专题08 抛物线的奥秘轨迹：性质研究与应用(7大题型）-【寒假分层作业】2025年高二数学寒假培优练（苏教版2019）

专题08 抛物线的奥秘轨迹：性质研究与应用 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（7大题型） 题型一：抛物线的定义与方程 题型二：抛物线的轨迹方程 题型三：与抛物线有关的距离和最值问题 题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题 题型五：焦半径问题 题型六：抛物线的性质 题型七：直线与抛物线的位置关系 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 1、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 2、焦半径 抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 3、的几何意义 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 4、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）． （2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 5、抛物线的弦 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 （1）弦长公式： （2） （3）直线AB的方程为 （4）线段AB的垂直平分线方程为 6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法） （1）焦点为，准线为 （2）焦点为，准线为 如，即，焦点为，准线方程为 7、参数方程 的参数方程为（参数） 8、切线方程和切点弦方程 抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为，点在抛物线外 与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果． 9、抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系： 11、焦点弦的常考性质 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （2）， （3）； （4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 抛物线的定义与方程 1．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C．或 D． 3．设双曲线的左、右焦点分别为，，O为坐标原点．以为直径的圆与双曲线的右支交于P点，且以为直径的圆与直线相切，若，若双曲线C与抛物线有共同的右焦点，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知抛物线，过的焦点且斜率为2的直线交抛物线于两点，以为直径的圆与抛物线的准线相切于点，若点的纵坐标为4，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 抛物线的轨迹方程 1．设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为 ． 2．已知点到定点的距离比它到轴的距离大，则 ，点的轨迹点的方程为 ． 3．若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是 ． 4．写出一个与直线相切，且与圆外切的圆的方程 . 5．已知过点，且斜率为的直线与抛物线相交于BC两点，则弦长 ，若点N为抛物线上的一个动点，M为线段AN的中点，则点M的轨迹方程为 ． 与抛物线有关的距离和最值问题 1．已知抛物线C：y=，直线：，：，M为C上的动点，则点M到与的距离之和的最小值为 . 2．的最小值为 ． 3．已知抛物线，且是抛物线上一点，设是抛物线的焦点，，则的最小值为 . 4．已知点是抛物线上一动点，则的最小值为 ． 5．已知点是抛物线上的一个动点，则的最小值是 ． 抛物线中三角形，四边形的面积问题 1．已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，点在线段上，点在的延长线上，且.则面积的最小值为 . 2．的顶点A在抛物线上，点B，C在直线上，若，则面积的最小值为 . 3．已知抛物线C：的焦点坐标为，点，过点P作直线l交抛物线C于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两切线交于点Q，则面积的最小值为 . 4．已知抛物线，过焦点F的弦交抛物线于A，B两点，且有，准线与x轴交于点C，作A到准线的垂线，垂足为，则当四边形的面积为时，p的值为 ． 5．已知椭圆（）的离心率为，其上焦点与抛物线的焦点重合．若过点的直线交椭圆于点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点（如图所示），则四边形面积的最小值为 ． 焦半径问题 1．已知抛物线的焦点为，直线过点且倾斜角为，若抛物线上存在点与点关于直线对称，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的交点，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D． 4．已知直线与抛物线相交于A，B两点，且点坐标为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点（点在第一象限），与交于点，若，，则（    ） A． B．3 C．6 D．12 抛物线的性质 1．（多选题）已知直线经过抛物线的焦点，且与交于两点，过分别作直线的垂线，垂足依次为，若长的最小值为4，则下列结论正确的有（    ） A． B．若的倾斜角为，点在第一象限，则 C．若，则的斜率为1 D．若点在上，且，则 2．（多选题）已知抛物线的焦点为F，经过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点（点B在第四象限），与抛物线C的准线交于点D，若，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（多选题）已知抛物线，为其焦点，直线与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A．直线过焦点 B．当时，，两点横坐标的和为5 C．当时，直线截抛物线所得的弦长为8 D．以为直径的圆与相切 4．（多选题）已知抛物线的焦点为，过点的直线的斜率为，且与交于两个不同的点（点在轴的上方），下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．点的纵坐标之积与有关 D．若（为坐标原点），则 5．（多选题）已知抛物线：，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的最小值为16 D．若点是的外心，其中是坐标原点，则直线的斜率的最大值为 直线与抛物线的位置关系 1．已知抛物线的焦点为F．过F的直线与C交于两点，． (1)求的值； (2)求直线与C的公共点个数. 2．在平面直角坐标系中，动点到点的距离与到轴的距离之差等于1，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)设点在上，证明：直线与相切． 3．已知抛物线的方程为，直线l过定点，斜率为k.当k为何值时，直线l与抛物线有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？ 4．已知抛物线. (1)当直线过抛物线的焦点时，与抛物线交于两点，在上取不同于的点，使得，求点的轨迹方程； (2)已知是抛物线上的三个点，且直线、分别与抛物线相切，证明：直线与抛物线相切. 5．已知直线上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l上，且，记点P的轨迹为C．    (1)求曲线C的方程． (2)设直线l与x轴交于点A，且．试判断直线PB与曲线C的位置关系，并证明你的结论． 1．过点的直线交抛物线于，两点(异于坐标原点)，若，则该直线的方程为(    ) A． B． C． D． 2．已知抛物线的准线交轴于点，过点作直线交于两点，且，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 3．已知点是抛物线上的动点，设点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（   ） A．2 B． C． D． 4．直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点.若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，.则（    ） A． B． C．3 D．4 6．已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线与抛物线的一个交点为（位于轴的右侧），过点作，垂足为，连接，交抛物线于点（在线段上），则（    ） A． B． C． D． 7．已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，与其准线交于点，若，则（    ） A． B．1 C． D．4 8．（多选题）已知抛物线，过点的直线与交于两点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的最小值为16 D．若点是的外心，其中是坐标原点，则直线的斜率的最大值为 9．（多选题）给出下列命题，其中真命题为（    ） A．过点与坐标轴围成三角形的面积为16的直线有且仅有3条 B．已知点，，则满足到点距离为2，到点距离为3的直线有且仅有3条 C．过点与抛物线仅有1个公共点的直线有3条 D．过双曲线的右焦点被截得线段长为5的直线有且仅有3条 10．已知抛物线的焦点为为圆上的动点，为上的动点，则的最小值为 . 11．已知点是抛物线的焦点，过定点的直线与抛物线交于两点，若抛物线上存在动点，使得四边形为平行四边形，则定点坐标为 . 1．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，过的中点作另一条直线交轴于点，若，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 2．设点是抛物线的焦点，过抛物线上一点，沿轴正方向作射线轴，若的平分线所在直线的斜率为，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 3．已知过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，若，AB的中点到轴的距离为，则p的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知抛物线的方程为，过其焦点的直线与抛物线交于、两点，且，为坐标原点，则的面积和的面积之比为（    ） A． B． C．2 D． 5．在抛物线上求一点，使其到焦点的距离与到的距离之和最小，则该点坐标为（    ） A． B． C． D． 6．已知点为抛物线上一动点，点为圆：上一动点，点为抛物线的焦点，点到轴的距离为.若的最小值为3.则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上动点，点Q为圆上动点，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 8．焦点为的抛物线上有一点（不与原点重合），它在准线上的投影为，设直线与抛物线交于，两点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）已知点，，抛物线的焦点为是上的动点，动点满足，则下列说法正确的是（    ） A．点在动点的轨迹上 B．周长的最小值为 C．当最小时，点的横坐标为4 D．面积的最大值为 10．（多选题）已知点在抛物线上运动，为抛物线的焦点，点，则的值可能是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 11．（多选题）笛卡尔叶形线是一个代数曲线，首先由笛卡儿在1638年提出．如图，叶形线经过点，点在C上，则下列结论正确的是（    ） A．直线与C有3个公共点 B．若点P在第二象限，则 C． D． 12．已知抛物线，为抛物线上任意一点，过点向圆作切线，切点分别为，则的最小值为 . 13．已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，过分别作准线的垂线，垂足分别为，若和的面积分别为8和4，则的面积为 14．已知抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值为 ． 15．已知抛物线焦点为，过的直线与此抛物线相交于两点，点，若，且，则 . 1．（2023年北京高考数学真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．（2024年北京高考数学真题）抛物线的焦点坐标为 ． 3．（2024年天津高考数学真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ． 4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 . 5．（2023年天津高考数学真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 抛物线的奥秘轨迹：性质研究与应用 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（7大题型） 题型一：抛物线的定义与方程 题型二：抛物线的轨迹方程 题型三：与抛物线有关的距离和最值问题 题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题 题型五：焦半径问题 题型六：抛物线的性质 题型七：直线与抛物线的位置关系 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 1、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 2、焦半径 抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 3、的几何意义 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 4、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）． （2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 5、抛物线的弦 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 （1）弦长公式： （2） （3）直线AB的方程为 （4）线段AB的垂直平分线方程为 6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法） （1）焦点为，准线为 （2）焦点为，准线为 如，即，焦点为，准线方程为 7、参数方程 的参数方程为（参数） 8、切线方程和切点弦方程 抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为，点在抛物线外 与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果． 9、抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系： 11、焦点弦的常考性质 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （2）， （3）； （4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 抛物线的定义与方程 1．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于椭圆，，，则， 椭圆的焦点坐标为和， 抛物线的焦点的坐标为， 因为抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合， 所以，解得，所以抛物线的标准方程为. 故选：B. 2．点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【解析】当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为． 所以抛物线的方程为或． 故选：C 3．设双曲线的左、右焦点分别为，，O为坐标原点．以为直径的圆与双曲线的右支交于P点，且以为直径的圆与直线相切，若，若双曲线C与抛物线有共同的右焦点，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 依题意知，设以为直径的圆与直线相切于点N，圆心为M，则，因此，所以． 设双曲线的焦距为，则，解得， 由勾股定理可得， 于是，， 又因为双曲线C与抛物线有共同的右焦点， 则，所以， 即抛物线方程为 故选:A 4．已知抛物线，过的焦点且斜率为2的直线交抛物线于两点，以为直径的圆与抛物线的准线相切于点，若点的纵坐标为4，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由抛物线，可知焦点为，准线为， 设直线的方程为，，， 联立方程组，可得， 所以，， 以为直径的圆与抛物线的准线相切于点， 设的中点为，则有， 因为点的纵坐标为4，所以点的纵坐标为4， 即，则， 又， 所以，即抛物线的标准方程为. 故选：D. 5．点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】将转化为，分类讨论和两种情况，利用抛物线性质，列出关于a的方程求解即可.将转化为, 当时，抛物线开口向上，准线方程，点到准线的距离为，解得，所以抛物线方程为，即； 当时，抛物线开口向下，准线方程，点到准线的距离为，解得或（舍去），所以抛物线方程为，即. 所以抛物线的方程为或 故选：D 抛物线的轨迹方程 1．设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设，，， 则，，， 因为， 则， 又因为，则，即， 可得，即． 故点的轨迹方程是． 故答案为：. 2．已知点到定点的距离比它到轴的距离大，则 ，点的轨迹点的方程为 ． 【答案】 或 【解析】依题意，得，即①，则，两边平方得，则②，两边平方得，整理得，即，可得或．当时，②转化为，所以，此时①转化为，所以，所以点的轨迹的方程为或． 故答案为: 或． 3．若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是 ． 【答案】 【解析】将化为， 动点到点的距离比它到直线的距离大1， 则动点到点的距离与它到直线的距离相等， 由抛物线定义可知动点的轨迹为抛物线， 该抛物线以为焦点，以为准线，开口向右， 设， 所以，解得， 所以抛物线方程为， 故答案为：. 4．写出一个与直线相切，且与圆外切的圆的方程 . 【答案】（答案不唯一，只需满足即可） 【解析】如下图所示： 设所求圆的圆心为，圆的圆心为，半径为， 设圆的半径为，则，且圆心到直线的距离为， 所以，点到点的距离等于点到直线的距离， 所以，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 设点的轨迹方程为，则，可得， 所以，圆心的轨迹方程为，则， 所以，圆心的坐标可表示为，则圆的半径为， 所以，圆的方程为， 故满足条件的一个圆的方程为. 故答案为：（只需满足即可）. 5．已知过点，且斜率为的直线与抛物线相交于BC两点，则弦长 ，若点N为抛物线上的一个动点，M为线段AN的中点，则点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】依题意，设直线l的方程为，直线与抛物线有两个交点B，C 故联立方程，得 设，则 设，M为线段中点，，则利用中点坐标公式可得 又N为抛物线C上，故，即 所以点M的轨迹方程为 故答案为：； 与抛物线有关的距离和最值问题 1．已知抛物线C：y=，直线：，：，M为C上的动点，则点M到与的距离之和的最小值为 . 【答案】3 【解析】由题，抛物线焦点为，准线为，过M点作，准线垂线，垂足分别为B，C. 过M点作垂线，垂足为A，则M到与的距离之和为. 由抛物线定义知，又，则. 当且仅当三点共线时，最短时， 而为F到直线距离， 所以. 所以点M到与的距离之和的最小值为3. 故答案为：3. 2．的最小值为 ． 【答案】 【解析】由题意知动点的轨迹为抛物线，C的焦点为， 设P到C的准线的距离为d，， 则， 当且仅当三点共线时等号成立（如图）， 故的最小值为． 故答案为：． 3．已知抛物线，且是抛物线上一点，设是抛物线的焦点，，则的最小值为 . 【答案】5 【解析】抛物线焦点，准线方程为， 如图，过作准线的垂线，交准线于，过作准线的垂线，交准线于， 则，当共线时取等号， 所以的最小值为5. 故选：5 4．已知点是抛物线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】7 【解析】由题意可知抛物线的焦点为，准线为， 因为点是抛物线上一动点，设，， 则由两点间距离公式可得表示， 又根据抛物线的定义可知等于点到准线的距离， 即， 当且仅当三点共线时，最小， 即最小值为点到准线的距离， 故答案为： 5．已知点是抛物线上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】13 【解析】过点作直线与直线垂直，垂足为， 点为抛物线的焦点，则，， 过点作直线与垂直，垂足为， 则， 当且仅当，，三点共线时等号成立，即， 所以， 即的最小值是13． 故答案为：13 抛物线中三角形，四边形的面积问题 1．已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，点在线段上，点在的延长线上，且.则面积的最小值为 . 【答案】 【解析】 由，则，设，， 联立可得，消去可得：，显然， 由韦达定理可得：，， 由弦长公式可得： ， 设，由在直线上，则， 设，取，，由题意可知，则， 易知底上的高为到直线的距离，， 所以， 显然当时，取得最小值为. 故答案为：. 2．的顶点A在抛物线上，点B，C在直线上，若，则面积的最小值为 . 【答案】1 【解析】设， 点到直线BC的距离为， 当时，取得最小值， 则的面积， 且当时，的面积取得最小值，且最小值为1. 故答案为：1. 3．已知抛物线C：的焦点坐标为，点，过点P作直线l交抛物线C于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两切线交于点Q，则面积的最小值为 . 【答案】 【解析】抛物线C：的焦点坐标为，则，即，于是得抛物线C：， 依题意，设直线l的方程为：，由消去y并整理得：， 设点，，则有， 显然过点A的抛物线C的切线斜率存在，设此切线方程为， 由消去y并整理得，则有， 解得，即过点A的抛物线C的切线方程为，同理，过点B的抛物线C的切线方程为， 由 解得，于是得两切线的交点Q坐标为， 又， 点Q到直线l的距离， ，当且仅当时取“=”， 所以面积的最小值为. 故答案为： 4．已知抛物线，过焦点F的弦交抛物线于A，B两点，且有，准线与x轴交于点C，作A到准线的垂线，垂足为，则当四边形的面积为时，p的值为 ． 【答案】 【解析】设直线的倾斜角为，过作轴， 则，所以， 同理可得， 因为，，则， 由于，所以， 同时可得，， 因此四边形的面积，解得． 故答案为： 5．已知椭圆（）的离心率为，其上焦点与抛物线的焦点重合．若过点的直线交椭圆于点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点（如图所示），则四边形面积的最小值为 ． 【答案】 【解析】由题意得，即，又，所以， 由，得，所以椭圆的方程为. 由题意得过点的直线的斜率不为零， 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 设，，，， 联立，消去得，易知， 则，， 所以， 抛物线的方程为，直线方程为， 联立，消去得， 则， 所以， 所以 ， 因为，所以，，； 当直线的斜率不存在时，，， 所以； 综上，，所以四边形面积的最小值为. 故答案为：. 焦半径问题 1．已知抛物线的焦点为，直线过点且倾斜角为，若抛物线上存在点与点关于直线对称，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，的坐标为.设点，则，， 即，得，， 即，得，因此， 解得，故抛物线的准线方程为. 故选：A 2．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的交点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知抛物线的焦点为，准线方程为，设点、， 因为，即，可得，解得，即点， 由抛物线的焦半径公式可得. 故选：A. 3．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】设， 因为，所以， 过点分别作准线于点，， 由抛物线定义可知， 由梯形中位线可知， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 故， 故，的最小值为. 故选：B 4．已知直线与抛物线相交于A，B两点，且点坐标为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知,所以有，带入得， 整理得，判别式恒成立， 设，则 易知，点为抛物线的焦点， 所以 当且仅当时，等号成立，所以的取值范围为. 故选：B 5．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点（点在第一象限），与交于点，若，，则（    ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】B 【解析】如图，设准线与轴的交点为，作，，垂足分别为，， 所以，. 又，所以， 设，则. 因为， 所以，所以， 所以，即. 所以，抛物线为，焦点为，准线为， 由得，解得， 所以，， 所以，直线的方程为 所以，联立方程得，解得， 所以，， 所以， 故选：B 抛物线的性质 1．（多选题）已知直线经过抛物线的焦点，且与交于两点，过分别作直线的垂线，垂足依次为，若长的最小值为4，则下列结论正确的有（    ） A． B．若的倾斜角为，点在第一象限，则 C．若，则的斜率为1 D．若点在上，且，则 【答案】ABD 【解析】抛物线的焦点， 依题意可知直线与轴不重合，设直线的方程为， 由消去并化简得， ，设， 则， ， ，当时等号成立， 所以， 所以抛物线，焦点为， 对于选项A: 由上述分析可知， ， 所以，故A正确； 对于选项B：因为的倾斜角为，抛物线的焦点为，点在第一象限， 设 ， 由直线的点斜式方程可得：直线的方程为： ， 其与抛物线联立方程组可得： ， 解得 ； 所以，故B正确； 对于选项C：设直线的方程为： ， 其与抛物线联立方程组可得： ， 由韦达定理可得：， 所以， 即， 所以，解得 ，故C错误； 对于选项D：由， 得：, 所以，故D正确； 故选：ABD. 2．（多选题）已知抛物线的焦点为F，经过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点（点B在第四象限），与抛物线C的准线交于点D，若，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】设．由题意知，直线l的斜率， 则直线l的方程为，将其代入抛物线C，得， 得，由，得，选项A正确; 抛物线C的方程为，所以， 所以，选项C正确; 将直线l的方程为与准线联立，得， 所以，选项B正确; ，选项D错误． 故选：ABC． 3．（多选题）已知抛物线，为其焦点，直线与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A．直线过焦点 B．当时，，两点横坐标的和为5 C．当时，直线截抛物线所得的弦长为8 D．以为直径的圆与相切 【答案】ACD 【解析】对于A，易知抛物线的焦点； 由直线可得，由直线的点斜式方程可得直线过定点，可得A正确； 对于B，当时，， 联立，整理可得， 由韦达定理可得，因此，两点横坐标的和为6，即B错误； 对于C，结合B选项，由焦半径公式可得， 即直线截抛物线所得的弦长为8，即C正确; 对于D，易知准线方程为，分别作垂直于准线，垂足为，如下图所示： 因为直线过焦点，可得， 线段的中点到准线的距离为，可得， 以为直径的圆与准线相切，可得D正确. 故选：ACD 4．（多选题）已知抛物线的焦点为，过点的直线的斜率为，且与交于两个不同的点（点在轴的上方），下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．点的纵坐标之积与有关 D．若（为坐标原点），则 【答案】ABD 【解析】设， 对于A，若，则直线， 联立，得，则， 所以，故A正确； 对于B，过点分别作准线的垂线，垂足分别为， 不妨设，则， 则，故B正确； 对于C，易得直线的斜率不为零，设， 联立，得，则为定值， 所以点的纵坐标之积与无关，故C错误； 对于D，由，得， 即，即， 由， 得，， 因为点在轴的上方，所以， 则，所以， 所以，故D正确. 故选：ABD. 5．（多选题）已知抛物线：，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的最小值为16 D．若点是的外心，其中是坐标原点，则直线的斜率的最大值为 【答案】ACD 【解析】显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，由，得， 所以，，，故A正确，B错误； ， 所以，当且仅当时，取到最小值，故C正确； 因为，所以，所以的外心就是弦的中点， 记为，其中，．由，以及， 得， 即，所以直线的斜率．要求直线的斜率的最大值，所以， 所以，当且仅当， 即时“=”号成立，即直线的斜率的最大值为，故D正确. 故选：ACD． 直线与抛物线的位置关系 1．已知抛物线的焦点为F．过F的直线与C交于两点，． (1)求的值； (2)求直线与C的公共点个数. 【解析】（1）设直线的方程为，与联立 得，所以． （2）直线的斜率为， 所以直线的方程为， 即，与联立得，解得， 所以直线与C只有1个公共点A． 2．在平面直角坐标系中，动点到点的距离与到轴的距离之差等于1，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)设点在上，证明：直线与相切． 【解析】（1）因为动点到点的距离与到轴的距离之差等于1， 因为，可得点到点的距离等于点到直线的距离， 所以动点的轨迹为以为焦点，以直线为准线的抛物线， 可得抛物线的方程为，即动点的轨迹的方程为. （2）证明：因为点在上，可得， 联立方程组，可得， 则， 所以直线与相切． 3．已知抛物线的方程为，直线l过定点，斜率为k.当k为何值时，直线l与抛物线有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？ 【解析】由题意，可设直线的方程为，即， 联立方程组，整理得， 则， 当时，即，解得或，此时方程只有一个实数解， 即直线与抛物线只有一个公共点； 当时，即，解得或，此时方程两个不等的实数解， 即直线与抛物线两个公共点； 当时，即，解得，此时方程没有实数解， 即直线与抛物线没有公共点， 综上可得：当或，直线与抛物线只有一个公共点； 当或，直线与抛物线两个公共点； 当，直线与抛物线没有公共点. 4．已知抛物线. (1)当直线过抛物线的焦点时，与抛物线交于两点，在上取不同于的点，使得，求点的轨迹方程； (2)已知是抛物线上的三个点，且直线、分别与抛物线相切，证明：直线与抛物线相切. 【解析】（1）由抛物线，可得焦点， 设，直线， 因为不同于，可得不在线段上， 联立方程组，整理得，则， 设在轴的射影分别是，则，即， 由于异号，不在线段上，则同号， 所以，即，所以， 又由，所以，所以点的轨迹方程. （2）设， 可得，所以直线， 联立，整理得. 因为直线与抛物线相切，所以，即②， 同理，直线与抛物线相切，可得 ③， 由方程②③可得，为方程的两根， 所以， 又由，故直线， 联立方程组，整理得. 因为， 所以直线与抛物线相切，故得证. 5．已知直线上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l上，且，记点P的轨迹为C．    (1)求曲线C的方程． (2)设直线l与x轴交于点A，且．试判断直线PB与曲线C的位置关系，并证明你的结论． 【解析】（1）设P的坐标为，则点Q的坐标为． 因为， 所以. 所以． ∴点P的轨迹方程为． （2） 直线PB与曲线C相切，设点P的坐标为， 点A的坐标为． 因为， 所以． 所以点B的坐标为． 所以直线PB的斜率为． 因为 所以． 所以直线PB的方程为 代入， 得. 因为 所以直线PB与曲线C相切． 1．过点的直线交抛物线于，两点(异于坐标原点)，若，则该直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设直线的方程为，，. 联立，整理化简可得：， ，也即， ，， ， 因为，易得，则， ，或，满足， 但是当直线方程为时，与抛物线的交点其中一个为坐标原点，不满足，故舍去. ，该直线的方程为即， 故选：B. 2．已知抛物线的准线交轴于点，过点作直线交于两点，且，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为抛物线的准线为，所以， 因为直线l交E于两点，所以直线l的斜率存在且不为0， 故可设直线l的方程为，，， 联立，消去y得， 所以，即，，， 因为，所以，得， 联立，解得或， 所以，满足. 故选：B. 3．已知点是抛物线上的动点，设点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 则， 所以的最小值即为点到直线的距离为. 故选：D. 4．直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，   设、，则，， 由，得，则， 由，得，得， 联立解得，，所以. 故选：C 5．已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，.则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【解析】由题得，准线方程为，设， 根据对称性，不妨假设点位于第一象限，过点作轴， 因为，则， 则，又因为是抛物线上一点， 则，代入上式有，解得或3， 显然由图知，则，则. 故选：A 6．已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线与抛物线的一个交点为（位于轴的右侧），过点作，垂足为，连接，交抛物线于点（在线段上），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由抛物线，得，由，则的方程为， 代入，得，解得，，， ，，又，为等边三角形， 由可知，则直线FN与l关于y轴对称， 由抛物线的对称性可得，. 故选：B. 7．已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，与其准线交于点，若，则（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】C 【解析】的焦点为，准线方程为：， 由题，显然，令直线中，则，所以， 设，联立，消， 得，， ，， 所以， 由可得：，，所以， 因为在上，所以，解得， 所以，所以， 由抛物线的定义可得：. 故选：C. 8．（多选题）已知抛物线，过点的直线与交于两点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的最小值为16 D．若点是的外心，其中是坐标原点，则直线的斜率的最大值为 【答案】ACD 【解析】由题设，显然直线的斜率不为0，设， 联立抛物线得，显然， 所以，，A对； 则，B错； 由， 又，则时，C对； 由上，即，点是的外心，即为中点， 又， 所以，要使直线的斜率最大，即，（时的斜率为负）， 则，当且仅当时取等号，D对. 故选：ACD. 9．（多选题）给出下列命题，其中真命题为（    ） A．过点与坐标轴围成三角形的面积为16的直线有且仅有3条 B．已知点，，则满足到点距离为2，到点距离为3的直线有且仅有3条 C．过点与抛物线仅有1个公共点的直线有3条 D．过双曲线的右焦点被截得线段长为5的直线有且仅有3条 【答案】BCD 【解析】对于A：设过点与坐标轴相交的直线方程为：，则 ，即，又 ，即 当时可得：，解得：或 当时可得：，即，此时，方程也有两组解，故共有4组解，即过点与坐标轴围成三角形的面积为16的直线有且仅有4条，A错误 对于B：因为，以为圆心，分别以2，3为半径作圆，则圆与圆相外切， 它们的3条公切线即为满足条件的直线，所以B正确； 对于C：因为，当时，，所以在抛物线的外部， 显然过与抛物线相切的直线有两条， 过与轴平行时，与抛物线也只有一个交点，故共有3条直线，所以C正确， 对于D： 设双曲线的右焦点为，过的直线与双曲线右支相交于， 当直线斜率不存在时，直线的方程为则， 当直线斜率存在时，设直线的方程为 联立，消去，得， ， 由，解得或， 所以 ， 所以当直线与轴垂直时，的长最小，即最小值为， 过双曲线的右焦点作垂直实轴的直线，被双曲线右支截得的弦（通径）长为， 又双曲线的实轴长， 所以结合对称性可知，被双曲线左右两支截得的线段长为5的直线有2条，共有3条，所以D正确； 故选：BCD 10．已知抛物线的焦点为为圆上的动点，为上的动点，则的最小值为 . 【答案】3 【解析】经过作抛物线的准线的垂线，垂足为， 如图：由抛物线的定义可知：， 圆心，半径为， 当共线且经过圆的圆心时最小，此时取得最小值， 所以最小值为：． 故答案为：3． 11．已知点是抛物线的焦点，过定点的直线与抛物线交于两点，若抛物线上存在动点，使得四边形为平行四边形，则定点坐标为 . 【答案】 【解析】解析：设，直线， 因为， 所以， 因为四边形为平行四边形，所以 所以， 所以. 代入，有，所以， 所以过定点. 故答案为：. 1．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，过的中点作另一条直线交轴于点，若，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】抛物线的焦点， 直线的斜率为，则直线的方程为， 代入抛物线方程得， 即，解得， ∴， ∴， 因为的中点，所以，即， 又，∴，∴，∴， 所以直线的方程为， 令，得，所以， ∴， ∴，解得． 故选：B． 2．设点是抛物线的焦点，过抛物线上一点，沿轴正方向作射线轴，若的平分线所在直线的斜率为，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，抛物线的焦点，准线方程：， 设直线与准线交于点，由抛物线定义得，， 根据题意，，， 所以，则， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 则，得， 所以点的坐标为. 故选：D 3．已知过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，若，AB的中点到轴的距离为，则p的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】抛物线的焦点，准线，准线交轴于点， 由对称性，不妨令点在第一象限，过分别作，垂足分别为， 过作于，交于，令，， ，由，得，即，则， 线段中点，过作于，则， 由AB的中点到轴的距离为，得，因此，所以. 故选：B 4．已知抛物线的方程为，过其焦点的直线与抛物线交于、两点，且，为坐标原点，则的面积和的面积之比为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】如图所示，， ，，解得， 代入抛物线方程可得，不妨设在第一象限，解得， 直线的方程为：，化为， 联立，化为，解得， 的面积和的面积之比. 故选：C. 5．在抛物线上求一点，使其到焦点的距离与到的距离之和最小，则该点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由题意得抛物线的焦点为，准线方程为. 过点作于点，由定义可得， 所以， 由图可得，当三点共线时，最小，此时. 故点的纵坐标为1，所以横坐标．即点的坐标为． 故选：A. 6．已知点为抛物线上一动点，点为圆：上一动点，点为抛物线的焦点，点到轴的距离为.若的最小值为3.则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】圆的圆心，半径， 抛物线的焦点为，准线方程为， 则由抛物线的定义知点到y轴的距离为，则， 由图知，当共线，且在线段上时，最短， 此时，而， 则，所以. 故选：B 7．已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上动点，点Q为圆上动点，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】设圆的圆心为，半径为， 过点作垂直抛物线的准线于， 由抛物线的定义知，， 所以，当且仅当四点共线时，等号成立， 而， 所以，即的最小值为4． 故选：B 8．焦点为的抛物线上有一点（不与原点重合），它在准线上的投影为，设直线与抛物线交于，两点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】方法一：，故，， 过点作于A点，过点作于B点，设与轴交于点， 如图,由抛物线定义可知， 由∽得，， 又，故， 令，则，故， 所以，故， 即为的中点，由∽得， 又，得，则， 将代入中，，由图可知，取正值， 则点， 由∽得，， 又，故，则， 将代入中，，由图可知，取负值， 即，由对称性可知， 所以， 中，令，解得，故， 故⊥轴， 于是所求三角形的面积； 方法二：，故，， 过点作于A点，过点作于B点，设与轴交于点， 如图,由抛物线定义可知， 由∽得，， 又，故， 令，则，故， 所以，故， 即为的中点，由∽得， 又，得，则， 将代入中，，由图可知，取正值， 则点， 由∽得，， 又，故，则， 将代入中，，由图可知，取负值， 即，由对称性可知， 所以， 中，令，解得，故， 则， 又，故. 故选：B. 9．（多选题）已知点，，抛物线的焦点为是上的动点，动点满足，则下列说法正确的是（    ） A．点在动点的轨迹上 B．周长的最小值为 C．当最小时，点的横坐标为4 D．面积的最大值为 【答案】BCD 【解析】由题可知，设点，则，. ，，化简得，即， 则动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆. 对于A，因为，所以点不在动点的轨迹上，故A错误； 对于B，抛物线的准线方程为，如图，过点作准线的垂线，垂足为， 则，当且仅当三点共线时，取得最小值，即. 又，所以周长的最小值为，故B正确； 对于C，如图，当与圆相切且点在轴上方时，最小. 连接，所以. ，，， 所以点的横坐标为，故C正确； 对于D，因为，为定值，所以若的面积取得最大值，则只需要动点到直线的距离最远即可. 直线，即，所以点到直线的距离为， 所以到直线的最大距离为， 所以面积的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 10．（多选题）已知点在抛物线上运动，为抛物线的焦点，点，则的值可能是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】CD 【解析】抛物线的焦点，准线． 如图，过点作于，过点作于，连接， 由抛物线的定义知，所以， 当且仅当点在上时，等号成立， 又，所以的最小值为， 故选：CD． 11．（多选题）笛卡尔叶形线是一个代数曲线，首先由笛卡儿在1638年提出．如图，叶形线经过点，点在C上，则下列结论正确的是（    ） A．直线与C有3个公共点 B．若点P在第二象限，则 C． D． 【答案】BCD 【解析】因为叶形线经过点，所以． 联立，解得，所以直线与C只有1个公共点，A错误． ． 因为点P在第二象限，所以，， 所以，B正确． 若点P在第四象限，则，可推出 ． 因为， 所以．当点P在第二、四象限时，， 所以．当点P是原点或在第一象限时，易得， 所以，C正确． 由，可得，解得，所以，D正确． 故选：BCD 12．已知抛物线，为抛物线上任意一点，过点向圆作切线，切点分别为，则的最小值为 . 【答案】 【解析】圆的标准方程是，则圆心为，半径为， 设，，所以， （由对勾函数性质得其单调性）. 所以的最小值为. 故答案为：. 13．已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，过分别作准线的垂线，垂足分别为，若和的面积分别为8和4，则的面积为 【答案】 【解析】过点的斜率为的直线与抛物线有且只有一个交点，不满足要求， 故可设直  线，代入抛物线方程， 消元可得， 设，则， ， ， ， 于是，即， . 故答案为：. 14．已知抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】设，由抛物线方程，得焦点，准线， 点为准线与轴的交点，作于点， 则．， 则 ，当且仅当，即时取等号.则的最大值为. 故答案为：. 15．已知抛物线焦点为，过的直线与此抛物线相交于两点，点，若，且，则 . 【答案】 【解析】设直线的方程为，点，， 联立直线与抛物线，整理得：， 由韦达定理，，.， 得到，由二倍角公式， 是锐角，则. 过作轴，准线，， 根据抛物线的定义，，故，则的倾斜角为或者. 可得，根据弦长公式，，. 故答案为： 1．（2023年北京高考数学真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【解析】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上， 所以到准线的距离为， 又到直线的距离为， 所以，故. 故选：D. 2．（2024年北京高考数学真题）抛物线的焦点坐标为 ． 【答案】 【解析】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为. 故答案为：. 3．（2024年天津高考数学真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ． 【答案】/ 【解析】圆的圆心为，故即， 由可得，故或（舍）， 故，故直线即， 故原点到直线的距离为， 故答案为： 4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 . 【答案】 【解析】由题意可得：，则，抛物线的方程为， 准线方程为，点到的准线的距离为. 故答案为：. 5．（2023年天津高考数学真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ． 【答案】 【解析】易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，， 所以，解得：，由解得：或， 所以，解得：． 当时，同理可得． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$