第04讲 一次函数的应用(三类知识点+九大题型+强化训练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪教版）

第04讲 一次函数的应用（九大题型） 学习目标 1、 根据实际问题求一次函数解析式； 2、 会结合一次函数图像与实际问题解决问题； 3、 掌握函数图像的综合实际应用； 一、一次函数的应用 例题 某市为鼓励市民节约用水和加强对节水的管理，制定了以下每月每户用水的收费标准： (1)用水量不超过8立方米时，每立方米收费0.8元，并加收每立方米0.2元的污水处理费； (2)用水量超过8立方米时，在(1)的基础上，超过8立方米的部分，每立方米收费1.6元，并加收每立方米0.4元的污水处理费. 设某户一个月的用水量为x立方米，应交水费y元.试分别对(1)、(2)两种情况，写出y关于x的函数解析式，并指出函数的定义域! 分析 根据收费标准，在(1)的情况下，0≤x≤8,这时每立方米应收费0.8+0.2=1(元),故y=(0.8+0.2)·x=x. 在(2)的情况下，x>8,这时，有8立方米的用水按(1)应收费8元；超过8立方米的部分每立方米水收费1.6+0.4=2(元),应收费2(x-8)(元),故y=8+2(x-8)=2x-8. 解 (1)y关于x的函数解析式是y=x,函数的定义域为0≤x≤8. (2)y关于x的函数解析式是y=2x-8,函数的定义域为x>8. 函数y=x(0≤r≤8)和函数y=2x-8(x>8),它们的定义域是部分实数，图像分别如图(1)、(2)所示. 函数y=x(0≤x≤8)的图像是一条线段；函数y=2x-8(x>8)的图像是一条射线(除端点外). 二、正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 要点：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 三、选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 【即学即练1】已知某汽车油箱中的剩余油量y（升）与该汽车行驶里程数x（千米）是一次函数关系，当汽车加满油后，行驶200千米，油箱中还剩油126升，行驶250千米，油箱中还剩油120升，那么当油箱中还剩油90升时，该汽车已行驶了 千米 【即学即练2】小李在一网上购物平台购物，恰逢周年庆，平台推出优惠活动，如图广告所示： (1)请写出小李的实付金额y（元）关方购物的商品总价x（元）的函数解析式及其定义域； (2)小李和好朋友小方拼单购物，小李和小方所购商品的总价分别为60元和40元，那么小李和小方应如何分配实付金额？请写出你的理由． 题型1：根据实际问题写出一次函数的解析式 【典例1】．一根蜡烛长30厘米，点燃后匀速燃烧，经过50分钟其长度恰为原长的一半．在燃烧的过程中，如果设蜡烛的长为（厘米），燃烧的时间为（分钟），那么关于的函数解析式为 （不写定义域）． 【典例2】．已知弹簧在一定限度内，它的长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克）是一次函数关系．如果经过测量，不挂重物时弹簧长度是7（厘米），挂上2.5千克重物时弹簧长度是8（厘米），那么弹簧长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克）的函数解析式是 ．（不需要写出定义域） 【典例3】．我们知道，海拔高度每上升千米，温度下降．某时刻，上海地面温度为，设高出地面千米处的温度为． (1)写出与之间的函数关系式，并写出函数定义域； (2)有一架飞机飞过浦东上空，如果机舱内仪表显示飞机外面的温度为，求此刻飞机离地面的高度为多少千米？ 题型2：单一 一次函数的图像有关的实际问题 【典例4】．已知甲乙两地相距500千米，一辆汽车加满60升油后由甲地开往乙地，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．当油箱中的剩余油量为20升时，汽车距离乙地 千米． 【典例5】．已知汽车装满油之后，油箱里的剩余油量y（升）与汽车行驶路程x（千米）之间的函数图象如图所示．为了行驶安全，油箱中的油量不能少于（升），那么这辆汽车装满油后至多行驶 （千米）后需要再次加油．    【典例6】．某地长途汽车客运公司规定：旅客可免费随身携带一定重量的行李，如果行李超过规定重量，则需要购买行李票．行李票费用y（元）是行李重量x（千克）的一次函数，其图像如图所示，那么旅客最多可免费携带行李 千克． 题型3：复合型一次函数的图像有关的实际问题 【典例7】．如果购买某一种水果所付金额y（元）与购买数量x（千克）之间的函数图象由线段与射线组成（如图所示），那么购买3千克这种水果需要付 元． 【典例8】．某公司产品的销售收入元与销售量x吨的函数关系记为，销售成本与销售量x的函数关系记为，两个函数的图像如图所示．当销售收入与销售成本相等时，销售量x为 吨． 【典例9】．小明和小亮的家分别位于新华书店东、西两边，他们相约同时从家出发到新华书店购书，小明骑车、小亮步行，小明、小亮离新华书店的距离（米）、（米）与时间（分钟）之间的关系如图所示，在途中，当小明、小亮离书店的距离相同时，那么他们所用的时间是 分钟． 【典例10】．如图，折线表示从甲地向乙地打电话所需的电话费（元）关于通话时间（分钟）的函数图象，则通话7分钟需要支付电话费 元． 题型4：文字语言、图表有关的一次函数实际问题 【典例11】．已知某汽车油箱中的剩余油量(升)与汽车行驶里程数(千米)是一次函数关系．油箱中原有油100升，行驶60千米后的剩余油量为70升，那么行驶(千米)后油箱中的剩余油量= （升）． 【典例12】．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，在销售过程中发现，该纪念册每周的销量（本）与每本的售价（元）之间满足一次函数关系：．已知某一周该纪念册的售价为每本30元，那么这一周的盈利是 元． 【典例13】．某公司生产一种营养品，每日购进所需食材500千克，制成A，B两种包装的营养品，并恰好全部用完．信息如下表： 规格 每包食材含量 每包售价 A包装 1千克 45元 B包装 0.25千克 12元 已知生产的营养品当日全部售出．若A包装的数量不少于B包装的数量，则A为 包时，每日所获总售价最大，最大总售价为 元． 题型5：行程问题 【典例14】．甲、乙两车从城出发匀速行驶至城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系式如图所示．    有下列结论：①两城相距；②乙车比甲车晚出发，却早到；③乙车出发后追上甲；④当甲、乙两车相距时，甲车行驶了．其中正确的结论有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【典例15】．甲乙二人登山，均从距离地面0米处出发，甲乙二人距离地面的高度y（米）关于甲出发时间x（分钟）的函数图像如图所示，已知甲在出发2分钟后将速度提升为原来的3倍并一路登顶，乙始终保持匀速前进．根据图像判断，以下说法正确的有几个？（    ）    （1）山的高度为340米 （2）甲乙二人不同时出发 （3）甲登顶的时间为自己出发后7分钟 （4）乙出发分钟后登顶 （5）甲出发5分钟后追上乙 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【典例16】．甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶．甲车与乙车相遇后休息半小时，再按照原速度继续行驶到达B地，乙车从B地出发直接到达A地，两车到达各自的目的地后即停止．甲、乙两车离B地的距离与行驶时间的关系如图所示.下列说法正确的有（    ） ①乙车的平均速度为； ②相遇前甲车离B地的距离与行驶时间的函数关系式为； ③两车出发小时后相遇； ④甲车到达B地时，乙车距离A地． A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①③ 【典例17】．A，B两地相距12千米，甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地，如图的折线OPQ和线段EF分别表示甲乙两人与A地的距离、与他们所行时间x(h)之间的函数关系，且OP与EF交于点M，下列说法：①=-2x+12；②线段OP对应的与x的函数关系式为=18x；③两人相遇地点与A地的距离是9km；④经过小时或小时时，甲乙两个相距3km．其中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型6：最大利润问题 【典例18】．某苹果种植合作社通过网络销售苹果，图中线段为苹果日销售量（千克）与苹果售价（元）的函数图像的一部分．已知1千克苹果的成本价为5元，如果某天以8元/千克的价格销售苹果，那么这天销售苹果的盈利是 元． 【典例19】．马家沟芹菜是青岛的名优农产品，某公司零售一箱该产品的利润是10元，批发一箱该产品的利润是6元．经营性质规定，该公司零售的数量不能多于300箱．现该公司出售800箱这种产品，最大利润是 元． 【典例20】．某公司新产品上市天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图②表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是 元；已知当时，单件产品的销售利润w与t之间的函数关系式为，则第天的日销售利润为 元．    【典例21】．某店家进一批应季时装共400件，要在六周内卖完，每件时装成本500元．前两周每件按1000元标价出售，每周只卖出20件．为了将时装尽快销售完，店家进行了一次调查并得出每周时装销售数量与时装价格折扣的关系如下： 价格折扣 原价 9折 8折 7折 6折 5折 每周销售数量（单位：件） 20 25 40 90 100 150 为盈利最大，店家选择将时装打 折销售，后四周最多盈利 元． 【典例22】．如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系．已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润．下列结论错误的是（    ） A．第24天的销售量为200件 B．第10天销售一件产品的利润是15元 C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等 D．第30天的日销售利润是750元 题型7：方案选择问题 【典例23】．小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示： 甲种货车 乙种货车 载货量（吨/辆） 25 20 租金（元/辆） 2000 1800 请问：李老板最少要花掉租金（    ）． A．15000元 B．16000元 C．18000元 D．20000元 【典例24】．某省疾控中心将一批10万剂疫苗运往A，B两城市，根据预算，运往A城的费用为800元/万剂，运往B城的费用为600元/万剂．结合A城的疫苗预约情况，A城的需求量不低于4万剂，设运输这批10万剂疫苗的总费用为y（元），运往A城x（万剂）． (1)求y与x的函数关系式； (2)在满足A城市最低需求量的情况下，求运输费用最少的方案，最少费用是多少？ 【典例25】．某学生用品商店，计划购进A、B两种背包共80件进行销售，购货资金不少于2090元，但不超过2096元，两种背包的成本和售价如下表： 种 类 成本（元/件） 售价（元/件） A 25 30 B 28 35 假设所购两种背包可全部售出，请回答下列问题： (1)该商店对这两种背包有哪几种进货方案？ (2)该商店如何进货获得利润最大？ (3)根据市场调查，每件B种背包的市价不会改变，每件A种背包的售价将会提高a 元（a>0），该商店又将如何进货获得的利润最大？ 【典例26】．某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 (1)求y与x的函数解析式（不需要写定义域）； (2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 题型8：其他问题 【典例27】．一水池蓄水，打开阀门后每小时流出，放水后池内剩余的水量Q与放水时间t（时）的函数关系用图象表示为（    ） A．B． C．D． 【典例28】．如图，这是某蓄水池的横断面示意图，若以固定的水流量把这个空水池注满．则能大致表示水池内水的深度h和进水时间t之间的关系的图象是（） A． B． C． D． 【典例29】．上海市居民用户燃气收费标准如表： 年用气量（立方米） 每立方米价格（元） 第一档0﹣﹣﹣310 3.00 第二档310（含）﹣﹣﹣520（含） 3.30 第三档520以上 4.20 某居民用户用气量在第一档，那么该用户每年燃气费y（元）与年用气量x（立方米）的函数关系式是 ． 【典例30】．小明用的练习本可在甲、乙两个商店内买到，已知两个商店的标价都是每个练习本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的卖． (1)小明要买20个练习本，到哪个商店购买较省钱？ (2)写出甲、乙两个商店中，收款（元）关于购买本数（本）的关系式． (3)小明现有24元钱，最多可买多少个本子？ 题型9：函数图像综合题 【典例31】．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，到达目的地后各自停留检修；设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的关系． (1)甲、乙两地之间的距离是______千米； (2)慢车的速度是______千米/小时； (3)快车的速度是______千米/小时． 【典例32】．甲、乙两地分别对本地各40万人接种流感疫苗．甲地在前期完成5万人员接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种甲地经过a天接种后，由于情况变化，接种速度放缓．图中的折线和线段分别反映了甲、乙两地的接种人数y（万人）与接种时间x（天）之间的函数关系根据图像所提供的信息回答下列问题：      (1)乙地比甲地提前了___________天完成疫苗接种工作． (2)试写出乙地接种人数y（万人）与接种时间x（天）之间的函数解析式（并写出定义域）__________________． (3)当甲地放缓接种速度后，每天可接种多少万人？ 【典例33】．某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．    (1)求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值， (2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间． 【典例34】．已知小明所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍，图书馆离宿舍．周末，小明从宿舍出发，匀速走了到食堂；在食堂停留吃早餐后，匀速走了到图书馆；在图书馆停留借书后，匀速走了返回宿舍．下面图中表示时间，表示离宿舍的距离，图象反映了这个过程中小明离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 小明离开宿舍的时间 1 10 30 50 小明离宿舍的距离 0.6 ②填空：小明从图书馆返回宿舍的速度为______； ③当时，请直接写出小明离宿舍的距离关于时间的函数解析式． (2)当小明在图书馆停留时，同宿舍的小亮也从宿舍出发匀速步行直接到图书馆，如果小亮的速度为，那么他在去图书馆的途中遇到小明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 【典例35】．金师傅购买了一辆某型号的新能源车，其电池电量为60千瓦时．目前有两种充电方案供选择（如表），经测算金师傅发现电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）有如图关系． 方案 安装费用 每千瓦时所需费用 方案一：私家安装充电桩 2700元 0.6元 方案二：公共充电桩充电 0 1.8元（含服务费） (1)已知新能源车充电时一般损耗率为1.2，电池剩余电量为零时，使用家用充电桩一次性充满电需要费用为（元），则电池剩余电量为0时到公共充电桩一次性充满需要多少费用？ (2)当已行驶里程大于300千米时，求出电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）的函数表达式，当电池剩余电量为10%时，会提示充电，此时理论上还能继续行驶多少千米？ (3)金师傅都是在电池剩余电量不低于30千瓦时就开始充电，请问累计行驶里程为多少千米时，选择私家安装充电桩充电（含安装费用）更合算？ 一、单选题 1．从北京到天津的高速公路长120，一辆汽车在高速公路上以80的速度从北京出发，开出xh时距离天津y，则y（）与x（h）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 2．五一假期小明一家自驾去距家360km的某地游玩，全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公路．若小汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，行驶的路程y（单位：km）与时间x（单位：h）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．小汽车在乡村公路上的行驶速度为60km/h B．小汽车在高速公路上的行驶速度为120km/h C．乡村公路总长为90km D．小明家在出发后5.5h到达目的地 3．某市出租车计费办法如图所示．根据图象信息，下列说法错误的是（　　） A．出租车起步价是10元 B．在3千米内只收起步价 C．超过3千米部分（x＞3）每千米收3元 D．超过3千米时（x＞3）所需费用y与x之间的函数关系式是y=2x+4 4．一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港，行驶过程随时间变化的图象如图所示，下列结论错误的是（　　） A．轮船的速度为20千米/小时 B．快艇的速度为千米/小时 C．轮船比快艇先出发2小时 D．快艇比轮船早到2小时 5．如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象．下列说法错误的是（    ）        A．该汽车的蓄电池充满电时，电量是60千瓦时 B．蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米 C．当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时 D．25千瓦时的电量，汽车能行驶150km 6．为了缅怀先烈．继承遗志，某中学初二年级同学于4月初进行“清明雁栖湖，忆先烈功垂不朽”的定向越野活动．每个小组需要在点A出发，跑步到点B打卡（每小组打卡时间为1分钟），然后跑步到C点，……，最后到达终点（假设点A，点B，点C在一条直线上，且在行进过程中，每个小组跑步速度是不变的），“函数组”最先出发．过了一段时间后，“方程组”开始出发，两个小组恰好同时到达点C．若“方程组”出发的时间为x（单位：分钟），在点A与点C之间的行进过程中，“函数组”和“方程组”之间的距离为y（单位：米），它们的函数图像如图所示，则下面判断不正确的有（    ）个． （1）当时，“函数组”恰好到达B点； （2）“函数组”的速度为150米/分钟，“方程组”的速度为200米/分钟； （3）两个小组从A点出发的时间间隔为1分钟； （4）图中M点表示“方程组”在B点打卡结束，开始向C点出发； （5）出发点A到打卡点B的距离是600米，打卡点B到点C的距离是800米； A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 7．在槐荫区“勾股数学”杯初中校际联赛中，小明的队伍在第一轮中获得积分50分，第二轮共10道题，每答对一道题得10分，则两轮总积分y（分）与第二轮答对题目数量x（道）之间的关系式为 （，x为正整数）． 8．李老师开车从甲地到相距240千米的乙地,如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）之间是一次函数关系,其图象如图所示,那么到达乙地时油箱剩余油量是 升. 9．已知某汽车油箱中的剩余油量(升)是该汽车行驶时间(小时)的一次函数，其关系如下表: （小时） … （升） … 由此可知，汽车行驶了 小时， 油箱中的剩余油量为升. 10．某市新能源出租车的收费标准如下：3千米以内（包括3千米）收费12元，超过3千米后，每超1千米就加收元．若某人乘出租车行驶的距离为x（）千米，则需付费用y与行驶距离x之间的函数关系式是 ． 11．某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本为5元/千克，现以8元/千克卖出，赚 元． 12．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x（kg）与运费y（元）满足如图所示的函数图象，那么每位乘客最多可免费携带 kg的行李． 13．小明从家步行到学校，图中的折线反映了小明从家步行到学校所走的路程（米）与时间（分钟）的函数关系，根据图像提供的信息，线段表示的函数解析式是 ． 14．小明骑车回家过程中，骑行的路程s与时间t的关系如图所示．则经15分钟后小明离家的路程为 ． 15．如图所示，、表示某工厂甲、乙两车间产品的总量与生产时间x（天）之间的函数图像，第30天结束时，甲、乙两车间产品总量为 （t）． 16．某医药研究所研发了一种新药，经临床实验发现，成人按规定剂量服用，每毫升血液中含药量（微克）随时间（小时）而变化的情况如图所示．研究表明，当血液中含药量（微克）时，对治疗疾病有效，则有效时间是 小时． 17．某商场为了抓住夏季来临，衬衫热销的契机，决定用46000元购进A、B、C三种品牌的衬衫共300件，并且购进的每一种衬衫的数量都不少于90件．三种品牌的衬衫的进价和售价如下表所示： 型号 A B C 进价（元/件） 100 200 150 售价（元/件） 200 350 300 如果该商场能够将购进的衬衫全部售出，但在销售这些衬衫的过程中还需要另外支出各种费用共计1000元，那么商场能够获得的最大利润是 元． 18．已知A，C两地之间有一站点B，甲从A地匀速跑步去C地，2分钟后乙以50米/分钟的速度从站点B走向C地，两人到达C地后均原地休息．甲、乙两人与站点B的距离y(米)与甲所用的时间x(分钟)之间的关系如图所示． （1）站点B到C地的距离为 米； （2）当x= 时，甲、乙两人相遇． 三、解答题 19．如图，反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始赢利．该产品的销售量达到多少吨时，生产该产品才能赢利？ 20．一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地．若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时间为t（小时），航行的路程为s（千米），s与t的函数图像如图所示． (1)甲乙两地相距 　 　千米； (2)轮船顺水航行时航行的路程s关于所用时间t的函数关系式为 　 　，定义域是 　 　； (3)如果轮船从乙地逆水航行返回到甲地时的速度为20千米/小时，那么点M的坐标是 　 　． 21．某县在实施“村村通”工程中，决定在、两村之间修筑一条公路，甲、乙两个工程队分别从、两村同时相向开始修筑，施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通．下图是甲、乙两个工程队修道路的长度（米与修筑时间（天之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解答下列问题： (1)写出乙工程队修道路的长度与修筑时间之间的函数关系式： ； (2)甲工程队前4天平均每天修路 米，后12天平均每天修路 米； (3)该公路的总长度为 米． 22．某公司的物流业务原来由A运输队承接，已知其收费标准y（元）与运输所跑路程x（公里）之间是某种函数关系．其中部分数据如表所示： x（公里） 80 120 180 200 … y（元） 200 300 450 500 … (1)写出y（元）关于x（公里）的函数解析式　 　；（不需写出定义域） (2)由于行业竞争激烈，现B运输队表示：若公司每次支付200元的汽车租赁费，则可按每公里0.9元收费．请写出B运输队每次收费y（元）关于所跑路程x（公里）的函数解析式　 　；（不需写出定义域） (3)如果该公司有一笔路程500公里的运输业务，请通过计算说明应该选择哪家运输队？ 23．一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系．当汽车加满油后，行驶120千米时，油箱中还剩油40升；行驶180千米时，油箱中还剩油35升． （1）求出y与x之间的函数解析式，并写出定义域； （2）已知当油箱中的剩余油量为10升时，该车仪表盘会亮灯提示加油．在距离出发点500千米处有一加油站，该车在加满油后，请判断司机能否在亮灯提示前行驶至此加油站，并说明理由． 24．如图，、两地相距30千米，甲骑自行车在中午12点从地出发前往地，乙在甲出发1小时后骑电瓶车从地前往地．图中的线段和线段分别反映了甲和乙所行驶的路程（千米）与行驶时间（小时）的函数关系，请根据图像所提供的信息回答问题（其中点、、、均位于格点）． (1)乙行驶________小时后与甲相遇，两人的相遇地点距离地________千米； (2)写出甲所行驶的路程（千米）与行驶时间（小时）的函数关系式________； (3)乙的行驶速度比甲快________千米/时； (4)当甲乙两人相距5千米，此刻的时间是下午________（写出所有可能的时间点）． 25．元旦期间，某移动公司就手机流量套餐推出三种优惠方案，具体如下表所示： A方案 B方案 C方案 每月基本费用（元） 20 56 188 每月免费使用流量（GB） 10 m 无限 超出后每GB收费（元） n n A，B，C三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（GB）之间的函数关系如图所示（已知）．解答下列问题： (1)填空：表中的m＝ ，n＝ ； (2)在A方案中，若每月使用的流量不少于10GB，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（GB）之间的函数关系式； (3)在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少GB时，选择C方案最划算？ 26．某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆分钟） 25 22 19 16 13 (1)请用一次函数分别表示与、与之间的函数关系．（不写定义域） (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 一次函数的应用（九大题型） 学习目标 1、 根据实际问题求一次函数解析式； 2、 会结合一次函数图像与实际问题解决问题； 3、 掌握函数图像的综合实际应用； 一、一次函数的应用 例题 某市为鼓励市民节约用水和加强对节水的管理，制定了以下每月每户用水的收费标准： (1)用水量不超过8立方米时，每立方米收费0.8元，并加收每立方米0.2元的污水处理费； (2)用水量超过8立方米时，在(1)的基础上，超过8立方米的部分，每立方米收费1.6元，并加收每立方米0.4元的污水处理费. 设某户一个月的用水量为x立方米，应交水费y元.试分别对(1)、(2)两种情况，写出y关于x的函数解析式，并指出函数的定义域! 分析 根据收费标准，在(1)的情况下，0≤x≤8,这时每立方米应收费0.8+0.2=1(元),故y=(0.8+0.2)·x=x. 在(2)的情况下，x>8,这时，有8立方米的用水按(1)应收费8元；超过8立方米的部分每立方米水收费1.6+0.4=2(元),应收费2(x-8)(元),故y=8+2(x-8)=2x-8. 解 (1)y关于x的函数解析式是y=x,函数的定义域为0≤x≤8. (2)y关于x的函数解析式是y=2x-8,函数的定义域为x>8. 函数y=x(0≤r≤8)和函数y=2x-8(x>8),它们的定义域是部分实数，图像分别如图(1)、(2)所示. 函数y=x(0≤x≤8)的图像是一条线段；函数y=2x-8(x>8)的图像是一条射线(除端点外). 二、正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 要点：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 三、选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 【即学即练1】已知某汽车油箱中的剩余油量y（升）与该汽车行驶里程数x（千米）是一次函数关系，当汽车加满油后，行驶200千米，油箱中还剩油126升，行驶250千米，油箱中还剩油120升，那么当油箱中还剩油90升时，该汽车已行驶了 千米 【答案】500 【分析】根据当汽车加满油后，行驶200千米，油箱中还剩油126升，行驶250千米，油箱中还剩油120升，那么当油箱中还剩油90升时，根据题意列出式子进行计算即可． 【解析】（250-200）÷（126-120）×（120-90）+250=500， 故答案为：500. 【点睛】此题考查有理数的混合运算，解题关键在于根据题意列出式子. 【即学即练2】小李在一网上购物平台购物，恰逢周年庆，平台推出优惠活动，如图广告所示： (1)请写出小李的实付金额y（元）关方购物的商品总价x（元）的函数解析式及其定义域； (2)小李和好朋友小方拼单购物，小李和小方所购商品的总价分别为60元和40元，那么小李和小方应如何分配实付金额？请写出你的理由． 【答案】(1) (2)小李和小方分别应实付金额36元和24元． 【分析】本题主要考查一次函数的应用， （1）分情况：当商品总价折后小方56元时可以求得实付金额；当商品总价折后大方等方56元时可以求得实付金额； （2）判断小李和小方拼单购物商品总价，根据第一问的函数解析式算的拼单后实付金额，再按比例求得每人所付实际金额； 【解析】（1）解：根据题意得：商品总价打折之后为，且满56减10 ，根据情况分类得： 当，得，实付金额； 当，得，实付金额； 则． （2）小李和小方所购商品的总价分别为60元和40元，商品总价为100元． 因为商品总价大于80，代入：，则， 则小李应实付（元），小方应实付（元）． 题型1：根据实际问题写出一次函数的解析式 【典例1】．一根蜡烛长30厘米，点燃后匀速燃烧，经过50分钟其长度恰为原长的一半．在燃烧的过程中，如果设蜡烛的长为（厘米），燃烧的时间为（分钟），那么关于的函数解析式为 （不写定义域）． 【答案】 【分析】本题主要考查由实际问题列一次函数的解析式，解题的关键是理解题意．根据题意先求出蜡烛燃烧的速度为（厘米/分），即可直接进行求解． 【解析】解：由题意可得：蜡烛长30厘米，经过50分钟其长度恰为原长的一半， 经过50分钟蜡烛燃烧的长度为15厘米， 蜡烛燃烧的速度为（厘米/分）， 蜡烛的长为蜡烛燃烧前长度减去燃烧的长度， ， 故答案为：． 【典例2】．已知弹簧在一定限度内，它的长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克）是一次函数关系．如果经过测量，不挂重物时弹簧长度是7（厘米），挂上2.5千克重物时弹簧长度是8（厘米），那么弹簧长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克）的函数解析式是 ．（不需要写出定义域） 【答案】 【分析】设所求一次函数的关系式为，y为弹簧的总长度，x表示所挂重物的质量，即可列出关于k、b的二元一次方程组，解方程后即可得解． 【解析】根据题意可列方程组有：， 解得， 则所求一次函数的关系式为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要是考查一次函数的应用，根据题意列出方程组是解答本题的关键． 【典例3】．我们知道，海拔高度每上升千米，温度下降．某时刻，上海地面温度为，设高出地面千米处的温度为． (1)写出与之间的函数关系式，并写出函数定义域； (2)有一架飞机飞过浦东上空，如果机舱内仪表显示飞机外面的温度为，求此刻飞机离地面的高度为多少千米？ 【答案】(1) (2)千米 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式． （1）根据海拔高度每上升千米，温度下降，可以写出与之间的函数关系式，并写出函数的取值范围； （2）将代入（1）中的函数解析式，计算出的值即可． 【解析】（1）解：由题意得， ∴与之间的函数关系式是； （2）将代入，得：， 解得． 答：此刻飞机离地面的高度为千米． 【典例4】．已知甲乙两地相距500千米，一辆汽车加满60升油后由甲地开往乙地，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．当油箱中的剩余油量为20升时，汽车距离乙地 千米． 【答案】100 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键． 先根据待定系数法求出函数解析式，再求出当时的值，最后求出剩余路程． 【解析】解：设函数解析式为：， 则：， 解得：， ， 当时，， 解得：， （千米）， 故答案为：100． 【典例5】．已知汽车装满油之后，油箱里的剩余油量y（升）与汽车行驶路程x（千米）之间的函数图象如图所示．为了行驶安全，油箱中的油量不能少于（升），那么这辆汽车装满油后至多行驶 （千米）后需要再次加油．    【答案】 【分析】根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为升时行驶的路程，此题得解． 【解析】解：设该一次函数解析式为，将，，，代入得 ， 解得， 该一次函数解析式为． 当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 【典例6】．某地长途汽车客运公司规定：旅客可免费随身携带一定重量的行李，如果行李超过规定重量，则需要购买行李票．行李票费用y（元）是行李重量x（千克）的一次函数，其图像如图所示，那么旅客最多可免费携带行李 千克． 【答案】30 【分析】根据待定系数法求函数关系式，旅客可免费携带行李，即，代入所求得的函数关系式，即可知质量为多少． 【解析】解：设一次函数关系式为， ∵当时，，当时，， ∴，解得， ∴所求函数关系式为； 当时，， 所以， 故旅客最多可免费携带30千克行李． 故选：30． 【点睛】本题考查函数的图象和用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，具备在直角坐标系中的读图能力．注意自变量的取值范围不能遗漏． 题型3：复合型一次函数的图像有关的实际问题 【典例7】．如果购买某一种水果所付金额y（元）与购买数量x（千克）之间的函数图象由线段与射线组成（如图所示），那么购买3千克这种水果需要付 元． 【答案】56 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，先求出的函数解析式为，再求出时的函数值，即可解答． 【解析】解：设的函数解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴的函数解析式为， 当时，， ∴购买3千克这种水果需要付56元， 故答案为：56． 【典例8】．某公司产品的销售收入元与销售量x吨的函数关系记为，销售成本与销售量x的函数关系记为，两个函数的图像如图所示．当销售收入与销售成本相等时，销售量x为 吨． 【答案】4 【分析】分别求出，的函数关系式，然后联立两关系式即可求出答案． 【解析】解：设， ∴，， ∴， ∴， 联立，解得， ∴当销售收入与销售成本相等时，销售量x为4吨， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． 【典例9】．小明和小亮的家分别位于新华书店东、西两边，他们相约同时从家出发到新华书店购书，小明骑车、小亮步行，小明、小亮离新华书店的距离（米）、（米）与时间（分钟）之间的关系如图所示，在途中，当小明、小亮离书店的距离相同时，那么他们所用的时间是 分钟． 【答案】5 【分析】分别求出函数的函数解析式，然后求出它们的交点坐标即可得到答案． 【解析】解：设函数， ∴， ∴， ∴， 联立， 解得， ∴经过5分钟，他们途中到书店的距离相等， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． 【典例10】．如图，折线表示从甲地向乙地打电话所需的电话费（元）关于通话时间（分钟）的函数图象，则通话7分钟需要支付电话费 元． 【答案】6.4 【分析】用待定系数法求出直线BC的函数表达式，再求出当t=7时的函数值即可． 【解析】解：由图可知B（3，2.4），C（5，4.4）， 设直线BC的函数表达式为：y=kt+b， 将点B和点A的坐标代入得： ，解得， ∴直线BC的函数表达式为：， 当t=7时，y=7-0.6=6.4． 故答案为：6.4． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的图象和性质，根据函数图象求解一次函数是表达式是解题的关键． 题型4：文字语言、图表有关的一次函数实际问题 【典例11】．已知某汽车油箱中的剩余油量(升)与汽车行驶里程数(千米)是一次函数关系．油箱中原有油100升，行驶60千米后的剩余油量为70升，那么行驶(千米)后油箱中的剩余油量= （升）． 【答案】 【分析】根据汽车油箱原有油、行驶距离及剩余油量，可计算出每千米耗油量，用油箱原有减去行驶千米耗油量，即可得到剩余油量． 【解析】∵原有油100升，行驶60千米后的剩余油量为70升 ∴每千米耗油量：（升/千米） ∴行驶(千米)后油箱中的剩余油量为：（升） 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的知识点，解题的关键是一次函数与实际问题的联系． 【典例12】．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，在销售过程中发现，该纪念册每周的销量（本）与每本的售价（元）之间满足一次函数关系：．已知某一周该纪念册的售价为每本30元，那么这一周的盈利是 元． 【答案】200 【分析】将代入中得到每周的销量，再乘以单件利润即可得到答案； 【解析】解：将代入中得， （件）， ∴当纪念册的售价为每本30元，这一周的盈利是：（元）； 故答案为：200． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，正确计算是解本题的关键． 【典例13】．某公司生产一种营养品，每日购进所需食材500千克，制成A，B两种包装的营养品，并恰好全部用完．信息如下表： 规格 每包食材含量 每包售价 A包装 1千克 45元 B包装 0.25千克 12元 已知生产的营养品当日全部售出．若A包装的数量不少于B包装的数量，则A为 包时，每日所获总售价最大，最大总售价为 元． 【答案】 400 22800 【分析】设A包装的数量为x包，B包装数量为y包，总售价为W元，根据题意列出y与x的关系和W与x的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【解析】解：设A包装的数量为x包，B包装数量为y包，总售价为W元， 根据题意，得：， ∴y=-4x+2000， 由x≥-4x+2000得：x≥400， ∴W=45x+12y=45x+12（-4x+2000）=-3x+24000， ∵-3＜0， ∴W随x的增大而减小， ∴当x=400时，W最大，最大为-3×400+24000=22800（元）， 故答案为：400，22800． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用、一元一次不等式的实际应用，解答的关键是根据题意，正确列出一次函数关系式，会利用一次函数性质解决问题． 题型5：行程问题 【典例14】．甲、乙两车从城出发匀速行驶至城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系式如图所示．    有下列结论：①两城相距；②乙车比甲车晚出发，却早到；③乙车出发后追上甲；④当甲、乙两车相距时，甲车行驶了．其中正确的结论有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据题意用待定系数法分别求出甲、乙的函数关系，图形结合分析即可求解． 【解析】解：根据题意可知，设甲车行驶的时间与离开城的距离的函数关系为， ∴当时，，则， ∴甲的函数关系式为， 设乙车行驶的时间与离开城的距离的函数关系为， ∴当时，；当时，； ∴，解得，， ∴乙的函数关系式为， ∴结论①两城相距， 根据图示可得，结论①正确； 结论②乙车比甲车晚出发，却早到， 根据图示可得，结论②正确； 结论③乙车出发后追上甲， 令，则，解得，， ∴当时，甲乙相遇，乙行驶的时间为（）， ∴乙车出发后追上甲，故结论③错误； 结论④当甲、乙两车相距时，甲车行驶了， 令，则，解得，， ∵当时，甲乙相遇， 令相遇后，则，解得，， ∵当时，，此时乙还未出发；当时，乙已经到达地，甲离地的路程为，若甲、乙相距，则甲需要行驶到时，则， ∴当或或或时，甲、乙相距，故结论④错误； 综上所述，正确的有①②， 故选：． 【点睛】本题主要考查一次函数与行程的综合运用，掌握待定系数法求一次函数解析式，图形结合分析是解题的关键． 【典例15】．甲乙二人登山，均从距离地面0米处出发，甲乙二人距离地面的高度y（米）关于甲出发时间x（分钟）的函数图像如图所示，已知甲在出发2分钟后将速度提升为原来的3倍并一路登顶，乙始终保持匀速前进．根据图像判断，以下说法正确的有几个？（    ）    （1）山的高度为340米 （2）甲乙二人不同时出发 （3）甲登顶的时间为自己出发后7分钟 （4）乙出发分钟后登顶 （5）甲出发5分钟后追上乙 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】（1）由函数图象可直接判断； （2）由两函数图象与y轴的交点坐标作出判断； （3）由山的高度及甲的登山速度分析求解； （4）由函数图像分析乙的登山速度，从而求出其登山时间； （5）通过求函数解析式的交点坐标进行分析计算． 【解析】解：（1）由函数图象可得山的高度为340米，故此说法正确，符合题意； （2）由题意，甲乙二人登山，均从距离地面0米处出发，    由图象可得，， ∴甲出发时，乙已经距离地面米，即甲乙二人不同时出发，故此说法正确，符合题意； （3）由图象可得甲出发1分钟时，距离地面米， ∴甲在出发2分钟内的登山速度为米/分， 又∵已知甲在出发2分钟后将速度提升为原来的3倍并一路登顶， ∴甲在出发2分钟后的登山速度为米/分， （分钟）， （分钟）， ∴甲登顶的时间为自己出发后7分钟，故此说法正确，符合题意； （4）由图象可得乙的登山速度为米/分 ∴乙的登山时间为（分），即乙出发42.5分钟后登顶，故此说法正确，符合题意； （5）设直线的函数解析式为，把，代入， ，解得， ∴直线的函数解析式为， 设直线的函数解析式为，把，代入， ，解得， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组，解得 ∴甲出发5分钟后追上乙，故此说法正确，符合题意， 正确的有5个， 故选：A． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，关键是准确识图． 【典例16】．甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶．甲车与乙车相遇后休息半小时，再按照原速度继续行驶到达B地，乙车从B地出发直接到达A地，两车到达各自的目的地后即停止．甲、乙两车离B地的距离与行驶时间的关系如图所示.下列说法正确的有（    ） ①乙车的平均速度为； ②相遇前甲车离B地的距离与行驶时间的函数关系式为； ③两车出发小时后相遇； ④甲车到达B地时，乙车距离A地． A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①③ 【答案】A 【分析】根据函数图像可计算①的说法，设相遇前甲车离B地的距离与行驶时间的函数关系式为，先求出相遇时间，再结合图像求解即可求得函数解析式即可判断②③的说法，根据函数图象和函数解析式即可判断④的说法． 【解析】解：根据题意可得，乙车的速度为，故①正确； 设相遇前甲车离B地的距离与行驶时间的函数关系式为， ∵乙车的平均速度为， ∴两车相遇时的时间为：， 则可得， 解得， ∴相遇前甲车离B地的距离与行驶时间的函数关系式为， 故②③正确； 令得，， 解得， ∵甲车休息了半小时， ∴甲车到达B地时，经过的时间为：， ∴乙车行驶了， ∴乙车距离A地为，故④正确， 综上所述，正确的有①②③④， 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 【典例17】．A，B两地相距12千米，甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地，如图的折线OPQ和线段EF分别表示甲乙两人与A地的距离、与他们所行时间x(h)之间的函数关系，且OP与EF交于点M，下列说法：①=-2x+12；②线段OP对应的与x的函数关系式为=18x；③两人相遇地点与A地的距离是9km；④经过小时或小时时，甲乙两个相距3km．其中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①根据函数图像中的数据可以求得与x的函数关系式； ②根据函数图像中的数据可以求得线段OP对应的与x的函数关系式，进而可求得两人相遇时距离Ａ地的距离； ③根据①和②中的函数关系式，可求得两人相距3km时所用的时间． 【解析】解析：（1）设与x的函数关系式为：=ax+b， 把(0，12)和(2，0)代入得： 解得：，可得=-6x+12，故①错误； （2）设线段OP对应的与x的函数关系式为：， 把x=0.5代入y=-6x+12中得：y=9， ∴M(0.5，9)， ∴9=0.5k， 解得：k=18， ∴， ∴当x=0.5时，y=9，即两人相遇时距离Ａ地的距离为9，故②③正确； （3）令|18x-(-6x+12)|=3， 解得x=或，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 题型6：最大利润问题 【典例18】．某苹果种植合作社通过网络销售苹果，图中线段为苹果日销售量（千克）与苹果售价（元）的函数图像的一部分．已知1千克苹果的成本价为5元，如果某天以8元/千克的价格销售苹果，那么这天销售苹果的盈利是 元． 【答案】6600 【分析】根据图象求出线段AB的解析式，求出当x=8时的y值，再根据利润公式计算即可． 【解析】解：设线段AB的解析式为y=kx+b，点A、B的坐标代入，得 ，解得， ∴y=-600x+7000， 当x=8时，y=， ∴这天销售苹果的盈利是=6600（元）， 故答案为：6600． 【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，正确理解函数图象求出线段AB的解析式是解题的关键． 【典例19】．马家沟芹菜是青岛的名优农产品，某公司零售一箱该产品的利润是10元，批发一箱该产品的利润是6元．经营性质规定，该公司零售的数量不能多于300箱．现该公司出售800箱这种产品，最大利润是 元． 【答案】6000 【分析】设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品箱，该公司获得利润为y元，进而得到y关于m的函数关系式，利用一次函数的性质，即可求解． 【解析】解：设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品箱，依题意得：， 设该公司获得利润为y元，依题意得： ， 即， ∵，y随着m的增大而增大， ∴当时，y取最大值，此时（元）， 答：该公司要经营800箱这种农产品，最大利润是6000元． 故答案为：6000． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意列出函数表达式，熟练掌握函数性质根据自变量取值范围确定函数值是解决问题的关键． 【典例20】．某公司新产品上市天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图②表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是 元；已知当时，单件产品的销售利润w与t之间的函数关系式为，则第天的日销售利润为 元．    【答案】 【分析】设日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为，把代入得，解得，则，再求出的b值，然后把代入算得，根据日销售利润＝单件产品的利润×销售量进行计算即可． 【解析】解：由题图①知，当天数天时，市场日销售量达到最大件， 由题图②知，当天数天时，每件产品销售利润达到最大元， 所以当天数天时，市场的日销售利润最大，最大利润为元； 设日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为， 把代入得， 解得， ∴日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为， 将点代人， 解得， 所以当时，单件产品的销售利润w与t之间的函数关系式为， 当时，， 将时， ∴此时日销售利润为（元）． 故答案为：，． 【点睛】本题考查一次函数的应用，关键是读懂图中信息，利用函数的性质进行解答． 【典例21】．某店家进一批应季时装共400件，要在六周内卖完，每件时装成本500元．前两周每件按1000元标价出售，每周只卖出20件．为了将时装尽快销售完，店家进行了一次调查并得出每周时装销售数量与时装价格折扣的关系如下： 价格折扣 原价 9折 8折 7折 6折 5折 每周销售数量（单位：件） 20 25 40 90 100 150 为盈利最大，店家选择将时装打 折销售，后四周最多盈利 元． 【答案】 七 72000 【分析】根据题意，分析出折扣应该在8折以下，然后列出折扣与利润的一次函数表达式，利用一次函数的性质即可得出结论． 【解析】设后四周的利润为w，折扣为x， 由题意，前两周已售出40件， ∴剩余360件应在余下4周内售完， 由表格分析可知，折扣在8折及以下时，无法满足尽快售完的条件， ∴要满足条件应该选择8折以上的折扣， ∴， 其中，， ∵， ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w取最大值，此时， ∴当折扣为7折时，后四周利润最大，最大利润为72000元， 故答案为：7；72000． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用问题，准确建立一次函数解析式并分析出自变量的取值范围是解题关键． 【典例22】．如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系．已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润．下列结论错误的是（    ） A．第24天的销售量为200件 B．第10天销售一件产品的利润是15元 C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等 D．第30天的日销售利润是750元 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的应用，利用待定系数法求解一次函数的解析式，从函数图象中获取信息.由图①的信息可判断A；再求解一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系式，计算当时，，可判断B；再求解当时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系式：分别计算第12天与第30天的销售量与当天一件产品的销售利润，从而可判断C和D． 【解析】解：由图①中的信息可得：第24天的销售量为200件，故A不符合题意； 设当时，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为： ， ， 解得：， ， 当时，， 所以第10天销售一件产品的利润是15元，故B不符合题意； 当时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系为： ， ， 解得：， ， 当时，，， 所以第12天的日销售利润为：元， 第30天的日销售利润为：元，而，故C符合题意； 由第30天的日销售利润为：元，故D不符合题意， 故选：C． 题型7：方案选择问题 【典例23】．小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示： 甲种货车 乙种货车 载货量（吨/辆） 25 20 租金（元/辆） 2000 1800 请问：李老板最少要花掉租金（    ）． A．15000元 B．16000元 C．18000元 D．20000元 【答案】B 【分析】设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，用x将y表示出来，进行判断即可． 【解析】解：设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，根据题意得： ， ∵， ∴， ∴当时，y最小，最小值为： （元）， 即李老板最少要花掉租金16000元，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，列出一次函数的解析式是解题的关键． 【典例24】．某省疾控中心将一批10万剂疫苗运往A，B两城市，根据预算，运往A城的费用为800元/万剂，运往B城的费用为600元/万剂．结合A城的疫苗预约情况，A城的需求量不低于4万剂，设运输这批10万剂疫苗的总费用为y（元），运往A城x（万剂）． (1)求y与x的函数关系式； (2)在满足A城市最低需求量的情况下，求运输费用最少的方案，最少费用是多少？ 【答案】(1) (2)运往A城4万剂，运往B城6万剂，最低费用是6800元． 【分析】（1）根据题意总费用=运往A城费用运往B城费用列出函数关系式整理即可求解． （2）根据一次函数的性质和自变量的取值范围即可求出当时，y取最小值，费用为6800元，即可解答． 【解析】（1）解：设运往A城x万剂，运往B城万剂， 依据题意可得 答：运输这批10万剂疫苗的费用y与x的函数关系式为； （2）根据A城的疫苗预约情况，A城的需求量不低于4万剂，可得 因为，所以y随着x的增大而增大， 所以，当时，y取最小值，（元） 答：在满足A城市需求量的情况下，费用最低的调运方案是：运往A城4万剂，运往B城6万剂，最低费用是6800元． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用和一次函数的性质，根据题意列函数解析式是解题的关键． 【典例25】．某学生用品商店，计划购进A、B两种背包共80件进行销售，购货资金不少于2090元，但不超过2096元，两种背包的成本和售价如下表： 种 类 成本（元/件） 售价（元/件） A 25 30 B 28 35 假设所购两种背包可全部售出，请回答下列问题： (1)该商店对这两种背包有哪几种进货方案？ (2)该商店如何进货获得利润最大？ (3)根据市场调查，每件B种背包的市价不会改变，每件A种背包的售价将会提高a 元（a>0），该商店又将如何进货获得的利润最大？ 【答案】(1)有3种方案：A：48、B：32；A：49、B：31；A：50、B：30 (2)464元 (3)购A种背包48件， 购B种背包32件 【分析】（1）设购A种背包件，则B种背包件，根据题意即可得到答案； （2）根据题意，可得到，利润与购A种背包的一次函数，即可解答哪种利润最大； （3）根据题意，可得到，利润与购A种背包的一次函数，根据a的取值，分类讨论解答． 【解析】（1）解：设购A种背包件，则B种背包件， 则， 解得， ∴当购A种背包48件, 则B种背包32件， 当购A种背包49件, 则B种背包31件， 当购A种背包50件, 则B种背包30件， ∴有3种方案：A．48、B．32；A．49、B．31；A．50、B．30． （2）解：利润， ∵，则y随x增大而减小， ∴当购A种背包48件，B种背包32件时，（元）； （3）解：， 当时，则y随x增大而增大， ∴当购A种背包50件，B种背包30件时，利润最大； 当时，均可采用； 当时，则y随x增大而减小， 当购A种背包48件，B种背包32件时，利润最大． 【点睛】本题主要考查了一次函数在实际问题中的应用，弄清题意，先建立函数关系式，然后根据实际情况，分类讨论解答． 【典例26】．某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 (1)求y与x的函数解析式（不需要写定义域）； (2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 【答案】(1) (2)共有种租车方案 (3)租用甲种型号的客车辆，租用乙种型号的客辆，租车最省钱，租车的总费用是元 【分析】本题考查一元一次不等式组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆；根据题意列函数关系式即可； （2）根据租车总费用不超过元，师生共有人可得 ，又为整数,解不等式组即可得到租车方案； （3）结合（1）（2），利用一次函数性质租金最少的方案即可解题． 【解析】（1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆， ； （2）∵租车总费用不超过元，师生共有人, ， 解得 ， ∵为整数, ∴可取, ∴一共有种租车方案； （3）在中，随的增大而增大, 又可取, ∴当时，取最小值，最小值为(元), ∴租用甲种型号的客车辆，租用乙种型号的客辆，租车最省钱，租车的总费用是元． 题型8：其他问题 【典例27】．一水池蓄水，打开阀门后每小时流出，放水后池内剩余的水量Q与放水时间t（时）的函数关系用图象表示为（    ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】水池里的水，打开阀门后，会随着时间的延续，而随着减少．另外，池内剩下的水的立方数Q 与放水时间t（时）都应该是非负数． 【解析】选项A，图象显示，放水后池内剩下的水的立方数Q 随着放水时间t（时）的延续而增长，选项错误； 选项B，图象显示，打开阀门后池内剩下的水的立方数Q的量不变，选项错误； 选项C，图象显示，放水后池内剩下的水的立方数Q 随着放水时间t（时）的延续而减少，但是，池中原有的蓄水量超出了，选项错误； 选项D，图象显示，放水后池内剩下的水的立方数Q 随着放水时间t（时）的延续而减少，选项正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的应用，注意图象所反映的信息． 【典例28】．如图，这是某蓄水池的横断面示意图，若以固定的水流量把这个空水池注满．则能大致表示水池内水的深度h和进水时间t之间的关系的图象是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象与实际应用相结合，首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故与的关系变为先快后慢，能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型，再结合实际意义得到正确结论是解题的关键． 【解析】解：根据题意和图形的形状，可知水的深度与时间t之间的关系分为两段，先快后慢． 故选：B． 【典例29】．上海市居民用户燃气收费标准如表： 年用气量（立方米） 每立方米价格（元） 第一档0﹣﹣﹣310 3.00 第二档310（含）﹣﹣﹣520（含） 3.30 第三档520以上 4.20 某居民用户用气量在第一档，那么该用户每年燃气费y（元）与年用气量x（立方米）的函数关系式是 ． 【答案】y＝3x（0≤x＜310） 【分析】根据该居民用户用气量在第一档，利用“总价＝单价×数量．”即可求出该用户每年燃气费y（元）与年用气量x（立方米）的函数关系式． 【解析】解：根据题意得第一档燃气收费标准为3.00（元/立方米）， ∴该用户每年燃气费y（元）与年用气量x（立方米）的函数关系式是y＝3x（0≤x＜310）． 故答案为：y＝3x（0≤x＜310）． 【点睛】本题考查了根据实际问题的意义求函数关系式，明确等量关系“总价＝单价×数量”是解答本题的关键，要注意题目要求是在第一档，故要写上自变量的取值范围． 【典例30】．小明用的练习本可在甲、乙两个商店内买到，已知两个商店的标价都是每个练习本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的卖． (1)小明要买20个练习本，到哪个商店购买较省钱？ (2)写出甲、乙两个商店中，收款（元）关于购买本数（本）的关系式． (3)小明现有24元钱，最多可买多少个本子？ 【答案】(1)甲商店，理由见解析 (2)甲商店：；乙商店： (3)小明用24元最多可买28本 【分析】此题考查了一次函数的应用，函数关系式，解题时首先认真审题，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，然后解答即可． （1）根据题意，到甲购买10本以上，第11本按标价的卖，如果买20本，则付款，到乙买收款：即可得到答案； （2）当时，分别根据题意列出函数关系式，即可得到答案； （3）将分别代入（2）中函数关系式，进行求解即可． 【解析】（1）解：甲商店． 甲店收款为：（元， 乙店收款为：（元， ， 买20本时，到甲店购买省钱； （2）解：甲商店：时，，即； 乙商店：时，，即； （3）解：将代入得： ， 所以24元钱最多在甲商店可买28本， 将代入得： ， 所以24元钱最多在乙商店可买26本， 答：小明用24元最多可买28本． 题型9：函数图像综合题 【典例31】．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，到达目的地后各自停留检修；设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的关系． (1)甲、乙两地之间的距离是______千米； (2)慢车的速度是______千米/小时； (3)快车的速度是______千米/小时． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）根据函数图象即可求解； （）根据函数图象即可求解； （）根据函数图象列方程即可求解； 本题考查了一次函数与一元一次方程的实际应用，根据图象，得到相关信息是解题的关键． 【解析】（1）解：由图象可得，甲、乙两地之间的距离是千米， 故答案为：； （2）解：由图象可得，慢车从乙地驶往甲地用时小时， ∴慢车的速度是千米/小时， 故答案为：； （3）解：设快车的速度是千米/小时， 由题意得，， 解得， 故答案为：． 【典例32】．甲、乙两地分别对本地各40万人接种流感疫苗．甲地在前期完成5万人员接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种甲地经过a天接种后，由于情况变化，接种速度放缓．图中的折线和线段分别反映了甲、乙两地的接种人数y（万人）与接种时间x（天）之间的函数关系根据图像所提供的信息回答下列问题：      (1)乙地比甲地提前了___________天完成疫苗接种工作． (2)试写出乙地接种人数y（万人）与接种时间x（天）之间的函数解析式（并写出定义域）__________________． (3)当甲地放缓接种速度后，每天可接种多少万人？ 【答案】(1)20 (2) (3)0.25万人 【分析】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． （1）根据函数图象中的数据，可以计算出乙地比甲地提前了几天完成疫苗接种工作； （2）根据函数图象中的数据，可以计算出乙地接种人数（万人）与接种时间（天之间的函数解析式； （3）根据（2）中的函数解析式可以得到乙的接种速度，可以计算出的值，然后用计算即可得到当甲地放缓接种速度后，每天可接种的人数． 【解析】（1）解：由图象可得， 乙地比甲地提前了天完成疫苗接种工作， 故答案为：20； （2）解：设乙地接种人数（万人）与接种时间（天之间的函数解析式为， 点在该函数图象上， ， 解得， 即乙地接种人数（万人）与接种时间（天之间的函数解析式为， 故答案为：； （3）解：， 故当甲地放缓接种速度后，每天可接种（万人）． 【典例33】．某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．    (1)求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值， (2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式，将，代入解析式求出的值即可； （2）先求出军车的速度，然后分别求出军车到达仓库，和从仓库出发到达基地的时间，用总时间减去两段时间即可得解． 【解析】（1）解：设大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为，由图象可知，直线过点， ∴，解得：， ∴； 当时：，解得：， ∴； （2）由图象可知，军车的速度为：， ∴军车到达仓库所用时间为：， 从仓库到达基地所用时间为：， ∴部队官兵在仓库领取物资所用的时间为． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用．从函数图象上有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键． 【典例34】．已知小明所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍，图书馆离宿舍．周末，小明从宿舍出发，匀速走了到食堂；在食堂停留吃早餐后，匀速走了到图书馆；在图书馆停留借书后，匀速走了返回宿舍．下面图中表示时间，表示离宿舍的距离，图象反映了这个过程中小明离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 小明离开宿舍的时间 1 10 30 50 小明离宿舍的距离 0.6 ②填空：小明从图书馆返回宿舍的速度为______； ③当时，请直接写出小明离宿舍的距离关于时间的函数解析式． (2)当小明在图书馆停留时，同宿舍的小亮也从宿舍出发匀速步行直接到图书馆，如果小亮的速度为，那么他在去图书馆的途中遇到小明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①0.06，0.9，1.2；②0.08；③ (2) 【分析】本题考查一次函数的应用，分段函数图象，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）①根据题意和函数图象，可以将表格补充完整； ②由图象可知，从图书馆返回宿舍的路程为，所用时间为，然后根据速度=路程÷时间计算即可； ③根据函数图象中的数据，分别在当时和当时，y关于x的函数解析式． （2）设小亮出发后与小明相遇，则小明返回宿舍途中遇上小亮用的时间为，根据两人共走路程为，列出方程求出t值，再根据路程=时间×速度计算即可． 【解析】（1）解：①由图象可知：在前10分钟的速度为：， 故当时，； 的速度为：， 故当时，， 在时，距离不变，都是，故当时， 故填表为： 小明离开宿舍的时间 1 10 30 50 小明离宿舍的距离 0.06 0.6 0.9 1.2 ②小明从图书馆返回宿舍的速度为； ③在当时，距离不变，都是，故小明离宿舍的距离关于时间的函数解析式：； 在当时，小明离宿舍的距离关于时间的函数解析式为：， ∴小明离宿舍的距离关于时间的函数解析式． （2）解：设小亮出发后与小明相遇，则小明返回宿舍途中遇上小亮用的时间为，根据题意，得 解得： ∴． 答：他在去图书馆的途中遇到小明时离宿舍的距离是． 【典例35】．金师傅购买了一辆某型号的新能源车，其电池电量为60千瓦时．目前有两种充电方案供选择（如表），经测算金师傅发现电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）有如图关系． 方案 安装费用 每千瓦时所需费用 方案一：私家安装充电桩 2700元 0.6元 方案二：公共充电桩充电 0 1.8元（含服务费） (1)已知新能源车充电时一般损耗率为1.2，电池剩余电量为零时，使用家用充电桩一次性充满电需要费用为（元），则电池剩余电量为0时到公共充电桩一次性充满需要多少费用？ (2)当已行驶里程大于300千米时，求出电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）的函数表达式，当电池剩余电量为10%时，会提示充电，此时理论上还能继续行驶多少千米？ (3)金师傅都是在电池剩余电量不低于30千瓦时就开始充电，请问累计行驶里程为多少千米时，选择私家安装充电桩充电（含安装费用）更合算？ 【答案】(1)129.6元 (2)30千米 (3)18750千米 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意并利用待定系数法求出函数表达式是解题的关键． （1）根据“公共充电桩一次性充满电所需费用=电池容量×损耗率×每千瓦时所需费用”计算即可； （2）利用待定系数法求出y关于x的函数表达式，并求出对应x的取值范围；根据“理论上还能继续行驶的里程=当时对应x的值−当时对应x的值”计算理论上还能继续行驶的里程即可． （3）根据图象，计算该新能源车每千米的耗电量，设累计行驶里程为m千米，将耗电量（即充电量）用含m的代数式表示出来，从而分别计算两种方案的充电费用，当公共充电桩充电费用＞私家安装充电桩充电费用时，求出m的取值范围即可． 【解析】（1）解：（元）， ∴电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要费用129.6元． （2）解：当时，设． 将坐标和代入， 得， 解得， ∴ ∵ ， 又∵， ∴， ∴y与x的函数表达式为 当时，得解得， （千米）， ∴此时理论上还能继续行驶30千米． （3）解：根据图象可知，根据图象可知，当电池剩余电量不低于30千瓦就开始充电时， 该新能源车每千米的耗电量为（千瓦时）． 设累计行驶里程为m千米，则耗电量为千瓦时． 当充电千瓦时： 若选择私家安装充电桩充电，需要费用为； 若选择公共充电桩充电，需要费用为． 当选择私家安装充电桩充电（含安装费用）更合算时，得 解得 ∴累计行驶里程超过18750千米时，选择私家安装充电桩充电（含安装费用）更合算． 一、单选题 1．从北京到天津的高速公路长120，一辆汽车在高速公路上以80的速度从北京出发，开出xh时距离天津y，则y（）与x（h）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“汽车距天津的路程y（千米）＝原来两地的距离﹣汽车行驶的距离”建立函数关系式即可． 【解析】∵汽车的速度是平均每小时80千米， ∴它行驶x小时走过的路程是， ∴汽车距天津的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式是， ∵ ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题确定一次函数的解析式，找到汽车距天津的路程y（千米）＝原来两地的距离﹣汽车行驶的距离是解决问题的关键． 2．五一假期小明一家自驾去距家360km的某地游玩，全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公路．若小汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，行驶的路程y（单位：km）与时间x（单位：h）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．小汽车在乡村公路上的行驶速度为60km/h B．小汽车在高速公路上的行驶速度为120km/h C．乡村公路总长为90km D．小明家在出发后5.5h到达目的地 【答案】A 【分析】根据一次函数图象的性质和“路程=速度×时间”的关系来分析计算即可. 【解析】解：小汽车在乡村公路上的行驶速度为：（270﹣180）÷（3.5﹣2）＝60km/h，故选项A正确， 小汽车在高速公路上的行驶速度为：180÷2＝90km/h，故选项B错误， 乡村公路总长为：360﹣180＝180km，故选项C错误， 小明家在出发后：2+（360﹣180）÷60＝5h到达目的地，故选项D错误， 故选A． 【点睛】一次函数在实际生活中的应用是本题的考点，根据题意读懂图形及熟练掌握“路程=速度×时间”的关系是解题的关键. 3．某市出租车计费办法如图所示．根据图象信息，下列说法错误的是（　　） A．出租车起步价是10元 B．在3千米内只收起步价 C．超过3千米部分（x＞3）每千米收3元 D．超过3千米时（x＞3）所需费用y与x之间的函数关系式是y=2x+4 【答案】C 【分析】根据图象信息一一判断即可解决问题． 【解析】解：由图象可知，出租车的起步价是10元，在3千米内只收起步价， 设超过3千米的函数解析式为y=kx+b，则， 解得， ∴超过3千米时（x＞3）所需费用y与x之间的函数关系式是y=2x+4， 超过3千米部分（x＞3）每千米收2元， 故A、B、D正确，C错误， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用、学会待定系数法确定函数解析式，正确由图象得出正确信息是解题的关键，属于中考常考题. 4．一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港，行驶过程随时间变化的图象如图所示，下列结论错误的是（　　） A．轮船的速度为20千米/小时 B．快艇的速度为千米/小时 C．轮船比快艇先出发2小时 D．快艇比轮船早到2小时 【答案】B 【分析】先计算轮船和快艇的速度，再结合图象，逐一判断． 【解析】解：轮船的速度为：160÷8＝20千米/小时， 快艇的速度为：160÷（6﹣2）＝40千米/小时， 故A正确，B错误；由函数图象可知，C、D正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用，解题的关键是要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数表示的实际意义，再结合实际意义得到正确的结论． 5．如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象．下列说法错误的是（    ）        A．该汽车的蓄电池充满电时，电量是60千瓦时 B．蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米 C．当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时 D．25千瓦时的电量，汽车能行驶150km 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象，一次函数的应用，正确的理解函数图象中的信息是解题的关键．由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，据此即可求出1千瓦时的电量汽车能行驶的路程；运用待定系数法求出y关于x的函数表达式，再把代入即可求出当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量即可得到结论． 【解析】解：A、该汽车的蓄电池充满电时，电量是60千瓦时，正确，故不符合题意； B、蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，正确；故不符合题意； C、当时，设y关于x的函数表达式，把点，代入， 得， ∴， ∴， 当时，， ∴当时，函数表达式为，当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时．正确；故不符合题意； D、当时，则， 解得：， 即25千瓦时的电量，汽车已行驶了170km， ∵汽车最多行驶200km， ∴汽车最多能行驶（km）， 故25千瓦时的电量，汽车能行驶30km，选项错误，故符合题意， 故选：D． 6．为了缅怀先烈．继承遗志，某中学初二年级同学于4月初进行“清明雁栖湖，忆先烈功垂不朽”的定向越野活动．每个小组需要在点A出发，跑步到点B打卡（每小组打卡时间为1分钟），然后跑步到C点，……，最后到达终点（假设点A，点B，点C在一条直线上，且在行进过程中，每个小组跑步速度是不变的），“函数组”最先出发．过了一段时间后，“方程组”开始出发，两个小组恰好同时到达点C．若“方程组”出发的时间为x（单位：分钟），在点A与点C之间的行进过程中，“函数组”和“方程组”之间的距离为y（单位：米），它们的函数图像如图所示，则下面判断不正确的有（    ）个． （1）当时，“函数组”恰好到达B点； （2）“函数组”的速度为150米/分钟，“方程组”的速度为200米/分钟； （3）两个小组从A点出发的时间间隔为1分钟； （4）图中M点表示“方程组”在B点打卡结束，开始向C点出发； （5）出发点A到打卡点B的距离是600米，打卡点B到点C的距离是800米； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据函数图像和已知条件逐个进行分析和探讨其是否正确． 【解析】（1）由图像可看出，以后的一分钟，两组距离在逐渐减小，说明“函数组”在开始停下来进行一分钟打卡，所以当时，“函数组”恰好到达B点，故（1）正确，不符合题意； （2）在第2分钟到第3分钟这一分钟内，“函数组”打卡，“方程组”一分钟走了200米，所以“方程组”的速度为200米/分钟，在第3分钟到第4分钟这一分钟内，“方程组”打卡，“函数组”一分钟走了150米，所以“函数组”的速度为150米/分钟，故（2）正确，不符合题意； （3）、由图可看出，“方程组”开始出发时，相隔了300米，所以“函数组”走了300米，“方程组”才出发，所以间隔2分钟，故（3）不正确，符合题意； （4）、M点开始，距离在慢慢减小，说明“方程组”打卡结束，去追“函数组”，所以（4）正确，不符合题意； （5） “方程组”从开始出发，经过了3分钟到达了B点，所以AB距离为：（米），“方程组”打开结束从M点开始到达C，也用了3分钟，所以BC距离为600米，故（5）不正确，符合题意． 故只有（3）（5）不正确，所以有两个． 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数的图像和意义，行程问题，结合题意理解函数图像的意义，以及理解图像上转折点的实际意义是解题的关键． 二、填空题 7．在槐荫区“勾股数学”杯初中校际联赛中，小明的队伍在第一轮中获得积分50分，第二轮共10道题，每答对一道题得10分，则两轮总积分y（分）与第二轮答对题目数量x（道）之间的关系式为 （，x为正整数）． 【答案】 【分析】根据“两轮总积分y（分）等于第一轮积分与第二轮积分的和”，用含有x的代数式表示第二轮的积分即可． 【解析】解：由题意得， ； 故答案为：； 【点睛】本题考查函数关系式，理解“两轮总积分y（分）”的意义，掌握“积分=每题得分×答对的题目数”是正确解答的关键． 8．李老师开车从甲地到相距240千米的乙地,如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）之间是一次函数关系,其图象如图所示,那么到达乙地时油箱剩余油量是 升. 【答案】20 【分析】根据题意得出汽车耗油量，进而得出到达乙地时邮箱剩余油量． 【解析】解：由图象可得出：行驶，耗油（升， 行驶，耗油（升， 到达乙地时邮箱剩余油量是（升． 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了一函数应用，解题的关键是根据已知图象获取正确信息． 9．已知某汽车油箱中的剩余油量(升)是该汽车行驶时间(小时)的一次函数，其关系如下表: （小时） … （升） … 由此可知，汽车行驶了 小时， 油箱中的剩余油量为升. 【答案】11.5 【分析】根据剩余油量(升)、汽车行驶时间(小时),可求出每千米用油量,根据题意可写出函数式. 【解析】根据题意得每小时的用油量为， ∴剩余油量(升)与汽车行驶时间(小时)的函数关系式：， 当y=8时，x=11.5. 故答案为11.5. 【点睛】此题考查一次函数，解题关键在于结合实际列出一次函数关系式求解即可. 10．某市新能源出租车的收费标准如下：3千米以内（包括3千米）收费12元，超过3千米后，每超1千米就加收元．若某人乘出租车行驶的距离为x（）千米，则需付费用y与行驶距离x之间的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，先判断行驶的距离是3千米还是3千米以上，再根据题意列出解析式化简即可． 【解析】解：由题意可得： ， 故答案为：． 11．某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本为5元/千克，现以8元/千克卖出，赚 元． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出函数关系式，求出当售价为8元/千克时的卖出的苹果数量．再利用利润=（售价-进价）×销售量，求出利润． 【解析】设卖出的苹果数量与售价之间的关系式为，将（5，4k），（10，k）代入关系式： ，解得 ∴ 令，则 ∴利润= 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式和利润求解问题．利润=（售价-进价）×销售量． 12．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x（kg）与运费y（元）满足如图所示的函数图象，那么每位乘客最多可免费携带 kg的行李． 【答案】20 【分析】设乘客所携带行李的重量x（kg）与运费y（元）之间的函数关系式为y=kx+b，由待定系数法求出其解即可． 【解析】解：设乘客所携带行李的重量x（kg）与运费y（元）之间的函数关系式为y=kx+b，由题意，得 ， 解得， ， 则y=30x-600． 当y=0时， 30x-600=0， 解得：x=20． 故答案为20． 【点睛】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 13．小明从家步行到学校，图中的折线反映了小明从家步行到学校所走的路程（米）与时间（分钟）的函数关系，根据图像提供的信息，线段表示的函数解析式是 ． 【答案】． 【分析】由OA是过原点的一次函数，设设线段表示的函数解析式为：过点A（8，960）代入求出k即可． 【解析】解：设线段表示的函数解析式为：过点A（8，960）， 则， ∴， 线段表示的函数解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正比例函数解析式，掌握待定系数法求正比例函数解析式，关键是找到函数图像上的一点A． 14．小明骑车回家过程中，骑行的路程s与时间t的关系如图所示．则经15分钟后小明离家的路程为 ． 【答案】1.5千米 【分析】根据题意和函数图像中的数据，可以计算出经15分钟后小明离家的路程． 【解析】解：由图像可得， 经15分钟后小明离家的路程为3.5﹣2＝1.5（千米）， 故答案为：1.5千米． 【点睛】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 15．如图所示，、表示某工厂甲、乙两车间产品的总量与生产时间x（天）之间的函数图像，第30天结束时，甲、乙两车间产品总量为 （t）． 【答案】1500 【分析】根据图象所过的特殊点用待定系数法分别求出两直线解析式；由解析式分别求30天结束时两车间的总产量，即可求出两车间的总量． 【解析】解：设y甲=kx+b，因为图象过（0，400）和（20，600）， 所以，解得：， 所以y甲=10x+400； 设y乙=mx+n，因为图象过（20，600），（0，200）， 所以，解得：， 所以y乙=20x+200； 当x=30时，y甲=10×30+400=700，y乙=30×20+200=800， ∴甲、乙两车间产品总量为700+800=1500（t） 故答案为：1500． 【点睛】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，求出两车间产量y与时间x的函数关系式是解题的关键． 16．某医药研究所研发了一种新药，经临床实验发现，成人按规定剂量服用，每毫升血液中含药量（微克）随时间（小时）而变化的情况如图所示．研究表明，当血液中含药量（微克）时，对治疗疾病有效，则有效时间是 小时． 【答案】 【分析】当时，设，把（2，6）代入计算即可得，当时，设，把点（2，6），（10，3）代入计算即可得，把代入中得，把代入中得，进行计算即可得． 【解析】解：当时，设，把（2，6）代入得， ， 解得，， ∴当，， 当时，设，把点（2，6），（10，3）代入得， 解得，， ∴当时，， 把代入中，得， 把代入中，得， 则（小时）， 即该药治疗的有效时间是3小时， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数的性质． 17．某商场为了抓住夏季来临，衬衫热销的契机，决定用46000元购进A、B、C三种品牌的衬衫共300件，并且购进的每一种衬衫的数量都不少于90件．三种品牌的衬衫的进价和售价如下表所示： 型号 A B C 进价（元/件） 100 200 150 售价（元/件） 200 350 300 如果该商场能够将购进的衬衫全部售出，但在销售这些衬衫的过程中还需要另外支出各种费用共计1000元，那么商场能够获得的最大利润是 元． 【答案】39500． 【分析】设购进A种品牌衬衫a件，B种品牌衬衫b件，则C种品牌衬衫为（300﹣a﹣b）件，根据商场所获利润=A种衬衫的利润+B种衬衫的利润+C种衬衫的利润-1000，列出方程，然后根据一次函数的性质可求解. 【解析】解：设购进A种品牌衬衫a件，B种品牌衬衫b件，则C种品牌衬衫为（300﹣a﹣b）件，获得的总利润为y元， y＝（200﹣100）a+（350﹣200）b+（300﹣150）（300﹣a﹣b）﹣1000＝﹣50a+44000， ∵购进的每一种衬衫的数量都不少于90件， ∴a≥90， ∴当a＝90时，y取得最大值，此时y＝﹣50×90+44000＝39500， 故答案为39500． 【点睛】一次函数在实际生活中的应用是本题的考点，根据题意列出解析式是解题的关键. 18．已知A，C两地之间有一站点B，甲从A地匀速跑步去C地，2分钟后乙以50米/分钟的速度从站点B走向C地，两人到达C地后均原地休息．甲、乙两人与站点B的距离y(米)与甲所用的时间x(分钟)之间的关系如图所示． （1）站点B到C地的距离为 米； （2）当x= 时，甲、乙两人相遇． 【答案】 800 10 【分析】（1）由图象可知乙从站点B到C地所用时间，再用时间×速度=路程得出结论； （2）先求出甲的速度，再根据追击问题写出方程，解方程即可． 【解析】解：（1）根据题意，站点B到C地的距离为：50×(18-2)=800(米)， 故答案为：800； （2）由图象可知甲的速度：400÷5=80(米/分)， 设经过x分钟，甲、乙两人相遇， 则80x=400+50(x-2)， 解得x=10， ∴甲出发10分钟，甲、乙两人相遇， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，理解图象上各点的实际含义，并根据题意列方程是解题的关键． 三、解答题 19．如图，反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始赢利．该产品的销售量达到多少吨时，生产该产品才能赢利？ 【答案】当销售量超过时，生产该产品才能赢利 【分析】生产该产品赢利，销售收入应大于销售成本，即的函数图象应高于的函数图象，看在交点的哪侧即可． 【解析】解：横轴代表销售量，纵轴表示费用， 在交点的右侧，相同的值，的值，那么表示开始赢利． ∴当时，． 答：该产品的销售量超过4吨时，生产该产品才能赢利． 【点睛】本题考查利用一次函数的图象解决实际问题；理解赢利的意义是解决本题的关键；解决此类问题，应从交点入手思考． 20．一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地．若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时间为t（小时），航行的路程为s（千米），s与t的函数图像如图所示． (1)甲乙两地相距 　 　千米； (2)轮船顺水航行时航行的路程s关于所用时间t的函数关系式为 　 　，定义域是 　 　； (3)如果轮船从乙地逆水航行返回到甲地时的速度为20千米/小时，那么点M的坐标是 　 　． 【答案】(1)60 (2)， (3) 【分析】（1）根据函数图象可知，从甲地到乙地，轮船行驶了2小时，行驶路程为60千米，由此即可得； （2）先判断出轮船顺水航行段对应的是图象中部分，再设此时关于的函数关系式为，利用待定系数法即可得； （3）根据图象可得返回时，行驶到点处所用时间，从而可得从乙地行驶到点的路程，由此即可得． 【解析】（1）解：由函数图象可知，从甲地到乙地，轮船行驶了2小时，行驶路程为60千米， 故答案为：60； （2）解：由题意得：轮船顺水航行段对应的是图象中部分， 设此时关于的函数关系式为， 将点代入得：，解得， 则关于的函数关系式为，定义域为， 故答案为：，； （3）解：由图象可知，返回时，行驶到点处所用时间为（小时）， 则从乙地到点的路程为（千米）， 所以点的纵坐标为， 所以点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求正比例函数的解析式、从函数图象获取信息，读懂函数图象是解题关键． 21．某县在实施“村村通”工程中，决定在、两村之间修筑一条公路，甲、乙两个工程队分别从、两村同时相向开始修筑，施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通．下图是甲、乙两个工程队修道路的长度（米与修筑时间（天之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解答下列问题： (1)写出乙工程队修道路的长度与修筑时间之间的函数关系式： ； (2)甲工程队前4天平均每天修路 米，后12天平均每天修路 米； (3)该公路的总长度为 米． 【答案】(1) (2)90；50 (3)1800 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）设出正比例函数解析式，把代入可得所求函数解析式； （2）让前4天修路的总路程除以4即可得到甲工程队前4天平均每天修路米数，求得甲在第4天到第16天的函数解析式，进而求得后12天修路的总路程，除以12即为后12天平均修路的米数； （3）让甲修路的总路程乙修路的总路程即为公路的总长度． 【解析】（1）解：设， 经过， ， 解得， ， 故答案为：； （2）解：甲工程队前4天平均每天修路米数为； 当时，， 设当时，甲工程队的函数解析式为， ， 解得， ， 当时，， 后12天平均每天修路米数为． 故答案为：90；50； （3）解：公路的总长度为米， 故答案为：1800． 22．某公司的物流业务原来由A运输队承接，已知其收费标准y（元）与运输所跑路程x（公里）之间是某种函数关系．其中部分数据如表所示： x（公里） 80 120 180 200 … y（元） 200 300 450 500 … (1)写出y（元）关于x（公里）的函数解析式　 　；（不需写出定义域） (2)由于行业竞争激烈，现B运输队表示：若公司每次支付200元的汽车租赁费，则可按每公里0.9元收费．请写出B运输队每次收费y（元）关于所跑路程x（公里）的函数解析式　 　；（不需写出定义域） (3)如果该公司有一笔路程500公里的运输业务，请通过计算说明应该选择哪家运输队？ 【答案】(1)yA＝2.5x (2)yB＝200+0.9x (3)选择B运输队 【分析】（1）根据表可知：当运输路程跑80公里时，收费200元，所以每公里收费为2.5元，所以yA＝2.5x； （2）根据题意得：yB＝200+0.9x； （3）当x＝500时，yA＝2.5×500＝1250，yB＝2000+0.9×500＝2450，因为yA＞yB，所以选择B运输队． 【解析】（1）解：根据表可知：当运输路程跑80公里时，收费200元， ∴每公里收费为2.5元， ∴yA＝2.5x． 故答案为：yA＝2.5x； （2）解：根据题意得：yB＝200+0.9x． 故答案为：yB＝200+0.9x； （3）解：当x＝500时，yA＝2.5×500＝1250，yB＝200+0.9×500＝650， ∴yA＞yB， ∴选择B运输队． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂题意，列出函数解析式． 23．一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系．当汽车加满油后，行驶120千米时，油箱中还剩油40升；行驶180千米时，油箱中还剩油35升． （1）求出y与x之间的函数解析式，并写出定义域； （2）已知当油箱中的剩余油量为10升时，该车仪表盘会亮灯提示加油．在距离出发点500千米处有一加油站，该车在加满油后，请判断司机能否在亮灯提示前行驶至此加油站，并说明理由． 【答案】（1）；（2）不能，理由见解析 【分析】（1）设与之间的函数解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）的关系式，求出的值即可判断． 【解析】解：（1）设与之间的函数解析式为，根据题意得： ， 解得， ； （2）不能在亮灯提示前行驶至此加油站，理由如下： 当时，， 解得， 即当油箱中的剩余油量为10升时，该车行驶路程为480千米， 因为，所以该车在加满油后，不能在亮灯提示前行驶至此加油站． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键． 24．如图，、两地相距30千米，甲骑自行车在中午12点从地出发前往地，乙在甲出发1小时后骑电瓶车从地前往地．图中的线段和线段分别反映了甲和乙所行驶的路程（千米）与行驶时间（小时）的函数关系，请根据图像所提供的信息回答问题（其中点、、、均位于格点）． (1)乙行驶________小时后与甲相遇，两人的相遇地点距离地________千米； (2)写出甲所行驶的路程（千米）与行驶时间（小时）的函数关系式________； (3)乙的行驶速度比甲快________千米/时； (4)当甲乙两人相距5千米，此刻的时间是下午________（写出所有可能的时间点）． 【答案】(1)， (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了一次函数在路程问题中的应用，待定系数法； （1）由图象得甲乙相遇的坐标为，即可求解； （2）设，将代入，即可求解； （3）由图象得（千米/小时），（千米/小时），即可求解； （4）由待定系数法得直线的解析式为，当时， 当时，即可求解； 理解图象的实际意义，掌握待定系数法是解题的关键． 【解析】（1）解：由图象得，甲乙相遇的坐标为： ， 在甲出发小时后与乙相遇，此时甲行驶的路程为千米， （小时）， （千米）， 故答案：，； （2）解：设，图象经过， ， 解得：， ， 故答案：； （3）解：由图象得 （千米/小时）， （千米/小时）， （千米/小时）， 故答案：； （4）解：设直线的解析式为，图象经过，，则有 ， 解得， 直线的解析式为， 当时， 解得：； 当时， 解得：； 故答案：或． 25．元旦期间，某移动公司就手机流量套餐推出三种优惠方案，具体如下表所示： A方案 B方案 C方案 每月基本费用（元） 20 56 188 每月免费使用流量（GB） 10 m 无限 超出后每GB收费（元） n n A，B，C三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（GB）之间的函数关系如图所示（已知）．解答下列问题： (1)填空：表中的m＝ ，n＝ ； (2)在A方案中，若每月使用的流量不少于10GB，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（GB）之间的函数关系式； (3)在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少GB时，选择C方案最划算？ 【答案】(1)30，3 (2) (3)74GB 【分析】对于（1），根据题意，结合图象可得结论； 对于（2），利用待定系数法解答即可； 对于（3），利用A、B方案每月免费流量30GB加上达到C方案所超出的兆数即可． 【解析】（1），. 故答案为：30，3； （2）设函数表达式为， 把，代入，得， 解得， ∴y关于x的函数表达式； （3）由图象可知，， ∴当每月使用的流量超过74GB时，选择C方案最划算． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 26．某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆分钟） 25 22 19 16 13 (1)请用一次函数分别表示与、与之间的函数关系．（不写定义域） (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 【答案】(1)， (2)8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，一元一次不等式的应用.待定系数法求一次函数解析式是解题的关键. （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据，求出关于的函数关系式，分，两种情况讨论，求出对应的取值范围即可． 【解析】（1）解： 设、为常数，且． 将，和，代入， 得， 解得， ． 设、为常数，且． 将，和，代入， 得， 解得， ． （2）． 当时，即，解得； 当时，即，解得． 8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东． 40 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $$