专题09 圆锥曲线经典题型全攻略：玩转数学之美(12大题型）-【寒假分层作业】2025年高二数学寒假培优练（苏教版2019）

专题09 圆锥曲线经典题型全攻略：玩转数学之美 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（12大题型） 题型1：斜率和问题 题型2：斜率积问题 题型3：夹角问题 题型4：数量积问题 题型5：垂直问题 题型6：定点问题 题型7：定值问题 题型8：向量与共线问题 题型9：设点设线问题 题型10：四点共圆问题 题型11：极点极线问题 题型12：切线问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 1、过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点． 2、过椭圆的长轴上任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点． 3、过椭圆的短轴上任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点． 4、过椭圆内的任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点． 5、以为直角定点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点 6、以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在轴上． 7、以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在轴上． 8、以为直角定点的抛物线内接直角三角形的斜边必过定点， 9、以为直角定点的双曲线内接直角三角形的斜边必过定点 10、已知是椭圆上的定点，直线（不过点）与椭圆交于，两点，且，则直线斜率为定值． 11、已知是双曲线上的定点，直线（不过点）与双曲线交于，两点，且，直线斜率为定值． 12、已知是抛物线上的定点，直线（不过点）与抛物线交于，两点，若，则直线斜率为定值． 13、为椭圆上一定点，过点作斜率为，的两条直线分别与椭圆交于两点． （1）若，则直线过定点； （2）若，则直线过定点． 14、设是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过作两条直线，交椭圆于、、、，直线，的斜率分别为，，弦，的中点记为，． （1）若，则直线过定点； （2）若，则直线过定点． 15、过抛物线上任一点引两条弦，，直线，斜率存在，分别记为，即，则直线经过定点． 16、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下： （1）变量----选择适当的量为变量． （2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数． （3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值． 17、求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值． 18、求最值问题常用的两种方法 （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法． （2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值．求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法． 19、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视” （1）重视定义在解题中的作用（把定义作为解题的着眼点）． （2）重视曲线的几何特征特别是平面几何性质与方程的代数特征在解题中的作用． （3）重视根与系数的关系在解题中的作用（涉及弦长、中点要用根与系数的关系）． 20、求参数的取值范围 据已知条件及题目要求等量或不等量关系，再求参数的范围． 21、在面对有关等角、倍角、共线、垂直等几何特征时，可设法将条件翻译成关于斜率的关系式，然后将斜率公式代入其中，得出参数间的关系式，再根据要求做进一步的推导判断． 22、通过合理的方式，将所需要的坐标、斜率、角度、向量数量积等问题利用参数进行表达，进而构造函数，通过求函数值域解决．涉及向量的数量积，多与坐标有关，最终利用根与系数的关系进行解决． 23、求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 24、求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明． 24、证明共线的方法：（1）斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；（2）距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；（3）向量法：利用向量共线定理证明三点共线；（4）直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上；（5）点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线．（6）面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”． 26、证明四点共圆的方法： 方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则可肯定这四点共圆． 方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）． 方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为，并且任何一个外角都等于它的内对角）． 方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）． 27、（1）若点是圆上的点，则过点的切线方程为． （2）若点是圆外的点，由点向圆引两条切线，切点分别为A，B，则弦AB所在直线方程为． （3）若点是椭圆上的点，则过点的切线方程为． （4）若点是椭圆外的点，由点P向椭圆引两条切线，切点分别为A，B，则弦AB所在直线方程为． 斜率和问题 1．已知椭圆的离心率为，左焦点为是上任意一点，且的最大值为3． (1)求的方程； (2)设的右顶点为，直线的方程为，若直线交于两点，求证：直线的斜率之和为， 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过点作直线交椭圆于，两点，的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线的斜率为，点，直线与的斜率分别为，，求. 3．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，且焦距为. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)过点且斜率不为零的直线交椭圆于两点，设直线的斜率分别为，若，求的值. 4．已知点，，动点满足，点为线段的中点. (1)求点的轨迹的方程； (2)过点作直线与曲线交于两点，，设直线，的斜率分别为，，求的值. 斜率积问题 1．已知椭圆过点，离心率．、分别为椭圆的左、右顶点，、分别为左、右焦点，直线交椭圆于、两点不过点 (1)求圆的方程； (2)若为椭圆上（除外）任意一点，求证：直线和的斜率之积为定值 (3)若直线与直线的斜率分别是、，且，求证：直线过定点． 2．已知，，点满足，记点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)直线经过点，倾斜角为，与轨迹交于两点（C在之间），若，，求的值； (3)已知点，过点作直线与轨迹交于，两点，记直线的斜率分别为，，试问：是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 3．已知椭圆和抛物线．从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：，，，． (1)求椭圆和抛物线的方程； (2)设m为实数，已知点，直线与抛物线E交于A，B两点．记直线TA，TB的斜率分别为，，判断是否为定值，并说明理由． 4．在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)设为圆的动弦，且不经过点，记分别为弦的斜率. （i）若，求面积的最大值； （ii）若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 夹角问题 1．已知动圆与圆外切，与圆内切，记动圆圆心的运动轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若分别是的左、右顶点，是圆上一点，设和的夹角为，求的取值范围. 2．将上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），所得曲线为.记，过点的直线与交于不同的两点，直线，与分别交于点. (1)求的方程； (2)设直线，的倾斜角分别为，（，），求的值. 3．已知直线与抛物线交于，两点（的横坐标大于的横坐标）. (1)求，的坐标； (2)点，是抛物线上不同于，的两点，直线，的倾斜角互补，直线与直线相交于点，求. 4．已知椭圆的焦距为，为坐标原点，椭圆的上下顶点分别为，左右顶点分别为，依次连接的四个顶点构成的四边形的面积为． (1)求的方程； (2)过点的直线与椭圆交于（不同于）两点，问：是否存在实数使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 数量积问题 1．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心､椭圆的短半轴长为半径的与直线相切. (1)求椭圆的方程， (2)过定点斜率为的直线与椭圆交于两点，若.求实数的值及的面积. 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，设为上的一点． (1)当时，求的值； (2)若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数的取值范围． 3．已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中． (1)求椭圆方程． (2)过点的动直线与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得．若存在，求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由． 4．已知圆，圆心为，动点不在圆内，过的一条直线与圆切于点，点到直线的距离为，若是、的等差中项，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程． (2)点，是否存在过点的一条直线交曲线于、两点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 垂直问题 1．已知两点，，动点P在y轴上的射影是H，. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)设直线l：与曲线C相交于A，B两点，当m为何值时，以线段AB为直径的圆经过点. 2．已知点在运动过程中，总满足关系式. (1)求点的轨迹方程 (2)设点的轨迹为曲线，点在曲线上，直线交于两点，直线的斜率之和为0. （i）求的斜率； （ii）若，求的面积. 3．点在抛物线上，且到抛物线的焦点的距离为. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线交抛物线于，两点，且，求直线的方程. 4．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程，并求的值； (2)过焦点的直线与抛物线交于，两点，若点满足，求直线的方程. 定点问题 1．设为抛物线的焦点，为上三个不同的点，且，． (1)求的方程； (2)设过点的直线交于两点． ①若直线交圆于两点，其中位于第一象限，求的最小值； ②过点作的垂线，直线交于两点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点． 2．已知椭圆：，A点为椭圆短轴的上端点，P点为椭圆上异于A点的任一点，若P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知，椭圆的离心率 (1)求椭圆的标准方程； (2)试判断椭圆是否是“圆椭圆”?并证明你的结论； (3)Q点为P点关于原点O的对称点，Q点也异于A点，直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，试问以线段MN为直径的圆是否过定点?证明你的结论． 3．已知椭圆的左右焦点为，点为椭圆上异于左右顶点的任意一点，的周长为6，椭圆的离心率为. (1)求该椭圆的方程； (2)已知定点，过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点（与点不重合），延长分别与直线交于两点. （i）当直线斜率不存在时，求的面积； （ii）证明：以线段为直径的圆与轴的交点为定点. 4．有一个半径为8的圆形纸片，设纸片上一定点到纸片圆心的距离为，将纸片折叠，使圆周上某一点与点重合，每一次折叠，都留下一条折痕，当取遍圆上所有点时，所有折痕与的交点形成的轨迹记为曲线，以点，所在的直线为轴，线段的中点为原点，建立平面直角坐标系. (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线交于，两点. （i）当为何值时，为定值，并求出该定值； （ii）过，两点分别作曲线的切线，当两条切线斜率均存在时，若其交点在直线上，探究：此时直线是否过定点？若过，求出该定点；若不过，请说明理由. 定值问题 1．已知点是抛物线上的一点，点是上异于点的不同的两点． (1)求的标准方程； (2)若直线的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出此定值． 2．为圆：上任意一点，另有一点，线段的垂直平分线和半径相交于点． (1)当点在圆上运动时，求动点的轨迹方程； (2)直线与相交于，两点，若以为直径的圆过坐标原点，求证：点到直线的距离为定值． 3．已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，求证：； (3)若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 4．已知椭圆的焦距为4，点在上，直线与交于，两点. (1)求的方程. (2)若，求的最大值. (3)若点与重合，过作斜率与互为相反数的直线，与的另一个交点为，试问直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 向量与共线问题 1．已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，长轴长为，若为正三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点，斜率为的直线与椭圆相交，两点，求的长； (3)过点的直线与椭圆相交于，两点，，直线的方程． 2．已知圆，圆，若动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为. (1)求的方程； (2)过的直线与交于两点，且，求直线的方程. 3．已知椭圆的长轴长为，离心率为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值； (3)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若点和点三点共线，求的值. 4．已知椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，过点作一直线交椭圆于、两点，且坐标原点关于点的对称点记为. (1)求椭圆的方程； (2)求面积的最大值； (3)设点为点关于轴的对称点，求证：、、三点共线. 设点设线问题 1．（2024·河南省直辖县级单位·高二统考期末）设椭圆过点，右焦点为，设直线分别交轴、轴于C、D两点，且与椭圆交于M、N两点． (1)求椭圆C的方程； (2)若，求值，并求出弦长|MN|； (3)若线段MN的垂直平分线与轴相交于点，求实数的取值范围． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）已知平面内动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数． (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点的轨迹为曲线，过定点的直线和曲线交于不同两点、满足，求线段的长． 3．（2024·江苏连云港·高二校考期中）双曲线：，已知是双曲线上一点，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为. (1)求双曲线的离心率； (2)若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程. 四点共圆问题 1．已知双曲线的左、右焦点为，直线与双曲线相交于，且．双曲线上任意一点到的距离与到的距离的比为．    (1)求双曲线的标准方程； (2)斜率存在且不为0的直线与双曲线相切． ①若与相交于点，与相交于点证明：为定值； ②若与直线和分别相交于，证明：四点共圆． 2．如图，，分别为椭圆的左、右顶点，为第一象限上一点，且，过点的直线与有唯一的公共点. (1)求的方程； (2)过原点作直线的平行线与椭圆C交于M，N两点，证明：P，M，，N四点共圆，并求该圆的标准方程. 3．已知椭圆的离心率为，点分别为椭圆的右顶点和上顶点，且． (1)试求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与椭圆交于两点，点在第一象限，求证：四点共圆． 4．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为.    (1)求C的方程； (2)记C的左顶点为A，直线与x轴交于点B，过B的直线与C的右支于P，Q两点，直线AP，AQ分别交直线l于点M，N，证明O，A，M，N四点共圆. 极点极线问题 1．设椭圆过点，右焦点为，设直线分别交轴、轴于C、D两点，且与椭圆交于M、N两点． (1)求椭圆C的方程； (2)若，求值，并求出弦长|MN|； (3)若线段MN的垂直平分线与轴相交于点，求实数的取值范围． 2．已知平面内动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数． (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点的轨迹为曲线，过定点的直线和曲线交于不同两点、满足，求线段的长． 3．双曲线：，已知是双曲线上一点，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为. (1)求双曲线的离心率； (2)若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程. 切线问题 1．直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族（不包括直线轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. (1)圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式； (2)若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围及直线族的包络曲线的方程； (3)在（2）的条件下，过直线上的动点作曲线的两条切线，切点分别为，求原点到直线的距离的最大值. 2．已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为. (1)求轨迹的方程. (2)已知直线与轨迹交于A，B两点，以A，B为切点作两条切线，分别为，，且，相交于点.若，求. 3．已知第一象限的点在双曲线上，过作圆的两条切线，切点分别为，，直线过点，过作斜率为的直线，与交于点，. (1)求点的坐标； (2)若，求的值. 4．如图，圆的半径为是圆内一个定点，且，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，以线段的中点为原点，的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)过上的一点作的切线交圆于不同的两点. （i）探求点到点的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由； （ii）求面积的最大值. 1．已知动点在曲线上运动，为坐标原点，为线段中点，记的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程. (2)已知及曲线上的两点和，直线和直线的斜率分别为和，且，求证：直线过定点. 2．椭圆的左、右焦点分别为，过作直线交E于两点．过作垂直于直线的直线交E于两点．直线与相交于点P． (1)若直线的斜率为1，求直线的方程． (2)求点P的轨迹方程． (3)求四边形面积的取值范围． 3．已知椭圆的方程为，其右顶点，离心率． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于不同的两点，（，不与左、右顶点重合），且．求证：直线过定点，并求出定点的坐标． 4．已知抛物线：的准线为，点在上，且点到直线的距离与其到轴的距离都等于2． (1)求的方程； (2)设为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，若的面积为3，求直线的斜率． 5．已知抛物线的焦点为上的动点到点的距离与到其准线的距离之和的最小值为2. (1)求抛物线的方程； (2)已知点是抛物线上不同的三点. （i）若直线过点，且交准线于点，求的值； （ii）若直线的斜率分别为，且，求直线的斜率的取值范围. 6．“对号函数”的图象也可以看成是以与为渐近线的双曲线.设函数，若将其图象看成双曲线. (1)求双曲线的焦点坐标； (2)将双曲线绕着坐标原点O顺时针旋转，使焦点落到x轴上，得到双曲线，设双曲线的右焦点为F，过F的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，当时，求直线l的方程. 1．已知椭圆的离心率为，点在C上，直线l与C交于不同于A的两点M，N. (1)求C的方程； (2)若，求面积的最大值； (3)记直线AM，AN的斜率分别为，，若，证明：以MN为直径的圆过定点，并求出定点坐标. 2．已知焦点为的抛物线上存在不同的两点，（异于原点）． (1)若且，求直线的方程； (2)若，求线段的最小值； (3)若点A，，三点共线，求的取值范围． 3．已知椭圆，定义椭圆上的点的“伴随点”为. (1)求椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程; (2)如果椭圆上的点的“伴随点”为，对于椭圆上的任意点及它的“伴随点”，求的取值范围; (3)当时，直线交椭圆于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点，求的面积. 4．已知椭圆焦距为2，离心率e是 (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作两条互相垂直的弦，其中在轴的上方，且在的右侧，设弦的中点分别为. ①若弦的斜率均存在，求四边形面积的最小值； ②判断直线是否过定点，若过定点，则求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由. 1．已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 2．已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 3．已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 4．已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 5．已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． (1)求的方程； (2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 圆锥曲线经典题型全攻略：玩转数学之美 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（12大题型） 题型1：斜率和问题 题型2：斜率积问题 题型3：夹角问题 题型4：数量积问题 题型5：垂直问题 题型6：定点问题 题型7：定值问题 题型8：向量与共线问题 题型9：设点设线问题 题型10：四点共圆问题 题型11：极点极线问题 题型12：切线问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 1、过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点． 2、过椭圆的长轴上任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点． 3、过椭圆的短轴上任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点． 4、过椭圆内的任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点． 5、以为直角定点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点 6、以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在轴上． 7、以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在轴上． 8、以为直角定点的抛物线内接直角三角形的斜边必过定点， 9、以为直角定点的双曲线内接直角三角形的斜边必过定点 10、已知是椭圆上的定点，直线（不过点）与椭圆交于，两点，且，则直线斜率为定值． 11、已知是双曲线上的定点，直线（不过点）与双曲线交于，两点，且，直线斜率为定值． 12、已知是抛物线上的定点，直线（不过点）与抛物线交于，两点，若，则直线斜率为定值． 13、为椭圆上一定点，过点作斜率为，的两条直线分别与椭圆交于两点． （1）若，则直线过定点； （2）若，则直线过定点． 14、设是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过作两条直线，交椭圆于、、、，直线，的斜率分别为，，弦，的中点记为，． （1）若，则直线过定点； （2）若，则直线过定点． 15、过抛物线上任一点引两条弦，，直线，斜率存在，分别记为，即，则直线经过定点． 16、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下： （1）变量----选择适当的量为变量． （2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数． （3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值． 17、求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值． 18、求最值问题常用的两种方法 （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法． （2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值．求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法． 19、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视” （1）重视定义在解题中的作用（把定义作为解题的着眼点）． （2）重视曲线的几何特征特别是平面几何性质与方程的代数特征在解题中的作用． （3）重视根与系数的关系在解题中的作用（涉及弦长、中点要用根与系数的关系）． 20、求参数的取值范围 据已知条件及题目要求等量或不等量关系，再求参数的范围． 21、在面对有关等角、倍角、共线、垂直等几何特征时，可设法将条件翻译成关于斜率的关系式，然后将斜率公式代入其中，得出参数间的关系式，再根据要求做进一步的推导判断． 22、通过合理的方式，将所需要的坐标、斜率、角度、向量数量积等问题利用参数进行表达，进而构造函数，通过求函数值域解决．涉及向量的数量积，多与坐标有关，最终利用根与系数的关系进行解决． 23、求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 24、求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明． 24、证明共线的方法：（1）斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；（2）距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；（3）向量法：利用向量共线定理证明三点共线；（4）直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上；（5）点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线．（6）面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”． 26、证明四点共圆的方法： 方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则可肯定这四点共圆． 方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）． 方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为，并且任何一个外角都等于它的内对角）． 方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）． 27、（1）若点是圆上的点，则过点的切线方程为． （2）若点是圆外的点，由点向圆引两条切线，切点分别为A，B，则弦AB所在直线方程为． （3）若点是椭圆上的点，则过点的切线方程为． （4）若点是椭圆外的点，由点P向椭圆引两条切线，切点分别为A，B，则弦AB所在直线方程为． 斜率和问题 1．已知椭圆的离心率为，左焦点为是上任意一点，且的最大值为3． (1)求的方程； (2)设的右顶点为，直线的方程为，若直线交于两点，求证：直线的斜率之和为， 【解析】（1）由题意．解得，则， 所以椭圆方程为； （2）设，又， 由得， 则，， 所以 . 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过点作直线交椭圆于，两点，的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线的斜率为，点，直线与的斜率分别为，，求. 【解析】（1）设椭圆的半焦距为， 因为的周长为， 所以，， 解得，，， 故椭圆的方程为. （2）由题意，，直线， 联立，得， 设，则， 所以 . 3．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，且焦距为. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)过点且斜率不为零的直线交椭圆于两点，设直线的斜率分别为，若，求的值. 【解析】（1）由题可知，， 所以椭圆的方程为，离心率为. （2）由（1）可知， 设直线， 联立，整理得， 显然，得， 易知， 所以 . 因为，得， 所以. 4．已知点，，动点满足，点为线段的中点. (1)求点的轨迹的方程； (2)过点作直线与曲线交于两点，，设直线，的斜率分别为，，求的值. 【解析】（1）设，因为， 所以， 等号两边分别平方，得， 化简得， 所以点的轨迹方程为. 设， 因为点为线段的中点， 所以点的坐标为. 将点的坐标代入， 化简得， 所以点的轨迹的方程为. （2）由题知直线的斜率存在， 设直线的方程为，即， 点，. 由方程组，消去， 化简得. 由，解得. 由一元二次方程根与系数的关系得，， 则 ， 即. 斜率积问题 1．已知椭圆过点，离心率．、分别为椭圆的左、右顶点，、分别为左、右焦点，直线交椭圆于、两点不过点 (1)求圆的方程； (2)若为椭圆上（除外）任意一点，求证：直线和的斜率之积为定值 (3)若直线与直线的斜率分别是、，且，求证：直线过定点． 【解析】（1）由题意知，，， 椭圆的方程可写为，又椭圆过点 故，得， 则椭圆C的方程为. （2）在椭圆中，左、右顶点分别为，， 设点，则，故 ，为定值． （3）设，，易知直线的斜率不为， 设其方程为， 联立，可得， 由，得． 由韦达定理，得，， ，， 可化为， 整理即得， ，由， 进一步得，化简可得，解得， 直线的方程为，恒过定点. 2．已知，，点满足，记点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)直线经过点，倾斜角为，与轨迹交于两点（C在之间），若，，求的值； (3)已知点，过点作直线与轨迹交于，两点，记直线的斜率分别为，，试问：是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【解析】（1）因为，所以点的轨迹为以为焦点的双曲线， 设此双曲线方程为， 易知，又由解得， 即轨迹的方程为：； （2）因为直线经过点，倾斜角为， 所以直线的方程为，联立， 解得或，故得点和点， 则，， 由得，解得， （3）如图， 法一：由题意得直线不可能与轴重合， 设为：，，， 联立得到， 而， 由韦达定理得， ， 故是为定值，且该定值为， 法二：①当直线的斜率不存在时，直线方程为， 可得，，此时， ②当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，得到 而， 由韦达定理得， 所以 故是为定值，且该定值为， 综上所述，为定值. 3．已知椭圆和抛物线．从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：，，，． (1)求椭圆和抛物线的方程； (2)设m为实数，已知点，直线与抛物线E交于A，B两点．记直线TA，TB的斜率分别为，，判断是否为定值，并说明理由． 【解析】（1）将四个点代入抛物线方程解得，，，，∴，在抛物线上， 故抛物线方程为 故，为椭圆上的点 ∴解得 ∴椭圆C方程 （2）设，， 则∴∴ 为定值． 4．在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)设为圆的动弦，且不经过点，记分别为弦的斜率. （i）若，求面积的最大值； （ii）若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【解析】（1）设圆的标准方程为， 由已知可得： 解得：， 所以圆的标准方程为 （2）（2）（i）因为，所以， 从而直线经过圆心，是直角三角形，且， 设，则， 又，所以，当且仅当时取等号， 所以. （ii）由已知得：直线的斜率必存在， 设直线的方程为， 由，消去得：， ，（※） 又， 即， 代入（※）得：， 即， 解得：，或， 当时，此时直线的方程为，过定点（舍去），. 当时，此时直线的方程为，过定点， 故当，动弦过定点. 夹角问题 1．已知动圆与圆外切，与圆内切，记动圆圆心的运动轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若分别是的左、右顶点，是圆上一点，设和的夹角为，求的取值范围. 【解析】（1）圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 设动圆M的半径为，则依题意有：， ， 点M的轨迹是以为焦点的椭圆， 其中 ， . （2）圆的半径，在中，为的中点， 和互补， 即， 即，整理得, 在中,， 设，则， 满足， ， 同理可得， 所以， ，所以，所以 所以， 因为 所以，因为，所以解不等式得. 2．将上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），所得曲线为.记，过点的直线与交于不同的两点，直线，与分别交于点. (1)求的方程； (2)设直线，的倾斜角分别为，（，），求的值. 【解析】（1）设所求轨迹上的任意点为，与对应的点为， 根据题意，可得，即 代入方程，可得，整理得， 所以曲线的轨迹方程为. （2）设，，，， 由题知，所以直线的斜率不可能为0， 设直线的方程为 联立方程组，整理得， ， 由韦达定理得，，， 又因为，点在椭圆上， 所以， ， ，同理可得， 又因为三点共线，可得， 即， 所以， 所以. 3．已知直线与抛物线交于，两点（的横坐标大于的横坐标）. (1)求，的坐标； (2)点，是抛物线上不同于，的两点，直线，的倾斜角互补，直线与直线相交于点，求. 【解析】（1）联立方程解得或 由的横坐标大于的横坐标，得，. （2） 设，. ①当直线，的斜率不存在时，，， 此时为直线的倾斜角的2倍，由，得直线的斜率为， 所以. ②当直线，的斜率存在时，直线的斜率为， 直线的斜率为， 由直线，的倾斜角互补，得，解得， 则直线的斜率为. 又直线的斜率为，此时为直线的倾斜角的2倍或其补角， 则， 综上，. 4．已知椭圆的焦距为，为坐标原点，椭圆的上下顶点分别为，左右顶点分别为，依次连接的四个顶点构成的四边形的面积为． (1)求的方程； (2)过点的直线与椭圆交于（不同于）两点，问：是否存在实数使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）依题意，，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）知， 显然直线不垂直于y轴，设其方程为，， 由消去x并整理得，则，， 因为直线的斜率，直线的斜率，而， 因此， 即直线和的斜率之比为定值，于是，， 所以存在，使得. 数量积问题 1．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心､椭圆的短半轴长为半径的与直线相切. (1)求椭圆的方程， (2)过定点斜率为的直线与椭圆交于两点，若.求实数的值及的面积. 【解析】（1）由题意知离心率，所以，即. 以原点为圆心､椭圆的短半轴长为半径的与直线相切，有， 所以，则， 故椭圆的方程为. （2）设直线的方程为 由，消去得，显然， ∴ ， 则 ， 所以， ，解得，则直线为. ∴， 所以 ， 点到直线的距离， 所以的面积 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，设为上的一点． (1)当时，求的值； (2)若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数的取值范围． 【解析】（1）由椭圆方程知：，，，则， 设，，解得：，即， 由椭圆定义知：. （2）由（1）知：， ，； 若存在点，使的面积为， 则点到直线的距离， ，直线方程为：，即， 设平行于直线且到直线的距离为的直线方程为， ，解得：或； 当时，直线方程为， 由得：，解得：或， 或，点或； 当时，直线方程为， 由得：，方程无解， 即直线与椭圆无交点，此时不存在满足题意的点； 综上所述：存在满足条件的点，点坐标为或. （3）由题意可设直线，，， 由得：， ，即，，， 设线段中点为，则，， ，又为中点，， ，，即，， 直线与轴和轴均不平行，，， ，整理可得：， ，，解得：， 即实数的取值范围为. 3．已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中． (1)求椭圆方程． (2)过点的动直线与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得．若存在，求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由． 【解析】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， 所以，故， 故，所以，，故椭圆方程为：. （2）若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设， 由，可得， 故且 而， 故 ， 因为恒成立，故，解得. 若过点的动直线的斜率不存在，则或， 此时需，两者结合可得. 综上，存在，使得恒成立. 4．已知圆，圆心为，动点不在圆内，过的一条直线与圆切于点，点到直线的距离为，若是、的等差中项，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程． (2)点，是否存在过点的一条直线交曲线于、两点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）圆的圆心，半径． 设，因为过的一条直线与圆切于点，则，所以． 因为是、的等差中项，所以， 所以，整理得曲线的方程为． （2）存在． 由，得． 设、． 当直线不与轴重合时，设直线的方程为． 联立得方程组，消去并整理，得， ， 由韦达定理可得，． 又，， 所以 ， 所以，此时直线的方程为； 当直线的斜率为时，直线的方程为， 则、，，，此时成立． 综上所述，直线的方程为或． 垂直问题 1．已知两点，，动点P在y轴上的射影是H，. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)设直线l：与曲线C相交于A，B两点，当m为何值时，以线段AB为直径的圆经过点. 【解析】（1）设动点，则， 所以，，， 因为，所以，即轨迹C的方程为. （2） 联立方程，消去y并整理得， 所以，且，所以且， 设，，则，. 若以AB为直径的圆过点，则，所以， 即， 所以， 所以， 化简，得，解得，满足， 所以. 2．已知点在运动过程中，总满足关系式. (1)求点的轨迹方程 (2)设点的轨迹为曲线，点在曲线上，直线交于两点，直线的斜率之和为0. （i）求的斜率； （ii）若，求的面积. 【解析】（1）由的几何意义可得点到点的距离之和为8，大于两点的距离， 所以点的轨迹是以为焦点，的椭圆， 由， 所以点的轨迹方程为， （2） （i）由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为，， 联立，消去得， ， ， ，且， 即，即， 代入韦达定理， 整理化简可得，解得或， 当时，直线，恒过定点，与题意不符，舍去， 所以； （ii）， 因为，所以， 即， 化简可得， 代入可得， 代入韦达定理可得， 整理可得，解得或， 所以直线方程为或， 当直线方程为时，由弦长公式可得， 点到直线的距离为， 此时； 当直线方程为时，点在直线上，无三角形，所以不符合题意， 所以的面积为. 3．点在抛物线上，且到抛物线的焦点的距离为. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线交抛物线于，两点，且，求直线的方程. 【解析】（1）根据焦半径公式可得，所以， 又，所以， 解得或（舍去）， 故所求抛物线方程为. （2）法1：，，设，，， ，所以， ， ，（舍去）， 所以即. 法2：设，，， ，所以， ， ， ，所以过定点， 又因为过，所以； 法3：，，设，，， ， . ， ， 所以. 法4：设，，不妨设， ， ， ，同理， ， ， ， 又因为过，所以. 法5：设，，， ， ， ， ， . 又因为过，所以， 解得，，所以. 4．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程，并求的值； (2)过焦点的直线与抛物线交于，两点，若点满足，求直线的方程. 【解析】（1）抛物线：的准线方程为， 因为点在抛物线上，且， 所以，解得， 所以抛物线方程为， 又因为点在抛物线上，所以，即. （2）由（1）可知抛物线的焦点， 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，，， 由，消去整理得， 所以，则，， 所以， ， 又，所以，， 因为，所以， 即， 即，解得， 所以直线的方程为，即. 定点问题 1．设为抛物线的焦点，为上三个不同的点，且，． (1)求的方程； (2)设过点的直线交于两点． ①若直线交圆于两点，其中位于第一象限，求的最小值； ②过点作的垂线，直线交于两点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点． 【解析】（1）由抛物线，则，准线方程为， 由为上三个不同的点，设， 则， 由，则， 由， 且，则， 所以，解得，故椭圆的方程为. （2）①由题意作图如下： 由，整理可得，则圆心为，半径， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入抛物线，解得，则， 将代入圆，解得，则， 所以，此时； 当直线的斜率存在时，由题意可得，直线的方程可设为，设 联立可得，消去整理可得， ，， 易知，， 所以， 由，则，当且仅当，即时，等号成立， 综上所述，的最小值为. ②证明：由题意可作图如下： 由题意可知直线的斜率存在且不为零，可设该直线方程为， 由①可得，设，则， 由直线垂直直线，且垂足为，则该直线方程为， 联立，消去整理可得， ， 设，则， 设，且线段的中点分别为， 则，， ，， 当时，直线斜率存在，直线的斜率， 可得方程为，则， 整理可得， 令，解得，所以直线过定点. 当时，直线斜率不存在，易知， 直线的方程为，此时直线过； 综上所述，所以直线过定点. 2．已知椭圆：，A点为椭圆短轴的上端点，P点为椭圆上异于A点的任一点，若P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知，椭圆的离心率 (1)求椭圆的标准方程； (2)试判断椭圆是否是“圆椭圆”?并证明你的结论； (3)Q点为P点关于原点O的对称点，Q点也异于A点，直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，试问以线段MN为直径的圆是否过定点?证明你的结论． 【解析】（1）由，椭圆的离心率，得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，，设，则， 于是， 而，因此当且仅当时，，此时点， 即点P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到， 所以椭圆是“圆椭圆”. （3）由（2）知，，设，则，， 直线，则， 若以线段为直径的圆过定点，由对称性知点在轴上， 设，则，而， 于是，即，解得， 所以以线段为直径的圆过定点. 3．已知椭圆的左右焦点为，点为椭圆上异于左右顶点的任意一点，的周长为6，椭圆的离心率为. (1)求该椭圆的方程； (2)已知定点，过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点（与点不重合），延长分别与直线交于两点. （i）当直线斜率不存在时，求的面积； （ii）证明：以线段为直径的圆与轴的交点为定点. 【解析】（1）设椭圆的半焦距为，则，解得， ，， 所以椭圆的方程为. （2）（i）由题，，当的斜率不存在时，可得， 则，，， 直线，令，解得，即， ， 所以的面积为. （ii）根据题意，设，，，以线段为直径的圆与轴的交点为， 联立，消去整理得， ，则，， 所以直线的方程为：，令，求得， ，同理，可得， ，， 由，即， 又 ， ，解得或， 所以以线段为直径的圆与轴的交点为定点和. 4．有一个半径为8的圆形纸片，设纸片上一定点到纸片圆心的距离为，将纸片折叠，使圆周上某一点与点重合，每一次折叠，都留下一条折痕，当取遍圆上所有点时，所有折痕与的交点形成的轨迹记为曲线，以点，所在的直线为轴，线段的中点为原点，建立平面直角坐标系. (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线交于，两点. （i）当为何值时，为定值，并求出该定值； （ii）过，两点分别作曲线的切线，当两条切线斜率均存在时，若其交点在直线上，探究：此时直线是否过定点？若过，求出该定点；若不过，请说明理由. 【解析】（1）由题意可知，， 所以点的轨迹是以点，为焦点，长轴长为8的椭圆， 题目中给出条件焦点在轴上，可得椭圆方程为. （2）设，， （i）由消元得，， 由，得， 则，， ， 为定值，即与无关，令，得， 此时恒成立，且满足，， 即当，且时，为定值，且定值为20. （ii）如图： 设在点处的切线方程为， 由消去， 整理得， 由， 化简得，因为， 所以， 故在点处的切线方程为，整理可得，① 同理可得，在点处的切线方程为，② 设，将其代入①②，得，， 所以直线的方程为，即， 令，得，故直线过定点，且定点坐标为. 定值问题 1．已知点是抛物线上的一点，点是上异于点的不同的两点． (1)求的标准方程； (2)若直线的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出此定值． 【解析】（1）由题设，故； （2）令，，，且， 联立与，则， 所以，即，故， 所以，同理可得， 故为定值，得证. 2．为圆：上任意一点，另有一点，线段的垂直平分线和半径相交于点． (1)当点在圆上运动时，求动点的轨迹方程； (2)直线与相交于，两点，若以为直径的圆过坐标原点，求证：点到直线的距离为定值． 【解析】（1）由为垂直平分线上的点，可得，因为， 所以，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，所以，，故， 所以动点的轨迹方程为． （2）设，， ①当直线斜率不存在时，由椭圆的对称性可知，，， 因为以为直径的圆经过坐标原点，故，即， 也就是，又点在椭圆上，所以，所以， 此时点到直线距离； ②当直线斜率存在时，设：， 由消去，可得， 则，即， 所以，， 因为以为直径的圆过坐标原点，所以，于是， 又因为，所以， 将，代入，整理得． 所以点到直线的距离为． 综上可知，点到直线的距离为定值． 3．已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，求证：； (3)若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【解析】（1）因为双曲线的渐近线方程为， 所以设双曲线方程为，又双曲线过点， 则， 所以双曲线的方程为，即. （2）由(1)可知，的斜率存在且不为0，所以设的方程为， 联立，消去得， 设，由题意得， 所以，且， 所以 ， 所以，即得证. （3）由(2)可知恒成立，， 所以圆心到的距离， 半径， 设所对圆心角为， 则， 因为为劣弧，所以， 所以，所以，即所对圆心角的大小为定值. 4．已知椭圆的焦距为4，点在上，直线与交于，两点. (1)求的方程. (2)若，求的最大值. (3)若点与重合，过作斜率与互为相反数的直线，与的另一个交点为，试问直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【解析】（1）依题意可得解得 故的方程为. （2）依题意可得直线的方程为，设，， 联立可得， 则，，，， 由弦长公式可得， 当时，取得最大值，且最大值为. （3）根据题意可得直线的方程为，设， 由得， 则，得，， 设直线的方程为，. 由得， 则，得，， 直线的斜率为， 故直线的斜率是定值，且定值为. 向量与共线问题 1．已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，长轴长为，若为正三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点，斜率为的直线与椭圆相交，两点，求的长； (3)过点的直线与椭圆相交于，两点，，直线的方程． 【解析】（1）依题意可得，解得，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，，故该直线为， 由，消去可得， 故，所以. （3）显然的斜率存在（否则轴，根据对称性，，与题设矛盾）， 设，，直线为， 由，消去得，显然， 由韦达定理可得：①，， 又，则，故②， 由①②得，，故， 即，化简可得，解得. 故直线为. 2．已知圆，圆，若动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为. (1)求的方程； (2)过的直线与交于两点，且，求直线的方程. 【解析】（1）设动圆的半径为，由题意 又，故的轨迹为椭圆. 故的轨迹方程为 （2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设为 联立，得 设，则 由，得， 所以，消去得， 解得，所以直线的方程为. 3．已知椭圆的长轴长为，离心率为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值； (3)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若点和点三点共线，求的值. 【解析】（1）椭圆的长轴长为，离心率为， 则，则，则， 则椭圆的方程为. （2）设椭圆上点关于直线的对称点， 则， 解之得，则， 由在椭圆上，可得， 整理得，解之得或， 当时与点重合，舍去， 则. （3）设，则， 又，则，直线的方程为， 由，整理得， 则，则， 又，则， 则，则， 令则，直线的方程为， 由，整理得， 则，则， 又，则， 则，则， 则， ， 由点和点三点共线，可得， 则， 整理得，则. 4．已知椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，过点作一直线交椭圆于、两点，且坐标原点关于点的对称点记为. (1)求椭圆的方程； (2)求面积的最大值； (3)设点为点关于轴的对称点，求证：、、三点共线. 【解析】（1）根据题意可得，解得，，所以椭圆的方程为. （2）由题可得原点关于点的对称点的坐标为， 显然直线斜率不为零，故设过点的直线的方程为，，， 所以，得， 其中，，， 则， 所以， 令，，则， 所以，当且仅当，即，时取等号， 则直线的方程为时，面积的最大值为. （3）证明：设，则，， 由 ， 所以，与共线，即，，三点共线. 设点设线问题 1．（2024·河南省直辖县级单位·高二统考期末）设椭圆过点，右焦点为，设直线分别交轴、轴于C、D两点，且与椭圆交于M、N两点． (1)求椭圆C的方程； (2)若，求值，并求出弦长|MN|； (3)若线段MN的垂直平分线与轴相交于点，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意可得：，①因为在椭圆上， 所以，②又因为③．由①②③解得，． 所以椭圆的方程为． （2）直线与轴交点，轴交点， 设，，联立，消去得， 所以④，， 因为，，由得，⑤， 由④⑤得，解得，又因为，所以． 所以，． 所以． （3）线段MN的垂直平分线斜率为，中点坐标为， ． 所以线段MN的中点坐标为， 则中垂线的方程为． 令，所以． 因为当且仅当时取等号成立， 则，又因为，所以， 所以实数的取值范围为． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）已知平面内动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数． (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点的轨迹为曲线，过定点的直线和曲线交于不同两点、满足，求线段的长． 【解析】（1）因为面内动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数， 则，整理可得， 因此，点的轨迹方程为. （2）若直线与轴重合，则、为椭圆长轴的顶点， 若点、，则，，此时，不合乎题意， 若点、，同理可得，不合乎题意， 所以，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、， 联立可得，， 因为，即，所以，，即， 由韦达定理可得，所以，， ，解得， 因此， . 3．（2024·江苏连云港·高二校考期中）双曲线：，已知是双曲线上一点，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为. (1)求双曲线的离心率； (2)若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程. 【解析】（1）因为是双曲线E上一点， 可得，即为， 由题意可得，， 可得，即有. （2）由题意可得，，则双曲线的方程为， 易知直线斜率存在，设直线的方程为， 联立直线与双曲线的方程，可得， 设，则，，① 又，可得，② 由①②可得， ， 代入①可得，解得， 则直线l的方程为. 四点共圆问题 1．已知双曲线的左、右焦点为，直线与双曲线相交于，且．双曲线上任意一点到的距离与到的距离的比为．    (1)求双曲线的标准方程； (2)斜率存在且不为0的直线与双曲线相切． ①若与相交于点，与相交于点证明：为定值； ②若与直线和分别相交于，证明：四点共圆． 【解析】（1）由题意可知在双曲线上，所以， 设，因为，所以， 又，解得，即. （2）设，代入双曲线可得， 所以； ①由可得，所以；由可得，所以， 故， ， 所以，所以为定值； ②同理可求，且， 所以，， 因为，所以， 因为，所以， 故四点在以为直径的圆上. 2．如图，，分别为椭圆的左、右顶点，为第一象限上一点，且，过点的直线与有唯一的公共点. (1)求的方程； (2)过原点作直线的平行线与椭圆C交于M，N两点，证明：P，M，，N四点共圆，并求该圆的标准方程. 【解析】（1）法一：，由，得，解得， 代入椭圆方程得，所以，设直线， 联立椭圆方程，得， 即. 由， 整理得，解得， 因此直线的方程为：. 法二：，则，， 令，则， 故直线的方程为：， （2）依题意，直线MN的方程为，联立椭圆可得， 即，即，，，. 设圆的方程为，代入，P，M，可得： ，解得， 此时圆方程为， 将点代入上述方程，得， 所以点也在此圆上，故P，M，，N四点共圆， 其标准方程为. 3．已知椭圆的离心率为，点分别为椭圆的右顶点和上顶点，且． (1)试求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与椭圆交于两点，点在第一象限，求证：四点共圆． 【解析】（1）依题意知，，即，又，解得， ∴椭圆的方程为． （2）设直线的方程为，根据点在第一象限可知， 因为，，故方程为：， 整理得方程为， 过四点的曲线系方程为： ， 即， 取， 则方程可以转化为①． 此时， ， 而， 故恒成立， 故， 则①为圆的方程，故对， 总四点共圆． 4．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为.    (1)求C的方程； (2)记C的左顶点为A，直线与x轴交于点B，过B的直线与C的右支于P，Q两点，直线AP，AQ分别交直线l于点M，N，证明O，A，M，N四点共圆. 【解析】（1）由题意可得，解得，， 所以C的方程为. （2）如图： 设直线PQ的方程为，，， 代入C的方程整理可得：， ，且，故且. ，， 因为P，Q在C的右支上，，，综上， C的左顶点为，故直线AP与AQ的方程分别为： ，，可得，. 要证O，A，M，N四点共圆只需证， 即证，即证与互余 即只需证， 因为， 所以O，A，M，N四点共圆. 极点极线问题 1．设椭圆过点，右焦点为，设直线分别交轴、轴于C、D两点，且与椭圆交于M、N两点． (1)求椭圆C的方程； (2)若，求值，并求出弦长|MN|； (3)若线段MN的垂直平分线与轴相交于点，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意可得：，①因为在椭圆上， 所以，②又因为③．由①②③解得，． 所以椭圆的方程为． （2）直线与轴交点，轴交点， 设，，联立，消去得， 所以④，， 因为，，由得，⑤， 由④⑤得，解得，又因为，所以． 所以，． 所以． （3）线段MN的垂直平分线斜率为，中点坐标为， ． 所以线段MN的中点坐标为， 则中垂线的方程为． 令，所以． 因为当且仅当时取等号成立， 则，又因为，所以， 所以实数的取值范围为． 2．已知平面内动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数． (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点的轨迹为曲线，过定点的直线和曲线交于不同两点、满足，求线段的长． 【解析】（1）因为面内动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数， 则，整理可得， 因此，点的轨迹方程为. （2）若直线与轴重合，则、为椭圆长轴的顶点， 若点、，则，，此时，不合乎题意， 若点、，同理可得，不合乎题意， 所以，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、， 联立可得，， 因为，即，所以，，即， 由韦达定理可得，所以，， ，解得， 因此， . 3．双曲线：，已知是双曲线上一点，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为. (1)求双曲线的离心率； (2)若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程. 【解析】（1）因为是双曲线E上一点， 可得，即为， 由题意可得，， 可得，即有. （2）由题意可得，，则双曲线的方程为， 易知直线斜率存在，设直线的方程为， 联立直线与双曲线的方程，可得， 设，则，，① 又，可得，② 由①②可得， ， 代入①可得，解得， 则直线l的方程为. 切线问题 1．直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族（不包括直线轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. (1)圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式； (2)若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围及直线族的包络曲线的方程； (3)在（2）的条件下，过直线上的动点作曲线的两条切线，切点分别为，求原点到直线的距离的最大值. 【解析】（1）由题可得，直线族为圆M的切线， 故满足， 所以满足． （2）将点代入，可得关于的方程， 因为点不在直线族上， 故方程无实数解， 所以，那么，故， 因为区域的边界为抛物线， 下证：是的包络曲线． 证明：联立直线与，可得， 所以， 故直线族：为抛物线的切线. 因此直线族的包络曲线的方程为. （3）由（2）得曲线的方程为， 设在直线上， 则，即. 设， 易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 与联立，可得， 即. 因为直线与相切， 所以，即. 因为，所以，，解得. 所以直线的方程为，化简得， 同理可得直线的方程为. 因为点在切线上，所以， 所以直线的方程为，即. 将代入， 得，化简得. 则原点到直线的距离. 设，则, 所以， 所以. 当时，，则重合，不符合题意， 所以， 所以. 令，则. 对于二次函数，其对称轴为， 则时，的最小值为， 所以有最大值，则的最大值为. 2．已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为. (1)求轨迹的方程. (2)已知直线与轨迹交于A，B两点，以A，B为切点作两条切线，分别为，，且，相交于点.若，求. 【解析】（1）由题意知动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以轨迹的方程为. （2）设，，联立方程组得， 则，. 易知，的斜率存在，设的方程为， 联立方程组，得. 由，解得， 所以的方程为. 同理可得，的方程为. 由，解得，即点. 因为，，，且， 所以，即 ， 化简得， 因此或， 故. 3．已知第一象限的点在双曲线上，过作圆的两条切线，切点分别为，，直线过点，过作斜率为的直线，与交于点，. (1)求点的坐标； (2)若，求的值. 【解析】（1）设，，， 则切线的方程为，即， 圆在点处的切线方程为） 切线的方程为， 把点的坐标代入可得，故直线的方程为， 把点的坐标代入直线的方程可得， 将代入的方程可得（舍去负值），点的坐标为. （2）易知直线的方程为，设，， 由，可得， 则，且， 得，且. 故，，（根与系数的关系的应用） 则，， 则 ， ，（另，，故 ） 连接，由圆的性质可得，（勾股定理的应用） 由可得，解得或（舍去）. 的值为. 4．如图，圆的半径为是圆内一个定点，且，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，以线段的中点为原点，的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)过上的一点作的切线交圆于不同的两点. （i）探求点到点的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由； （ii）求面积的最大值. 【解析】（1）由题意可知：， 则， 可知动点的轨迹是以为焦点的椭圆，且， 所以曲线的方程为. （2）（i）联立方程，消去可得， 因为直线与曲线相切，则， 整理可得，则原方程为，解得， 将代入直线，可得， 可知，且， 则，为定值； （ii）由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为到直线的距离 ， 可得， 因为，则， 可得， 则面积， 可知当，即时，取到最大值8. 1．已知动点在曲线上运动，为坐标原点，为线段中点，记的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程. (2)已知及曲线上的两点和，直线和直线的斜率分别为和，且，求证：直线过定点. 【解析】（1）设，，是的中点， ，，又， 代入得．故点的轨迹方程是． （2）由题意点坐标适合，即点A在C上， 由题意可知BD斜率不会为0，设直线：， 联立，消去并整理得， 需满足，即， 设，，则，， 因为，， 所以， 所以，将，代入得， 即， 所以直线：，即， 所以直线BD经过定点. 2．椭圆的左、右焦点分别为，过作直线交E于两点．过作垂直于直线的直线交E于两点．直线与相交于点P． (1)若直线的斜率为1，求直线的方程． (2)求点P的轨迹方程． (3)求四边形面积的取值范围． 【解析】（1）由条件可知，，，则， 所以，, 因为直线的斜率为1，所以直线的斜率为，且直线过点， 所以直线的方程为，即； （2）设，依题意，，且， ，， 所以，即， 故点的轨迹方程为； （3）依题意，， 过作平行于的直线交于两点，由对称性可知，， ①当的斜率为0或斜率不存在时，和是或，； ②当的斜率存在且不为0时，设，，， 联立方程，得， ，，， 故， 同理， 故， 令，，则， 其中，故， 综上， 3．已知椭圆的方程为，其右顶点，离心率． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于不同的两点，（，不与左、右顶点重合），且．求证：直线过定点，并求出定点的坐标． 【解析】（1）右顶点是，离心率为， 所以，， ，则， 椭圆的标准方程为． （2）直线方程与椭圆方程联立， 得， 设，， ，， ， ，， 即， ，则， 即， 整理得， 或， 均满足 直线或， 直线过定点或（与题意矛盾，舍去） 综上知直线过定点． 4．已知抛物线：的准线为，点在上，且点到直线的距离与其到轴的距离都等于2． (1)求的方程； (2)设为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，若的面积为3，求直线的斜率． 【解析】（1）由题意可知，准线的方程为， 由点到直线的距离与其到轴的距离都等于2可知，， 因为点在上，所以， 整理得，，解得， 故的方程为． （2）由（1）可知，，则， 由题意可知，直线的斜率不为0，设其方程为，，， 由，消去x整理得， 则，可得，， 所以， 又因为的面积为3，则， 即，解得， 故直线的斜率为． 5．已知抛物线的焦点为上的动点到点的距离与到其准线的距离之和的最小值为2. (1)求抛物线的方程； (2)已知点是抛物线上不同的三点. （i）若直线过点，且交准线于点，求的值； （ii）若直线的斜率分别为，且，求直线的斜率的取值范围. 【解析】（1）抛物线的焦点，准线为：， 设点，动点到其准线的距离为， 由拋物线定义得，，则，当且仅当时取等号， 依题意，，所以抛物线的方程为. （2）（i）显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为：， 设，又， 由消去得，， ， 由，得，整理得，同理得， 所以. （ii）设直线的方程为：，而， 由消去得，则， 又，由，得， 即，则，解得， 由，得，解得或，则 所以直线的斜率的取值范围是. 6．“对号函数”的图象也可以看成是以与为渐近线的双曲线.设函数，若将其图象看成双曲线. (1)求双曲线的焦点坐标； (2)将双曲线绕着坐标原点O顺时针旋转，使焦点落到x轴上，得到双曲线，设双曲线的右焦点为F，过F的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，当时，求直线l的方程. 【解析】（1）设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为， （倾斜角为）与（倾斜角为）为渐近线， 故直线（倾斜角为）为双曲线的一条对称轴， 设直线与函数图象交于，两点， 联立可得，， 则，即， 又，所以，， 设双曲线的焦点分别为，，则  . （2）由（1）可得双曲线的方程为，右焦点， 设直线l的方程为，与的方程联立可得， 设，，易知，， 则①，②， ， 化简可得，解得， 此时均满足 此时直线l的方程为或. 1．已知椭圆的离心率为，点在C上，直线l与C交于不同于A的两点M，N. (1)求C的方程； (2)若，求面积的最大值； (3)记直线AM，AN的斜率分别为，，若，证明：以MN为直径的圆过定点，并求出定点坐标. 【解析】（1）由题意可知：，解得， 所以椭圆C的方程为. （2）若，可知直线l的斜率存在， 设直线，，， 联立方程，消去y可得， 则，整理可得， 可得，， 因为，则，， 由，可得， 则， 整理可得， 则， 且，则，可得， 解得，且满足， 可知直线过定点， 则面积 ， 令，则， 可得， 因为在内单调递增，则， 所以当，时，面积取到最大值. （3）若直线l的斜率不存在，设，，， 可得，可得， 这与相矛盾，不合题意； 可知直线l的斜率存在，设直线，，， 可得， 整理可得， 则， 且，则，可得，解得， 设以MN为直径的圆过定点， 则，， 可得， 则， 整理可得， 则， 可得， 注意到上式对任意的k均成立，则，解得， 所以以MN为直径的圆过定点. 2．已知焦点为的抛物线上存在不同的两点，（异于原点）． (1)若且，求直线的方程； (2)若，求线段的最小值； (3)若点A，，三点共线，求的取值范围． 【解析】（1）设直线的方程为， 由，整理可得， 则， 所以，则， 依题意可得，解得，满足， 所以直线的方程为，即； （2）由（1）可得，则， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以，， 所以， 当且仅当时取等号， 所以线段的最小值； （3）因为A、、三点共线，而抛物线的焦点， 所以直线AB的方程为，，， 联立有， 故，，，， 所以， ，， 所以 所以， 即 故的取值范围为. 3．已知椭圆，定义椭圆上的点的“伴随点”为. (1)求椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程; (2)如果椭圆上的点的“伴随点”为，对于椭圆上的任意点及它的“伴随点”，求的取值范围; (3)当时，直线交椭圆于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点，求的面积. 【解析】（1）设.所以，根据“伴随点”的定义，有，则 又因为， 所以，即 所以，椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程为 （2）由（1）知，椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程为， 因为椭圆上的点的“伴随点”为， 所以，根据“伴随点”的定义与（1）中结论，有，解得. 因为点在椭圆上，所以， 所以，，且， 所以 因为，所以… 所以的取值范围是 （3）由题意，得椭圆的方程为. 设，则 联立椭圆和直线的方程，得 所以 由题意，得，所以.① 因为PQ为直径的圆经过坐标原点， 所以，即， 所以.② 将①代入②，化简，得. 所以， 所以 . 又因为点到直线的距离， 所以. 4．已知椭圆焦距为2，离心率e是 (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作两条互相垂直的弦，其中在轴的上方，且在的右侧，设弦的中点分别为. ①若弦的斜率均存在，求四边形面积的最小值； ②判断直线是否过定点，若过定点，则求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由. 【解析】（1）依题意有，解得， 所以椭圆的方程为； （2）①设，则 联立，， 由弦长公式可得： 同理可得：， 所以 令，则 当的最小值是； ② ，由代替m，得， 当，即时，，过点. 当，即时，， ， 当时，，经验证直线过点， 综上，直线恒过点. 1．已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 【解析】（1）由题意，从而， 所以椭圆方程为，离心率为； （2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾， 从而设，， 联立，化简并整理得， 由题意，即应满足， 所以， 若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以，在直线方程中令， 得， 所以， 此时应满足，即应满足或， 综上所述，满足题意，此时或. 2．已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 【解析】（1）设，由题设有且，故，故，故， 故椭圆方程为. （2）直线的斜率必定存在，设，，， 由可得， 故，故， 又， 而，故直线，故， 所以 ， 故，即轴. 3．已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， 所以，故， 故，所以，，故椭圆方程为：. （2） 若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设， 由可得， 故且 而， 故 ， 因为恒成立，故，解得. 若过点的动直线的斜率不存在，则或， 此时需，两者结合可得. 综上，存在，使得恒成立. 4．已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【解析】（1）由题意得，解得， 所以. （2）法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或， 即或，以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，， 令，则，则 同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设， 设与轴的交点为，令，则， 联立，则有， ， 其中，且， 则， 则，解的或，经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或，即或. 5．已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． (1)求的方程； (2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 【解析】（1）依题意，得，则， 又分别为椭圆上下顶点，，所以，即， 所以，即，则， 所以椭圆的方程为. （2）因为椭圆的方程为，所以， 因为为第一象限上的动点，设，则， 易得，则直线的方程为， ，则直线的方程为， 联立，解得，即， 而，则直线的方程为， 令，则，解得，即， 又，则，， 所以 ， 又，即， 显然，与不重合，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$