一元函数的导数及其应用-章末重点题型训练【精选30题】- 【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练人教A版2019

1 导数 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 《一 函数的导数及 用》章末重点题 训练（精 30题） 《一 函数的导数及 用》章 为高中数学中高二 级的重点与 点 容，不仅要 学生深 理解导数的概念及 基本运 规 ，还 重于 用导数解 类实 问题。为 此，精心设计了【精 30题】的章末重点题 训练，旨 过实践演练， 学生巩固知 识，提升解题能 这30 题覆盖了导数学习的多个 心方 ： 1. 导数的概念与运算：从基 定义出发， 过 函数 导，考察学生对导数 式的熟练 握 及运 。 2. 线问题综 ：结 几 意义，要 学生能够 用导数 出给定点的 线方 ，以及 过 线斜 率 断函数 某点的 减 。 3. 用导数 函数的单 ： 过 析一 导数的 号变化， 定函数的单 区间，培 学生 辑 维 辑 理能 。 4. 函数的 值与 大 ( )值： 用导数 断极 点，进而 解函数 定义域 的最大 或最 ，强 用中的实 问题解 略。 5. 原函数与导函数混 还原： 过积 与 导的互 系， 深对微积 基本定理的理解，提高 解题灵 。 6. 用导数比大 ： 过构 函数 用导数 质，比较不 函数 或表达式的大 ，培 抽 维。 7. 不等式证 ：运用导数方法证 不 式，如 用单 、极 质，拓宽证 路。 8. 三次函数的 ：针对三次函数的特 ， 过导数 析 图像特征、极 点及拐点， 对复杂 函数处理的能 。 9. (能)成 之 类讨论：针对 参数的不 式或方 ， 过导数 析参数 围，进行 类讨论， 提升 辑 理 问题解 能 。 10. 零点问题： 讨函数零点存 不 直 出的 形， 过导数 质间 析，锻炼 维的敏 锐 深 。 11. 对 ： 用 数函数 对数函数的 质， 过 构变 化问题，考察学生对函数 质的灵 用。 12. 导数中的数 不等式放 ：结 数 知识， 用导数 数 项之间的 系，进行不 式的放 处理，拓宽数学视野。 13. 值点偏移： 讨函数极 点 相对于对称轴的 移现 ， 过导数 析原因，培 深 数学现 的 趣。 每 题 精 自历 高考 题及最新期末题， 保题目既 有代表 ，又能贴近高考要 ， 学生熟 考试题 ，提升 试技巧。 过这 30 题的训练，学生不仅能 深对 导数概念的理解，还能 实践中 握解题技巧，为 续的数学学习打下 实的基 。 3 / 9 2大鹏一日同风起扶摇直上九万里 导数 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 一 单选题 1. (2024·全国·高考 题)设函数 f x = e x+2sinx 1+x2 ， 曲线 y= f x  点 0,1 处的 线与两 标轴 所围成的三角形的 积为 ( ) A. 16 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 2. ( ·高考 题)f x  函数 f x 的导函数，y= f x 的图 如图所示， y= f x 的图 可能 下 项中的 ( )    A.    B.    C.    D.    3. (2023·全国·高考 题)曲线 y= e x x+1 点 1, e 2 处的 线方 为 ( ) A. y= e4 x B. y= e 2 x C. y= e 4 x+ e 4 D. y= e 2 x+ 3e 4 4. (2023·全国·高考 题)已知函数 f x = aex- lnx 区间 1,2 上单 ， a的 值为 (    )． A. e2 B. e C. e-1 D. e-2 5. (22- 23高二下· 东日照· 中)已知过点A a,0  曲线 y= xex的 线 且仅 两 ， 实数 a 的取值可能为 ( ) A. - 2 B. - 3 C. - 4 D. - 5 6. (23- 24高二下· 北张家口· )过点 (3,0) 两 直线与曲线 f(x) = xex(e 自然对数的 数) 相 ， 点的横 标 为 x1，x2， x1x2的值为 ( ) A. - e B. e C. - 3 D. 3 7. (23- 24高二上· 东深 · )过点 1,a 可以做三 直线与曲线 y= xex相 ， 实数 a的取值 围 ( ) A. - 5 e2 ,0  B. - 5e2 ,e  C. - 5 e2 ,- 1e  D. - 1 e ,0  3 / 9 3 导数 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 8. (23- 24高二下· 东中 · )若点P 曲线 y= x3- 3x上移 ，经过点P的 线的倾斜角为 α， 角 α的取值 围 ( ) A. 0, π2    B. 0, π2 ∪ π 2 , 2π 3  C. 2π3 ,π    D. 0, π2 ∪ 2π 3 ,π    9. (23- 24高二下· 北石家 · 中)已知 f(x) = lnx- 3f(e)x， f(e) = ( ) A. 14e B. 1 e - 3 C. 1- e D. 1 4 10. (23- 24高二下· 扬州· 中)已知函数 f x 的定义域为 0,+∞ ，且 f 1 = e- 12 ，f  x + x > ex， 不等式 2ex- 2f x > x2的解 为 ( ) A. 0,1  B. 0,+∞  C. 1,+∞  D. 0,1 ∪ 1,+∞  11. (22- 23高二下· 州· 中)已知 a= ln 22 ,b= ln3 6 ,c= 1 2e ， a,b,c的大 为 ( ) A. b> c> a B. a> b> c C. b> a> c D. c> b> a 二 多选题 12. (2024·全国·高考 题)设函数 f(x) = 2x3- 3ax2+ 1， ( ) A. 当 a> 1时，f(x) 三个零点 B. 当 a< 0时，x= 0 f(x)的 大值点 C. 存 a，b， 得 x= b为曲线 y= f(x)的对称轴 D. 存 a， 得点 1,f 1  为曲线 y= f(x)的对称中心 13. (2024·新高考 1卷· 题)设函数 f(x) = (x- 1)2(x- 4)， ( ) A. x= 3 f(x)的 值点 B. 当 0< x< 1时，f(x)< f x2  C. 当 1< x< 2时，-4< f(2x- 1)< 0 D. 当-1< x< 0时，f(2- x)> f(x) 14. (2023·全国·高考 题)若函数 f x = alnx+ bx + c x2 a≠0 既 大值也 值， (    )． A. bc> 0 B. ab> 0 C. b2+ 8ac> 0 D. ac< 0 15. (2022·全国·高考 题)已知函数 f(x)及其导函数 f(x)的定义域 为R，记 g(x) = f(x)，若 f 32 -2x ，g(2+ x) 为偶函数， ( ) A. f(0) = 0 B. g - 12 = 0 C. f(-1) = f(4) D. g(-1) = g(2) 16. (23- 24高二下·宁夏银川· )已知函数 f x 及其导函数 f x 的定义域 为R，记 g x = f x ，若 f 2x+1 与 g x+2  为偶函数，且 g 2 = 2， 下 项正 的 ( ) A. 2025 i=1 g i  = 2 B. f x  为 4的 函数 C. g x+1 为奇函数 D. f x 图 关于点 2,0 对称 3 / 9 4大鹏一日同风起扶摇直上九万里 导数 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 17. (23- 24高二下· 北· 中)已知函数 f x  g x 的定义域为R，g x 为偶函数，g x = g 4-x , f x = 1- g x ，下 说法正 的 ( ) A. 函数 g x 关于 2,0 对称 B. g 2022 = 0 C. f x 关于点 2,0 对称 D. 2024 k=1 f (k) = 2024 三 填空题 18. (2024·全国·高考 题)曲线 y= x3- 3x与 y=- x-1 2+ a 0,+∞ 上 两个不 的交点， a 的取值 围为 ． 19. (2024·新高考 1卷· 题)若曲线 y= ex+ x 点 0,1 处的 线也 曲线 y= ln(x+ 1) + a的 线， a= . 20. (2023·全国·高考 题)设 a∈ 0,1 ，若函数 f x = ax+ 1+a x 0,+∞ 上单 ， a的取 值 围 . 21. (2022·全国·高考 题)曲线 y= ln|x|过 标原点的两 线的方 为 ， ． 22. (2022·全国·高考 题)若曲线 y= (x+ a)ex 两 过 标原点的 线， a的取值 围 ． 23. (2024· 西 ·模拟预 )已知直线 y= kx+ t既 曲线 y= ex的 线，也 曲线 y=-e-x的 线， k=   . 四 解答题 24. (2024·全国·高考 题)已知函数 f(x) = ex- ax- a3． (1)当 a= 1时， 曲线 y= f(x) 点 1,f(1) 处的 线方 ； (2)若 f(x) 值，且 值 于 0， a的取值 围． 3 / 9 5 导数 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 25. (2024·全国·高考 题)已知函数 f x = a x-1 - lnx+ 1． (1) f x 的单 区间；(2)当 a≤ 2时，证 ：当 x> 1时，f x < ex-1 成 ． 26. (2023·新高考 1卷· 题)已知函数 f x = a ex+a - x． (1)讨论 f x 的单 ；(2)证 ：当 a> 0时，f x > 2lna+ 32 ． 3 / 9 6大鹏一日同风起扶摇直上九万里 导数 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 27. (2020·新高考· 题)已知函数 f(x) = aex-1- lnx+ lna． (1)当 a= e时， 曲线 y= f x  点 1,f 1  处的 线与两 标轴围成的三角形的 积； (2)若不等式 f x ≥ 1 成 ， a的取值 围． 28. (2023·全国·高考 题)已知函数 f(x) = ax- sinx cos3x ,x∈ 0, π2  (1)当 a= 8时，讨论 f(x)的单 ；(2)若 f(x)< sin2x 成 ， a的取值 围． 3 / 9 7 导数 宝 锋从磨 出 香自苦寒来 大鹏一日同风起扶摇直上九万里 29. (2022··新高考 2卷· 题)已知函数 f(x) = xeax- ex． (1)当 a= 1时，讨论 f(x)的单 ； (2)当 x> 0时，f(x)<-1， a的取值 围； (3)设n∈N ∗，证 ： 1 12+1 + 1 22+2 +⋯+ 1 n2+n > ln(n+ 1)． 30. (2022·全国·高考 题)已知函数 f x = e x x - lnx+ x- a． (1)若 f x ≥ 0， a的取值 围；(2)证 ：若 f x  两个零点 x1,x2， x1x2< 1． 3 / 9 【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练 《一元函数的导数及其应用》章末重点题型训练【精选30题】 模块一 题型·解读 《一元函数的导数及其应用》章节作为高中数学中高二年级的重点与难点内容，不仅要求学生深入理解导数的概念及其基本运算规则，还着重于应用导数解决各类实际问题。为此，精心设计了【精选30题】的章末重点题型训练，旨在通过实践演练，帮助学生巩固知识，提升解题能力。 这30道题覆盖了导数学习的多个核心方面： 1. 导数的概念与运算：从基础定义出发，通过具体函数求导，考察学生对导数公式的熟练掌握程度及运算准确性。 2. 切线问题综合：结合几何意义，要求学生能够利用导数求出给定点的切线方程，以及通过切线斜率判断函数在某点的增减性。 3. 利用导数研究函数的单调性：通过分析一阶导数的符号变化，确定函数的单调区间，培养学生逻辑思维和逻辑推理能力。 4. 函数的极值与最大(小)值：利用导数判断极值点，进而求解函数在定义域内的最大值或最小值，强调应用中的实际问题解决策略。 5. 原函数与导函数混合还原：通过积分与求导的互逆关系，加深对微积分基本定理的理解，提高解题灵活性。 6. 利用导数比大小：通过构造函数并利用导数研究其性质，比较不同函数值或表达式的大小，培养抽象思维。 7. 不等式证明：运用导数方法证明不等式，如利用单调性、极值等性质，拓宽证明思路。 8. 三次函数的研究：针对三次函数的特性，通过导数分析其图像特征、极值点及拐点，增加对复杂函数处理的能力。 9. 恒(能)成立之分类讨论：针对含参数的不等式或方程，通过导数分析参数范围，进行分类讨论，提升逻辑推理和问题解决能力。 10. 隐零点问题：探讨函数零点存在但不易直接求出的情形，通过导数性质间接分析，锻炼思维的敏锐性和深度。 11. 指对同构：利用指数函数和对数函数的性质，通过同构变换简化问题，考察学生对函数性质的灵活应用。 12. 导数中的数列不等式放缩：结合数列知识，利用导数研究数列项之间的关系，进行不等式的放缩处理，拓宽数学视野。 13. 极值点偏移：探讨函数极值点位置相对于对称轴的偏移现象，通过导数分析原因，培养深入探究数学现象的兴趣。 每道题均精选自历年高考真题及最新期末题，确保题目既具有代表性，又能贴近高考要求，帮助学生熟悉考试题型，提升应试技巧。通过这30道题的训练，学生不仅能加深对导数概念的理解，还能在实践中掌握解题技巧，为后续的数学学习打下坚实的基础。 模块二 核心题型·训练 一、单选题 1．（2024·全国·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（浙江·高考真题）是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（    ）    A．  B．   C．   D．   3．（2023·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 5．（22-23高二下·山东日照·期中）已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值可能为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·河北张家口·期末）过点作两条直线与曲线（e是自然对数的底数）相切，切点的横坐标分别为，，则的值为（    ） A．e B．e C．3 D．3 7．（23-24高二上·广东深圳·期末）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·广东中山·期末）若点在曲线上移动，经过点的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·河北石家庄·期中）已知，求（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·江苏扬州·期中）已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 12．（2024·全国·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 13．（2024·新高考1卷·真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 14．（2023·全国·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 15．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高二下·宁夏银川·期末）已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若与均为偶函数，且，则下列选项正确的是（    ） A． B．是周期为4的周期函数 C．为奇函数 D．图象关于点对称 17．（23-24高二下·湖北·期中）已知函数和的定义域为R，为偶函数，，下列说法正确的是（    ） A．函数关于对称 B． C．关于点对称 D． 三、填空题 18．（2024·全国·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 19．（2024·新高考1卷·真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 20．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 21．（2022·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 22．（2022·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 23．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 四、解答题 24．（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 25．（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 26．（2023·新高考1卷·真题）已知函数． (1)讨论的单调性；(2)证明：当时，． 27．（2020·新高考·真题）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 28．（2023·全国·高考真题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性；(2)若恒成立，求a的取值范围． 29．（2022··新高考2卷·真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围； (3)设，证明：． 30．（2022·全国·高考真题）已知函数． (1)若，求a的取值范围；(2)证明：若有两个零点，则． 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练 《一元函数的导数及其应用》章末重点题型训练【精选30题】 模块一 题型·解读 《一元函数的导数及其应用》章节作为高中数学中高二年级的重点与难点内容，不仅要求学生深入理解导数的概念及其基本运算规则，还着重于应用导数解决各类实际问题。为此，精心设计了【精选30题】的章末重点题型训练，旨在通过实践演练，帮助学生巩固知识，提升解题能力。 这30道题覆盖了导数学习的多个核心方面： 1. 导数的概念与运算：从基础定义出发，通过具体函数求导，考察学生对导数公式的熟练掌握程度及运算准确性。 2. 切线问题综合：结合几何意义，要求学生能够利用导数求出给定点的切线方程，以及通过切线斜率判断函数在某点的增减性。 3. 利用导数研究函数的单调性：通过分析一阶导数的符号变化，确定函数的单调区间，培养学生逻辑思维和逻辑推理能力。 4. 函数的极值与最大(小)值：利用导数判断极值点，进而求解函数在定义域内的最大值或最小值，强调应用中的实际问题解决策略。 5. 原函数与导函数混合还原：通过积分与求导的互逆关系，加深对微积分基本定理的理解，提高解题灵活性。 6. 利用导数比大小：通过构造函数并利用导数研究其性质，比较不同函数值或表达式的大小，培养抽象思维。 7. 不等式证明：运用导数方法证明不等式，如利用单调性、极值等性质，拓宽证明思路。 8. 三次函数的研究：针对三次函数的特性，通过导数分析其图像特征、极值点及拐点，增加对复杂函数处理的能力。 9. 恒(能)成立之分类讨论：针对含参数的不等式或方程，通过导数分析参数范围，进行分类讨论，提升逻辑推理和问题解决能力。 10. 隐零点问题：探讨函数零点存在但不易直接求出的情形，通过导数性质间接分析，锻炼思维的敏锐性和深度。 11. 指对同构：利用指数函数和对数函数的性质，通过同构变换简化问题，考察学生对函数性质的灵活应用。 12. 导数中的数列不等式放缩：结合数列知识，利用导数研究数列项之间的关系，进行不等式的放缩处理，拓宽数学视野。 13. 极值点偏移：探讨函数极值点位置相对于对称轴的偏移现象，通过导数分析原因，培养深入探究数学现象的兴趣。 每道题均精选自历年高考真题及最新期末题，确保题目既具有代表性，又能贴近高考要求，帮助学生熟悉考试题型，提升应试技巧。通过这30道题的训练，学生不仅能加深对导数概念的理解，还能在实践中掌握解题技巧，为后续的数学学习打下坚实的基础。 模块二 核心题型·训练 一、单选题 1．（2024·全国·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 2．（浙江·高考真题）是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（    ）    A．  B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据导函数的正负与原函数单调性的关系，结合图象进行判断即可. 【详解】由导函数的图象可知：当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增，只有选项C符合， 故选：C 3．（2023·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解. 【详解】设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C 4．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 5．（22-23高二下·山东日照·期中）已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，并将点的坐标代入建立方程，求出方程有两个不等实根的参数范围即可. 【详解】设切点为，由，求导得， 则切线方程为：，而切线过点， 于是，又，则， 依题意，方程有且仅有两个不等实根，则， 解得或，所以符合题意. 故选：D 6．（23-24高二下·河北张家口·期末）过点作两条直线与曲线（e是自然对数的底数）相切，切点的横坐标分别为，，则的值为（    ） A．e B．e C．3 D．3 【答案】C 【分析】根据过一点作函数图象的切线问题，设切点，得切线方程，再代入定点求解即可. 【详解】由，得， 设切点坐标为，则切线斜率为，所以切线方程为. 因为点在切线上，所以，即， 结合题意，则，是上述方程的根，所以根据韦达定理得. 故选：. 7．（23-24高二·广东深圳·期末）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点坐标，写出切线方程，过点，代入化简得，将问题转化为该方程有三个不等实根，结合导函数讨论单调性数形结合求解. 【详解】设切点为，∵，∴， ∴M处的切线斜率，则过点P的切线方程为， 代入点的坐标，化简得， ∵过点可以作三条直线与曲线相切， ∴方程有三个不等实根. 令，求导得到， 可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 如图所示， 故，即. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，求切线方程，关键点在于将问题转化为方程的根的问题，根据方程的根的个数，求解参数的取值范围，考查导函数的综合应用，涉及等价转化，数形结合思想，属于中档题. 8．（23-24高二下·广东中山·期末）若点在曲线上移动，经过点的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设切点坐标，然后求导计算切点斜率，得到斜率范围，最后得到倾斜角范围即可. 【详解】设，，则 所以过点切线斜率 所以 所以得 故选：D 9．（23-24高二下·河北石家庄·期中）已知，求（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数导数，令即可得解. 【详解】因为， 所以，解得. 故选：A 10．（23-24高二下·江苏扬州·期中）已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设不等式整理后构造函数满足，得出在上单调递增，整理待求不等式，利用函数的单调性即可求得. 【详解】由可得，即， 设，，则由可得，在上单调递增. 又， 由可得，，即，解得. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用构建函数的单调性求抽象不等式的解集的问题，属于难题. 解题的关键在于观察已知不等式和题设不等式的组成，提炼出构造函数的基本形式，结合函数定义域和函数值等条件，利用单调性求解抽象不等式. 11．（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用导数可得在上单调递增，在上单调递减，从而可得最大，再根据对数的运算性质比较的大小即可. 【详解】解：因为，， 设， 则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，， 又因为， 所以. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题关键在于观察式子的共同特征，构造函数，利用导数判断单调性，进而比较大小，然后结合对数运算，利用作差法比较可得. 二、多选题 12．（2024·全国·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 13．（2024·广东江苏·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 14．（2023·全国·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答. 【详解】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 15．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. [方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法. 由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC. 故选：BC. [方法三]： 因为，均为偶函数， 所以即，， 所以，，则，故C正确； 函数，的图象分别关于直线对称， 又，且函数可导， 所以， 所以，所以， 所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. 【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法； 方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解． 16．（23-24高二下·宁夏银川·期末）已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若与均为偶函数，且，则下列选项正确的是（    ） A． B．是周期为4的周期函数 C．为奇函数 D．图象关于点对称 【答案】BC 【分析】根据函数的奇偶性可得，，结合求导可得，的周期性，即可结合选项逐一判定. 【详解】因为为偶函数，所以，即， 所以函数的图象关于对称，则， 又为偶函数，所以，即， 两边求导得，，即，关于对称， 则关于原点对称，为奇函数，故C正确， ，， 由以上分析得，即， 所以是周期为4的函数， 故，故A错误； 对于B，由于，则， 由于，故 所以，因此以4为周期的周期函数，B正确， 对于D，由于,则，故关于对称， 由于不一定为0，故D错误， 故选：BC． 【点睛】关键点点睛：由奇偶性的定义可得，，利用复合函数的求导法则可得，即可判定函数的周期性求解. 17．（23-24高二下·湖北·期中）已知函数和的定义域为R，为偶函数，，下列说法正确的是（    ） A．函数关于对称 B． C．关于点对称 D． 【答案】ABD 【分析】先对函数求导，根据为偶函数，可得为奇函数，进而可得函数的周期性，即可根据函数的周期性、奇偶性以及对称性，结合选项逐一进行求解即可． 【详解】因为，所以关于对称， 则，则关于对称，A正确； 为偶函数，所以，故，所以为奇函数， 由可得，周期为4， ，B正确； ，，则， ,故关于对称，C错误； ，周期为4． 的周期也为4，,， D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：对以及求导得，，即可得到函数的周期性. 三、填空题 18．（2024·全国·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解. 【详解】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为： 19．（2024·广东江苏·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 20．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围. 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 21．（2022·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 【答案】 【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求 分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 解： 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：； [方法二]：根据函数的对称性，数形结合 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 因为是偶函数，图象为： 所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可. [方法三]： 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 故答案为：；. 22．（2022·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 23．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 【答案】 【分析】分别求导，根据导数的几何意义列方程组，计算即可. 【详解】设曲线与的切点分别为， 易知两曲线的导函数分别为，， 由题意可知：，可得， 则，解得， 所以. 故答案为：. 四、解答题 24．（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 25．（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； （2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可. 【详解】（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2），且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，问题得证 26．（2023·全国·高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【详解】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 27．（2020·山东·高考真题）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果； （2）方法一：利用导数研究函数的单调性，当a=1时，由得,符合题意；当a>1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围. 【详解】（1），，. ，∴切点坐标为(1,1+e), ∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即, 切线与坐标轴交点坐标分别为, ∴所求三角形面积为． （2）［方法一］：通性通法 ,，且. 设,则 ∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增， 当时，,∴,∴成立. 当时， ，，, ∴存在唯一，使得，且当时，当时，，， 因此 >1, ∴∴恒成立； 当时， ∴不是恒成立. 综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞). ［方法二］【最优解】：同构 由得，即，而，所以． 令，则，所以在R上单调递增． 由，可知，所以，所以． 令，则． 所以当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以，则，即． 所以a的取值范围为． ［方法三］：换元同构 由题意知，令，所以，所以． 于是． 由于，而在时为增函数，故，即，分离参数后有． 令，所以． 当时，单调递增；当时，单调递减． 所以当时，取得最大值为．所以． ［方法四］： 因为定义域为，且，所以，即． 令，则，所以在区间内单调递增． 因为，所以时，有，即． 下面证明当时，恒成立． 令，只需证当时，恒成立． 因为，所以在区间内单调递增，则． 因此要证明时，恒成立，只需证明即可． 由，得． 上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立． 当时，因为，显然不满足恒成立． 所以a的取值范围为． 【整体点评】（2）方法一：利用导数判断函数的单调性，求出其最小值，由即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法； 方法二：利用同构思想将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解； 方法三：通过先换元，令，再同构，可将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法求出； 方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范围，再进行充分性证明即可． 28．（2023·全国·高考真题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析. (2) 【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可; （2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可. 【详解】（1） 令,则 则 当 当,即. 当,即. 所以在上单调递增,在上单调递减 （2）设 设 所以. 若, 即在上单调递减,所以. 所以当,符合题意. 若 当,所以. . 所以,使得,即,使得. 当,即当单调递增. 所以当,不合题意. 综上,的取值范围为. 【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性在定义域内是减函数,若,当,对应当. 29．（2022·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围； (3)设，证明：． 【答案】(1)的减区间为，增区间为. (2) (3)见解析 【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性. （2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围. （3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式. 【详解】（1）当时，，则， 当时，，当时，， 故的减区间为，增区间为. （2）设，则， 又，设， 则， 若，则， 因为为连续不间断函数， 故存在，使得，总有， 故在为增函数，故， 故在为增函数，故，与题设矛盾. 若，则， 下证：对任意，总有成立， 证明：设，故， 故在上为减函数，故即成立. 由上述不等式有， 故总成立，即在上为减函数， 所以. 当时，有，     所以在上为减函数，所以. 综上，. （3）取，则，总有成立， 令，则， 故即对任意的恒成立. 所以对任意的，有， 整理得到：， 故 ， 故不等式成立. 【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式. 30．（2022·全国·高考真题）已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)证明：若有两个零点，则． 【答案】(1) (2)证明见的解析 【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解； （2）利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证. 【详解】（1）[方法一]：常规求导 的定义域为，则 令,得 当单调递减 当单调递增， 若,则,即 所以的取值范围为 [方法二]：同构处理 由得： 令，则即 令，则 故在区间上是增函数 故，即 所以的取值范围为 （2）[方法一]：构造函数 由题知,一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设 要证,即证 因为,即证 又因为,故只需证 即证 即证 下面证明时， 设， 则 设 所以,而 所以,所以 所以在单调递增 即,所以 令 所以在单调递减 即,所以； 综上, ,所以. [方法二]：对数平均不等式 由题意得： 令，则， 所以在上单调递增，故只有1个解 又因为有两个零点，故 两边取对数得：，即 又因为，故，即 下证 因为 不妨设，则只需证 构造，则 故在上单调递减 故，即得证 【点睛】关键点点睛 ：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式 这个函数经常出现，需要掌握 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$