九年级数学下学期期末考试试卷（浙教版，培优压轴卷）-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学下册压轴题攻略（浙教版）

九年级数学下学期期末考试试卷（浙教版，培优压轴卷） 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．一只不透明的袋子中装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回搅匀，再从中摸出第2个球．则两次摸出的球颜色相同的概率是（    ） A． B． C． D． 3．小明身高为1.5m，某一时刻小明在阳光下的影子是0.5m；同一时刻同一地点，测得学校教学大楼的影长是5m，则该教学大楼的高度为(　　) A．12.5m B．15m C．20m D．25m 4．如图，AD，BC相交于点O，由下列条件仍不能判定△AOB与△DOC相似的是（   ） A．AB∥CD B．∠C＝∠B C． D． 5．如图，点在半径为3的上，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 6．如图，中，，将绕点A逆时针旋转α（）得到，交于点F．当时，点D恰好落在上，则（　　） A．80° B．90° C．85° D．95° 7．如图，在中，，，以点C为圆心，以为半径作弧交于点D，再分别以B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点E，连接，以下结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 8．正方形网格中，如图所示放置（点O，A，C均在网格的格点上，且点C在上），则的值为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，直径与弦相交于点，连接弦，，．若，给出下列结论：①；②，则下列判断正确的是（    ）    A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 10．已知抛物线，当时，最大值与最小值的差为，若将抛物线向左平移4个单位后经过点，则a的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．在平面直角坐标系中，的半径为5，则点在 ．(填“内”、“上”或“外”) 12．有六张正面分别标有数字﹣2，﹣1，0，1，2，3的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，将该数字加1记为b．则数字a，b使得关于x的方程ax2+bx+＝0有解的概率为 ． 13．已知二次函数（m为常数）的图象与x轴有交点，且当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是   14．把一个矩形按如图方式划分成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，若，则的长为 ． 15．如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是 ． 16．定义：若x，y满足：，（k为常数）且，则称点为“好点”． （1）若是“好点”，则 ． （2）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“好点”，则c的取值范围为 ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C． （1）用尺规作出该轮的圆心O，并保留作图痕迹； （2）若△ABC是等腰三角形，设底边BC＝8，腰AB＝5，求该轮的半径R． 18．“双减”政策下，为了切实提高课后服务质量，某中学开展了丰富多彩的课后服务活动，设置了劳动技能、经典阅读、科普活动三大板块课程（依次记为）．若该校小红和小星两名同学随机选择一个板块课程． (1)小红选择“科普活动”板块课程的概率是______； (2)利用画树状图或列表的方法，求小红和小星同时选择“劳动技能”板块课程的概率． 19．如图，是等边三角形，点分别在边上，， (1)求证：； (2)若，，则的长． 20．如图为某城市公园平面示意图，为公园大门，，，分别为三个休闲点．经测量，，，在同一条直线上，且，在的正北方向，米，点在点的南偏东方向，在点的东南方向．（参考数据：，） (1)求，两地的距离；（结果精确到0.1米） (2)大门在休闲点的南偏西方向，求，两地的距离． 21．如图，在中，，，经过A、C两点，交于点D，的延长线交于点F，交于点E． (1)求证：为的切线； (2)若8，，求FC的长 22．甲、乙、丙三同学玩跳绳，绳被甩到最高处时的形状是如图所示的抛物线．已知拿绳的甲、乙两同学甩绳时手间距为6米，手到地面的距离和都为1.3米，身高为1.6米的丙同学站在距点的水平距离为1米的点处，绳子甩到最高处时刚好擦过丙同学头顶．以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求此抛物线解析式，并注明x的取值范围； (2)如果绳子甩到最高处时刚好擦过丙同学头顶，丙同学在之间是否存在除外的另一站点，若存在，求该站点到点的距离，若不存在，说明理由． 23．在平面直角坐标系中，设二次函数（a，b是常数，）． (1)若，当时，．求y的函数表达式． (2)写出一题a，b的值，使函数的图象与x轴只有一个公共点，并求此函数的顶点坐标． (3)已知，二次函数的图象和直线都经过点（2，m），求证． 24．如图1，四边形内接于，对角线平分，连接交于点． (1)求证：； (2)若为直径，如图2，求的值； (3)若，且，求的值． ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学下学期期末考试试卷（浙教版，培优压轴卷） 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成比例线段，熟记“如果，那么”是解题关键． 【详解】解：， ， ， ． 故选：C． 2．一只不透明的袋子中装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回搅匀，再从中摸出第2个球．则两次摸出的球颜色相同的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：画树状图得： ∴一共有9种可能的结果，两次摸出的球颜色相同的有5种， ∴两次摸出的球颜色相同的概率为． 故选：A． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 3．小明身高为1.5m，某一时刻小明在阳光下的影子是0.5m；同一时刻同一地点，测得学校教学大楼的影长是5m，则该教学大楼的高度为(　　) A．12.5m B．15m C．20m D．25m 【答案】B 【分析】在相同时刻，物高与影长组成的直角三角形相似，利用对应边成比例可得所求的高度． 【详解】解：∵在相同时刻，物高与影长组成的直角三角形相似， 设教学楼高为x， ∴， ∴x=15， 因此教学大楼的高度为15米． 故选：B． 【点睛】考查相似三角形的应用，要注意在相同时刻，物高与影长的比相同． 4．如图，AD，BC相交于点O，由下列条件仍不能判定△AOB与△DOC相似的是（   ） A．AB∥CD B．∠C＝∠B C． D． 【答案】D 【分析】本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断． 【详解】解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意． B、由∠AOB＝∠DOC、∠C＝∠B能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意． C、由 、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意． D、已知两组对应边的比相等： ，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，故本选项符合题意． 故选：D 【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 5．如图，点在半径为3的上，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，弧长的计算．根据，先计算，再用弧长公式计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 6．如图，中，，将绕点A逆时针旋转α（）得到，交于点F．当时，点D恰好落在上，则（　　） A．80° B．90° C．85° D．95° 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和等知识，掌握旋转的性质、等腰三角形的性质是解题的关键；由旋转的性质及等腰三角形的性质求得，由三角形内角和求得的度数，再由三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵将逆时针旋转α（），得到， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．如图，在中，，，以点C为圆心，以为半径作弧交于点D，再分别以B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点E，连接，以下结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键．由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D． 【详解】解：由题意得，，平分， ∵在中，，， ∴ ∵平分， ∴，故A正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴，故C正确； 过点E作于G，于H，    ∵平分，，， ∴ ∴，故错误； 故选：D． 8．正方形网格中，如图所示放置（点O，A，C均在网格的格点上，且点C在上），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作交于点D，首先得到，然后根据勾股定理求出的长度，然后即可求出的值． 【详解】作交于点D， 由网格的特点可得， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了求特殊角三角函数值，解题的关键在于根据题意构造直角三角形求解． 9．如图，在中，直径与弦相交于点，连接弦，，．若，给出下列结论：①；②，则下列判断正确的是（    ）    A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 【答案】A 【分析】根据已知条件设，则，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，根据三角形内角和定理以及对顶角相等得出，根据等角对等边即可判断①，连接，证明，根据相似三角形的性质，即可得出②，从而求解． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵，设，则， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ， ∴， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 即， ∴，故②正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 10．已知抛物线，当时，最大值与最小值的差为，若将抛物线向左平移4个单位后经过点，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，平移的性质以及二次函数的性质，关键是掌握平移的性质和二次函数的性质．先根据平移的性质得出抛物线过点，然后求出抛物线对称轴，得到抛物线的解析式为，再根据二次函数的性质得出当时，y有最大值，当时，y有最小值，根据题意列出方程，从而得出结论． 【详解】解：∵将抛物线向左平移4个单位后经过点， ∴抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一交点为， 又∵，离对称轴越远，函数的值越小， 当时，且， ∴当时，y有最大值， 当时，y有最小值， 由题意得，即， ∴（舍去），， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．在平面直角坐标系中，的半径为5，则点在 ．(填“内”、“上”或“外”) 【答案】上 【分析】根据勾股定理求出OP的长，再与的半径相比即可解答. 【详解】解：∵OP=和的半径相等，故点P在圆上. 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，即点到圆心距离小于半径在圆内、等于半径在圆上、大于半径在圆外. 12．有六张正面分别标有数字﹣2，﹣1，0，1，2，3的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，将该数字加1记为b．则数字a，b使得关于x的方程ax2+bx+＝0有解的概率为 ． 【答案】 【分析】根据题意可以求得a的取值范围，找出符合a的数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：由题意可得b＝a+1， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+ ＝0有解， ∴b2﹣4a×＝b2﹣4a＝（a+1）2﹣a2≥0， 解得a≥﹣ ， ∴数字a，b使得关于x的方程ax2+bx+＝0有解的概率为：4÷6＝ ； 故答案为． 【点睛】此题考查了概率公式，用到的知识点是概率公式和根的判别式．注意概率=所求情况数与总情况数之比，求出符合要求的a，b的值是解题关键． 13．已知二次函数（m为常数）的图象与x轴有交点，且当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是   【答案】/ 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点和二次函数的图象与性质，掌握抛物线与轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键．根据图象与轴有交点，得出判别式，解得；再求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向下，且当时，y随x的增大而增大，得出，从而得出答案． 【详解】解：∵二次函数（m为常数）的图象与轴有交点， ∴， 解得：， ∵抛物线的对称轴为直线，开口向下，且当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴实数m的取值范围是． 故答案为：． 14．把一个矩形按如图方式划分成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．根据题意得小长方形的宽为3，设，相似图形的对应边相等即可得到关于x的方程，求解即可． 【详解】解：根据题意得小长方形的宽为3， 设， ∵小矩形与原矩形相似， ∴， 解得（负值舍去）， 故原长方形的宽为． 故答案为： ． 15．如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是 ． 【答案】 【分析】如图，连接AD，CF，交于点O，作直线MO交CD于H，过O作OP⊥AF于P，由正六边形是轴对称图形可得： 由正六边形是中心对称图形可得： 可得直线MH平分正六边形的面积，O为正六边形的中心，再利用直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接AD，CF，交于点O，作直线MO交CD于H，过O作OP⊥AF于P， 由正六边形是轴对称图形可得： 由正六边形是中心对称图形可得： ∴直线MH平分正六边形的面积，O为正六边形的中心， 由正六边形的性质可得：为等边三角形， 而 则 故答案为： 【点睛】本题考查的是正多边形与圆的知识，掌握“正六边形既是轴对称图形也是中心对称图形”是解本题的关键． 16．定义：若x，y满足：，（k为常数）且，则称点为“好点”． （1）若是“好点”，则 ． （2）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“好点”，则c的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标的特征以及新定义问题，正确理解新定义是解决本题的关键． （1）根据好点”定义可得：，进而计算求解m即可； （2）由已知可得：，进而求出直线的解析式，所以抛物线 与直线的交点就是好点，再计算即可． 【详解】解：（1）由好点”定义可得：， ∴， 整理得：， ∴或5， ∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线上的点都是好点， 当时，．当时，， 如图，直线解析式为，， 抛物线与直线的交点就是好点， 当抛物线过点A时，， 解得：， 当抛物线与有且只有一个交点时， 有， 整理得：， ∴， 解得：， ∴c的取值范围为： ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C． （1）用尺规作出该轮的圆心O，并保留作图痕迹； （2）若△ABC是等腰三角形，设底边BC＝8，腰AB＝5，求该轮的半径R． 【答案】（1）见解析；（2）该轮的半径R为． 【分析】（1）分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心； （2）设该轮的半径为R，在Rt△BOD中，利用勾股定理解决问题即可． 【详解】（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心； （2）连接AO、BC相交于点D，连接OB， 根据题意可知OA⊥BC，D为BC的中点， 在Rt△ABD中，AB=5，BD=BC=4， ∴AD==3， 设该轮的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝R﹣3， ∴R2＝42+（R﹣3）2， 解得：R＝， ∴该轮的半径R为． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，垂径定理的推论，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18．“双减”政策下，为了切实提高课后服务质量，某中学开展了丰富多彩的课后服务活动，设置了劳动技能、经典阅读、科普活动三大板块课程（依次记为）．若该校小红和小星两名同学随机选择一个板块课程． (1)小红选择“科普活动”板块课程的概率是______； (2)利用画树状图或列表的方法，求小红和小星同时选择“劳动技能”板块课程的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键． （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表，共有9种等可能的结果，其中小红和小星选同一个板块课程的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）从这三个板块中选一个， 选择板块的概率为：； （2）列表如下： 小红小星 共有种等可能的结果，其中小红和小星同时选到劳动技能课程的结果有种， 所以，（小红和小星同时选到劳动技能课程）． 19．如图，是等边三角形，点分别在边上，， (1)求证：； (2)若，，则的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质： （1）等边三角形的性质，得到，三角形的外角，推出，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．如图为某城市公园平面示意图，为公园大门，，，分别为三个休闲点．经测量，，，在同一条直线上，且，在的正北方向，米，点在点的南偏东方向，在点的东南方向．（参考数据：，） (1)求，两地的距离；（结果精确到0.1米） (2)大门在休闲点的南偏西方向，求，两地的距离． 【答案】(1)，两地的距离为339.4米 (2)，两地的距离为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，三角形外角的性质， （1）作，根据三角形的外角的性质得，根据直角三角形的性质可得，即可得，，再根据特殊角的三角函数值求出，进而得出答案； （2）作，根据特殊角的三角函数求出，再求出，然后根据得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． ∵，， ∴，， ∴，， 在中，米， ∴（米）， ∴（米）． 答：，两地的距离为339.4米． （2）解：如图，过点作于点，则． 由（1）知米． ∵，， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴（米）． 在中，， ∴（米）， ∴（米）． 答：，两地的距离为米． 21．如图，在中，，，经过A、C两点，交于点D，的延长线交于点F，交于点E． (1)求证：为的切线； (2)若8，，求FC的长 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到根据切线的判定定理得到为的切线； （2）过点作于点，根据等腰直角三角形的性质得到，根据三角函数的定义得到，根据勾股定理得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 为的切线； （2）解：过点作于点， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， ． 故的半径为． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行线的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 22．甲、乙、丙三同学玩跳绳，绳被甩到最高处时的形状是如图所示的抛物线．已知拿绳的甲、乙两同学甩绳时手间距为6米，手到地面的距离和都为1.3米，身高为1.6米的丙同学站在距点的水平距离为1米的点处，绳子甩到最高处时刚好擦过丙同学头顶．以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求此抛物线解析式，并注明x的取值范围； (2)如果绳子甩到最高处时刚好擦过丙同学头顶，丙同学在之间是否存在除外的另一站点，若存在，求该站点到点的距离，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，存在另一站点到点的距离为5米 【分析】本题考查二次函数解决实际问题，涉及待定系数法确定函数解析式、已知函数值求自变量的值、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键． （1）读懂题意，利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （2）根据题意，设站点到点的距离为，得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设此抛物线的解析式为， 由题意得点，，， 代入得，解得， ∴抛物线的解析式为，； （2）解：存在， 理由如下：如果存在另一站点，设站点到点的距离为，则，即，解得或， 当时，即为站点， ∴存在另一站点到点D的距离为5米． 23．在平面直角坐标系中，设二次函数（a，b是常数，）． (1)若，当时，．求y的函数表达式． (2)写出一题a，b的值，使函数的图象与x轴只有一个公共点，并求此函数的顶点坐标． (3)已知，二次函数的图象和直线都经过点（2，m），求证． 【答案】(1)y＝x2−x＋2 (2)（−1，0） (3)见解析 【分析】（1）把a＝1代入二次函数的关系式，再把x＝−1，y＝4代入求出b的值，进而确定二次函数的关系式； （2）令y＝0，则ax2＋bx＋2＝0，当Δ＝0时，求得b2＝8a，据此写出一组a，b的值，化成顶点式即可求得顶点坐标； （3）根据题意得到4a＋2b＋2＝2a＋4b，整理得b＝a＋1，则a2＋b2＝2a2＋2a＋1＝2（a＋）2＋，根据二次函数的性质即可得到a2＋b2≥． 【详解】（1）解：把a＝1代入得，y＝x2＋bx＋2， ∵当x＝−1时，y＝4， ∴4＝1−b＋2， ∴b＝−1， ∴二次函数的关系式为y＝x2−x＋2； （2）解：令y＝0，则ax2＋bx＋2＝0， 当Δ＝0时，则b2−8a＝0， ∴b2＝8a， ∴若a＝2，b＝4时，函数y＝ax2＋bx＋2的图象与x轴只有一个公共点， ∴此时函数为y＝2x2＋4x＋2＝2（x＋1）2， ∴此函数的顶点坐标为（−1，0）； （3）证明：∵二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象和直线y＝ax＋4b都经过点（2，m）， ∴4a＋2b＋2＝2a＋4b， ∴2a＋2＝2b， ∴b＝a＋1， ∴a2＋b2 ＝a2＋（a＋1）2 ＝2a2＋2a＋1 ＝2（a＋）2＋， ∴a2＋b2≥． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键：（1）熟知待定系数法；（2）求得b＝a＋1；（3）熟知二次函数的性质． 24．如图1，四边形内接于，对角线平分，连接交于点． (1)求证：； (2)若为直径，如图2，求的值； (3)若，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，再根据同一个圆中，相等的圆心角所对的弦相等即可证明； （2）延长到点E，使得，连接，由四点共圆，可得，则，再由直径所对的圆周角为，得，，再由勾股定理可得，即可得出的值． （3）由题意可得，设，得出，证出，，再由求出，再由得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，延长到点E，使得，连接， ∵四点共圆， ∴， ∵， ∴； 又由（1）知， 在和中， ， ∴， ∴，； ∵为直径， ∴，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴； ∵， ， ． （3）解：由题可知：，， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 且，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得（负值已舍去）， ∵，， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了圆的综合性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解题的关键． ( 22 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