专题11 数列求和的艺术：方法与技巧精粹(7大题型）-【寒假分层作业】2025年高二数学寒假培优练（苏教版2019）

专题11 数列求和的艺术：方法与技巧精粹 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（7大题型） 题型一：公式法 题型二：错位相减法 题型三：分组求和法 题型四：裂项相消法 题型五：倒序相加法 题型六：并项求和 题型七：数列奇偶项求和 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 数列求和 一．公式法 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 二．几种数列求和的常用方法 （1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． （2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． （4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 三．常见的裂项技巧 积累裂项模型1：等差型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 积累裂项模型2：根式型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 积累裂项模型3：指数型 （1） （2） （3） （4） （5） （6），设，易得， 于是 （7） 积累裂项模型4：对数型 积累裂项模型5：三角型 （1） （2） （3） （4）， 则 公式法 1．已知是各项均为正数的等比数列，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 2．等差数列满足，，前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值. 3．等差数列满足：首项为2，公差为是的前项和. (1)求数列的通项公式. (2)求数列的前项和. 错位相减法 1．已知为数列的前项和，且. (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和. 2．设数列的前n项和为，已知，且. (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和． 3．已知数列满足，. (1)证明：数列为等差数列，并求通项； (2)求数列的前n项和. 4．已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)已知，求数列的前项和． 5．已知数列的前项和为，且分别满足：，. (1)求通项公式； (2)求数列的前项和. 分组求和法 1．已知数列为正项数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 2．已知等差数列前项的和为，且， (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 3．等比数列的公比为2，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 4．已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上． (1)求和的通项公式； (2)将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和． 5．设数列满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式． 裂项相消法 1．设数列的前项和为，且当时，． (1)求的通项公式； (2)若求数列的前项和． 2．已知数列的前项和为，，且数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求证：. 3．知正项数列的前n项和为，满足（，），． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和的表达式． 4．已知为等差数列，其公差为，前项和为，为等比数列，其公比为，前项和为，若，，，． (1)求公差和； (2)记，证明：． 5．已知数列前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前100项和. 倒序相加法 1．已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 2．已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 3．已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 4．已知函数满足，数列满足：. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 5．已知函数． (1)求证：函数的图象关于点对称； (2)求的值． 并项求和 1．已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式及数列的前项和； (2)设，求数列的前项和. 2．在①数列为等差数列，且；②，；③正项数列满足这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答. 问题：已知数列的前项和为，且__________. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，求. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 3．已知数列的前项和满足：,． (1)求； (2)若，求的前项和． 4．已知数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 5．已知数列是等差数列，且恒成立，它的前四项的平方和为54，且这四项中首尾两数的积比中间两数的积少2． (1)求的通项公式． (2)若，，求数列的前100项和． 数列奇偶项求和 1．设是等差数列，是各项都为正数的等比数列. 且 ， (1)求的通项公式； (2)记为的前项和，求证：； (3)若，求数列的前项和. 2．已知为数列的前项和，满足，．数列是等差数列，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)设求数列的前项和． 3．已知各项均为正数的数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 4．已知正项数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 5．设是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且． (1)求，的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 1．在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列. (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，. ①求数列的通项公式； ②若，记的前项和为，证明：. 2．已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为； (3)若对任意恒成立．求实数的取值范围． 3．设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. (1)求的和公比; (2)求; (3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 4．已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 5．数列的前项和为 (1)求数列的通项公式; (2)令，数列的前项和为，若对 恒成立，求实数的取值范围. 6．已知数列是等差数列，设为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． 1．若数列的前项和为，且，等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 2．设为数列的前项和，满足． (1)求证：； (2)记，求． 3．已知等比数列是递减数列，的前n项和为，且，，成等差数列，.数列的前n项和为，满足，. (1)求和的通项公式； (2)若，求 4．设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若，且为“和等比数列”. (1)求的值，并求出的和公比； (2)若，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 5．已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若． (1)求数列和的通项公式； (2)证明：； (3)求使得成立的最大整数． 6．已知数列满足，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若数列的前项和为，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 3．（2024年天津高考数学真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）求证：当时，求证：； （ⅱ）求． 5．设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 6．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 7．（2022年新高考天津数学高考真题）设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 数列求和的艺术：方法与技巧精粹 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（7大题型） 题型一：公式法 题型二：错位相减法 题型三：分组求和法 题型四：裂项相消法 题型五：倒序相加法 题型六：并项求和 题型七：数列奇偶项求和 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 数列求和 一．公式法 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 二．几种数列求和的常用方法 （1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． （2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． （4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 三．常见的裂项技巧 积累裂项模型1：等差型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 积累裂项模型2：根式型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 积累裂项模型3：指数型 （1） （2） （3） （4） （5） （6），设，易得， 于是 （7） 积累裂项模型4：对数型 积累裂项模型5：三角型 （1） （2） （3） （4）， 则 公式法 1．已知是各项均为正数的等比数列，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【解析】（1）设的公比为，因为， 所以，即， 解得或（舍去）， 故的通项公式为. （2）由（1）知，设的前项和为， 则. 2．等差数列满足，，前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值. 【解析】（1）设首项为，公差为， 因为等差数列满足，， 所以，解得， 所以； （2）因为当时，，当时，， 所以的最大值为， 因为， 所以. 3．等差数列满足：首项为2，公差为是的前项和. (1)求数列的通项公式. (2)求数列的前项和. 【解析】（1）因为数列是首项为2公差为2的等差数列， 所以，即； （2）因为，所以， 所以是以2为首项2为公比的等比数列， 所以， 所以 错位相减法 1．已知为数列的前项和，且. (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和. 【解析】（1）因为，所以当时，， 当时，，不满足上式， 所以 （2）由（1）知所以 所以当时，， 所以， 两式相减，得 ， 所以， 当时，，满足上式. 所以. 2．设数列的前n项和为，已知，且. (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和． 【解析】（1）证明：由题可得， 则当时，， 当时，， 整理得， 所以 ， 又，所以 所以①， 又，均满足①式，所以. 又，即数列是公差为2，首项为1的等差数列. （2）由（1）得， 数列的前n项和， 所以， 所以 ， 所以. 3．已知数列满足，. (1)证明：数列为等差数列，并求通项； (2)求数列的前n项和. 【解析】（1）因为，所以， 又，即， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列， ，即. （2）由（1）， ， 则， 两式相减得， ， . 4．已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)已知，求数列的前项和． 【解析】（1）由，得， 令，则，解得； 当时，， 所以，所以， 所以当时，， 有， 又满足上式， 所以，得， 所以数列是等差数列. （2）由（1）知，所以， 所以， 故， 两式相减，得 ， 所以. 5．已知数列的前项和为，且分别满足：，. (1)求通项公式； (2)求数列的前项和. 【解析】（1）令得， 当时，由得： ，两式相减得： ， 整理得，即， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，得， 当时，， 时，上式也成立，所以， 所以，即. （2）记，其前项和为， 则， ， 两式相减得 所以 分组求和法 1．已知数列为正项数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【解析】（1）解法一（构造常数列）由，且， 可得， 故数列是恒为的常数列，所以， 又因为数列为正项数列，所以. 解法二（累加法）：由题意得：且， 有，，，， 将以上各式相加，得， 将代入上式即得，且当时也成立，所以， 又因为数列为正项数列，所以. （2）由（1）可得，令，其前项和为， 对任意的，，则， 又因为， 所以. 2．已知等差数列前项的和为，且， (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【解析】（1）因为，， 所以，解得， 所以. （2）由（1）可得 所以 . 3．等比数列的公比为2，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【解析】（1）已知等比数列的公比为2，且成等差数列， ，，解得， （2）， . 综上， 4．已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上． (1)求和的通项公式； (2)将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和． 【解析】（1）因为， 所以当时，， 所以， 所以，所以， 又，，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以， 因为点在函数的图象上， 所以，即，又， 所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以； （2）因为是所有的正偶数，又，所以， 所以 . 5．设数列满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式． 【解析】（1）由，，得， 由， 得， 所以， 故数列是以为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）得，则， 则；；， ． 由累加法可得， 又，则，同时满足上式， 所以． 裂项相消法 1．设数列的前项和为，且当时，． (1)求的通项公式； (2)若求数列的前项和． 【解析】（1）当时，，得①. 当时，，得， 得，符合①式， 所以数列是以1为公差，1为首项的等差数列， 故，所以. 当时，， 又符合上式， 所以. （2）由（1）得，当为奇数，， 当为偶数，， 所以 . 2．已知数列的前项和为，，且数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求证：. 【解析】（1）当时，. 因为时，，满足上式， 所以数列的通项公式为； （2）， 所以 . 因为，所以， 又数列是递增数列，所以， 所以. 3．知正项数列的前n项和为，满足（，），． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和的表达式． 【解析】（1）正项数列的前项和为，满足， 所以， 整理得：， 由于数列为正项数列， 所以（常数）， 所以是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以， 故， 所以当时，， 当时，符合上式， 所以． （2）由于， 所以， 所以． 4．已知为等差数列，其公差为，前项和为，为等比数列，其公比为，前项和为，若，，，． (1)求公差和； (2)记，证明：． 【解析】（1）因为为等差数列，其公差为，前项和为，则， 又因为，，则， 因为，即，可得，解得，故， 所以，，则，可得. 综上所述，. （2）由（1）可得， 所以，， 因此， . 5．已知数列前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前100项和. 【解析】（1）∵，∴时，， 两式相减得，即， ， 又，即， 所以，∴，也适用． ∴； （2）由（1）， ∴ ． 倒序相加法 1．已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【解析】（1）因为函数， 所以 （2）因数列是正项等比数列，且，则， 所以， 同理， 令， 又， 则有，故， 所以. 2．已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 【解析】（1）因为点均在函数的图象上， 所以， 当时，，即， 当时， ， 因为满足上式， 所以； （2）因为， 所以， 因为，所以， 所以 ①， 又 ②， ①+②，得， 所以. 3．已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 【解析】（1）由数列满足：， 当时，可得， 两式相减，可得，所以， 当，可得，所以，适合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由数列满足， 则. （3）由（2）知， 可得， 则， 两式相加可得，所以. 4．已知函数满足，数列满足：. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）函数满足，数列满足， 则， 所以，， 故. （2）由（1）可得， 则， 所以，， 上式下式可得， 所以，，则， 所以，， 由可得，则， 因为， 因为函数在上单调递增， 且，故当时，取最大值，故. 因此，实数的取值范围是. 5．已知函数． (1)求证：函数的图象关于点对称； (2)求的值． 【解析】（1）因为，所以， 所以，即函数的图象关于点对称. （2）由（1）知与首尾两端等距离的两项的和相等，使用倒序相加求和. 因为， 所以（倒序）， 又由（1）得， 所以，所以. 并项求和 1．已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式及数列的前项和； (2)设，求数列的前项和. 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由，则. 依题意，，即， 解得，，所以. 故. （2）由（1）得，， . 2．在①数列为等差数列，且；②，；③正项数列满足这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答. 问题：已知数列的前项和为，且__________. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，求. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【解析】（1）若选①，因为为等差数列，令，则，所以公差， 所以等差数列的通项公式为； 若选②，当时，，因此， 即，所以为常数列，因此，所以； 若选③，当时，，即. 又因为，所以. 当时，有，， 所以，即. 又因为，所以，所以是以2为公差的等差数列， 所以. （2）若选①，由（1）可知， ； 若选②，由（1）可知， ； 若选③，由（1）可知， . 3．已知数列的前项和满足：,． (1)求； (2)若，求的前项和． 【解析】（1）因为数列的前项和满足：， 则，则，可得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，可得， 令，可得，则，解得， 所以，，且， 所以，数列为等比数列，首项为，公比为， 所以，，故. （2）因为， 对任意的，， 问题转化为求数列的前项和，记数列的前项和为， ， 则， 上式下式得 ， 化简得， 因此，. 4．已知数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【解析】（1）当时，； 当时，. 也满足，故数列的通项公式为. （2）由（1）知，故，记数列的前项和为， 则. 记， 则， . 故数列的前项和. 5．已知数列是等差数列，且恒成立，它的前四项的平方和为54，且这四项中首尾两数的积比中间两数的积少2． (1)求的通项公式． (2)若，，求数列的前100项和． 【解析】（1）设的首项为，公差为d， 依题意，，解得或， 由恒成立，得， 又，而，解得， 所以的通项公式. （2）由（1）知，， 则， 所以. 数列奇偶项求和 1．设是等差数列，是各项都为正数的等比数列. 且 ， (1)求的通项公式； (2)记为的前项和，求证：； (3)若，求数列的前项和. 【解析】（1）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则，化简，得， 整理，得， 解得(舍去)，或，则， ，. （2）由 (1) 可知，， 则， ， . （3）由 (1) 可得， ， ， 令， 两式相减，可得 ， ， 令 , . 2．已知为数列的前项和，满足，．数列是等差数列，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)设求数列的前项和． 【解析】（1）因为，，① 所以有，．② ②①得． 所以数列成以为首项，以为公比的等比数列． 所以． 又数列是等差数列，且，． 所以，． 所以． （2）因为 设数列的前项和为， 所以 ． 3．已知各项均为正数的数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【解析】（1）由条件，知，，，， 累加，得， 所以，又，所以，又符合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由（1），知， 设，则， 两边同乘以2，得， 两式相减，得 ， 所以，即. 4．已知正项数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【解析】（1）根据题意可得，是正项数列，， 当时，，解得（舍去）， 当时，由得， 两式相减得， 即，由于， 所以， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以. （2）由（1）得 所以①当为偶数时, , ②当n为奇数时, 所以. 5．设是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且． (1)求，的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【解析】（1）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则，化简，得， 整理，解得（舍去），或， 则， ，，． （2）由（1）可得， ， ， 令， 则， ， 两式相减，可得 ， ， 令， 则 ， ． 1．在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列. (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，. ①求数列的通项公式； ②若，记的前项和为，证明：. 【解析】（1）因为，所以， 令，则， 所以，即为等差数列， 所以为二阶等差数列. （2）①因为为二阶等差数列，且，，，所以，，所以的公差为， 所以，即， 所以， ， ， …… ， 将以上个式子左、右分别相加，得， 所以， 又，满足上式， 所以. ②证明：由（1）得， 所以. 因为，所以为递增数列， 所以； 又， 所以 . 因为，所以， 又因为数列为递减数列，所以为递增数列，即 所以. 2．已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为； (3)若对任意恒成立．求实数的取值范围． 【解析】（1）由，则，又， 所以数列是首项、公差均为的等差数列，则， 所以. （2）由，则， 所以， 所以. （3）由（1）（2），则，整理得恒成立， 令，则， 当时，当时，当时， 所以，即的最小值为， 综上，. 3．设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. (1)求的和公比; (2)求; (3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）设等差数列的公差为，前项和为，则， 所以， 因为是“和等比数列”，所以，即，对任意恒成立， 所以，解得， 所以的和公比为4； （2）由（1）知，， 所以， 所以， 相减得， 所以； （3）设， ， ，是递增数列， 不等式对任意的恒成立，即不等式对任意的恒成立， 当为奇数时，，则， 当为偶数时，，则， 综上，的取值范围是． 4．已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【解析】（1）由，得， 所以， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 当时，， 当时，上式不成立， 所以； （2）由（1）得， 则， 即， ， 两式相减得， 所以. 5．数列的前项和为 (1)求数列的通项公式; (2)令，数列的前项和为，若对 恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1） ①， 当时，；当时，②， 由①-②得：，即， 又时也满足， 是以1为首项，3为公比的等比数列，. （2）由(1)知：， ， 则 ，又在时单调递增，. 对恒成立， ，即， ， 又，即. 6．已知数列是等差数列，设为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． 【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，，则由， 即，得 ， 解得 或，因为，故舍去， 所以，． （2）由（1）得，，所以， 令数列的前项和为，则， 即①， ②， 两式相减得： ， 所以. （3）设数列的前项和为 由，，得， 则，即； 故 . 1．若数列的前项和为，且，等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【解析】（1）因为①， 所以②，， ①②得，又 所以，故数列是以为公比，首项为的等比数列， ， ， 等差数列的公差为. （2）由（1）可得， ， 两式相减得， 2．设为数列的前项和，满足． (1)求证：； (2)记，求． 【解析】（1）因为数列的前项和，满足， 当时，可得， 两式相减得，即，所以； 当时，，解得； 所以数列构成首项为，公比为的等比数列，所以的图象公式为． （2）由（1）知，可得， 所以， 则 ． 3．已知等比数列是递减数列，的前n项和为，且，，成等差数列，.数列的前n项和为，满足，. (1)求和的通项公式； (2)若，求 【解析】（1）设数列的公比为，依题意，， 由是递减数列，解得，因此； 数列，，当时，， 而满足上式，因此， 所以的通项公式为， 的通项公式为. （2）当n是奇数时，，则，， 两式相减得：， 因此； 当n是偶数时，， 则， 所以. 4．设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若，且为“和等比数列”. (1)求的值，并求出的和公比； (2)若，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）因为， 所以数列所以为公差的等差数列， 则， ， 因为， 所以， 所以，解得， 所以； （2）由（1）得，则， 则， ， 两式相减得 ， 所以； （3）， 即， 即， 即， 即，即， 因为，所以， 所以. 5．已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若． (1)求数列和的通项公式； (2)证明：； (3)求使得成立的最大整数． 【解析】（1）因为， 所以当时，， 作差得， 两边同时除以得， 又，所以，得， 所以，故对， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，则． 设等比数列的公比为， 因为，所以由，或 又因以数列是递增数列，所以． （2）因为， 所以 ． （3）由（1）知，即，令，则， ， 所以当时，，当时，，当时，， 即有，， 又， 故当时，，所以，， 又， 所以，当时，，故使得成立的最大整数为6． 6．已知数列满足，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若数列的前项和为，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 【解析】（1）证明：因， 则， 则是以为首项，公比为3的等比数列； （2）由（1），， 则是以为首项，公差为1的等差数列，则； （3）由（2），， 则， 则. 证明：假设数列中存在不同的三项能构成等差数列， 设这三项项数为.其中， 则，. 设，则， 得， 注意到，， 则. 这与矛盾，则数列中不存在不同的三项能构成等差数列. 1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【解析】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【解析】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 3．（2024年天津高考数学真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）求证：当时，求证：； （ⅱ）求． 【解析】（1）设等比数列的公比为， 因为，即， 可得，整理得，解得或（舍去）， 所以. （2）（i）由（1）可知，且， 当时，则，即 可知， ， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以； （ii）由（1）可知：， 若，则； 若，则， 当时，，可知为等差数列， 可得， 所以， 且，符合上式，综上所述：. 4．根据等差数列求和分析可得. 5．设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【解析】（1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 6．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【解析】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时，若，则 ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 7．（2022年新高考天津数学高考真题）设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 【解析】（1）设公差为d，公比为，则， 由可得（舍去）， 所以； （2）证明：因为所以要证， 即证，即证， 即证， 而显然成立，所以； （3）因为 ， 所以 ， 设 所以， 则， 作差得 ， 所以， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$