专题07 双曲线的魅力：特性解读与深度剖析(10大题型）-【寒假分层作业】2025年高二数学寒假培优练（苏教版2019）

专题07 双曲线的魅力：特性解读与深度剖析 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（10大题型） 题型1：双曲线的定义与标准方程 题型2：双曲线方程的充要条件 题型3：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 题型4：双曲线上两点距离的最值问题 题型5：双曲线上两线段的和差最值问题 题型6：离心率的值及取值范围 题型7：双曲线的简单几何性质问题 题型8：利用第一定义求解轨迹 题型9：双曲线的渐近线 题型10：共焦点的椭圆与双曲线 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 双曲线的定义与标准方程 1．已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（   ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 2．已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 3．若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 4．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线经过点，，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 双曲线方程的充要条件 1．关于 的方程 ，给出以下说法错误的为（     ） A．方程可以表示双曲线 B．方程可以表示椭圆 C．方程可以表示圆 D．当方程表示双曲线时， 焦距为定值 2．已知方程表示双曲线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 4．当取下列选项中哪组值时，方程表示双曲线（    ） A． B． C． D． 5．“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 1．已知是双曲线上的点，是其左､右焦点，且.若的面积为18，则（    ） A．2 B． C． D．3 2．如图所示，是双曲线右支在第一象限内一点，分别为其左､右焦点，为右顶点，圆是的内切圆，设圆与分别切于点，当圆的面积为时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（   ） A． B．2 C． D．4 4．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左、右支分别交于的内切圆半径为的内切圆半径为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．10 D．8 双曲线上两点距离的最值问题 1．已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 . 2．设双曲线的左焦点和右焦点分别是，点是右支上的一点，则的最小值为 ． 3．已知点，点在曲线上运动，点在曲线上运动，则的最小值是 ． 4．已知定点，且，动点满足，则的最小值是 . 5．设双曲线，是它的左焦点，直线l通过它的右焦点，且与双曲线的右支交于A，B两点，则的最小值为 . 双曲线上两线段的和差最值问题 1．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为右支上一动点，Q(1，4)，则＋的最小值为 ． 2．若是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 . 3．已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ． 4．设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为 . 5．过双曲线的左焦点F作圆的一条切线（切点为T），交双曲线右支点于P，点M为线段FP的中点，连接MO，则的最大值为 ． 离心率的值及取值范围 1．过双曲线（，）的右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与另一条渐近线交于点（、均在轴右侧）.已知为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为 . 2．设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的左支交于点，坐标原点O到直线的距离为的面积为，则C的离心率为 . 3．已知双曲线的右焦点为，点，为双曲线上的两点，为坐标原点，且四边形为菱形，则双曲线的离心率为 . 4．已知双曲线：与动直线相交于点，，若存在，使得（为坐标原点）为等边三角形，则双曲线的离心率的取值范围为 . 5．过点作斜率为的直线与双曲线相交于，若是线段的中点，则双曲线的离心率为 双曲线的简单几何性质问题 1．（多选题）双曲线的左、右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称，则下列选项正确的是（    ） A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为 B．双曲线C的离心率为 C．直线AP与BQ的斜率之积为 D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2 2．（多选题）已知分别是双曲线的左、右焦点，经过点且倾斜角为钝角的直线与的两条渐近线分别交于两点，点为上第二象限内一点，则（    ） A．若双曲线与有相同的渐近线，且的焦距为8，则的方程为 B．若，则的最小值是 C．若内切圆的半径为1，则点的坐标为 D．若线段的中垂线过点，则直线的斜率为 3．（多选题）已知直线：，双曲线：.以下说法正确的是（   ） A．当时，直线与双曲线只有一个公共点 B．直线与双曲线只有一个公共点时，或 C．当或时，直线与双曲线没有公共点 D．当时，直线与双曲线有两个公共点 4．（多选题）已知是双曲线的上焦点，是上的两点，则下列结论正确的是（    ） A．若是的中点，则 B．的最小值为4 C．点到的两条渐近线的距离的乘积为12 D．若的中点坐标为，则直线的斜率为 5．（多选题）已知双曲线左，右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于两点，在第一象限，在第四象限，则（    ） A．该双曲线的渐近线方程为 B．若，则到轴的最大距离为 C．若，则的周长为20 D．点到两条渐近线的距离之积为 利用第一定义求解轨迹 1．一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 2．过曲线上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则曲线的方程为 ． 3．已知点，，若动点满足，则动点的轨迹方程为 . 4．在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为 . 5．已知点为圆上的动点，点，延长至，使得，线段的垂直平分线交直线于点，记的轨迹为.则的方程为 . 双曲线的渐近线 1．设直线与双曲线（，）两条渐近线分别交于点A，B，若点满足，则该双曲线的渐近线方程是 2．平面直角坐标系中，已知圆与双曲线有唯一公共点，若圆心在双曲线的一条渐近线上且直线平行于另一条渐近线，则圆的方程为 . 3．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为A，延长与另一条渐近线交于点，若（为坐标原点），则该双曲线的渐近线方程为 . 4．已知双曲线经过点，且与双曲线具有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为 . 5．已知双曲线的左焦点为，过点的直线分别与渐近线和交于点，且（是坐标原点）.若，则的值为 . 共焦点的椭圆与双曲线 1．在平面直角坐标系中，已知椭圆与双曲线有公共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线在第一象限的交点为，且，则椭圆的离心率为 ． 2．已知椭圆与双曲线有公共焦点与在第一象限的交点为，且，记的离心率分别为，则 . 3．设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为 4．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点， 焦点在轴， 左， 右焦点分别是， 且它们在第一象限的交点为， 是以为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为，则 . 5．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，的离心率为的离心率为为与的一个公共点，若，则 ． 1．设双曲线的焦距为2，若以点为圆心的圆过的右顶点且与的两条渐近线相切，则长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，M，N是上的两点，满足，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线，两焦点分别为，过右焦点作直线l交右支于A，B点，且，若，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D．2 4．已知双曲线的左、右焦点分别.是上一点（在第一象限），直线与轴交于点，若，且，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 5．双曲线的左、右焦点分别为、，过作斜率为正且与的某条渐近线垂直的直线与双曲线在第一象限交于，，则的离心率为（   ）. A． B． C． D． 6．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于，则（   ） A． B．6 C． D．3 7．如图，已知是双曲线的右支上的两点（点在第一象限），点关于坐标原点对称的点为，且，若直线的斜率为，则该双曲线的离心率为 ．    8．双曲线的左，右焦点分别为、，是双曲线的右支上的一点，的内切圆圆心为，记、的面积分别为、，则 . 9．已知双曲线，直线与交于两点． (1)若的方程为，求； (2)若，且，求的斜率． 10．已知双曲线的离心率为，为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为. (1)求双曲线的方程; (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 1．已知双曲线的左右焦点分别为，，点A在C上，点B在y轴上，若，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的焦点为，，以为直径的圆与双曲线的一个交点为M，且有，则双曲线的离心率（    ） A． B． C．2 D． 3．已知双曲线的左､右焦点分别为，点是上一点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，P为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线C交于点Q，若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．公元前 300 年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值， 则这个比值即为“黄金分割比”， 把离心率为 “黄金分割比” 倒数的双曲线叫做 “黄金双曲线”． 黄金双曲线 的一个顶点为，与不在轴同侧的焦点为，的一个虚轴端点为，为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦， 为中点． 设双曲线的离心率为， 则下列说法中，错误的有（ ） A． B． C． D．若， 则恒成立 6．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上位于第一象限内的一点，且直线与轴的正半轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 7．已知双曲线的左､右焦点分别是和，若在其渐近线上存在一点，满足，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于，则（   ） A． B．6 C． D．3 9．（多选题）已知双曲线，对于点，若上存在两个点、，使得为线段的中点，则称为的一个“”点，下列各点中，是的“”点的为（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）已知P为圆：上任意一点，，线段的垂直平分线交直线于点M，记点M的轨迹为曲线H，设，在曲线H上，且，，，则（   ） A．曲线H的方程为 B．曲线H的离心率为 C．经过且与曲线H只有一个公共点的直线恰有两条 D．四边形面积的最小值为8 11．（多选题）过双曲线的右焦点作直线l与该双曲线交于A、B两点，则（    ） A．仅存在一条直线l，使 B．存在直线l，使弦AB的中点为 C．与该双曲线有相同渐近线且过点的双曲线的标准方程为 D．若A，B都在该双曲线的右支上，则直线l斜率的取值范围是 12．（多选题）已知双曲线的左、右焦点分别为、，圆与的渐近线相切．为右支上的动点，过点作双曲线的两渐近线的垂线，垂足分别为，则以下结论中正确的有（    ） A．两渐近线夹角为 B．的离心率 C．为定值 D．的最小值为 13．已知双曲线的离心率为2，把上所有点绕原点逆时针旋转角所得曲线的方程为，则的虚轴长为 . 14．已知P是双曲线上的点，，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积为9，则的值为 . 15．已知双曲线的左、右两个焦点分别为是上任意一点且满足点到的距离与点到直线的距离之比为，则双曲线的渐近线方程为 . 1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 2．（2024年天津高考数学真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 5．（2023年天津高考数学真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 双曲线的魅力：特性解读与深度剖析 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（10大题型） 题型1：双曲线的定义与标准方程 题型2：双曲线方程的充要条件 题型3：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 题型4：双曲线上两点距离的最值问题 题型5：双曲线上两线段的和差最值问题 题型6：离心率的值及取值范围 题型7：双曲线的简单几何性质问题 题型8：利用第一定义求解轨迹 题型9：双曲线的渐近线 题型10：共焦点的椭圆与双曲线 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 双曲线的定义与标准方程 1．已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（   ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 【答案】A 【解析】根据双曲线定义可得，又， 所以或， 又，， 而或， 所以. 故选：A. 2．已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：A. 3．若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】因为和有相同的焦距，又双曲线的焦距为，所以双曲线的焦距，又过点， 当的焦点在x轴上，设双曲线的方程为， 若将点代入，得①， 又②，联立①②两式得，，所以双曲线的标准方程为. 当的焦点在y轴上，设双曲线的方程为，将点代入，得③，又④， 联立③④两式得，，所以双曲线的标准方程为， 综上所述，双曲线的标准方程为或. 故选：C. 4．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】椭圆的焦点在轴上，长半轴为， 由于椭圆的离心率为，所以椭圆的半焦距为，焦距为， 由于曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，， 所以曲线的轨迹是双曲线，且实轴长为，半实轴长为， 所以虚半轴长为， 所以曲线的标准方程为. 故选：C 5．已知双曲线经过点，，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】设双曲线方程为 则，解的 所以双曲线的方程为 故选：A 双曲线方程的充要条件 1．关于 的方程 ，给出以下说法错误的为（     ） A．方程可以表示双曲线 B．方程可以表示椭圆 C．方程可以表示圆 D．当方程表示双曲线时， 焦距为定值 【答案】C 【解析】对于A，若方程表示双曲线，则，即，所以方程可以表示双曲线，故A正确； 对于B，若方程表示椭圆，则，即，所以方程可以表示椭圆，故B正确； 对于C，若方程表示圆，则，方程无解，所以方程不可以表示圆，故C错误； 对于D，由A可知当方程表示双曲线时，，所以焦距为，故D正确. 故选：C. 2．已知方程表示双曲线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于方程表示双曲线，则， 解得 或. 故选：D. 3．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】根据题意有，所以. 故选：C. 4．当取下列选项中哪组值时，方程表示双曲线（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，则ABD错误，C正确. 故选：C. 5．“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】方程表示双曲线，则，解得或， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A. 双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 1．已知是双曲线上的点，是其左､右焦点，且.若的面积为18，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【解析】由得， 由勾股定理得， 由双曲线的定义得， ， 所以， 则的面积为， ，解得. 故选：C. 2．如图所示，是双曲线右支在第一象限内一点，分别为其左､右焦点，为右顶点，圆是的内切圆，设圆与分别切于点，当圆的面积为时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，，， 所以， 设， 则， 即， 设圆C的半径为，因为圆C的面积为，则， 因为，所以， 于是， 因为是的角平分线， 所以， 所以，即直线的斜率为. 故选：D. 3．已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【解析】因为，所以， 即， 由双曲线定义可得， 所以，即， 又，所以， 所以，解得. 故选：. 4．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左、右支分别交于的内切圆半径为的内切圆半径为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 则，， 故在和中由余弦定理可得， 即，解得，则 又因为，则， 故选：D. 5．已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．10 D．8 【答案】A 【解析】 由题意可得， 的周长为， 由双曲线定定义可得， 又 所以， 所以的周长为12， 故选：A 双曲线上两点距离的最值问题 1．已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设，且，， 又， 又或， 所以 即的最小值为，当点为双曲线左顶点时取最小值. 故答案为：. 2．设双曲线的左焦点和右焦点分别是，点是右支上的一点，则的最小值为 ． 【答案】4 【解析】根据题意可得，， ，， 所以， 由双曲线性质可得，设，， 则， 设，， 设，， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数 是上的增函数. 所以当时，取得最小值4， 即的最小值为4，此时点为右顶点. 故答案为：4. 3．已知点，点在曲线上运动，点在曲线上运动，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】如下图所示： 在双曲线中，，，， 圆的圆心为，半径长为， 所以，双曲线的左、右焦点分别为、， 由双曲线的定义可得，， 所以，， 当且仅当为射线与圆的交点，且时，等号成立， 故的最小值是. 故答案为：. 4．已知定点，且，动点满足，则的最小值是 . 【答案】6 【解析】因为动点满足， 所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支， 则，即， 不妨设焦点在x轴上，则双曲线方程为， 左焦点为，右焦点为， 设，则， 所以， 所以的最小值是6， 故答案为：6 5．设双曲线，是它的左焦点，直线l通过它的右焦点，且与双曲线的右支交于A，B两点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】双曲线的右焦点为 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 代入双曲线方程，消去y 得 设 由韦达定理得 根据双曲线的第二定义得： 当直线的斜率不存在时， 根据双曲线的第一定义得： 综上：的最小值为 故答案为： 双曲线上两线段的和差最值问题 1．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为右支上一动点，Q(1，4)，则＋的最小值为 ． 【答案】 【解析】 因为点P在双曲线的右支上，所以， 所以，连接， 又，，所以， 当且仅当点在线段上时取“＝”， 故的最小值为． 故答案为：. 2．若是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】 如图所示， 由双曲线方程， 可知双曲线的右焦点为， 则由双曲线定义可知，即， 则， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 又， 即， 故答案为：. 3．已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由已知，是双曲线的左焦点，它也是圆的圆心，， 圆半径为， ，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号， ，当且仅当三点共线时取等号， 所以，又由双曲线的定义，， 所以，即的最小值为， 故答案为：． 4．设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为 . 【答案】8 【解析】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 双曲线的实半轴长，半焦距，则为其左右焦点， ，， 要取最大值，点必在双曲线左支上， 所以. 故答案为： 5．过双曲线的左焦点F作圆的一条切线（切点为T），交双曲线右支点于P，点M为线段FP的中点，连接MO，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】如图所示，连接,设双曲线的右焦点为，连接，则， 由， 因为，所以， 设，则，． 可得函数在上单调递减，所以，即， 故的最大值为． 故答案为：． 离心率的值及取值范围 1．过双曲线（，）的右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与另一条渐近线交于点（、均在轴右侧）.已知为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【解析】如图， 设的内切圆的圆心为M，则M在的平分线Ox上， 过点M分别作于，于， 由得出四边形MTAN为正方形， 设，直线：，则. 又因为，所以. 因为，所以. 因为， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 2．设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的左支交于点，坐标原点O到直线的距离为的面积为，则C的离心率为 . 【答案】或 【解析】如图所示： 由题意知：，则， 所以， 易知：，则， 由双曲线的定义得：， 在中，由余弦定理得：， 即，即， 即，解得或， 所以离心率为：或， 故答案为：或 3．已知双曲线的右焦点为，点，为双曲线上的两点，为坐标原点，且四边形为菱形，则双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【解析】如图， 设双曲线的左焦点为，连结， 因为四边形是菱形，所以，所以， 并且根据对称性可知是等边三角形，所以，， 所以根据双曲线定义可知，即， 解得，所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 4．已知双曲线：与动直线相交于点，，若存在，使得（为坐标原点）为等边三角形，则双曲线的离心率的取值范围为 . 【答案】 【解析】令，则， 即， 为等边三角形，则， 即 即有解，则，即， 又∵, ∴双曲线的离心率的取值范围为 故答案为： 5．过点作斜率为的直线与双曲线相交于，若是线段的中点，则双曲线的离心率为 【答案】/ 【解析】设, ，则 ①, ②, ∵是线段的中点, ∴ 故过点作斜率为的直线的方程是， ∴ ①②两式相减可得: ∴. ∴. ∴ ∴ ∴ 故答案为:. 双曲线的简单几何性质问题 1．（多选题）双曲线的左、右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称，则下列选项正确的是（    ） A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为 B．双曲线C的离心率为 C．直线AP与BQ的斜率之积为 D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2 【答案】ACD 【解析】由题设，焦点为， 以C焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆，其参数， 则方程为，A对； 由方程知双曲线C的离心率为，B错； 令，则，则， 又，则，则，C对； 由双曲线渐近线为，即，则焦点到渐近线的距离，D对. 故选：ACD 2．（多选题）已知分别是双曲线的左、右焦点，经过点且倾斜角为钝角的直线与的两条渐近线分别交于两点，点为上第二象限内一点，则（    ） A．若双曲线与有相同的渐近线，且的焦距为8，则的方程为 B．若，则的最小值是 C．若内切圆的半径为1，则点的坐标为 D．若线段的中垂线过点，则直线的斜率为 【答案】BCD 【解析】对于A，依题意设双曲线（且），即， 又的焦距为8，所以，，所以的方程为或，故A错误； 对于B，因为，所以， ，当且仅当三点共线时等号成立，故B正确； 对于C，设内切圆圆心为，直线与圆的切点分别为． 则，，，所以， ，解得，， 连接，则内切圆半径，，，， 所以轴，点在第二象限，坐标为，故C正确； 对于D，设的中点为，两渐近线可写成，设，， 则，且，作差可得， 整理得，即（*）， 在中，，则， 故，即， 将此式代入（*）得，，解得，由直线的倾斜角为钝角知，则，故D正确． 故选：BCD． 3．（多选题）已知直线：，双曲线：.以下说法正确的是（   ） A．当时，直线与双曲线只有一个公共点 B．直线与双曲线只有一个公共点时，或 C．当或时，直线与双曲线没有公共点 D．当时，直线与双曲线有两个公共点 【答案】AC 【解析】由直线方程知，直线过，双曲线的渐近线为，所以时一个交点， 联立直线与双曲线，得，则， 当，即时直线与双曲线相切， 当，即或时没有公共点， 当且，即或或时两个公共点. 所以A、C对，B、D错. 故选：AC 4．（多选题）已知是双曲线的上焦点，是上的两点，则下列结论正确的是（    ） A．若是的中点，则 B．的最小值为4 C．点到的两条渐近线的距离的乘积为12 D．若的中点坐标为，则直线的斜率为 【答案】ACD 【解析】由双曲线，可得焦点在轴上，， 若是的中点，则直线轴，，A正确． 的最小值为，B错误． 由题意得，， 所以双曲线的渐近线方程为或， 所以点到的两条渐近线的距离乘积为，C正确． 设，，则 两式相减得． 因为的中点坐标为，所以，即， 所以直线的斜率为，D正确． 故选：ACD. 5．（多选题）已知双曲线左，右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于两点，在第一象限，在第四象限，则（    ） A．该双曲线的渐近线方程为 B．若，则到轴的最大距离为 C．若，则的周长为20 D．点到两条渐近线的距离之积为 【答案】ACD 【解析】由双曲线方程可知：， 且焦点在x轴上，则. 对于选项A：该双曲线的渐近线方程为，故A正确； 对于选项B：若，可知点在以为直径的圆上或圆内， 因为以为直径的圆的方程为， 联立方程，解得， 当时，直线的斜率， 所以到轴的最大距离为，故B错误； 对于选项C：因为，， 则的周长为，故C正确； 对于选项D：设，则，即， 可得点到渐近线的距离， 点到渐近线的距离， 所以点到两条渐近线的距离之积为，故D正确； 故选：ACD. 利用第一定义求解轨迹 1．一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 设动圆的圆心，半径为，依题意，， 则，因此动圆的圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线下支， 实半轴长，半焦距，虚半轴长，方程为. 故答案为： 2．过曲线上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则曲线的方程为 ． 【答案】（且） 【解析】设，则过点的切线方程为，即， 所以，得， 则是此方程的两根，，，即， 故，得，而要满足题意需P在圆外，则， 即曲线的方程为（且）． 故答案为：(且) 3．已知点，，若动点满足，则动点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设，由题意可知，， 整理可得动点的轨迹方程为. 故答案为：. 4．在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设，则， 又因为可得. 则点的轨迹方程为. 故答案为：. 5．已知点为圆上的动点，点，延长至，使得，线段的垂直平分线交直线于点，记的轨迹为.则的方程为 . 【答案】 【解析】连接，如下图所示： 因为为的中点，所以， 由垂直平分线的性质可知：， 所以， 所以的轨迹是以为焦点且实轴长为的双曲线， 所以，所以， 所以轨迹方程为， 故答案为：. 双曲线的渐近线 1．设直线与双曲线（，）两条渐近线分别交于点A，B，若点满足，则该双曲线的渐近线方程是 【答案】 【解析】双曲线的两条渐近线方程为， 设,，,，的中点坐标为,； 所以，， 两式相减得：，化简得：， 由于点,在直线上，则①， 由于， 所以，②， 联立①②得：，，代入，得到， 所以渐近线的方程为． 故答案为：． 2．平面直角坐标系中，已知圆与双曲线有唯一公共点，若圆心在双曲线的一条渐近线上且直线平行于另一条渐近线，则圆的方程为 . 【答案】 【解析】双曲线的渐近线方程为， 如图所示，圆心在双曲线的一条渐近线上，则, 因为直线平行于另外一条渐近线，所以， 又圆与双曲线有唯一公共点， 则圆与双曲线在处的切线重合， 而双曲线在处的切线方程为，即， 则，即， 则，解得，即， 即圆的半径, 所以圆的方程为. 故答案为：. 3．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为A，延长与另一条渐近线交于点，若（为坐标原点），则该双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【解析】 由题意知，双曲线的两条渐近线方程分别为：与， 过点且与渐近线垂直的直线方程为， 联立，可解得， 点到渐近线的距离， 因为，所以点到渐近线的距离为， 所以，即，所以， 即双曲线的渐近线方程为：. 故答案为： 4．已知双曲线经过点，且与双曲线具有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为 . 【答案】 【解析】由题意设双曲线的标准方程为， 代入点，得，得， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为： 5．已知双曲线的左焦点为，过点的直线分别与渐近线和交于点，且（是坐标原点）.若，则的值为 . 【答案】或 【解析】若分别在轴两侧（如图）， 到的距离. 由，得. 设的倾斜角为，则，且, 在中，，所以， 所以，,所以. 若均在轴左侧（如图）， 在中，，, 所以， 所以，, 所以， 故答案为：或 共焦点的椭圆与双曲线 1．在平面直角坐标系中，已知椭圆与双曲线有公共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线在第一象限的交点为，且，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【解析】不妨设椭圆，双曲线，， 由题知，，则，得， 所以椭圆的离心率为， 故答案为：. 2．已知椭圆与双曲线有公共焦点与在第一象限的交点为，且，记的离心率分别为，则 . 【答案】2 【解析】由题意可知，， 所以. 因为，所以，即， 所以， 故答案为：2. 3．设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为 【答案】 【解析】设， 因为两个曲线在第一象限内交于点， 所以有， 解得， 因为， 所以由余弦定理可知：， 因为，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，所以设， 于是有，化简得： ， 因为，所以， 所以， 故答案为： 4．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点， 焦点在轴， 左， 右焦点分别是， 且它们在第一象限的交点为， 是以为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为，则 . 【答案】 【解析】由题意如图所示： 设椭圆的半长轴为，双曲线的实半轴为， 椭圆和双曲线的半焦距为，，，， 因为是以为底边的等腰三角形， 所以由椭圆的定义可得：①， 由双曲线定义可得②， ①减②可得：， 即， 故答案为：． 5．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，的离心率为的离心率为为与的一个公共点，若，则 ． 【答案】4 【解析】设， 不妨设点在第一象限，则由得， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 得，所以． 故答案为: 1．设双曲线的焦距为2，若以点为圆心的圆过的右顶点且与的两条渐近线相切，则长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知得，双曲线得渐近线方程为：，由圆与渐近线相切可得， 半径，则，则圆的半径， ，则， 因为，所以，则，， 所以长得取值范围是. 故选：B. 2．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，M，N是上的两点，满足，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，延长与交于点， 因为，则，根据对称性可知. 设，则，可得，即， 所以，则， 即，可知， 在中，由勾股定理得，即， 解得. 故选：A. 3．已知双曲线，两焦点分别为，过右焦点作直线l交右支于A，B点，且，若，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】令，由，得，， 由双曲线定义，， 在中，，由余弦定理， 得， 整理得，解得，则，， 在中，由余弦定理， 得，整理得，则. 故选：A 4．已知双曲线的左、右焦点分别.是上一点（在第一象限），直线与轴交于点，若，且，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图： 设，则，因为， 所以，根据双曲线的定义:， 因为，由勾股定理得：， 所以，则. 在中，. 在中，. 因为，所以， 从而， 即， 所以， 所以双曲线渐近线的方程为：. 故选：A 5．双曲线的左、右焦点分别为、，过作斜率为正且与的某条渐近线垂直的直线与双曲线在第一象限交于，，则的离心率为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令双曲线的半焦距为，则， 令直线与双曲线的渐近线垂直的垂足为， 于是，， 过点作于,则，而为线段的中点, 所以 因为，所以， 由双曲线定义得，即，解得. 所以该双曲线的离心率为. 故选：B. 6．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于，则（   ） A． B．6 C． D．3 【答案】A 【解析】由余弦定理得 ， ∴， ∴，∴（负值已舍去）. 故选：A． 7．如图，已知是双曲线的右支上的两点（点在第一象限），点关于坐标原点对称的点为，且，若直线的斜率为，则该双曲线的离心率为 ．    【答案】/ 【解析】令，为的中点，连接， 又点关于坐标原点对称的点为，易知，故， 由题意，有，即， 又，作差可得，则， 所以双曲线离心率为. 故答案为： 8．双曲线的左，右焦点分别为、，是双曲线的右支上的一点，的内切圆圆心为，记、的面积分别为、，则 . 【答案】 【解析】如图所示： 设圆与三边、、切点分别为、、，则， 由双曲线定义有，从而. 又，，所以， 设，，（为双曲线的半焦距）， 所以，解得，即点在定直线上， 又的内切圆圆心为，所以，内切圆半径， 又，， 所以. 故答案为：. 9．已知双曲线，直线与交于两点． (1)若的方程为，求； (2)若，且，求的斜率． 【解析】（1）设，； 联立得， ， 则，， 故； （2）若，则为线段的中点， 故，， 而 两式相减可得，， 故，得， 则直线的斜率为1，此时直线方程为，即， 所以，则， 所以存在直线，使得直线的斜率为1. 10．已知双曲线的离心率为，为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为. (1)求双曲线的方程; (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 【解析】（1）由题意知，解得， 则， 所以双曲线的方程为. （2）设双曲线的左焦点为，则， 由双曲线的定义知：，则， 可得， 当，，三点共线时，最小，且最小值为. 故的最小值为. 1．已知双曲线的左右焦点分别为，，点A在C上，点B在y轴上，若，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，，设， 则, 由，得， 解得，又在双曲线上， 所以，即，整理得， 即，由解得. 故选：C 2．已知双曲线的焦点为，，以为直径的圆与双曲线的一个交点为M，且有，则双曲线的离心率（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】 如图，，， 由，得，所以， 得，故，又， 即，得， 由，得，即双曲线的离心率为. 故选：D. 3．已知双曲线的左､右焦点分别为，点是上一点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由双曲线定义知，因为，所以， 在中，因为， 所以， 即，化简得， 所以双曲线的离心率为. 故选：D． 4．已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，P为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线C交于点Q，若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由题意可知：，，且， 在中，由余弦定理可得 ， 在中，由余弦定理可得 ， 则，化简得， 所以双曲线的离心率为. 故选：C. 5．公元前 300 年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值， 则这个比值即为“黄金分割比”， 把离心率为 “黄金分割比” 倒数的双曲线叫做 “黄金双曲线”． 黄金双曲线 的一个顶点为，与不在轴同侧的焦点为，的一个虚轴端点为，为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦， 为中点． 设双曲线的离心率为， 则下列说法中，错误的有（ ） A． B． C． D．若， 则恒成立 【答案】D 【解析】由为黄金分割双曲线可得，即，对两边同除以可得，则，A正确； 变形得，， ，， 所以，又， 所以，，所以， 所以，所以， B正确； 设，，，将坐标代入双曲线方程可得， ，作差后整理可得，即 所以，故C正确； 设直线，则直线，将代入双曲线方程， 可得，则，，将换成即得 ， 则与，的值有关，故D错误， 故选：D. 6．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上位于第一象限内的一点，且直线与轴的正半轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】设的内切圆在边，的切点分别为，， 则，，， 又，则， 由对称性可知，则， 所以，化简可得， 则，双曲线方程为， 所以双曲线的离心率为. 故选：D. 7．已知双曲线的左､右焦点分别是和，若在其渐近线上存在一点，满足，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】双曲线的渐近线方程为， , 点在双曲线上， 双曲线的渐近线方程为， 因为由题意可知与双曲线相交， 所以由双曲线渐近线性质可知只需，即， 则，解得（负值已舍去）， 故该双曲线离心率的取值范围是， 故选：A 8．已知分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于，则（   ） A． B．6 C． D．3 【答案】A 【解析】由题设，即， 不妨令，则， 又， 即， 综上，，即. 故选：A 9．（多选题）已知双曲线，对于点，若上存在两个点、，使得为线段的中点，则称为的一个“”点，下列各点中，是的“”点的为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】设点、，若轴，则线段的中点在轴上， 对于A选项，若为的一个“”点，则，可得， 此时，轴或过原点， 若轴，则直线的方程为，但直线与双曲线无公共点， 若过原点，则线段的中点为原点，不合乎题意，A不满足条件； 对于B选项，由题意可知直线的斜率存在，若为的一个“”点， 则， 因为，这两个等式作差可得， 即，则， 直线的方程为，即， 此时，直线过原点，则、关于原点对称，与假设矛盾，B不满足条件； 对于C选项，由题意可知直线的斜率存在，若为的一个“”点， 则， 因为，这两个等式作差可得， 即，则， 直线的方程为，即， 联立可得，，合乎题意； 对于D选项，由题意可知直线的斜率存在，若为的一个“”点， 则， 因为，这两个等式作差可得， 即，则， 直线的方程为，即， 联立可得，，D满足条件. 故选：CD. 10．（多选题）已知P为圆：上任意一点，，线段的垂直平分线交直线于点M，记点M的轨迹为曲线H，设，在曲线H上，且，，，则（   ） A．曲线H的方程为 B．曲线H的离心率为 C．经过且与曲线H只有一个公共点的直线恰有两条 D．四边形面积的最小值为8 【答案】AC 【解析】 对于A，圆：的圆心为，半径， 因为线段的垂直平分线交直线于点M，则， 所以， 所以点M的轨迹是以，为焦点的双曲线，其中，， 所以，所以曲线H的方程为，故A正确； 对于B，因为，，所以该双曲线的离心率为2，故B错误； 对于C，当直线的斜率不存在时，经过且与曲线H相切的直线是，符合题意； 当直线斜率存在时，经过的直线与曲线H的渐近线平行时，也满足条件， 所以符合条件的直线恰有两条，故C正确； 对于D，因为，，则A，B分别在两支上，且A，B都在x轴上方或x轴下方，不妨设都在x轴上方， 又，则A在第二象限，B在第一象限，如图所示，延长交双曲线于点N，延长交双曲线于点Q， 由对称性知四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍. 由题设，直线AN的方程为，直线BQ的方程为， 联立消去x并整理得， 易得， 因为，所以，所以， 两条直线AN与BQ间的距离， 所以， 令，，所以， 因为在上单调递减，且， 所以在上单调递增， 当即时，取得最小值为12，故D错误. 故选：AC. 11．（多选题）过双曲线的右焦点作直线l与该双曲线交于A、B两点，则（    ） A．仅存在一条直线l，使 B．存在直线l，使弦AB的中点为 C．与该双曲线有相同渐近线且过点的双曲线的标准方程为 D．若A，B都在该双曲线的右支上，则直线l斜率的取值范围是 【答案】CD 【解析】对于A，通径，实轴，则有四条直线l，使，故A错误； 对于B，假设存在直线l，使得弦AB的中点为， 设，，则， 两式相减得， 又，则，故直线的斜率， 此时直线方程为，即，由于右焦点不在直线上， 故不存在这样的直线l，故B错误； 对于C，设与该双曲线有相同渐近线的双曲线的标准方程为：，， 代入点可得，所以该双曲线的标准方程为，故C正确； 对于D，设直线l方程为：. 联立，得， 则，恒成立. 所以，，则，. 若A、B都在该双曲线的右支上，则， 即，解得，又斜率， 所以，故D正确. 故选：CD. 12．（多选题）已知双曲线的左、右焦点分别为、，圆与的渐近线相切．为右支上的动点，过点作双曲线的两渐近线的垂线，垂足分别为，则以下结论中正确的有（    ） A．两渐近线夹角为 B．的离心率 C．为定值 D．的最小值为 【答案】BCD 【解析】因为圆与的渐近线相切，所以圆心到渐近线的距离等于圆的半径， 即，所以双曲线，所以双曲线渐近线为， 所以两渐近线的倾斜角为和，则渐近线夹角为，则A错误； 因为，所以离心率，B正确； 设，则，所以，C正确； 因为由余弦定理可得 所以，当且仅当时，等号成立，此时点为双曲线的顶点， 所以的最小值为，D正确. 故选：BCD. 13．已知双曲线的离心率为2，把上所有点绕原点逆时针旋转角所得曲线的方程为，则的虚轴长为 . 【答案】 【解析】 设在曲线上， 也在曲线上，且也在曲线上， 曲线的两条对称轴分别为，而与曲线没有交点， 为曲线实轴所在的直线，联立，解得， 则直线和曲线的交点为和， 因此，双曲线中，又双曲线的离心率为2，则， ，则虚轴长为. 故答案为：. 14．已知P是双曲线上的点，，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积为9，则的值为 . 【答案】7 【解析】 如图所示，不妨设点P在双曲线的右支上，设，， 则，，，即， 所以，又，所以，又， ，解得，所以，即. 故答案为：7. 15．已知双曲线的左、右两个焦点分别为是上任意一点且满足点到的距离与点到直线的距离之比为，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【解析】设，则有，即， 则 ， 则由可得， 即， 故，即有，即可得， 故双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【解析】由题意，设、、， 则，，， 则，则. 故选：C. 2．（2024年天津高考数学真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：A 3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，则， 解得， 所以双曲线的渐近线为， 当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意； 当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离， 所以弦长. 故选：D 4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则的中点， 可得， 因为在双曲线上，则，两式相减得， 所以. 对于选项A： 可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D：，则， 联立方程，消去y得， 此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确； 故选：D. 5．（2023年天津高考数学真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图， 因为，不妨设渐近线方程为，即， 所以， 所以. 设,则，所以，所以. 因为,所以，所以，所以， 所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为 故选：D 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$