8.1二分法与求方程近似解【10大题型】-2024-2025学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

8.1二分法与求方程近似解 【考点梳理】 · 考点一：函数零点存在定理 · 考点二：函数的零点区间求参数问题 · 考点三：函数的零点个数求参数问题 · 考点四：二次函数零点分布求参数范围 · 考点五：对指幂函数零点问题 · 考点六：求函数零点或者方程根的个数问题 · 考点七：比较零点大小问题 · 考点八：零点之和问题 · 考点九：用二分法求函数f(x)零点近似值 · 考点十：函数与方程的综合问题 【知识梳理】 知识点01：函数的零点 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 方程、函数、图象之间的关系： 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点． 知识点02：函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 知识点03：二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解． 知识点04：用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0. 2．求区间(a，b)的中点c. 3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； (2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； (3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. 4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)． 以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断． 【题型归纳】 题型一：函数零点存在定理 1．函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 2．函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 3．函数零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 题型二：函数的零点区间求参数问题 4．已知的零点在区间，则（   ） A． B． C． D． 5．函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若函数在存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．∪ 题型三：函数的零点个数求参数问题 7．若二次函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 8．已知，若关于的方程恰好有三个互不相等的实根，则实数的取值范围为（） A． B． C．或 D．或 9．已知函数有且仅有3个零点，则正数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：二次函数零点分布求参数范围 10．已知二次函数与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．已知函数在上有且只有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．已知关于x的方程的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是（        ） A． B． C． D． 题型五：对指幂函数零点问题 13．已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．已知函数若方程有四个不相等的实数根，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．已知实数为函数f(x)=的两个零点，则下列结论正确的是( ) A． B． C． D． 题型六：求函数零点或者方程根的个数问题 16．函数的零点个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．已知定义在上的连续函数，满足，则方程的解的个数为（    ） A．13 B．14 C．20 D．21 18．已知，则方程实数根的个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型七：比较零点大小问题 19．已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 20．已知函数在区间内的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 21．知函数，，，方程，，的根分别为，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 题型八：零点之和问题 22．已知若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有零点之和为（    ） A． B． C． D．0 24．函数，则函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．3 C．10 D．13 题型九：用二分法求函数f(x)零点近似值 25．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根精确度为可以是（ ） A． B． C． D． 26．用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点，则第二次还需计算函数值（    ） A． B． C． D． 27．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：那么方程的一个近似根（精确度0.04）为（    ） A．1.5 B．1.25 C．1.375 D．1.4375 题型十：函数与方程的综合问题 28．已知 (1)求证：在上存在零点； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 29．已知函数，. (1)判断在上的单调性（直接写出结论，不需要理由）； (2)对任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)若方程在上有个实数解，求实数的取值范围. 30．已知函数 (1)若是上的增函数，求实数的取值范围; (2)若，方程有三个实数解. ①写出实数和的取值范围; ②求证:. 【高分达标】 一、单选题 31．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 32．已知函数为上的连续函数，且，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到0.1，则需对区间至少二分的次数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 33．设函数，用二分法求方程在内的近似解的过程中，计算得，则下列必有方程的根的区间为（    ） A． B． C． D．不能确定 34．已知函数的零点在区间内，，则的值为（    ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 35．根据下列表格的对应值： x 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 0.0044 0.0269 判断方程一个解的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．已知二次函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．已知函数，．若有2个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．已知函数的零点为，满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 39．已知函数在区间上有且仅有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若，，则下列命题正确的是（    ） A．函数的两个零点可以分别在区间和内 B．函数的两个零点可以分别在区间和内 C．函数的两个零点可以分别在区间和内 D．函数在区间上单调 40．若函数恰有三个零点，则a的值可能为（    ） A．－1 B．6 C．1 D．2 41．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点的近似值的是（    ） A．y=+1 B．y= C．y=x2+4x+8 D．y=|x| 42．已知有两个零点，且，则下列说法正确的有（    ） A．， B． C．若，则的最小值为 D．且，都有 三、填空题 43．若函数有两个正零点，则实数的取值范围是 ． 44．已知关于的一元二次方程有两个不等根，，且满足，则的取值范围是 ． 45．用二分法求函数在区间的零点，若要求精确度，则至少进行 次二分. 46．设函数，关于x的方程有三个不等实根，则的取值范围是 ． 四、解答题 47．设为实数，函数. (1)若函数有且只有一个零点，求的值； (2)若不等式的解集为空集，求的取值范围. 48．已知函数. (1)若函数为奇函数，求的值； (2)当时，用函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (3)若函数有两个不同的零点，求的取值范围. 49．已知函数，常数. (1)若是奇函数，求的值； (2)若，在区间内有且仅有一个零点，求实数的取值范围. 50．已知函数是定义域上的奇函数，且． (1)判断并证明函数在上的单调性； (2)令函数，若在上有两个零点，求实数的取值范围． 51．已知二次函数. (1)若函数的零点是和1，求实数b，c的值； (2)已知，设、关于x的方程的两根，且，求实数b的值； (3)若满足，且关于x的方程的两个实数根分别在区间，内，求实数b的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.1二分法与求方程近似解 【考点梳理】 · 考点一：函数零点存在定理 · 考点二：函数的零点区间求参数问题 · 考点三：函数的零点个数求参数问题 · 考点四：二次函数零点分布求参数范围 · 考点五：对指幂函数零点问题 · 考点六：求函数零点或者方程根的个数问题 · 考点七：比较零点大小问题 · 考点八：零点之和问题 · 考点九：用二分法求函数f(x)零点近似值 · 考点十：函数与方程的综合问题 【知识梳理】 知识点01：函数的零点 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 方程、函数、图象之间的关系： 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点． 知识点02：函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 知识点03：二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解． 知识点04：用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0. 2．求区间(a，b)的中点c. 3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； (2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； (3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. 4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)． 以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断． 【题型归纳】 题型一：函数零点存在定理 1．函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断零点所在的区间、零点存在性定理的应用 【分析】根据函数的单调性，结合零点存在性定理可得答案． 【详解】由于在单调递增， 又，，即， 函数的零点所在区间是， 故选：B． 2．函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断零点所在的区间、零点存在性定理的应用 【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可. 【详解】解：函数在上单调递减， 又，，， 所以，则有唯一零点，且在区间内. 故选：C 3．函数零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】零点存在性定理的应用 【分析】根据零点存在性定理判断即可. 【详解】令，解得：，只有一个零点. 而，， 由零点存在性定理知，函数零点所在的一个区间是. 故选：C. 题型二：函数的零点区间求参数问题 4．已知的零点在区间，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围 【分析】利用零点存在性定理判断即可. 【详解】由题意可知，在上单调递增， 因为，， 则零点在区间上，可得. 故选：C. 5．函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据零点所在的区间求参数范围、零点存在性定理的应用 【分析】由函数的单调性，根据零点存在性定理可得. 【详解】若函数在区间上存在零点， 由函数在的图象连续不断，且为增函数， 则根据零点存在定理可知，只需满足， 即， 解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 6．若函数在存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．∪ 【答案】D 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围 【分析】根据零点存在性定理结合题意求解即可. 【详解】当时，，不存在零点； 当时，是一次函数，必然单调， 故只需即可，即，解得或， 即的取值范围是∪， 故选：D 题型三：函数的零点个数求参数问题 7．若二次函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据一元二次方程的根的判别，结合二次函数以及零点存在性定理，可得答案. 【详解】由题意可得方程在上存在一个根，， 由函数，则其对称轴为直线， 当时，，可得，解得； 当时，，可得，显然无解. 综上所述，. 故选：A. 8．已知，若关于的方程恰好有三个互不相等的实根，则实数的取值范围为（） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】分方程的两根是否相等，结合的函数图象讨论即可. 【详解】记方程的两根为， 当时，恰好有三个互不相等的实根， 等价于与和共有三个不同的交点， 由图可知，此时有， 即，得； 当时，，恰好有三个互不相等的实根， 等价于与有三个不同的交点， 由图可知，此时，即，得. 综上，实数的取值范围为或. 故选：D    【点睛】方法点睛：一般地，判断形如的嵌套函数的零点个数或根据函数的零点求参数的取值范围时，可采用换元法，先令，求解当时的值，然后根据函数的图象及性质确定当时，x的值的个数即为的零点个数．解答时注意数形结合，侧重对函数与图象性质的分析. 9．已知函数有且仅有3个零点，则正数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围、正弦函数图象的应用 【分析】利用二次函数与正弦函数的图象结合分段函数的性质计算即可. 【详解】对于，易知，且抛物线开口向下， 则必有一个负根， 所以有且只有两个零点， 易知，则. 故选：B 【点睛】方法点睛：二次函数根的分布需要注意开口方向，判别式及根与系数的关系，本题从以上三个角度可确定函数有一个负零点，而含参三角函数通常利用整体代换的方法结合三角函数图象与性质来处理参数范围. 题型四：二次函数零点分布求参数范围 10．已知二次函数与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】数形结合，根据二次函数零点分布求参数的取值范围. 【详解】对于二次函数， 当时，， 因为二次函数与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1， 当，即时，则，解得； 当，即时，则，不等式无解. 综上所述：m的取值范围是. 故选：B 11．已知函数在上有且只有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】根据题意将零点问题转化为函数图象公共点问题进而求解答案即可. 【详解】因为函数在上有且只有一个零点， 所以，即在上有且只有一个实根， 所以与的函数图象在时有一个公共点， 由于在单调递减， 所以，即. 故选：D 12．已知关于x的方程的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】根据一元二次方程根的分布，结合二次函数的图象性质即可求解. 【详解】记，由题意可知函数有两个零点，所以， 若，则为开口向上的二次函数， 要有两个零点且一个大于1一个小于1，则，得，故； 若，则为开口向下的二次函数， 要有两个零点且一个大于1一个小于1，则，得，故； 综上可知：或，即实数k的取值范围是. 故答案为： 题型五：对指幂函数零点问题 13．已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求零点的和、根据指对幂函数零点的分布求参数范围、画出具体函数图象 【分析】由题意作函数与的图象，从而可得，，从而得到结果． 【详解】由题意作函数与的图象如下， ∵方程有四个不同的解，且， ∴关于对称，即， 当得或，则，故， 故选：A. 14．已知函数若方程有四个不相等的实数根，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数与方程的综合应用、根据指对幂函数零点的分布求参数范围、指数函数图像应用 【分析】作出函数的图象，根据图象求得及的范围求解. 【详解】函数即为，其图象如图所示： 因为方程有四个不相等的实数根，且，由图象知：，且，则， 所以，因为在上递增，所以 故选：C 15．已知实数为函数f(x)=的两个零点，则下列结论正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【详解】因为实数为函数的两个零点，所以实数为与图象交点的横坐标，作出函数与的图象如图所示， 不妨设， 由图像可知，，所以，故选项A错误；由图像可知，， 所以，故，又因为，所以，所以，故B正确，C、D错误. 故选：B． 题型六：求函数零点或者方程根的个数问题 16．函数的零点个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】分段令，求出方程的解，即可判断. 【详解】因为， 当时，令，即，解得，（舍去）； 当时，令，即，即，解得； 综上可得函数的零点为，共个. 故选：B 17．已知定义在上的连续函数，满足，则方程的解的个数为（    ） A．13 B．14 C．20 D．21 【答案】D 【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、函数与方程的综合应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】将函数写成分段函数，由，可得，结合图象求解即可. 【详解】解：因为，由， 可得，即有，作出函数的图象如图所示： 则有7个根，有10个根，有4个根，所以方程共有个根.故选：D 【点睛】关键点睛：本题的关键是将函数写成分段函数并作出图象. 18．已知，则方程实数根的个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】分段函数的性质及应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】由方程先求出或或，再解方程即可． 【详解】解：①当时， ， 解得，，或，或，故或； ②若，则，或，或， 若，则或，则或或；若，则或， 则（舍去）或或，综上所述，方程实数根的个数是7，故选：C． 题型七：比较零点大小问题 19．已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较零点的大小关系、函数图象的应用 【分析】将函数的零点，转化为函数的图象分别与函数、、的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解． 【详解】解：函数，，的零点， 即为函数分别与函数、、的图象交点的横坐标， 如图所示： 由图可得. 故选：B 20．已知函数在区间内的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断零点所在的区间、比较零点的大小关系、零点存在性定理的应用、对数型复合函数的单调性 【分析】根据给定条件，利用函数的单调性结合零点存在性定理判断a，b，c所在区间作答. 【详解】函数在上单调递减，函数在上都单调递增， 因此函数在上都单调递减， 在上最多一个零点，，即有， ，则，而，即， 所以. 故选：A 21．知函数，，，方程，，的根分别为，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较零点的大小关系 【分析】根据零点定义，分别比较与，与的正负，确定与的取值范围，再令，求解得，即可比较大小. 【详解】解：由题可得，，所以，，，所以， 令，即，解得或或，因为，所以，所以， 故选：C. 题型八：零点之和问题 22．已知若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数对称性的应用、画出具体函数图象、函数与方程的综合应用、求零点的和 【分析】画出函数图象，结合对称性，数形结合得到，，，求出，得到答案. 【详解】画出的图象，如下，    设，则， 令，解得或0，因为的对称轴为，由对称性可得， 且，其中，因为，所以，故，又，故， . 故选：A 23．已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有零点之和为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数对称性的应用、求函数的零点、求零点的和 【分析】先由为奇函数，推出关于对称，则，进而求出的解析式，则的解析式可求，解出根即可. 【详解】因为为奇函数，所以关于对称， 则关于对称，即， 当时，， 当时，， 则， 所以， 则， 因为，则或， 解得或，所以. 故选：A 24．函数，则函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．3 C．10 D．13 【答案】D 【知识点】求函数的零点、求零点的和 【分析】令，根据，求得或，再根据和，结合分段函数的解析式，即可求解. 【详解】令， 由得或，所以或， 当时，或， 当时，则或，解得， 所以函数的所有零点之和为. 故选：D. 题型九：用二分法求函数f(x)零点近似值 25．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根精确度为可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】零点存在性定理的应用、二分法求方程近似解的过程 【分析】利用零点存在性定理及二分法，结合表格计算即可. 【详解】因为，，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为 因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为 因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为 因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为 因为，所以，所以函数在内有零点，因为，满足精确度为， 所以方程的一个近似根精确度为可以是区间内任意一个值包括端点值. 故选：C. 26．用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点，则第二次还需计算函数值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二分法求函数零点的过程 【分析】根据二分法，可得答案. 【详解】由题意，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点， 由于，则第二次需计算， 故选：C． 27．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：那么方程的一个近似根（精确度0.04）为（    ） A．1.5 B．1.25 C．1.375 D．1.4375 【答案】D 【知识点】二分法求方程近似解的过程 【分析】首先分析题意与表格，运用二分法求方程的近似解进行解答. 【详解】由表格可知,方程的近似根在内, 又因为,故方程的一个近似根(精确度 0.04)为1.4375. 故选: D. 题型十：函数与方程的综合问题 28．已知 (1)求证：在上存在零点； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】对数型复合函数的单调性、零点存在性定理的应用、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）首先判断函数的单调性，结合零点存在性定理证明即可； （2）结合（1）的单调性可知对任意的，不等式恒成立，参变分离，结合基本不等式计算可得，需注意. 【详解】（1）函数的定义域为， 又与均在上单调递增， 所以在上单调递增，且为连续函数， 又，， 所以，所以在上存在唯一零点， 即在上存在零点； （2）由（1）可知在上单调递增， 因为对任意的，不等式恒成立， 所以对任意的，不等式恒成立， 即对任意的，不等式恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 又，所以， 所以，即实数的取值范围为. 29．已知函数，. (1)判断在上的单调性（直接写出结论，不需要理由）； (2)对任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)若方程在上有个实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增(2)(3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、指数函数最值与不等式的综合问题、根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【分析】1）判断出函数在上为增函数，然后任取、且，作差，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立； （2）令，由可得出，利用对勾函数的单调性可求得实数m的取值范围； （3）令，令，分析可知函数在上有两个不等的零点，根据二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）在上单调递增. 证明：任取、且，则，， 所以， ， ，所以，函数在上为增函数. （2）当时，令， 则， 则，由可得， 因为函数在上单调递增，所以，， 所以，实数的取值范围是. （3）对任意的，， 所以，函数为偶函数， 由（1）可知，函数在上为增函数，则该函数在上为减函数， 令，当时，，则， 由可得， 令，则函数在上有两个不等的零点， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 30．已知函数 (1)若是上的增函数，求实数的取值范围; (2)若，方程有三个实数解. ①写出实数和的取值范围; ②求证:. 【答案】(1)(2)①，；②证明见解析 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）依题意可得，解得即可； （2）①首先得到函数解析式，即可画出函数图象，再数形结合求出的取值范围，又，，即可求出的取值范围；②由①，从而得到，再结合对勾函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为， 又是上的增函数，所以，解得， 所以实数的取值范围为； （2）当时， 当时，所以在上单调递减，在上单调递增， ，令，即，解得； 当时，则在上单调递增，且，； 则的图象如下所示： ①因为方程有三个实数解，即与有三个交点， 由图可知，且，， 所以； ②由①可知， 所以， 所以 令， 因为，所以，则， 所以，则， 又对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以，所以， 所以. 【高分达标】 一、单选题 31．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数型复合函数的单调性、判断零点所在的区间、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理分析即可. 【详解】函数的定义域为， 因为函数和在均单调递增， 所以在单调递增， 所以函数在至多有一个零点， 又，， 根据零点存在定理知函数的零点所在区间是. 故选：C. 32．已知函数为上的连续函数，且，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到0.1，则需对区间至少二分的次数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】二分法求方程近似解的过程 【分析】区间的长度为1，没经过一次操作，区间长度变成原来的一半，经过次后，区间长度变成，据此可列出不等式． 【详解】区间的长度为1，没经过一次操作，区间长度变成原来的一半， 经过次后，区间长度变成，则，即，故对区间只需要分4次即可． 故选：C. 33．设函数，用二分法求方程在内的近似解的过程中，计算得，则下列必有方程的根的区间为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【知识点】二分法求方程近似解的过程、判断零点所在的区间 【分析】利用零点存在性定理及二分法的相关知识即可判断. 【详解】显然函数在上是连续不断的曲线， 由于，所以， 由零点存在性定理可得：的零点所在区间为， 所以方程在区间内一定有根. 故选：C. 34．已知函数的零点在区间内，，则的值为（    ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 【答案】B 【知识点】零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间 【分析】根据题意，由条件可得在上单调递增，且，即可得到结果. 【详解】因为函数定义域为，且在上单调递增， 且，，即， 由零点存在定理可得，的零点区间为，所以. 故选：B 35．根据下列表格的对应值： x 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 0.0044 0.0269 判断方程一个解的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断零点所在的区间 【分析】由于时，；时，，利用二次函数的性质可判断方程一个解x的范围为． 【详解】∵时，；时，， 则在0.61和0.62之间有一个值能使的值为0， ∴方程一个解x的范围为． 故选：C． 36．已知二次函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】根据二次函数的性质得到关于的不等式组，求解即可. 【详解】设， 因为二次函数的两个零点都在区间内， 所以，则，即， 故实数的取值范围是：. 故选：C. 37．已知函数，．若有2个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、指数函数图像应用 【分析】有2个零点，则函数与函数的图象有2个交点，利用函数图象判断实数a的取值范围. 【详解】时，，函数在上单调递减，， 令可得，作出函数与函数的图象如图所示：    由上图可知，当时，函数与函数的图象有2个交点，此时，函数有2个零点．因此，实数a的取值范围是． 故选：D． 38．已知函数的零点为，满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】分析二次函数的图象，根据根的分布，结合根的判别式和对称轴，列出不等式组，求出答案. 【详解】开口向上，对称轴为， 要想满足，则要， 解得：. 故选：B 二、多选题 39．已知函数在区间上有且仅有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若，，则下列命题正确的是（    ） A．函数的两个零点可以分别在区间和内 B．函数的两个零点可以分别在区间和内 C．函数的两个零点可以分别在区间和内 D．函数在区间上单调 【答案】AB 【知识点】判断零点所在的区间、零点存在性定理的应用 【分析】根据给定条件，可得，，再分类讨论的正负性，结合零点存在性定理即可得解. 【详解】函数在区间上有且只有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，则在零点两侧函数值异号， 由于，，则当时，有， 若，则在上必有1个零点，而在及上有无零点及零点个数不能确定， 若，则在上必有1个零点，而在及上有无零点及零点个数不能确定， 因此，且， 若，则，，函数的两个零点分别在和内，A正确； 若，则，，函数的两个零点分别在和内，B正确； 显然函数的两个零点不可能分别在和内，否则，，矛盾，C错误； 函数在上不可能单调，否则函数在上最多只有1个零点，矛盾，D错误. 故选：AB 40．若函数恰有三个零点，则a的值可能为（    ） A．－1 B．6 C．1 D．2 【答案】BCD 【知识点】求函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据函数解析式，在上有两个零点，在上有一个零点，则有，可得a可能的值. 【详解】函数恰有三个零点， 时，，函数有两个零点0和6， 则时，有一个零点，所以，即， BCD选项都符合. 故选：BCD 41．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点的近似值的是（    ） A．y=+1 B．y= C．y=x2+4x+8 D．y=|x| 【答案】CD 【知识点】用二分法求近似解的条件 【解析】根据二分法定义，只有零点两侧函数值异号才可用二分法求近似值． 【详解】对于选项C，y=x2+4x+8=(x+4)2≥0，故不能用二分法求零点的近似值. 对于选项D，y=|x|≥0，故不能用二分法求零点的近似值. 易知选项A，B有零点，且可用二分法求零点的近似值. 故选：CD． 42．已知有两个零点，且，则下列说法正确的有（    ） A．， B． C．若，则的最小值为 D．且，都有 【答案】BD 【知识点】作差法比较代数式的大小、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据函数零点的定义，结合一元二次方程根的判别式、作差法逐一判断即可. 【详解】因为有两个零点，且， 所以是方程的两个不等实根， 于是有：，故B正确； 若，显然满足，此时，故A错误； 当时，由， 此时，所以C错误； ， 因为， 所以，所以D正确， 故选：BD 三、填空题 43．若函数有两个正零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】将函数有两个正零点转化为方程有两个不相等的正根，利用二次方程根的分布可得的不等式组，解不等式组可得的范围. 【详解】由题可知方程有两个不相等的正实数根， 所以，即， 解得：，所以的取值范围为. 故答案为： 44．已知关于的一元二次方程有两个不等根，，且满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】设，结合题意分析可得，运算求解即可. 【详解】设， 由题意可知：的零点为，且， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 45．用二分法求函数在区间的零点，若要求精确度，则至少进行 次二分. 【答案】8 【知识点】二分法求方程近似解的过程 【分析】二分法每一次操作都会让区间缩小一半长度，按此规律求解. 【详解】根据题意，原来区间的长度等于2， 每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半， 则经过次操作后，区间的长度为， 若，即，故最少为8次. 故答案为：8. 46．设函数，关于x的方程有三个不等实根，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求零点的和、函数图象的应用、画出具体函数图象 【分析】画出函数图象，数形结合得到，，求出答案. 【详解】画出函数图象，结合图形可知，仅当时，方程有三个不等实根， 分别对应直线与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上， 不妨设， 显然关于对称，故， 另一个交点位于一次函数图象上，令−2x+6=−1，解得x=72， 显然它在和以及的交点和之间， 故， 所以， 故答案为： ． 四、解答题 47．设为实数，函数. (1)若函数有且只有一个零点，求的值； (2)若不等式的解集为空集，求的取值范围. 【答案】(1)或或0 (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）分与两种情况，结合根的判别式得到方程，求出答案； （2）分与两种情况，从而得到不等式，求出解集. 【详解】（1）当时，，令得， 此时有且只有一个零点，满足要求， 当时，， 由得，或， 经检验，均满足要求， 综上，或或0 （2）当时，，令得，不为空集，不合要求， 当时，要想解集为空集， 则，解得， 综上，的取值范围是. 故答案为： 48．已知函数. (1)若函数为奇函数，求的值； (2)当时，用函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (3)若函数有两个不同的零点，求的取值范围. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、比较指数幂的大小、根据函数零点的个数求参数范围、由奇偶性求参数 【分析】（1）根据得到方程，求出，验证后得到答案； （2）定义法求解函数单调性步骤：取点，作差，判号，下结论； （3）换元后得到在有两个不同的实数解，由根的判别式和对称轴得到不等式，求出的取值范围. 【详解】（1）的定义域为R，且为奇函数， 由，得， 此时. 因为，所以为奇函数， 故. （2）当时，. 任取，且， 则， 因为，所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （3）有两个不同的零点，等价于有两个不同的实数解. 令，则在有两个不同的实数解， 令，其中， 所以，解得. 所以的取值范围为. 49．已知函数，常数. (1)若是奇函数，求的值； (2)若，在区间内有且仅有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由奇偶性求参数、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】（1）若有定义，则，求出，可得；若无定义，得，此时的定义域不关于原点对称，不符合题意； （2）当时，令，求出，根据可求出结果. 【详解】（1）①若有定义，则，即，解得，此时符合题意； ②若无定义，则，故，的定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，不符合题意. 综上，. （2）当时，， 令，得，得或（舍）， 所以， 因为在区间内有且仅有一个零点，所以， 解得. 50．已知函数是定义域上的奇函数，且． (1)判断并证明函数在上的单调性； (2)令函数，若在上有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析 (2) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数零点的个数求参数范围、由奇偶性求参数 【分析】（1）由是奇函数，可知，，进而列出关系式，求出，即可得到函数的解析式，然后利用定义法，可判断并证明函数在上的单调性； （2）由函数在上有两个零点，整理得方程在上有两个不相等的实数根，进而可得到，求解即可； 【详解】（1），且是奇函数，， ，解得， ， 检验，由解析式可知，函数的定义域为，关于原点对称， 且， 所以是奇函数，满足要求； 函数在上单调递减，在上单调递增， 证明如下：任取，且， 则， ，且， ，， ∴， ，即， 函数在上单调递减. 同理可证明函数在上单调递增． （2）函数在上有两个零点， 即方程在上有两个不相等的实数根， 所以在上有两个不相等的实数根， 则，解得，即实数的取值范围为. 51．已知二次函数. (1)若函数的零点是和1，求实数b，c的值； (2)已知，设、关于x的方程的两根，且，求实数b的值； (3)若满足，且关于x的方程的两个实数根分别在区间，内，求实数b的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、根据零点所在的区间求参数范围 【分析】（1），1为方程的两个根，把根代入方程，或利用韦达定理，求系数； （2）由已知化简方程，由判别式得出的取值范围，已知等式结合韦达定理求实数b的值； （3）满足，方程中消去，由二次函数的图像和性质，结合实数根所在区间，求实数b的取值范围. 【详解】（1）法1：由题可知：，1为方程的两个根， 所以， 解之得：，. 法2：由题可知：，1为方程的两个根， 由韦达定理，得， 解之得：，. （2）因为，，所以， 因为、是关于x的方程的两根， 所以，即， 所以， 因为，所以，所以. 所以，所以或， 因为，所以. （3）因为，所以， 设， 则有， 解得，所以b的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$