七年级数学期末模拟试卷（3）-2024-2025学年七年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

七年级数学上册期末模拟试卷（3） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列几何体的展开图中，能围成圆柱的是（　　） A． B．C． D． 2．下列四个数中，最小的数是（　　） A．0 B．﹣ C．5 D．﹣1 3．中国信息通信研究院测算，2020～2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（　　） A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×108 4．已知等式a＝b，则下列等式中不一定成立的是（　　） A．a﹣c＝b﹣c B． C．an＝bn D．a2＝b2 5．下列运算中，正确的是（　　） A．3a+b＝3ab B．﹣3a2﹣2a2＝﹣5a4 C．﹣3a2b+2a2b＝﹣a2b D．﹣2（x﹣4）＝﹣2x﹣8 6．书法艺术是中华民族的瑰宝，作为艺术品，经常被人们挂起来欣赏．我们在挂条幅时，要钉两个钉子才能牢固，这里面包含的数学事实是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点能够确定多条直线 D．点动成线 7．如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB＝（　　） A．51° B．141° C．219° D．131° 8．在直线l上取三点A、B、C，使线段AB＝8cm，AC＝3cm，则线段BC的长为（　　） A．5cm B．8cm C．5cm或8cm D．5cm或11cm 9．《九章算术》中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38个人，刚好坐满，问：大小船各有几只？若设有x只小船，则可列方程为（　　） A．4x+6（8﹣x）＝38 B．6x+4（8﹣x）＝38 C．4x+6x＝38 D．8x+6x＝38 10．如图所示，每个三角形中的三个数字之间存在某种规律，三角形间也存在着某种规律，请问在第⑥个三角形中，a﹣b﹣c的值是（　　） A．﹣34 B．﹣66 C．62 D．﹣190 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．﹣2024的相反数是 　 　． 12．单项式﹣的次数是 　 　． 13．6.7064精确到百分位的近似数是 　 　． 14．若关于x的方程2x+a+b＝0的解是x＝﹣1，则代数式2024﹣a﹣b的值为 　 　． 15．如图，已知∠AOC：∠BOC＝1：5．OD是∠AOB的角平分线，且∠COD＝36°，则∠AOC的度数为 　 　． 16．若x，y是有理数，我们定义新的运算*，使得x*y＝xy﹣y2，例如：1*2＝1×2﹣22＝﹣2，则﹣2*[3*（﹣1）]＝　 　． 三．解答题（共8小题，共66分） 17．计算： （1）|3﹣5|﹣（5﹣23）； （2）﹣32+|2﹣3|﹣（﹣2）2． 18．解方程： （1）x﹣3＝x+1； （2）3x+＝3﹣． 19．先化简再求值：2（a2b﹣2ab）﹣3（a2b﹣3ab）+a2b，其中a＝﹣2，． 20．如图，已知四个点A，B，C，D，根据下列要求画图： （1）画线段AB； （2）画∠CDB； （3）找一点P，使P既在直线AD上，又在直线BC上． 21．某厂一周计划生产700个玩具，平均每天生产100个，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，如表是某周每天的生产情况（增产为正，减产为负，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 产量 +10 ﹣6 ﹣8 +15 ﹣12 +18 ﹣9 （1）根据记录，求出前三天共生产多少个？ （2）请问产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个？ （3）该厂实行计件工资制，每生产一个玩具10元，若按周计算，超额完成任务，超出部分每个12元；若未完成任务，生产出的玩具每个只能按8元发工资，那么该厂员工这一周的工资总额是多少？ 22．如图，已知点O是直线AB上的一点，∠AOC：∠BOC＝2：7，射线OM是∠AOC的角平分线，射线ON是∠BOC的角平分线． （1）∠AOC＝　 　，∠BOC＝　 　． （2）求∠MON的度数； （3）过点O作射线OD，若，求∠COD的度数． 23．列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解） 第19届亚洲夏季运动会于2023年9月23日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人． （1）若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒A的工人人数； （2）为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 24．淇淇在商场买了一块机械手表，爱钻研的淇淇发现了手表上的数学问题，如图1所示是一块手表，可以看成如图2的数学模型（点A和点D是表带的两端，点A，B，C，D在同一条线段上）． （1）已知表盘直径BC为3cm，CD：AB＝2：1，若B是AC中点，求AD的长度； （2）在某个时刻，分针ON指向表盘上的数字“6”（此时ON与OC重合）．时针为OE，淇淇一看现在正好是8：30，如图3所示． ①求8：30时分针和时针夹角的度数； ②作射线OF，使∠EOF＝20°，求此时∠BOF的度数； （3）如图4所示．自8：30之后，OM始终是∠EON的角平分线（分针还是ON），在一小时以内，直接写出经过多少分钟后，∠EOM的度数是25°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级数学上册期末模拟试卷（3） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列几何体的展开图中，能围成圆柱的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】直接利用展开图折叠乘几何体的形状，分析得出答案． 【解析】解：A、可以围成长方体，故此选项不合题意； B、可以围成四棱锥，故此选项不合题意； C、可以围成圆锥，故此选项不合题意； D、可以围成圆柱，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了展开图折叠成几何体，正确掌握基本图形与几何体的对应是解题关键． 2．下列四个数中，最小的数是（　　） A．0 B．﹣ C．5 D．﹣1 【思路点拨】根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小得出答案． 【解析】解：∵|﹣|＜|﹣1|， ∴﹣＞﹣1， ∴5＞0＞﹣＞﹣1， 因此最小的数是﹣1， 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的大小比较，掌握两个负数比较，绝对值大的反而小，是正确判断的前提． 3．中国信息通信研究院测算，2020～2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（　　） A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×108 【思路点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解析】解：10.6万亿＝106000 0000 0000＝1.06×1013． 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4．已知等式a＝b，则下列等式中不一定成立的是（　　） A．a﹣c＝b﹣c B． C．an＝bn D．a2＝b2 【思路点拨】等式的性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式的性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式．根据等式的基本性质作出判断即可． 【解析】解：A．在等式a＝b的两边同时减去c，所得的结果仍是等式，即a﹣c＝b﹣c，故本选项不符合题意． B．如果m＝0，则没有意义，故本选项符合题意； C．在等式a＝b的两边同时乘以n，所得的结果仍是等式，即an＝bn，故本选项不符合题意； D在等式a＝b的两边同时乘以a，所得的结果仍是等式，即a2＝ab＝b2，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是理解并掌握等式的基本性质． 5．下列运算中，正确的是（　　） A．3a+b＝3ab B．﹣3a2﹣2a2＝﹣5a4 C．﹣3a2b+2a2b＝﹣a2b D．﹣2（x﹣4）＝﹣2x﹣8 【思路点拨】各式计算得到结果，即可作出判断． 【解析】解：A、原式不能合并，不符合题意； B、原式＝﹣5a2，不符合题意； C、原式＝﹣a2b，符合题意； D、原式＝﹣2x+8，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6．书法艺术是中华民族的瑰宝，作为艺术品，经常被人们挂起来欣赏．我们在挂条幅时，要钉两个钉子才能牢固，这里面包含的数学事实是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点能够确定多条直线 D．点动成线 【思路点拨】经过两点有且只有一条直线，简称：两点确定一条直线，根据两点确定一条直线解答即可． 【解析】解：我们在挂条幅时，要钉两个钉子才能牢固，这样做应用的数学知识是：两点确定一条直线， 故选：B． 【点睛】本题考查了两点确定一条直线，熟练掌握直线的性质是解题的关键． 7．如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB＝（　　） A．51° B．141° C．219° D．131° 【思路点拨】根据方向角的定义以及角的和差关系进行计算即可． 【解析】解：如图，由方向角的定义可知，∠AON＝54°，∠SOB＝15°， ∴∠AOB＝∠AOW+∠WOS+∠SOB ＝90°﹣54°+90°+15° ＝141°， 故选：B． 【点睛】本题考查方向角，理解方向角的定义，掌握图形中各个角之间的和差关系是正确解答的前提． 8．在直线l上取三点A、B、C，使线段AB＝8cm，AC＝3cm，则线段BC的长为（　　） A．5cm B．8cm C．5cm或8cm D．5cm或11cm 【思路点拨】分两种情况：点C在线段AB上，点C在线段AB的延长线上．再根据线段的和差，可得线段BC的长． 【解析】解：当点C在线段AB上时，BC＝AB﹣AC＝8﹣3＝5（cm）； 当点C在线段AB的延长线上时，BC＝AB+AC＝8+3＝11（cm）， 所以线段AC的长为5cm或11cm． 故选：D． 【点睛】本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．距离是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离． 9．《九章算术》中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38个人，刚好坐满，问：大小船各有几只？若设有x只小船，则可列方程为（　　） A．4x+6（8﹣x）＝38 B．6x+4（8﹣x）＝38 C．4x+6x＝38 D．8x+6x＝38 【思路点拨】设有x只小船，则有大船（8﹣x）只，由题意得等量关系：大船坐的总人数+小船坐的总人数＝38，然后再列出方程即可． 【解析】解：设有x只小船，则有大船（8﹣x）只，由题意得： 4x+6（8﹣x）＝38， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 10．如图所示，每个三角形中的三个数字之间存在某种规律，三角形间也存在着某种规律，请问在第⑥个三角形中，a﹣b﹣c的值是（　　） A．﹣34 B．﹣66 C．62 D．﹣190 【思路点拨】由题意易得三角形最下面的数字之间的规律为﹣（﹣2）n﹣1，三角形左边的数字之间的规律为（﹣2）n，三角形右边的数字之间的规律为（﹣2）n+2，然后问题可求解． 【解析】解：三角形最下面的数字之间的规律为﹣（﹣2）n﹣1， 三角形左边的数字之间的规律为（﹣2）n， 三角形右边的数字之间的规律为（﹣2）n+2， ∴第⑥个三角形中，a＝（﹣2）6＝64，b＝（﹣2）6+2＝66，c＝﹣（﹣2）6﹣1＝32， ∴a﹣b﹣c＝64﹣66﹣32＝﹣34； 故选：A． 【点睛】本题主要考查数字规律问题，解题的关键是找出数字之间的规律． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．﹣2024的相反数是 　2024　． 【思路点拨】直接根据相反数的定义解答即可． 【解析】解：﹣2024的相反数是2024， 故答案为：2024． 【点睛】本题考查了相反数的定义，熟记“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”是解题关键． 12．单项式﹣的次数是 　6　． 【思路点拨】根据单项式的次数的定义即可得出答案． 【解析】解：单项式的次数＝2+3+1＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了单项式的次数，掌握单项式中，所有字母指数的和是单项式的次数是解题的关键． 13．6.7064精确到百分位的近似数是 　6.71　． 【思路点拨】对千分位数字四舍五入即可． 【解析】解：6.7064精确到百分位的近似数是6.71， 故答案为：6.71． 【点睛】本题主要考查近似数，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． 14．若关于x的方程2x+a+b＝0的解是x＝﹣1，则代数式2024﹣a﹣b的值为 　2022　． 【思路点拨】根据方程的解，即可求出（a+b），即可求出代数式的值． 【解析】解：∵x＝﹣1是方程2x+a+b＝0的解， ∴﹣2+a+b＝0， 即a+b＝2， ∴2024﹣a﹣b＝2024﹣（a+b）＝2024﹣2＝2022． 故答案为：2022． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，代数式求值，正确进行计算是解题关键． 15．如图，已知∠AOC：∠BOC＝1：5．OD是∠AOB的角平分线，且∠COD＝36°，则∠AOC的度数为 　18°　． 【思路点拨】设∠AOC＝x°，∠BOC＝5x°，求出∠AOD＝∠AOB＝3x°，根据∠COD＝36°得出方程3x﹣x＝36，求出即可． 【解析】解：∵∠AOC：∠BOC＝1：5， ∴设∠AOC＝x°，∠BOC＝5x°， ∵OD是∠AOB的平分线， ∴∠AOD＝∠AOB＝3x°， ∵∠COD＝36°， ∴3x﹣x＝36， ∴x＝18， ∴∠AOC＝x°＝18°． 故答案为：18°． 【点睛】本题考查了角平分线和角的有关计算的应用，掌握题干角的数量关系并用方程表示出来是关键． 16．若x，y是有理数，我们定义新的运算*，使得x*y＝xy﹣y2，例如：1*2＝1×2﹣22＝﹣2，则﹣2*[3*（﹣1）]＝　﹣8　． 【思路点拨】根据定义新的运算列出算式，再根据有理数的混合运算顺序进行计算即可． 【解析】解：∵x*y＝xy﹣y2， ∴﹣2*[3*（﹣1）]＝﹣2*[3×（﹣1）﹣（﹣1）2] ＝﹣2*（﹣4） ＝﹣2×（﹣4）﹣（﹣4）2 ＝﹣8， 故答案为：﹣8． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握新定义以及相关运算法则是解决本题的关键． 三．解答题（共8小题，共66分） 17．计算： （1）|3﹣5|﹣（5﹣23）； （2）﹣32+|2﹣3|﹣（﹣2）2． 【思路点拨】（1）先化简，然后根据有理数的加减法计算即可； （2）根据有理数的乘方、去绝对值的方法和有理数的加减法可以解答本题． 【解析】解：（1）|3﹣5|﹣（5﹣23） ＝|﹣2|﹣（﹣18） ＝2+18 ＝20； （2）﹣32+|2﹣3|﹣（﹣2）2 ＝﹣9+|﹣1|﹣4 ＝﹣9+1﹣4 ＝﹣12． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算法则和运算顺序． 18．解方程： （1）x﹣3＝x+1； （2）3x+＝3﹣． 【思路点拨】（1）移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【解析】解：（1）x﹣3＝x+1， ﹣＝4， x＝﹣8； （2）3x+＝3﹣， 去分母得：18x+3（x﹣1）＝18﹣2（2x﹣1）， 去括号得：18x+3x﹣3＝18﹣4x+2， 移项、合并得：25x＝23， 系数化为1得：x＝． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，去括号时注意括号前面是负号的情况，去分母时注意分母为1的项也要乘以最小公倍数． 19．先化简再求值：2（a2b﹣2ab）﹣3（a2b﹣3ab）+a2b，其中a＝﹣2，． 【思路点拨】先去括号合并同类项，再代入求值． 【解析】解：2（a2b﹣2ab）﹣3（a2b﹣3ab）+a2b ＝2a2b﹣4ab﹣3a2b+9ab+a2b ＝5ab． 当a＝﹣2，时， 原式＝5×（﹣2）× ＝﹣2． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，掌握去括号法则、合并同类项法则及有理数的混合运算是解决本题的关键． 20．如图，已知四个点A，B，C，D，根据下列要求画图： （1）画线段AB； （2）画∠CDB； （3）找一点P，使P既在直线AD上，又在直线BC上． 【思路点拨】根据线段、角、两直线的位置关系即可解决问题； 【解析】解：（1）线段AB如图所示； （2）∠CDB如图所示； （3）图中点P即为所求； 【点睛】本题考查线段、角、两直线的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 21．某厂一周计划生产700个玩具，平均每天生产100个，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，如表是某周每天的生产情况（增产为正，减产为负，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 产量 +10 ﹣6 ﹣8 +15 ﹣12 +18 ﹣9 （1）根据记录，求出前三天共生产多少个？ （2）请问产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个？ （3）该厂实行计件工资制，每生产一个玩具10元，若按周计算，超额完成任务，超出部分每个12元；若未完成任务，生产出的玩具每个只能按8元发工资，那么该厂员工这一周的工资总额是多少？ 【思路点拨】（1）三天的计划总数加上三天多生产的个数的和即可； （2）求出超产的最多数与最少数的差即可； （3）求得这一周生产的总个数，然后按照工资标准求解． 【解析】解：（1）100×3+10﹣6﹣8＝296（个）， ∴前三天共生产296个； （2）18﹣（﹣12）＝18+12＝30（个）， ∴产量最多的一天比产量最少的一天多生产30个； （3）这一周多生产的总个数是10﹣6﹣8+15﹣12+18﹣9＝8（个）， 10×700+12×8＝7096（元）． 答：该厂工人这一周的工资是7096元． 【点睛】本题考查有理数的运算，理解正负数的意义，求得这一周生产的总数是关键． 22．如图，已知点O是直线AB上的一点，∠AOC：∠BOC＝2：7，射线OM是∠AOC的角平分线，射线ON是∠BOC的角平分线． （1）∠AOC＝　40°　，∠BOC＝　140°　． （2）求∠MON的度数； （3）过点O作射线OD，若，求∠COD的度数． 【思路点拨】（1）由∠AOC：∠BOC＝2：7及∠AOC+∠BOC＝180°即可求得； （2）由角平分线的定义及（1）中所求，利用和角关系即可求得结果； （3）分两种情况：射线OD在∠CON内部；射线OD在∠BON内部；利用角的和差关系即可求得结果． 【解析】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝2：7，∠AOC+∠BOC＝180°， ∴，； 故答案为：40°，140°； （2）∵OM是∠AOC的角平分线，射线ON是∠BOC的角平分线， ∴，， ∴∠MON＝∠COM+∠CON＝20°+70°＝90°； （3）∵； 当射线OD在∠CON内部时，如图； 则∠COD＝∠CON﹣∠DON＝70°﹣20°＝50°； 当射线OD在∠BON内部时，如图： 则∠COD＝∠CON+∠DON＝70°+20°＝90°； 综上，∠COD的度数为50°或90°． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差关系等知识，涉及分类讨论思想，关键是结合图形灵活运用角的和差关系达到求角的目的． 23．列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解） 第19届亚洲夏季运动会于2023年9月23日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人． （1）若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒A的工人人数； （2）为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【思路点拨】（1）设生产盲盒B的工人人数为x人，则生产盲盒A的工人人数为（2x﹣200）人，根据该工厂共有1000名工人，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设安排m人生产盲盒A，则安排（1000﹣m）人生产盲盒B，根据盲盒大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．列出一元一次方程，解方程即可． 【解析】解：（1）设生产盲盒B的工人人数为x人，则生产盲盒A的工人人数为（2x﹣200）人， 由题意得：（2x﹣200）+x＝1000， 解得：x＝400， ∴2x﹣200＝2×400﹣200＝600， 答：生产盲盒A的工人人数为600人； （2）设安排m人生产盲盒A，则安排（1000﹣m）人生产盲盒B， 由题意得：3×20m＝2×10（1000﹣m）， 解得：m＝250， ∴1000﹣m＝1000﹣250＝750， 答：该工厂应该安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 24．淇淇在商场买了一块机械手表，爱钻研的淇淇发现了手表上的数学问题，如图1所示是一块手表，可以看成如图2的数学模型（点A和点D是表带的两端，点A，B，C，D在同一条线段上）． （1）已知表盘直径BC为3cm，CD：AB＝2：1，若B是AC中点，求AD的长度； （2）在某个时刻，分针ON指向表盘上的数字“6”（此时ON与OC重合）．时针为OE，淇淇一看现在正好是8：30，如图3所示． ①求8：30时分针和时针夹角的度数； ②作射线OF，使∠EOF＝20°，求此时∠BOF的度数； （3）如图4所示．自8：30之后，OM始终是∠EON的角平分线（分针还是ON），在一小时以内，直接写出经过多少分钟后，∠EOM的度数是25°． 【思路点拨】（1）B是AC中点，求得AB＝3cm，AC＝6cm，再根据CD：AB＝2：1，求得CD＝6cm，即可求出AD＝AC+CD＝12cm； （2）①表盘为圆分12小时，每分钟时针走过的度数为0.5°，8点整，时针刚好落在8时上，30分钟后时针转动0.5°×30＝15°，则8：30时，分钟在6时处，时针在8时过15°的地方，即∠EON＝15°+2×30°＝75°； ②分情况讨论，当射线OF在∠EON内部和外部两种情况讨论，即可求得解； （3）根据∠EON＝|75°﹣5.5t|，进行分类解答即可． 【解析】解：（1）∵B是AC中点， ∴AB＝BC＝AC＝3cm， ∴AC＝6cm； ∵CD：AB＝2：1； ∴CD：3＝2：1； ∴CD＝6cm； ∴AD＝AC+CD＝12cm， 即AD的长度为12cm； （2）①分针的速度为360°÷60＝6°（每分）； 时针的速度为30°÷60＝0.5°（每分）； 30分钟时针走的路程为0.5°×30＝15°，即时针从8点到8：30分走的路程为15°， ∴∠EON＝15°+2×30°＝75°， 即8：30时分针和时针夹角的度数为75°； ②当OF在∠EON内部时，∠NOF＝∠EON﹣∠EOF＝75°﹣20°＝55°， ∴∠BOF＝180°﹣∠NOF＝125°； 当OF在∠EON外部时，∠BOF＝180°﹣（∠EON+∠EOF）＝180°﹣（75°+20°）＝85°． 即∠BOF的度数为125°或85°； （3）设经过时间为t分钟，时针与分针得速度差为6°﹣0.5°＝5.5°， ∴∠EON＝|75°﹣5.5t|， ∵OM平分∠EON， ∴∠EOM＝， ∴或＝25°， 解得t＝或t＝． 【点睛】本题考查了钟面角，解题的关键是理解题意正确进行分类讨论． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$