专题17线段的有关计算大题专练（巩固提升16题+能力培优8题+拓展突破8题）-【寒假分层作业】2025年七年级数学寒假培优练（人教版）

专题17线段的有关计算大题专练（巩固提升16题+能力培优8题+拓展突破8题） 知识清单 1、线段的性质 （1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短． （2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离． （3）线段的中点到两端点的距离相等． （4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的． （5）线段的比较：①目测法；②叠合法；③度量法. 2、线段的中点： 点M把线段AB分成两条相等的线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点． 即AM=BM=AB（或者AB=2AM=2BM）. ( M A B ) 3.两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． 4.线段的和、差、倍、分及计算 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点是线段上的点，点是线段的中点． (1)若，，求的长； (2)若，，求的长． 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，C为线段延长线上一点，D为线段上一点，．    (1)若，求的长； (2)若，E为的中点，求的长． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，点C在线段上，，，点M，N分别是，的中点． (1)求的长度； (2)求的长度． 4．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）已知：如图，点C为线段的中点，点E为线段上的点，点D为线段的中点，若线段，，且． (1)求a，b的值； (2)求线段． 5．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知线段，，点是的中点． (1)求线段的长； (2)在上取一点，使得，求线段的长． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）已知B、C在线段上． (1)如图，图中共有______条线段，____________； (2)如图，若．且，求的长度． 7．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图C是线段上一点，B为线段的中点，且，． (1)求的长； (2)若点E在线段上，，求的长． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知C，D为线段上的两点，M，N分别是，的中点． (1)图中共有 条线段． (2)若，，求的长度． (3)若，，请用含a，b式子直接表示的长度． 9．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，线段． (1)反向延长线段到点，使得． (2)在所画图中，设是的中点，是的中点．求的长． 10．（24-25七年级上·广西柳州·阶段练习）如图，已知线段，延长线段至点，使． (1)根据题意，把图形画出来（保留作图痕迹）． (2)若点是线段的中点，cm，求的长． 11．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）如图，已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）． (1)若，求和的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧．点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，直接写出的长． 12．（24-25七年级上·河南·阶段练习）已知：点、分别是、的中点 (1)如图，点是线段上，，．求的长； (2)若点在线段的延长线上，且，，请你直接写出线段的长（用含有，的代数式表示） 13．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）已知线段，点C，E，F在线段上，点F是线段的中点． (1)如图1，当点E是线段的中点时，求线段的长； (2)如图2，当点E是线段的中点时，请你猜想线段与线段之间的数量关系，并说明理由． 14．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点C为线段上一点，点M、点N分别是线段、的中点． (1)若，，求线段的值； (2)若点C在线段上移动，试说明与之间的数量关系． 15．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知，在线段上．    (1)如图1，图中共有________条线段； (2)若． ①比较线段的长短：_______（填“>”“=”或“<”） ②如图2，若，，是的中点，是的中点，求线段的长度． 16．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）如图：四点在同一直线上． (1)若． ①比较线段的大小： ______（填“”、“”或“”）； ②若且，则的长为______； (2)若线段被点分成了三部分，且的中点P和的中点Q之间的距离是，求的长． 17．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，线段，点为线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点， (1)求的长； (2)如果，求线段的长． 18．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点C在线段上，点D为的中点． (1)如图1，若，，求的长． (2)如图2，若点E为的中点，，求的长． 19．（23-24七年级上·湖北鄂州·期末）如图，已知平面内A、B两点和线段a．请用尺规按下列要求作图．（不写作法．保留作图痕迹） (1)连接，并延长到C，使； (2)在完成（1）作图的条件下．若点E为的三等分点，，，求的长度． 20．（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）阅读感悟： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图，C，D是线段上的两点，，，，M为的中点，点N在线段上，且，请你补全图形，并求线段的长度． 以下是小欣的解答过程： 解：补全图形如图所示． 因为，M为的中点，， 所以________，， 所以________________． 小颖说：“我觉得这个题应该有两种情况，小欣只考虑了点N在点D的左侧，事实上，点N还可以在点D的右侧．” 完成以下问题： (1)请将小欣的解答过程补充完整． (2)根据小颖的想法，请你在备用图中画出另一种情况对应的示意图，并求此时线段的长度． 21．（23-24七年级上·福建厦门·期末）如图，已知线段，点C是的中点，点D是的三等分点，且点D在点C的右边． (1)若，求的长； (2)在线段上是否存在一点E，使得点E是的中点，同时点C也是的中点？若存在，请用圆规找出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由． 22．（23-24七年级上·江西南昌·期末）已知线段，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）． (1)若M，N分别是的中点，求的长度； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，若且G点在直线上，，求的长度． 23．（22-23七年级上·河南新乡·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣： 如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______． (2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，，分别是，的中点，则______． ②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长． ③若，分别是，的等分点，即，，则______． 24．（22-23七年级上·湖北十堰·期末）根据题意，填空完善解答过程：已知，线段，C是直线上的一点，M，N分别是线段的三等分点，且． (1)如图1，当点C在线段上时，求的长； (2)如图2，当点C在延长线上时，求的长； (3)当点C在延长线上时，画出图形，并模仿上述两问的解答过程，求的长． 25．（23-24七年级上·广东珠海·期末）已知在数轴上有A，B两点，点B表示的数为，点A在B点的右边，且．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向终点B匀速运动，动点Q从点B同时出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向终点A匀速运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)①点A所表示的数为________； ②当秒时，点P所表示的数为________，点Q所表示的数为________； (2)问运动了多少秒，点P与点Q相距8个单位长度？ (3)若点M为的中点，点N为的中点，求出线段与线段的数量关系． 26．（23-24七年级上·江苏南通·期末）点A为数轴上表示数2的点，点M为数轴上的一个动点（不与点A重合），设（）． (1)若点M表示的数为，则______； (2)若，求点M在数轴上表示的数； (3)若点N为线段OM的中点，当时，求a的值． 27．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，点O是数轴的原点，点A在数轴上位于原点左侧，点B在数轴上位于原点右侧，． (1)当，时，点A表示的数为______，点B表示的数为______； (2)若点C、D为数轴上任意两点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． ①当点C与点D重合时，探究与的数量关系，并说明理由． ②当时，直接写出的长度（用m，n表示）． 28．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）如图，嘉淇设计了一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒． (1)的长为________个单位长度，的值为________； (2)当时，求点表示的数； (3)当机器人，之间的距离小于等于个单位长度时，机器人变成彩色，求机器人变成彩色的总时长； (4)当机器人，和点中有一个点到其他两点的距离相等时，直接写出的值． 29．（22-23七年级上·江西南昌·期末）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．    (1)若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长； ②若点在线段上，且，，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 30．（22-23七年级上·福建厦门·期末）如图已知线段、， (1)线段在线段上（点C、A在点B的左侧，点D在点C的右侧） ①若线段，，M、N分别为、的中点，求的长． ②M、N分别为、的中点，求证： (2)线段在线段的延长线上，M、N分别为、的中点，②中的结论是否成立？请画出图形，直接写出结论 31．（24-25七年级上·广东茂名·阶段练习）如图1，点C在线段上，图中有三条线段，分别为线段和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“智慧点”． (1)线段的中点______这条线段的“智慧点”（填“是”或“不是”）； (2)若线段，点C为线段的“智慧点”，则______； (3)如图2，已知，，动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为t秒，若A、P、Q三点中，一点恰好是以另外两点为线段的“智慧点”，求出所有可能的t值． 32．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）【感悟体验】如图，三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图，下列情形中与互为“对称线段”的是 （直接填序号）． ； ；． 【运用概念】如图，与互为“对称线段”，点为的中点，点为的中点，且． （1）若，求的长； （2）若，求的长； 【拓展提升】如图，在同一直线上依次有四点，且（为常数），点为的中点，点在上且．是否存在的值使得的长为定值？若存在，请求出的值以及这个定值（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由． ( 8 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17线段的有关计算大题专练（巩固提升16题+能力培优8题+拓展突破8题） 知识清单 1、线段的性质 （1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短． （2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离． （3）线段的中点到两端点的距离相等． （4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的． （5）线段的比较：①目测法；②叠合法；③度量法. 2、线段的中点： 点M把线段AB分成两条相等的线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点． 即AM=BM=AB（或者AB=2AM=2BM）. ( M A B ) 3.两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． 4.线段的和、差、倍、分及计算 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点是线段上的点，点是线段的中点． (1)若，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1)2 (2)50 【分析】本题考查了与线段中点有关的线段和差计算，熟知线段中点的定义是解题的关键． （1）求出，由点是线段的中点，根据即可解答； （2）由点是线段的中点，先求出，根据即可解答． 【详解】（1）解：因为，， 所以． 因为点是线段的中点， 所以； （2）解：因为点是线段的中点，所以． 因为， 所以． 因为， 所以． 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，C为线段延长线上一点，D为线段上一点，．    (1)若，求的长； (2)若，E为的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查线段的和差关系，线段的中点问题： （1）根据，可求得，据此即可求得答案； （2）先求得，进而可求得，根据线段中点的定义，可求得． 【详解】（1）解： ， ． ， ． ， ． （2）解：， ． ， ． 是的中点， ． ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，点C在线段上，，，点M，N分别是，的中点． (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)9 (2)6 【分析】（1）已知，，可得的长度，又因点N是的中点，即，可得的长度； （2）因为点M是的中点，即，可得的长度，又因，可得的长度． 本题考查了线段的和差，线段的中点，熟练掌握线段中点，线段的和差意义是解题的关键． 【详解】（1） 解：∵，， ∴， ∵点N是的中点， ∴． （2）解：∵点M是的中点， ∴， ∵， ∴． 4．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）已知：如图，点C为线段的中点，点E为线段上的点，点D为线段的中点，若线段，，且． (1)求a，b的值； (2)求线段． 【答案】(1)， (2)2 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和差，线段中点的定义，非负数的性质，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）根据线段中点求出，再求出的长，根据即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，． （2）解：∵点C为线段的中点，点D为线段的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知线段，，点是的中点． (1)求线段的长； (2)在上取一点，使得，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查线段的和差倍分的计算，理解图示中线段的关系，掌握线段和差倍分的计算，中点的定义是解题的关键． （1）根据，点是的中点，可得，把数字代入计算即可； （2）根据，，可得，结合（1）中，由，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）可得，， ∴． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）已知B、C在线段上． (1)如图，图中共有______条线段，____________； (2)如图，若．且，求的长度． 【答案】(1)6，； (2) 【分析】本题考查了线段的定义，线段的和差，以及一元一次方程的应用，数形结合是解答本题的关键． （1）根据线段的定义可求出线段的数量；根据线段的和差可解决与有关的数量关系； （2）设，表示出、，根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：图中线段有：共6条； ． 故答案为：6；；． （2）解：设， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 解得， ∴． 7．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图C是线段上一点，B为线段的中点，且，． (1)求的长； (2)若点E在线段上，，求的长． 【答案】(1)； (2)的长为． 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的定义． （1）根据线段中点的性质，可求出的长，根据线段的和差，可得的长； （2）根据线段的和差，可得答案． 【详解】（1）解：∵点B为的中点， ∴， 由线段的和差，得 ， 故：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知C，D为线段上的两点，M，N分别是，的中点． (1)图中共有 条线段． (2)若，，求的长度． (3)若，，请用含a，b式子直接表示的长度． 【答案】(1)15 (2)的长度为21 (3)的长度为 【分析】（1）根据线段的定义即可得到结论； （2）根据已知可得，再根据线段的中点定义可得，，从而可得，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）根据已知可得，再根据线段的中点定义可得，，从而可得，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 本题考查了线段的和差，线段的中点，熟练掌握线段中点，线段的和差意义是解题的关键． 【详解】（1）解：图中共有条线段， 故答案为：15． （2） 解：∵，， ∴， ∵M，N分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为21． （3） 解：∵，， ∴， ∵M，N分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为． 9．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，线段． (1)反向延长线段到点，使得． (2)在所画图中，设是的中点，是的中点．求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和与差： （1）根据题意画出图形即可． （2）先求出的长，再根据线段的中点的定义解答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求 （2）解：因为， 所以， 因为是的中点，是的中点， 所以，， 所以． 10．（24-25七年级上·广西柳州·阶段练习）如图，已知线段，延长线段至点，使． (1)根据题意，把图形画出来（保留作图痕迹）． (2)若点是线段的中点，cm，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了按要求作线段，线段的和差计算等知识，理清题中各个线段的数量关系，是解答本题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）由，可得，即有，根据是中点，可得，则有，问题得解． 【详解】（1）解：作图如下： ； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， 即的长． 11．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）如图，已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）． (1)若，求和的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧．点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，直接写出的长． 【答案】(1) (2)的长为或． 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点以及倍数相关的计算．掌握线段和差的计算，利用数形结合思想是解题的关键． （1）观察图形可知，，由已知，可得出，即可求出的长，进而得出的长； （2）根据题意，分两种情况，画出图形，（i）当点F在点C左侧时；（ii）当点F在点C的右侧时，利用线段的和差倍分计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，已知点C在上，． ∵，，， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：分两种情况： （i）如图1所示，当点F在点C右侧时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （ii）如图2所示，当点F在点C左侧时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 12．（24-25七年级上·河南·阶段练习）已知：点、分别是、的中点 (1)如图，点是线段上，，．求的长； (2)若点在线段的延长线上，且，，请你直接写出线段的长（用含有，的代数式表示） 【答案】(1)线段的长为 (2) 【分析】本题主要考查了两点间的距离，线段的中点定义，理解线段的中点把线段分成两条相等的线段是解决问题的关键． （1）根据题意得出，确定，再由中点即可求解； （2）根据题意作出图形，然后结合线段中点求解即可． 【详解】（1）解：为的中点，， ， ， ， 为的中点， ， ； ， 答：线段的长为． （2）如图所示： ∵，， ∴， 为的中点， ， 为的中点， ∴， ， ． 13．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）已知线段，点C，E，F在线段上，点F是线段的中点． (1)如图1，当点E是线段的中点时，求线段的长； (2)如图2，当点E是线段的中点时，请你猜想线段与线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段中点的有关计算．解题的关键在于明确线段的数量关系． （1）由题意知，，有，进而可求的值； （2）由题意知，，，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵点E是线段的中点， ∴， ∵点F是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴线段的长为6； （2）解：， ∵点E是线段的中点， ∴， ∵点F是线段的中点， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点C为线段上一点，点M、点N分别是线段、的中点． (1)若，，求线段的值； (2)若点C在线段上移动，试说明与之间的数量关系． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据线段中点的性质，得到，，再根据线段的和可得答案； （2）根据线段中点的性质，可得，，再根据线段的和可得答案． 本题考查了线段的长度问题，掌握线段中点的性质是解题的关键． 【详解】（1）∵点M、点N分别是线段、的中点，，， ∴， ∴； （2）∵点M、点N分别是线段、的中点， ∴， ∴． 15．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知，在线段上．    (1)如图1，图中共有________条线段； (2)若． ①比较线段的长短：_______（填“>”“=”或“<”） ②如图2，若，，是的中点，是的中点，求线段的长度． 【答案】(1)6 (2)①＞；②12 【分析】本题主要考查了线段数量、线段的长度计算和线段中点的性质，解题关键是熟练掌握线段的和、差、倍、分及计算方法． （1）根据图形依次数出线段的条数即可； （2）①根据不等式的性质即可得到答案；②依据线段的和差关系进行计算，即可得出的长度． 【详解】（1）解：以为端点的线段有、、共3条； 以为端点的线段有、共2条； 以为端点的线段为，有1条， 故共有线段的条数为：， 故答案为：6； （2）解：①若，则， 即． 故答案为：； ②解：，分别为，中点 ， ， ． 16．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）如图：四点在同一直线上． (1)若． ①比较线段的大小： ______（填“”、“”或“”）； ②若且，则的长为______； (2)若线段被点分成了三部分，且的中点P和的中点Q之间的距离是，求的长． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查线段及其中点的有关计算，理解线段中点的意义是正确计算的关键． （1）①根据等式的性质，得出答案；②求出的值，再求出的长，进而求出的长即可； （2）根据线段的比，线段中点的意义，设未知数，列方程求解即可． 【详解】（1）①∵， ，即：， ②， 且， ∴ ， （2）如图所示， 设每份为x,则， 是的中点，点Q是的中点， ， 又， ， 解得，， ． 17．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，线段，点为线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点， (1)求的长； (2)如果，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点，一元一次方程与线段数量关系的计算，掌握线段中点，一元一次方程的运用是解题的关键． （1）根据中点的性质可得，由即可求解； （2）设，则，根据题意可得，，解得，由此即可求解的长． 【详解】（1）解：∵点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵点是的中点， ∴，则， ∵， ∴， 解得，，即， ∴． 18．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点C在线段上，点D为的中点． (1)如图1，若，，求的长． (2)如图2，若点E为的中点，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的有关计算以及图形中线段的和差关系，根据图形找准线段间的关系是解答本题的关键． （1）根据线段中点定义以及图形中，计算即可； （2）根据线段中点的定义以及图形中进行计算即可． 【详解】（1），， D为中点， （2）点D为中点， 点E为中点， ， 19．（23-24七年级上·湖北鄂州·期末）如图，已知平面内A、B两点和线段a．请用尺规按下列要求作图．（不写作法．保留作图痕迹） (1)连接，并延长到C，使； (2)在完成（1）作图的条件下．若点E为的三等分点，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了尺规作图的操作，还有两点间的距离，解决本题的关键是掌握中点的性质，并利用线段和差进行求解． （1）利用尺规作图，可以解出此题，注意保留做题痕迹． （2）根据E为的三等分点，，，分两种情况利用线段的和差可求出的长． 【详解】（1）解： （2）解：如图，∵，， ∴， ∴ ∵点E为的三等分点， ∴或， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上，长为或． 20．（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）阅读感悟： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图，C，D是线段上的两点，，，，M为的中点，点N在线段上，且，请你补全图形，并求线段的长度． 以下是小欣的解答过程： 解：补全图形如图所示． 因为，M为的中点，， 所以________，， 所以________________． 小颖说：“我觉得这个题应该有两种情况，小欣只考虑了点N在点D的左侧，事实上，点N还可以在点D的右侧．” 完成以下问题： (1)请将小欣的解答过程补充完整． (2)根据小颖的想法，请你在备用图中画出另一种情况对应的示意图，并求此时线段的长度． 【答案】(1)2；2；4 (2)见解析，12 【分析】本题主要考查了线段两点间的距离，线段的和差倍分关系；解题关键是正确识别图形，理解线段与线段之间的和差倍分关系． （1）先根据条件求出，和，最后根据求出答案即可； （2）根据小颖的想法，点N还可以在点D的右侧，画出图形，然后根据条件求出，和，最后根据求出答案即可． 【详解】（1）解：小欣的解答过程如下： ，， ， 为的中点，， ． ， 故答案为：2：2；4. （2）解：画图如下：     ，， ， 为的中点，， ． ． 21．（23-24七年级上·福建厦门·期末）如图，已知线段，点C是的中点，点D是的三等分点，且点D在点C的右边． (1)若，求的长； (2)在线段上是否存在一点E，使得点E是的中点，同时点C也是的中点？若存在，请用圆规找出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)存在，画图及理由见解析 【分析】（1）根据中点定义，三等分点定义，得到，，根据，，即得； （2）以点D为圆心， 长为半径画弧，交 于点E，E即为的中点，C为的中点．理由：根据，得到，得到，得到E是的中点，根据，得到，得到C是的中点． 【详解】（1）∵点C是的中点，点D是的三等分点， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）存在，理由如下， 以点D为圆心，以长为半径画弧，交 于点E，E即为所求作，如图． 理由：∵， ∴， ∴， ∴E是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴C是的中点． 22．（23-24七年级上·江西南昌·期末）已知线段，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）． (1)若M，N分别是的中点，求的长度； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，若且G点在直线上，，求的长度． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了线段的n等分点有关的计算，线段的和差，理解线段n等分点的定义是解答本题的关键． （1）由中点的定义可得，，然后根据求解即可； （2）由，可得，，然后根据求解即可； （3）先求出线段的长，然后分点G在线段上和点G在线段的延长线上两种情况求解即可． 【详解】（1）∵M，N分别是的中点， ∴，， ∴． ∵， ∴； （2）∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． 当点G在线段上时，； 当点G在线段的延长线上时，． 综上可知，的长度为或． 23．（22-23七年级上·河南新乡·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣： 如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______． (2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，，分别是，的中点，则______． ②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长． ③若，分别是，的等分点，即，，则______． 【答案】(1)3 (2)①；②；③ 【分析】（1）由，，得，根据，分别是，的中点，即得 ， ，故； （2）①由，分别是，的中点，知 ， ，即得 ，故 ； ②由 ， ，知 ， ，即得 ，故 ； ③由 ， ，知 ， ，即得 ，故 ． 【详解】（1）解：，， ， ，分别是，的中点， ， ， ； 故答案为：； （2）解：①，分别是，的中点， ， ， ， ， ； 故答案为： ； ② ， ， ， ， ， ， ； ③ ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． 24．（22-23七年级上·湖北十堰·期末）根据题意，填空完善解答过程：已知，线段，C是直线上的一点，M，N分别是线段的三等分点，且． (1)如图1，当点C在线段上时，求的长； (2)如图2，当点C在延长线上时，求的长； (3)当点C在延长线上时，画出图形，并模仿上述两问的解答过程，求的长． 【答案】(1)6 (2)6 (3)见解析，6 【分析】（1）由可得、，然后根据图形可得即可解答； （2）根据图形可得即可解答； （3）根据图形可得当点C在延长线上时，． 【详解】（1）解：∵， ∴，，，， 如图1：当点C在线段AB上时，． （2）解： 如图2：当点C在AB延长线上时，． （3）解：如图： 当点C在延长线上时，． 【点睛】本题主要考查了线段的和差、线段的等分点等知识点，正确化出图形成为解答本题的关键． 25．（23-24七年级上·广东珠海·期末）已知在数轴上有A，B两点，点B表示的数为，点A在B点的右边，且．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向终点B匀速运动，动点Q从点B同时出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向终点A匀速运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)①点A所表示的数为________； ②当秒时，点P所表示的数为________，点Q所表示的数为________； (2)问运动了多少秒，点P与点Q相距8个单位长度？ (3)若点M为的中点，点N为的中点，求出线段与线段的数量关系． 【答案】(1)①16；②11，； (2)点运动2秒或4秒与点相距8个单位长度． (3)或． 【分析】（1）①由数轴上两点之间的距离列式即可；②由起点对应的数加上或减去移动距离可得答案； （2）先表示点表示的数为，点表示的数为，再利用两点之间的距离公式列方程求解即可； （3）分两种情况讨论：当在右侧时，如图，同理在左侧时：如图，再利用中点的含义结合线段的和差关系可得结论． 【详解】（1）解：①∵，， ∴表示的数是16； ②∵， ∴点表示的数是； 点表示的数是：； （2） 点表示的数为，点表示的数为 解得或4 答：点运动2秒或4秒与点相距8个单位长度． （3）为的中点，为的中点 当在右侧时，如图，有： ∴ ， ，即． 同理在左侧时：如图， 同理可得： ， ∴． 综合知，或． 【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，线段中点的含义，线段的和差运算，清晰的分类讨论是解本题的关键． 26．（23-24七年级上·江苏南通·期末）点A为数轴上表示数2的点，点M为数轴上的一个动点（不与点A重合），设（）． (1)若点M表示的数为，则______； (2)若，求点M在数轴上表示的数； (3)若点N为线段OM的中点，当时，求a的值． 【答案】(1) (2)点表示的数为4或 (3)当时，的值为4或或8或 【分析】本题考查数轴上的动点问题，化简绝对值，一元一次方程的应用，解题关键是分类讨论，找出等量关系，列出相应的方程，利用数形结合的思想解答． （1）由题意可知，，结合可得答案； （2）设点表示的数为，根据题意可得，分三种情况当时，当时，当时，分别化简绝对值，解方程求解即可； （3）设点表示的数为，则，，由题意知，根据，得，分当时，当时，当时，三种情况解方程即可， 根据，则，再将求得的x代入即可求解． 【详解】（1）解：∵点为数轴上表示数2的点，点M表示的数为， ∴，， 则， ∴， 故答案为：； （2）设点表示的数为，则， ∵，，即： ∴， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 当时，，解得：，不符合题意， 综上，点表示的数为4或； （3）设点表示的数为，则，， 则， ∵点为线段的中点， ∴， ∵ ∴， 当时，若，解得：；若，解得：； 当时，若，解得：；若，解得：； 当时，，此时无解， ∵， 则， 当时，；当时，；当时，；当时，； 综上，当时，的值为4或或8或． 27．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，点O是数轴的原点，点A在数轴上位于原点左侧，点B在数轴上位于原点右侧，． (1)当，时，点A表示的数为______，点B表示的数为______； (2)若点C、D为数轴上任意两点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． ①当点C与点D重合时，探究与的数量关系，并说明理由． ②当时，直接写出的长度（用m，n表示）． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②或 【分析】本题考查数轴上点的表示，数轴上点的移动． （1）根据题意列出算式即可； （2）①根据题意分情况讨论列式即可证明出；②根据题意分9种情况讨论并列式分别计算即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，即， ∵点B在数轴上位于原点右侧， ∴点B表示的数为：， ∴， ∵点A在数轴上位于原点左侧， ∴点A表示的数为∶， 故答案为：； （2）解：①∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ，， 如图，当点C在线段上时： ， 即：； 如图，当点C在线段的延长线上时： ，； 如图，当点C在线段的延长线上时： ，； 综上所述，； ②∵点C、D为数轴上任意两点，点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴分情况讨论： 当在上时，点D在上时， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当在上时，点D在延长线上时， 设：，则， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在上时，点D在延长线上时， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当在延长线上时，点D在延长线上时， 同理得：； 当在延长线上时，点D在上时， 同理得：； 当在延长线上时，点D在延长线上时， 同理得：； 当在延长线上时，点D在延长线上时， 同理得：； 当在延长线上时，点D在上时， 同理得：； 当在延长线上时，点D在延长线上时， 同理得：； 综上所述：或． 28．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）如图，嘉淇设计了一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒． (1)的长为________个单位长度，的值为________； (2)当时，求点表示的数； (3)当机器人，之间的距离小于等于个单位长度时，机器人变成彩色，求机器人变成彩色的总时长； (4)当机器人，和点中有一个点到其他两点的距离相等时，直接写出的值． 【答案】(1)，； (2)点表示的数为； (3)秒； (4)或或或或． 【分析】（1）本题考查数轴上两点之间的距离，根据点，表示的数，即可算出的长，再利用是的中点，得到，即可解得的值． （2）本题根据线段的和差，得到点只能在点的右边，推出的长，即可解题； （3）分情况讨论，然后综合各种情况得到机器人变成彩色的总时长； （4）分情况进行讨论，然后综合各种情况得到的值； 此题考查了数轴的动点问题和一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意和分类讨论． 【详解】（1）解：∵数轴上点A，B表示的数分别为，， ∴， ∵ 是的中点， ∴， ∴表示的数分别为，即的值为， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴点只能在点的右边，位置如图所示： ∴，即，整理得，解得， ∴点表示的数为； （3）解：由（）可知，从运动到需秒， ∴，， ∴， 当追上时， ， 解得， 当追上之前， ∵， ∴ 解得， ∴， 当追上之后， ， ∵， ∴ 解得， ∴， 综上可知，， （秒） ∴机器人变成彩色的总时长为秒； （4）解：当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，设机器人的运动时间为秒，则机器人的运动时间为秒， 当时，即点到点和点到点距离相等时， 当机器人到达点，此时点与点重合，即， 当机器人过点时，即， 解得或， 当时，即点到点和点到点距离相等时， 当机器人到达点时，即， 当机器人超过机器人时，， 解得或（舍去）， 当时，即点到点和点到点距离相等时， 当机器人未到达点时，即， 当机器人与机器人相遇时，即， 解得或， 综上可知，的值为或或或或． 29．（22-23七年级上·江西南昌·期末）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．    (1)若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长； ②若点在线段上，且，，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）根据已知条件得到，，①由线段中点的定义得到，求得，由线段的和差得到；②点在点的左侧，点是的中点，所以，可以根据进行求解，当点在点的右侧，，，求出的长度，再根据进行求解即可； （2）当在点的右侧时，设，，则，，，求得，当在点的左侧时，设，，则，，，求得，分别代入关系式即可得出答案． 【详解】（1）解：①，，， ，， 如图， 为中点， ， ， ； ②如图， ， 点在点的左侧， 点是的中点， ， ， ； 当点在点的右侧，如图 ，， ， ， （不合题意，舍去）， 综上所述，的长为； （2），，满足关系式， 如图，当在点的右侧时： 设，，则， ，， ，， ， ， ， ， 解得，，    ； 如图，当在点的左侧时： 设，，则， ，， ，， ， ， ， ， 解得，，    ． 故答案为是或． 【点睛】本题考查了两点间的距离，熟悉各线段间的和、差及倍数关系，根据题意分情况讨论是解答本题的关键． 30．（22-23七年级上·福建厦门·期末）如图已知线段、， (1)线段在线段上（点C、A在点B的左侧，点D在点C的右侧） ①若线段，，M、N分别为、的中点，求的长． ②M、N分别为、的中点，求证： (2)线段在线段的延长线上，M、N分别为、的中点，②中的结论是否成立？请画出图形，直接写出结论 【答案】(1)①10，②见解析 (2)不成立，见解析 【分析】（1）①利用求出的值，利用中点平分线段，得到，再利用，即可得解；②利用中点平分线段，得到，进而得到，再利用，即可得证； （2）分点在点的左侧，点在点的右侧，点在点的左侧，点在点的左侧，以及点在点的左侧，三种情况分类讨论，求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵M、N分别为、的中点， ∴， ∴； ②∵M、N分别为、的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）不成立； ∵M、N分别为、的中点， ∴， ①当点在点的左侧，点在点的右侧时，如图： 或 ； ②当点在点的左侧，点在点的左侧时，如图： 或 ； ③当点在点的左侧时，如图： 或 ； 综上：或；故结论不成立． 【点睛】本题考查线段之间的和与差．正确的识图，理清线段之间的和，差，倍数关系，是解题的关键．注意分类讨论． 31．（24-25七年级上·广东茂名·阶段练习）如图1，点C在线段上，图中有三条线段，分别为线段和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“智慧点”． (1)线段的中点______这条线段的“智慧点”（填“是”或“不是”）； (2)若线段，点C为线段的“智慧点”，则______； (3)如图2，已知，，动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为t秒，若A、P、Q三点中，一点恰好是以另外两点为线段的“智慧点”，求出所有可能的t值． 【答案】(1)是 (2)或或 (3)或或或或 【分析】本题考查了两点间的距离，一元一次方程的应用，准确理解“智慧点”的概念，利用分类讨论思想解题是关键． （1）根据“智慧点”的定义即可求解； （2）分，，，进行讨论求解即可； （3）秒后，， ，然后分当为的“智慧点”时，为的“智慧点”时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∵点为的中点， ∴点C是线段的“智慧点”， 故答案为：是； （2）解：∵，点C是线段的“智慧点”， ∴①时，则； ②时，则； ③时，则， 综上所述，点C为线段的“智慧点”，则等于或或， 故答案为：或或； （3）解：秒后，， ， 由题意可知点不可能为的“智慧点”， 则当为的“智慧点”时， ①时，则， ∴， 解得：； ②当时，则， ∴， 解得：； ③当时， ∴， 解得：； 当为的“智慧点”时， ④当时，则， ∴， 解得：（舍）； ⑤当时，则， ∴， 解得：； ⑥当时， ∴， 解得：， 综上所述：t值为或或或或． 32．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）【感悟体验】如图，三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图，下列情形中与互为“对称线段”的是 （直接填序号）． ； ；． 【运用概念】如图，与互为“对称线段”，点为的中点，点为的中点，且． （1）若，求的长； （2）若，求的长； 【拓展提升】如图，在同一直线上依次有四点，且（为常数），点为的中点，点在上且．是否存在的值使得的长为定值？若存在，请求出的值以及这个定值（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】【感悟体验】画图见解析；【认识概念】；【运用概念】（1），（2），【拓展提升】当时,为定值． 【分析】【感悟体验】 ：以点为圆心以长度为半径交直线于点即可求解； 【认识概念】，故①不符合题意； ，，故不符合题意；设，则，同理可得，即可求解； 【运用概念】 设点对应的数为，点对应的数为，则点，对应的数为，， 则点对应的数为，点对应的数为，即可求解； 【拓展提升】设点对应的数为：，点对应的数为：，则点、对应的数分别为：，，求出 ，即可求解； 本题考查了几何变换，涉及到新定义、中点坐标公式的运用等，准确设定点所对应的数是解题的关键. 【详解】【感悟体验】：以点为圆心以长度为半径交直线于点 则点为所求点，如下图： 【认识概念】 ，故不符合题意； ，故不符合题意； 设 ，则， 同理可得：，故符合题意， 故答案为：； 【运用概念】设点对应的数为，点对应的数为，则点，对应的数为，， 则点对应的数为，点对应的数为， （）当，即，则， 则， （）当，即， 则， 【拓展提升】存在，理由： 设点对应的数为：，点对应的数为：， 则点、对应的数分别为：，， 则点对应的数为， 而， 则点对应的数为： ， 则 ， 当时，为定值． ( 34 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$