第07讲 一次函数 单元综合检测（重点）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪教版）

第07讲 一次函数 单元综合检测（重点） 一、单选题 1．下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D．（k、b是常数） 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如（，、是常数）的函数，叫做一次函数，熟练掌握一次函数的定义是解题关键．根据一次函数的定义对各项进行分析即可得到答案． 【解析】解：A、中未知数的次数为2，不是一次函数，不符合题意； B、中未知数的次数为，不是一次函数，不符合题意； C、是一次函数，符合题意； D、（k、b是常数）中，若，则不是一次函数，不符合题意； 故选：C． 2．直线的截距是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，求函数值等知识点，熟练掌握一次函数图象及数形结合思想是解题的关键． 把代入一次函数的解析式求出的值即可． 【解析】解：令，则， 直线的截距是， 故选：． 3．在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图像，掌握根据k，b的符号正确判断一次函数图象经过的象限是解题的关键．根据k，b的符号判断直线所经过的象限，然后确定必不经过的象限即可． 【解析】解：∵由已知，得：， ∴图象经过第一、二、三象限， ∴图象不经过第四象限． 故选：D． 4．已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据，随的增大而增大，即可求解． 【解析】解：∵点都在直线上，， ∴随的增大而增大， 又∵ ∴， 故选：C． 5．下列图象中，可以表示一次函数与正比例函数（k，b为常数，且）的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，根据正比例函数的性质和一次函数的图象，可以得到的正负和、的正负，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解析】A、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项A可能，符合题意； B、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项B不可能，不符合题意； C、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项C不可能，不符合题意； D、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项D不可能，不符合题意； 故选：A． 6．如图，已知直线MN：y＝kx+2交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，∠BAO＝30°，点C是x轴上的一点，且OC＝2，则∠MBC的度数为（　　） A．75° B．165° C．75°或45° D．75°或165° 【答案】D 【分析】分两种情况考虑：①C点在x轴正半轴；②C点在x轴负半轴．分别计算出∠MBO、∠OBC度数，两个角的和差即为所求度数． 【解析】由一次函数y=kx+2可得，OB=2， 由已知可得：∠MBC=120°． 如图，分两种情况考虑： ①当点C在x轴正半轴上时，∠C1BO=45°，∠MBC1=120°﹣45°=75°； ②当点C在x轴负半轴上时，∠MBC2=120°+45°=165°． 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数图象的性质以及分类讨论思想． 二、填空题 7．当 时，函数是一次函数． 【答案】 【分析】本题考查一次函数及求平方根，由一次函数的定义知x的指数为1，由此列方程即可求解． 【解析】解：函数是一次函数， ， ， ， 8．如果直线经过点，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得到方程是解此题的关键．把代入得，到关于的方程，求出方程的解即可． 【解析】解：把代入得：， ， 故答案为：． 9．把直线沿轴向上平移5个单位，则得到的直线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象变换，注意上下移动改变的是y，左右移动改变的是x，规律是上加下减，左加右减． 根据上加下减，左加右减的法则可得出答案． 【解析】解：沿y轴向上平移5个单位得到直线：， 即. 故答案是：． 10．如果函数经过第二、四象限，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，正比例函数，当时，该函数的图象经过第二、四象限，即可求解． 【解析】解：∵函数经过第二、四象限， ∴， 解得：； 故答案为：． 11．已知等腰三角形的周长是，那么腰长与底边长的函数解析式及定义域是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，根据题意列出解析式，求出范围，即可求解；能根据等腰三角形的定义列出解析式，会由构成三角形的条件求出自变量取值范围是解题的关键． 【解析】解：由题意得 ， ， 解得：， 故答案：． 12．一次函数的图像与两坐标轴所围三角形面积为8，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积计算，正确计算交点，学会把坐标转换成线段长度是解题的关键，求解交点坐标，利用面积建立方程求解即可． 【解析】解：∵一次函数 当，则， 当，则， 解得：， ∴一次函数与x轴的交点为，与y轴的交点坐标为， ∵一次函数的图像与两坐标轴围成的三角形面积为8， 故， ∴， 解得，经检验符合题意． 故答案为：． 13．已知一次函数的图像经过点，且与直线平行，这个函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质； 根据与y轴的交点坐标可得b的值，再根据两条直线平行，k值相等，求出k即可． 【解析】解：∵一次函数的图像经过点， ∴， 又∵一次函数的图像与直线平行， ∴， ∴这个函数解析式为， 故答案为：． 14．如图，直线过点，那么关于x的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 结合函数图象，写出直线在轴下方所对应的自变量的范围即可． 【解析】解：根据函数图象可知， ∴关于的不等式的解集为． 故答案为：． 15．已知直线在y轴上的截距为2，那么该直线与x轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质．由条件可先求得k的值，再令，可求得直线与x轴的交点坐标． 【解析】解：∵在y轴上的截距为2， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 令，可得， 解得， ∴直线与x轴的交点坐标为， 故答案为：． 16．某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为 万元． 【答案】4500 【分析】本题考查求一次函数解析式及求函数值，设，根据题意找出点代入求出解析式，然后把代入求解即可． 【解析】解：设， 把，代入，得， 解得， ∴， 当时，， 即投入80万元时，销售量为4500万元， 故答案为：4500． 17．一次函数，随的增大而增大，且，则直线不经过第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了一次函数的性质；根据一次函数的性质和图象，即可求解． 【解析】解：∵一次函数，随的增大而增大，且， ∴， ∴函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：二． 18．定义：在平面直角坐标系中，距离为1的两条直线叫做“互为伴随线”．如果直线与直线互为伴随线，那么直线的函数解析式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，由题意得：，，，，为等腰直角三角形，由勾股定理结合等腰直角三角形的性质求出，得到，即可得出解析式，同理计算即可得出，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【解析】解：如图： 由题意得：，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即， 同理可得：，即， ∴直线的函数解析式为或， 故答案为：或． 三、解答题 19．已知函数 (1)若函数图象经过原点，求m的值． (2)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围． (3)若函数图象经过第一，三，四象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据待定系数法，只需把原点代入即可求解； （2）直线y=kx+b中，y随x的增大而减小可得，即可求解； （3）根据图象第一，三，四象限，可得到关于m的不等式组，即可求解． 【解析】（1）解：∵函数图象经过原点， ∴， 解得：； （2）解：∵这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小， ∴， 解得：； （3）解：∵函数图象经过第一，三，四象限， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，能够熟练运用待定系数法确定待定系数的值，还要熟悉在直线y=kx+b中，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小、能够根据k，b的符号正确判断直线所经过的象限． 20．已知y是关于x的一次函数，下列表列出了部分对应值： x … 0 1 a … y … m 3 5 … 求此一次函数的表达式及a，m的值． 【答案】解析式；； 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，求自变量的值和函数值，解题的关键是熟练掌握待定系数法求出一次函数解析式． 【解析】解：设， 当时，；时，， 据此列出方程组， 解得， ∴一次函数的解析式， 把代入，得到； 把代入，得出，解得：． 21．在直角坐标中，直线与平行，且经过点，将直线向上平移3个单位，得到直线 (1)求这两条直线的解析式； (2)如果直线与x轴、y轴分别交于点A，B，求的面积． 【答案】(1)， (2)16 【分析】（1）根据平移可知，利用待定系数法求出解析式即可； （2）根据解析式求出A，B两点坐标，然后求出面积即可． 【解析】（1）解：∵与平行， 设直线的解析式为：， 把点代入得：， ∴直线的解析式为：， ∴直线向上平移3个单位，得到直线的解析式为：， （2）解：令，则， 解得：， ∴， 当时，， ∴ ∴． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴交点坐标，掌握一次函数图象平行时值不变是解题的关键． 22．如图，直线与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点，其中点坐标是，且． (1)求的距离； (2)求直线的解析式． 【答案】(1)2； (2)． 【分析】本题考查勾股定理和待定系数法求一次函数的解析式，掌握勾股定理和待定系数法是解题的关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）利用待定系数法求一次函数的解析式即可． 【解析】（1）解：， ∴， 又∵ ∴； （2）由（1）可知：， ， ∴设直线解析式，将点，代入得： ∴， 解得， 直线解析式． 23．已知一次函数（k为常数且）的图象经过点． (1)求此函数的表达式． (2)当时，记函数的最大值为M，最小值为N，求的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解（1）的关键是利用待定系数法；解（2）的关键是利用一次函数的性质，求得M、N． （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据一次函数的性质求得最大值M和最小值N，进而即可求得的值． 【解析】（1）解：∵一次函数（k为常数且）的图象经过点， ∴， 解得， ∴， ∴一次函数的表达式为； （2）解：∵，， ∴y随x的增大而增大， ∵当时，记函数的最大值为M，最小值为N， ∴， ∴． 24．如图是某辆汽车加满油后，油箱剩油量y（升）关于已行驶路程x（千米）的函数图像（由两条线段构成）． (1)根据图像，当油箱剩油量为26升时，汽车已行驶的路程为________千米；当时，消耗一升油汽车能行驶的路程为________千米． (2)当时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶300千米时油箱的剩油量． 【答案】(1)240；10 (2)，21升 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求关系式是解题的关键． （1）根据图象可得汽车已行驶的路程，根据50升时行程为0千米和26升时程为240千米可得汽车的耗油量． （2）利用待定系数法得到函数关系式，再把代入可剩余量． 【解析】（1）由图象可得，当油箱剩油量为26升时汽车已行驶的路程为240千米， ∵（千米/升）， ∴消耗一升油汽车能行驶的路程为10千米． （2）设，把和代入可得， ， 解得， ∴函数表达式为， 当时，． 答：y关于x的函数表达式为，当汽车已行驶300千米时油箱的剩油量是21升． 25．如图，正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数图像经过点，与轴的交点为，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式； (2)求点的坐标； (3)求的面积； (4)不解关于的方程组，直接写出方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）把点代入正比例函数求出的值，再代入一次函数即可求解； （2）由（1）可知一次函数图像的解析式，令，即可求解； （3）由一次函数解析式求出点的坐标，根据三角形的面积公式即可求解； （4）根据两直线的交点即为方程组的解，即可求解． 【解析】（1）解：∵正比例函数的图像与一次函数的图像交于点， ∴，解得：， ∴， 把和代入一次函数，得： ，解得， ， ∴ 一次函数解析式是． （2）解：由（1）知一次函数表达式是 ， 令，则， ∴点． （3）解：由（1）知一次函数解析式是， 令，，解得： ，       ∴点， ∴，   ∵， ∴的面积． （4）解：∵正比例函数的图像与一次函数的图像交于点， ∴方程组的解为． 【点睛】本题主要考查两直线的交点问题，掌握待定系数法求解析式，两直线与坐标轴围成图形的面积计算方法，两直线交点坐标与方程组的解的关系等知识是解题的关键． 26．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y(米)与时间x(分)的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： (1)　　，　　，　　； (2)若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离； (3)在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？ 【答案】(1)10，15，200 (2)小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米． (3)爸爸自第二次出发至到达图书馆前，在自第一次出发分钟和20分钟时与小军相距100米． 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）根据时间路程速度，即可求出值，结合休息的时间为5分钟，即可得出值，再根据速度路程时间，即可求出的值； （2）根据数量关系找出线段、所在直线的函数解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点的坐标，再用3000去减交点的纵坐标，即可得出结论； （3）根据（2）结论结合二者之间相距100米，即可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出的值，即可得出结论； 准确分析图中的数量关系，利用数形结合解决问题是解题的关键． 【解析】（1）解：(分钟)， (分钟)， (米分)． 故答案为：10；15；200． （2）线段所在直线的函数解析式为； 线段所在的直线的函数解析式为． 联立两函数解析式成方程组， ，解得：， (米． 答：小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米． （3）根据题意得：， 解得：，． 答：爸爸自第二次出发至到达图书馆前，在自第一次出发分钟和20分钟时与小军相距100米． 27．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于，B两点， 过点 B 作 轴于点 D， ，过点 A 作轴于点C． (1)求b的值及点B 的坐标； (2)观察图象，当反比例函数的值小于一次函数的值时，直接写出x的取值范围； (3)点 P 在线段 上，连接，，若 ，求点 P 的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合问题，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）根据已知条件把代入一次函数和反比例函数中，即可得出b和m 的值，再根据题意得出B点的横坐标代入反比例函数中即可得解； （2）根据反比例函数的值小于一次函数的值，得出反比例函数的图象应在一次函数的图象下方，观察图象即可得x的取值范围； （3）根据题意和（1）得出的长，设 ，求出和，再根据，得出关于t的方程，解出t的值，代入即可得出答案． 【解析】（1）解：一次函数 与反比例函数 的图象交于， 把代入一次函数和反比例函数中，得，， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为， 过点 B 作 轴于点 D， ， 点B的横坐标，代入中，得：， ； （2）解：反比例函数的值小于一次函数的值， 反比例函数的图象应在一次函数的图象下方， 观察图象可得x的取值范围为； （3）解：轴于点C，轴于点 D，，， ，， ， P是线段上的一点， 设， ， ， ， ， ， ， ， ． 28．如图：已知直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，是的角平分线，点E是线段上的一个动点（不与点O，A重合），过点E作，交线段于点Q，交线段于点F，设，． (1)分别求点A和点B的坐标； (2)求y与x的函数关系式，并写出定义域； (3)连接，如果垂直平分，那么直线上是否存在点P，使得的面积等于的面积的2倍？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，求一次函数解析式，勾股定理，角平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用一次函数与x轴、y轴的交点坐标即可求解； （2）根据勾股定理求出的长，解得，再进一步求出，即可求解； （3）连接，先证明四边形为菱形，再通过勾股定理即可求解． 【解析】（1）解：∵直线与轴轴交于，与轴交于， ∴令，则， ∴ 令，则， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴， ， ∴， 在上运动与重合时，与重合则， ∵与不重合， ∴． （3）解：连接，如图： ∶垂直平分， ∴，， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∵，则， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 且在上 ∴当与重合时， 如图： 当在A上方与重合时， ，， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 综上，为或． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 一次函数 单元综合检测（重点） 一、单选题 1．下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D．（k、b是常数） 2．直线的截距是（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．下列图象中，可以表示一次函数与正比例函数（k，b为常数，且）的图象的是（    ） A．B．C．D． 6．如图，已知直线MN：y＝kx+2交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，∠BAO＝30°，点C是x轴上的一点，且OC＝2，则∠MBC的度数为（　　） A．75° B．165° C．75°或45° D．75°或165° 二、填空题 7．当 时，函数是一次函数． 8．如果直线经过点，那么 ． 9．把直线沿轴向上平移5个单位，则得到的直线的表达式为 ． 10．如果函数经过第二、四象限，那么的取值范围是 ． 11．已知等腰三角形的周长是，那么腰长与底边长的函数解析式及定义域是 ． 12．一次函数的图像与两坐标轴所围三角形面积为8，则 ． 13．已知一次函数的图像经过点，且与直线平行，这个函数解析式为 ． 14．如图，直线过点，那么关于x的不等式的解集是 ． 15．已知直线在y轴上的截距为2，那么该直线与x轴的交点坐标为 ． 16．某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为 万元． 17．一次函数，随的增大而增大，且，则直线不经过第 象限． 18．定义：在平面直角坐标系中，距离为1的两条直线叫做“互为伴随线”．如果直线与直线互为伴随线，那么直线的函数解析式为 ． 三、解答题 19．已知函数 (1)若函数图象经过原点，求m的值． (2)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围． (3)若函数图象经过第一，三，四象限，求m的取值范围． 20．已知y是关于x的一次函数，下列表列出了部分对应值： x … 0 1 a … y … m 3 5 … 求此一次函数的表达式及a，m的值． 21．在直角坐标中，直线与平行，且经过点，将直线向上平移3个单位，得到直线 (1)求这两条直线的解析式； (2)如果直线与x轴、y轴分别交于点A，B，求的面积． 22．如图，直线与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点，其中点坐标是，且． (1)求的距离； (2)求直线的解析式． 23．已知一次函数（k为常数且）的图象经过点． (1)求此函数的表达式． (2)当时，记函数的最大值为M，最小值为N，求的值． 24．如图是某辆汽车加满油后，油箱剩油量y（升）关于已行驶路程x（千米）的函数图像（由两条线段构成）． (1)根据图像，当油箱剩油量为26升时，汽车已行驶的路程为________千米；当时，消耗一升油汽车能行驶的路程为________千米． (2)当时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶300千米时油箱的剩油量． 25．如图，正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数图像经过点，与轴的交点为，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式； (2)求点的坐标； (3)求的面积； (4)不解关于的方程组，直接写出方程组的解． 26．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y(米)与时间x(分)的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： (1)　　，　　，　　； (2)若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离； (3)在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？ 27．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于，B两点， 过点 B 作 轴于点 D， ，过点 A 作轴于点C． (1)求b的值及点B 的坐标； (2)观察图象，当反比例函数的值小于一次函数的值时，直接写出x的取值范围； (3)点 P 在线段 上，连接，，若 ，求点 P 的坐标． 28．如图：已知直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，是的角平分线，点E是线段上的一个动点（不与点O，A重合），过点E作，交线段于点Q，交线段于点F，设，． (1)分别求点A和点B的坐标； (2)求y与x的函数关系式，并写出定义域； (3)连接，如果垂直平分，那么直线上是否存在点P，使得的面积等于的面积的2倍？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$