专题19角的有关计算压轴大题专练（巩固提升16题+能力培优8题+拓展突破8题）-【寒假分层作业】2025年七年级数学寒假培优练（人教版）

专题19角及动态计算压轴大题专练（巩固提升16题+能力培优8题+拓展突破8题） 知识清单 1.角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 2.余角和补角 ①如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角．用数学语言表示为如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β互余；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90°. ②如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角．用数学语言表示为如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β互补；反过来，如果∠α与∠β互补，那么∠α+∠β=180°. ③同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等． 3.旋转动角问题 一般采用三步解题技巧： ①找：根据题意找到目标角度； ②表：表示出目标角度.常见类型如下： 1)角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间； 2)角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角-速度×时间； 3)角度一边动另一边不动，角度先变小后变大： 变小：目标角=起始角-速度×时间 变大：目标角=速度×时间-起始角 ③列：根据题意列方程求解. 三角板有两种，一种是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一种是特殊角的直角三角板(90°、60°、 30°) ． 三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，是平角，，，、分别是、的平分线． (1)猜想与是否互补，并说明理由； (2)求的度数； (3)如果只改变和的度数，其他条件不变，则与有什么样的数量关系？请直接写出结论． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知内部有三条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数； (3)若将题中“平分”的条件改为“，”，且，直接写出的度数． 3．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）如图1，为直线上一点，过点在直线上方作射线，．将直角三角板的直角顶点放在点处，一条边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为秒．    (1)如图2，当时，________，________，________； (2)当三角板旋转至边与射线相交时（如图3），请直接写出与的数量关系________． (3)在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线、、中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请直接写出的取值，若不存在，请说明理由． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图1，在直线上摆放一副直角三角板，两三角板顶点重合于点，，，将三角板绕点以每秒的速度顺时针方向转动，设转动时间为秒． (1)如图，若平分，则的最小值为 ；此时 度；（直接写答案） (2)当三角板转动如图的位置，此时同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由；（数量关系中不含） (3)若当三角板开始转动的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针转动，当旋转至射线上时，两三角板同时停止运动： 当为何值时，； 在转动过程中，请写出与的数量关系，并说明理由．（数量关系中不含） 5．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知，（，且不与重合）． (1)当时，若射线在内，请用量角器在图1中画出射线，则的度数为 ； (2)当时，平分，求的度数． 6．（23-24七年级上·陕西汉中·期末）如图，已知，从的顶点O引出一条射线，射线在的内部，将射线绕点O逆时针旋转到，且． (1)如图①，若，试判断与之间的大小关系并说明理由； (2)如图②，作射线，射线为的平分线，设，当时，若射线恰好平分，求的度数． 7．（2024七年级上·浙江·专题练习）将三角板的直角顶点O放置在直线上． (1)如图，且射线平分，则的大小为 ； (2)在（1）的条件下，射线平分，射线平分，求的度数； (3)若将三角板绕点O旋转，射线平分，射线平分．请写出与度数的等量关系： ． 8．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）两个形状、大小完全相同的含有和的三角板如图1放置，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转． (1)如图1，________； (2)如图2，若三角板保持不动．三角板绕点逆时针旋转一定角度后，平分，平分，求的度数． (3)如图3，在图1的基础上，若三角板开始绕点逆时针旋转，转速为/秒，同时三角板绕点逆时针旋转，转速为/秒，当旋转到与第一次重合时，两三角板都停止转动．在旋转过程中，是否为定值?若是，请直接写出此定值． 9．（19-20七年级上·江西赣州·期末）如图，已知：平分，平分． (1)若， ①求出及其补角的度数； ②求出和的度数，并判断与是否互补； (2)若，则与是否互补？请说明理由． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）如图1，为直线上一点，过点在直线的上方作射线，使．将一块直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中，． (1)将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第______s时，边恰好与射线平行；第______时，直线恰好平分锐角； (3)将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 11．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）如图，有一副三角尺，，，． (1)把三角尺按图1所示方式放置，当平分时，求的度数： (2)将三角尺绕点O顺时针旋转，使射线重合，且平分，平分，在图2中补全图形，并直接写出的度数______； (3)如图3，将三角尺绕点O旋转，把旋转到的外部（始终在直线右侧），平分，平分，则的度数为______． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）【阅读理解】 如图①，射线在内部，图中共有三个角、．若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“巧线”． （1）的平分线______这个角的“巧线”；（填“是”或“不是”） （2）若，射线为的“巧线”，则______． 【问题解决】 如图②，已知，射线从出发，以的速度顺时针方向旋转，射线从出发，以的速度逆时针方向旋转．两条射线同时旋转，当其中一条射线旋转到与的边重合时，运动停止，设旋转的时间为．当为何值时，射线、、中一条射线恰好是以另外两条射线为边构成的角的“巧线”？说明理由． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）已知点，，在同一条直线上，． (1)如图1，若，，平分，求与的度数； (2)如图2，，平分，平分，求的度数； (3)如图3，与互余，若也与互余，请直接写出的度数．（用含的式子表示） 14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图①，，平分，平分． (1)已知，求的度数； (2)若（1）中，其他条件不变，求的度数； (3)在如图②中，若，其他条件不变，求的度数． 15．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）已知，在下列各图中，点O为直线上一点，，直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图1，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方，则的度数为_________°，的度数为_________°； (2)如图2，三角板一边恰好在的角平分线上，另一边在直线的下方，此时的度数为_________°； (3)在图2中，延长线段得到射线，如图3，则的度数为_________°；与的数量关系是_________（填“”、“”或“”）； (4)将图1中的三角板绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为_________．（直接写出答案） 16．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在同一平面内，． (1)填空：_________； (2)如果平分，平分，那么的度数为_________； (3)试问在（2）的条件下，如果将题目中改为，其他条件不变，你能求出的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． 17．（24-25七年级上·全国·期末）阅读材料并回答问题： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图1，，平分．若，请你补全图形，并求的度数． 同学一：以下是我的解答过程（部分空缺） 解：如图2， ∵，平分，∴ ° ∵，∴ = ° 同学二：“符合题目要求的图形还有一种情况．” 请你完成以下问题： (1)将同学一的解答过程空缺部分补充完整； (2)判断同学二的说法是否正确，若不正确，请说明理由；若正确，请你在图1中画出另一种情况对应的图形，并求的度数． 18．（24-25七年级上·全国·期末）如图，直角边放置在直线上，现在三角形绕直角顶点O作逆时针匀速转动，每秒钟转，运动时间为． (1)当运动时间t为5秒时， ； (2)当时，求t的值； (3)在运动过程中若射线平分，射线平分，当在直线上面时 ，当在直线下面时 ． 19．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）综合与实践 活动课上，老师让同学们利用三角板进行探究活动，同学们经过动手操作探究，发展空间观念，并积累了数学活动经验． 【问题背景】如图1，将一个含，角的直角三角板按如图所示摆放，，斜边与直线重合．将三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转一周，射线始终平分．设旋转时间为秒． 【问题探究】 (1)当0时，_____； (2)如图，在旋转的过程中，当在直线上方且等于时，请求出的值； (3)在旋转的过程中，是否存在某一时刻，使得射线平分，若存在，求出旋转时间；若不存在，说明理由． 20．（24-25七年级上·全国·期末）如图，点O为直线上一点，过点O 作射线，使 ．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边 在射线上，另一边在直线的下方． (1)求图①中的三角板绕点O逆时针旋转至图②，使一边在的内部，且恰好平分求的度数． (2)将图①中的三角板绕点O 顺时针旋转至图3，使在的内部，请探究与的数量关系，并说明理由． 21．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）点为直线上一点，在直线同侧任作射线，使得． (1)如图一，过点作射线，使为的角平分线．若时．则________，__________； (2)如图二，过点作射线．当恰好为的角平分线时，另作射线．使得平分． ①若，求的度数（写出推理过程）； ②若，则的度数是_________（直接填空）； 22．（2024七年级上·全国·专题练习）若，我们则称是的“绝配角”．例如：若，，则是的“绝配角”，请注意：此时不是的“绝配角”． ． (1)如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“绝配角”，此时______：（直接填写答案） (2)如图2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“绝配角”，与互补，求大小： (3)如图3，若，射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为t秒（）． ①当时，是的“绝配角”，求出此时t的值： ②当时，______时，是的“绝配角”（直接填写答案）． 23．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图1，，射线在平面内． (1)如图，垂直，平分，则的度数为______； (2)若与互补，求的大小； (3)若射线绕点O从射线的反向延长线的位置出发，以每秒的速度顺时针旋转；同时射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转，各自旋转后停止转动，请直接写出使得射线，，中某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线的时间______． 24．（24-25七年级上·河北沧州·期中）点为直线上一点，在直线同侧作射线，射线D，使得． (1)如图1，过点作射线，使为的平分线，若时．求的度数； (2)如图2，过点作射线，使恰好为的平分线，另作射线，使平分， ①若，求的度数； ②若，则的度数是 ； (3)过点作射线，使恰好为的平分线，另作射线，使得平分，当时，直接写出的度数． 25．（23-24七年级上·福建三明·期中）将一副直角三角板，，按如图叠加放置，其中与重合，，． (1)如图1，点在直线上，且位于点的左侧，求的度数； (2)将三角板从图位置开始绕点顺时针旋转，并记，分别为，的角平分线． ①当三角板旋转至如图的位置时，求的度数． ②若三角板的旋转速度为每秒，且转动到时停止，运动时间记为（单位：秒），试根据不同的的值，求的大小． 26．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）综合与探究 探索新知： 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． （1）一个角的平分线______________这个角的“巧分线”（填“是”或“不是”）； （2）若，且射线是的“巧分线”，则______________（用含的代数式表示）； 深入研究： 如图2，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中．将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，当边落在射线上时两个三角板停止旋转，设三角板运动时间为秒．请直接写出当是的“巧分线”时的值． 27．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）【问题提出】 如图1，，在内，在外，平分，平分，试探究和的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化．如图2，若，． ①直接写出=______，=______； ②直接写出的值． （2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中②的结论仍然成立． 【问题拓展】 （3）已知，在的外部，平分，平分，且． ①如图3，求的度数； ②如图4，直接写出的度数． 28．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图1，已知，射线以每秒的速度，从射线开始逆时针向射线旋转，到达射线之后又以同样的速度顺时针返回，直到到达射线停止，射线从射线开始，以每秒的速度顺时针向射线旋转，直到到达各自的目的地才停止．设旋转时间为t秒． (1)当秒时，求出的度数． (2)在运动过程中，当达到时，求t的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线、射线、射线其中一条射线是另外两条射线组成的角的角平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 29．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）将一副直角三角板（分别含、、和、、的角）叠放在量角器上，、分别平分和． 【特例感知】 （1）如图①，如果点、、在同一直线上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器刻度线重合，那么______； 【规律探究】 （2）如图②，如果两个直角三角板有重叠， ①当时，求的度数； ②当时，______；（用含的式子表示） 【解决问题】 （3）如图①，将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转．两三角板同时旋转，当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，如果与两角平分线的夹角为，请求出的值． 30．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，射线在的内部，平分，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，，，求的度数． 31．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：平分， （本题不能直接用三角形内角和） (1)如图1， 求证：； (2)如图2， 点K、F分别在 的延长线上， 点C在线段上， 且满足，求证：； (3)如图3， 在（2）的条件下，，且平分，求 的度数． 32．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：，点E在直线、之间，连接、．            (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若平分，平分交于点F，直接写出和之间的数量关系________； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点G，在上取一点K，连接交于点H，，若，．求． ( 14 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19角及动态计算压轴大题专练（巩固提升16题+能力培优8题+拓展突破8题） 知识清单 1.角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 2.余角和补角 ①如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角．用数学语言表示为如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β互余；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90°. ②如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角．用数学语言表示为如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β互补；反过来，如果∠α与∠β互补，那么∠α+∠β=180°. ③同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等． 3.旋转动角问题 一般采用三步解题技巧： ①找：根据题意找到目标角度； ②表：表示出目标角度.常见类型如下： 1)角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间； 2)角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角-速度×时间； 3)角度一边动另一边不动，角度先变小后变大： 变小：目标角=起始角-速度×时间 变大：目标角=速度×时间-起始角 ③列：根据题意列方程求解. 三角板有两种，一种是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一种是特殊角的直角三角板(90°、60°、 30°) ． 三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，是平角，，，、分别是、的平分线． (1)猜想与是否互补，并说明理由； (2)求的度数； (3)如果只改变和的度数，其他条件不变，则与有什么样的数量关系？请直接写出结论． 【答案】(1)互补，见解析 (2)135度 (3) 【分析】本题主要考查角的运算，根据图形理清各个角之间的关系是解题的关键． （1）先求出，得，故可得结论； （2）先根据角平分线的意义求出和，再根据，即可求解； （3）根据、分别是的平分线，再利用角的和可得结论． 【详解】（1）解：与互补；理由如下： 因为，，是的平分线， 所以， 所以， 所以， 所以与互补； （2）解：因为，分别是、的平分线， 所以 ，， 所以； （3）解：． 因为，分别是、的平分线， 所以，， 所以． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知内部有三条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数； (3)若将题中“平分”的条件改为“，”，且，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查的是角的计算，熟练掌握图形中相关角之间的和、差、倍、分关系是解题的关键． （1）先求得的度数，然后，再依据角平分线的定义求得、的度数，最后，再依据求解即可； （2）按照（1）的思路先求得的度数，然后再求得、的度数，最后，再依据求解即可； （3）先求得的度数，然后，依据题意求得、的度数，最后，再依据求解即可． 【详解】（1）解： ，， ； 平分，平分， ，， ； （2）解：，平分，平分， ； （3）解：，，， ． 3．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）如图1，为直线上一点，过点在直线上方作射线，．将直角三角板的直角顶点放在点处，一条边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为秒．    (1)如图2，当时，________，________，________； (2)当三角板旋转至边与射线相交时（如图3），请直接写出与的数量关系________． (3)在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线、、中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请直接写出的取值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，当或或时，射线、、中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线，理由见详解 【分析】本题主要考查几何中交点的计算，角平分线的定义，旋转的性质，掌握角平分线的定义，角的和差计算，图形中角的关系是解题的关键． （1）根据题意可得，，，当时，，根据，，由此即可求解； （2）根据图示可得，，，当与相交时，，则有，由此即可求解； （3）根据角平分线的定义，分类讨论：第一种情况，当平分时；第二种情况，当平分时；第三种情况，如图所示，当平分时；数形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示，， ∴，， ∵将直角三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒， ∴， 如图2所示，当时，， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：如图3所示，，， ∵三角板在旋转过程中，的度数逐渐减小， ∴当与重合时，旋转的时间为， ∴当与相交时，， 当与重合时，旋转的时间为， ∴当与相交时，， ∴当与相交时，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：存在，理由如下， 根据题意，可得， 第一种情况，当平分时， ∵，， ∴， ∴， 解得，； 第二种情况，当平分时， ∴， ∴，即， 解得，； 第三种情况，如图所示，当平分时，    ∴，则， 解得，， ∵将直角三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转一周的时间为，， ∴符合题意； 综上所示，当或或时，射线、、中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图1，在直线上摆放一副直角三角板，两三角板顶点重合于点，，，将三角板绕点以每秒的速度顺时针方向转动，设转动时间为秒． (1)如图，若平分，则的最小值为 ；此时 度；（直接写答案） (2)当三角板转动如图的位置，此时同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由；（数量关系中不含） (3)若当三角板开始转动的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针转动，当旋转至射线上时，两三角板同时停止运动： 当为何值时，； 在转动过程中，请写出与的数量关系，并说明理由．（数量关系中不含） 【答案】(1)；； (2)，理由见解析； (3)或； ，理由见解析． 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． （）的最小值即第一次平分时的值；求出的度数即可求出的值； （）用含的代数式分别表示出和，然后相减即可； （）分在的左侧时和在的右侧时两种情况求解； 由题意得，，，，从而，，进而可得； 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∴， 此时， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴； （3）解：如图4，    当在内部时， ∵，，， ∴， ∴， 如图5，        当在外部时， ∵，，， ∴， ∴， 综上所述：或； 如图6，       ∵，， ∴． 5．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知，（，且不与重合）． (1)当时，若射线在内，请用量角器在图1中画出射线，则的度数为 ； (2)当时，平分，求的度数． 【答案】(1) (2)的度数为或 【分析】本题考查了角的计算，熟练掌握角平分线的定义是解本题的关键，综合性较强，难度适中． （1），当时，即，是角平分线，计算求值即可； （2），当时，即，平分，计算求值即可． 【详解】（1）解：如图所示： ∵， ∴当时，即， ∴是角平分线， ∵， ∴． 运用量角器作图如下： 故答案为：； （2）∵， ∴当时，即， ①当点P在内部时， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点P在外部时， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∴的度数为或． 6．（23-24七年级上·陕西汉中·期末）如图，已知，从的顶点O引出一条射线，射线在的内部，将射线绕点O逆时针旋转到，且． (1)如图①，若，试判断与之间的大小关系并说明理由； (2)如图②，作射线，射线为的平分线，设，当时，若射线恰好平分，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据，，即可确定两个角的大小； （2）根据角平分线的定义可得，，，根据列方程，求出α的值，再根据计算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， 又∵ ∴， ∴； （2）∵射线恰好平分， ∴， ∴， ∵射线为的平分线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．（2024七年级上·浙江·专题练习）将三角板的直角顶点O放置在直线上． (1)如图，且射线平分，则的大小为 ； (2)在（1）的条件下，射线平分，射线平分，求的度数； (3)若将三角板绕点O旋转，射线平分，射线平分．请写出与度数的等量关系： ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角平分线的定义以及角的计算，掌握角平分线的定义以及平角的定义是正确解答的前提． （1）根据角平分线的定义以及平角的定义进行计算即可； （2）由平角的定义，角平分线的定义以及角的和差关系即可得出答案； （3）根据角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ； ； （3）∵射线平分，射线平分． ∴，， ∴； ； ； ， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）两个形状、大小完全相同的含有和的三角板如图1放置，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转． (1)如图1，________； (2)如图2，若三角板保持不动．三角板绕点逆时针旋转一定角度后，平分，平分，求的度数． (3)如图3，在图1的基础上，若三角板开始绕点逆时针旋转，转速为/秒，同时三角板绕点逆时针旋转，转速为/秒，当旋转到与第一次重合时，两三角板都停止转动．在旋转过程中，是否为定值?若是，请直接写出此定值． 【答案】(1) (2) (3)为定值，这个定值为 【分析】本题主要考查三角板中角度的计算，角平分线的定义，理解图示中角度的关系，掌握角度之间的数量关系，角度的和差计算方法是解题的关键． （1）根据题意可得，，由平角的性质可得，由此即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，，设，则，，由此可得，根据，即可求解； （3）根据可以得可得，运动的速度差为秒，，用含的式子分别表示出，再根据题意计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分，平分， ∴， 设，则，， ∴，整理得，， ∵， ∴； （3）解：是定值，理由如下， 由（1）可得，， ∵三角板开始绕点逆时针旋转，转速为/秒，同时三角板绕点逆时针旋转，转速为/秒，设运动时间为秒， ∴速度差为秒，， ∴，， ∴， ∴为定值，这个定值为． 9．（19-20七年级上·江西赣州·期末）如图，已知：平分，平分． (1)若， ①求出及其补角的度数； ②求出和的度数，并判断与是否互补； (2)若，则与是否互补？请说明理由． 【答案】(1)①，的补角的度数为；②，；与互补； (2)与不一定互补，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，求一个角的补角度数，补角的定义，角平分线的定义等等： （1）①根据角的和差关系可求出的度数，进而可求出的补角的度数；②先求出的度数，再根据角平分线的定义分别求出的度数，再求出的度数即可得到结论； （2）根据角平分线的定义分别表示出的度数，再表示出的度数即可得到结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴的补角的度数为； ②∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴与互补； （2）解：与不一定互补，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∴， ∵不一定为， ∴不一定为 ∴与不一定互补． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）如图1，为直线上一点，过点在直线的上方作射线，使．将一块直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中，． (1)将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第______s时，边恰好与射线平行；第______时，直线恰好平分锐角； (3)将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)9或27，12或30； (3)，见解析． 【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，平行线的性质， （1）根据邻补角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据解答即可； （2）分别分情况根据平行线的性质和旋转的性质求出旋转角，然后除以旋转速度即可得解； （3）用和表示出，然后列出方程整理即可得解； 读懂题目信息并熟练掌握各性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 又， ， ； （2）解：， ，， 当在直线上时，，此时旋转角为或， 每秒顺时针旋转， 时间为或， 当直线恰好平分锐角时，旋转角为或， ∵每秒顺时针旋转， ∴时间为或， 故答案为：9或27；或； （3）解：，理由如下： ∵在的内部， ∴，， ∴， ∴． 11．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）如图，有一副三角尺，，，． (1)把三角尺按图1所示方式放置，当平分时，求的度数： (2)将三角尺绕点O顺时针旋转，使射线重合，且平分，平分，在图2中补全图形，并直接写出的度数______； (3)如图3，将三角尺绕点O旋转，把旋转到的外部（始终在直线右侧），平分，平分，则的度数为______． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，角的计算，理解角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． （1）根据角平分线定义得，再根据即可得出答案； （2）先求出，再根据角平分线定义得，，进而根据可得出答案； （3）依题意有以下两种情况：①当都在直线的同侧时，设，则，，根据角平分线定义结合角的和与差计算可得出答案；②当都在直线的两侧时，同理即可得出答案，综上所述即可得出的度数． 【详解】（1）解：依题意得：， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：补全图形如图， 依题意得：，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （3）解：依题意得：在三角尺绕点O旋转的过程中，有以下两种情况： ①当都在直线的同侧时，如图①所示： 设， 则，， ∵平分，平分， ∴，，； ②当在直线的两侧时，如图②所示： 设， 则， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 综上所述：的度数为或． 故答案为：或． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）【阅读理解】 如图①，射线在内部，图中共有三个角、．若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“巧线”． （1）的平分线______这个角的“巧线”；（填“是”或“不是”） （2）若，射线为的“巧线”，则______． 【问题解决】 如图②，已知，射线从出发，以的速度顺时针方向旋转，射线从出发，以的速度逆时针方向旋转．两条射线同时旋转，当其中一条射线旋转到与的边重合时，运动停止，设旋转的时间为．当为何值时，射线、、中一条射线恰好是以另外两条射线为边构成的角的“巧线”？说明理由． 【答案】【阅读理解】（1）是；（2）或或；【问题解决】的值为或3或或或，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，角平分线的定义，找等量关系列出方程是解决问题的关键，属于中考常考题型． 阅读理解：（1）由角平分线的定义和巧线的定义可得； （2）分三种情况讨论，①当是角平分线时，②当时，③当时，结合可以求出． 问题解决：分三种情况讨论，由“巧线”的定义，列出方程可求t的值． 【详解】阅读理解：（1）∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的两倍， ∴一个角的角平分线是 这个角的“巧线”， 故答案为：是． （2）分三种情形：①当是角平分线时，； ②当时，； ③当时，． 综上所述，满足条件的的值为或或． 问题解决∶由题意可得， 当在射线之间时，，，有三种情形： ①当， 则有， 解得． ②当时，则有， 解得． ③当时，则有， 解得． 当在射线之间时，，，有三种情形： ①，则有， 解得． ②当时，则有， 解得． ③时，则有， 解得（舍）． 综上所述，满足条件的的值为或3或或或． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）已知点，，在同一条直线上，． (1)如图1，若，，平分，求与的度数； (2)如图2，，平分，平分，求的度数； (3)如图3，与互余，若也与互余，请直接写出的度数．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据角的和差关系可求与； （2）先根据余角的定义可求，再根据角平分线的定义求出，先根据补角的定义可求，再根据角平分线的定义求出，根据角的和差关系可求的度数； （3）分2种情况进行讨论即可求解． 本题考查的是余角和补角的概念，角平分线的定义，几何图形中的角运算，掌握余角和补角的概念及角平分线的定义是解题的关键． 【详解】（1）解： ，平分， ， ， ， ； （2）解：，，， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ； （3）解：与互余，也与互余， ，， 如图①，； 如图②，； 故的度数为或． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图①，，平分，平分． (1)已知，求的度数； (2)若（1）中，其他条件不变，求的度数； (3)在如图②中，若，其他条件不变，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是利用角的和差关系进行计算． （1）依据，，即可得到．再根据平分，平分，即可得出； （2）依据，，即可得到．再根据平分，平分，可得，进而得到； （3）依据，，可得．再根据平分，平分，即可得到，即可得出． 【详解】（1）解：因为，， 所以． 因为平分，平分， 所以，， 所以； （2）解：因为，， 所以． 因为平分，平分， 所以，， 所以； （3）解：因为，， 所以． 因为平分，平分， 所以，， 所以． 15．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）已知，在下列各图中，点O为直线上一点，，直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图1，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方，则的度数为_________°，的度数为_________°； (2)如图2，三角板一边恰好在的角平分线上，另一边在直线的下方，此时的度数为_________°； (3)在图2中，延长线段得到射线，如图3，则的度数为_________°；与的数量关系是_________（填“”、“”或“”）； (4)将图1中的三角板绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为_________．（直接写出答案） 【答案】(1)， (2) (3)， (4)或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，角的运算以及角平分线的定义，解题关键：一是理解角平分线的定义，二是确定旋转到某一条件时旋转的度数． （1）利用两角互补，即可得出结论； （2）根据平分， 可得出，由可求得的度数； （3）根据直角三角板MON各角的度数以及图中各角的关系即能得出结论. （4）根据题中条件算出旋转到射线和射线的延长线恰好平分锐角时所旋转的度数，再除以速度即可得的值. 【详解】（1）解：∵，与互补， ∴， ∵， ∴. 故答案为：；； （2）解：∵三角板一边恰好在的角平分线上，， ， 又∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， 又∵， ∴ 故答案为： ；； （4）解：当直线恰好平分锐角，此时则从图中的位置旋转到射线恰好平分锐角时所旋转的度数为： ， ∵速度为每秒， ∴， 解得； 当射线的反向延长线恰好平分时， 此时旋转的角度为：， ∵速度为每秒， ∴， 解得； 故答案为：或． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在同一平面内，． (1)填空：_________； (2)如果平分，平分，那么的度数为_________； (3)试问在（2）的条件下，如果将题目中改为，其他条件不变，你能求出的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． 【答案】(1)150 (2)45 (3)能，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的和差；理解角平分线的定义，能用已知角的和差表示出所求的角是解题的关键． （1）由角的和表示，即可求解； （2）由角平分线的定义得，，由角的差表示，即可求解； （3）根（2）的解法同理可解 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解： 平分，平分， ，， ； （3）解：能，，理由如下： 由题意得： ， 平分，平分， ，， ． 17．（24-25七年级上·全国·期末）阅读材料并回答问题： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图1，，平分．若，请你补全图形，并求的度数． 同学一：以下是我的解答过程（部分空缺） 解：如图2， ∵，平分，∴ ° ∵，∴ = ° 同学二：“符合题目要求的图形还有一种情况．” 请你完成以下问题： (1)将同学一的解答过程空缺部分补充完整； (2)判断同学二的说法是否正确，若不正确，请说明理由；若正确，请你在图1中画出另一种情况对应的图形，并求的度数． 【答案】(1)45；；110 (2)正确；图见解析； 【分析】本题考查的是角的运算及角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解决此题关键． （1）根据角平分线的定义及角的和差运算可得答案； （2）根据角平分线的定义及角的和差运算可得答案． 【详解】（1）解：如图2， ∵，平分， ∴， ∵， ∴． 故答案为：45，，110； （2）解：正确，理由如下： ∵，平分， ∴． ∵． ∴． 18．（24-25七年级上·全国·期末）如图，直角边放置在直线上，现在三角形绕直角顶点O作逆时针匀速转动，每秒钟转，运动时间为． (1)当运动时间t为5秒时， ； (2)当时，求t的值； (3)在运动过程中若射线平分，射线平分，当在直线上面时 ，当在直线下面时 ． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查几何图形中角度的计算，正确进行分类讨论是解答本题的关键． （1）先求出转动的角度，再用减去转动的角度即可得出答案； （2）分两种情况：当在的上方和在的下方分别求出的度数再除以即可得出的值； （3）分两种情况：当在的上方和在的下方，运用角平分线定义可以得解． 【详解】（1）解：转动后的度数为：， 故答案为：； （2）解：当在的上方时，如图， ∵， ∴ ∴； 当在的下方时，如图， 则转动的角度为： ∴； 综上，的值为或； （3）解：当在的上方时， ∵平分，平分， ∴ ∴, 又 ∴， ∴； 当在的下方时， ∵ ， ∴ ， 故答案为：， 19．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）综合与实践 活动课上，老师让同学们利用三角板进行探究活动，同学们经过动手操作探究，发展空间观念，并积累了数学活动经验． 【问题背景】如图1，将一个含，角的直角三角板按如图所示摆放，，斜边与直线重合．将三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转一周，射线始终平分．设旋转时间为秒． 【问题探究】 (1)当0时，_____； (2)如图，在旋转的过程中，当在直线上方且等于时，请求出的值； (3)在旋转的过程中，是否存在某一时刻，使得射线平分，若存在，求出旋转时间；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当在直线上方时，；当在直线下方时，． 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，一元一次方程的应用； （1）根据邻补角求得，进而根据角平分线的定义，即可求解； （2）根据题意得出，进而结合题意，即可求解； （3）当在直线上方时，依题意，，，当在直线下方时，依题意，，，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分 ∴ （2）解：∵在直线上方且等于时 ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ 将三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为秒． ∴ （3）解：当在直线上方时，依题意，， ∵平分， ∴ ∴ 解得： 当在直线下方时，依题意，， ∵平分， ∴ ∴ 解得： 综上所述，当在直线上方时，；当在直线下方时，． 20．（24-25七年级上·全国·期末）如图，点O为直线上一点，过点O 作射线，使 ．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边 在射线上，另一边在直线的下方． (1)求图①中的三角板绕点O逆时针旋转至图②，使一边在的内部，且恰好平分求的度数． (2)将图①中的三角板绕点O 顺时针旋转至图3，使在的内部，请探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角的和差运算的应用，角平分线的性质等知识点， （1）平分，可求得，再由互余关系即可求得结果； （2）由且，即可得出两角的关系； 熟练掌握其性质，结合图形，用所求的角表示未知的角是解决此题的关键． 【详解】（1）解：∵平分， ， ， ； （2）解：，理由如下， ∵ ， ∴, ,， ， , 即与的数量关系为：． 21．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）点为直线上一点，在直线同侧任作射线，使得． (1)如图一，过点作射线，使为的角平分线．若时．则________，__________； (2)如图二，过点作射线．当恰好为的角平分线时，另作射线．使得平分． ①若，求的度数（写出推理过程）； ②若，则的度数是_________（直接填空）； 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．熟练掌握角平分线定义，得出角之间的关系是解决问题的关键． （1）根据图中角的和差关系和角平分线的定义求解； （2）①根据角平分线的定义求出和，再根据求解；②同理①即可解答． 【详解】（1）解：∵， ， 平分， ， ； （2）解：① ， 平分平分， ， ； ②， ， 平分平分， ， ． 22．（2024七年级上·全国·专题练习）若，我们则称是的“绝配角”．例如：若，，则是的“绝配角”，请注意：此时不是的“绝配角”． ． (1)如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“绝配角”，此时______：（直接填写答案） (2)如图2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“绝配角”，与互补，求大小： (3)如图3，若，射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为t秒（）． ①当时，是的“绝配角”，求出此时t的值： ②当时，______时，是的“绝配角”（直接填写答案）． 【答案】(1) (2)或 (3)①4或16；② 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，补角的定义，一元一次方程的应用： （1）根据题意得到，再由，进行求解即可； （2）分当在下方时，当在内部时，当在外部时，三种情况讨论求解即可； （3）分当时，当时，两种情况分别求出，再根据“绝配角”的定义得到，据此建立方程求解即可；②分当时，当时，种情况分别求出，再根据“绝配角”的定义得到，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵是的“绝配角”， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：当在下方时， ∵是的“绝配角”， ∴ ， ∵， ∴， 解得（舍去）； 当在内部时， 同（1）可得， ∵与互补， ∴， ∴； 当在外部时，且在的上方时， ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵与互补， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或； （3）解：①当时， 由题意得， ∵平分，平分， ∴ ∴， ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， 解得； 当时， 由题意得， ∵平分，平分， ∴ ∴ ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或； 故答案为：4或16； ②当时， 由题意得， ∵平分，平分， ∴ ∴ ， ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， 解得（舍去）； 当时， 由题意得， ∵平分，平分， ∴ ∴ ， ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， 解得； 综上所述，， 故答案为：． 23．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图1，，射线在平面内． (1)如图，垂直，平分，则的度数为______； (2)若与互补，求的大小； (3)若射线绕点O从射线的反向延长线的位置出发，以每秒的速度顺时针旋转；同时射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转，各自旋转后停止转动，请直接写出使得射线，，中某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线的时间______． 【答案】(1) (2)或 (3)秒或秒或 秒或秒 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，垂线的定义，一元一次方程的应用． （1）根据垂直的定义和角平分线的定义可得出结论； （2）根据题意需要分两种情况：①当在的左侧时；②当在的下方时，分别画出图形求解即可得出结论； （3）根据题意需要分三种情况：当为的角平分线时（分停止前和停止后）；当为的角平分线时；当为的角平分线时分别求解即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1 ∵垂直， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：． （2）解：如图2-1当在的左侧时，设，则， 由题意可知，， 解得； 如图2-2，当在的右侧时，设，则， 由题意可知，， 解得； 综上，符合题意的的度数为或； （3）解：如图， 为的平分线时， 由题意可知， 解得， 如图（已停止），为的平分线时， 由题意可知， 解得； 如图，为的平分线时，则， 解得； 如图，为的平分线时，则， 解得； 综上，射线，，中某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线的时间为秒或秒或 秒或秒． 故答案为：秒或秒或 秒或秒． 24．（24-25七年级上·河北沧州·期中）点为直线上一点，在直线同侧作射线，射线D，使得． (1)如图1，过点作射线，使为的平分线，若时．求的度数； (2)如图2，过点作射线，使恰好为的平分线，另作射线，使平分， ①若，求的度数； ②若，则的度数是 ； (3)过点作射线，使恰好为的平分线，另作射线，使得平分，当时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．熟练掌握角平分线定义，得出角之间的关系是解决问题的关键． （1）根据图中角的和差关系和角平分线的定义求解； （2）根据角平分线的定义求出和，再根据求解； （3）分在内部和在外部两种情况，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， 平分， ， ， 故答案为：； （2）解：① ， 平分平分， ， ； ②， ， 平分平分， ， ， 故答案为：； （3）解：当在内部时，如图： 平分， ， ， ， 平分， ； 当在外部时，如图： 平分， ， ， ， 平分， ， 综上可知，的度数是或， 25．（23-24七年级上·福建三明·期中）将一副直角三角板，，按如图叠加放置，其中与重合，，． (1)如图1，点在直线上，且位于点的左侧，求的度数； (2)将三角板从图位置开始绕点顺时针旋转，并记，分别为，的角平分线． ①当三角板旋转至如图的位置时，求的度数． ②若三角板的旋转速度为每秒，且转动到时停止，运动时间记为（单位：秒），试根据不同的的值，求的大小． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了角度的计算，利用角平分线定义和角的和差； （1）先根据三角板的度数得到的度数，再用即可； （2）①由角平分线的定义可得，，再根据，整理可得的度数； ②当，，，，时，分情况讨论． 【详解】（1）解：，， ， ． （2）解：①，分别为，的角平分线， ，， ； ②设，依题意，三角形的运动总时间为秒， 当时，在内部， ，， ； 当时，在外部， 当时，，如图， 此时，， ∴； 当时， ∴ ； 当时， 若、在直线同侧， 则，， ，， ； 若、在直线异侧， 则，， ，， ； 综上所述，不论为何值时，的大小为或． 26．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）综合与探究 探索新知： 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． （1）一个角的平分线______________这个角的“巧分线”（填“是”或“不是”）； （2）若，且射线是的“巧分线”，则______________（用含的代数式表示）； 深入研究： 如图2，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中．将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，当边落在射线上时两个三角板停止旋转，设三角板运动时间为秒．请直接写出当是的“巧分线”时的值． 【答案】（1）是；（2）或或；深入研究：4或或6或 【分析】本题主要考查了旋转的性质，新定义问题，解题时要能熟练掌握阅读理解能力及知识的迁移能力是关键． （1）根据新定义与角平分线的定义中，结合进行解答即可； （2）根据新定义考虑三角两两的倍数关系即可； 深入研究：根据新定义考虑三角两两的倍数关系分三种情况讨论，根据角的倍数关系列关于t的等式方程，解方程即可． 【详解】解：（1）因角平分线分成两个角与被分原角满足原角是所分出的小角的两倍，根据新定义知，角平分线应为这个角的“巧分线”， 故答案为：是； （2）分以下三种情况： 当或时，， 当时，， 当时，， 故答案为：或或； 深入研究：由题意得，， 当时，， 当边落在射线上时两个三角板停止旋转，此时，解得； 当时，在内部， 是的“巧分线”，分以下三种情况， 当时，， 解得：； 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：； 当时，在外部，不满足“巧分线”的定义， 当时，，此时，则，此时，满足“巧分线”的定义， ∴当是的“巧分线”时的值为4或2.4或6或． 27．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）【问题提出】 如图1，，在内，在外，平分，平分，试探究和的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化．如图2，若，． ①直接写出=______，=______； ②直接写出的值． （2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中②的结论仍然成立． 【问题拓展】 （3）已知，在的外部，平分，平分，且． ①如图3，求的度数； ②如图4，直接写出的度数． 【答案】（1）①；；②；（2）见解析；（3）①；② 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、几何图形中角的计算以及一元一次方程的应用，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）①首先求得的值，再结合角平分线的定义即可确定的度数；求得，结合角平分线的定义易得，然后由求解即可；②结合和的值直接求解即可； （2）结合题意即角平分线的定义可得 ，然后证明（1）中②的结论仍然成立即可； （3）设，根据图形用表示出和，根据列式求解，即可获得答案． 【详解】解：（1）①∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵平分， ∴； ∵， 又∵平分， ∴， ∴， 故答案为：；； ②； 故答案为：； （2）证明：∵，，平分，平分， ∴ ， ， ∴ ， ∴； （3）设，分三种情况讨论： ①如下图， ∵，∴，， ∵平分，平分， ∴     ， ， ∵， ∴， 解得，即； ②如下图， ∵ ， ， ∵， ∴， 解得，即． 28．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图1，已知，射线以每秒的速度，从射线开始逆时针向射线旋转，到达射线之后又以同样的速度顺时针返回，直到到达射线停止，射线从射线开始，以每秒的速度顺时针向射线旋转，直到到达各自的目的地才停止．设旋转时间为t秒． (1)当秒时，求出的度数． (2)在运动过程中，当达到时，求t的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线、射线、射线其中一条射线是另外两条射线组成的角的角平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的值为秒或秒或秒 (3)存在，的值为秒或秒或秒 【分析】本题主要考查了角的计算，一元一次方程的应用，解题的关键是注意进行分类讨论． （1）根据旋转的速度，求出的度数即可； （2）分三种情况进行讨论：当，当，当，分别列出方程进行计算即可； （3）分三种情况：当，当，当，分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， 则； （2）解：当秒时， ， 解得； 当秒时，； 解得； 当秒时，， 解得； 综上所述，的值为秒或秒或秒； （3）解：存在． 当秒时，平分， ， 解得； 当秒时，平分， ， 解得； 当秒时，平分， ， 解得． 综上所述，的值为秒或秒或秒． 29．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）将一副直角三角板（分别含、、和、、的角）叠放在量角器上，、分别平分和． 【特例感知】 （1）如图①，如果点、、在同一直线上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器刻度线重合，那么______； 【规律探究】 （2）如图②，如果两个直角三角板有重叠， ①当时，求的度数； ②当时，______；（用含的式子表示） 【解决问题】 （3）如图①，将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转．两三角板同时旋转，当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，如果与两角平分线的夹角为，请求出的值． 【答案】（1）；（2）①，②，（3）存在，t的值为或秒． 【分析】（1）本题由角平分线性质可知，，再利用，即可解题． （2）①本题由题意得到，根据，，得到，，再利用，即可解题． ②本题求解过程与①类似． （3）本题根据与两角平分线的夹角为，分为以下两种情况①与相遇前，②与相遇后，再根据旋转过程中的等量关系，建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解： 、分别平分和 ，， ， 故答案为：． （2）解：①， ， ，， ． ②， ， ，， ， 故答案为：． （3）解：存在，t的值为或秒，理由如下： 由题知， 与两角平分线的夹角为， ①与相遇前， 由（2）②可知， 即， 解得秒； ②与相遇后， 记旋转到，旋转到，且， 有， 即有， 解得秒， 综上所述， t的值为或秒． 【点睛】本题考查角平分线的性质、代数式的相关知识、角的运算、旋转的性质，解题的关键在于找出几何图形中角度的数量关系． 30．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，射线在的内部，平分，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了三角形内角和定理，角的和差计算，掌握角平分线的性质和互为补角的关系是解题的关键． （1）由平分得到，再根据和 互为补角即可得到的度数； （2）由平分得到，再根据和互为补角得到， 从而得到，最后根据即可完成证明； （3）在()的条件下可得到，，由得到，最后由和可求得的度数． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）证明：∵平分， ∴.， ∵， ∴， ∴， 由()知：，即 ， ∴， ∴， ∴； （3）解：在()的条件下， ，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 31．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：平分， （本题不能直接用三角形内角和） (1)如图1， 求证：； (2)如图2， 点K、F分别在 的延长线上， 点C在线段上， 且满足，求证：； (3)如图3， 在（2）的条件下，，且平分，求 的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由角平分线的定义可得，等量代换得出，根据内错角相等、两直线平行，可得结论； （2）过点F作，则，由平行线的性质得出，，等量代换可得结论； （3）作，，由平行线的性质推出，设，则，进而得出，结合（2）中结论得出，将代入，可得，进而可得． 【详解】（1）证明： 平分， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点F作， ，， ， ， ， ， 又 ， ， 即； （3）解：如图，作，， 由（1）知， ， 平分，平分， ，， ， 又 ， ， ， ； ， ， ， ， 设，则， ， ， ，， ； 由（2）知， ， 即， 又 ， ， 整理得， ． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，角的和差关系，第3问难度较大，解题的关键是正确作出辅助线，利用平行线的性质熟练进行等量代换． 32．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：，点E在直线、之间，连接、．            (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若平分，平分交于点F，直接写出和之间的数量关系________； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点G，在上取一点K，连接交于点H，，若，．求． 【答案】(1)130度 (2) (3)30度 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，则，根据两直线平行，内错角相等，求得，，即可得到的度数； （2）过点作，则，根据两直线平行，内错角相等，得出，，则可得出，同理可得，然后结合角平分线定义即可得出结论； （3）由（2）可求， ，设，，，，则，在中，根据三角形内角和定理可得出，由（2）知：，则，根据三角形外角的性质可得出，则可求出，根据三角形内角和定理并结合可得出，进而求出，代入，可求出，，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作，则，   ，， ，， ，， ； （2）解：如图，过点作，则，   ，， ， 同理， 平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解： ， ， 由（2）知： ， 又， ， ， 设，，，，则， 在中，， ， ， 由（2）知：， ， 如图，    ， ， ， ， ，即， ， 把代入，得， ， ． ( 55 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$