专题10 数列通项公式的智慧：解锁序列之谜(10大题型）-【寒假分层作业】2025年高二数学寒假培优练（苏教版2019）

专题10 数列通项公式的智慧：解锁序列之谜 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（10大题型） 题型1：观察法 题型2：叠加法 题型3：叠乘法 题型4：待定系数法 题型5：同除以指数 题型6：取倒数法 题型7：已知通项公式与前n项的和关系求通项问题 题型8：周期数列 题型9：前n项积型 题型10：因式分解型求通项 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 数列的通项公式 类型Ⅰ观察法： 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 类型Ⅱ公式法： 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 类型Ⅲ累加法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 类型Ⅳ累乘法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 类型Ⅴ构造数列法： ㈠形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 ㈡形如型的递推式： ⑴当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出 ⑵当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决． ⑶当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得． 类型Ⅵ对数变换法： 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 类型Ⅶ倒数变换法： 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 类型Ⅷ形如型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 观察法 1．若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．已知数列的前4项依次为，则其通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 3．数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 4．若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 5．将正整数如图排列，第行有个数，从1开始作如下运动，先从左往下碰到2，记为，再从开始从右往下碰到5，记为，接着从开始，从左往下碰到8，记为.依此类推，按左右左右往下，碰到的数分别记为，构成数列.则（   ）    A．59 B．60 C．61 D．62 叠加法 1．记数列的前项和为，已知且，则 . 2．已知数列首项为2，且，则 . 3．已知数列满足，对任意，，，则数列的通项公式为 . 4．已知，，则通项公式 . 5．记数列的前n项和为，已知（）且，，则 ． 叠乘法 1．数列中，，当时，，则数列的通项公式为 . 2．已知数列满足：，且，则数列的通项公式是 3．已知数列的前项和为且满足，则数列的通项公式为 ． 4．在数列中，，前项和，则数列的通项公式为 5．已知数列满足：且，则数列的通项公式为 ． 待定系数法 1．已知数列中，，，，为数列的前项和，则数列的通项公式 ； . 2．若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为 . 3．设数列满足，且，则数列的通项公式为 . 4．已知数列满足，且，则 . 5．在数列中，，则 ． 同除以指数 1．已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 2．数列满足，则数列的通项公式为 ． 3．数列满足，则数列的通项公式为 . 4．记数列的前项和为，若，则 . 5．在数列的首项为，且满足，设数列的前项和，则 ， ． 取倒数法 1．已知数列的前项和为，若，且，则 ． 2．数列中，若，，则 ． 3．已知数列满足，，，则 . 4．已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 5．已知数列满足，则的通项公式为 . 已知通项公式与前n项的和关系求通项问题 1．数列的前项和为，则它的通项公式为 . 2．已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式 . 3．已知数列满足，则的通项公式为 . 4．已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式是 . 5．设数列的前项和为，，，，则 . 周期数列 1．已知数列的前n项和为，，则（   ） A． B．0 C． D． 2．数列满足，则下列，的值能使数列为周期数列的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．已知数列满足，，则的2024项的和为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 4．若数列满足，且，则（   ） A． B．2 C． D． 5．若首项为 1 的数列 满足 ，则 （    ） A． B． C． D．1 前n项积型 1．设数列的前项之积为，满足，则（    ） A． B．4049 C． D． 2．设数列的前项积为，满足，则（    ） A．175 B．185 C． D． 3．已知为正项数列的前项的乘积，且，则（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 4．若数列的前项积为，且满足，，则（    ） A． B． C． D．7 5．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，若，，则满足的n的最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 因式分解型求通项 1．已知正项数列满足：，，． （Ⅰ）判断数列是否是等比数列，并说明理由； （Ⅱ）若，设．，求数列的前项和． 2．已知正项数列满足，设． （1）求，； （2）判断数列是否为等差数列，并说明理由； （3）的通项公式，并求其前项和为． 3．已知正项数列满足且 （Ⅰ）证明数列为等差数列； （Ⅱ）若记，求数列的前项和． 1．在数列中，，则等于（    ） A．4 B． C．13 D． 2．将正奇数按照如图排列，我们将……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（    ） A．55 B．75 C．111 D．135 3．已知各项均为正数的数列的前项和为，且，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．4 4．已知各项均为正数的数列的前项和为，且，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．4 5．已知数列满足,则（    ） A．2024 B．2025 C． D． 6．（多选题）数列的前项和为，若，则有（    ） A． B．为等比数列 C． D． 7．（1）在等差数列中，，求的通项公式； （2）已知数列的前n项和为，求数列的通项公式． 8．设数列满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式． 9．记等差数列的前n项和为，，． (1)证明：数列是等差数列． (2)若数列满足，且，求的通项公式． 1．已知是数列的前n项和，若，是等差数列，. (1)求； (2)求数列的通项公式. 2．已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式 . 3．已知为数列的前n项和，满足，则 ； . 4．已知数列中，且，则 . 5．已知数列的前n项和为S，且，．数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式及． 6．已知数列的各项均为正数，其前项和记为，，，其中为常数且. (1)若数列为等差数列，求； (2)若，求数列通项公式及. 7．记为数列的前项和，为数列的前项积，已知. (1)证明：数列是等差数列； (2)求的通项公式. 8．已知二次函数同时满足：①不等式的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立．设数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数．若，求数列的变号数． 9．求通项公式 (1)已知数列、、、、求通项公式； (2)在数列中，，且点在直线上，求数列的通项公式； (3)数列的首项为，且前项和满足，求数列的通项公式； (4)数列满足，，求数列的通项公式； 1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； 2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； 3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； 4．（2022年新高考全国I卷数学真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 数列通项公式的智慧：解锁序列之谜 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（10大题型） 题型1：观察法 题型2：叠加法 题型3：叠乘法 题型4：待定系数法 题型5：同除以指数 题型6：取倒数法 题型7：已知通项公式与前n项的和关系求通项问题 题型8：周期数列 题型9：前n项积型 题型10：因式分解型求通项 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 数列的通项公式 类型Ⅰ观察法： 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 类型Ⅱ公式法： 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 类型Ⅲ累加法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 类型Ⅳ累乘法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 类型Ⅴ构造数列法： ㈠形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 ㈡形如型的递推式： ⑴当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出 ⑵当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决． ⑶当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得． 类型Ⅵ对数变换法： 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 类型Ⅶ倒数变换法： 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 类型Ⅷ形如型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 观察法 1．若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，，，， 可得的一个通项公式为. 故选：B. 2．已知数列的前4项依次为，则其通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，，不合题意； 对于B，，符合题意； 对于C，，不合题意；对于D，，不合题意． 故选：B 3．数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】数列的前5项依次为，即，，，，， 所以的一个通项公式为． 故选：C 4．若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，，，， 可得的一个通项公式为． 故选：D． 5．将正整数如图排列，第行有个数，从1开始作如下运动，先从左往下碰到2，记为，再从开始从右往下碰到5，记为，接着从开始，从左往下碰到8，记为.依此类推，按左右左右往下，碰到的数分别记为，构成数列.则（   ）    A．59 B．60 C．61 D．62 【答案】C 【解析】由题意得，，，…，所以，． 因此． 故选：C． 叠加法 1．记数列的前项和为，已知且，则 . 【答案】 【解析】当时，由得， 即， 因为，所以， 所以， ， 则， 又满足上式，故， 故答案为：． 2．已知数列首项为2，且，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以，，，，， 累加可得，又， 所以. 故答案为： 3．已知数列满足，对任意，，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】由题， ， 所以. 故答案为：. 4．已知，，则通项公式 . 【答案】 【解析】因为，即， 故，，，，， 以上各式相加得. 又，所以，而也适合上式，故. 故答案为：. 5．记数列的前n项和为，已知（）且，，则 ． 【答案】 【解析】当时，由得， 即， 因为，所以， 所以， ， 则， 又满足上式，故， 故答案为：． 叠乘法 1．数列中，，当时，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】因为，， 所以，，，…，， 累乘得，， 所以，， 由于，所以，， 显然当时，满足， 所以， 故答案为：. 2．已知数列满足：，且，则数列的通项公式是 【答案】 【解析】由，则， 即，又，则， 故数列是以为首项，为公差的等差数列， 即， 则有，，，，且， 故，即，显然均满足. 故答案为：. 3．已知数列的前项和为且满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】当时，， 化简得，，利用累乘法得 ， 显然满足上式， 所以 故答案为： 4．在数列中，，前项和，则数列的通项公式为 【答案】 【解析】由于数列中，，前项和， 所以当时，， 两式相减可得：， 所以， ， 所以， 所以， 所以 ， 符合上式， 因此. 故答案为： 5．已知数列满足：且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】因为， 所以， 累乘可得， 即，所以， 当时，也成立， 所以. 故答案为： 待定系数法 1．已知数列中，，，，为数列的前项和，则数列的通项公式 ； . 【答案】 574 【解析】因为，， 则，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，即， 可得 ， 所以. 故答案为：；. 2．若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】， 又，故为公比为2的等比数列， 故，所以. 故答案为： 3．设数列满足，且，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】. ，则数列是以3为首项，3为公比的等比数列. ，所以. 故答案为： 4．已知数列满足，且，则 . 【答案】 【解析】设，解得：， 所以， 又，则， 故是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 故答案为：. 5．在数列中，，则 ． 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以， 所以数列是一个等比数列， 所以， 所以． 故答案为：． 同除以指数 1．已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】将两边同时除以，得，即． 由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故． 故答案为：. 2．数列满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】由题意知将等式两边同时除以， 可得，因为，所以可知， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 故答案为： 3．数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】数列中，由，得，即， 而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列， 因此，即， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 4．记数列的前项和为，若，则 . 【答案】/0.5 【解析】由，得， 则， 又，则，则， ，， ， 故答案为：. 5．在数列的首项为，且满足，设数列的前项和，则 ， ． 【答案】 【解析】由，即， 则，又， 故数列是以为公比、为首项的等比数列， 即，则， . 故答案为：；. 取倒数法 1．已知数列的前项和为，若，且，则 ． 【答案】 【解析】由， 即，因为， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 即，所以． 故答案为： 2．数列中，若，，则 ． 【答案】19 【解析】∵，则， ∴，∴故数列为等差数列，公差等于2， 又，故， ∴. 故答案为：19． 3．已知数列满足，，，则 . 【答案】 【解析】数列中，，，显然，取倒数得， 即，则数列是首项为1，公差为4的等差数列， 因此，所以. 故答案为：. 4．已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】因为数列满足，且，则， ，， 以此类推可知，对任意的，， 在等式两边取倒数可得，则， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 所以，，所以，. 故答案为：. 5．已知数列满足，则的通项公式为 . 【答案】 【解析】对两边取倒数得，即， 当时，，，，，， 将以上各式累加得，又， 所以，所以，当时，也满足，所以. 故答案为： 已知通项公式与前n项的和关系求通项问题 1．数列的前项和为，则它的通项公式为 . 【答案】 【解析】当时，， 时，， 验证，当时，，成立. 故答案为： 2．已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式 . 【答案】 【解析】由得，时，，两式相减得， 所以当时，是公比为3的等比数列，而，则， 由不满足上式得. 故答案为：. 3．已知数列满足，则的通项公式为 . 【答案】 【解析】数列中，， 当时，， 两式相减得，解得，而，即满足上式， 所以的通项公式为. 故答案为： 4．已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式是 . 【答案】 【解析】由， 当时，，则； 当时，， 则，即， 所以， 则数列为等比数列，首项为3，公比为， 所以，则. 故答案为：. 5．设数列的前项和为，，，，则 . 【答案】（） 【解析】因为，当时，， 两式相减可得，即， 所以，又，所以， 所以，所以，且也符合上式， 所以，所以，. 故答案为：（） 周期数列 1．已知数列的前n项和为，，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【解析】当n为奇数时有，函数的周期为， 故有， 故，，，， 则，故有. 故选：C. 2．数列满足，则下列，的值能使数列为周期数列的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】对于A，当时，；当时，；当时，无周期性，故A错误； 对于B，当时，；当时，；当时，所以数列是以2为周期的周期数列，故B正确； 对于C，当时，；当时，；当时，无周期性，故C错误； 对于D，当时，；当时，；当时，无周期性，故D错误； 故选：B. 3．已知数列满足，，则的2024项的和为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【解析】由已知得，，， 由此可知数列是周期为的周期数列， 由于，则， 故选：. 4．若数列满足，且，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】, 所以， 所以， 所以数列周期为3，由，可得， 所以. 故选：D 5．若首项为 1 的数列 满足 ，则 （    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】由，得： ， ， ， ， ， ， 因为，由此得数列是一个周期为的数列， 所以，则， 故选：C. 前n项积型 1．设数列的前项之积为，满足，则（    ） A． B．4049 C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以，所以，所以是公差为的等差数列， 因为，所以， 所以，所以， 故选：C. 2．设数列的前项积为，满足，则（    ） A．175 B．185 C． D． 【答案】A 【解析】因为，当时，解得， 当时，所以，则， 所以，又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 故选：A 3．已知为正项数列的前项的乘积，且，则（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】B 【解析】由，得，于是，则， 两边取对数得，因此，数列是常数列， 则，即，所以，. 故选：B 4．若数列的前项积为，且满足，，则（    ） A． B． C． D．7 【答案】B 【解析】由题意知，当时，． 由，得， 所以当时，，即， 又，所以是首项为、公差为的等差数列， 故． 故选：B 5．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，若，，则满足的n的最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】由可得，， 故为公比为2的等比数列，故， 所以，故， 因此 故， 要使，则， 当时，，时，，且在时，随着正整数的增大而增大，故的最小值为6， 故选：B 因式分解型求通项 1．已知正项数列满足：，，． （Ⅰ）判断数列是否是等比数列，并说明理由； （Ⅱ）若，设．，求数列的前项和． 【解析】解：（Ⅰ），， 又数列为正项数列， ， ①当时，数列不是等比数列； ②当时，，此时数列是首项为，公比为2的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：， ， ． 2．已知正项数列满足，设． （1）求，； （2）判断数列是否为等差数列，并说明理由； （3）的通项公式，并求其前项和为． 【解析】解：（1），，， 可得， 则， 数列为首项为1，公比为2的等比数列， 可得； ， ，； （2）数列为等差数列，理由：， 则数列为首项为0，公差为1的等差数列； （3）， 前项和为． 3．已知正项数列满足且 （Ⅰ）证明数列为等差数列； （Ⅱ）若记，求数列的前项和． 【解析】证明：由， 变形得：， 由于为正项数列，， 利用累乘法得：从而得知：数列是以2为首项，以2为公差的等差数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：， 从而． 1．在数列中，，则等于（    ） A．4 B． C．13 D． 【答案】A 【解析】依题意，在数列中，， 即， 所以 ． 故选：A. 2．将正奇数按照如图排列，我们将……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（    ） A．55 B．75 C．111 D．135 【答案】C 【解析】不妨设第n（）个“拐角数”为， 不难发现， 所以，得， 当时，也符合上式，所以， 所以第7个“拐角数”是， 第8个“拐角数”是， 第9个“拐角数”是， 第10个“拐角数”是， 第11个“拐角数”是， 第12个“拐角数”是.故C对； 故选：C 3．已知各项均为正数的数列的前项和为，且，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【解析】∵，∴当时，， 整理得，即， ∵的各项均为正数，∴， 由得， ∴数列是首项为1，公差为2的等差数列， ∴，， ∴. 令，则， 当时，，当时，， ∴． 故选：B． 4．已知各项均为正数的数列的前项和为，且，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【解析】∵，∴当时，， 整理得，即， ∵的各项均为正数，∴， 由得， ∴数列是首项为1，公差为2的等差数列， ∴，， ∴. 令，则， 当时，，当时，， ∴． 故选：B． 5．已知数列满足,则（    ） A．2024 B．2025 C． D． 【答案】C 【解析】因为，，则有， 故数列是以1为首项，公差的等差数列，故， 所以，则. 故选：C. 6．（多选题）数列的前项和为，若，则有（    ） A． B．为等比数列 C． D． 【答案】AD 【解析】 ，即， 又， 是首项为1，公比为的等比数列， ，故A正确； 又当时， 当时，不符合上式， ，故BC错误； 当时，，故D正确. 故选：AD. 7．（1）在等差数列中，，求的通项公式； （2）已知数列的前n项和为，求数列的通项公式． 【解析】（1）设等差数列的公差为d，由题可知，， 因为，得，解得， 所以等差数列的通项公式为； （2）当时，； 当时， 检验，所以． 8．设数列满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式． 【解析】（1）由，，得， 由， 得， 所以， 故数列是以为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）得，则， 则；；， ． 由累加法可得， 又，则，同时满足上式， 所以． 9．记等差数列的前n项和为，，． (1)证明：数列是等差数列． (2)若数列满足，且，求的通项公式． 【解析】（1）证明：设等差数列的公差为d， 又，， 解得，， 所以，， 所以． 因为， 所以， 所以数列是等差数列． （2），又， 所以，又 当时，， 则 ． 又也满足上式，所以的通项公式为． 1．已知是数列的前n项和，若，是等差数列，. (1)求； (2)求数列的通项公式. 【解析】（1）设数列的公差为d，则由，得， 所以，即， 所以，， 因为， 所以，解得， 所以； （2）由（1）知， 所以时，， 上面这个式子对也适合， 所以时，. 2．已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式 . 【答案】 【解析】由得，时，，两式相减得， 所以当时，是公比为3的等比数列，而，则， 由不满足上式得. 故答案为：. 3．已知为数列的前n项和，满足，则 ； . 【答案】 3 【解析】，则， 两式相减，得， 当为偶数时，，得； 当为奇数时，，得，即， 所以. 所以. 故答案为：2024；3 4．已知数列中，且，则 . 【答案】 【解析】因为，所以， 即，又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以，所以. 故答案为：. 5．已知数列的前n项和为S，且，．数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式及． 【解析】（1）因为，所以， 当时，，所以， 当时，， 作差得， 所以， 所以， 所以. （2）当时，因为， 所以，，， 所以累加法得出， 所以，所以， 当时，，所以， 所以， 所以. 6．已知数列的各项均为正数，其前项和记为，，，其中为常数且. (1)若数列为等差数列，求； (2)若，求数列通项公式及. 【解析】（1）当时，，而，解得， 当时，，解得， 由数列为等差数列，得，则，解得， 则，公差为2，所以. （2）当时，， 两式相减，得，而，则， 当时，，解得， 因此数列的奇数项是首项，公差为的等差数列， ； 偶数项是首项，公差为的等差数列，， 所以数列通项公式是； 当为偶数时， ， 当为奇数时，， 所以. 7．记为数列的前项和，为数列的前项积，已知. (1)证明：数列是等差数列； (2)求的通项公式. 【解析】（1）当时，，易得, 当时，代入消去， 得， 化简得， 所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列； （2）易得，由（1）可得， 当时，可得， ， 显然不满足该式， 所以 . 8．已知二次函数同时满足：①不等式的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立．设数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数．若，求数列的变号数． 【解析】（1）的解集有且只有一个元素． 或． 当时，函数在上单调递增， 故不存在，使得不等式成立； 当时，函数在上单调递减， 故存在，使得不等式成立． 综上，得，．． ， 当时，，不满足要求. （2）方法一：由题设得， 当时，， 当时，数列递增． ，由， 可知．即当时有且只有一个变号数． 又，，， ，， 此处变号数有2个． 综上得，数列共有3个变号数． 方法二：由题设 ， 当时， 令或或． 又，． 时也有． 综上得，数列共有3个变号数． 9．求通项公式 (1)已知数列、、、、求通项公式； (2)在数列中，，且点在直线上，求数列的通项公式； (3)数列的首项为，且前项和满足，求数列的通项公式； (4)数列满足，，求数列的通项公式； 【解析】（1）因为，，，， 由观察法可得. （2）在数列中，，且点在直线上， 则，所以，， 所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为， 所以，. （3）数列的首项为，且前项和满足， 即， 由题意可知，对任意的，则，则当时，， 所以，， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，，则， 故当时，， 且且满足，故对任意的，. （4）因为数列满足，，则，可得， 当时，，， 上述两个等式作差可得， 所以，数列的奇数项、偶数项分别成以为公差的等差数列， 当为奇数时，设，可得， 则； 当为偶数时，设，可得， 则. 故对任意的，. 1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； 【解析】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. 2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； 【解析】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. 3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； 【解析】（1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． 4．（2022年新高考全国I卷数学真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； 【解析】（1）∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$