第05讲 平方根（知识串讲+11考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（人教版2024）

第05讲 平方根 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根; 2.根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根; 3.了解算术平方根的性质并用其解题； 1. 算术平方根 定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，读作“根号a”，a叫做被开方数. 【补充】算术平方根等于它本身的数只有0和1. 性质：正数只有一个算术平方根，且恒为正；0的算术平方根为0；负数没有算术平方根. 算术平方根(a≥0)具有双重非负性：1）被开方数具有非负性，即a≥0； 2）算术平方根本身具有非负性，即≥0； 【小结】即在式子中，a≥0且≥0. 两个重要等式：1） ，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 2），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 2. 平方根 定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根或二次方根.正数a的两个平方根记作±，读作“正、负根号a”. 【补充】平方根等于本身的数只有0. 性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根. 3. 开平方 定义：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方.非负数a开平方用符号“±”表示，“”是一个运算符号. 【注意】1）开平方是求一个非负数的平方根，因此被开方数必须是非负数； 2）平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程； 3）平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确. 考点一： 求一个数的算术平方根 1．（24-25七年级上·浙江台州·期末）计算： ． 【答案】2 【分析】此题考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：． 故答案为：2． 2．（22-23八年级上·河南南阳·期末）的算术平方根等于（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的意义，先化简，再根据算术平方根的意义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根等于． 故选：C． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图是一个数值转换器，当输入的x的值为81时，输出的y的值是（　　） A． B．9 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，理解题意，按照数值转换器规定的运算计算是解题的关键．根据数值转换器输入x的值，直到输出y的值不是有理数为止． 【详解】解：第一次输入，则，是有理数； 第二次输入，则，是有理数； 第三次输入，则不是有理数，所以输出， 故选：A． 考点二： 利用算术平方根的非负性求解 4．（24-25七年级上·浙江丽水·期中）若，则的算术平方根为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的算术平方根，几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，据此得到，则；对于两个实数a、b若a为非负数且满足，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根为2， 故答案为：2． 5．（24-25七年级上·浙江台州·期末）若，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了非负数的性质、算术平方根的非负性、代数式求值等知识点，掌握算术平方根和绝对值的非负性成为解题的关键．先根据非负数的性质求出x、y的值，然后再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：16． 6．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知实数x，y满足，则的值为 ． 【答案】16 【分析】此题主要考查了绝对值的性质以及算术平方根的性质．直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解： ， ，， 解得：，， 则， 故答案为：16． 7．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知、为实数，且，则 【答案】2010 【分析】本题考查了算术平方根的被开方数非负，代数式求值，熟练掌握知识点是解题的关键．由得到，则，即可求解的值． 【详解】解：由题意得， 则， ∴， ∴， 故答案为：2010． 考点三： 估计算术平方根的取值范围 8．（2024·湖南长沙·二模）若，则满足条件的可能是（    ） A．8 B．9 C．15 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的意义成为解题的关键． 先根据算术平方根的意义确定a的取值范围，然后结合选项即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即选项C符合题意． 故选C． 9．（22-23七年级下·重庆·阶段练习）估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算．估算的近似值，即可得到在哪两个整数之间． 【详解】解：∵，即， ∴， ∴在整数2与整数3之间， 故选：B． 10．（23-24七年级下·贵州安顺·阶段练习）小明制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为． (1)求此长方形信封的长和宽． (2)小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)长方形信封的长为，宽为 (2)小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封；理由见解析 【分析】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，解题的关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长． （1）设长方形信封的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （2）先求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可． 【详解】（1）解：∵信封的长、宽之比为， ∴设长方形信封的长为，宽为， 由题意得， ∴（负值舍去）， ∴长方形信封的长为，宽为； （2）解：正方形贺卡的边长是， ∵， ∴， ∴， 即信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 考点四： 与算术平方根有关的规律探究问题 11．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的性质即可求解，解题的关键是掌握算术平方根的性质． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）观察表格并回答下列问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求的值． 【答案】(1)0.1，10 (2)①0.245；②600 【分析】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键． （1）利用算术平方根的定义即可得出答案； （2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：0.1，10； （2）解：①由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， ∴由可知， 故答案为：0.245； ②∵，， ∴可知0.03464的小数点向右移动了3位得到， ∴由上述表格可知被开方数小数点需要向右移动6个单位得到， ∴， ∴． 13．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … (1)表格中的三个值分别为： ________； ________； ________； (2)用公式表示这一规律：当（为整数）时，＝________； (3)利用这一规律，解决下面的问题： 已知，则①_______；②________． 【答案】(1)，， (2) (3)， 【分析】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． （1）利用算术平方根定义计算，填表即可； （2）归纳总结得到一般性规律，求出的值即可； （3）利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）根据题意得：， ， ． （2）当（为整数）时，； （3）若，则①； ②． 14．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）先计算下列各式：，，，，通过观察并归纳结论： （1）请写出： ： （2）计算： ． 【答案】 n 102 【分析】本题主要考查了奇数求和，算术平方根，认真读题，寻找规律，掌握奇数求和的方法和算术平方根的定义是解答的关键． （1）总结规律，可以发现被开方数是奇数之和为，开方即可； （2）先把被开方数提取公因数4，再将括号内的按规律求和解答即可． 【详解】解：（1）∵，，，， ∴ 故答案为：n； （2） ． 故答案为：102． 考点五： 算术平方根的实际应用 15．（23-24七年级下·广东肇庆·期中）阅读下列材料： 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，而，，所以，即． 小明：，，这就说明与都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以． 回答以下问题： (1)结合材料猜想，当，时，和之间存在怎样的关系？请直接写出； (2)运用以上结论，计算：①；②； (3)解决实际问题：已知一个长方形的宽为，长为，求这个长方形的面积． 【答案】(1) (2)； (3)16 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根的应用，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键． （1）由题意可得当，时，； （2）根据法则计算； ； （3）由长方形的面积可知，进而求解即可． 【详解】（1）解：当，时，； （2）解：； ， （3）解：根据题意得：长方形的面积为． 16．（24-25七年级上·全国·期末）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：，，这三个数，，，，其结果分别为，，，都是整数，所以，，这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是，“最大算术平方根”是． (1)试说明：，，这三个数是“老根数”，并求出它们的最小算术平方根与最大算术平方根； (2)已知，，，这三个数是“老根数”，且它们的最大算术平方根是最小算术平方根的倍，求的值． 【答案】(1)理由见解析，最小算术平方根是，最大算术平方根是 (2)或 【分析】本题考查算术平方根，理解“老根数”、“最小算术平方根”、“最大算术平方根”的意义是正确解答的前提，求出“任意两个数乘积的算术平方根”是解决问题的关键． （1）根据“老根数”“最小算术平方根”“最大算术平方根”的意义求解即可； （2）分三种情况进行解答即可，即，，，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，这三个数是“老根数”；其中最小算术平方根是，最大算术平方根是； （2）当时， ∵，，，这三个数是“老根数”，且它们的最大算术平方根是最小算术平方根的倍， ∴， ∴， 解得：； 当时， 依题意，得：， ∴， ∴， 解得：，不合题意舍去； 当时， 依题意，得：， ∴， 解得：， 综上所述，的值为或． 17．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）在数学实践活动课上，指导老师准备了一块面积为的正方形纸片（如图所示），准备给数学实践小组用来对教室重新进行装饰，现需要一块面积为的长方形纸片，数学实践小组设计如下两种方案： 方案一：沿着正方形边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料． 方案二：沿着正方形边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料，且长与宽的比为． 请你判断实践小组设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由．（参考数据：） 【答案】方案一可行，方案二不可行，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，根据题意分别求得两个方案中长方形的长和宽，和正方形的边长比较大小，进而即可求解． 【详解】解：给定正方形纸片的面积为，因此其边长为（因为正方形的面积等于边长的平方，即）． 对于方案一： 设裁出的长方形的长为，宽为，满足条件，同时和都必须小于等于正方形的边长． 若，则， 因此，方案一可行．此时，长方形的长为，宽为． 对于方案二： 设长方形的长为，宽为，其中．根据题目，有，解得．因为，所以． 根据题目给的参考数据， ∴，． 然而，长方形的长已经大于正方形的边长，因此方案二不可行． 18．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）电流通过导线时会产生热量，满足，其中为产生的热量（单位：），为电流（单位：），为导线电阻（单位：），为通电时间（单位：）． (1)当导线电阻为，电流为时，通电时间为所产生的热量是多少？ (2)当导线电阻为，通电时间为时，所产生的热量是，这时电流是多少？ 【答案】(1)通电时间为所产生的热量是； (2)这时电流是． 【分析】（）把数值代入公式计算即可解题； （）先把公式变形，然后代入求出结果即可； 本题考查了代数式求值，算术平方根的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）由题得：当时，， ∴通电时间为所产生的热量是； （2）∵且， ∴， 当时，得， ∴这时电流是． 19．（22-23七年级下·山东临沂·期中）如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．    (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 【分析】本题考查了算术平方根，能根据题意列出算式是解此题的关键． （1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可； （2）先求出长方形的边长，利用长与正方形边长比较大小再判断即可． 【详解】（1）解：由题意得，大正方形的面积， 大正方形的边长； （2）设长方形纸片的长为，宽为． 由题意，得，即． 此时． 不能裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 考点六： 理解平方根的概念 20．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）“的平方根是”，用数学式子表达为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据算术平方根和平方根的定义进行解题即可． 【详解】解：“的平方根是”，用式子表示为． 故选：C． 21．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知某数的一个平方根为，则该数是 ，它的另一个平方根是 ． 【答案】 /0.25 / 【分析】本题考查了平方根，解题的关键是掌握平方根的定义，注意一个正数的两个平方根互为相反数． 根据平方根的平方等于被开方数和一个正数的平方根互为相反数，即可求解． 【详解】解：∵ 这个数的一个平方根为， ∴这个数为，另一个平方根为， 故答案为：；． 22．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列说法正确的是（  ） A．的平方根是 B．的算术平方根是4 C．平方根等于本身的数是0和1 D．0的平方根与算术平方根都是0 【答案】D 【分析】本题考查了平方根与算术平方根的定义，熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键．根据平方根及算术平方根的定义逐项判断即可． 【详解】因为负数没有平方根，所以A不符合题意； 因为的算术平方根是2，所以B不符合题意； 因为平方根等于本身的数是0，1的平方根是，所以C不符合题意； 因为0的平方根与算术平方根都是0，所以D符合题意； 故选：D． 考点七： 求一个数的平方根 23．（22-23七年级上·浙江·期中）的平方根是( ) A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根，根据平方根的定义即可求解．解题的关键是掌握正数的平方根有两个，互为相反数． 【详解】解：∵， ∴16的平方根是， 故选：C． 24．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）的平方根是 ． 【答案】 【分析】此题考查了求一个数的算术平方根，这里需注意：的平方根和16的平方根是完全不一样的；因此求一个式子的平方根、立方根和算术平方根时，通常需先将式子化简，然后再去求，避免出错．根据算术平方根和平方根的运算法则，直接计算即可． 【详解】解：∵，4的平方根是， ∴的平方根是． 故答案为：． 考点八： 求代数式的平方根 25．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）已知、都是实数，且，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负数的性质及平方根，根据算术平方根的非负性得，，可得的值，再代入等式求出的值，再根据平方根的定义求解即可．解题的关键是掌握：任意非负数的算术平方根是非负数，即． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 26．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）若，，则的平方根约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根，熟练掌握平方根是解题的关键；根据题意30是0.3的100倍，进而可根据进行求解． 【详解】解：∵， ∴的平方根为； 故选D． 27．（23-24七年级下·山东滨州·期末）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义．直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， 则， 故的平方根为：． 故答案为：． 28．（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知与 互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根以及相反数，解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由题意得 ，求出a、b值，即可求解． 【详解】解：∵，， 则当与 互为相反数时， 只能是， 解得：， ∴， ∴其平方根为． 29．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 【答案】(1) (2)的平方根为 【分析】本题主要考查偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性、平方根，熟练掌握偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键； （1）根据题意易得，然后进行求解即可； （2）根据（1）可得的值，然后根据平方根可进行求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， 解得：； （2）解：由（1）得：， ∴， ∴4的平方根为， 即的平方根为． 30．（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根及平方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 【详解】解：的算术平方根是5， ， 解得：． ∵的平方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 【点睛】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键． 考点九： 已知一个数的平方根求这个数 31．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）一个正数x的两个不同的平方根是和，则x的值为 【答案】49 【分析】本题考查数的平方根，解一元一次方程．根据一个数的两个平方根互为相反数即可求出a的值，从而可求出x的值． 【详解】解：∵实数的两个不同的平方根为和， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：49． 32．（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知某数的一个平方根是，则这个数是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了已知一个数的平方根求这个数，掌握平方根的定义是解题关键．直接根据平方根的定义可得结果． 【详解】解：， 平方根是的数是5， 故答案为：5． 33．（24-25八年级上·广东佛山·期中）若一个正数a的两个平方根分别是和． (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2)的平方根为 【分析】本题考查的是平方根，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． （1）先求出b的值，再根据平方根的意义求出a的值即可； （2）先求出的值，再求出其平方根即可． 【详解】（1）解：∵一个正数a的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵ ∴， 又25的平方根是， ∴的平方根为． 34．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）已知一个数x的算术平方根为，x的平方根为，求这个数x是 ． 【答案】441或49 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，算术平方根，先根据题意可得关于a的方程，求出解即可． 【详解】根据题意，得 解得或， ∴或， 则或， 所以这个数是441或49． 故答案为：441或49． 考点十： 利用平方根解方程 35．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用平方根的定义解方程即可； 本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， 解得：； （2） 或 解得：或． 36．（21-22七年级下·贵州黔南·期中）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键： （1）先将方程整理为，再利用平方根解方程即可得； （2）先将方程整理为，再利用平方根解方程即可得． 【详解】（1）解：， ， 或； （2）解： ， 或， 或． 37．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各式中的x： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查平方根，理解平方根的定义，掌握等式的性质是正确解答的前提． （1）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可； （2）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可； （3）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：移项得，， 两边都除以9得，， 由平方根的定义得，； （2）移项得，， 合并同类项得，， 由平方根的定义得，， 即或； （3）移项得，， 两边都除以3得，， 由平方根的定义得，， 即或； 考点十一： 平方根的应用 38．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形纸片的边长； (2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？ 【答案】(1) (2)解：不同意小明的说法，我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片，理由见解析 【分析】本题考查平方根的实际应用，读懂题意，由算术平方根及平方根定义列式求解即可得到答案，读懂题意，由平方根定义列式求解是解决问题的关键． （1）根据题意，利用算术平方根列式求解即可得到答案； （2）设长方形纸片的长为，宽为，由题意得到求解即可得到答案． 【详解】（1）解：用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形， 大正方形的边长为； （2）解：不同意小明的说法；我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片． 理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为，根据题意得，解得或（负值，舍去），即长方形的长为，宽为， ∵，不符合题意， ∴小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片． 39．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：秒）和高度（单位：米）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒．物体落地时产生的动能物体质量重力加速度高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：焦耳． (1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？ (2)一个0.5 千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精确到0.1 秒，） 【答案】(1)大约需要4秒 (2)大约2.8秒 【分析】本题考查了平方根的应用，理解公式，正确代入求值是解此题的关键． （1）将米代入得：，即，计算即可得解； （2）先求出米，再将米代入得，即，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：把米代入得：，即， 解得：（负值舍去）， 答：一个物品从80米的高楼坠落到地面大约需要4秒； （2）解：由题意得：， 解得， 把代入得：，即， 解得（负值舍去）， ∴秒， 答：该物品坠落地面用了大约2.8秒． 40．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道（横向走道宽度不变）后将空地分割成两个花坛（花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为），花坛的总面积为1176平方米，宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？ 【答案】(1)这块长方形空地的周长为米 (2)宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行 【分析】本题考查了平方根的应用； （1）设长方形空地的长为，则宽为，根据面积为1500平方米列式，利用平方根的性质求出x，得到长方形空地的长和宽，然后即可计算周长； （2）设花坛2的宽为y，则长为，正方形花坛1的边长为，根据总面积为1176平方米列式，利用平方根的性质求出x，计算出“T字型”走道的宽，进行比较即可． 【详解】（1）解：设长方形空地的长为，则宽为， 由题意得：， ∴（负值已舍去）， ∴，， ∴这块长方形空地的周长为米； （2）设花坛2的宽为y，则长为，正方形花坛1的边长为， 由题意得：， 解得：（负值已舍去）， ∴花坛2的宽为14，正方形花坛1的边长为， ∵， ∴宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行． 41．（23-24七年级上·浙江·周测）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年） (1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？ (2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【答案】(1)21 (2)37 【分析】本题考查了平方根的应用： （1）将代入关系式计算即可； （2）将代入关系式求解即可． 【详解】（1）解：当时， （厘米）， 答：冰川消失21年后苔藓的直径为21厘米． （2）解：当时， 即， ， 答：冰川约是在37年前消失的． 1．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）一个正方形的面积是，则这个正方形的边长是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是算术平方根的概念以及正方形的面积的计算，掌握算术平方根的概念是解题的关键．根据算术平方根的概念以及正方形的面积公式计算即可． 【详解】已知一个正方形的面积是， 则这个正方形的边长为， 这个正方形的边长是． 故选：A． 2．（24-25七年级上·山东泰安·期中）若，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2024 【答案】C 【分析】本题主要考查了非负数的性质、乘方运算等知识点，掌握几个非负数的和为零、则每个非负数的和都为0成为解题的关键． 根据偶次幂以及算术平方根的非负性确定a、b的值，然后代入代数式运用乘方运算求解即可． 【详解】解：∵ ∴，解得：， ∴． 故选C． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）与互为相反数，是最大的负整数，是正数且倒数等于它本身，是平方等于4的数，则的值为（   ） A．1 B． C．0或 D．1或5 【答案】C 【分析】本题主要考查相反数、倒数、平方根及代数式的值，熟练掌握相反数、平方根及倒数的意义是解题的关键；由题意易得，然后代入进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， 当时，则； 当时，则； 故选C． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知x，y为实数，且，则的值为（　　） A． B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了非负数的性质，根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 5．（24-25七年级上·浙江温州·期中）下列选项中计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，平方根和有理数的乘方，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 根据平方根，算术平方根和有理数的乘方法则逐项判断即可． 【详解】A． ，原式错误，故选项不符合题意； B． ，计算正确，故选项符合题意； C． ，原式错误，故选项不符合题意； D． ，原式错误，故选项不符合题意； 故选：B． 6．（2024·山东滨州·模拟预测）在有理数，，，中，负数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查化简绝对值，有理数的乘方和算术平方根，负数的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先化简绝对值，有理数的乘方和算术平方根，然后根据负数的概念求解即可． 【详解】解：，，， ∴负数有，共1个． 故选：A． 7．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）已知一个正数的两个平方根分别是和．则这个正数为（   ） A．4 B．36 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数，一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得，则，再根据平方根的定义即可求出答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴， ∴这个正数为， 故选：B． 8．（24-25八年级上·四川成都·开学考试）下列说法错误的是（    ） A．是9的平方根 B．的平方根为 C．的平方根为 D．负数没有平方根 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义，正数有两个平方根互为相反数，负数没有平方根．根据平方根的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、是9的平方根，正确，故本选项不符合题意； B、的平方根为，故B不正确，故本选项符合题意； C、25的平方根为，正确，故本选项不符合题意； D、负数没有平方根，正确，故本选项不符合题意． 故选：B． 9．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）如果，那么a等于（   ） A．4 B． C．16 D．4或 【答案】D 【分析】本题主要考查了乘方运算、平方根等知识点，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 先计算乘方，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即4或． 故选：D． 10．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．由得到，即可求解． 【详解】解： ，， ， 故选：B． 11．（23-24七年级下·全国·单元测试）如果和是正数A的平方根，则A为（     ） A．1或9 B．1或 C．1 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了平方根．首先根据正数有两个平方根，它们可能互为相反数或相等，则列方程求解即可． 【详解】解：当两数互为相反数时，， 解得：， ∴，， 则这个正数为1； 当两数相等时，， ∴， ∴， 这个正数是9． 故这个正数为1或9， 故选：A． 12．（24-25七年级上·浙江温州·期中）在草稿纸上计算：①，②，③…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：= ，= ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根与数字变化规律题，解题关键是得出．先计算出前4个式子，进而得出规律，再计算即可． 【详解】解：， ， ， ， …… 观察发现， ， 故答案为：，． 13．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）的立方等于 ；的倒数是 ；25的平方根是 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，倒数，立方的计算．根据定义及运算法则逐一计算即可得到结果． 【详解】解：的立方等于；的倒数是；25的平方根是， 故答案为：；；． 14．（24-25七年级上·浙江温州·期中）若，其中均是整数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值和算术平方根的非负性，得出可能的取值是解决此题的关键，注意分类讨论的数学思想．先根据绝对值和算术平方根的非负性分两种情况进行讨论得出的值，再代入进行计算即可求解． 【详解】 ，其中均是整数， 又 ，， 当，， 解得，， 此时， 当，， 解得或，， 此时或， 时，或或， 故答案为：． 15．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图是第十四届国际数学教育大会会微的主题图案，它包含着丰富的数学元素，展现我国古代数学的文化魅力，在其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．而八进制数3745转换成十进制数的计算方式为：，十进制数2021表示的举办年份，而十进制数2024正好是你进入初中的年份，请将十进制数2024换算成八进制数是 ，数学组设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，则的值是 ． 【答案】 3750 9 【分析】本题考查了有理数的运算以及利用平方根解方程等知识，根据题意列出关于n的方程是解答本题的关键． 根据十进制换算成八进制的方法即可作答；根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的方程，解方程即可求解． 【详解】解：因为8的4次方就是4096，3次方是512， 所以2024写成8进制就是4位数，且首位是3，其值为3乘以8的3次方， 然后剩下， 而， ， 十进制数2024换算成八进制数是3750 根据题意有：， 整理得：， 解得，（负值舍去）， 故n的值为9． 故答案为：3750，9． 16．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知：．求： (1)，，的值； (2)求的值． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】本题考查了绝对值、偶次幂、算术平方根的非负性、代数式求值，掌握绝对值、偶次幂、算术平方根的非负性是正确解题的关键． （）根据绝对值、偶次幂以及算术平方根的非负性进行计算即可； （）将，，的值代入计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴，，； （2）解：∵，，， ∴ ． 17．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）已知． (1)已知的算术平方根为3，求的值； (2)如果都是同一个数的平方根，求这个数． 【答案】(1) (2)这个数是1或25 【分析】本题主要考查算术平方根的定义，平方根的定义，一元一次方程的应用．熟练掌握算术平方根和平方根的定义是解题关键． （1）根据算术平方根的定义可得，求解即可； （2）根据平方根的定义，可得或，求出a的值，进而即可求出原数． 【详解】（1）解：∵已知的算术平方根为3， ∴， ∴； （2）解：∵都是同一个数的平方根， ∴或， 解得：或． 当时，， 当时，， ∴这个数是1或25． 18．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）“*”表示一种新运算，它的意义是，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键． （1）由新定义运算法则把，代入到式子中计算即可； （2）由新定义运算法则即是把，代入到式子中计算即可； （3）先利用乘方和二次根式运算化简在由新定义运算法则代入计算即可； 【详解】（1）解：根据新运算可得 ； （2）解：根据新运算可得 ； （3）解：，， 根据新运算可得 ． 19．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）圆柱的体积等于底面积乘高．如图，用h表示圆柱的高，r表示底面半径，V表示圆柱的体积．（结果中均保留π） (1)用含字母h，r的代数式表示圆柱的体积V． (2)求底面半径为，高为的圆柱的体积． (3)若圆柱体积，高，求圆柱的底面半径r． 【答案】(1)； (2)； (3)圆柱的底面半径为厘米． 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，解题的关键是运用圆柱的体积公式． （1）根据圆柱体的体积公式即可解答； （2）把数值代入圆柱的体积公式中即可求出结果； （3）把数值代入圆柱的体积公式中即可求出结果． 【详解】（1）解：圆柱的体积； （2）解：底面半径为，高为时， 圆柱的体积：； （3）解：∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴圆柱的底面半径为厘米． 20．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图1是2024年10月份的日历，我们选择其中被框起来的部分，将每个框中三个位置上的数按如下方式计算： ， ， 不难发现，结果都是7．    (1)请你类比上述算法，计算图2与图3中被框起来部分，你有什么发现？ 发现图2计算结果为______；图3计算结果为______． (2)请你类比上述材料，用含n的式子表示图2的规律，并加以说明． 【答案】(1)8，6 (2)，证明见解析 【分析】本题考查数字类规律探究、求一个数的算术平方根，理解题意，找到变化规律是解答的关键． （1）类比上述算法，结合算术平方根求解即可； （2）根据上述算法，得出规律，利用整式运算和算术平方根证明即可． 【详解】（1）解：根据题意，图2中被框起来3个数按以下方式计算： ， ， 故计算结果为8； 图3中被框起来的3个数按以下方式计算： ， ， 故计算结果为6， 故答案为：8，6； （2）解：根据（1）中计算，可猜想， 理由如下： ． 21．（22-23七年级上·浙江金华·期中）如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A所表示的数为m． (1)实数m的值是______． (2)求的值． (3)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据左减原则计算解答即可． （2）根据，代入求值即可． （3）根据题意，得，解得，代入，计算平方根． 【详解】（1）解：根据题意，得， 故答案为：． （2）解：根据，代入，得 原式= ． （3）解：根据题意，得， 解得，代入， 故 ． 【点睛】本题考查了点的坐标的平移规律，已知字母的值求代数式的值，有理数的非负性，相反数的应用，平方根的意义，熟练掌握平移，非负性，平方根是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 平方根 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根; 2.根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根; 3.了解算术平方根的性质并用其解题； 1. 算术平方根 定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，读作“根号a”，a叫做被开方数. 【补充】算术平方根等于它本身的数只有0和1. 性质：正数只有一个算术平方根，且恒为正；0的算术平方根为0；负数没有算术平方根. 算术平方根(a≥0)具有双重非负性：1）被开方数具有非负性，即a≥0； 2）算术平方根本身具有非负性，即≥0； 【小结】即在式子中，a≥0且≥0. 两个重要等式：1），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 2），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 2. 平方根 定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根或二次方根.正数a的两个平方根记作±，读作“正、负根号a”. 【补充】平方根等于本身的数只有0. 性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根. 3. 开平方 定义：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方.非负数a开平方用符号“±”表示，“”是一个运算符号. 【注意】1）开平方是求一个非负数的平方根，因此被开方数必须是非负数； 2）平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程； 3）平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确. 考点一： 求一个数的算术平方根 1．（24-25七年级上·浙江台州·期末）计算： ． 2．（22-23八年级上·河南南阳·期末）的算术平方根等于（   ） A．4 B． C．2 D． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图是一个数值转换器，当输入的x的值为81时，输出的y的值是（　　） A． B．9 C．3 D． 考点二： 利用算术平方根的非负性求解 4．（24-25七年级上·浙江丽水·期中）若，则的算术平方根为 ． 5．（24-25七年级上·浙江台州·期末）若，则的值为 ． 6．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知实数x，y满足，则的值为 ． 7．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知、为实数，且，则 考点三： 估计算术平方根的取值范围 8．（2024·湖南长沙·二模）若，则满足条件的可能是（    ） A．8 B．9 C．15 D．18 9．（22-23七年级下·重庆·阶段练习）估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 10．（23-24七年级下·贵州安顺·阶段练习）小明制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为． (1)求此长方形信封的长和宽． (2)小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 考点四： 与算术平方根有关的规律探究问题 11．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，那么 ． 12．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）观察表格并回答下列问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求的值． 13．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … (1)表格中的三个值分别为： ________； ________； ________； (2)用公式表示这一规律：当（为整数）时，＝________； (3)利用这一规律，解决下面的问题： 已知，则①_______；②________． 14．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）先计算下列各式：，，，，通过观察并归纳结论： （1）请写出： ： （2）计算： ． 考点五： 算术平方根的实际应用 15．（23-24七年级下·广东肇庆·期中）阅读下列材料： 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，而，，所以，即． 小明：，，这就说明与都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以． 回答以下问题： (1)结合材料猜想，当，时，和之间存在怎样的关系？请直接写出； (2)运用以上结论，计算：①；②； (3)解决实际问题：已知一个长方形的宽为，长为，求这个长方形的面积． 16．（24-25七年级上·全国·期末）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：，，这三个数，，，，其结果分别为，，，都是整数，所以，，这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是，“最大算术平方根”是． (1)试说明：，，这三个数是“老根数”，并求出它们的最小算术平方根与最大算术平方根； (2)已知，，，这三个数是“老根数”，且它们的最大算术平方根是最小算术平方根的倍，求的值． 17．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）在数学实践活动课上，指导老师准备了一块面积为的正方形纸片（如图所示），准备给数学实践小组用来对教室重新进行装饰，现需要一块面积为的长方形纸片，数学实践小组设计如下两种方案： 方案一：沿着正方形边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料． 方案二：沿着正方形边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料，且长与宽的比为． 请你判断实践小组设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由．（参考数据：） 18．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）电流通过导线时会产生热量，满足，其中为产生的热量（单位：），为电流（单位：），为导线电阻（单位：），为通电时间（单位：）． (1)当导线电阻为，电流为时，通电时间为所产生的热量是多少？ (2)当导线电阻为，通电时间为时，所产生的热量是，这时电流是多少？ 19．（22-23七年级下·山东临沂·期中）如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．    (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 考点六： 理解平方根的概念 20．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）“的平方根是”，用数学式子表达为（　　） A． B． C． D． 21．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知某数的一个平方根为，则该数是 ，它的另一个平方根是 ． 22．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列说法正确的是（  ） A．的平方根是 B．的算术平方根是4 C．平方根等于本身的数是0和1 D．0的平方根与算术平方根都是0 考点七： 求一个数的平方根 23．（22-23七年级上·浙江·期中）的平方根是( ) A． B． C．4 D． 24．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）的平方根是 ． 考点八： 求代数式的平方根 25．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）已知、都是实数，且，求的平方根． 26．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）若，，则的平方根约为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24七年级下·山东滨州·期末）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 28．（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知与 互为相反数，求的平方根． 29．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 30．（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 考点九： 已知一个数的平方根求这个数 31．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）一个正数x的两个不同的平方根是和，则x的值为 32．（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知某数的一个平方根是，则这个数是 ． 33．（24-25八年级上·广东佛山·期中）若一个正数a的两个平方根分别是和． (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 34．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）已知一个数x的算术平方根为，x的平方根为，求这个数x是 ． 考点十： 利用平方根解方程 35．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）解方程 (1)； (2)． 36．（21-22七年级下·贵州黔南·期中）解方程： (1)； (2) 37．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各式中的x： (1)； (2)； (3)． 考点十一： 平方根的应用 38．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形纸片的边长； (2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？ 39．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：秒）和高度（单位：米）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒．物体落地时产生的动能物体质量重力加速度高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：焦耳． (1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？ (2)一个0.5 千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精确到0.1 秒，） 40．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道（横向走道宽度不变）后将空地分割成两个花坛（花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为），花坛的总面积为1176平方米，宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？ 41．（23-24七年级上·浙江·周测）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年） (1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？ (2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 1．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）一个正方形的面积是，则这个正方形的边长是（    ） A．5 B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东泰安·期中）若，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2024 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）与互为相反数，是最大的负整数，是正数且倒数等于它本身，是平方等于4的数，则的值为（   ） A．1 B． C．0或 D．1或5 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知x，y为实数，且，则的值为（　　） A． B．2 C．4 D． 5．（24-25七年级上·浙江温州·期中）下列选项中计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2024·山东滨州·模拟预测）在有理数，，，中，负数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 7．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）已知一个正数的两个平方根分别是和．则这个正数为（   ） A．4 B．36 C． D． 8．（24-25八年级上·四川成都·开学考试）下列说法错误的是（    ） A．是9的平方根 B．的平方根为 C．的平方根为 D．负数没有平方根 9．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）如果，那么a等于（   ） A．4 B． C．16 D．4或 10．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知，，则（  ） A． B． C． D． 11．（23-24七年级下·全国·单元测试）如果和是正数A的平方根，则A为（     ） A．1或9 B．1或 C．1 D． 12．（24-25七年级上·浙江温州·期中）在草稿纸上计算：①，②，③…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：= ，= ． 13．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）的立方等于 ；的倒数是 ；25的平方根是 14．（24-25七年级上·浙江温州·期中）若，其中均是整数，则 ． 15．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图是第十四届国际数学教育大会会微的主题图案，它包含着丰富的数学元素，展现我国古代数学的文化魅力，在其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．而八进制数3745转换成十进制数的计算方式为：，十进制数2021表示的举办年份，而十进制数2024正好是你进入初中的年份，请将十进制数2024换算成八进制数是 ，数学组设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，则的值是 ． 16．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知：．求： (1)，，的值； (2)求的值． 17．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）已知． (1)已知的算术平方根为3，求的值； (2)如果都是同一个数的平方根，求这个数． 18．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）“*”表示一种新运算，它的意义是，求： (1)； (2)； (3)． 19．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）圆柱的体积等于底面积乘高．如图，用h表示圆柱的高，r表示底面半径，V表示圆柱的体积．（结果中均保留π） (1)用含字母h，r的代数式表示圆柱的体积V． (2)求底面半径为，高为的圆柱的体积． (3)若圆柱体积，高，求圆柱的底面半径r． 20．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图1是2024年10月份的日历，我们选择其中被框起来的部分，将每个框中三个位置上的数按如下方式计算： ， ， 不难发现，结果都是7．    (1)请你类比上述算法，计算图2与图3中被框起来部分，你有什么发现？ 发现图2计算结果为______；图3计算结果为______． (2)请你类比上述材料，用含n的式子表示图2的规律，并加以说明． 21．（22-23七年级上·浙江金华·期中）如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A所表示的数为m． (1)实数m的值是______． (2)求的值． (3)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$