专题18线段动点的有关计算问题大题专练（巩固提升16题+能力培优8题+拓展突破8题）-【寒假分层作业】2025年七年级数学寒假培优练（人教版）

专题18线段动点的有关计算问题大题专练（巩固提升16题+能力培优8题+拓展突破8题） 知识清单 一、解题常用的数学思想 分类讨论思想，数形结合思想，方程思想． 二、解题方法： 1．通过审题了解动点的运动起止位置、运动路径、速度、以及与其它点的相对位置关系，利用已知条件表示运动路径长.注意：动点与图形中的临界点的相对位置变化，可能引起表达式的变化． 2．根据已知条件列方程、关系式即可． 1．如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为． (1)当时，，请求出的长； (2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长． 2．如图，已知线段，点M从点A出发以的速度沿的方向运动，同时点N从点B出发以的速度沿的方向运动，其中一个点到达端点时，另一个点也同时停止，设运动时间为． 根据题意回答下列问题： (1)当时，______；当时，______． (2)若C为线段上一点，当点M与N相遇时，设相遇的位置为点． ①若，求线段的长； ②若，求线段的长． 3．【问题背景】如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，其中一点到达点A处即两动点均停止运动． 【问题探究】（1）点C，D的速度分别是， ①若，当动点C，D运动了2s时，求的长度； ②若经过t秒，点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，求t的值； 【问题解决】（2）动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长度． 4．如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 5．已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 6．如图，已知线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线方向运动，运动时间为t秒（），点M为的中点．    (1)当时，求线段的长度； (2)当t为何值时，点P恰好是的中点？ (3)当t为何值时，？ 7．如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足．    (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度；（注：点O为数轴原点） (3)在（2）的条件下，当点P运动到线段上时，分别取和的中点E，F．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 8．如图，C是线段上一点，，，点P从A出发，以的速度沿向右运动，终点为B；点Q从点B出发，以的速度沿向左运动，终点为A．已知P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动时间为ts． (1)当P、Q两点重合时，求t的值； (2)是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰好是另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由． 9．如图，在数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，且， (1)填空： ， ； (2)在线段上有一点C，满足，求点C表示的数； (3)动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动；动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，设运动时间为t秒，当时，的值是否发生变化？若不变求出其值；若变化，写出范围． 10．如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．    (1)若点C，D的速度分别是，． ①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm； ②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________； (2)若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长 11．如图，的边上有一动点P，从距离O点18cm的点M处出发，沿线段，射线运动，速度为3cm/s：动点Q从点O出发，沿射线运动，速度为2cm/s，点P、Q同时出发，设运动时间是t（s）．    (1)当点P在上运动时，t为何值，能使？ (2)若点Q运动到距离O点16cm的点N处停止，在点Q停止运动前，点P能否追上点Q？如果能，求出t的值；如果不能，请说出理由； (3)若P、Q两点不停止运动，当P、Q均在射线上，t为何值时，它们相距1cm． 12．如图①，点C在线段上，图中共有3条线段：和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)①一条线段的中点__________这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”） ②若线段，C是线段的“巧点”，则_________．（用含m的代数式表示出所有可能的结果） (2)如图②， A、B为数轴上两点，点A所表示的数为，点B所表示的数为20．动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点B匀速移动．点Q从点B出发，以每秒的速度沿向终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时运动停止，若设移动的时间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段的“巧点”． 13．已知：数轴上点、、表示的数分别为、、，点为原点，且、、满足． (1)直接写出、、的值； (2)如图1，若点从点出发以每秒1个单位的速度向右运动，点从点出发以每秒3个单位的速度向右运动，点从点出发以每秒2个单位的速度向右运动，点、、同时出发，设运动的时间为秒，为何值时，点到点、的距离相等； (3)如图2，若点从点出发以每秒1个单位的速度向左运动，点从点出发以每秒3个单位的速度向左运动，点，同时出发开始运动，点为数轴上的一个动点，且点始终为线段的中点，设运动时间为秒，若点到线段的中点的距离为3时，求的值． 14．已知：数轴上有点A，表示的数为a，且满足关于x的方程为一元一次方程．数轴上还存在线段和线段（点M始终在点N左边，点P始终在点Q左边）． (1)当三点重合，且，时，求的值及所表示的数． (2)如图，若线段的中点为，线段的中点为，求的值． (3)在（1）的条件下，点M从A点出发，使线段以1个单位每秒的速度向右匀速运动，点P从A点出发，使线段以3个单位每秒的速度向右匀速运动，当点P与点N重合时，线段以原速返回向左运动，当点Q与点M相遇时，线段再次以原速向右运动……当点N所表示的数为时，求点P与点N共相遇了多少次？ 15．如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． (1)填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”） (2)（问题解决）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数． (3)（应用拓展）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值． 16．已知：如图，点是线段上一定点，，两点分别从点出发以、的速度在直线上运动，运动方向如图中箭头所示（点在线段上，点在线段上）    (1)若，当点、运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点运动了时，求的值． (3)若点、运动时，总有，则 （填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 17．如图，点P是定长线段上一点，从点从点B同时出发分别以每秒厘米的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），并满足下列条件： ①关于m、n的单项式与的和仍为单项式； ②在运动过程中，总有． (1)直接写出：_______，_______； (2)求出的值，并说明理由： (3)在运动过程中，分别是的中点，运动t秒时，恰好满足，求此时的值． 18．如图，已知点、在线段上． (1)图中共有________条线段； (2)若比较线段的大小：________（填：“>”，“=”，或“<”）； (3)若，，是的中点，是的中点（如下图）． ①求的长度； ②嘉嘉同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 19．已知：如图，在数轴上点表示数，点表示数，表示点和点之间的距离，且，满足． （1）求，两点之间的距离； （2）若在数轴上存在一点，且，求点表示的数； （3）一小球甲在数轴上从点处以1个单位/秒的速度向右运动，同时另一小球乙从点处以7个单位/秒的速度向左运动，当甲乙两小球开始运动时，立即在点和点处各放一块挡板，其中点所表示的数为，当球在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒），问：为何值时，甲、乙两小球之间的距离为4． 20．如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 秒： （1）写出数轴上点表示的数为______，点表示的数为______ （用含的代数式表示）； （2）动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点？ （3）若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 21．【新知理解】 如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点是线段的“奇点”． （1）线段的中点______这条线段的“奇点”（填“是”或“不是”） 【初步应用】 （2）如图②，若，点是线段的奇点，则； 【解决问题】 （3）如图③，已知动点从点出发，以速度沿向点匀速移动：点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为，请直接写出为何值时，、、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的奇点？ 22．如图，已知数轴上有三点，它们对应的数分别为，且，点对应的数是10． （1）若，则_____，______；若经折叠，点与点重合，则点与数______，表示的点重合； （2）在（1）的条件下，为原点，动点分别从两点同时出发，向左运动，运动速度为每秒2个单位长度，点向右运动，运动速度为每秒1个单位长度，点为线段的中点，点为线段的中点，设运动时间为秒，用含的代数式表示点表示的数分别是______,_______；用含的代数式表示之间的距离_______． 23．已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0. （1）m＝ 　，n＝ 　； （2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动． ①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长； ②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 24．如图1，在直线上依次取点，点分别是线段的中点，． （1）求线段的长． （2）如图1，若线段以速度沿直线向左运动，设运动时间为，试探究线段的长度是否与（1）相同，如果改变，利用图2求线段的长度，如果不变，通过图2计算说明理由． （3）如图1，若线段以速度沿直线向右运动，设运动时间为，试探究线段的长度是否与（1）相同，如果改变，利用图3求线段的长度，如果不变，通过图3计算说明理由． 25．如图，在数轴上点表示的数是4，，点以每秒6个单位的速度从点向左运动，运动时间是． （1）点表示的数是______，点表示的数是______． （2）点以每秒4个单位从点向左运动，求点几秒后追上点？ （3）点、分别是、中点，①当点在线段上运动时，求线段的长度，②点运动到线段之外时，线段的长度是否会发生变化？如果变化请说明理由，如果不变化请求出的值． 26．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为18．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t>0）秒， （1）数轴上点B表示的数是____________，点P表示的数是____________（用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速运动，若点P、Q时出发．求： ①若点Q向右运动，当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇? ②若点Q向左运动，当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度? 27．如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上位于点右侧一点，且．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向点方向匀速运动，设运动时间为秒． （1）数轴上点表示的数为__________；点表示的数为__________．（用含的代数式表示） （2）动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向点方向匀速运动；点、点同时出发，当点与点重合后，点马上改变方向，与点继续向点方向匀速运动（点、点在运动过程中，速度始终保持不变）；当点到达点时，、停止运动．运动时间为秒． ①当点与点重合时，求的值，并求出此时点表示的数． ②当点是线的三等分点时，求的值． 28．已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）    （1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝　 　，DM＝　 　；（直接填空） （2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值． （3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝　 　（填空） （4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值． 29．如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）． （1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置； （2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值； （3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 30．如图，在数轴上有四个点A、B、C、D，点A在数轴上表示的数是-12，点D在数轴上表示的数是15， AB长2个单位长度，CD长1个单位长度．    （1）点B在数轴上表示的数是 ，点C的数轴上表示的数是 ，线段BC＝ ． （2）若点B以1个单位长度/秒的速度向右运动，同时点C以2个单位长度/秒的速度向左运动设运动时间为t秒，若BC长6个单位长度，求t的值； （3）若线段AB以1个单位长度/秒的速度向左运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度也向左运动．设运动时间为t秒． ①用含有t的式子分别表示点A、B、C、D，则A是 ，B是 ，C是 ，D是 ． ②若0＜t＜24时，设M为AC中点，N为BD中点，试求出线段MN的长． 31．如图，在数轴上点A所表示的数是，点B在点A的右侧，． （1）直接写出点B表示的数_________； （2）点C在AB之间，，求点C表示的数，并在数轴上描出点C； （3）已知点P在数轴上 ①若，直接写出点P所表示的数； ②点P从线段AB的中点处出发，每次向左或向右移动一个单位，共移动了7次，恰好到达点B的位置，请直接写出所有不同移动方法的种数． 32．已知，线段AB上有三个点C、D、E，，，D、E为动点（点D在点E的左侧），并且始终保持． （1）如图1，当E为BC中点时，求AD的长； （2）如图2，点F为线段BC的中点，，求AE的长； （3）若点D从A出发向右运动（当点E到达点B时立即停止），运动的速度为每秒2个单位，当运动时间t为多少秒时，使AD，BE两条线段中，一条的长度恰好是另一条的两倍． ( 10 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18线段动点的有关计算问题大题专练（巩固提升16题+能力培优8题+拓展突破8题） 知识清单 一、解题常用的数学思想 分类讨论思想，数形结合思想，方程思想． 二、解题方法： 1．通过审题了解动点的运动起止位置、运动路径、速度、以及与其它点的相对位置关系，利用已知条件表示运动路径长.注意：动点与图形中的临界点的相对位置变化，可能引起表达式的变化． 2．根据已知条件列方程、关系式即可． 1．如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为． (1)当时，，请求出的长； (2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查线段的和差运算，动点问题，熟练掌握数形结合，并会分类讨论是解题的关键． （1）由题意，当时，，，得出，结合，得出，可得，结合即可求解； （2）设运动时间为，则，，得，同（1）方法即可求解； （3）分类讨论，当点在线段上时和点在的延长线上时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， 则， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， 则； （2）解：设运动时间为， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， 则； （3）解：当点在线段上时， ∵， ∴, ∵， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴； 当点在的延长线上时， ． 综上所述，或． 2．如图，已知线段，点M从点A出发以的速度沿的方向运动，同时点N从点B出发以的速度沿的方向运动，其中一个点到达端点时，另一个点也同时停止，设运动时间为． 根据题意回答下列问题： (1)当时，______；当时，______． (2)若C为线段上一点，当点M与N相遇时，设相遇的位置为点． ①若，求线段的长； ②若，求线段的长． 【答案】(1)， (2)①，②线段的长为或 【分析】本题考查代数式，一元一次方程，线段的运算，熟练掌握线段的运算是解题的关键； （1）根据速度时间关系，可以求得相对应线段的长度，利用线段之间运算即可求解； （2）①由题意，得，，根据相遇关系列方程，求得的值，求出的值，进而求解； ②根据题意，求得的长度，进而分情况讨论，即可求解； 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，，， ， 故答案为：， （2））①由题意，得，， 当点，相遇时，，， 则， 所以， 因为， 所以， 所以； ②由①可得，， 因为， 所以， 当点C在点D左侧时，， 当点C在点D右侧时，， 故线段的长为或． 3．【问题背景】如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，其中一点到达点A处即两动点均停止运动． 【问题探究】（1）点C，D的速度分别是， ①若，当动点C，D运动了2s时，求的长度； ②若经过t秒，点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，求t的值； 【问题解决】（2）动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长度． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】本题考查了线段上动点问题、线段中点的有关计算、一元一次方程的实际应用． （1）①先根据线段的和差计算，再根据运动时间得出、，然后根据线段的和差即可得出答案；②先根据运动时间得出，再根据线段的中点得出，然后根据列方程求解即可得出答案； （2）设运动时间为，则，得出，再根据线段的和差及等量代换得出，从而得出答案． 【详解】（1）① C，D运动了 ； ②根据题意得， 点C为的中点，点D为的中点 ； （2）设运动时间为，则 ． 4．如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 【答案】(1) ； ； (2)． 【分析】（）先计算，再计算即可；利用中点的性质求解即可； （）设运动时间为，则，，得到，又由，得到，进而得到即可求解； 本题考查了线段上动点问题、求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：，， ； ∵点到达中点时，点也刚好到达的中点，设运动时间为， 则：，， ； （2）解：设运动时间为，则，， ， ， ． 5．已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或1 【分析】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． （1）先求出、的长，再根据线段的和差即可得； （2）先求出与的关系，再根据线段的和差即可得； （3）根据已知得，然后根据，代入即可求解； （4）分点N在线段上和点N在线段的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得． 【详解】（1）解：根据题意知，，， ∵，， ∴， ∴，， 故答案为：；． （2）解：当点C、D运动了时，，， ∵， ∴； 故答案为：； （3）解：根据C、D的运动速度知：， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：①当点N在线段上时，如图1，      ∵， 又∵ ∴， ∴ ∴； ②当点N在线段的延长线上时，如图2，    ∵， 又∵， ∴， ∴； 综上所述：或1． 6．如图，已知线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线方向运动，运动时间为t秒（），点M为的中点．    (1)当时，求线段的长度； (2)当t为何值时，点P恰好是的中点？ (3)当t为何值时，？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题属于直线上的动点问题，主要考查了中点的定义、线段的和差等知识点， （1）如图：当时，先求出，然后再求出，最后根据求解即可； （2）先求出，再说明，然后由即可求得t； （3）分P在线段上和P在线段延长线上两种情况解答即可． 【详解】（1）当时，． ∵点为的中点，    ∴， ∴． （2）∵点为的中点， ∴． ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴； （3）当点在线段上时，，   ， ∴， 解得． 当在线段的延长线上时，，   ， ∴， 解得． ∴或． 7．如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足．    (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度；（注：点O为数轴原点） (3)在（2）的条件下，当点P运动到线段上时，分别取和的中点E，F．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，1，7 (2)点Q的运动速度是或者 (3)不变，值为2 【分析】（1）根据绝对值的非负性以及平方的非负性，得，的值，结合b是最小的正整数，即可得的值； （2）先求出点Q，此时，再进行分类讨论，当点P在上时或当点P在上时，根据线段之间的和差关系以及路程等于时间乘速度等知识进行列式，即可作答； （3）易得，，根据线段之间的和差关系得，再代入，化简即可作答． 【详解】（1）解：因为 所以， 因为b是最小的正整数， 所以； （2）解：∵点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点， ∴点Q表示的数是，此时， 由，可分两种情况： ①当点P在上时，得， 此时； ∴点P运动的时间为， ∴点Q的运动速度； ②当点P在上时，得， 此时， ∴点P的运动时间是， ∴点Q的运动速度， 综上，点Q的运动速度是或者； （3）解：不变，理由如下： 设运动时间为t秒，此时，， ∵点E是的中点， ∴， ∵点F是的中点，， ∴， ∴，        ． ∴． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性以及在数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，线段之间的和差关系等知识内容，涉及分类讨论，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 8．如图，C是线段上一点，，，点P从A出发，以的速度沿向右运动，终点为B；点Q从点B出发，以的速度沿向左运动，终点为A．已知P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动时间为ts． (1)当P、Q两点重合时，求t的值； (2)是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰好是另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，满足条件的值为4或7或 【分析】本题考查了一元一次方程在线段上动点问题中的应用，线段的中点； (1) 当P、Q两点重合时，P、Q两点运动的距离之和为线段的长； (2) 分类讨论：①当点C是线段的中点时，②当点P是线段的中点时，③当点Q是线段的中点时； 能根据不同的中点进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得：，， ∴当P、Q重合时， ， 解得：； （2）解：由题意可得：， ①当点C是线段的中点时， ， 解得：； ②当点P是线段的中点时， ， 解得：； ③当点Q是线段的中点时， 解得：； 综上所述，满足条件的值为4或7或． 9．如图，在数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，且， (1)填空： ， ； (2)在线段上有一点C，满足，求点C表示的数； (3)动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动；动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，设运动时间为t秒，当时，的值是否发生变化？若不变求出其值；若变化，写出范围． 【答案】(1)8， (2) (3)的值不会发生变化，详见解析 【分析】（1）根据非负数的性质，可得，即可求解； （2）先求出，可得，即可求解； （3）根据题意可得依题意得：，从而得到，，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； 故答案为：8， （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点 C 表示的数为； （3）解：的值不会发生变化， 依题意得：， ∴，， ∴， ∴ 的值不会发生变化． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，线段的和与差，数轴上的动点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键． 10．如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．    (1)若点C，D的速度分别是，． ①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm； ②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________； (2)若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长 【答案】(1)①12；② (2) 【分析】（1）①先分别求出，再根据即可得； ②设运动时间为，则，再根据线段中点的定义可得，由此即可得； （2）设运动时间为，则，从而可得，再根据可得，从而可得，由此即可得． 【详解】（1）解：①依题意得：， ，点仍在线段上， ∴， 故答案为：； ②设运动时间为，则， ∵当点到达中点时，点也刚好到达的中点， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：设运动时间为，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了与线段有关的动点问题、线段的和与差、线段的中点，熟练掌握线段之间的数量关系是解题的关键． 11．如图，的边上有一动点P，从距离O点18cm的点M处出发，沿线段，射线运动，速度为3cm/s：动点Q从点O出发，沿射线运动，速度为2cm/s，点P、Q同时出发，设运动时间是t（s）．    (1)当点P在上运动时，t为何值，能使？ (2)若点Q运动到距离O点16cm的点N处停止，在点Q停止运动前，点P能否追上点Q？如果能，求出t的值；如果不能，请说出理由； (3)若P、Q两点不停止运动，当P、Q均在射线上，t为何值时，它们相距1cm． 【答案】(1) (2)不能，见解析 (3)或 【分析】（1）根据题意可得，然后由可得关于t的方程，解方程即得答案； （2）先计算点Q停止运动时用的时间，然后求出点P运动的路程，再比较即得结论； （3）根据题意可得：，由此构建关于t的方程求解即可． 【详解】（1）运动时间是t（s）时，， 若，则， 解得：； （2）点Q停止运动时，用的时间为秒， 此时点P运动的路程为，， ∴点P不能追上点Q； （3）当P、Q均在射线上，它们相距1cm时， 根据题意得：， 即， 解得：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、善于动中取静、得到相关线段关于t的表达式是解题的关键． 12．如图①，点C在线段上，图中共有3条线段：和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)①一条线段的中点__________这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”） ②若线段，C是线段的“巧点”，则_________．（用含m的代数式表示出所有可能的结果） (2)如图②， A、B为数轴上两点，点A所表示的数为，点B所表示的数为20．动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点B匀速移动．点Q从点B出发，以每秒的速度沿向终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时运动停止，若设移动的时间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段的“巧点”． 【答案】(1)①是；②或或 (2)15或或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，线段间的数量关系： （1）①由中点可知这条线段的长度等于中点分出的线段长度的2倍，结合“二倍点”的定义进行判断；②由“二倍点”的定义知当点C是线段的“二倍点”时，可分，，三种情况，根据 计算，即可求解； （2）由题意知，然后分两类讨论：当点P在点Q的左侧时，当点P在点Q的右侧时，结合“巧点”的定义，求解即可． 利用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：① 根据题意得：这条线段的长度等于中点分出的线段长度的2倍， ∴一条线段的中点是这条线段的“巧点”； 故答案为：是 ②线段，C是线段的“巧点”， ∴当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，或或； 故答案为：或或 （2）解：∵点A所表示的数为，点B所表示的数为20， ∴， 根据题意得：点P所对应的数为，点Q所对应的数为， 当时，点P，Q相遇， 根据题干信息：点Q恰好是线段的“巧点” 当故点P在点Q的左侧时，则点Q不在线段上，故舍去； 当点P在点Q的右侧时，，，此时， 若，则有，解得：； 若，则有，解得：； 若，则有，解得：； 综上所述，当t为15或或时，点Q恰好是线段的“巧点”． 13．已知：数轴上点、、表示的数分别为、、，点为原点，且、、满足． (1)直接写出、、的值； (2)如图1，若点从点出发以每秒1个单位的速度向右运动，点从点出发以每秒3个单位的速度向右运动，点从点出发以每秒2个单位的速度向右运动，点、、同时出发，设运动的时间为秒，为何值时，点到点、的距离相等； (3)如图2，若点从点出发以每秒1个单位的速度向左运动，点从点出发以每秒3个单位的速度向左运动，点，同时出发开始运动，点为数轴上的一个动点，且点始终为线段的中点，设运动时间为秒，若点到线段的中点的距离为3时，求的值． 【答案】(1)6；2；1 (2)1或5 (3)3或7 【分析】（1）根据非负数的性质，列出方程进行解答便可； （2）先用t的代数式分别表示出点到点、的距离，再由点到点、的距离相等列出t的方程便可； （3）用t的代数式表示P点，再根据中点公式用t表示D点和K点，再由两点距离公式由列出t的方程进行解答便可． 【详解】（1）解：． ，，， ，，； （2）解：由题意得，或， 解得，或， 为或时，点到点、的距离相等； （3）解：由题意知，点表示的数为：， 是的中点， 表示的数为：， 是的中点， 点表示的数为：， ， ， 或7． 【点睛】此题考查了数轴，非负数的性质和一元一次方程的应用，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键，此题阅读量较大应细心分析． 14．已知：数轴上有点A，表示的数为a，且满足关于x的方程为一元一次方程．数轴上还存在线段和线段（点M始终在点N左边，点P始终在点Q左边）． (1)当三点重合，且，时，求的值及所表示的数． (2)如图，若线段的中点为，线段的中点为，求的值． (3)在（1）的条件下，点M从A点出发，使线段以1个单位每秒的速度向右匀速运动，点P从A点出发，使线段以3个单位每秒的速度向右匀速运动，当点P与点N重合时，线段以原速返回向左运动，当点Q与点M相遇时，线段再次以原速向右运动……当点N所表示的数为时，求点P与点N共相遇了多少次？ 【答案】(1)；点表示的数为；点表示的数为 (2) (3) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义可求出的值，由三点重合，，可得，，进而可求出点所表示的数； （2）由线段的中点为，线段的中点为可得：，；再通过线段的和差关系可得，即可得出结果； （3）计算出从点与点第一次重合到点与点第二次重合所需时间为秒；即从点与点第一次重合后的每秒，点与点相遇一次；依次计算即可； 【详解】（1）解：∵关于x的方程为一元一次方程 ∴ 解得： ∵三点重合 ∴， ∴点表示的数为：；点表示的数为： （2）解：∵线段的中点为，线段的中点为 ∴， ∴ ∴ （3）解：在（1）的条件下表示的数为，当点所表示的数为时； ∴线段的总运动时间为：（秒） 点与点第一次重合所用时间为：（秒） 从点与点第一次重合到点与点第二次重合所需时间为： （秒） 即从点与点第一次重合后的每秒，点与点相遇一次； 故点与点共相遇：（次） 答：当点所表示的数为时，求点与点共相遇了次． 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义、线段的和差关系、图形运动中的周期规律；熟练掌握上述基础知识是解题的关键． 15．如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． (1)填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”） (2)（问题解决）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数． (3)（应用拓展）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值． 【答案】(1)是 (2)10或0或20 (3)；t=6；；t=12；； 【分析】（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断即可； （2）由题意设C点表示的数为x，再根据新定义列出合适的方程即可； （3）根据题意先用t的代数式表示出线段，再根据新定义列出方程，得出合适的解，即可求出t的值． 【详解】（1）∵原线段是中点分成的短线段的2倍， ∴线段的中点是这条线段的巧点， 故答案为：是； （2）设点表示的数为x，则， 根据“巧点”的定义可知： ①当时，有，解得，； ②当时，有，解得，； ③当时，有，解得，． 综上，点表示的数为10或0或20； （3）由题意得， （i）、若时，点P为的“巧点”，有 ①当时，，解得，， ②当时，，解得，； ③当时，，解得，； 综上，运动时间的所有可能值有；；； （ii）、若时，点Q为AP的“巧点”，有 ①当时，，解得，； ②当时，，解得，； ③当时，，解得，． 综上，运动时间的所有可能值有：；；． 故，运动时间的所有可能值有：． 【点睛】本题是新定义题，是数轴的综合题，主要考查数轴上的点与数的关系，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列出方程并进行求解． 16．已知：如图，点是线段上一定点，，两点分别从点出发以、的速度在直线上运动，运动方向如图中箭头所示（点在线段上，点在线段上）    (1)若，当点、运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点运动了时，求的值． (3)若点、运动时，总有，则 （填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)4 (4)或1 【分析】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，一元一次方程的应用； （1）由已知条件得、的长，由即可求解； （2）由已知条件得，，由 ，即可求解； （3）的运动速度可知：，由线段的和得，即可求解；解法二：、运动时间为，的长度为，得，，由，即可求解； （4）①当点在线段上时，由线段和差得，可求，由即可求解；②当点在线段的延长线上时，同理可求，即可求解； 能用已知线段的和差表示所求线段，根据点的不同位置进行分类讨论，用方程思想求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ， ， ， ， ， 故答案：；； （2）解：由题意得 ，， ； 故的值为； （3）解：的运动速度可知：， ， ， 即 ， 又 ， ， ， ． 故答案为：4． 解法二 设、运动时间为，的长度为，得 ， ， ， ， ． 又 ， ， 解得：； 故答案为：4； （4）解：①当点在线段上时，如图1，   ， 又， ， ， ； ②当点 在线段的延长线上时，如图2，   ， 又 ， ， ． 综上所述 或1． 17．如图，点P是定长线段上一点，从点从点B同时出发分别以每秒厘米的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），并满足下列条件： ①关于m、n的单项式与的和仍为单项式； ②在运动过程中，总有． (1)直接写出：_______，_______； (2)求出的值，并说明理由： (3)在运动过程中，分别是的中点，运动t秒时，恰好满足，求此时的值． 【答案】(1)1，2 (2)3 (3) 【分析】本题考查了线段的和差倍分，一元一次方程的应用，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点． （1）根据同类项的定义列方程即可得到结论； （2）设，则，根据题意列方程即可得到结论； （3）设，由（2）知，，根据题意得到，①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵关于、的单项式与的和仍为单项式， ∴单项式与是同类项， ∴， 故答案为：1，2； （2）设运动了t秒，则 设，则，      故答案为：3； （3）设，由（2）知，， ①当点在线段上时，， 解得：， ②当点在线段的延长线上时，， 解得：，(不合题意，舍去)， 综上所述，． 18．如图，已知点、在线段上． (1)图中共有________条线段； (2)若比较线段的大小：________（填：“>”，“=”，或“<”）； (3)若，，是的中点，是的中点（如下图）． ①求的长度； ②嘉嘉同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 【答案】(1)6 (2) (3)①；②同意，理由见详解 【分析】本题主要考查了两点间的距离以及线段的和差关系，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性． （1）依据、在线段上，即可得到图中共有线段． （2）依据，即可得到 ，进而得出． （3）①依据线段的和差关系以及中点的定义，即可得到的长度． ②分为当点在线段上，点在射线上运动时；当点在射线上，点在射线上运动时，两种情况分别求解判断即可； 【详解】（1）解：∵、在线段上， ∴图中共有线段共6条． 故答案为：6； （2）若，则，即． 故答案为：； （3）①∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴．    ②当线段在射线上运动时， 当点在线段上，点在射线上运动时：      ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． 当点在射线上，点在射线上运动时：    ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． ∴线段的长度不变． 19．已知：如图，在数轴上点表示数，点表示数，表示点和点之间的距离，且，满足． （1）求，两点之间的距离； （2）若在数轴上存在一点，且，求点表示的数； （3）一小球甲在数轴上从点处以1个单位/秒的速度向右运动，同时另一小球乙从点处以7个单位/秒的速度向左运动，当甲乙两小球开始运动时，立即在点和点处各放一块挡板，其中点所表示的数为，当球在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒），问：为何值时，甲、乙两小球之间的距离为4． 【答案】（1）8；（2）点C表示的数为或14；（3）t为s或时，甲、乙两小球之间的距离为4． 【分析】（1）由可得，进而问题可求解； （2）由题意易得点C在点A的右侧，可分当点C在线段AB上和在线段AB外，进而根据线段的和差关系可进行列方程求解； （3）由题意得：个单位/秒，个单位/秒，则有它们相遇的时间为1s，进而可分①当它们未碰到挡板P，即，②当它们碰到挡板P后，即，然后根据题意列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴A、B两点之间的距离为， （2）由得点C在点A的右侧，设点C表示的数为x，即AC=x+2，则有： ①当点C在线段AB上，则BC=6-x， ∴，解得：， ②当点C在线段AB外，则BC=x-6， ∴，解得：， 综上所述：当时，点C表示的数为或14； （3）由题意得：个单位/秒，个单位/秒， ∴它们相遇的时间为：，解得：， ∴它们同时碰到挡板P， 当它们之间的距离为4时，则有： ①当它们未碰到挡板P，即， ∴，解得：， ②当它们碰到挡板P后，即， ∴，解得：， 综上所述：当t为s或时，甲、乙两小球之间的距离为4． 【点睛】本题主要考查数轴上两点的距离、一元一次方程的应用及线段的和差关系，熟练掌握数轴上两点的距离、一元一次方程的应用及线段的和差关系是解题的关键． 20．如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 秒： （1）写出数轴上点表示的数为______，点表示的数为______ （用含的代数式表示）； （2）动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点？ （3）若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 【答案】（1）-6，；（2）点运动7秒时追上点；（3）线段的长度不发生变化，其值为7 【分析】（1）根据点表示的数和AB的长度即可求解； （2）根据题意列出方程，求解即可； （3）分类讨论即可：①当点在点、两点之间运动时，②当点运动到点的左侧时，根据中点的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为8，且， ∴点表示的数为， 点P表示的数为， 故答案为：-6，； （2）设点、同时出发，点运动时间秒追上，依题意得， ， 解得， ∴点运动7秒时追上点； （3）线段的长度没有发生变化都等于7；理由如下： ①当点在点、两点之间运动时： ， ②当点运动到点的左侧时： ， ∴线段的长度不发生变化，其值为7． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，掌握中点的定义、一元一次方程的应用是解题的关键． 21．【新知理解】 如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点是线段的“奇点”． （1）线段的中点______这条线段的“奇点”（填“是”或“不是”） 【初步应用】 （2）如图②，若，点是线段的奇点，则； 【解决问题】 （3）如图③，已知动点从点出发，以速度沿向点匀速移动：点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为，请直接写出为何值时，、、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的奇点？ 【答案】（1）是；（2）6或9或12；（3）或或或或或6 【分析】（1）根据“奇点”的定义即可求解； （2）分当N为中点时, 当N为CD的三等分点，且N靠近C点时，当N为CD的三等分点，且N靠近D点时，进行讨论求解即可； （3）分由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除；当P为A、Q的巧点时；当Q为A、P的巧点时；进行讨论求解即可． 【详解】（1）一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称这个点为该线段的“奇点”， 线段的中点是这条线段的“奇点”， （2），点N是线段CD的奇点， 可分三种情况， 当N为中点时，, 当N为CD的三等分点，且N靠近C点时，, 当N为CD的三等分点，且N靠近D点时， （3）, 秒后，， 由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除； 当P为A、Q的巧点时，有三种情况； 1）点P为AQ中点时，则，即，解得： 2）点P为AQ三等分点，且点P靠近点A时，则,即，解得： 3）点P为AQ三等分点，且点P靠近点Q时,则，即，解得： 当Q为A、P的巧点时，有三种情况； 1）点Q为AP中点时，则，即，解得： 2）点Q为AP三等分点，且点Q靠近点A时，则,即，解得： 3）点Q为AP三等分点，且点Q靠近点P时,则，即，解得： 【点睛】考查了两点间的距离,一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 22．如图，已知数轴上有三点，它们对应的数分别为，且，点对应的数是10． （1）若，则_____，______；若经折叠，点与点重合，则点与数______，表示的点重合； （2）在（1）的条件下，为原点，动点分别从两点同时出发，向左运动，运动速度为每秒2个单位长度，点向右运动，运动速度为每秒1个单位长度，点为线段的中点，点为线段的中点，设运动时间为秒，用含的代数式表示点表示的数分别是______,_______；用含的代数式表示之间的距离_______． 【答案】（1），；25；（2），； 【分析】（1）根据BC=15，可得,再根据点C对应的数是10，即可得出a，b的值，设点与点重合，与点A重合的数表示x，列出关于x的方程，解方程即可求解； （2）先根据题意得到P、Q表示的数，再根据中点的意义确定M、N表示的数，即可求解． 【详解】解：∵BC=15， ∴， ∵c=10， ∴b=-5，a=-20， 设点与点重合，与点A重合的数表示x，则 解得x=25， 故答案为：，；25； （2）由题意得P点表示的数为-20-2t；点Q表示的数位10+t； ∵点为线段的中点，点为线段的中点， ∴点N表示的数为：-10-t，点M表示的数为， ∴MN= ． 故答案为：，； ． 【点睛】本题考查了数轴的应用，线段中点的意义，一元一次方程的应用，理解数轴上两点间的距离的意义和线段中点的意义是解题关键． 23．已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0. （1）m＝ 　，n＝ 　； （2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动． ①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长； ②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）m=12，n= 4； （2）① MN=8，②在整个运动的过程中，FC-5 DE的值为定值，且定值为0． 【分析】（1）由绝对值和平方的非负性，即可求出m、n的值； （2）①由题意，则MN=CM+CD+DN，根据线段中点的定义，即可得到答案； ②设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，然后列出方程，求出a=2，然后分情况进行分析，求出每一种的值，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0， ∴m－12=0，n－4=0， ∴m=12，n=4； 故答案为：12；4． （2）由题意，①∵AB=12，CD=4， ∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点 ∴AM=CM=AC ，DN=BN=BD ∴MN=CM+CD+DN =AC +CD+BD =AC +CD+BD+CD =(AC +CD+BD)+CD =(AB +CD) =8； ②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a， 依题意有： 解得：a=2 在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t， ∵E是线段BC的中点 ∴CE= BE=BC=2+t； Ⅰ．如图1，F，C相遇，即t=2时 F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0 ∴FC-5 DE =0； Ⅱ．如图2，F，C相遇前，即t<2时 FC =10-5t，DE =BE-BD=2+t-2t=2-t ∴FC-5 DE =10-5t -5（2-t）=0； Ⅲ．如图3，F，C相遇后，即t＞2时 FC =5t-10，DE = BD - BE=2t –(2+t)= t-2 ∴FC-5 DE =5t-10 -5（t-2）=0； 综合上述：在整个运动的过程中，FC5 DE的值为定值，且定值为0． 【点睛】本题考查了线段中点的定义，线段的和差倍分的关系，一元一次方程的应用，绝对值的非负性等知识，解题的关键是熟练掌握线段的中点定义进行解题，注意运用分类讨论的思想进行分析． 24．如图1，在直线上依次取点，点分别是线段的中点，． （1）求线段的长． （2）如图1，若线段以速度沿直线向左运动，设运动时间为，试探究线段的长度是否与（1）相同，如果改变，利用图2求线段的长度，如果不变，通过图2计算说明理由． （3）如图1，若线段以速度沿直线向右运动，设运动时间为，试探究线段的长度是否与（1）相同，如果改变，利用图3求线段的长度，如果不变，通过图3计算说明理由． 【答案】（1）；（2）的长度不变，；（3）的长度不变，． 【分析】（1）由，可得 再利用点分别是线段的中点，求解再利用线段的和差可得答案； （2）如图2，以为原点建立数轴，则对应的数为，设运动开始时对应的数为 由，可得对应的数为 运动后对应的数分别为 再利用中点坐标公式分别表示对应的数，再利用两点间的距离公式可得答案； （3）如图，以为原点建立数轴，则对应的数为，设运动开始时对应的数为 由，可得对应的数为 运动后对应的数分别为再利用中点坐标公式分别表示对应的数，再利用两点间的距离公式可得答案． 【详解】解：（1） ， 点分别是线段的中点， （2）如图2，以为原点建立数轴，则对应的数为， 设运动开始时对应的数为 由，可得对应的数为 运动后对应的数分别为 分别是线段的中点， 点对应的数为： 点对应的数为 的长度不变为 （3）如图3，以为原点建立数轴，则对应的数为， 设运动开始时对应的数为 由，可得对应的数为 运动后对应的数分别为 分别是线段的中点， 点对应的数为： 点对应的数为 的长度不变为 【点睛】本题考查的是线段的和差，线段的中点的含义，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，数轴上线段中点对应的数的规律，整式的加减运算，掌握以上知识是解题的关键． 25．如图，在数轴上点表示的数是4，，点以每秒6个单位的速度从点向左运动，运动时间是． （1）点表示的数是______，点表示的数是______． （2）点以每秒4个单位从点向左运动，求点几秒后追上点？ （3）点、分别是、中点，①当点在线段上运动时，求线段的长度，②点运动到线段之外时，线段的长度是否会发生变化？如果变化请说明理由，如果不变化请求出的值． 【答案】（1），；（2）点P经过5秒后追上点Q；（3）①，②不发生改变，． 【分析】（1）根据题意易得AP=6x，然后可直接进行求解； （2）根据追及问题的关系式“追及路程=速度差×追及时间”可直接进行列式求解； （3）①由题意易得，然后根据线段的和差关系可求解； ②由题意易得AP=6x，PB=6x-10，，进而可得，然后根据线段的和差关系可求解． 【详解】解：（1）由题意得： 点B表示的数为：， ∵点P的运动路程即为AP的长，速度为每秒6个单位从点A向左运动， ∴点P表示的数为：， 故答案为，； （2）由题意得： ， 解得：， 答：点P经过5秒后追上点Q； （3）①当点在线段上运动时，如图所示： ∵点M、N是AP、BP的中点， ∴， ∵AB=AP+BP=10， ∴； ②MN的长不会发生变化，理由如下： 点运动到线段之外时，如图所示： ∵点M、N是AP、BP的中点， ∴， ∵点P的运动路程即为AP的长，速度为每秒6个单位从点A向左运动， ∴AP=6x， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查线段中点的性质及数轴上的动点问题，熟练掌握线段中点的性质及数轴是解题的关键． 26．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为18．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t>0）秒， （1）数轴上点B表示的数是____________，点P表示的数是____________（用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速运动，若点P、Q时出发．求： ①若点Q向右运动，当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇? ②若点Q向左运动，当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度? 【答案】（1）-12，6-4t；（2）①3；②5或13． 【分析】（1）由已知得OA＝6，B是数轴上在A左侧的一点，则可得OB＝AB−OA＝12，因为点B在原点左边，从而可得点B所表示的数；动点P从点A出发，运动时间为t（t＞0）秒，所以运动的单位长度为4t，因为沿数轴向左匀速运动，所以点P所表示的数是6−4t； （2）①若点Q向右运动，根据两点之间的距离为18，则4t+2t=18，然后解方程即可； ②分两种情况：当点P运动a秒时，不超过Q，则18＋2a−4a＝8；超过Q，则18＋2a＋8＝4a；由此求得答案即可． 【详解】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6， ∴OA＝6， ∵AB=18，B是数轴上在A左侧的一点， ∴OB＝AB−OA＝12， 点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为−12； 点P运动t秒的长度为4t， ∵动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴P所表示的数为：6−4t； （2）①若点Q向右运动，根据两点之间的距离为18，则4t+2t=18， 解得t＝3， 答：当点P运动3秒时，点P与点Q相遇； ②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度， 当P不超过Q，则18＋2a−4a＝8，解得a＝5； 当P超过Q，则18＋2a＋8＝4a，解得a＝13； 答：当点P运动5或13秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 【点睛】此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的关系是解题关键． 27．如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上位于点右侧一点，且．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向点方向匀速运动，设运动时间为秒． （1）数轴上点表示的数为__________；点表示的数为__________．（用含的代数式表示） （2）动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向点方向匀速运动；点、点同时出发，当点与点重合后，点马上改变方向，与点继续向点方向匀速运动（点、点在运动过程中，速度始终保持不变）；当点到达点时，、停止运动．运动时间为秒． ①当点与点重合时，求的值，并求出此时点表示的数． ②当点是线的三等分点时，求的值． 【答案】（1）9，；（2）①，此时点P表示的数为5；②当秒或3秒或6秒或秒时，点P是线段AQ的三等分点． 【分析】（1）根据数轴上的两点距离可直接进行求解； （2）①根据重合前两者的路程和等于AB的长即可列方程求解； ②分点P与点Q相遇前和相遇后，依据点P是线段AQ的三等分点进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意易得： 点B表示的数为：，点P表示的数为； 故答案为9，； （2）①根据题意得： ，解得：t=4， ∴， 答：当t=4秒时，点P与点Q重合，此时点P表示的数为5 ②点P与点Q重合前： 当2AP=PQ时，则有：2t+4t+t=12， 解得：； 当AP=2PQ时，则有：， 解得：； 点P与点Q重合后： 当AP=2PQ时，则有， 解得：t=6； 当2AP=PQ时，则有， 解得：； 综上所述：当秒或3秒或6秒或秒时，点P是线段AQ的三等分点． 【点睛】本题主要考查线段的和差关系、一元一次方程的解法及数轴上的动点问题，熟练掌握线段的和差关系、一元一次方程的解法及数轴上的动点问题是解题的关键． 28．已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）    （1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝　 　，DM＝　 　；（直接填空） （2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值． （3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝　 　（填空） （4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值． 【答案】（1）2，4；（2）6 cm；（3）4；（4）或1． 【分析】（1）先求出CM、BD的长，再根据线段的和差即可得； （2）先求出BD与CM的关系，再根据线段的和差即可得； （3）根据已知得MB＝2AM，然后根据AM+BM=AB，代入即可求解； （4）分点N在线段AB上和点N在线段AB的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得． 【详解】（1）根据题意知，CM＝2cm，BD＝4cm， ∵AB＝12cm，AM＝4cm， ∴BM＝8cm， ∴AC＝AM﹣CM＝2cm，DM＝BM﹣BD＝4cm， 故答案为：2cm，4cm； （2）当点C、D运动了2 s时，CM＝2 cm，BD＝4 cm ∵AB＝12 cm，CM＝2 cm，BD＝4 cm ∴AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD＝12﹣2﹣4＝6 cm； （3）根据C、D的运动速度知：BD＝2MC， ∵MD＝2AC， ∴BD+MD＝2（MC+AC），即MB＝2AM， ∵AM+BM＝AB， ∴AM+2AM＝AB， ∴AM＝AB＝4， 故答案为：4； （4）①当点N在线段AB上时，如图1，      ∵AN﹣BN＝MN， 又∵AN﹣AM＝MN ∴BN＝AM＝4 ∴MN＝AB﹣AM﹣BN＝12﹣4﹣4＝4 ∴； ②当点N在线段AB的延长线上时，如图2，    ∵AN﹣BN＝MN， 又∵AN﹣BN＝AB ∴MN＝AB＝12 ∴； 综上所述或1 故答案为或1． 【点睛】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． 29．如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）． （1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置； （2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值； （3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 【答案】（1）点P在线段AB的处；（2）或；（3）结论②的值不变正确，. 【分析】（1）设运动时间为t秒，用含t的代数式可表示出线段PD、AC长，根据，可知点在线段上的位置； （2）由可知，当点Q在线段AB上时，等量代换可得，再结合可得的值；当点Q在线段AB的延长线上时，可得，易得的值. （3）点停止运动时，，可求得CM与AB的数量关系，则PM与PN的值可以含AB的式子来表示，可得MN与AB的数量关系，易知的值. 【详解】解：（1）设运动时间为t秒，则， 由得，即 ，，，即 所以点P在线段AB的处； （2）①如图，当点Q在线段AB上时， 由可知， ②如图，当点Q在线段AB的延长线上时， ， 综合上述，的值为或； （3）②的值不变. 由点、运动5秒可得， 如图，当点M、N在点P同侧时， 点停止运动时，， 点、分别是、的中点， 当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以； 如图，当点M、N在点P异侧时， 点停止运动时，， 点、分别是、的中点， 当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以； 所以②的值不变正确，. 【点睛】本题考查了线段的相关计算，利用线段中点性质转化线段之间的和差倍分关系是解题的关键. 30．如图，在数轴上有四个点A、B、C、D，点A在数轴上表示的数是-12，点D在数轴上表示的数是15， AB长2个单位长度，CD长1个单位长度．    （1）点B在数轴上表示的数是 ，点C的数轴上表示的数是 ，线段BC＝ ． （2）若点B以1个单位长度/秒的速度向右运动，同时点C以2个单位长度/秒的速度向左运动设运动时间为t秒，若BC长6个单位长度，求t的值； （3）若线段AB以1个单位长度/秒的速度向左运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度也向左运动．设运动时间为t秒． ①用含有t的式子分别表示点A、B、C、D，则A是 ，B是 ，C是 ，D是 ． ②若0＜t＜24时，设M为AC中点，N为BD中点，试求出线段MN的长． 【答案】（1）-10；14；24；（2）6或10；（3）①-t-12，-t-10，14-2t，15-2t；②. 【分析】（1）根据AB、CD的长度结合点A、D在数轴上表示的数，即可找出点B、C在数轴上表示的数，再根据两点间的距离公式可求出线段BC的长度； （2）找出运动时间为t秒时，点B、C在数轴上表示的数，利用两点间的距离公式结合BC=6，即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）①找出运动时间为t秒时，即可得到点A、B、C、D在数轴上表示的数； ②由①中的代数式，进而即可找出点M、N在数轴上表示的数，利用两点间的距离公式，即可求出线段MN的长． 【详解】解：（1）∵AB=2，点A在数轴上表示的数是-12， ∴点B在数轴上表示的数是-10； ∵CD=1，点D在数轴上表示的数是15， ∴点C在数轴上表示的数是14． ∴BC=14-（-10）=24． 故答案为：-10；14；24． （2）当运动时间为t秒时，点B在数轴上表示的数为t-10，点C在数轴上表示的数为：14-2t， ∴BC=|t-10-（14-2t）|=|3t-24|． ∵BC=6， ∴|3t-24|=6， 解得：t1=6，t2=10． ∴当BC=6（单位长度）时，t的值为6或10． （3）①当运动时间为t秒时， 点A在数轴上表示的数为：-t-12， 点B在数轴上表示的数为：-t-10， 点C在数轴上表示的数为：14-2t， 点D在数轴上表示的数为：15-2t； 故答案为：-t-12，-t-10，14-2t，15-2t； ②∵0＜t＜24， ∴点C一直在点B的右侧． ∵M为AC中点，N为BD中点， ∴点M在数轴上表示的数为：，点N在数轴上表示的数为：， ∴MN=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了两点间的距离、解含绝对值符号的一元一次方程以及数轴，解题的关键是：（1）根据点与点之间的位置关系找出点B、C在数轴上表示的数；（2）由两点间的距离公式结合BC=6，找出关于t的含绝对值符号的一元一次方程；（3）根据点的运动找出运动时间为t秒时，点M、N在数轴上表示的数． 31．如图，在数轴上点A所表示的数是，点B在点A的右侧，． （1）直接写出点B表示的数_________； （2）点C在AB之间，，求点C表示的数，并在数轴上描出点C； （3）已知点P在数轴上 ①若，直接写出点P所表示的数； ②点P从线段AB的中点处出发，每次向左或向右移动一个单位，共移动了7次，恰好到达点B的位置，请直接写出所有不同移动方法的种数． 【答案】（1）1；（2）图见解析，点C表示的数为-0.5；（3）①、；②21 【分析】（1）按照点B的位置和AB两点之间的距离，得出B的表示的数， （2）点C在AB之间， AC=3BC ，得出点C表示的数，在数轴上描出点C即可， （3）①设点P表示的数为a，分三种情况讨论，当a＜-5时，当-5＜a＜1时，当a≥1时，结合两点之间的距离，分别求出a的值即可，②这小题比较繁琐，抽象，属难题，先求出AB的中点表示的数P，点P从线段AB的中点处出发，每次向左或向右移动一个单位，共移动了7次，7次P恰好到达点B的位置，可得7次移动中有2次向左，5次向右，可以求解． 【详解】（1）点B在点A的右侧，AB=6 ， 所以点B表示的数-5+6=1 即点B表示的数为：1． （2）点C在AB之间，， ∴， ∴， ∴点C表示的数为-0.5 在数轴上正确描出点C， （3）①设点P表示的数为a ∵PA+3PB=｜a-(-5)｜+3｜a-1｜=｜a+5｜+3｜a-1｜=12 当a＜-5时，即（-a-5)+3(1-a)=12，解得a=-3.5，不在范围内， 当-5＜a＜1时，即a+5+3(1-a)=12，解得a=-2， 当a≥1时，即(a+5)+3(a-1)=12，解得：a=2.5， ∴点P表示的数为、 ②21种 ∵AB的中点表示的数为，， ∴点P从线段AB的中点处出发，每次向左或向右移动一个单位， 共移动了7次， 7次P恰好到达点B的位置 这7个单位，正负相消后，的1-(-2)=3且共移动了7个单位， 又∵3=5+(-2)=(-2)+5 由题意可得： 7次移动中有2次向左，5次向右. 设第1次和第2次向左其它都向右记为，则移动方法有，，，，，，，…，共21种移动方法. 【点睛】本题考查了，线段的中点的定义，以及两点之间的距离，解题的关键是画出图形，利用中点的定义和两点之间的距离，确定点的坐标． 32．已知，线段AB上有三个点C、D、E，，，D、E为动点（点D在点E的左侧），并且始终保持． （1）如图1，当E为BC中点时，求AD的长； （2）如图2，点F为线段BC的中点，，求AE的长； （3）若点D从A出发向右运动（当点E到达点B时立即停止），运动的速度为每秒2个单位，当运动时间t为多少秒时，使AD，BE两条线段中，一条的长度恰好是另一条的两倍． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【分析】（1）由，，求解，再利用E为BC中点，求解 再求解 最后利用，从而可得答案； （2）由点F为线段BC的中点，求解，再求解，，再利用，即可得到答案； （3）如图3，以为原点建立数轴，则分别表示先确定的最长运动时间，再在运动后，表示对应的数为 对应的数为 求解，再分两种情况列方程即可得到答案． 【详解】解：（1）如图1， ，， E为BC中点时， , （2）如图2， 点F为线段BC的中点， ， （3）如图3，以为原点建立数轴，则分别表示 由运动开始前： 的最长运动时间为： 运动后，由题意可得：对应的数为 对应的数为 当时， ， 经检验：符合题意， 当时， 经检验：符合题意， 综上：当或时，AD，BE两条线段中，一条的长度恰好是另一条的两倍． 【点睛】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差关系，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键． ( 42 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$