第07讲 实数及其简单计算（知识串讲+14考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（人教版2024）

第07讲 实数及其简单计算 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、了解无理数和实数的概念。 2、会对实数按照一定标准进行分类 3、掌握实数的相关概念，增强学生应用数学的意识，提高学生应用数学的能力。 1. 无理数 无理数：无限不循环小数叫做无理数. 【补充】无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数. 常见的无理数： 1） 一般的无限不循环小数，如0.43241…，7.6385661…等 2） 开方开不尽的数，如： 、等. [易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数. 3）与圆周率π有关的数，如5π，3+π，等. 4）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）… 5）某些三角函数，如sin60°、cos20°. 【注意】无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 利用数轴表示无理数的方法：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，根据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点. 2. 实数及其分类 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 实数的分类： 实数与数轴上的点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. 3. 实数的运算 实数的四则运算：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算. 进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用. 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 4. 实数的非负性及性质： 1）非负数有三种形式：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0； ②任何一个实数a的平方是非负数，即≥0； ③任何非负数的算术平方根是非负数，即≥0. 2）非负数具有以下性质 ：①非负数有最小值零；②非负数之和仍是非负数； ③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 考点一： 无理数的判断 1．（24-25七年级上·浙江台州·期末）在实数，，，中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键． 根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：在实数，，，中， 是无理数，，，是有理数． 故选：B． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）在实数，，0，，，，，···（两个“1”之间依次多个“0”）中无理数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的定义，立方根，平方根的知识；根据无理数是无限不循环小数即可得出答案． 【详解】解：， 无理数为：，，···（两个“1”之间依次多个“0”） 无理数的个数是3个， 故选：B． 3．（24-25七年级上·云南文山·期中）下列各数中，，，，，，，，无理数的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，理解定义是解题的关键， 根据无限不循环小数为无理数，其中无理数包括：，等；开方开不尽的数；以及像（每两个之间的个数依次加）等有这样规律的数． 根据无理数的定义分析判断． 【详解】解：，， 无理数有：，，，，共个； 故选：B 考点二： 无理数大小的估算 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若整数满足条件，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可求解，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，而整数满足条件， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知，和为相邻的整数，则的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的估算，根据算术平方根可进行求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴； 故选B． 6．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）估计的值在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算．找到被开方数左右两边相邻的两个能开方的数，进行的估算，再进行求解即可．熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即：， ∴， 故选：C． 7．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，长方形内部有两个相邻的正方形，面积分别为10和4． (1)请计算阴影部分的面积． (2)请计算阴影部分的周长，并估计该周长最接近哪个整数． 【答案】(1) (2)周长更接近6 【分析】本题考查了算术平方根，无理数的估算，解决本题的关键是要能够由正方形的面积表示出正方形的边长． （1）先根据算术平方根的意义求出两个正方形的边长分别是，2，然后根据长方形的面积公式求解即可； （2）先求出周长为，然后根据无理数的估算方法即可求解． 【详解】（1）解：∵长方形内有两个相邻的正方形面积分别为10和4， ∴两个正方形的边长分别是，2， ∴阴影部分的宽为， ∴阴影部分的面积为； （2）解：阴影部分的周长为， ∵，， ∴， ∵， ∴以周长更接近6． 考点三： 无理数整数部分的有关计算 8．（24-25七年级上·浙江·期中）若，则与最接近的整数是 ． 【答案】4 【分析】先确定的范围，进而得出的准确范围，即可得出答案． 【详解】∵，且， ∴， ∴， 所以m更接近的整数是4． 故答案为：4． 9．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估计无理数的大小．根据，可得x和y的值． 【详解】解：∵， ∴，， 故选：C． 10．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）已知，分别是的整数部分和小数部分，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是无理数的估算和无理数的整数和小数部分，首先根据可以得到，所以可得的整数部分是，小数部分是，然后再代入代数式计算求值即可． 【详解】解：， ， ， ， 的整数部分是， ， 小数部分是， ． 故选：C． 11．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）阅读理解：，即． 的整数部分为2，小数部分为． ． 的整数部分为1． 的小数部分为． 解决问题： (1)填空：的整数部分是______，的小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，正确进行估算是解此题的关键． （1）估算出，，即可得解； （2）估算出，求出，，从而得出、的值，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴的整数部分是， ∴，即， ∴的小数部分是； （2）解：∵， ∴，即， ∴，， ∵的小数部分为a，的整数部分为b， ∴，， ∴． 12．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若a，b互为相反数，，d是的小数部分． (1)填空： ； ； ． (2)求的值． 【答案】(1)0，，； (2)． 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握无理数的估算方法以及代数式求值的方法是解本题的关键． （1）根据题意，利用相反数，算术平方根，估算无理数的大小，求出各自的值即可； （2）把各自的值代入原式计算即可求出值． 【详解】（1）解：∵a，b互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴的整数部分是3，小数部分是， ∴， 故答案为：0，，； （2）解：由（1）得，，， ∴． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如： ∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值； (3)已知，其中x是整数，且，求的值． 【答案】(1)4， (2)15 (3) 【分析】本题考查了无理数的估算和实数的运算，平方根，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． （1）仿照题中给出的方法估算的取值范围，即可得出其整数部分和小数部分； （2）先估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可求出a、b的值，从而计算的值； （3）先估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可求出x、y的值，从而计算出的值． 【详解】（1）∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是， （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∴的整数部分：， ∵， ∴小数部分：， ∴． 考点四： 实数的分类 14．（24-25七年级上·浙江温州·期中）聪聪在学完实数后，对数进行分类时，发现“实数”、“整数”、“正数”、“无理数”有如图所示的关系，请你在图中的横线上按对应序号分别填上一个适合的数． ①______；②______；③______；④______；⑤______；⑥______； 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键． 根据实数的分类填写即可． 【详解】解：实数分为有理数与无理数，也可分为正实数，0，负实数，所以实数下横线填负数；正数分为正有理数，正无理数，正数下的横线上填正有理数；整数分为正整数，0，与负整数，整数下横线填0与负整数；无理数分为正无理数，负无理数，无理数下横线填负无理数，整数与正数公共部分填正整数，无理数与正数公共部分填正无理数，填数如下： 即①负分数，如；②正分数，如：；③正整数，如1； ④正无理数，如；⑤0；⑥负无理数，如． 15．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号里： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧（两个“”之间依次多一个“”） 整数集合：{____________}； 负分数集合：{____________}； 无理数集合：{____________}； 【答案】整数：①④；负分数：②⑥⑦；无理数：③⑤⑧． 【分析】本题考查实数的分类、绝对值及乘方的计算．先计算乘方，绝对值，再根据整数包括负整数、和正整数；负分数为小于的分数；无理数是无限不循环小数，作答即可．熟练掌握相关定义是解题关键． 【详解】解：，， 整数集合：{①④…}； 负分数集合：{②⑥⑦…}； 无理数集合：{③⑤⑧…}； 16．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）将下列各数填入相应的括号内： ，，，，，， 正数集合：｛                            …｝； 有理数集合：｛                            …｝； 负数集合：｛                            …｝； 无理数集合：｛                            …｝． 【答案】答案见详解 【分析】本题主要考查了实数的分类，实数分为有理数和无理数，熟练掌握实数的性质是解本题的关键．根据实数的分类，有理数与无理数统称实数，实数还可分为：正实数，，负实数，从而可求出答案． 【详解】正数集合：， 有理数集合：， 负数集合：， 无理数集合：． 17．（2024七年级上·全国·专题练习）把下列各数填在相应的表示集合的大括号内（填序号）： ①，②π，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨0，⑩（每两个1之间依次多一个0）． 正数：{   …}； 整数：{   …}； 分数：{   …}； 非负有理数：{   …}； 无理数：{   …}； 负实数：{   …}． 【答案】②⑤⑧⑩；①④⑦⑨；③⑤⑥；⑤⑨；②⑧⑩；①③④⑥⑦ 【分析】本题考查了实数的分类，根据实数的分类，逐一判断即可解答． 【详解】解：，， 正数：{②⑤⑧⑩…}； 整数：{①④⑦⑨…}； 分数：{③⑤⑥…}； 非负有理数：{⑤⑨…}； 无理数：{②⑧⑩…}； 负实数：{①③④⑥⑦…}； 故答案为：②⑤⑧⑩；①④⑦⑨；③⑤⑥；⑤⑨；②⑧⑩；①③④⑥⑦． 考点五： 实数的性质 18．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）的相反数是 ，绝对值等于的数是 ， 【答案】 / 【分析】本题考查了实数、相反数和绝对值，根据相反数和绝对值的概念即可得出答案． 【详解】解：的相反数是，绝对值等于的数是，， 故答案为：，，． 19．（23-24七年级下·四川广元·期末）在数，0，和中，绝对值等于它本身的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值，立方根的知识，求出每一个数的绝对值进行比较即可求出． 【详解】解：，绝对值不等于它本身 ，绝对值等于它本身 ，，绝对值不等于它本身 ，绝对值等于它本身 绝对值等于它本身的共有2个； 故选：B． 20．（23-24七年级下·天津河西·期中）下列说法正确的是（    ） A．的相反数为 B．的绝对值是 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】．本题主要考查了相反数的定义，平方根，立方根定义以及绝对值的性质．根据相反数的定义，平方根，立方根定义以及绝对值的性质即可得到答案． 【详解】解：A．的相反数为，故本选项正确，符合题意； B．的绝对值是，故本选项错误，不符合题意； C．若，则，故本选项错误，不符合题意； D．若，则，故本选项错误，不符合题意； 故选：A． 考点六： 实数与数轴 21．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）如图，正方形方格的每一方格的边长为1个单位，依次连结各边的中点、、、得正方形，则正方形的边长是 ，以顶点为圆心，长为半径画圆交数轴的负半轴于点，则数轴上点对应的无理数是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的应用，求得的长是解题的关键．根据网格的特点求得对应的数为1，求得正方形的面积为，进而求得的长度，根据题意，可得点对应的无理数． 【详解】解：依题意，每一方格的边长为个单位． ∴对应的数是， ∵四边形的面积等于4个小正方形的面积的一半， ∴正方形的面积为， ∴， ∴正方形的边长为， 以顶点C为圆心．长为半径画圆交数轴于点， ∴， ∴点对应的无理数是． 故答案为：． 22．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，半径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点（滚动时与原点重合） 由原点到达点，则的长度就等于圆的周长 ，所以数轴上点代表的数是 【答案】 【分析】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上的点是一一对应关系是解答此题的关键．先求出圆的周长，再根据实数与数轴的关系即可得出结论． 【详解】解：圆的半径为1， 圆的周长为． 圆上的一点（滚动时与原点重合）由原点到达点， ． 是无理数， 是无理数． 故答案为：，． 23．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，是实数，且，，，则用数轴上的点来表示，，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了数轴的知识，解答本题的关键是理解数轴上各点的大小关系，掌握原点左边的数小于0，原点右边的数大于0．根据绝对值的定义和数轴的定义解答此题即可． 【详解】解：，， ，， ， 到原点的距离大于到原点的距离， 故选：C． 24．（24-25七年级上·全国·期中）如图，半径为1个单位的圆片上有一点与数轴上的原点重合，是圆片的直径． (1)把圆片沿数轴向左滚动半周，点到达数轴上点的位置，点表示的数是　　数（填 “无理”或“有理”），这个数是　　； (2)把圆片沿数轴滚动2周，点到达数轴上点的位置，点表示的数是　　； (3)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：，，，，． ①第几次滚动后，点距离原点最近？第几次滚动后，点距离原点最远？ ②当圆片结束运动时，点运动的路程共有多少？此时点所表示的数是多少？ 【答案】(1)无理， (2)或 (3)①第4次滚动后，点距离原点最近；第3次滚动后，点距离原点最远；②当圆片结束运动时，点运动的路程共有，此时点所表示的数是 【分析】本题主要考查了正数和负数的应用、用数轴上的点表示有理数、绝对值的应用、有理数运算等知识，理解题意，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键． （1）根据圆片半径，可知把圆片沿数轴向左滚动1周，点到达数轴上点的位置，点表示的数是，即可获得答案； （2）分圆片沿数轴向左滚动2周和向右滚动2周两种情况，分别求解即可； （3）①求出每一次滚动后所表示的数，然后比较绝对值的大小，即可获得答案；②将各数的绝对值进行求和，然后根据圆的周长计算公式得出答案；将各数进行相加，乘以圆的周长即可得出答案． 【详解】（1）解：把圆片沿数轴向左滚动半周，点到达数轴上点的位置，点表示的数是无理数，这个数是． 故答案为：无理，； （2）把圆片沿数轴向左滚动2周，点到达数轴上点的位置，点表示的数是， 把圆片沿数轴向右滚动2周，点到达数轴上点的位置，点表示的数是． 故答案为：或； （3）①第1次滚动后，点表示的数为， 第2次滚动后，点表示的数为， 第3次滚动后，点表示的数为， 第4次滚动后，点表示的数为， 第5次滚动后，点表示的数为， ∵， ∴第4次滚动后，点距离原点最近；第3次滚动后，点距离原点最远； ②， ， 即当圆片结束运动时，点运动的路程共有； ， 即当圆片结束运动时，点所表示的数是． 考点七： 与实数有关的化简问题 25．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：． 【答案】b 【分析】此题主要考查了实数运算以及实数与数轴，平方根，立方根的求解，化简绝对值，直接利用数轴得出，再化简求解． 【详解】解：由数轴可得：， 原式． 26．（23-24七年级下·湖北恩施·期中） 实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图， (1)比较大小 a 0； 0； 0 ； 0 (2)化简： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质： （1）根据数轴可得，据此可得答案； （2）根据（1）所求先计算算术平方根，立方根和绝对值，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴，； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴ ． 27．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示：    (1)化简：； (2)若的平方根是，的立方根是，求的算术平方根． 【答案】(1) (2)算术平方根为1 【分析】本题考查了通过数轴判断实数的大小，平方根，立方根，算术平方根的定义，熟练掌握平方根，立方根，算术平方根的定义是解题关键． （1）根据数轴判断出，再根据算术平方根，立方根的定义进行化简即可； （2）根据题意可以求出a，b的值，再代入求出最后结果． 【详解】（1）解：由数轴可知：， ， ， ； （2）∵若的平方根是， ∴， 解得：． 因为，，所以，， 又∵的立方根是， ∴，即， 解得：， ∴， 即，算术平方根为1． 28．（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了3个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)实数的值是______； (2)在数轴上还有两点分别表示实数和，且与互为相反数，求的值； (3)在数轴上还有点表示实数，且，化简： 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查的是实数与数轴，算术平方根的化简，非负数的性质，熟练的化简绝对值与理解非负数的性质是解本题的关键； （1）由“蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点”即可求解； （2）利用算术平方根和绝对值的非负性即可求解． （3）先判定，，再化简即可． 【详解】（1）解：∵点表示，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了3个单位长度到达点 ∴实数的值是： （2）∵与互为相反数，所以． ∴，， ∴，， ∴． （3）∵，， ∴，， ∴ ； 考点八： 实数的比较大小 29．（2024七年级上·全国·专题练习）比较下列各数的大小： (1)和； (2)和． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． （1）根号外的数变为平方后移到根号内，然后比较根号内的数的大小即可； （2）先变为分母相同的两个数，然后比较分子的大小即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵，=，， ∴． 30．（2024七年级上·全国·专题练习）比较下列各组数的大小： (1)，； (2)，． 【答案】(1)； (2)． 【分析】先将无理数估算出来，再根据实数的大小比较的方法比较即可，本题考查了实数的大小比较，掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵ ， ∴． （2）解：∵ ∴ ∴ ∴． 31．（24-25七年级上·浙江·期中）已知下列各数：，，，，0． (1)将上述各数表示在数轴上． (2)将上述各数按从小到大的顺序用“”连接． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了实数与数轴，利用数轴比较实数的大小，准确熟练在数轴上找到各数对应的点是解题的关键． （1）在数轴上找到各数对应的点，即可解答； （2）根据数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大，即可解答． 【详解】（1）解：，， 如图， （2）解：． 考点九： 实数的混合运算 32．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，绝对值等知识点， (1)原式去括号合并即可得到结果； (2)原式利用算术平方根定义，立方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值； 熟练掌握数的运算法则是解决此题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 33．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握求一个数的算术平方根，立方根是解题的关键． （1）去绝对值符号，再根据实数的混合运算进行计算即可求解； （2）先计算乘方，算术平方根与立方根，再进行加减计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 34．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1)4 (2)0 (3)10 【分析】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算立方根，再去绝对值符号即可； （2）原式分别计算算术平方根和立方根，然后再计算减法即可； （3）先进性乘方和开方运算，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 35．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是解题的关键．先计算算术平方根和立方根，再去绝对值和计算乘方，最后计算加减法即可． 【详解】 36．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）初中阶段，目前我们已经学习了多种计算技巧，例如裂项相消法、错位相减法等，请计算下列各式： (1)______； (2)______； (3)______； (4)______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了实数的运算，根据题意找出运算规律是解题关键． （1）根据裂项计算即可； （2）根据裂项计算即可； （3）根据裂项计算即可； （4）先去绝对值符号，再错位相减计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 考点十： 实数运算的实际应用 37．（20-21七年级下·湖北武汉·期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为． (1)求该长方形的长宽各为多少? (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗?并说明理由． 【答案】(1)长方形的长30米，宽20米 (2)不能改造出这样两块不相符的实验田，见解析 【分析】（1）按照设计的花坛长宽之比为设长为米，宽为米，以面积为600平方米作等量关系列方程，解得x的值即可得出答案； （2）设大正方形的边长为米，则小正方形的边长为米，根据面积之和为500m2，列出方程求出y，得到大正方形的边长和小正方形的边长，即可求解． 【详解】（1）解：长方形长宽之比为， 设该长方形花坛长为米，宽为米， 依题意得：， ， ∴或（不合题意，舍去） ， 答：该长方形的长30米，宽20米； （2）解：不能改造出这样两块不相符的实验田，理由如下： 两个小正方形的边长比为， 设大正方形的边长为米，则小正方形的边长为米，依题意得：， ， ， 或（不合题意，舍去） ， ， 所以不能改造出这样两块不相符的实验田． 【点睛】本题主要考查了平方根的应用，运用方程解决实际问题，关键是找出题目的两个相等关系． 38．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 【答案】(1) (2)该座钟大约发出了420次滴答声 【分析】（1）将数据代入函数关系式，进行计算即可； （2）用总时间除以一个周期的时间进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； （2）（次）． 答：该座钟大约发出了420次滴答声． 【点睛】本题考查求实数运算的实际应用．属于基础题型，正确的计算，是解题的关键． 39．（22-23七年级下·福建莆田·期中）虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？ 【答案】圆形广场围墙米，正方形广场围墙米，选择圆形广场的建设方案，理由见详解 【分析】分别计算出圆形花园和正方形花园所需围墙的长度，比较即可作答． 【详解】当为圆形时，设圆的半径为，则有：， 即：（负值舍去）， 则此时花园的围墙为：（米）； 当广场为正方形时，设正方形边长为，则有：， 即：（负值舍去）， 则此时花园的围墙为：（米）； ∵， ∴建造成圆形时，广场的围墙会更短， 则建造成本更低， ∴作为投资商，会选择建圆形花园． 【点睛】此题主要考查实数的大小的比较在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学． 40．（21-22七年级下·北京·期中）“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图． 由面积公式，可得______． 因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____． (2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程． 现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形． 请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程． 【答案】(1)，，，； (2)见解析 【分析】（1）根据图形中大正方形的面积列方程即可； （2）在网格中分别找到1×1和1×2的长方形，依次连接顶点即可． 【详解】（1）由面积公式，可得 ∵值很小，所以更小，略去，得方程，解得（保留到0.001），即． 故答案为：，，，； （2）小敏同学的做法，如图： 排列形式如图（3），如图： 画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，考查数形结合的思想，根据正方形的面积求出带根号的边长是解题的关键． 考点十一： 与实数运算有关的新定义问题 41．（24-25七年级上·河南濮阳·期中）对于有理数，，定义一种新运算：，例如：，．根据上面的材料，请完成下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解答本题的关键． （1）利用题中的新定义计算即可求出值； （2）利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 42．（24-25七年级上·辽宁锦州·期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，， 如． 材料二：规定表示不超过a的最大整数，如． (1)______，______； (2)a是有理数，______； (3)求的值． 【答案】(1)； (2)0或 (3) 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键． （1）根据材料1新定义的运算“”的概念即可求出的值，根据材料2中定义即可求出的值； （2）a是有理数，分两个情况讨论，a为整数和a为小数； （3）根据新定义函数把变形为加减运算，再根据运算顺序即可求出的值． 【详解】（1）解： ， ， ，， ， 故答案为：；； （2）对于任意有理数a，表示不超过a的最大整数，表示不超过的最大整数， 当有理数a为整数时，， 当有理数a为小数时，， 故答案为：0或； （3） ． 43．（24-25七年级上·浙江温州·期中）定义一种新运算“”：当时，；当时，． (1)根据定义计算： ①，； ②，． (2)根据（1）中的计算结果，请直接判断该运算是否满足交换律． (3)已知，求a的值． 【答案】(1)①，；②， (2)满足，理由见解析 (3)5或 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，利用平方根的含义解方程； （1）根据新定义直接列式计算即可； （2）根据（1）中的计算结果可得该运算满足交换律； （3）由，可得，再利用平方根的含义解方程即可． 【详解】（1）解：① ．     ．     ② ．     ． （2）解：由（1）可得：；， ∴该运算满足交换律． （3）解：∵是一个非负数， ∴， ∴，     ∴     ， ∴，     ∴， ∴， ∴或． 44．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）【数学中的阅读理解】对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：________，________； (2)若，写出满足题意的的整数值________； (3)如果我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，________之后结果是1； (4)只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中，最大的是________． 【答案】(1)4，6 (2)1或2或3 (3)3次 (4)255 【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是理解题意，掌握无理数的估算． （1）根据题意得，，，则，即可得出答案； （2）根据，，即可得； （3）根据题意得，第一次：；第二次：；第三次：，即可得； （4）由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，则进行1次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255，即可得． 【详解】（1）解：∵，，， ， ，， 故答案为：4，6； （2）解： ，，， ∴， 或或， 故答案为：1或2或3； （3）解：第一次：， 第二次：， 第三次：， 第3次之后结果为1， 故答案为：3次； （4）解： 由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3， ，， 进行2次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15， ，， 进行3次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255， 只对一个正整数进行3次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是255， 故答案为：255． 45．（23-24七年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，已知任意两点，，规定，若，且，求点Q的坐标． 【答案】点Q的坐标为 【分析】题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用题中的新定义计算求出与的值，即可确定出点坐标． 【详解】设点Q的坐标为，依题意得： ， 可得：，， 解得：，， ∴点Q的坐标为． 46．（23-24七年级下·广东阳江·期末）【阅读新知】 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘运算与整式的加、减、乘运算类似．例如：．复数的加法运算法则：将两个复数的实部和虚部分别相加．例如：． 【应用新知】 (1)填空：______；______． (2)计算：． 【答案】(1)1； (2) 【分析】本题考查实数的新定义运算，根据题意解答是解题的关键． （1）根据，分别求出、的值即可； （2）把与的实部、虚部分别相加，求出的值即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：1；i． （2）解：原式． 考点十二： 程序设计与实数运算 47．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 【答案】(1) (2)4次 【分析】本题考查了实数的运算，理解题意，掌握框图中的运算法则是解题的关键． （1）根据框图中的运算程序计算即可； （2）根据框图中的运算程序计算，直到结果大于或等于4即输出结果为止． 【详解】（1）当输入x的值为5时， 则有，， 且， 输出y的值是． （2）当输入x的值为1时， 则有，，，继续计算； 第二次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第三次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第四次输入x的值为时， 则有，，，输出； 所以经过4次程序运行后才能输出y． 48．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）如图所示为一个数值转换器． (1)当输入的的值为49时，输出的的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请写出所有满足要求的的值：______； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 【答案】(1) (2)0和1 (3)5，25（5的偶次方都对） 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键． （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根，是无理数，所以输出的y值为； （2）解：因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数； 所以当，1时，始终输不出y值． （3）解：的算术平方根为25， 的算术平方根5， 5的算术平方根为， ∴或或（5的偶次方）都满足要求． 49．（23-24七年级下·广东阳江·期中）如图是一个数值转换器，请根据其原理解决问题：当x为12时，求y的值，并写出详细过程． 【答案】，见详解 【分析】本题主要考查了有理数和无理数的分类、实数的运算以及流程图，掌握有理数和无理数的分类以及读懂流程图是解答本题的关键． 【详解】解：把代入数值转换器，第一次计算可得，为有理数，进行第二次计算， 把代入数值转换器，第二次计算可得，为无理数， 则输出． 50．（23-24七年级上·浙江·期末）有一个数值转换器，运算流程如下： (1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值． (2)若输出的值为，求输入的值． 【答案】(1)当时，；当时，；当时， (2)3或9 【分析】（1）将，4，分别代入，计算求解即可； （2）由题意知，分当是无理数的相反数时，当是有理数的负平方根时，两种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：当时，其算术平方根为，是无理数，故； 当时，其算术平方根为2，是有理数，故； 当时，其算术平方根为4，是有理数，故； （2）解：当是无理数的相反数时，则的算术平方根是， ∴， 当是有理数的负平方根时，则的算术平方根的负平方根是， ∴， 综上所述，的值为3或9． 【点睛】本题考查了相反数，算术平方根，平方根．熟练掌握相反数，算术平方根，平方根的概念是解题的关键． 考点十三： 与实数运算有关的规律探究问题 51．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想______； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含的式子表示的等式：____（为正整数）； (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数运算相关的规律的探究． （1）利用题中等式的计算规律得到的结果为； （2）第n个等式的左边为，等式右边为1与的和； （3）根据规律得到，，，，，相加即可求解． 【详解】（1）解：的结果为； 故答案为：； （2）解：∵①； ②； ③， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ， ， ， ， ∴ ． 52．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，； （2）由，可求当一个等式的最右边的值是的等式； （3）由题意可推导一般性规律为，第n个等式为，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， …… ∴第七个等式为； （2）解：∵， ∴当一个等式的最右边的值是，这个等式为； （3）解：由题意可推导一般性规律为，第n个等式为， ∴第n个等式为． 53．（22-23七年级上·广东潮州·期中）我们来看下面的两个例子： ，， 和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个， 所以． ， 和都是的算术平方根， 而的算术平方根只有一个，所以 （填空） （1）猜想：一般地，当时，与之间的大小关系是怎样的？ （2）运用以上结论，计算：的值． 【答案】（1）；（2）120 【分析】此题主要考查了实数运算以及算术平方根，正确由特殊值分析式子变化规律是解题关键． （1）直接利用算术平方根的定义得出答案； （2）直接利用得出答案． 【详解】解：， 和都是的算术平方根， 而的算术平方根只有一个，所以； （1）根据题意，当时， 则； （2）． 54．（23-24七年级下·广东江门·期中）先观察下列各式4； (1)计算： (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出： (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1)6 (2) (3)52 【分析】本题主要考查算术平方根与数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出规律：个连续奇数和的算术平方根等于． （1）由个连续奇数和的算术平方根等于可得答案； （2）利用以上所得规律可得； （3）将被开方数提取公因数4，再利用所得规律求解可得 【详解】（1）解：， 故答案为：6； （2） ， 故答案为：； （3） ． 考点十四： 与实数运算有关的阅读理解类问题 55．（23-24七年级下·重庆江津·期中）阅读下面文字，解答问题： 大家知道：是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上小明的表示方法有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．又例如： ，即， 的整数部分为2，小数部分为．请解答： (1)的整数部分为 ，小数部分为 ． (2)已知：是的整数部分，是的小数部分，求的值． (3)已知，是有理数，并且满足等式，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了无理数的估算．解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题． （1）类比示例通过估算的值进行求解； （2）先估算的值，再求出、的值，最后代入求解； （3）先根据题意求出、的值，再代入求解． 【详解】（1）解： ，即， 的整数部分为，小数部分为， 故答案为：，； （2） ，即， ， ， 的整数部分是，小数部分是， ，， ； （3） ，是有理数，并且满足等式， ，， 解得：，， 当时，， 当时，， 的值为或． 56．（21-22七年级下·山西阳泉·期中）阅读材料，完成下列任务： 因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：、等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确． 材料一：，即，． 的整数部分为1，小数部分为． 材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值． 我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设可画出如图示意图． 解：由图中面积计算，， ， ． 是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， 得方程，解得，即． 解决问题： (1)利用材料一中的方法，求的小数部分； (2)利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了无理数的估算，解题关键是准确理解题目给出的方法，熟练进行计算． （1）根据材料一中的方法求解即可； （2）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可． 【详解】（1）解：，即 的整数部分为9． 的小数部分为． （2）解：∵面积是5的正方形的边长是， ， ∴可设 画出示意图如图所示 由图中面积计算，， ， 是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， ∴得方程，解得， 即 57．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）阅读下面的文字，解答问题． 如果无理数满足（其中是整数），那么称为无理数的“相邻区间”．例如，因为，所以，所以称为的“相邻区间”． 请解答下列问题： (1)求无理数的“相邻区间”． (2)已知的“相邻区间”是，且，求的值． (3)已知是正整数，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】本题考查了新定义的应用，涉及到二次根式的应用，熟练掌握新定义并加以应用是解题的关键． （1）根据题意可得到为的“相邻区间”； （2）由的相邻区间，得到的相邻区间，得到的值，从而得到的结果； （3）先求出的相邻区间，得到的相邻区间，从而得到的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴为的“相邻区间”； （2）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴的“相邻区间”是， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 58．（23-24七年级下·山西阳泉·期末）阅读与思考 下面是小敏同学学习实数之后整理的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． *年*月*日      星期二       晴 无理数与线段长今天我们学习了实数，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，明白了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．课本里有这样一个探究：如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，可以得到一个面积为2的大正方形，面积为2的大正方形的边长就是原边长为1小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为；由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图2，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点A、，则，点A对应的数为，点对应的数为．    类比思考：如图3，改变图2中正方形的位置，以数字1所在的点为圆心，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！ 按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！ 任务： （1）上述材料中说明问题的方式主要体现了下列哪种数学思想_____________． A．方程思想 B．数形结合思想 C．化归思想 （2）“类比思考”中，线段的长为_____________，的长为_____________；则点B表示的数为_____________，点表示的数为_____________． （3）拓展思考：通过动手操作，小敏同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图4所示的正方形．则请借鉴材料中的方法在数轴上找到表示的点P．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 【答案】（1）B；（2），，，；（3）见解析 【分析】本题考查实数与数轴，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）体现了数形结合的思想； （2）利用平移的思想，进行求解即可； （3）类比题干中的方法，作图即可． 【详解】解：（1）体现了数形结合的思想； 故选：B； （2）图3中的正方形相当于从图2的位置向右平移1个单位长度得到的， ∴的长为，，点表示的数为，点表示的数为； 故答案为：，，，； （3）∵大正方形的面积为5， ∴小长方形的对角线长为， 如图所示，点P表示的数为． 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）在实数，，，，，，，中，无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了无理数“无限不循环小数是无理数”、算术平方根与立方根，熟练掌握无理数的定义是解题关键．先计算算术平方根与立方根，再根据无理数的定义求解即可得． 【详解】解：，， 则，，，0.1010010001，，都是有理数，和是无理数， 所以无理数有2个， 故选：A． 2．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）关于无理数，下列说法正确的有（    ） ①无理数都是无限小数；②无限小数都是无理数；③无理数也能用数轴上的点表示；④无理数与有理数的和是无理数；⑤无理数与无理数的和是无理数； A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②⑤ 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数，实数、数轴的应用，熟练掌握相关知识的定义是解题的关键．无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，所有实数都可以用数轴上的点表示，无理数是指无限不循环小数，根据以上内容判断即可． 【详解】解：①无理数都是无限小数，原说法正确； ②无限循环小数是有理数，原说法不正确； ③无理数也能用数轴上的点表示，原说法正确； ④无理数与有理数的和是无理数；原说法正确； ⑤无理数与无理数的和不一定是无理数；原说法不正确； 正确的有①③④， 故选：B． 3．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）计算的结果为（    ） A．0 B．4 C． D．0或 【答案】A 【分析】本题主要查了立方根和算术平方根的性质．直接利用立方根和算术平方根的性质分别化简，即可得出答案． 【详解】解： 故选：A 4．（22-23七年级下·广西崇左·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，化简绝对值，根据进行求解即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 5．（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知，则实数在（      ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【分析】本题考查了对无理数大小的估算能力，能准确理解并运用算术平方根知识是解题的关键．先化简的值，再运用算术平方根知识进行估算、求解． 【详解】解：， ∵， ∴． 故选：C ． 6．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）若x为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的运算，根据实数的相关运算法则即可求得答案，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据选项代入判断即可． 【详解】A．与4，无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意； B．，均为有理数，故本选项不符合题意； C．，为有理数，故本选项不符合题意； D．，均为有理数，故本选项不符合题意． 故选：A． 7．（24-25八年级上·山西·阶段练习）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（   ） A．a B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式及绝对值的性质化简，先根据a，b两点在数轴上的位置判断出a，b的符号，再把各二次根式及绝对值进行化简即可． 【详解】解：∵由图可知，，， ∴ ∴． 故选：A． 8．（20-21七年级下·北京西城·期中）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序设计与实数运算，求一个数的立方根，求一个数的算术平方根，先根据程序得出，再求它的算术平方根，接着判断是否为无理数，是就输出结果，否则就继续算它的算术平方根，即可作答． 【详解】解：∵输入的x为64， ∴， ∴， ∵2是有理数， ∴2的算术平方根是，是无理数， 则输出的y是， 故选：C． 9．（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减法：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 先化简，再去绝对值，然后合并即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 10（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积（溢出水的体积即为正方体的体积）为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于 两个相邻的整数之间． 【答案】3和4/4和3 【分析】本题主要考查估算无理数的大小，掌握正方体体积的计算方法以及立方根的定义是正确解答的关键．根据正方体体积的计算方法以及立方根的定义得出正方体的棱长为，再利用立方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：由题意可知，这个正方体的体积为， ∴这个正方体的棱长为， 由于，即， ∴该正方体铁块的棱长大约位于至之间． 故答案为：3和4． 11．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）比较大小： （1） （2） （3） 【答案】 ＜ ＜ ＜ 【分析】本题主要考查无理数的估算及实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解题的关键；因此此题可根据无理数的估算分别求解（1）（2）（3）即可． 【详解】解：∵，即， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为＜，＜，＜． 12．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知是满足不等式的所有整数的和，是的整数部分，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的估算，用“夹逼法”估算算术平方根是解题关键．先通过估算确定M、N的值，再求的平方根． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴a的整数值为：，0，1，2，3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴9的平方根是，即的平方根为； 故答案为：． 13．（2024·山东德州·中考真题）观察下列等式： …… 则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根．通过前三个式子找出其中的规律即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）（1）计算： （2）求值． （3）求值 （4）如图，，是数轴上三个点、、所对应的实数． 试化简： 【答案】（1）5；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查数轴上的点，绝对值的性质，平方根和立方根，掌握平方根和立方根的概念是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的概念计算即可； （2）运用平方根的概念解方程； （3）运用立方根的概念解方程； （4）根据数轴确定的符号，再由绝对值的性质，和平方根，立方根的性质化简即可． 【详解】（1） ． （2） ， ， ， 或， 解得． （3） ， ， ， ， 解得． （4）由数轴可知，， ， ． 15．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为__________； (2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； (3)若x，y满足关系式：，则的“共同体区间”为__________． 【答案】(1)； (2)的“共同体区间”为； (3)． 【分析】本题考查了算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算等知识点，掌握相关知识是解题的关键． （1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解； （2）先根据无理数的“共同体区间”求出的取值范围，再求出的取值范围，再根据“共同体区间”的定义求解； （3）先根据已知得，解得，分别代入求值，再根据“共同体区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解： 的“共同体区间”是， 故答案为：； （2）解：∵无理数的“共同体区间”为， 即 的“共同体区间”为； （3）解：∵ ，， ∴， ∴， ， 解得：， 当时， 的“共同体区间”为， 故答案为：． 16．（24-25七年级上·浙江温州·期中）把下列各数的序号填入相应的横线内． ①，②，③，④6，⑤，⑥（两个“7”之间依次多一个“2”）． (1)整数：______________； (2)正分数：______________； (3)无理数：______________． 【答案】(1)②④； (2)①③； (3)⑤⑥． 【分析】本题考查了实数的分类、求算术平方根，熟练掌握实数的分类是解此题的关键． （1）根据整数包括正整数、负整数、0即可得解； （2）根据正分数的定义即可得解； （3）根据无理数的定义即可得解． 【详解】（1）解：， 整数：②④； （2）解：正分数：①③； （3）解：无理数：⑤⑥． 17．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图①是由4个面积相同的小正方形组成的图形，面积为4． (1)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (2)把正方形放到数轴上，如图②，使得点与重合，那么点在数轴上表示的数为 ． 【答案】(1)边长都是1，面积2 (2) 【分析】本题主要考查实数与数轴、算术平方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． （1）根据正方形的面积得出边长，再求出正方形的对角线，即阴影部分图形的边长和面积； （2）用点表示的数减去边长即可得解． 【详解】（1）解：设正方形的边长为， 则，解得：； 每个小正方形的边长都是1， 正方形的边长为：， ； （2）解：正方形的边长为，点与重合， 点在数轴上表示的数为：， 故答案为：． 18．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）观察与探究：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)已知：，其中x是整数，且，求的相反数．（写出解答过程） 【答案】(1)4， (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，相反数，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小． （1）先估算的大小，然后求出其整数部分和小数部分即可； （2）先估算的大小，再根据不等式的性质估算的大小，求出整数部分和小数部分，从而求出的值，再求出它的相反数即可． 【详解】（1）解： ，即， 的整数部分是4，小数部分， 故答案为：，； （2）解： ，即， ， ∴， 的整数部分是11，小数部分是， ，其中x是整数，且， ，， ， 的相反数为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 实数及其简单计算 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、了解无理数和实数的概念。 2、会对实数按照一定标准进行分类 3、掌握实数的相关概念，增强学生应用数学的意识，提高学生应用数学的能力。 1. 无理数 无理数：无限不循环小数叫做无理数. 【补充】无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数. 常见的无理数： 1） 一般的无限不循环小数，如0.43241…，7.6385661…等 2） 开方开不尽的数，如： 、等. [易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数. 3）与圆周率π有关的数，如5π，3+π，等. 4）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）… 5）某些三角函数，如sin60°、cos20°. 【注意】无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 利用数轴表示无理数的方法：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，根据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点. 2. 实数及其分类 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 实数的分类： 实数与数轴上的点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. 3. 实数的运算 实数的四则运算：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算. 进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用. 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 4. 实数的非负性及性质： 1）非负数有三种形式：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0； ②任何一个实数a的平方是非负数，即≥0； ③任何非负数的算术平方根是非负数，即≥0. 2）非负数具有以下性质 ：①非负数有最小值零；②非负数之和仍是非负数； ③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 考点一： 无理数的判断 1．（24-25七年级上·浙江台州·期末）在实数，，，中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）在实数，，0，，，，，···（两个“1”之间依次多个“0”）中无理数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25七年级上·云南文山·期中）下列各数中，，，，，，，，无理数的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 考点二： 无理数大小的估算 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若整数满足条件，则的值是 ． 5．（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知，和为相邻的整数，则的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 6．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）估计的值在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 7．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，长方形内部有两个相邻的正方形，面积分别为10和4． (1)请计算阴影部分的面积． (2)请计算阴影部分的周长，并估计该周长最接近哪个整数． 考点三： 无理数整数部分的有关计算 8．（24-25七年级上·浙江·期中）若，则与最接近的整数是 ． 9．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 10．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）已知，分别是的整数部分和小数部分，那么的值是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）阅读理解：，即． 的整数部分为2，小数部分为． ． 的整数部分为1． 的小数部分为． 解决问题： (1)填空：的整数部分是______，的小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 12．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若a，b互为相反数，，d是的小数部分． (1)填空： ； ； ． (2)求的值． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如： ∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值； (3)已知，其中x是整数，且，求的值． 考点四： 实数的分类 14．（24-25七年级上·浙江温州·期中）聪聪在学完实数后，对数进行分类时，发现“实数”、“整数”、“正数”、“无理数”有如图所示的关系，请你在图中的横线上按对应序号分别填上一个适合的数． ①______；②______；③______；④______；⑤______；⑥______； 15．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号里： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧（两个“”之间依次多一个“”） 整数集合：{____________}； 负分数集合：{____________}； 无理数集合：{____________}； 16．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）将下列各数填入相应的括号内： ，，，，，， 正数集合：｛                            …｝； 有理数集合：｛                            …｝； 负数集合：｛                            …｝； 无理数集合：｛                            …｝． 17．（2024七年级上·全国·专题练习）把下列各数填在相应的表示集合的大括号内（填序号）： ①，②π，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨0，⑩（每两个1之间依次多一个0）． 正数：{   …}； 整数：{   …}； 分数：{   …}； 非负有理数：{   …}； 无理数：{   …}； 负实数：{   …}． 考点五： 实数的性质 18．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）的相反数是 ，绝对值等于的数是 ， 19．（23-24七年级下·四川广元·期末）在数，0，和中，绝对值等于它本身的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．（23-24七年级下·天津河西·期中）下列说法正确的是（    ） A．的相反数为 B．的绝对值是 C．若，则 D．若，则 考点六： 实数与数轴 21．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）如图，正方形方格的每一方格的边长为1个单位，依次连结各边的中点、、、得正方形，则正方形的边长是 ，以顶点为圆心，长为半径画圆交数轴的负半轴于点，则数轴上点对应的无理数是 ． 22．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，半径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点（滚动时与原点重合） 由原点到达点，则的长度就等于圆的周长 ，所以数轴上点代表的数是 23．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，是实数，且，，，则用数轴上的点来表示，，正确的是（） A． B． C． D． 24．（24-25七年级上·全国·期中）如图，半径为1个单位的圆片上有一点与数轴上的原点重合，是圆片的直径． (1)把圆片沿数轴向左滚动半周，点到达数轴上点的位置，点表示的数是　　数（填 “无理”或“有理”），这个数是　　； (2)把圆片沿数轴滚动2周，点到达数轴上点的位置，点表示的数是　　； (3)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：，，，，． ①第几次滚动后，点距离原点最近？第几次滚动后，点距离原点最远？ ②当圆片结束运动时，点运动的路程共有多少？此时点所表示的数是多少？ 考点七： 与实数有关的化简问题 25．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：． 26．（23-24七年级下·湖北恩施·期中） 实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图， (1)比较大小 a 0； 0； 0 ； 0 (2)化简： 27．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示：    (1)化简：； (2)若的平方根是，的立方根是，求的算术平方根． 28．（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了3个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)实数的值是______； (2)在数轴上还有两点分别表示实数和，且与互为相反数，求的值； (3)在数轴上还有点表示实数，且，化简： 考点八： 实数的比较大小 29．（2024七年级上·全国·专题练习）比较下列各数的大小： (1)和； (2)和． 30．（2024七年级上·全国·专题练习）比较下列各组数的大小： (1)，； (2)，． 31．（24-25七年级上·浙江·期中）已知下列各数：，，，，0． (1)将上述各数表示在数轴上． (2)将上述各数按从小到大的顺序用“”连接． 考点九： 实数的混合运算 32．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1) (2) 33．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算 (1) (2) 34．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． (3)． 35．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）计算：． 36．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）初中阶段，目前我们已经学习了多种计算技巧，例如裂项相消法、错位相减法等，请计算下列各式： (1)______； (2)______； (3)______； (4)______． 考点十： 实数运算的实际应用 37．（20-21七年级下·湖北武汉·期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为． (1)求该长方形的长宽各为多少? (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗?并说明理由． 38．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 39．（22-23七年级下·福建莆田·期中）虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？ 40．（21-22七年级下·北京·期中）“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图． 由面积公式，可得______． 因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____． (2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程． 现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形． 请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程． 考点十一： 与实数运算有关的新定义问题 41．（24-25七年级上·河南濮阳·期中）对于有理数，，定义一种新运算：，例如：，．根据上面的材料，请完成下列问题： (1)； (2)． 42．（24-25七年级上·辽宁锦州·期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，， 如． 材料二：规定表示不超过a的最大整数，如． (1)______，______； (2)a是有理数，______； (3)求的值． 43．（24-25七年级上·浙江温州·期中）定义一种新运算“”：当时，；当时，． (1)根据定义计算： ①，； ②，． (2)根据（1）中的计算结果，请直接判断该运算是否满足交换律． (3)已知，求a的值． 44．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）【数学中的阅读理解】对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：________，________； (2)若，写出满足题意的的整数值________； (3)如果我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，________之后结果是1； (4)只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中，最大的是________． 45．（23-24七年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，已知任意两点，，规定，若，且，求点Q的坐标． 46．（23-24七年级下·广东阳江·期末）【阅读新知】 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘运算与整式的加、减、乘运算类似．例如：．复数的加法运算法则：将两个复数的实部和虚部分别相加．例如：． 【应用新知】 (1)填空：______；______． (2)计算：． 考点十二： 程序设计与实数运算 47．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 48．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）如图所示为一个数值转换器． (1)当输入的的值为49时，输出的的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请写出所有满足要求的的值：______； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 49．（23-24七年级下·广东阳江·期中）如图是一个数值转换器，请根据其原理解决问题：当x为12时，求y的值，并写出详细过程． 50．（23-24七年级上·浙江·期末）有一个数值转换器，运算流程如下： (1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值． (2)若输出的值为，求输入的值． 考点十三： 与实数运算有关的规律探究问题 51．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想______； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含的式子表示的等式：____（为正整数）； (3)应用上述结论，请计算的值． 52．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 53．（22-23七年级上·广东潮州·期中）我们来看下面的两个例子： ，， 和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个， 所以． ， 和都是的算术平方根， 而的算术平方根只有一个，所以 （填空） （1）猜想：一般地，当时，与之间的大小关系是怎样的？ （2）运用以上结论，计算：的值． 54．（23-24七年级下·广东江门·期中）先观察下列各式4； (1)计算： (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出： (3)应用上述结论，请计算的值． 考点十四： 与实数运算有关的阅读理解类问题 55．（23-24七年级下·重庆江津·期中）阅读下面文字，解答问题： 大家知道：是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上小明的表示方法有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．又例如： ，即， 的整数部分为2，小数部分为．请解答： (1)的整数部分为 ，小数部分为 ． (2)已知：是的整数部分，是的小数部分，求的值． (3)已知，是有理数，并且满足等式，求的值． 56．（21-22七年级下·山西阳泉·期中）阅读材料，完成下列任务： 因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：、等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确． 材料一：，即，． 的整数部分为1，小数部分为． 材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值． 我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设可画出如图示意图． 解：由图中面积计算，， ， ． 是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， 得方程，解得，即． 解决问题： (1)利用材料一中的方法，求的小数部分； (2)利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 57．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）阅读下面的文字，解答问题． 如果无理数满足（其中是整数），那么称为无理数的“相邻区间”．例如，因为，所以，所以称为的“相邻区间”． 请解答下列问题： (1)求无理数的“相邻区间”． (2)已知的“相邻区间”是，且，求的值． (3)已知是正整数，若，求的值． 58．（23-24七年级下·山西阳泉·期末）阅读与思考 下面是小敏同学学习实数之后整理的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． *年*月*日      星期二       晴 无理数与线段长今天我们学习了实数，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，明白了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．课本里有这样一个探究：如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，可以得到一个面积为2的大正方形，面积为2的大正方形的边长就是原边长为1小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为；由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图2，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点A、，则，点A对应的数为，点对应的数为．    类比思考：如图3，改变图2中正方形的位置，以数字1所在的点为圆心，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！ 按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！ 任务： （1）上述材料中说明问题的方式主要体现了下列哪种数学思想_____________． A．方程思想 B．数形结合思想 C．化归思想 （2）“类比思考”中，线段的长为_____________，的长为_____________；则点B表示的数为_____________，点表示的数为_____________． （3）拓展思考：通过动手操作，小敏同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图4所示的正方形．则请借鉴材料中的方法在数轴上找到表示的点P．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）在实数，，，，，，，中，无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）关于无理数，下列说法正确的有（    ） ①无理数都是无限小数；②无限小数都是无理数；③无理数也能用数轴上的点表示；④无理数与有理数的和是无理数；⑤无理数与无理数的和是无理数； A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②⑤ 3．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）计算的结果为（    ） A．0 B．4 C． D．0或 4．（22-23七年级下·广西崇左·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知，则实数在（      ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 6．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）若x为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　） A．4 B． C． D． 7．（24-25八年级上·山西·阶段练习）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（   ） A．a B． C． D． 8．（20-21七年级下·北京西城·期中）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（   ） A． B．2 C． D． 9．（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）计算： ． 10（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积（溢出水的体积即为正方体的体积）为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于 两个相邻的整数之间． 11．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）比较大小： （1） （2） （3） 12．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知是满足不等式的所有整数的和，是的整数部分，则的平方根为 ． 13．（2024·山东德州·中考真题）观察下列等式： …… 则的值为 ． 14．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）（1）计算： （2）求值． （3）求值 （4）如图，，是数轴上三个点、、所对应的实数． 试化简： 15．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为__________； (2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； (3)若x，y满足关系式：，则的“共同体区间”为__________． 16．（24-25七年级上·浙江温州·期中）把下列各数的序号填入相应的横线内． ①，②，③，④6，⑤，⑥（两个“7”之间依次多一个“2”）． (1)整数：______________； (2)正分数：______________； (3)无理数：______________． 17．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图①是由4个面积相同的小正方形组成的图形，面积为4． (1)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (2)把正方形放到数轴上，如图②，使得点与重合，那么点在数轴上表示的数为 ． 18．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）观察与探究：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)已知：，其中x是整数，且，求的相反数．（写出解答过程） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20 学科网（北京）股份有限公司 $$