公式求出的值，可判断②的正误，利用弦长公式可判断①的正误. 【详解】 设直线的方程为，设点、， 联立，可得，所以，，， 所以，， 设点、，直线的方程为， 联立，可得，则， 所以，，③正确； ， 解得， ，则，直线的斜率为，②不正确； 对于①，， 同理可得， ，①正确. 四边形的面积为， 当且仅当时，等号成立，④错误； 故答案为：①③. 【点睛】方法点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 三、解答题（本题共5个大题，共75分） 16. 如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，． （1）求证：平面AMC； （2）求异面直线AM与所成角的余弦值； （3）求平面AMC与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，得到各点坐标，确定，，得到证明. （2）确定，，根据向量的夹角公式计算得到答案. （3）确定平面的法向量和平面的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案. 【小问1详解】 如图所示：以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 则，，， 则，； ，. ，平面，故平面. 【小问2详解】 ，，则. 故异面直线AM与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 设平面的法向量为，则， 取得到； 设平面的法向量为，则， 取得到； 平面AMC与平面的夹角的余弦值为. 17. 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为，且. （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线与椭圆交于另一点，是轴上一点，且满足，若直线的斜率为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的值，求出这两个量的值，可求得的值，进而可得出椭圆的方程； （2）求出点、的坐标，根据可得出关于的方程，结合可求得的值，进而可得出直线的方程. 【小问1详解】 解：由题意可得，解得，，所以，， 所以，椭圆的方程为. 【小问2详解】 解：设直线的方程为，设点， 联立可得， 则为方程的一根， 所以，，可得，则， 即点， 由，得，所以，直线的方程为， 在直线的方程中，令可得，即点， 所以，，即， 解得或， 因为，解得或， 所以，直线的方程为或. 18. 已知等差数列公差为d，，且，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求，并求证：. 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知列方程组求出数列的首项和公差，可得通项公式； （2）利用列项相消求数列的前n项和为，再结合单调性即可求证； 【小问1详解】 等差数列公差为d，，且，，，成等比数列， 则有，解得， 所以 【小问2详解】 ，， 所以数列的前n项和. 所以， 易知单调递增，同时， 所以当时取得最小值，同时， 所以 19. 已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存；或 【解析】 【分析】（1）法一：分别取、的中点、，连接、、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立； 法二：以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值； （3）假设存在点，使得，其中，求出向量的坐标，利用空间向量法可得出关于的方程，解之即可. 【小问1详解】 证明：法一：分别取、的中点、，连接、、， 由题意可知点、分别为线段、的中点．所以，， 因为，所以，所以点、、、四点共面， 因为、分别为、的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，平面，平面，所以平面， 又因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面； 法二：因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直， 以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 所以，易知平面的一个法向量， 所以，所以， 又因为平面，所以平面． 【小问2详解】 解：设平面的法向量，，， 则，取，可得， 所以平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量，设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角余弦值； 【小问3详解】 解：假设存在点，使得，其中， 则， 由（2）得平面的一个法向量为， 由题意可得， 整理可得．即， 因为，解得或，所以，或． 20. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，M为上的一点. （1）若点M的坐标为，求的面积； （2）若点M的坐标为，且直线与交于不同的两点A、B，求证：为定值，并求出该定值； （3）如图，设点M的坐标为，过坐标原点O作圆（其中r为定值，且）的两条切线，分别交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为，.如果为定值，求的最大值， 【答案】（1）； （2）证明见解析，0； （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入求出，再求出左、右焦点即可求解. （2）将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理以及向量数量积的坐标运算即可求解. （3）设出直线:，直线:，利用点到直线的距离公式可得、是关于的方程的两实根，根据题意为定值，可得，，设，，将直线:，直线:与椭圆联立，求出，即可求解.. 【小问1详解】 由已知条件得，因为，则，又， 因此的面积为. 【小问2详解】 设，由，得， ，又，， ， 于是 ， 即为定值. 【小问3详解】 因为直线:与相切，则，即， 同理，由直线:与相切，可得， 于是、是关于方程的两实根， 注意到，且，故， 因为定值，故不妨设（定值）， 于有，即. 依题意可知，变化，而、均为定值，即有，解得，， 设，，由得，同理， 所以 ，当且仅当时取等号， 因此，解得， 所以的范围为， 故的最大值为. 【点睛】思路点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度高二年级第一学期第三次形成性检测数学试卷 一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分.每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2. 圆与圆位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 3. 在等差数列中，若，则的值为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 4. 已知过点P(2,2) 的直线与圆相切, 且与直线垂直, 则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 5. 椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 已知数列为等比数列，其中 为方程 的两根，则（   ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率分别为，，点P为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则双曲线的方程为（   ） A. B. C. D. 8. 已知为等差数列的前n项和，为其公差，且，给出以下命题：①；②；③使得取得最大值时的n为8；④满足成立的最大n值为17.其中正确命题的序号为（   ） A ①③ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②④ 9. 抛物线：焦点为，准线与轴交于K，点P为抛物线上任意一点，的角平分线与轴交点为，则m最大值为（   ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是___________. 11. 已知圆，过点的直线与圆交于两点，且，则直线的方程为_____． 12. 已知点是抛物线的焦点，为坐标原点，若以为圆心，为半径的圆与直线相切，则抛物线的方程为_______． 13. 已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，则__________. 14. 如图，已知F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，过F1作圆的切线与双曲线C的左，右两支分别交于M，N两点，若则双曲线C的离心率为____________. 15. 已知F是抛物线的焦点，AB，CD是经过点F的弦，且，直线AB的斜率为k，且，C，A两点在x轴上方，则下列结论中正确的有：___________. ①；②若则；③；④四边形ACBD面积的最小值为 三、解答题（本题共5个大题，共75分） 16. 如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，． （1）求证：平面AMC； （2）求异面直线AM与所成角的余弦值； （3）求平面AMC与平面的夹角的余弦值． 17. 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为，且. （1）求椭圆方程； （2）过点作斜率为的直线与椭圆交于另一点，是轴上一点，且满足，若直线的斜率为，求直线的方程. 18. 已知等差数列公差为d，，且，，，成等比数列． （1）求数列通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求，并求证：. 19. 已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由． 20. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，M为上的一点. （1）若点M坐标为，求的面积； （2）若点M的坐标为，且直线与交于不同的两点A、B，求证：为定值，并求出该定值； （3）如图，设点M的坐标为，过坐标原点O作圆（其中r为定值，且）的两条切线，分别交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为，.如果为定值，求的最大值， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $