复习专题07 三角函数的概念与三角恒等变换12题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 复习专题07 三角函数的概念与三角恒等变换12题型分类 1．角 (1)正角． (2)负角． (3)零角． (4)象限角． (5)终边相同的角． 2．角度与弧度的互化 (1) 360°＝2π rad． (2) 180°＝π rad． (3) 1 rad＝°≈57.30°． 3．扇形的弧长与面积 (1)弧长公式l＝αR． (2)扇形面积公式S＝lR＝αR2． 4．三角函数值在各象限内的符号 (1) 图示． (2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 5．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1． (2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即＝tanα其中α≠kπ＋(k∈Z)． 6．诱导公式 (1)公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，tan(α＋2kπ)＝tanα． (2)公式二：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα． (3)公式三：sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα． (4)公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα． (5)公式五：sin()＝cosα，cos()＝sinα． (6)公式六：sin()＝cosα，cos()＝－sinα． 7．差角公式 (1)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β． (2) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ． (3) tan(α－β)＝． 8．和角公式 (1) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ． (2) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ． (3) tan(α＋β)＝． 9．二倍角公式 (1)． (2)． (3)． 10．半角公式 (1) sin＝±． (2) cos＝±． (3) tan＝±＝＝． 11．辅助角公式 asinx＋bcosx＝sin(x＋θ).． （一） 1．角的判断 (1)先把各角写成k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式． (2)然后只需判断α所在的象限即可． 2．扇形弧长与面积的求解 (1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝lR＝αR2(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)． (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解． 题型1：终边相同的角 1．（2024高一下·辽宁葫芦岛·期末）下列各角中与终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一上·北京·期末）下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一下·上海黄浦·期末）在平面直角坐标系中，角和的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，若角和的终边关于轴对称，则下列关系式一定正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 题型2：象限角 4．【多选】（2024高一下·江西吉安·期末）已知，，那么的终边可能位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2024高一下·辽宁辽阳·期末）若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 6．（2024高一上·浙江杭州·期末）若，且，则角是第（    ）象限角． A．二 B．三 C．一或三 D．二或四 题型3：弧度制 7．（2024高一上·云南丽江·期末）丽江市第二中学体育馆旁有一座钟楼，每到夜晚灯光亮起都是一道靓丽的风景.有一天因停电导致钟表慢5分钟，则将钟表拨快到准确时间分针所转过的弧度数是（　　） A． B． C． D． 8．（2024高一下·浙江杭州·期末）军事上角的度量常用密位制，密位制的单位是“密位”1密位就是圆周的所对的圆心角的大小，.若角密位，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024高一上·河北承德·期末）已知角的终边落在阴影区域内（不含边界），角的终边和相同，则角的集合为（    ） A． B． C． D． 题型4：弧长公式和面积公式 10．（2024高一下·山东威海·期末）半径为，圆心角为的扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 11．（2024高一下·辽宁锦州·期末）《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（    ） A． B． C． D． 12．（2024高一下·辽宁·阶段练习）我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔谈》收录了计算扇形弧长的近似计算公式：，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径．如图，已知扇形的面积为，扇形所在圆O的半径为2，利用上述公式，计算该扇形弧长的近似值为（    ）    A． B． C． D． （二） 三角函数值正负的判断 (1)定象限：确定角α所在的象限． (2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断． 题型5：三角函数的概念 13．（2024高一下·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，终边关于原点对称.若角的终边与单位圆⊙交于点，则（    ） A． B． C． D． 14．（2024高一上·天津南开·期末）已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D．或 15．（2024高一上·福建龙岩·阶段练习）已知点在第二象限，则角的终边位置在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （三） 1．同角三角函数关系的化简 (1)化切为弦，减少函数名称． (2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号． (3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简． 2．由一个三角函数值求其他三角函数值 (1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±，求得cos α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值． (2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±，求得sin α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值． (3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝＝m⇒sin α＝mcos α及sin2α＋cos2α＝1，求得cos α＝±，sin α＝±的值． 题型6：同角三角函数的基本关系 16．（24-25高三上·河北沧州·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 17．（2024高一上·湖北武汉·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 18．（2024高一上·黑龙江鸡西·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． （四） 由诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1) “负化正”：用公式一或三来转化． (2) “大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的． (3) “小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． (4) “锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 题型7：诱导公式 19．（2024高一上·广东深圳·期末）已知的终边上有一点，则的值为 . 20．（2024高三·全国·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 21．（2024高一下·河南南阳·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，点是角终边上的一点，则 ． （五） 1.常见和角变换 (1)α＝(α－β)＋β． (2)2α＝(α＋β)＋(α－β)． (3) α＝＋ 2.二倍角公式 (1)二倍角正弦． (2)二倍角余弦． (3)二倍角正切． 3.给值(式)求值的策略 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． 4．给值求值(角) (1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解． (2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小． 5．三角恒等式的证明 (1)因索果法：证明的形式一般是化繁为简． (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子． (3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同． (4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”． (5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立． 题型8：和差角公式 22．（2024高一上·吉林长春·期末）若，，，，则（    ） A． B． C． D． 23．（2024高一上·河南新乡·期末）已知，其中． (1)求； (2)求． 24．（2024高一下·河北·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型9：二倍角公式 25．（2024高二下·内蒙古·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 26．（2024高一下·江西九江·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 27．（2024高一下·江苏常州·期末）设为锐角，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型10：辅助角公式的应用 28．（2024高一下·江苏徐州·期中）已知函数，则函数的对称轴的方程为 ． 29．（2024高一下·四川成都·期末）若将函数的图象向左平移个单位长度，平移后的图象关于点对称，则 ． 30．（2024高二下·湖南邵阳·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 题型11：三角恒等式变换中的（给角求值、给值求值、给值求角）问题 31．（2024高一下·山东青岛·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 32．（2024高一下·安徽亳州·期末）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 33．（2024高一上·广东茂名·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 题型12：三角恒等变换综合问题 34．（2024高一下·广东阳江·期末）已知函数，． (1)当时，的最大值及相应的x值； (2)将的图象向左平移个单位后关于原点对称，，求的所有可能取值． 35．（2024高一下·北京密云·期末）已知函数． (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)求在区间上的最值，并求出此时对应的的值； (3)若在区间上有两个零点，直接写出的取值范围． 36．（2024高一下·上海嘉定·期末）已知函数 (1)求函数的周期； (2)若函数，求函数在区间上的值域； (3)若恒成立，试求实数的取值范围. 一、单选题 1．（2024高一下·山东威海·期末）下列角的终边落在射线上的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一上·陕西宝鸡·阶段练习）下列选项中，与角终边相同的角是（   ） A． B． C．310° D．330° 3．（2024高三·全国·专题练习）如图所示的几何图形，设弧AD的长度是，弧BC的长度是，扇环ABCD的面积为，扇形BOC的面积为．若，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 4．（2024高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知角的终边在直线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024高二下·云南·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2024高一上·湖北荆州·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（2024高二下·陕西延安·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（24-25高三上·广东汕头·阶段练习）已知，，则的值为 . 11．（2024高一下·四川凉山·期末）已知，，其中，则 . 12．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知，则 ． 13．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，，，，则的值为 .（用弧度制表示） 14．（2024高一下·广西崇左·期末）已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)求在区间上的值域. 15.（2024高一上·河北保定·期末） (1)化简； (2)若，求的值． 16．（2024高一下·河北张家口·期末）已知函数的最小正周期． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，讨论方程根的个数． 17．（2024高二上·云南迪庆·期末）已知函数 (1)求函数的最小正周期及对称轴方程； (2)若函数，当时，函数有零点，求的取值范围 18．（2024高一上·天津·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递减区间； (2)求函数在上的最值； (3)若，求的值. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 复习专题07 三角函数的概念与三角恒等变换12题型分类 1．角 (1)正角． (2)负角． (3)零角． (4)象限角． (5)终边相同的角． 2．角度与弧度的互化 (1) 360°＝2π rad． (2) 180°＝π rad． (3) 1 rad＝°≈57.30°． 3．扇形的弧长与面积 (1)弧长公式l＝αR． (2)扇形面积公式S＝lR＝αR2． 4．三角函数值在各象限内的符号 (1) 图示． (2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 5．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1． (2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即＝tanα其中α≠kπ＋(k∈Z)． 6．诱导公式 (1)公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，tan(α＋2kπ)＝tanα． (2)公式二：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα． (3)公式三：sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα． (4)公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα． (5)公式五：sin()＝cosα，cos()＝sinα． (6)公式六：sin()＝cosα，cos()＝－sinα． 7．差角公式 (1)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β． (2) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ． (3) tan(α－β)＝． 8．和角公式 (1) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ． (2) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ． (3) tan(α＋β)＝． 9．二倍角公式 (1)． (2)． (3)． 10．半角公式 (1) sin＝±． (2) cos＝±． (3) tan＝±＝＝． 11．辅助角公式 asinx＋bcosx＝sin(x＋θ).． （一） 1．角的判断 (1)先把各角写成k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式． (2)然后只需判断α所在的象限即可． 2．扇形弧长与面积的求解 (1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝lR＝αR2(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)． (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解． 题型1：终边相同的角 1．（2024高一下·辽宁葫芦岛·期末）下列各角中与终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用终点相同的角的概念可解. 【详解】运用终点相同的角概念知道，与终边相同的角为 则当，. 故选：B. 2．（2024高一上·北京·期末）下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】AC项角度与弧度混用，排除AC；D项终边在第三象限，排除D. 【详解】因为，终边落在第四象限，且与角终边相同， 故与的终边相同的角的集合 即选项B正确； 选项AC书写不规范，选项D表示角终边在第三象限. 故选：B. 3．（2024高一下·上海黄浦·期末）在平面直角坐标系中，角和的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，若角和的终边关于轴对称，则下列关系式一定正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【分析】根据角与角的终边关于轴对称，即可确定与的关系． 【详解】是与关于轴对称的一个角， 与的终边相同， 即（）， ，（）. 故选：D． 题型2：象限角 4．【多选】（2024高一下·江西吉安·期末）已知，，那么的终边可能位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ABC 【分析】利用给定条件解出的范围，再分类讨论求解即可. 【详解】由题意可得，，则，， 当时，此时的终边落在第一象限，故A正确； 当时，此时的终边落在第二象限，故B正确； 当时，此时的终边落在第三象限，故C正确． 故选：ABC 5．（2024高一下·辽宁辽阳·期末）若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【分析】先判断角终边的位置，然后再判断出角终边的位置. 【详解】由与的终边关于轴对称，可知若是第二象限角，则是第三象限角， 所以是第二象限角． 故选：B. 6．（2024高一上·浙江杭州·期末）若，且，则角是第（    ）象限角． A．二 B．三 C．一或三 D．二或四 【答案】D 【分析】先判断角所在的象限，再判断角所在的象限. 【详解】由条件知与异号，则为第二或第三象限角；又与异号，则为第三或第四象限角 所以为第三象限角，即， ， 为第二或第四象限角. 故选：D. 题型3：弧度制 7．（2024高一上·云南丽江·期末）丽江市第二中学体育馆旁有一座钟楼，每到夜晚灯光亮起都是一道靓丽的风景.有一天因停电导致钟表慢5分钟，则将钟表拨快到准确时间分针所转过的弧度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角的概念和弧度的定义即可求得答案. 【详解】因为分针转一周为60分钟，对应的弧度为，将分针拨快是顺时针旋转，因此钟表拨快5分钟，则分针所转过的弧度数为. 故选：B． 8．（2024高一下·浙江杭州·期末）军事上角的度量常用密位制，密位制的单位是“密位”1密位就是圆周的所对的圆心角的大小，.若角密位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由密位制与弧度的换算公式可得，，从而可得解． 【详解】因为1密位等于圆周角的， 所以角密位时，， 故选：C． 9．（2024高一上·河北承德·期末）已知角的终边落在阴影区域内（不含边界），角的终边和相同，则角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求阴影的边界表示的角的集合，再用不等式表示集合. 【详解】终边落在上的角为，终边落在上的角为， 故角的集合为. 故选：C 题型4：弧长公式和面积公式 10．（2024高一下·山东威海·期末）半径为，圆心角为的扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用扇形面积公式计算即得. 【详解】依题意，扇形的面积为. 故选：B. 11．（2024高一下·辽宁锦州·期末）《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用弧长公式可求得答案 【详解】由题意可知扇形的弧长，半径， 所以扇形的圆心角的弧度数是， 故选：A 12．（2024高一下·辽宁·阶段练习）我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔谈》收录了计算扇形弧长的近似计算公式：，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径．如图，已知扇形的面积为，扇形所在圆O的半径为2，利用上述公式，计算该扇形弧长的近似值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据扇形的面积公式可得圆心角大小，进而根据弧长的近似计算公式即可求解. 【详解】设扇形的圆心角为α，由扇形面积公式可知，所以，如图，取的中点C，连接OC，交AB于点D，则．易知，则，所以，，，所以扇形弧长的近似值为． 故选:C    （二） 三角函数值正负的判断 (1)定象限：确定角α所在的象限． (2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断． 题型5：三角函数的概念 13．（2024高一下·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，终边关于原点对称.若角的终边与单位圆⊙交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称可得，进而根据三角函数的定义即可求解. 【详解】角与角终边关于原点对称，且若角的终边与单位圆⊙交于点，所以角的终边与单位圆⊙交于点， 故， 故选：B 14．（2024高一上·天津南开·期末）已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据任意角三角函数的定义求，代入运算即可. 【详解】因为角的终边经过点，则， 可得， 所以. 故选：C. 15．（2024高一上·福建龙岩·阶段练习）已知点在第二象限，则角的终边位置在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据象限内的点的坐标特征得到三角不等式组，结合三角函数在各象限的符号即得. 【详解】因点在第二象限，故， 即角为第四象限角. 故选：D. （三） 1．同角三角函数关系的化简 (1)化切为弦，减少函数名称． (2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号． (3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简． 2．由一个三角函数值求其他三角函数值 (1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±，求得cos α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值． (2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±，求得sin α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值． (3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝＝m⇒sin α＝mcos α及sin2α＋cos2α＝1，求得cos α＝±，sin α＝±的值． 题型6：同角三角函数的基本关系 16．（24-25高三上·河北沧州·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化弦为切，代入求值. 【详解】，故. 故选：D 17．（2024高一上·湖北武汉·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件，结合平方关系即可求解. 【详解】解：因为，所以， 又，即，解得， 所以， 故选：B. 18．（2024高一上·黑龙江鸡西·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角的三角函数关系式，结合三角函数齐次式法求值，即可得答案. 【详解】由题意知， 故， 故选：D （四） 由诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1) “负化正”：用公式一或三来转化． (2) “大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的． (3) “小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． (4) “锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 题型7：诱导公式 19．（2024高一上·广东深圳·期末）已知的终边上有一点，则的值为 . 【答案】/ 【分析】根据三角函数的定义，得到，再利用三角函数的诱导公式和基本关系式，准确化简、运算，即可求解. 【详解】因为的终边上有一点，可得 则. 故答案为：. 20．（2024高三·全国·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用诱导公式求得结果. 【详解】由，得. 故选：D 21．（2024高一下·河南南阳·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，点是角终边上的一点，则 ． 【答案】 【分析】先利用三角函数的定义求得和，再根据诱导公式化简求解即可. 【详解】因为角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，点是角终边上的一点， 所以，， 所以， 故答案为： （五） 1.常见和角变换 (1)α＝(α－β)＋β． (2)2α＝(α＋β)＋(α－β)． (3) α＝＋ 2.二倍角公式 (1)二倍角正弦． (2)二倍角余弦． (3)二倍角正切． 3.给值(式)求值的策略 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． 4．给值求值(角) (1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解． (2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小． 5．三角恒等式的证明 (1)因索果法：证明的形式一般是化繁为简． (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子． (3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同． (4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”． (5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立． 题型8：和差角公式 22．（2024高一上·吉林长春·期末）若，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为，，所以， 又因为，所以. 所以 . 故选：B 23．（2024高一上·河南新乡·期末）已知，其中． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意，先确定的取值范围，利用同角三角函数的平方关系，求得和的值，然后把凑成的形式，再利用两角差的正弦公式，展开求解即可； （2）结合（1）中结论，利用二倍角公式求得和的值，再利用两角差的正弦公式，展开求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，且，所以． 因为，，所以， 则， 又因为，所以． （2）由（1）可得，， 因为， 则， 所以 24．（2024高一下·河北·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出和的值，利用，即可求出的值． 【详解】， ， 故选：A. 题型9：二倍角公式 25．（2024高二下·内蒙古·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二倍角的余弦公式即可得到方程，解出即可. 【详解】由题得，解得或， 因为，所以. 故选：A. 26．（2024高一下·江西九江·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用三角恒等变换的公式，化简得到，求得，结合三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由三角函数的基本关系式和倍角公式，可得 因为，所以， 整理得，即， 因为，可得，所以， 则，所以. 故选：A. 27．（2024高一下·江苏常州·期末）设为锐角，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用诱导公式、同角公式及二倍角公式求解即得. 【详解】因为为锐角，所以， 又，所以， 所以 . 故选：B. 题型10：辅助角公式的应用 28．（2024高一下·江苏徐州·期中）已知函数，则函数的对称轴的方程为 ． 【答案】 【分析】先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，然后由可求得答案. 【详解】 ， 令，解得：． 故答案为： 29．（2024高一下·四川成都·期末）若将函数的图象向左平移个单位长度，平移后的图象关于点对称，则 ． 【答案】 【分析】先利用辅助角公式将函数的解析式化简，并求出平移变换后的函数解析式，由变换后的函数图象关于点对称，可得出的表达式，结合的范围可求出的值. 【详解】, 将函数的图象向左平移个单位后， 所得图象的函数解析式为， 由于函数的图象关于点对称，则， 得，，，. 故答案为：. 30．（2024高二下·湖南邵阳·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据辅助角公式求得，再用诱导公式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：B 题型11：三角恒等式变换中的（给角求值、给值求值、给值求角）问题 31．（2024高一下·山东青岛·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知条件求出，，从而求出，进而利用二倍角的余弦公式求出结论. 【详解】因为，所以， 又，所以，， 所以， 所以. 故选：C. 32．（2024高一下·安徽亳州·期末）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数值确定角的范围，再根据角的变换有，根据三角函数值确定的值. 【详解】，符号相同， 又，，， 由可得， 又，，， 所以，， ， 由，，得，， 故选：A． 33．（2024高一上·广东茂名·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式以及倍角公式求解即可. 【详解】原式. 故选：A 题型12：三角恒等变换综合问题 34．（2024高一下·广东阳江·期末）已知函数，． (1)当时，的最大值及相应的x值； (2)将的图象向左平移个单位后关于原点对称，，求的所有可能取值． 【答案】(1)最大值为，此时 (2)或. 【分析】（1）根据题意，结合三角恒等变换的公式，化简得到，再由，求得，得到，结合三角函数的性质，即可求解； （2）由三角函数的图象变换得到，根据题意求得，结合，即可求解. 【详解】（1）解：由函数 因为，可得， 即，所以， 所以， 又由，可得， 当时，即时，函数的最大值为. （2）解：将的图象向左平移个单位后关于原点对称， 可得， 因为关于原点对称，即为奇函数，可得， 因为，当时，；当时，， 所以的所有可能的取值为或. 35．（2024高一下·北京密云·期末）已知函数． (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)求在区间上的最值，并求出此时对应的的值； (3)若在区间上有两个零点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为； (2)时最小值为；时最大值为1； (3). 【分析】（1）由二倍角正余弦公式、辅助角公式化简函数式，根据正弦型函数性质求最小正周期和递增区间； （2）由（1）及正弦型函数性质求最值即可； （3）问题化为与在区间上有两个交点，数形结合求参数范围. 【详解】（1）因为， 所以最小正周期为，又增区间为， 令得：， 所以的单调递增区间为． （2）因为，所以． 当，即时，取最小值； 当，即时，取最大值1． （3）由题意，与在区间上有两个交点，而在上图象如下：    由图知：，即. 36．（2024高一下·上海嘉定·期末）已知函数 (1)求函数的周期； (2)若函数，求函数在区间上的值域； (3)若恒成立，试求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将函数转化为，利用周期公式求解； （2）由（1）得到，再利用正弦函数的性质求解； （3）将恒成立，转化为求解. 【详解】（1）由诱导公式，， ， ∴的周期． （2）由（1），知， ， ， 由，则， 故，则. 故在区间上的值域为. （3）∵， ， ， ∴当时，， ∵恒成立， 等价于， ∴，即， 解得， ∴实数的取值范围为． 一、单选题 1．（2024高一下·山东威海·期末）下列角的终边落在射线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在角的终边上取点，利用角的三角函数定义进行计算检验即得. 【详解】在射线上任取点，显然点在第三象限，故该角也是第三象限角，排除A，B两项； 对于C，因，符合题意，故C正确； 对于D，因，故D错误. 故选：C. 2．（2024高一上·陕西宝鸡·阶段练习）下列选项中，与角终边相同的角是（   ） A． B． C．310° D．330° 【答案】A 【分析】首先表示出与终边相同的角，再判断即可. 【详解】与角终边相同的角的集合表示为， 当时，，故与角终边相同． 故选：A． 3．（2024高三·全国·专题练习）如图所示的几何图形，设弧AD的长度是，弧BC的长度是，扇环ABCD的面积为，扇形BOC的面积为．若，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据题意，利用扇形的面积公式，求得，再利用扇形的面积公式，得到，进而求得所以的值，得到答案． 【详解】设扇环所对的圆心角为，可得， 因为，所以，又因为，， 所以，所以，即． 故选：D． 4．（2024高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义及诱导公式求解. 【详解】因为角的终边过点， 所以， 所以. 故选：A 5．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知角的终边在直线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由角的终边，得，由同角三角函数的关系得，代入求值即可. 【详解】因为角的终边在直线上，所以. 所以. 故选：D. 6．（2024高二下·云南·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】由，， 得， 所以. 故选：D. 二、多选题 7．（2024高一上·湖北荆州·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先根据同角三角函数的关系求出，再根据诱导公式逐一判断即可. 【详解】因为，， 所以， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 8．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得关于，的方程，结合同角三角函数的关系，完全平方公式，平方差公式，逐项判断即可. 【详解】对于A，由题意，，是方程的两根，则， 由，得，即， 解得，则，解得，故A错误； 对于B，， 因为，所以，又，所以， 则，因此，故B正确； 对于C，由，解得， 则，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：BD. 9．（2024高二下·陕西延安·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用两角和与差的正弦公式将已知等式展开，两式分别作和与差可得与，则可判断AB，再将所得两式相乘除即可判断CD. 【详解】由题意得，①， ②， ①②得，，即③； ①②得，，即④； ③④得，，即； ③÷④得，，故AD错误，BC正确. 故选：BC. 三、填空题 10．（24-25高三上·广东汕头·阶段练习）已知，，则的值为 . 【答案】 【分析】利用二倍角正弦公式以及诱导公式化简可得出的值，再结合同角三角函数的基本关系可求得的值. 【详解】因为，则， 由可得，则，则， 所以，，故. 故答案为：. 11．（2024高一下·四川凉山·期末）已知，，其中，则 . 【答案】 【分析】利用两角差的余弦可求的值，故可求的值. 【详解】因为，故，而，故， 而，故，而， 故，故， 故， 而，故， 故答案为： 12．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】利用正弦二倍角公式，结合弦化切思想，求值即可. 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 13．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，，，，则的值为 .（用弧度制表示） 【答案】 【分析】由二倍角的余弦定理，三角函数的基本关系和，可求出，，再由，代入化简即可得出答案. 【详解】，， 又，，所以， ，，， 又，，， ， 结合可知：. 故答案为：. 14．（2024高一下·广西崇左·期末）已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)求在区间上的值域. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用正弦函数的单调区间去解不等式即可； （2）利用给定区间去求得相位的取值范围，再利用正弦曲线在该区间的单调性求出最值即可. 【详解】（1）由题意可得 ， 令， 解得， 故的单调递减区间为. （2）因为，所以. 当，即时，取得最大值，最大值为 当，即时，取得最小值，最小值为. 故在区间上的值域为. 15.（2024高一上·河北保定·期末） (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由诱导公式化简，即可得到； （2）根据题意，由角的变换可得，再由和差角公式展开，代入计算，即可求解. 【详解】（1） （2），则， ，， 则 ， ， 因此. 16．（2024高一下·河北张家口·期末）已知函数的最小正周期． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，讨论方程根的个数． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，求出，进而求出单调递增区间. （2）探讨函数在上的性质，分离参数，利用数形结合法求出直线与函数在上的图象交点情况即可. 【详解】（1）依题意，， 由，，得，， 由，解得， 所以函数的单调递增区间为. （2）当时，，余弦函数在上单调递减，在上单调递增， 则函数在上单调递减，函数值从1减小到；在上单调递增，函数值从增大到0， 方程， 因此方程的根即直线与函数在上的图象交点的横坐标， 在同一坐标系内作出直线与函数在上的图象， 观察图象知，当或，即或时，直线与函数在上的图象无交点； 当或，即或时，直线与函数在上的图象有1个交点； 当，即时，直线与函数在上的图象有2个交点， 所以当或时，方程根的个数为0； 当或时，方程根的个数为1； 当时，方程根的个数为2. 17．（2024高二上·云南迪庆·期末）已知函数 (1)求函数的最小正周期及对称轴方程； (2)若函数，当时，函数有零点，求的取值范围 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式和辅助角公式进行化简，再借助正弦函数的性质求解即可. （2）利用正弦函数的性质求出函数在上的值域，再利用零点的意义求出范围. 【详解】（1）依题意，， 所以的最小正周期； 由，得， 所以的对称轴方程. （2）由（1）知，，当时，， 则，， 由函数有零点，得，解得. 所以的取值范围是. 18．（2024高一上·天津·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递减区间； (2)求函数在上的最值； (3)若，求的值. 【答案】(1)，单调减区间为. (2)， (3) 【分析】（1）化简函数为，结合三角函数的图象与性质，即可求解； （2）由(1)得出函数的单调递增区间，结合，和的值，即可求解；（3）根据题意，求得，结合，即可求解. 【详解】（1）解：由函数 ， 所以的最小正周期为， 令，可得， 所以的单调减区间为. （2）解：由(1)知，函数的单调递增区间为， 因为，所以在上单调递增，在上单调递减， 且，，，所以，. （3）解：由函数，可得， 因为， 所以. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$