第06讲 立方根（知识串讲+10考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（人教版2024）

第06讲 立方根 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 (1)理解立方根的定义并且会求一个数的立方根; (2)会表示一个数的立方根和理解立方根的性质; (3)会用估值法比较两个数的大小和掌握被开方数和立方根近似值的小数点的移动规律,并能利用规律解题. 1.立方根 定义：如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x叫做a的立方根或三次方根. 数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 【补充】1）立方根等于本身的有0和±1. 2）互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根． 立方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向左或右移动三位，那么立方根的小数点相应的向左或右移动一位.例如：已知＝0.1738，＝1.738，则a的值为0.00528. 1. 一个正数a的算术平方根用符号表示为，一个非负数a的平方根用符号表示为±；一个数a的立方根用符号表示为 ，即正数的平方根有两个且互为相反数.算术平方根有一个，立方根有一个. 2. 0的算术平方根、平方根和立方根都是0；平方根等于其自身的有0和1；立方根等于其自身的有－1、0和1. 3. 【常考/易错】有时候题目会故意没有把去根号，这时候就要注意千万不要把的平方根当作a的平方根，要先把去根号，再求平方根． 2. 开立方 定义：求一个数的立方根的运算叫做开立方. 【注意】 1）求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 2) 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 3）开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 考点一： 立方根的概念理解 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若n为自然数，对下面判断正确的是（    ） A．一定无意义 B．一定有意义 C．若n为奇数，则必有意义 D．一定成立 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根，平方根定义，解题的关键是熟练掌握定义．根据立方根、平方根定义进行判断即可． 【详解】解：当为偶数，时，有意义， 当为偶数时，必有意义，不一定成立， 故C正确，ABD错误． 故选：C． 2．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若一个数的立方根与它的算术平方根相同，则这个数是（   ） A．1 B．1或0 C．0 D．或0 【答案】B 【分析】此题主要考查了立方根和算术平方根的概念， 根据立方根和算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：若一个数的立方根与它的算术平方根相同，则这个数是1或0． 故选：B． 3．（20-21七年级下·全国·课后作业）在实数范围内，下列判断正确的是 （   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值、平方根和立方根的性质，根据绝对值、平方根和立方根的性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、若，则，故该选项不符合题意； B、若，则或，故该选项不符合题意； C、若，则可以为任意数，为非负数，故该选项不符合题意； D、若，则，故该选项符合题意； 故选：D． 4．（21-22九年级下·黑龙江哈尔滨·期中），则的值是（    ） A．8 B．2 C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根，先根据立方根的定义得出关于a的方程，然后解方程即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∴， 故选∶C． 5．（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是 【答案】 【分析】此题主要考查了平方根和立方根的定义和性质，任意一个数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是．根据平方根和立方根的性质解答即可． 【详解】解：∵的平方根是它本身，的立方根是它本身， ∴一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是． 故答案为：． 考点二： 求一个数的立方根 6．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）已知是的算术平方根，则的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查算术平方根及立方根，熟练掌握算术平方根及立方根是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由是的算术平方根，可知：， ∴， ∵8的立方根是2， ∴的立方根为2； 故答案为2． 7．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）的立方根是 的算术平方根 的平方根是 【答案】 【分析】本题考查立方根、算术平方根及平方根，解题的关键是理解和掌握立方根、算术平方根及平方根的定义．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是：； ∵， ∴的算术平方根是：； ∵， ∴的平方根是：． 故答案为：；；． 8．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）的立方根是 ；的算术平方根是 ；的绝对值是 ． 【答案】 / 【分析】此题主要考查了实数的性质．直接利用立方根以及算术平方根、绝对值的性质分别分析得出答案． 【详解】解：∵， ∴的立方根是； ∵， ∴，2的算术平方根是； ∵， ∴的绝对值是． 故答案为：；2；． 9．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性、立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根和绝对值的非负性可求出的值，再代入计算立方根即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2024七年级上·全国·专题练习） ； ； ； ． 【答案】 / 5 【分析】本题考查平方根、立方根，根据平方根及立方根的定义解答即可． 【详解】解：； ； ； 故答案为：，，5，． 考点三： 已知一个数的立方根求这个数 11．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）若一个数的立方根是4，那么这个数的平方根是（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根和立方根的计算，能够通过立方根求出原数是解题关键． 先通过立方根求出原数为，再求平方根即可． 【详解】解：∵这个数的立方根是 ∴这个数为 ∴的平方根为 故选：D． 12．（24-25八年级上·江西景德镇·阶段练习）若，，则 ． 【答案】3750 【分析】本题考查被开方数和立方根之间的小数点位数的移动关系．根据被开方数和立方根之间的小数点位数的移动关系，进行计算即可． 【详解】解：∵0.1554，15.54， ∴． 故答案为：3750． 13．（23-24七年级下·河南信阳·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的定义，根据立方根定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 14．（23-24七年级下·吉林松原·期中）已知的立方根为3． (1)求的平方根； (2)填空：的算术平方根是________． 【答案】(1)的平方根为； (2)6 【分析】本题考查的是立方根，平方根，算术平方根． （1）先根据的立方根是3求出x的值，利用平方根的定义求解即可； （2）根据（1）的结果求出的值，根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：由题意知， 所以，解得， 因为， 所以的平方根为； （2）解：所以， 因为，所以36的平方根是， 所以的算术平方根是6． 故答案为：6． 15．（23-24七年级下·广西河池·期中）已知的立方根是，则的算术平方根是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根、算术平方根，根据立方根的定义可得，得到，进而得到，再根据算术平方根的定义即可求解，掌握立方根和算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵的立方根是， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是， 故选：． 考点四： 利用立方根解方程 16．（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的概念，正确理解平方根和立方根的概念是解题的关键． （）把方程化为，再根据平方根的概念解方程即可； （）把方程化为，再根据立方根的概念解方程即可； 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：或； （2）解： ∴， ∴， 解得：． 17．（23-24七年级下·云南曲靖·阶段练习）求下列各式中的x值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用立方根、平方根解方程，熟练掌握立方根和平方根的定义是解此题的关键． （1）整理后，再利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 18．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了平方根的定义，立方根的定义，立方根的化简及混合计算．根据平方根及立方根的定义求出或，，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或，， 当时， ； 当时，原式没有意义，舍去． 考点五： 平方根与立方根综合 19．（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）已知是49的算术平方根，的立方根是． (1)求的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了根据算术平方根和立方根求原数，求一个数的立方根： （1）对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，可得 ，，解方程即可； （2）根据（1）所求求出的值，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解；∵是49的算术平方根， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴的立方根是． 20．（23-24八年级上·陕西汉中·期末）一个正数的平方根是与，的立方根是，求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，解题的关键是掌握平方根，立方根，算术平方根的定义．根据平方根的定义求出，进而求出，再根据立方根的定义求出，然后求出的值，最后根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】解：一个正数的平方根是与， ， 解得， ，， ， ∵的立方根是，， ， ， 的算术平方根． 21．（23-24七年级下·湖北黄石·期中）已知的平方根是，的立方根是2，． (1)求a、b、c的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根，算术平方根及其非负性，代数式求值，正确求出a、b、c的值是解题关键． （1）根据平方根、立方根，以及算术平方根的非负性求解即可； （2）根据（1）所得结果，求出，进而得出算术平方根即可． 【详解】（1）解：的平方根是，的立方根是2，， ，，， ，，； （2）解：由（1）可知，，，， ， 的算术平方根是5． 22．（23-24七年级下·湖北咸宁·阶段练习）已知表示9的算术平方根，的立方根是2，d是的小数部分． (1)求a、b、c、d的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的估算．熟练掌握平方根，立方根的定义，以及无理数的估算方法，是解题的关键． （1）根据平方根，立方根的定义，求出的值，无理数的估算求出c的值； （2）将的值代入代数式，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵表示9的算术平方根， ∴， ∴， ∵的立方根是2， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴的整数部分为3， ∴； （2）解：由（1） ∴， ∴的平方根是． 23．（23-24七年级上·山东烟台·期末）已知正数a的两个平方根分别是和，且与相等，求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根和立方根，算术平方根，相反数的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义和性质． 根据平方根的性质可得x的值，代入可得a的值；根据立方根的性质和相反数的性质即可求得b，然后代入求解即可． 【详解】解：因为正数a的两个平方根分别是和， 所以 所以 所以 因为与相等 所以 所以 所以． 所以的算术平方根是． 考点六： 立方根的实际应用 24．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图是一块体积为216立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)正方体铁块的棱长为厘米 (2)长方体铁块的底面正方形的边长为5厘米 【分析】本题考查立方根和算式平方根的实际应用： （1）根据正方体的体积公式进行求解即可； （2）根据总体积不变，求出长方体的体积，再根据长方体的体积公式求出底面正方形的边长即可． 【详解】（1）解：由题意，该正方体铁块的棱长为厘米； 答：正方体铁块的棱长为厘米； （2）由题意，长方体的体积为：立方厘米， ∴长方体的底面面积为：平分厘米， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为厘米． 答：长方体铁块的底面正方形的边长为5厘米． 25．（2024七年级上·浙江·专题练习）老师布置每名同学做一个正方体盒子，做好后，小明对小强说：“我做的盒子表面积是，你的呢？”小强低头想了一下说：“先不告诉你，我做的盒子比你的盒子体积大，你能算出它的表面积吗？”小明思考了一会儿，顺利地得出了答案，你知道是多少吗？ 【答案】它的表面积是 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，用到的知识点是算术平方根的求法，关键是根据正方体的面积和体积公式解答．根据正方体的表面积，列出算式可求正方体的棱长，进一步得到小强的盒子体积，根据正方体的体积公式得到棱长，再根据长方体的表面积公式即求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 答：它的表面积是． 26．（23-24七年级下·广东珠海·期末）如图1所示的正方形铁板是由两张大小相同的长方形铁板拼接而成的，已知一个长方形铁板的面积为72平方厘米． (1)求正方形铁板的边长； (2)若将该正方形铁板进行裁剪，然后拼成一个体积为64立方厘米的无盖正方体容器，求剩余的铁板面积； (3)若工人把这个正方形铁板加工成如图2的零件，，，测得，请直接写出这个零件的周长． 【答案】(1)12厘米 (2)64平方厘米 (3)58.8厘米 【分析】（1）根据正方形的面积公式进行解答； （2）由正方体的体积公式求得正方体的棱长，然后由正方形的面积公式进行解答； （3）利用平行线的性质及平移的性质，找到即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：厘米， 答：正方形纸板的边长为12厘米； （2）解：依题意得：厘米， 则剪切纸板的面积平方厘米， 剩余纸板的面积平方厘米， 即剩余的正方形纸板的面积为64平方厘米． （3）解：由图及条件可知：， 故零件的周长为： 考点七： 与立方根有关的规律探究问题 27．（23-24七年级下·广西柳州·期中）阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据以上式子的规律，写出一个类似的等式：______． (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数，，若______，则；反之也成立． (3)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】本题考查了立方根的应用，解一元一次方程，观察并总结规律是解题的关键． （1）观察规律，写出一个类似的等式即可； （2）用含、的式子表达规律即可得答案； （3）根据题意列出一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】（1）解：观察规律可写出类似的等式，如， 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：由规律可得：对于任意两个有理数、，若，则， 故答案为：． （3）解：若与的值互为相反数，则， 解得：． 28．（23-24八年级·全国·假期作业）观察下列规律回答问题：，，，，， (1)则　　；　　；按上述规律，已知数小数点的移动与它的立方根的小数点移动间有何规律？ (2)已知，若，用含的代数式表示，则　　； (3)根据规律写出与a的大小情况． 【答案】(1) (2)﹣ (3)当或时，；当或时，；当或时，． 【分析】（1）根据立方根的概念进行求解、归纳； （2）运用（1）题规律进行求解； （3）根据题目中求立方根的结果进行规律归纳． 【详解】（1）解：；； 按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位， 故答案为：； （2）解：由（1）中规律可得，已知，若， 则的绝对值是的且符号相反； 用含的代数式表示，则， 故答案为：； （3）解： ，，，，， 与的大小情况为： 当或时，； 当或时，； 当或时，． 【点睛】此题考查了立方根的求解与规律归纳能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算、归纳． 29．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）观察下表，并解决问题． a 0.000 1 0.01 1 100 10 000 0.01 0.1 1 10 100 (1)①随着被开方数的小数点的移动，它的算术平方根的小数点是怎样移动的？请归纳总结这一规律； ②已知 则 ． (2)①猜想被开方数的小数点移动和它的立方根的小数点移动有怎样的关系？写出你的猜想； ② 已知 请用含 m 的式子表示n． 【答案】(1)①被开方数a的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位；②0.447； (2)①被开方数的小数点每向右移3位，它的立方根的小数点相应向右移一位；② 【分析】本题考查算术平方根、立方根的变化规律，熟练掌握算术平方根、立方根的变化规律是解决本题的关键． （1）①从被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律； ②根据（1）的规律即可得出答案； （2）①仿照算术平方根的规律探讨被开方数与其立方根小数点移动规律；②根据①所求规律解决此题即可． 【详解】（1）解：①观察表格可知，被开方数a的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位； ②∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴规律是：被开方数的小数点每向右移3位，它的立方根的小数点相应向右移一位； ②∵， ∴． 考点八： 与立方根有关的材料阅读问题 30．（23-24七年级下·河南信阳·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 【答案】(1)①两；②9；③3；39 (2)①；②0.81 【分析】本题主要考查了立方根的概念的运用，解题关键在于比较立方根的大小． 通过比较立方根的大小，即可得出答案． 【详解】（1）解：①，，， ， 是两位数， 故答案为：两； ②的个位上的数是9，而， 个位上都是9， 的个位上的数是9， 故答案为9； ③，，， 的十位上的数是3， 又 的个位上的数是9， ， 故答案为：3，39； （2）解：①的立方根是负数， ，，， ， 是两位数， ∵的前三位为117，后三位为649，，， ， 十位上的数为4， ∵的个位上的数是9，而， 个位上是9， ∴的立方根为49， ∴； ②∵， ∵，，， ， 是两位数， ∵的前三位为531，后三位为441，而， ∴， ∴十位数为8， ∵， ∴个位数是1， ∴531441的立方根为81， ∴， 故答案为：，0.81． 31．（23-24七年级下·湖北十堰·期中）王老师在《给数学学习插上想象的翅膀》的数学兴趣课上引导同学们展开了丰富的想象（如图）： 然后引导同学们解决以下两个问题： (1)求的平方根； 解：由知，求的平方根也就是求4的平方根；的平方根是________；（填空） (2)一个正数的平方根分别是和，的立方根是，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方根的定义可以求得； （2）根据一个正数的两个平方根互为相反数建立等式即可求解a，根据立方根的定义即可求解b，进而求解即可． 本题考查了平方根，立方根，解题的关键是掌握求解一个数的平方根、立方根的计算方法． 【详解】（1）的平方根是±2； （2）∵一个正数的两个平方根互为相反数 ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴， ∴． 32．（23-24七年级下·江西南昌·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义：______； (2)625的四次方根为______；的五次方根为______； (3)求下列的值： ①； ②． 【答案】(1)若，那么叫做的五次方根 (2)， (3)①或；② 【分析】本题考查了四次方根和五次方根的意义，解题的关键是熟练掌握四次方根和五次方根的意义，准确进行计算． （1）依照平方根和立方根的定义即可得出答案； （2）根据四次方根和五次方根的定义求解即可； （3）根据四次方根和五次方根的意义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：若，那么叫做的五次方根， 故答案为：若，那么叫做的五次方根． （2）解：∵， ∴625的四次方根是． ∵， ∴的五次方根是． 故答案为：，． （3）解：①， 或． ② ． 考点九： 与平方根/立方根有关的新定义问题 33．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）阅读与探究 本学期我们在《实数》中，学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容． 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根．这就是说，如果，那么x叫做的平方根． 一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根这就是说，如果，那么叫做的立方根． 运算 求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方互为逆运算． 求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方互为逆运算． 性质 正数有两个平方根，他们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；的立方根是；负数的立方根是负数． 表示方法 正数的平方根可以用“”表示，读作“正负根号” 一个数的立方根可以用“”表示，读作“三次根号”． 今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根． (1)探究定义：类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义： ． (2)探究性质： ①的四次方根是 ；的四次方根是 ； （填“有”或“没有”）四次方根． ②类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ． 【答案】(1)一般地，如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根． (2)①，，没有；②正数有两个四次方根，它们互为相反数，的四次方根是，负数没有四次方根． 【分析】本题考查了立方根，平方根，四次方根的定义、性质和应用，运用类比思想说出四次方根的定义和性质，是解答本题的关键． （1）类比题目中平方根和立方根的定义，说出四次方根的定义，由此得到答案． （2）①根据四次方根的定义，求出答案．②根据①中的结果，得到四次方根的性质． 【详解】（1）解：根据题意得： 类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义： 一般地，如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根． 故答案为：一般地，如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根． （2）①根据题意： 的四次方根是：，的四次方根是，没有四次方根． 故答案为：，，没有； ②四次方根的性质：正数有两个四次方根，它们互为相反数，的四次方根是，负数没有四次方根， 故答案为：正数有两个四次方根，它们互为相反数，的四次方根是，负数没有四次方根． 34．（21-22七年级下·湖北武汉·期中）阅读下列材料： 已知59319的立方根是正整数，要得到的结果，可以按如下步骤思考： 第一步：确定的位数，因为，，而，所以，由此得是两位数； 第二步：确定个位数字，因为59319的个位上的数是9，而只有9的立方的个位上的数是9，所以的个位上的数是9； 第三步：确定十位数字，划去59319后面的三位319得到59，因为，，而，所以的十位上的数字是3； 综合以上可得，． 请你根据上述内容，完成以下问题： (1)若为正整数，它的个位上的数是m，x的个位上的数是n．请将下表填写完整： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 8 7 5 3 9 (2)已知262144，474552都是整数的立方，则______，______； (3)已知71289是某正整数a的平方，则______． 【答案】(1)4，6，2 (2)64，7.8 (3)267 【分析】（1）根据立方根的意义进行计算即可； （2）利用题目提供的方法进行计算即可； （3）利用平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， ， 故答案为：4， 6，2； （2）解：①要得到的结果，可以按如下步骤思考： 第一步：确定的位数， ∵， ， 且， ∴10< < 100， 由此得是两位数； 第二步：确定个位数字， ∵262144的个位上的数是4，而只有4的立方的个位上的数是4， ∴的个位上的数是4； 第三步：确定十位数字，划去262144后面的三位144得到262， ∵63 = 216，73 = 343， 而216< 262 < 343， ∴的十位上的数字是6； 综合以上可得，= 64； ②要得到的结果，即要得到 的结构，也就是 我们可以先求出的结果，可以按如下步骤思考： 第一步：确定的位数， ∵103 = 1000，1003 = 1000000，而100 < 474552 < 1000000， ∴10 < < 100， 由此得是两位数； 第二步：确定个位数字， ∵474552的个位上的数是2，而只有8的立方的个位上的数是2， ∴的个位上的数是8； 第三步：确定十位数字，划去474552后面的三位552得到474， ∵73 = 343，83= 512，而343 < 474< 512， ∴的十位上的数字是7； 综合以上可得，= 78， ∴， 故答案为：64， 7.8； （3）解：∵2672 = 267×267 = 71289， ∴， 故答案为：267． 【点睛】本题考查立方根、算术平方根，理解算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提． 35．（24-25七年级上·全国·期末）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：，，这三个数，，，，其结果分别为，，，都是整数，所以，，这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是，“最大算术平方根”是． (1)试说明：，，这三个数是“老根数”，并求出它们的最小算术平方根与最大算术平方根； (2)已知，，，这三个数是“老根数”，且它们的最大算术平方根是最小算术平方根的倍，求的值． 【答案】(1)理由见解析，最小算术平方根是，最大算术平方根是 (2)或 【分析】本题考查算术平方根，理解“老根数”、“最小算术平方根”、“最大算术平方根”的意义是正确解答的前提，求出“任意两个数乘积的算术平方根”是解决问题的关键． （1）根据“老根数”“最小算术平方根”“最大算术平方根”的意义求解即可； （2）分三种情况进行解答即可，即，，，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，这三个数是“老根数”；其中最小算术平方根是，最大算术平方根是； （2）当时， ∵，，，这三个数是“老根数”，且它们的最大算术平方根是最小算术平方根的倍， ∴， ∴， 解得：； 当时， 依题意，得：， ∴， ∴， 解得：，不合题意舍去； 当时， 依题意，得：， ∴， 解得：， 综上所述，的值为或． 36．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”． (1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由； (2)若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值； (3)写出一组含有的“组合平方数” ． 【答案】(1)，，这三个数是“组合平方数” (2) (3)，，（答案不唯一） 【分析】（1）根据题目所给“组合平方数”的定义，进行判断即可； （2）根据题目所给“组合平方数”的定义，得出或，再根据，m，互不相等，即可求解； （3）根据题目所给“组合平方数”的定义， 符合条件的数即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，这三个数是“组合平方数”； （2）解：∵三个数，m，是“组合平方数”， ∴，，都是整数， ∴或， ①当时，， 则，符合题意； ②当时，， ∵，m，互不相等， ∴不符合题意， 综上：； （3）解：，，， ∵，，， ∴，，是“组合平方数”． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，正确理解“组合平方数”的意义是解题的关键． 37．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）【阅读与应用】 【问题提出】 对于任意实数，定义一种新运算，例如：． 【初步感知】 （1）求的值； 【拓展运用】 （2）若实数满足，求的值． 【答案】（1）1；（2） 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，立方根的应用． （1）运用运算公式，计算即可； （2）利用公式，列出方程，求解方程即可． 【详解】解：（1）根据题意得： ； （2）根据题意得：，即， 整理得：， ， ， ． 38．（23-24七年级下·云南玉溪·期中）阅读下面材料： 材料一：对任意的实数，，定义的含义为：①当时，；②当时，．例如：，； 材料二：200多年前，数学王子高斯的老师布特纳在课堂上布置了这样一道题：“求的和．”当其他同学忙于把100个数逐项相加时，八岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：．我们通过高斯的计算思路得到这样一个结论：我们把中的第一个加数1称为首项，最后一个加数100称为末项，这100个加数称为项数，称为这些加数的和．对于满足这种规律加数的求和，得出一般性地结论：． 解决问题： (1)______，_______； (2)直接利用上述求和结论求的值； (3)对于正数，满足关系式时，求的值； (4)在（3）的条件下，求的值． 【答案】(1)10，40 (2)666 (3) (4)610 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，理解材料一和材料二的计算方法是解答本题的关键． （1）根据新定义计算即可； （2）根据计算即可； （3）先判断，然后根据新定义求解即可； （4）把代入所给算式，再根据材料一和材料二求值即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：10，40； （2） （3）∵x是正数， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴（负值舍去） （4）当时， 原式 考点十： 利用计算器算平方根/立方根 39．（23-24七年级下·全国·课后作业）用计算器求下列各式的值： (1) (2) (3) （精确到）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了计算器的使用，利用计算器开方是解题关键．利用计算器开立方后按照题目要求取值即可． 【详解】（1）解： （2） （3） 40．（20-21七年级下·全国·课后作业）用计算器计算下列各式的值（精确到0.01）： （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）29.44；（2）0.68；（3）；（4） 【分析】按照计算器开方的按键顺序，先按键，再输入被开方数，然后按“=”，最后按“”键，计算即可. 【详解】解：（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查用计算器开方，根据操作顺序输入是计算重点． 1．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根，根据立方根、平方根和算术平方根的定义，进行计算即可解答，掌握算术平方根、平方根以及立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 故选：． 2．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）下列说法正确的有（    ） ①正数的两个平方根的和等于0；②实数都有一个立方根； ③平方根与立方根相等的数有0和1； ④的算术平方根是3；⑤如果两个数互为相反数，那么它们的立方根也一定是互为相反数． A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②⑤ 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根、立方根及算术平方根，正确理解平方根、算术平方根及立方根的概念是解题的关键；因此此题可根据平方根、立方根及算术平方根的概念可进行求解． 【详解】解：①正数的两个平方根的和等于0，说法正确； ②实数都有一个立方根，说法正确； ③平方根与立方根相等的数有0，原说法错误； ④，3的算术平方根为，故原说法错误； ⑤如果两个数互为相反数，那么它们的立方根也一定是互为相反数，说法正确； 故选D． 3．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）已知，，那么下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的性质，根据题意得到被开方数每扩大（或缩小）1000倍，则它的立方根就相应的扩大（或缩小）10倍，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴被开方数每扩大（或缩小）1000倍，则它的立方根就相应的扩大（或缩小）10倍， ∴． 故选：B． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）9的平方根是x，的立方根是y，则的值为（    ） A．0 B．6 C．0或6 D．0或 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的平方根和立方根，掌握求一个数的平方根和立方根是解题的关键． 根据平方根、立方根的定义求出x、y的值，即可计算的值． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∵的立方根是， ∴， 当，时，； 当，时，； 综上，的值为或， 故选：D． 5．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图为洪涛同学的小测卷，他的得分应是（    ） 姓名： 洪涛    得分：______ 填空题（每小题25分，共100分）①2的相反数是 ；②倒数等于本身的数是 1 ； ③8的立方根是 2 ；④16的平方根是 4 ． A．25分 B．50分 C．75分 D．100分 【答案】B 【分析】按照立方根的定义、相反数的定义、倒数的定义以及平方根的定义一一判断，最后根据有理数的乘法计算出得分即可． 【详解】解：①2的相反数是，计算正确， ②倒数等于本身的数是1和，计算错误， ③8的立方根是2，计算正确， ④16的平方根是4和，计算错误， 真确的有2个，故洪涛同学得分（分） 故选：B． 【点睛】本题考查立方根、相反数、倒数，平方根，有理数的乘法等知识，掌握这些知识是解题的关键． 6．（24-25七年级上·山东淄博·期中）下列说法正确的是（   ） A．4的算术平方根是 B．3的平方根是 C．27的立方根是 D．的平方根是 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的平方根，算术平方根和立方根，根据平方根、立方根的概念逐项判断即可，正确理解概念是解题的关键． 【详解】解：A、4的算术平方根是，故该选项错误； B、3的平方根是，故该选项错误； C、因为，，则27的立方根是3，该选项错误； D、，因为，则4的平方根为，故该选项正确； 故选：D． 7．（24-25七年级上·山东滨州·阶段练习）若，，则的值是（    ） A． B．或 C．33或21 D．或33 【答案】B 【分析】本题主要考查立方根、平方根，代数式求值．先根据平方根和立方根的定义得出a、b的值，再分情况计算可得． 【详解】解：∵，， ∴，， 当时，时，， 当时，时，， 故的值是或， 故选：B． 8．（23-24七年级下·河北保定·期末）化简的结果是（    ） A．4 B．6 C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查求立方根，算术平方根，先根据立方根，算术平方根的概念求解，再进行加减运算． 【详解】解：． 故选：C 9．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）利用教材中的计算器计算时，进行如下按键，显示，则若按键：，显示（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学计算器的使用，求一个数的立方根，根据题意，再由立方根进行求解即可，读懂题意，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 故选：． 10．（11-12九年级上·山东淄博·期中）下列各组数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．2与 D．与 【答案】A 【分析】此题考查了算术平方根的化简和求立方根、相反数的定义等知识.逐项化简后进行比较即可. 【详解】A. ，则与互为相反数，选项符合题意； B. ，则与相等，选项不符合题意； C. ，则2与相等，选项不符合题意； D. ，则与相等，选项不符合题意； 故选：A 11．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若m，n为实数，且，则的值为 . 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根和平方数的非负性，以及求一个数的立方根，熟练掌握知识点是解题的关键．根据非负性得到，求出值，再代入求立方根即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 12．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）边长为a的正方形面积为256，棱长为b的正方体体积为，则的值为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用正方形的面积和体积公式求出a，b的值，然后再代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：∵边长为a的正方形面积为256， ∴， ∵， ∴， ∵棱长为b的正方体体积为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：20． 13．（23-24七年级下·广东东莞·期中）81的平方根是 ；的算术平方根是 ；的立方根是 【答案】 2 【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根和立方根的定义，注意求的算术平方根时，要先求出，即求4的算术平方根． 根据平方根、算术平方根和立方根的定义进行解答即可． 【详解】解：81的平方根是，的算术平方根是2，的立方根是． 故答案为：；2；． 14．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根和立方根，整式的加减，数轴和绝对值的性质，根据数轴上点的位置判断各项的符号并化简是解题的关键． 根据在数轴上的位置可得，，，进而得到，，然后对原式进行化简即可． 【详解】根据在数轴上的位置可得，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 15．（24-25七年级上·全国·单元测试）若 是m的一个平方根，则的算术平方根是 ； 若 则x与y的关系是 ． 【答案】 4 【分析】根据平方根，算术平方根的定义，立方根的应用解答即可． 本题考查了平方根，算术平方根的定义，立方根的应用，熟练掌握应用是解题的关键． 【详解】解：∵是m的一个平方根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4； ∵ ∴， ∴ 故答案为：． 16．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）求下列式子中的值 (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查利用平方根、立方根解方程， （1）将方程变形为，然后利用平方根的定义求出的值，再求的值； （2）利用立方根的定义求出的值，再求的值； （3）将方程变形为，然后利用平方根的定义求出的值； （4）将方程变形为，然后利用立方根的定义求出的值，再求的值； 解题的关键是明确平方根和立方根的定义． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴或， ∴的值为或； （2）， ∴， ∴， ∴的值为； （3）， ∴， ∴或， ∴的值为或； （4）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 17．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）已知a的立方等于，b的算术平方根为5．求： (1)a，b的值； (2)的平方根． 【答案】(1)；25 (2) 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，求一个数的平方根，根据一个数的算术平方根求这个数． （1）根据立方根和算术平方根的性质即可求出a，b的值； （2）根据（1）所求得，再由平方根的性质得到答案． 【详解】（1）∵a的立方等于， ∴， ∵b的算术平方根为5， ∴； （2）∵，， ∴， ∴平方根是． 18．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根． 【答案】9 【分析】根据题意，得到，求得，计算的值，最后计算算术平方根． 本题考查了算术平方根即正的平方根，，则x叫做a的平方根，，则x叫做a的立方根，熟练掌握平方根、算术平方根，立方根的定义是解题的关键． 【详解】因为的平方根是，的立方根是2， 所以， 解得， 所以， 所以． 19．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）已知一个正方体的体积为． (1)求正方体的棱长． (2)若将正方体的体积变为原来的8倍，则它的棱长变为原来的多少倍？ 【答案】(1) (2)棱长变为原来的2倍 【分析】本题考查了立方根的实际应用． （1）设正方体的棱长为，根据正方体的体积公式，列出方程求解即可； （2）设棱长变为原来的y倍，根据正方体的体积公式，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设正方体的棱长为， ， 解得：， ∴正方体的棱长； （2）解：设棱长变为原来的y倍， ， ， 解得：， ∴棱长变为原来的2倍． 20．（23-24七年级下·全国·期中）如图，实数，，是数轴上三点，，所对应的数． (1) ，_______，________用“”，“”或“”号填空； (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）利用数轴上，，的位置进而分别得出各式的符号； （2）直接利用（1）中各式的符号进而化简即可． 此题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，数轴与实数，化简绝对值，立方根、算术平方根，正确化简各数是解题关键． 【详解】（1）解： ， ， ，， ， ，， ， 故答案为：；；； （2）解：原式 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 立方根 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 (1)理解立方根的定义并且会求一个数的立方根; (2)会表示一个数的立方根和理解立方根的性质; (3)会用估值法比较两个数的大小和掌握被开方数和立方根近似值的小数点的移动规律,并能利用规律解题. 1.立方根 定义：如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x叫做a的立方根或三次方根. 数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 【补充】1）立方根等于本身的有0和±1. 2）互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根． 立方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向左或右移动三位，那么立方根的小数点相应的向左或右移动一位.例如：已知＝0.1738，＝1.738，则a的值为0.00528. 1. 一个正数a的算术平方根用符号表示为，一个非负数a的平方根用符号表示为±；一个数a的立方根用符号表示为 ，即正数的平方根有两个且互为相反数.算术平方根有一个，立方根有一个. 2. 0的算术平方根、平方根和立方根都是0；平方根等于其自身的有0和1；立方根等于其自身的有－1、0和1. 3. 【常考/易错】有时候题目会故意没有把去根号，这时候就要注意千万不要把的平方根当作a的平方根，要先把去根号，再求平方根． 2. 开立方 定义：求一个数的立方根的运算叫做开立方. 【注意】 1）求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 2) 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 3）开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 考点一： 立方根的概念理解 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若n为自然数，对下面判断正确的是（    ） A．一定无意义 B．一定有意义 C．若n为奇数，则必有意义 D．一定成立 2．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若一个数的立方根与它的算术平方根相同，则这个数是（   ） A．1 B．1或0 C．0 D．或0 3．（20-21七年级下·全国·课后作业）在实数范围内，下列判断正确的是 （   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（21-22九年级下·黑龙江哈尔滨·期中），则的值是（    ） A．8 B．2 C．9 D． 5．（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是 考点二： 求一个数的立方根 6．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）已知是的算术平方根，则的立方根是 ． 7．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）的立方根是 的算术平方根 的平方根是 8．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）的立方根是 ；的算术平方根是 ；的绝对值是 ． 9．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）若，则 ． 10．（2024七年级上·全国·专题练习） ； ； ； ． 考点三： 已知一个数的立方根求这个数 11．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）若一个数的立方根是4，那么这个数的平方根是（    ） A．4 B． C．8 D． 12．（24-25八年级上·江西景德镇·阶段练习）若，，则 ． 13．（23-24七年级下·河南信阳·期末）若，则 ． 14．（23-24七年级下·吉林松原·期中）已知的立方根为3． (1)求的平方根； (2)填空：的算术平方根是________． 15．（23-24七年级下·广西河池·期中）已知的立方根是，则的算术平方根是（    ）. A． B． C． D． 考点四： 利用立方根解方程 16．（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）求下列各式中的值： (1)； (2)． 17．（23-24七年级下·云南曲靖·阶段练习）求下列各式中的x值： (1) (2) 18．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知，求的值． 考点五： 平方根与立方根综合 19．（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）已知是49的算术平方根，的立方根是． (1)求的值； (2)求的立方根． 20．（23-24八年级上·陕西汉中·期末）一个正数的平方根是与，的立方根是，求的算术平方根． 21．（23-24七年级下·湖北黄石·期中）已知的平方根是，的立方根是2，． (1)求a、b、c的值； (2)求的算术平方根． 22．（23-24七年级下·湖北咸宁·阶段练习）已知表示9的算术平方根，的立方根是2，d是的小数部分． (1)求a、b、c、d的值； (2)求的平方根． 23．（23-24七年级上·山东烟台·期末）已知正数a的两个平方根分别是和，且与相等，求的算术平方根． 考点六： 立方根的实际应用 24．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图是一块体积为216立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 25．（2024七年级上·浙江·专题练习）老师布置每名同学做一个正方体盒子，做好后，小明对小强说：“我做的盒子表面积是，你的呢？”小强低头想了一下说：“先不告诉你，我做的盒子比你的盒子体积大，你能算出它的表面积吗？”小明思考了一会儿，顺利地得出了答案，你知道是多少吗？ 26．（23-24七年级下·广东珠海·期末）如图1所示的正方形铁板是由两张大小相同的长方形铁板拼接而成的，已知一个长方形铁板的面积为72平方厘米． (1)求正方形铁板的边长； (2)若将该正方形铁板进行裁剪，然后拼成一个体积为64立方厘米的无盖正方体容器，求剩余的铁板面积； (3)若工人把这个正方形铁板加工成如图2的零件，，，测得，请直接写出这个零件的周长． 考点七： 与立方根有关的规律探究问题 27．（23-24七年级下·广西柳州·期中）阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据以上式子的规律，写出一个类似的等式：______． (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数，，若______，则；反之也成立． (3)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 28．（23-24八年级·全国·假期作业）观察下列规律回答问题：，，，，， (1)则　　；　　；按上述规律，已知数小数点的移动与它的立方根的小数点移动间有何规律？ (2)已知，若，用含的代数式表示，则　　； (3)根据规律写出与a的大小情况． 29．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）观察下表，并解决问题． a 0.000 1 0.01 1 100 10 000 0.01 0.1 1 10 100 (1)①随着被开方数的小数点的移动，它的算术平方根的小数点是怎样移动的？请归纳总结这一规律； ②已知 则 ． (2)①猜想被开方数的小数点移动和它的立方根的小数点移动有怎样的关系？写出你的猜想； ② 已知 请用含 m 的式子表示n． 考点八： 与立方根有关的材料阅读问题 30．（23-24七年级下·河南信阳·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 31．（23-24七年级下·湖北十堰·期中）王老师在《给数学学习插上想象的翅膀》的数学兴趣课上引导同学们展开了丰富的想象（如图）： 然后引导同学们解决以下两个问题： (1)求的平方根； 解：由知，求的平方根也就是求4的平方根；的平方根是________；（填空） (2)一个正数的平方根分别是和，的立方根是，求的值． 32．（23-24七年级下·江西南昌·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义：______； (2)625的四次方根为______；的五次方根为______； (3)求下列的值： ①； ②． 考点九： 与平方根/立方根有关的新定义问题 33．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）阅读与探究 本学期我们在《实数》中，学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容． 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根．这就是说，如果，那么x叫做的平方根． 一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根这就是说，如果，那么叫做的立方根． 运算 求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方互为逆运算． 求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方互为逆运算． 性质 正数有两个平方根，他们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；的立方根是；负数的立方根是负数． 表示方法 正数的平方根可以用“”表示，读作“正负根号” 一个数的立方根可以用“”表示，读作“三次根号”． 今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根． (1)探究定义：类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义： ． (2)探究性质： ①的四次方根是 ；的四次方根是 ； （填“有”或“没有”）四次方根． ②类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ． 34．（21-22七年级下·湖北武汉·期中）阅读下列材料： 已知59319的立方根是正整数，要得到的结果，可以按如下步骤思考： 第一步：确定的位数，因为，，而，所以，由此得是两位数； 第二步：确定个位数字，因为59319的个位上的数是9，而只有9的立方的个位上的数是9，所以的个位上的数是9； 第三步：确定十位数字，划去59319后面的三位319得到59，因为，，而，所以的十位上的数字是3； 综合以上可得，． 请你根据上述内容，完成以下问题： (1)若为正整数，它的个位上的数是m，x的个位上的数是n．请将下表填写完整： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 8 7 5 3 9 (2)已知262144，474552都是整数的立方，则______，______； (3)已知71289是某正整数a的平方，则______． 35．（24-25七年级上·全国·期末）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：，，这三个数，，，，其结果分别为，，，都是整数，所以，，这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是，“最大算术平方根”是． (1)试说明：，，这三个数是“老根数”，并求出它们的最小算术平方根与最大算术平方根； (2)已知，，，这三个数是“老根数”，且它们的最大算术平方根是最小算术平方根的倍，求的值． 36．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”． (1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由； (2)若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值； (3)写出一组含有的“组合平方数” ． 37．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）【阅读与应用】 【问题提出】 对于任意实数，定义一种新运算，例如：． 【初步感知】 （1）求的值； 【拓展运用】 （2）若实数满足，求的值． 38．（23-24七年级下·云南玉溪·期中）阅读下面材料： 材料一：对任意的实数，，定义的含义为：①当时，；②当时，．例如：，； 材料二：200多年前，数学王子高斯的老师布特纳在课堂上布置了这样一道题：“求的和．”当其他同学忙于把100个数逐项相加时，八岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：．我们通过高斯的计算思路得到这样一个结论：我们把中的第一个加数1称为首项，最后一个加数100称为末项，这100个加数称为项数，称为这些加数的和．对于满足这种规律加数的求和，得出一般性地结论：． 解决问题： (1)______，_______； (2)直接利用上述求和结论求的值； (3)对于正数，满足关系式时，求的值； (4)在（3）的条件下，求的值． 考点十： 利用计算器算平方根/立方根 39．（23-24七年级下·全国·课后作业）用计算器求下列各式的值： (1) (2) (3) （精确到）． 40．（20-21七年级下·全国·课后作业）用计算器计算下列各式的值（精确到0.01）： （1）；（2）；（3）；（4）． 1．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）下列说法正确的有（    ） ①正数的两个平方根的和等于0；②实数都有一个立方根； ③平方根与立方根相等的数有0和1； ④的算术平方根是3；⑤如果两个数互为相反数，那么它们的立方根也一定是互为相反数． A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②⑤ 3．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）已知，，那么下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）9的平方根是x，的立方根是y，则的值为（    ） A．0 B．6 C．0或6 D．0或 5．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图为洪涛同学的小测卷，他的得分应是（    ） 姓名： 洪涛    得分：______ 填空题（每小题25分，共100分）①2的相反数是 ；②倒数等于本身的数是 1 ； ③8的立方根是 2 ；④16的平方根是 4 ． A．25分 B．50分 C．75分 D．100分 6．（24-25七年级上·山东淄博·期中）下列说法正确的是（   ） A．4的算术平方根是 B．3的平方根是 C．27的立方根是 D．的平方根是 7．（24-25七年级上·山东滨州·阶段练习）若，，则的值是（    ） A． B．或 C．33或21 D．或33 8．（23-24七年级下·河北保定·期末）化简的结果是（    ） A．4 B．6 C． D．0 9．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）利用教材中的计算器计算时，进行如下按键，显示，则若按键：，显示（    ） A． B． C． D． 10．（11-12九年级上·山东淄博·期中）下列各组数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．2与 D．与 11．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若m，n为实数，且，则的值为 . 12．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）边长为a的正方形面积为256，棱长为b的正方体体积为，则的值为 ． 13．（23-24七年级下·广东东莞·期中）81的平方根是 ；的算术平方根是 ；的立方根是 14．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简： ． 15．（24-25七年级上·全国·单元测试）若 是m的一个平方根，则的算术平方根是 ； 若 则x与y的关系是 ． 16．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）求下列式子中的值 (1) (2) (3) (4)． 17．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）已知a的立方等于，b的算术平方根为5．求： (1)a，b的值； (2)的平方根． 18．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根． 19．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）已知一个正方体的体积为． (1)求正方体的棱长． (2)若将正方体的体积变为原来的8倍，则它的棱长变为原来的多少倍？ 20．（23-24七年级下·全国·期中）如图，实数，，是数轴上三点，，所对应的数． (1) ，_______，________用“”，“”或“”号填空； (2)化简：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$