专题2.1直线与圆的有关计算与证明压轴问题（七大类型提分练）-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学下册压轴题攻略（浙教版）

专题2.1直线与圆的有关计算与证明压轴问题（七大类型提分练） 目录 类型一、直线与圆的位置关系 1 类型二、直线与圆的新定义材料阅读问题 1 类型三、切线的判定与计算 2 类型四、切线的有关性质与判定 2 类型五、切线的有关应用 3 类型六、圆与几何综合问题 4 类型七、圆与函数综合问题 5 培优压轴训练 6 类型一、直线与圆的位置关系 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作， (1)当半径为何值时，与直线相切； (2)当半径为何值时，与直线相切； (3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离． 类型二、直线与圆的新定义材料阅读问题 2．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点R和线段，给出如下定义：M为线段上任一点，如果R，M两点间的距离的最小值恰好等于线段的长，则称点R为线段的“等距点”． (1)已知点． ①在点中，线段的“等距点”是___________； ②若点C在直线上，并且点C是线段的“等距点”，求点C的坐标； (2)已知点，点，图形W是以点为中心，边长为2，各边与坐标轴平行的正方形．若图形W上存在线段的“等距点”，直接写出t的取值范围． 类型三、切线的判定与计算 3．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，在中，，为的直径，与相交于点D，过点D作于点E，延长线交于点F． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 4．（24-25九年级上·浙江台州·期中）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为M，的半径为2，求的长． 类型四、切线的有关性质与判定 5．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，是的直径，，在上两点，连结，．    (1)如图1，点是延长线上一点，，求证：与相切； (2)如图2，点在上，于点，连接并延长交于点，若为的直径，，， ①求证：； ②求半径的长． 6．（20-21九年级上·浙江台州·期末）如图，是的直径，C是上的一点，过点B作的切线，过圆心O作的平行线交直线于点F，交于点E，交于点D，连接． (1)判断与的位置关系，并证明结论； (2)若四边形是平行四边形，求的值； (3)若运动后能与重合，则 ，请说明图形的运动过程． 类型五、切线的有关应用 7．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在数学实验课上，小明取一个角尺（，，可看作无限长）和若干大小不等的圆形纸片（记作）做“停放”实验，当圆形纸片半径较小（圆的半径）时，纸片如图1“停放”，其中与线段和射线分别相切于点F、P，当圆形纸片半径较大（圆的半径）时，纸片如图2“停放”，其中经过点A，与射线相切于点P． (1)在图1中，若，求AF的长度； (2)在图2中，设，则圆的半径______； (3)在图3中，若，在点P的左侧取一点Q，使，连接AQ． ①求当且AQ与相切时的m值及的度数； ②若，随着r的变化，是否有最大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请简要说明理由． 类型六、圆与几何综合问题 8．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）已知⊙是的外接圆，为的直径，延长，交于点，． (1)如图，求证：． (2)如图，过点作于，交于点，若，求证：； (3)如图，在的条件下，连接交于点，若，求的长． 9．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图1，是的直径，点D为下方上一点，点C为的中点，连结． (1)求证：平分． (2)如图2，延长相交于点E， ①求证：． ②若，，求的半径． 类型七、圆与函数综合问题 10．（22-23九年级上·湖北荆门·期末）如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，对称轴轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线AC上一动点，过点P作轴，交抛物线于点Q，以P为圆心，PQ为半径作，当与坐标轴相切时，求的半径； (3)直线与抛物线交于M，N两点，求面积的最小值． 11．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点． (1)求，的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 压轴能力测评 一、解答题 1．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图1所示，在中，，作的平分线交于点D，作的外接圆，圆心为O， (1)求证：是切线； (2)如图2，记． ①当时，求的半径长； ②在下方优弧上取点P，使得，请用含a、b的代数式表示． 2．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图1，已知为的直径，弦于点，是上一点，连接，，． (1)求证：； (2)如图2，延长相交于点，连接． ①已知，求的长； ②记与的交点为，若，当时，求的值． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期中）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为M，的半径为2，求的长． 4．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在圆内接中，，弦，延长至点E，延长至点F，连接，使，延长交于点G，使，延长交于点H． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：． (3)求证：． 5．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，是一条不过圆心的弦，点是的三等分点，直径交于点，连接交于点，连接，过点的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)连结交于点，若的半径为 ①若，求的周长； ②若，求的面积． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图1，是的外角的角平分线，与的外接圆交于点． (1)若， ①求所对圆心角的度数； ②连结，，求证：是等边三角形． (2)如图2，若，，求的面积． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图1，已知四边形内接于，，延长到，使，连接，是的中点，连接． (1)若的半径为2，，求劣弧的长； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，是的中点，过作的垂线交于点，连接，，求证：． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）定义：如果三角形的两个内角与满足，那么称这样的三角形为“类直角三角形”． 【尝试运用】 （1）如图1，在中，，，，是的平分线． ①求证：是“类直角三角形”； ②求出此时的长； ③请在边上找一点（异于点，使得也是“类直角三角形”，并求出此时的长． 【类比拓展】 （2）如图2，内接于，直径，弦，点是弧上一动点（不包括端点，，延长至点，连接，且，当是“类直角三角形”时，求的长． 9．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，在中，，，点D，E分别在上，线段绕点D顺时针旋转得到，其中旋转角，此时点F恰好落在上，过点D，E，F的圆交于点G，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)如图2，过点F作交于点H，写出与的数量关系，并证明你的结论． 10．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图1，在半径为2的扇形中，，点是上的一个动点（不与点、重合），点是的中点，交于，于． (1)当时，求线段的长； (2)在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由． (3)设，，求关于的函数关系式，并写出自变量取值范围． 11．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）如图，四边形内接于，对角线是的直径，平分，交于点E，过点D作，交于点H，交延长线于点F． (1)求的度数． (2)求证：． (3)过点F作交延长线于点G，求证：． 12．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，点D，E分别在上，线段绕点D顺时针旋转得到，其中旋转角，此时点F恰好落在上，过点D，E，F的圆交于点G，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)如图2，过点F作交于点H，写出与的数量关系并证明你的结论． 13．（2024九年级上·浙江·专题练习）已知钝角三角形内接于，E、D分别为的中点，连接． (1)如图1，当点A、D、O在同一条直线上时，求证：． (2)如图2，当A、D、O不在同一条直线上时，取的中点F，连接交于点G，当时． ①求证：是等腰三角形； ②如图3，连并延长交于点H，连接．求证：． 14．（20-21九年级上·浙江台州·期末）如图，是的直径，C是上的一点，过点B作的切线，过圆心O作的平行线交直线于点F，交于点E，交于点D，连接． (1)判断与的位置关系，并证明结论； (2)若四边形是平行四边形，求的值； (3)若运动后能与重合，则 ，请说明图形的运动过程． 15．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．    (1)求的值． (2)已知点，D是射线上的动点（不与点A重合），过A，C，三点的圆与轴交于点，求证：． (3)在（2）的条件下，设D，两点的横坐标分别为，m． ①求m与n的数量关系； ②当时，求m，n的值． 16．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，为的直径，点为上一点，连结，，，过点作，交于点． (1)如图①，已知，求的度数． (2)如图①，已知，，求的长． (3)如图③，延长交于点，连结． ①探索并用等式表示线段，，之间的数量关系，说明理由； ②若，．求的半径． 17．（23-24九年级下·浙江宁波·开学考试）已知锐角内接于，于点，于点，交于点，交于点，连结．连结，． (1)直接写出与的数量关系； (2)如图，连结，在上取点，使得，，，求的面积． 18．（23-24九年级下·浙江金华·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，交轴于点，交轴于点，已知点在优弧上，连结，交轴于点，连结．    (1)求证：平分； (2)设的半径为2，当点运动时，的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由； (3)在（2）的条件下，连结，若，，求的长． 19．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，在矩形中，，是直线上一动点，连结并延长至点，使，过点作于点，交直线于点，过点作交直线于点，以为直径的交直线于点．    (1)求证：； (2)当点在点的右侧时，若，且四边形的面积等于，求的半径； (3)若，在点的整个运动过程中， ①当为何值时，四边形是菱形？ ②连结，当与某一边所在的直线相切时，求出所有满足条件的的长． 20．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）如图，在中，，点D是线段上的动点（不与A，B重合），连结，以为直径作，交于点E，交于点F，连结，，过F作于G，交于H． (1)①__________，__________（直接写出答案） ②求证：． (2)若是以为腰的等腰三角形，求的长． (3)当时，请直接写出的值． ( 13 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1直线与圆的有关计算与证明压轴问题（七大类型提分练） 目录 类型一、直线与圆的位置关系 1 类型二、直线与圆的新定义材料阅读问题 2 类型三、切线的判定与计算 6 类型四、切线的有关性质与判定 8 类型五、切线的有关应用 14 类型六、圆与几何综合问题 18 类型七、圆与函数综合问题 22 压轴能力测评 27 类型一、直线与圆的位置关系 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作， (1)当半径为何值时，与直线相切； (2)当半径为何值时，与直线相切； (3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离． 【答案】(1)当半径为3时，与直线相切 (2)当半径为2.4时，与直线相切 (3)当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离 【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径时，圆与直线相切，结合矩形的性质进行求解即可； （2）连接，过点作，等积法求出的长，即为所求； （3）根据圆心到直线的距离和圆的半径之间的关系，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∵圆心到边的距离为，与直线相切， ∴， 则当半径为3时，与直线相切； （2）连接，过作，交于点， ∵在中，，， ∴， 又∵， ∴圆心到边的距离， 又与直线相切， ∴，则当半径为2.4时，与直线相切； （3）∵与直线相交，圆心到边的距离为， ∴， 又与直线相离，圆心到的距离为， ∴， 则当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离． 【点睛】本题考查直线与圆之间的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，小于半径时，直线与圆相交，大于半径时，直线与圆相离，是解题的关键． 类型二、直线与圆的新定义材料阅读问题 2．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点R和线段，给出如下定义：M为线段上任一点，如果R，M两点间的距离的最小值恰好等于线段的长，则称点R为线段的“等距点”． (1)已知点． ①在点中，线段的“等距点”是___________； ②若点C在直线上，并且点C是线段的“等距点”，求点C的坐标； (2)已知点，点，图形W是以点为中心，边长为2，各边与坐标轴平行的正方形．若图形W上存在线段的“等距点”，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①；②或 (2)或 【分析】（1）①根据“等距点”的定义一一判断即可； ②设，由点C是线段的“等距点”，分两种情况讨论，构建方程求出m即可． （2）画出线段的“等距点”的轨迹，再找出四个临界情况，分别求出此时的t的值，再根据运动关系即可得解． 【详解】（1）解：①如图1中， ， ， ， ，点到的距离为4， 点到的距离为6，点到的距离为， 是线段的“等距点”； ②设，如图，当时，过点C作于点G，此时为点C到上任一点的最短距离，即， ， 解得：或(舍去)， 点的坐标为； 如图，当时，为点C到上任一点的最短距离，即， ， 解得或(舍去)， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或； （2）解：，， ，， ， 取点，连接，， 分别以点D、E为圆心，作两个半圆，则两个半圆和线段，围城的环形即为线段的“等距点”的轨迹． 则P，，，，且， 设图形W：正方形，在坐标与上面所得环形在左边有一个公共点时，画出图形如下： 则， ， 作轴于R，则，， ∴， ∴， ∴，； 当正方形在环形内部，且只有一个公共点时，如下图所示： ∵F点的纵坐标是1，是点P、Q纵坐标的平均数， ∴点F是PQ的中点， ∴， ∴， 当正方形在环形内部，与环形右边有两个公共点时，交轴于点，则， 同理可得：， ∴， 当正方形在环形外部，与圆形右边有一个公共点时，如下图所示， 则． ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，“等距点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型． 类型三、切线的判定与计算 3．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，在中，，为的直径，与相交于点D，过点D作于点E，延长线交于点F． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等边对等角得出，，从而得到，推出，由平行线的性质得出，即可得证； （2）过点作于点H，则，则四边形是矩形，由矩形的性质可得，，有勾股定理得出，推出，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，过点作于点H，则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定定理、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 4．（24-25九年级上·浙江台州·期中）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为M，的半径为2，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】对于（1），连接，根据同弧所对的圆周角相等得，再根据等边对等角得，然后根据圆周角定理得，最后根据三角形内角和定理得出答案； 对于（2），先根据垂径定理得，再根据直角三角形的性质得，然后根据勾股定理得，最后根据得出答案． 【详解】（1）连接， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵所对的圆周角是，圆心角是， ∴， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）∵是的直径，，垂足为M，的半径是2， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 根据勾股定理得， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，直角三角形的性质，连接圆心和圆上的点是证明切线的作辅助线的基本思路． 类型四、切线的有关性质与判定 5．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，是的直径，，在上两点，连结，．    (1)如图1，点是延长线上一点，，求证：与相切； (2)如图2，点在上，于点，连接并延长交于点，若为的直径，，， ①求证：； ②求半径的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）如图1，连接，根据圆周角定理得到，得到，求得，于是得到结论； （2）①连接，作于M，于N．证明，，，得到，证明，则，进一步证明，即可得到结论；②设，利用勾股定理构建方程求出a即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1，连接，    ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； （2）①如图2，连接，作于M，于N．    ∵于点， ∴ ∵是直径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴半径的长为． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理，等腰三角形的频道合作，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题． 6．（20-21九年级上·浙江台州·期末）如图，是的直径，C是上的一点，过点B作的切线，过圆心O作的平行线交直线于点F，交于点E，交于点D，连接． (1)判断与的位置关系，并证明结论； (2)若四边形是平行四边形，求的值； (3)若运动后能与重合，则 ，请说明图形的运动过程． 【答案】(1)与相切，见解析 (2) (3)1，见解析 【分析】（1）连接，证明，得出，结合切线的性质得出，即可得证； （2）根据题意作出图形，连接，证明四边形为正方形，得出，，推出，再求出，即可得解； （3）若运动后能与重合，得出必有，推出，进而得出，利用表示出和，进而求得比值，将沿直线，平移长度得，再将沿的平分线对折，则与重合． 【详解】（1）解：与相切． 理由如下：连接，如图1， ∵， ∴，， ， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 是的切线， ∴， ， 是的切线； （2）解：根据题意作出图形，如图2，连接， 四边形是平行四边形， ∴，， ， ∴，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， 是的切线， ∴， 四边形为正方形， ，， ∴， ， ∴， ； （3）解：为直径， ， 是的切线， ∴， ∵， ∴， 若运动后能与重合， 必有， ∴， ， 连接，如图3， ∵， ∴，， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴， ， 如图4，将沿直线，平移长度得，再将沿的平分线对折，则与重合， 故答案为：1． 【点睛】本题是圆的一个综合题，主要考查了圆的基本性质，切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正方形的性质，平移的性质，轴对称的性质，正确作出辅助线和综合运用这些知识是解本题的关键． 类型五、切线的有关应用 7．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在数学实验课上，小明取一个角尺（，，可看作无限长）和若干大小不等的圆形纸片（记作）做“停放”实验，当圆形纸片半径较小（圆的半径）时，纸片如图1“停放”，其中与线段和射线分别相切于点F、P，当圆形纸片半径较大（圆的半径）时，纸片如图2“停放”，其中经过点A，与射线相切于点P． (1)在图1中，若，求AF的长度； (2)在图2中，设，则圆的半径______； (3)在图3中，若，在点P的左侧取一点Q，使，连接AQ． ①求当且AQ与相切时的m值及的度数； ②若，随着r的变化，是否有最大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请简要说明理由． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）连接，，根据圆的切线的性质，正方形的判定与性质，即可求得答案； （2）连接，，过点A作于点C，设的半径为r，根据根据圆的切线的性质及勾股定理，列方程，解方程即可求得答案； （3）①连接，，过点A作于点D，根据（2）的思路，可求得，再根据勾股定理列方程，即可求得答案； ②设的半径为r，根据勾股定理，分别求得，，，的长，即可得到，再设，得到，令，化简得，最后根据一元二次方程根的判别式及二次函数的性质，即可求得答案． 【详解】（1）解：连接，， 与线段和射线分别相切于点F、P， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ； （2）解：连接，，过点A作于点C， 与射线相切于点P， ， ， 四边形是矩形， ，， 设的半径为r，则， ， 在中，， ， 解得， 的半径为； 故答案为：； （3）解：①连接，，过点A作于点D， 与射线相切于点P， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ，， ， ， 与均与相切， ，， 在中，， ， 解得， ， ； ②设的半径为r， 由①可知，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 令， 整理得， 根据， 可得， 根据二次函数函数，令， 由图象即可解得， ， ， ， 即随着r的变化，x与k均随着变化，有最大值，最大值是． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式，利用二次函数的图象解一元二次不等式，求的最值需要利用换元思想、一元二次方程根的判别式及二次函数的性质，是解答本题的关键． 类型六、圆与几何综合问题 8．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）已知⊙是的外接圆，为的直径，延长，交于点，． (1)如图，求证：． (2)如图，过点作于，交于点，若，求证：； (3)如图，在的条件下，连接交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】连接，根据圆周角定理可知，根据可知是的中垂线，根据中垂线的性质可证结论成立； 作于点，根据，可知，根据可知，根据平行线的性质可知，所以可知，所以可证结论成立； 根据线段之间的比例关系可得，根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半可知，从而可知，根据可得，解方程求出的值，即可求出的长． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接， 是直径， ， ， 是的中垂线， ； （2）证明：如下图所示，作于点， ， ， ，， 由可知，，， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 又， ， ， ； （3）解：如下图所示，， 由可知：， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 设，则， 则， ， 是直径， ， 又， 在中，， ， ， ， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质．解决本题的关键是找到边之间的比例关系，根据比例关系列方程求解． 9．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图1，是的直径，点D为下方上一点，点C为的中点，连结． (1)求证：平分． (2)如图2，延长相交于点E， ①求证：． ②若，，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2)①见详解；②的半径为5 【分析】（1）由点C为的中点，得，所以，由垂径定理得，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明平分； （2）由是的直径，得，由，得； （3）连接，则，由，，由平行线的性质得，则，所以，而，则，所以，设的半径为r，则，，由勾股定理得，求出符合题意的r值即可． 【详解】（1）证明：点C为的中点， ， ， 平分； （2）①证明： 是的直径， ， ， ， ； ②如图2，连接，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设的半径为r，则， ， ， ， ， 整理得， 解得（不符合题意，舍去）， 的半径为5． 【点睛】本题考查了垂径定理、直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的判定、平行线的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、一元二次方程的解法等知识，此题综合性强，难度较大． 类型七、圆与函数综合问题 10．（22-23九年级上·湖北荆门·期末）如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，对称轴轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线AC上一动点，过点P作轴，交抛物线于点Q，以P为圆心，PQ为半径作，当与坐标轴相切时，求的半径； (3)直线与抛物线交于M，N两点，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)2或4 (3)8 【分析】（1）由题意及抛物线的对称性知：，即可求得m的值，从而用待定系数法可求得函数解析式； （2）首先求出直线的解析式为，由轴及点Q在抛物线上，可得点Q的坐标，从而求得的长度，分两种情况讨论：当与x轴相切时；当与y轴相切时；分别利用圆心到切线的距离等于半径得到方程，解方程即可求得半径； （3）由知，直线过点，则得轴，且；联立直线与抛物线的解析式，消去y得一元二次方程，可求得M与N的横坐标，再由，可得关于k的函数关系式，即可求得面积的最小值． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点和点，对称轴为直线 、关于对称轴对称， ， 解得：， 即，， 把A、B两点坐标代入中，得， 解得： 则所求函数解析式为； （2）解：对于，令，得， ， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， 所以直线的解析式为， 设点， 轴，点Q在抛物线上， Q的坐标为， ； 当与x轴相切时； ， 即，或， 解得：，或， 显然时点P、Q与点A重合，不合题意，则及， 当时，；当时，， 此时的半径分别为2或4； 当与y轴相切时； ， 即，或， 解得：，，或，， 显然时点P、Q与点C重合，不合题意，则及， 此时的半径分别为4或2； 综上，与坐标轴相切时，的半径分别为2或4； （3）解：当时，， 直线过点， ， 轴，且； 联立直线与抛物线的解析式得：， 消去y得：， ， ，， ， ， ， 当时，有最小值16，从而的面积有最小值． 【点睛】本题是二次函数与一次函数、圆、三角形的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，圆的相切，三角形面积，解一元二次方程等知识，综合性强，灵活运用这些知识是关键． 11．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点． (1)求，的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 【答案】(1)，. (2)存在， (3) 【分析】（1）通过长度先得到点坐标，再将两点代入函数解析式，解方程即可； （2）先求出直线的函数表达式，设出点坐标为，进而得到两点坐标，再通过列出方程，解方程即可； （3）取取，连接，，先证得，得到，进而可得到，再通过两点坐标求得长度． 【详解】解：（1）， 点坐标为， 将，代入， 得，， 解得， （2）设直线的表达式为， 由（1）可知抛物线的表达式为， 故点坐标为， 直线的表达式为 设点坐标为， 则， ， ， 若， 则， 解得， ， 故，此时点坐标为； （3）如图，取，连接， ，，， 又， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，能够熟练掌握二次函数的基本性质以及相似三角形的应用是解题关键． 压轴能力测评 一、解答题 1．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图1所示，在中，，作的平分线交于点D，作的外接圆，圆心为O， (1)求证：是切线； (2)如图2，记． ①当时，求的半径长； ②在下方优弧上取点P，使得，请用含a、b的代数式表示． 【答案】(1)见解析 (2)①的半径长为2；②． 【分析】（1）连接和，交于点，证明，由垂径定理的推论得到，再证明，即可证明是切线； （2）①证明，求得，即，求得，，再证明，求得，设的半径为，在中，利用勾股定理列式计算即可求解； ②证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：连接和，交于点， ∵，是的平分线， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是切线； （2）解：①由（1），又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设的半径为，则， 在中，，即， 解得， ∴的半径长为2； ②如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①得，则， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 2．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图1，已知为的直径，弦于点，是上一点，连接，，． (1)求证：； (2)如图2，延长相交于点，连接． ①已知，求的长； ②记与的交点为，若，当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据垂径定理得出，再根据圆周角定理即可得出答案； （2）①证明，得出，代入数据求出结果即可； ②连接，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，根据等腰三角形的性质得出，平分，证明，得出即可． 【详解】（1）证明：是直径，， ， ． （2）解：①，， ∴， ， ， ． ②连接， 是直径，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ，平分， ，， ， 四边形是圆的内接四边形， ，， 由（1）可知， ， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形相似的判定和性质，圆内角四边形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期中）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为M，的半径为2，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】对于（1），连接，根据同弧所对的圆周角相等得，再根据等边对等角得，然后根据圆周角定理得，最后根据三角形内角和定理得出答案； 对于（2），先根据垂径定理得，再根据直角三角形的性质得，然后根据勾股定理得，最后根据得出答案． 【详解】（1）连接， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵所对的圆周角是，圆心角是， ∴， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）∵是的直径，，垂足为M，的半径是2， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 根据勾股定理得， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，直角三角形的性质，连接圆心和圆上的点是证明切线的作辅助线的基本思路． 4．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在圆内接中，，弦，延长至点E，延长至点F，连接，使，延长交于点G，使，延长交于点H． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：． (3)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，证明三角形相似，灵活运用相似三角形的性质是解答本题的关键． （1）根据圆内接四边形的性质可得，由得，由直径所对圆周角是直角可求出； （2）证明，得，可证,由此可得结论； （3）证明可得结论． 【详解】（1）解：连接， ∵四边形内接于圆， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴； （2）解：∵四边形内接于圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴； （3）解：∵， ∴. ∵ ∴， ∴， ∴. 又∵， ∴. 5．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，是一条不过圆心的弦，点是的三等分点，直径交于点，连接交于点，连接，过点的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)连结交于点，若的半径为 ①若，求的周长； ②若，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；  ② 【分析】（）根据点是的三等分点，得出，根据是的直径，可得，根据切线的性质可得，即可证明； （）如图，连接，可证，得到，再根据平行线等分线段定理可得，进而由直角三角形的 性质可得，设，则，，利用勾股定理解得，则，，证明，，进而根据相似三角形的性质即可求解；②如图，过点作于点，则，设，则，，，证明 ，得出，则，得出，则，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵点是的三等分点， ∴， ∵是的直径 ， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴ （2）解：①如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 由勾股定理得, 即, 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图，过点作于点，则 ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，弧弦圆心角的关系，垂径定理的推论，切线的性质，平行线的判定，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图1，是的外角的角平分线，与的外接圆交于点． (1)若， ①求所对圆心角的度数； ②连结，，求证：是等边三角形． (2)如图2，若，，求的面积． 【答案】(1)①，②见解析 (2) 【分析】（1）①利用邻补角的意义和角平分线的定义解答即可； ②利用圆周角定理，圆的内接四边形的性质和等边三角形的判定定理解答即可； （2）连接并延长交于点，连接，，利用圆周角定理，同圆的半径相等的性质得到为等腰直角三角形，可求；利用等腰三角形的判定定理以及垂径定理得到，利用等腰直角三角形的性质求得，再利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）①解：， ． 所对圆心角的度数； ②证明：是的外角的角平分线， ． ， ， 为圆内接四边形的外角， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：连接并延长交于点，连接，，如图， 则， ， 为等腰直角三角形， ， ． 是的外角的角平分线， ， 为圆内接四边形的外角， ． ， ， ， ． ． ， ， ． ∴的面积为． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的内接四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图1，已知四边形内接于，，延长到，使，连接，是的中点，连接． (1)若的半径为2，，求劣弧的长； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，是的中点，过作的垂线交于点，连接，，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）如图1中，连接．求出即可解决问题． （2）如图1中，连接．首先证明，再利用三角形的中位线定理即可解决问题． （3）如图3中，连接．证明即可解决问题． 【详解】（1）解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴劣弧的长； （2）证明：如图1中，连接． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴； （3）证明：如图3中，连接． ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，弧长公式，全等三角形的判定和性质三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）定义：如果三角形的两个内角与满足，那么称这样的三角形为“类直角三角形”． 【尝试运用】 （1）如图1，在中，，，，是的平分线． ①求证：是“类直角三角形”； ②求出此时的长； ③请在边上找一点（异于点，使得也是“类直角三角形”，并求出此时的长． 【类比拓展】 （2）如图2，内接于，直径，弦，点是弧上一动点（不包括端点，，延长至点，连接，且，当是“类直角三角形”时，求的长． 【答案】（1）①见解析；②；③；（2） 【分析】（1）①证明即可解决问题； ②由勾股定理得，再由角平分线的性质得，然后由面积法求出的长，即可解决问题； ③如图，假设在边设上存在点（异于点，使得是“类直角三角形”．证明，可得，由此构建方程即可解决问题． （2）分两种情形：①如图，当时，作点关于直线的对称点，连接，．则点在上，且． ②如图，由①可知，点，，共线，当点与共线时，由对称性可知，平分，可证，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题． 【详解】（1）①证明： 是的角平分线， ， ， ， ， 为“类直角三角形”． ②解：如图，过点作于点， ，，， ，， 平分，， ， ， ， ， 即， 解得：； ③解：如图，假设在边设上存在点（异于点，使得是“类直角三角形”． ， ， ， ∴， ， ； （2）解：是直径， ， ，， ， ①如图，当时，作点关于直线的对称点，连接，．则点在上，且， ，且， ， ，，共线， ， ， ，即， （不合题意，舍去）． ②如图，由①可知，点，，共线，当点与共线时，由对称性可知，平分， ， ，， ， ，即， ， 在中，， （舍去负值）， 综上所述，当是“类直角三角形”时，的长为． 【点睛】本题通过“类直角三角形”为背景考查角平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、对称性和共线的性质，解题的关键是熟悉相似三角形的判定和性质以及分类讨论思想的应用． 9．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，在中，，，点D，E分别在上，线段绕点D顺时针旋转得到，其中旋转角，此时点F恰好落在上，过点D，E，F的圆交于点G，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)如图2，过点F作交于点H，写出与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)见解析 (3)；证明见解析 【分析】（1）先代入计算得到，再利用圆内接四边形的性质即可求解； （2）利用圆内接四边形的性质以及等弦对等弧求得，证得，再证明，据此即可证明； （3）取的中点Q，连接，利用直角三角形斜边中线的性质证明，再推出，结合（2）的结论即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 取的中点Q，连接， ∵， ∴，， ∵Q是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 10．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图1，在半径为2的扇形中，，点是上的一个动点（不与点、重合），点是的中点，交于，于． (1)当时，求线段的长； (2)在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由． (3)设，，求关于的函数关系式，并写出自变量取值范围． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）根据垂径定理有，再根据勾股定理即可求出的长度； （2）连接，根据勾股定理易求的长度，因为点和点是和的中点，根据三角形中位线定理即可求出； （3）由勾股定理有，根据，，，易得 ，过点作，垂足为点G，利用三角函数表示出和，由（2）知，由勾股定理表示出，从而表示出，根据三角形的面积公式即可得解． 【详解】（1）解：点是圆心，，， ， 又， ； （2）解：存在，是不变的． 如图，连接，则， 点是圆心，， 点是的中点， 点和点是和的中点， ； （3）解：如图，连结，过点作，垂足为点， ， ， ，，， ， ， 由（2）知， ， ， ， 点是上的一个动点（不与点、重合）， ，即， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线定理，三角形的面积等，解题的关键是灵活运用相关知识解决问题． 11．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）如图，四边形内接于，对角线是的直径，平分，交于点E，过点D作，交于点H，交延长线于点F． (1)求的度数． (2)求证：． (3)过点F作交延长线于点G，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由圆周角定理可知，进而可得，再结合圆的内接四边形的性质即可求解； （2）结合（1）可知，，结合，得到，根据四边形是的内接四边形，得到，证明即可得证． （3）在上截取，连接，，先证明，进而证明，利用四边形是的内接四边形，证明，再证明，即可得证，再结合勾股定理证明结论． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形是的内接四边形，则， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可知，，则， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形，则， 又∵ ∴， ∴， ∴． （3）证明：在上截取，连接，， 由（2）可知， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，，则， ∵， ∴，，， ∴， ∵四边形是的内接四边形，则， ∴，则， ∴， ∴， ∴，则， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了圆的内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 12．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，点D，E分别在上，线段绕点D顺时针旋转得到，其中旋转角，此时点F恰好落在上，过点D，E，F的圆交于点G，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)如图2，过点F作交于点H，写出与的数量关系并证明你的结论． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)；理由见解析 【分析】（1）先代入计算得到，再利用圆内接四边形的性质即可求解； （2）利用圆内接四边形的性质以及等弦对等弧求得，证得，再证明，据此即可证明； （3）取的中点Q，连接，利用直角三角形斜边中线的性质证明，再推出，结合（2）的结论即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 取的中点Q，连接， ∵， ∴，， ∵Q是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 13．（2024九年级上·浙江·专题练习）已知钝角三角形内接于，E、D分别为的中点，连接． (1)如图1，当点A、D、O在同一条直线上时，求证：． (2)如图2，当A、D、O不在同一条直线上时，取的中点F，连接交于点G，当时． ①求证：是等腰三角形； ②如图3，连并延长交于点H，连接．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析，②见解析 【分析】（1）先根据垂径定理证明，然后根据三角形的中位线解答即可； （2）①由中位线的性质和中点的定义可得，从而得到，由图知：，可证； ②延长交于点N，连接，由等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得，由平行线的性质和圆内接四边形的性质可证： ，进而可证，利用平行线判定定理即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵D是的中点，点A、D、O在同一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∵E、D分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． （2）证明：①∵E、D分别为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形． ②延长交于点N，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵°， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了三角形中位线定理、垂径定理、圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，添加辅助线是解题的关键． 14．（20-21九年级上·浙江台州·期末）如图，是的直径，C是上的一点，过点B作的切线，过圆心O作的平行线交直线于点F，交于点E，交于点D，连接． (1)判断与的位置关系，并证明结论； (2)若四边形是平行四边形，求的值； (3)若运动后能与重合，则 ，请说明图形的运动过程． 【答案】(1)与相切，见解析 (2) (3)1，见解析 【分析】（1）连接，证明，得出，结合切线的性质得出，即可得证； （2）根据题意作出图形，连接，证明四边形为正方形，得出，，推出，再求出，即可得解； （3）若运动后能与重合，得出必有，推出，进而得出，利用表示出和，进而求得比值，将沿直线，平移长度得，再将沿的平分线对折，则与重合． 【详解】（1）解：与相切． 理由如下：连接，如图1， ∵， ∴，， ， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 是的切线， ∴， ， 是的切线； （2）解：根据题意作出图形，如图2，连接， 四边形是平行四边形， ∴，， ， ∴，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， 是的切线， ∴， 四边形为正方形， ，， ∴， ， ∴， ； （3）解：为直径， ， 是的切线， ∴， ∵， ∴， 若运动后能与重合， 必有， ∴， ， 连接，如图3， ∵， ∴，， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴， ， 如图4，将沿直线，平移长度得，再将沿的平分线对折，则与重合， 故答案为：1． 【点睛】本题是圆的一个综合题，主要考查了圆的基本性质，切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正方形的性质，平移的性质，轴对称的性质，正确作出辅助线和综合运用这些知识是解本题的关键． 15．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．    (1)求的值． (2)已知点，D是射线上的动点（不与点A重合），过A，C，三点的圆与轴交于点，求证：． (3)在（2）的条件下，设D，两点的横坐标分别为，m． ①求m与n的数量关系； ②当时，求m，n的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3)①；② 【分析】（1）由题意易得，然后根据勾股定理及余弦的定义可进行求解； （2）作轴交于H，则有，由题意易得，然后可得，进而问题可求证； （3）①过点D作于点N，交的延长线于点M，连接，由题意易得，，，然后可得，进而问题可求解；②由题意易得，则有，然后根据①中结论可进行求解． 【详解】（1）解：由直线可知：当时，；当时，； ∴， ∴， ∴； （2）证明：作轴交于H，如图所示：    ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①过点D作于点N，交的延长线于点M，连接，如图所示：    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、一次函数及解直角三角形，熟练掌握相似三角形的性质与判定及解直角三角形是解题的关键． 16．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，为的直径，点为上一点，连结，，，过点作，交于点． (1)如图①，已知，求的度数． (2)如图①，已知，，求的长． (3)如图③，延长交于点，连结． ①探索并用等式表示线段，，之间的数量关系，说明理由； ②若，．求的半径． 【答案】(1) (2) (3)①，见解析；②或 【分析】（1）根据垂直，平角的性质可得，因为，可得，所以，根据三角形内角和定理即可求解； （2）如图所示，延长交于，连结，，可证，在中由勾股定理可得，根据，，可得，由此即可求解； （3）①根据圆周角定理可得，如图所示，连结并延长交的延长线于点，根据内接四边形的性质，三角形内角和定理可得， ，根据等角对等边可得，，由等腰直角三角形的性质可得，由此即可求解；②设，由①知，根据题意可证，可得，在中，根据勾股定理解得：或，当时，当时，由勾股定理可得的值，由此即可求解． 【详解】（1）解： ，，，， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图所示，延长交于，连结，， 是的直径， ， ∵， ∴， ， ， ， ，， ； （3）解：① ， ， 如图所示，连结并延长交的延长线于点， 为的直径， ， ∴， 在中，， ， ，， ，即； ②设， ，， 由①知， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ，整理得，， ∴， 解得：或， 当时，， ∴， ∴的半径为； 当时，， ∴， ∴的半径为； 的半径为或． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆周角，直径所对圆周角等于90度，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合是解题的关键． 17．（23-24九年级下·浙江宁波·开学考试）已知锐角内接于，于点，于点，交于点，交于点，连结．连结，． (1)直接写出与的数量关系； (2)如图，连结，在上取点，使得，，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直的性质可证，可得，，如图所示，连接，根据等腰直角三角形的性质可得，运用圆的基础知识可证，  ，可得，由此即可求解； （2）由（1）可得，，可证，可得，在中，根据勾股定理可得，可求出，，如图所示，过点作于点，可求出，再根据三角形的面积即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴，且， ∴， ∴，， 如图所示，连接， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，且， ∴，且， 在中， ， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴， 解得，或（不符合题意，舍去）或或（不符合题意，舍去）， ∴当时，；当时，； ∵， ∴，， 如图所示，过点作于点， ∴， ∴，， ∴的面积为：． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的综合运用是解题的关键． 18．（23-24九年级下·浙江金华·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，交轴于点，交轴于点，已知点在优弧上，连结，交轴于点，连结．    (1)求证：平分； (2)设的半径为2，当点运动时，的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由； (3)在（2）的条件下，连结，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)不变，4 (3) 【分析】本题考查了垂径定理的应用和切线与圆之间的性质关系，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理的应用和切线与圆之间的性质关系是解题的关键． （1）根据四边形是的内接四边形的性质可知，利用，，得到平分． （2）连接并延长，交于点，连接，易证，故即可解答． （3）连接，，易证分别为等边三角形、等腰直角三角形，，，再利用三角形外角的性质和三角函数可得到，的值即可得解． 【详解】（1）证明：四边形内接于， ． ， ． ， ． 即平分． （2）解：不变． 如图，连接并延长，交于点，连接．    可得． 是直径， ． ，， ． ， ． ，即． （3）解：连接，，    则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴是等边三角形，且； ∴； ∵为圆心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∴，即， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ． 19．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，在矩形中，，是直线上一动点，连结并延长至点，使，过点作于点，交直线于点，过点作交直线于点，以为直径的交直线于点．    (1)求证：； (2)当点在点的右侧时，若，且四边形的面积等于，求的半径； (3)若，在点的整个运动过程中， ①当为何值时，四边形是菱形？ ②连结，当与某一边所在的直线相切时，求出所有满足条件的的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)①或；②或． 【分析】（1）如图中，设交于，连接只要证明，，即可解决问题； （2）如图中，作于，设，则，，，利用面积公式求出即可解决问题； （3）分两种情形如图中，当四边形是菱形时．如图中，当四边形是菱形时．分别求解即可； 分三种情形讨论：与相切，与相切，与相切，分别求解即可； 【详解】（1）证明：如图中，设交于，连接．   是直径， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ； （2）如图中，作于，设， 则，，，    由题意， 解得， ， ， 的半径为； （3）如图中，当四边形是菱形时，   ， 是等边三角形， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ． 如图中，当四边形是菱形时，    易知，，， ， 综上所述，满足条件的的值为或． 如图中，当与相切时． 易知：，由可知，，．    如图中，当与相切时．易知，， ， ，， ．    如图中，当与相切时，由可知，， ，      综上所述，当与某一边所在的直线相切时，的长为或． 【点睛】本题考查圆综合题、切线的判定和性质、矩形的性质、菱形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题． 20．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）如图，在中，，点D是线段上的动点（不与A，B重合），连结，以为直径作，交于点E，交于点F，连结，，过F作于G，交于H． (1)①__________，__________（直接写出答案） ②求证：． (2)若是以为腰的等腰三角形，求的长． (3)当时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）过点A作于点M，过点B作于点N，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理解答即可；利用圆周角定理，等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理解答即可； （2）利用分类讨论的方法分两种情形解答：当时，当时； （3）过点D作，利用等高的三角形的面积比等于底的比的性质和相似三角形的判定与性质得到，利用直角三角形的边角关系定理即可求解． 【详解】（1）①过点A作于点M，过点B作于点N，如图， ∵ 设，则 ∴ ， 故答案为；2； ②证明： ∵为直径 ∴； （2）当时，如图 ∵为直径 ∴ ∴， ∴点O与点H重合 设，则 ， 由（1）知， 解得：或（不合题意，舍去） ； 当时，作，如图 设，则， ∵ ， 由（1）知， 综上，的长为3或； （3）过点D作，如图 ∵ ， 设，则 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，圆的有关性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质、勾股定理、平行线的性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$