第08讲 一次函数 单元综合检测（难点）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪教版）

第08讲 一次函数 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．将直线向上平移2个单位长度，相当于（   ） A．向左平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度 C．向右平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度 2．下列命题中，正确的是（    ） A．一次函数在轴上的截距是 B．一次函数的图像与轴交于点 C．一次函数的图像是一条线段 D．一次函数的图像一定经过第二、四象限 3．如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点．有下列结论： ①关于的方程的解为；②关于的方程的解为；③当时，；④当时，． 其中正确的是(　  　)    A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 4．取一次函数部分的自变量x值和对应函数y值如表：   x … －2023 0 2023 … y … －3 －2 －1 … 根据信息，下列说法正确的个数是（   ） ①；  ②当时；  ③；  ④不等式的解集是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知一次函数的图像与轴的正半轴相交，随的增大而减小，且为整数，则时，应满足的条件是（　　） A． B． C． D． 6．如图，已知、、、是平面坐标系中坐标轴上的点，且，设直线、直线交于点，两条直线表达式分别为，，下列结论中正确的个数有（　　）    ①；②平分；③． A． B． C． D． 二、填空题 7．已知一次函数，那么 ． 8．如果、是一次函数图象上不同的两点，那么 0（填“＞”、“＜”或“＝”）． 9．已知一次函数（其中是常数）的函数值随的值增大而增大，且这个函数的图象与轴的交点在轴的负半轴上，那么的取值范围是 ． 10．某款轿车每行驶100千米的耗油量升与其行驶速度千米/小时之间的函数关系图象如图所示，其中线段的表达式为，点的坐标为，即行驶速度为千米/小时时该轿车每行驶千米的耗油量是14升．如果从甲地到乙地全程为260千米，其中有60千米限速50千米/小时的省道和200千米限速120千米/小时的高速公路，那么在不考虑其他因素的情况下，这款轿车从甲地行驶到乙地至少需要耗油 升． 11．一次函数，当时，函数值y的范围是，那么代数式的值是 ． 12．已知点的坐标为，将点绕着坐标原点顺时针旋转后，点恰好落在直线上，那么点的值为 ． 13．如图，点P是函数图象上的一点，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点P作x轴、y轴的垂线与该直线分别交于C、D两点，则的值为 ． 14．如图，已知直线与轴、轴分别交于两点，在轴正半轴上求一点，使为等腰三角形．则点的坐标是 ． 15．已知，一次函数（m为常数，且）．当变化时，下列结论正确的有 （把正确的序号填上）．①当时，图像经过一、三、四象限；②当时，y随x的增大而减小；③点肯定在函数图像上；④当时，一次函数变为正比例函数． 16．如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，与双曲线交于点，两点，若，则的值是 17．如图，在直角坐标平面内，△ABC的顶点，点B与点A关于原点对称，AB＝BC，∠CAB＝30°，将△ABC绕点C旋转，使点A落在x轴上的点D处，点B落在点E处，那么BE所在直线的解析式为 ． 18．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点，在反比例函数图象上存在一点P（不与A、B重合），连接，，使得，如果这样的P点恰好有两个，则m的取值范围是 ． 三、解答题 19．如图，点在轴上，点和点都在轴上． (1)直线的表达式是______________________ (2)在直线上且位于轴右侧的所有点的纵坐标的取值范围是__________ (3)当的取值范围是__________时，直线在直线的上方 (4)直线向右平移______个单位后经过点 20．现有两条直线，，已知与直线平行，的y随x增大而增大，、与直线的交点均在x轴下方，求： (1)k的值； (2)b的范围． 21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求k、b的值； (2)直接写出方程组的解是_______； (3)直接写出不等式组的解集是_______； (4)在y轴上找到点P，使得最大，并求出点P的坐标． 22．某汽车销售店根据过去几个月的销售记录，得到了每月的销售成本y（万元）与销售车辆x（辆）之间的关系如图所示． (1)求y关于x的函数解析式；（不写定义域） (2)如果该店每月的销售收入w（万元）与销售车辆x（辆）之间恰好成正比例关系，且当月销售10辆汽车时，销售收入与销售成本相等． ①求w关于x的函数解析式；（不写定义域） ②如果汽车销售店想要每月的净利润不少于13万元，那么该店每月应至少销售多少辆车？（净利润=销售收入-销售成本） 23．在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像相交于横坐标为3的点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)如图，已知点在这个一次函数图像上，点在反比例函数的图像上，直线轴，且在点上方，并与轴相交于点．如果，求点坐标； (3)在（2）的条件下，过作交轴于点，求点的坐标． 24．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为． (1)则_________，_________； (2)关于的不等式的解集是_________； (3)四边形的面积_________； (4)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25．如图1，在平面直角坐标系中，是边长为4的等边三角形，点在第一象限． (1)则点的纵坐标为________． (2)如图2，于点，点关于轴的对称点为点，连接交于，过点作于点，，求的长； (3)若点为轴上的一个动点，连接，以为边作等边，当最短时，求点的纵坐标．（提示：请先在备用图中画出示意图，再进行求解） 26．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点，点D是直线上一动点． (1)求直线的解析式； (2)当点D在直线上运动时，存在某时刻，使得为直角三角形且，请求出此时点D的坐标； (3)如备用图所示，当点D运动到线段的中点时，此时，在直线上是否存在点P，使得，若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 一次函数 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．将直线向上平移2个单位长度，相当于（   ） A．向左平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度 C．向右平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数图象的平移，掌握一次函数图象的平移规律是解本题的关键． 根据函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可解答． 【解析】解：将直线向上平移2个单位长度，可得函数解析式为： ，即相当于将直线直线向左平移2个单位长度得到的，则A选项符合题意． 故选A． 2．下列命题中，正确的是（    ） A．一次函数在轴上的截距是 B．一次函数的图像与轴交于点 C．一次函数的图像是一条线段 D．一次函数的图像一定经过第二、四象限 【答案】C 【分析】根据一次函数的图象和性质判断即可． 【解析】解：A、一次函数，可化为，在y轴上的截距是，本选项说法错误，不符合题意； B、一次函数的图象与x轴交于点，本选项说法错误，不符合题意； C、一次函数的图象是一条线段，本选项说法正确，符合题意； D、一次函数，可化为, 当时，， 它的图象经过第一、三象限，本选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 3．如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点．有下列结论： ①关于的方程的解为；②关于的方程的解为；③当时，；④当时，． 其中正确的是(　  　)    A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】根据一次函数的图象与性质，一次函数与坐标轴交点问题即可判断①②③④，逐项分析、判断即可求解． 【解析】解：①由一次函数的图象与轴点()知，当时，，即方程的解为，故此项正确； ②由一次函数的图象与轴点，当时，，即方程的解为，故此项正确； ③由图象可知，的点都位于轴的下方，即当时，，故此项正确； ④由图象可知，位于第二象限的直线上的点的纵坐标都大于，即当时，，故此项错误， 所以正确的是①②③， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，涉及一次函数与一元一次方程的关系、一次函数与不等式的关系，解答的关键是会利用数形结合思想解决问题． 4．取一次函数部分的自变量x值和对应函数y值如表：   x … －2023 0 2023 … y … －3 －2 －1 … 根据信息，下列说法正确的个数是（   ） ①；  ②当时；  ③；  ④不等式的解集是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系及一次函数的增减性是解决本题的关键．根据表格数据逐项判定即可求解． 【解析】解：①由表格可知，时，，即，故本选项说法正确，符合题意； ②由表格可知，时，，且y随x的增大而增大，即当时，故本选项说法正确，符合题意； ③由表格可知，时，，即，则有，故本选项说法错误，不符合题意； ④由表格可知，时，，且y随x的增大而增大，即不等不等式的解集是，故本选项说法正确，符合题意； 故选：C 5．已知一次函数的图像与轴的正半轴相交，随的增大而减小，且为整数，则时，应满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的图像与y轴正半轴相交且y随x的增大而减小，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围，结合k为整数可确定一次函数的解析式，再利用一次函数图像上点的坐标特征可求出当时x的取值范围． 【解析】解：∵一次函数的图像与y轴正半轴相交，y随x的增大而减小， ∴， 解得：， ∵k为整数， ∴k＝－2， ∴一次函数的解析式为y＝−3x＋1， 当y＝－5时，即−3x＋1＝－5， 解得：x＝2； 当y＝4时，即−3x＋1＝4， 解得：x＝−1， ∴当时，x的取值范围为−1＜x＜2． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、一次函数的性质以及解一元一次不等式组，熟练掌握一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键． 6．如图，已知、、、是平面坐标系中坐标轴上的点，且，设直线、直线交于点，两条直线表达式分别为，，下列结论中正确的个数有（　　）    ①；②平分；③． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，于点，由，全等三角形对应高相等，得，根据角平分线的判定定理可证平分，再证明，可得，直线与轴交点的坐标，与轴交点的坐标，得，，同理可得，，由，，得，，得， ，可证． 【解析】过点作于点，于点，    ∵． ∴，，，，， ∴， ∵，， ∴平分，故②正确； 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； 直线与轴交点的坐标，与轴交点的坐标， ∴，， 同理可得，， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴，故③正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了两条直线相交问题，交点坐标与线段长度之间的关系，角平分线的判定，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 二、填空题 7．已知一次函数，那么 ． 【答案】1 【分析】直接将代入函数解析式，进行求解即可． 【解析】解：； 故答案为：1 【点睛】本题考查求一次函数的函数值．解题的关键是正确的进行计算． 8．如果、是一次函数图象上不同的两点，那么 0（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】< 【分析】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的性质知，当时，判断出y随x的增大而减小，即可比较出与，与的大小，要根据函数的增减性进行推理，是一道基础题． 【解析】， ∴一次函数中y随x的增大而减小， ∴若，则，若，则，故与始终异号，故． 故答案为：< 9．已知一次函数（其中是常数）的函数值随的值增大而增大，且这个函数的图象与轴的交点在轴的负半轴上，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数（为常数，）是一条直线，当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大，当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小，图象与轴的交点坐标为．由题意得出，，求解即可得出答案． 【解析】解：一次函数（其中是常数）的函数值随的值增大而增大，且这个函数的图象与轴的交点在轴的负半轴上， ，， 解得：， 故答案为：． 10．某款轿车每行驶100千米的耗油量升与其行驶速度千米/小时之间的函数关系图象如图所示，其中线段的表达式为，点的坐标为，即行驶速度为千米/小时时该轿车每行驶千米的耗油量是14升．如果从甲地到乙地全程为260千米，其中有60千米限速50千米/小时的省道和200千米限速120千米/小时的高速公路，那么在不考虑其他因素的情况下，这款轿车从甲地行驶到乙地至少需要耗油 升． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质及待定系数法求一次函数解析式，正确识图并熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 根据线段的表达式可得出点B坐标，利用待定系数法即可得线段的解析式，根据一次函数的性质可得在省道和高速公路上行驶时耗油量最小时的速度，根据解析式即可得出每行驶100千米的耗油量，进而可得答案． 【解析】解：∵线段的表达式为， ∴当时，，即． 令BC的表达式为， ∵点C的坐标为， ∴， 解得：， ∴线段的表达式为． ∵在中，， ∴y随x的增大而减小， ∵省道限速50千米/小时， ∴当x＝50时，耗油量最低，即， ∵在中，， ∴y随x的增大而增大， ∵高速公路限速120千米/小时， ∴当x=100时，耗油量最低，即， ∵有60千米的省道和200千米的高速公路， ∴从甲地行驶到乙地至少需要耗油（升）． 即至少耗油升． 故答案为： 11．一次函数，当时，函数值y的范围是，那么代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，一次函数的图象与性质，当时，，当时，，可得即可求解，掌握整体代入思想是解题的关键． 【解析】解：由题意可知，当时，， 当时，， 得： ， ∴， ∴， 故答案为：． 12．已知点的坐标为，将点绕着坐标原点顺时针旋转后，点恰好落在直线上，那么点的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征、旋转的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，将点绕着坐标原点顺时针旋转后得到，作轴于，则，由旋转的性质可得：，，再由含角的直角三角形的性质并结合勾股定理得出，将代入一次函数解析式即可得出的值． 【解析】解：如图，将点绕着坐标原点顺时针旋转后得到，作轴于，则， ，点的坐标为， ， 由旋转的性质可得：，， ， ，， ， 将代入得：， 解得：， 故答案为：． 13．如图，点P是函数图象上的一点，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点P作x轴、y轴的垂线与该直线分别交于C、D两点，则的值为 ． 【答案】 【分析】先求出点坐标，设点，则：点，点 ，用含的式子表示出，进而求解即可． 【解析】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 当时，；当时，； ∴点，点， ∵点P是函数图象上的一点，过点P作x轴、y轴的垂线与该直线分别交于C、D两点， 设点，则：点，点 ， ， 故答案为． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．正确的求出各点的坐标，是解题的关键． 14．如图，已知直线与轴、轴分别交于两点，在轴正半轴上求一点，使为等腰三角形．则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形定义，勾股定理，先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，再利用勾股定理求出长，利用等腰三角形可得点C坐标． 【解析】解：分两种情况讨论， ①当点C在点A右侧的x轴上时， 直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 当时，；当时， ， ， ，且点C在x轴正半轴， ， ； ②当点C在点A的左侧时，如图作线段的垂直平分线交x轴于点C，设， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， 综上分析，符合题意的点或 ， 故答案为：或． 15．已知，一次函数（m为常数，且）．当变化时，下列结论正确的有 （把正确的序号填上）．①当时，图像经过一、三、四象限；②当时，y随x的增大而减小；③点肯定在函数图像上；④当时，一次函数变为正比例函数． 【答案】①③/③① 【分析】根据一次函数的解析式，性质，图像过点的意义等计算判断填空即可． 【解析】当时，， 所以图像经过一、三、四象限； 所以①正确； 当时，y随x的增大而减小； 所以②错误； 当时，， 所以点肯定在函数图像上； 所以③正确； 当时，不是正比例函数， 所以④错误． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了一次函数图像的分布，增减性，图像过点，熟练掌握图像分布，性质是解题的关键． 16．如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，与双曲线交于点，两点，若，则的值是 【答案】/0.75 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数(为常数，)的图像是双曲线，图像上的点的横纵坐标的积是定值，即． 作轴，轴，与交于，先利用一次函数图像上点的坐标特征得到，得为等腰直角三角形，则，所以，且为等腰直角三角形，则，设点坐标为，则点坐标为，根据反比例函数图像上点的坐标特征得到，解得，这样可确定点坐标为，然后根据反比例函数图像上点的坐标特征得到． 【解析】解：如图：作轴，轴，与交于， 由直线可知点坐标为点坐标为， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设点横坐标为，代入，则纵坐标是，则的坐标是：，点坐标为， ∴， 解得， ∴点坐标为， ∵双曲线过点两点， ， 故答案为：． 17．如图，在直角坐标平面内，△ABC的顶点，点B与点A关于原点对称，AB＝BC，∠CAB＝30°，将△ABC绕点C旋转，使点A落在x轴上的点D处，点B落在点E处，那么BE所在直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】如图，过点C作CF⊥x轴于点F，根据关于原点对称的点的坐标特征可得点B坐标，根据等腰三角形的性质可得AB＝BC=2，利用外角性质可得∠CBF=60°，利用含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可得CF、BF的长，利用旋转的性质可得AB＝CE＝2，AC=CD，∠ECD=∠ACB=30°，根据等腰三角形的性质可得∠CDA=∠CAD=30°，可得CE//AD，可得点E坐标，利用待定系数法即可得答案． 【解析】如图，过点C作CF⊥x轴于点F， ∵△ABC的顶点，点B与点A关于原点对称， ∴， ∴AB＝BC=2． ∵∠CAB＝30°， ∴∠ACB=∠CAB=30°， ∴∠CBF=∠CAB+∠ACB=60°，∠BCF=30°， ∴BF=BC=1，CF=， ∴． ∵将△ABC绕点C旋转，使点A落在x轴上的点D处，点B落在点E处， ∴AB＝CE＝2，AC=CD，∠CDA=∠CAD=30°，∠ECD=∠ACB=30°， ∴CE//AD， ∴． 设直线BE的解析式为， ∴， 解得：， ∴BE所在直线的解析式为：． 故答案为： 【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，旋转的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，30°角所对的直角边等于斜边的一半；图形旋转前后的对应边相等、对应角相等；熟练掌握相关性质及定理是解题关键． 18．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点，在反比例函数图象上存在一点P（不与A、B重合），连接，，使得，如果这样的P点恰好有两个，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先用待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式，根据条件求出与直线平行并且与双曲线只有一个交点的直线和，设、与双曲线的交点分别为，和是的两个临界值，即可得解． 【解析】解：将点代入中，得到， 反比例函数为， 将点代入中，得到， 点坐标为， 将点，代入中，得到， 解得， 一次函数为， 设与直线平行的直线为， 联立， 整理得：， 当直线与双曲线只有一个交点时，有， ， 如图，与双曲线只有一个交点并且与直线平行的直线为和，设、与双曲线的交点分别为，、与直线的距离分别为， 直线与轴的交点坐标为，直线轴的交点坐标为，直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，作直线于点，直线于点， ， ， 和是等腰直角三角形， ，， 直线与的距离为， 直线与的距离为， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点，一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，两点间的距离公式等，灵活运用相关知识并数形结合分析问题是解题的关键． 三、解答题 19．如图，点在轴上，点和点都在轴上． (1)直线的表达式是______________________ (2)在直线上且位于轴右侧的所有点的纵坐标的取值范围是__________ (3)当的取值范围是__________时，直线在直线的上方 (4)直线向右平移______个单位后经过点 【答案】(1) (2) (3) (4)2 【分析】该题主要考查了一次函数的解析式求解，一次函数与不等式之间的关系，一次函数平移问题，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）根据待定系数法即可求解； （2）根据图象即可求解； （3）根据图象即可求解； （4）假设直线向右平移n个单位后经过点，得出平移后解析式为，将代入即可求解； 【解析】（1）解：设这个一次函数的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的表达式是； （2）解：根据图象可得，在直线上且位于轴右侧的所有点的纵坐标的取值范围是； （3）解：根据图象可得，当直线在直线的上方时，； （4）解：∵直线的表达式是， 假设直线向右平移n个单位后经过点， 则平移后解析式为， 将代入得， 解得：， 故直线向右平移2个单位后经过点． 20．现有两条直线，，已知与直线平行，的y随x增大而增大，、与直线的交点均在x轴下方，求： (1)k的值； (2)b的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一次函数的性质，一次函数的交点坐标，不等式组的解法； （1）由与直线平行，可得，结合的y随x增大而增大，可得，从而可得答案； （2）分别求解、与直线的交点坐标，再利用交点均在x轴下方，再建立不等式组求解即可． 【解析】（1）解：∵与直线平行， ∴， 解得：， ∵的y随x增大而增大， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， 联立， 解得：， ∴函数的交点坐标为：； 同理：， 解得：， ∴交点坐标为：， ∵、与直线的交点均在x轴下方， ∴， 解得：． 21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求k、b的值； (2)直接写出方程组的解是_______； (3)直接写出不等式组的解集是_______； (4)在y轴上找到点P，使得最大，并求出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)点P的坐标为． 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于的自变量的取值范围；也考查了待定系数法求一次函数解析式． （1）先确定点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式，从而得到、的值； （2）根据直线与交于，于是得到结论； （3）根据图象，先求出B点坐标，即可得到结论； （4）连接并延长，与y轴的交点就是P点，此时最大，据此求解即可． 【解析】（1）解：把代入，得， 点坐标为， 把，代入，得， 解得； （2）解：∵直线与交于， 方程组解是， 故答案为：； （3）解：由（1）可知，直线的表达式为， 令，则， ∴点B的坐标为， 由图象知，不等式组解集是， 故答案为：； （4）解：∵直线的表达式为，点B的坐标为， 连接并延长，与y轴的交点就是P点， ∵直线与y轴的交点为， ∴最大，点P的坐标为． 22．某汽车销售店根据过去几个月的销售记录，得到了每月的销售成本y（万元）与销售车辆x（辆）之间的关系如图所示． (1)求y关于x的函数解析式；（不写定义域） (2)如果该店每月的销售收入w（万元）与销售车辆x（辆）之间恰好成正比例关系，且当月销售10辆汽车时，销售收入与销售成本相等． ①求w关于x的函数解析式；（不写定义域） ②如果汽车销售店想要每月的净利润不少于13万元，那么该店每月应至少销售多少辆车？（净利润=销售收入-销售成本） 【答案】(1) (2)①；②每月应至少销售15辆车． 【分析】本题考查了一次函数解析式和正比例函数的应用．首先要学会根据用代入系数法求出解析式；再结合正比例函数解决问题． （1）用待定系数法求y关于x的函数解析式； （2）①用待定系数法求w关于x的函数解析式；②由每月的净利润不少于13万元，可得出，再转化为关于x的不等式求解即可． 【解析】（1）由图可知：与成一次函数关系， 设， 时，，时，， ， 解得：， ； （2）①设每月的销售收入w（万元）与销售车辆x（辆）之间函数关系式为， 当月销售10辆汽车时，销售收入与销售成本相等，此时销售成本为（万元）． ，解得：， w关于x的函数解析式为：； ②由题意得：， 解得：， x为整数， x的最小值为15， 每月应至少销售15辆车． 23．在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像相交于横坐标为3的点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)如图，已知点在这个一次函数图像上，点在反比例函数的图像上，直线轴，且在点上方，并与轴相交于点．如果，求点坐标； (3)在（2）的条件下，过作交轴于点，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为 (2)点的坐标为 (3)点的坐标为 【分析】本题考查了反比例函数图像与一次函数图像的交点问题、用待定系数法求一次函数的解析式、反比例函数图像上点的坐标特征，难度适中．求出一次函数的解析式是解题的关键． （1）把点的横坐标代入反比例函数中，可以求出点的纵坐标，再把点的横纵坐标代入一次函数中，以此即可求解； （2）设点，则点，代入中可求出的值，以此即可求解． （3）根据待定系数法求出直线的解析式，再根据两直线平行以及经过点，再求出直线的解析式即可求解； 【解析】（1）解：∵横坐标为3的点在反比例函数的图像上， ， ∴点的坐标为， 将代入， 得， ， ∴一次函数的解析式为； （2）解：设点， ∵， 则点， ∵点在反比例函数的图像上， ∴，即， 解得：， ∵根据题意点在第一象限内， ∴点的坐标为． （3）解：由（1）（2）知点的坐标为，点的坐标为，点， ∴设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， 则，解得：， 故直线的解析式为， 令，则， 故点的坐标为． 24．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为． (1)则_________，_________； (2)关于的不等式的解集是_________； (3)四边形的面积_________； (4)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3， (2) (3) (4)，，， 【分析】（1）把点的坐标为代入得，从而得到点的坐标，将点、的坐标代入，可求得到，； （2）要使得函数的值大于函数的函数值，只需函数的图象在函数上方，由此直接根据函数图象即可得到答案； （3）连接，由函数解析式求得、坐标，再根据即可求解； （4）分四种情况：当，，点在右侧时，当，，点在左侧时，当，，点在右侧时，当，，点在左侧时，构造全等三角形，根据，两点坐标求出相应边的长度，进而求得点的坐标． 【解析】（1）解：把点的坐标为代入得：， ∴，即：点的坐标为， 将点，点代入得：， 解得：； （2）解：由（1）得点的坐标为，要使得函数的值大于函数的函数值，只需函数的图象在函数上方， ∴由图象可得：当时，函数的函数值大于函数的函数值， ∴关于的不等式的解集是：； （3）解：由（1）可知：直线的解析式为，，， 当时，，得， ∴点的坐标为， ∵函数的图象与轴交于点， 则当时，，即：， 连接， ∴； （4）当，，点在右侧时，如图， 过点作轴，过点作， 则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，，，则， ∴， ∴， 则点坐标为； 当，，点在左侧时，如图， 过点作轴，过点，点作，， 同上可得：点坐标为； 当，，点在右侧时，如图， 过点，点作，， 同上可得：点坐标为； 当，，点在左侧时，如图， 过点，点作，， 同上可得：点坐标为； 综上：坐标为或或或． 【点睛】此题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及了勾股定理、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论和数形结合思想方法求解． 25．如图1，在平面直角坐标系中，是边长为4的等边三角形，点在第一象限． (1)则点的纵坐标为________． (2)如图2，于点，点关于轴的对称点为点，连接交于，过点作于点，，求的长； (3)若点为轴上的一个动点，连接，以为边作等边，当最短时，求点的纵坐标．（提示：请先在备用图中画出示意图，再进行求解） 【答案】(1)2 (2)3 (3) 【分析】（1）过点B作于P，由等边三角形的性质得，再由勾股定理得，即可得出点B坐标； （2）先求出，再利用轴对称的坐标变换规律得出，利用待定系数法求出直线解析式为，直线的解析式为，然后联立两解析式，求解即可得出，然后利用两点坐标求出两点距离即可； （3）先利用全等三角形的判定与性质得到：当点P在x轴上运动时，点Q在垂直的直线上运动，当时，此时最短，然后利用等腰三角形的性质求解即可． 【解析】（1）解：过点B作于P，如图， ∵是边长为4的等边三角形，于P， ∴，， 由勾股定理，得， ∵点在第一象限， ∴， ∴点的纵坐标为2． （2）解：∵是边长为4的等边三角形， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∵于点， ∴， 由勾股定理，得， ∴，即， ∵点关于轴的对称点为点， ∴ 设直线解析式为， 把，代入，得 ，解得：， ∴直线解析式为， 设直线的解析式为， 把代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：， ∴ ∵ ∴． （3）解：如图，连接并延长交y轴于C，过O作于， ∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴当点P在x轴上运动时，点Q在垂直于的直线上运动， 故时，最短，此时Q与重合， ∵，，， ∴，则， ∴， ∴点C坐标为， ∵，， ∴， ∴此时点是线段的中点， ∵ ∴，即． ∴点的纵坐标为． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，待定系数法求函数解析式，两直线交点问题，勾股定理，轴对称的坐标变换规律，全等三角形的判定与性质、含30度角 的直角三角形的性质、垂线段最短，此题综合性较强，属中考常考题目． 26．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点，点D是直线上一动点． (1)求直线的解析式； (2)当点D在直线上运动时，存在某时刻，使得为直角三角形且，请求出此时点D的坐标； (3)如备用图所示，当点D运动到线段的中点时，此时，在直线上是否存在点P，使得，若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意，求得点C的坐标，结合点B的坐标，利用待定系数法求解析式即可； （2）根据，求出，设点D的坐标为，得出，，根据，得出，求出结果即可； （3）先求出，；再分两种情况进行讨论：当在下方时，当在上方时，分别画出图形求出点P的坐标即可． 【解析】（1）解：令中得， ∴， 设直线的解析式为 ， 得 直线的解析式为； （2）解：∵， ∴， 设点D的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴点D的坐标为； （3）解：把代入得：， 解得：， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴，即； 当在下方时，过点D作于点E，作，交于点F，过点F作于点G，如图所示： 则，，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 当在上方时，过点D作于点E，作，交于点F，过点F作，交延长线于点G，如图所示： 则，，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 综上分析可知：点P的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了坐标与图形的性质，待定系数法，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法和等腰三角形的性质是解题的关键． 28 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $$