专题14数字与图形的规律探究问题（巩固提升20题+能力培优8题+拓展突破8题）-【寒假分层作业】2025年七年级数学寒假培优练（人教版）

专题14数字与图形的规律探究问题（巩固提升20题+能力培优8题+拓展突破8题） 知识清单 一、图形规律探究的一般步骤： 1.写序号:记每组图形的序数为“1，2, 3，...，n"(如题图中的图分别标为图①，图②，图③，...； 2.数图形个数:在图形数量变化时，要记录每组图形个数(图①，图②,图③，...分别是由几个图形组成)； 3.寻找图形数量与序数n的关系： ①观察所给图形和上一个图(基础图)，找出增加的部分； ②将增加的图形个数用含序数的式子表示出来； ③归纳出含有序数n的关系式． 二、数字规律探究的一般步骤： 1.当所给的组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正数列、奇数列、偶数列还是正整数列经过平方、平方加1或减1等运算后的数列，然后再看这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现还是只出现一种符号，最后把数字规律和符号规律结合起来从而得到结果； 2. 当数字是分数和整数结合时，先把这组数据的所有整数写成分数，然后分别推断出分子和分母的规律，最后得到该组第n项的规律； 3.当所给的代数式含有系数时，先观察其每一项的系数之间是否有自然数列、正整数列、奇数列、偶数列或交替存在一定的对称性，然后观察其指数是否存在相似的规律，最后将系数和指数的规律结合起来求得结果． 三、等式规律探究的一般步骤 1.标序数； 2.对比式子与序号，即分别比较等式中各部分与序数(1，2, 3, 4，...，n)之间的关系，把其隐含的规律用含序数的式子表示出来，通常方法是将式子进行拆分，观察式子中数字与序号是否存在倍数或者次方的关系； 3.根据找出的规律得出第n个等式，并进行检验． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）观察下列算式：，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（   ） A．2 B．4 C．8 D．6 2．（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·新定义a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·河南安阳·期中）有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是，可发现第次输出的结果是，第次输出的结果是，第次输出的结果是．依次继续下去，第次输出的结果是（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 4．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）如图，下列各正方形中四个数之间均具有相同的规律，根据此规律，第n个正方形中的，则n的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 5．（24-25七年级上·福建南平·期中）有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是1，可以得出第1次输出的结果是4，第2次输出的结果是2，依次继续下去…，第2025次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．2024 6．（24-25七年级上·江苏南通·期中）观察下面三行数： ，4，，16，，64，．．．；① 0，6，，18，，66，．．．；② ，2，，8，，32，．．．；③ 设、、分别为第①②③行的第99个数，则的值为（　　） A． B．4 C． D．2 7．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）已知一个由50个偶数排成的数阵．用如图所示的框去框住四个数，并求出这四个数的和．在下列给出备选答案中，有可能是这四个数的和的是（   ） A．80 B．172 C．148 D．224 8．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、．．．、癸烷等，烷烃中甲烷的化学式是，乙烷的化学式是，丙烷的化学式是，⋯，其分子结构模型如图所示，按照此规律，设碳原子（C）的数目为（为正整数），则它们的化学式都可以用下列哪个式子来表示（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）如图所示，图（1）表示1张餐桌和6张椅子（三角形表示餐桌，每个小圆表示一张椅子），图（2）表示2张餐桌和8张椅子，图（3）表示3张餐桌和10张椅子…；若按这种方式摆放28张桌子需要的椅子张数是（   ） A．25张 B．50张 C．54张 D．60张 10．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）电子跳蚤游戏盘（如图）为，，，，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离是（   ） A．3 B．5 C．7 D．11 11．（24-25七年级上·江苏南通·期中）有一组按规律排列的式子：，，，，．第个式子是 （为正整数）． 12．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在中．“…”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故⋯类似地的结果为 ． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）将全体正偶数排成一个三角形数阵，按照如图排列的规律，第10行第5个数（从左往右数）是 ． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第个“星阵”中★的个数是 ． 15．（24-25七年级上·广东东莞·阶段练习）据说奥特曼很非常喜欢动脑钻研学习数学，如图所示，是他把同样大小的黑色棋子按照规律摆放在正方形的边上，如果他摆放到第个图形，聪明的你知道他摆放第个图形需要黑色棋子的个数是 ． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…，按照此规律． （1）第5个图中正方形和等边三角形的个数之和为 个； （2）第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为 个． 17．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产．“河图洛书”中用实心点或空心点的个数表示数字．观察图1中的每一组点所对应的数字，回答下列问题： (1)根据“洛书”，把数字1-9填入图2对应的空格； (2)根据图2所填数字，我们不难发现：方格中每一行、每一列、每条对角线上的三个数之和都相等．请将6，6，6，8，8，8，10，10，10填入图3方格中，使它们符合“洛书”的规律． 18．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期中）观察下列三列数： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…；③ (1)第①行第10个数是 第②行第10个数是 (2)第②③行中的数与第①行中的数分别有什么关系？ (3)若在每行取第k 个数，这三个数的和正好为，求k的值． 19．（24-25七年级上·河南郑州·期中）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形，第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图个圆点……按照此规律解答： (1)第4幅图中圆点的个数是____________个； (2)第n幅图中圆点的个数是____________个； (3)现有个圆点，则是第几幅图？ 20．（2024七年级上·全国·专题练习）文化情境·传统文化  小明下五子棋的时候，用棋子按一定的规律摆了如下三个图案，若小明继续摆下去． (1)摆第5个图案需用________颗棋子； (2)按照此规律摆下去，摆第个图案需要________颗棋子（用含的代数式表示）； (3)当需要摆第2025个图案时，现在共有8100个棋子，是否够用？请说明理由． 21．（2024七年级上·全国·专题练习）观察一列数，，，，具有下面的规律，，，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，将，，，，，0，1，2，3，这九个数分别填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，若，，分别表示其中一个数，则的值为（   ） A． B． C． D．4 23．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）有依次排列的个数：，，，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：，，，，，这称为第次操作；做第次同样的操作后也可产生一个新数串：，，，，，，，，，继续操作下去，从数串，，开始操作第次以后所产生的那个新数串的所有数之和是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25七年级上·山东青岛·期中）将正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，根据以上操作，若要得到2025个正方形，则需要操作的次数是（   ） A．506 B．507 C．508 D．509 25．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个图形，图形①面积是正方形纸片面积的，图形②面积是图形①面积的2倍的，图形③面积是图形②面积的2倍的，…，图形⑥面积是图形⑤面积的2倍的，图形⑦面积是图形⑥面积的2倍．计算面积的值为 ． 26．（24-25七年级上·广西玉林·期中）少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到设计师们的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个中的基础图形组成的有规律的图案：第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由个基础图形组成，…，如图，按此规律排列下去，第个图案中的基础图形个数为 ． 27．（24-25七年级上·全国·期末）观察理解． 在化学世界中，图①表达的是甲烷（wán）的分子结构示意图，记为：； 图②表达的是乙烷的分子结构示意图，记为：； 图③表达的是丙烷的分子结构示意图，记为： ； 则图ⓝ表达的烷类分子结构示意图应记为： ． 28．（24-25七年级上·四川成都·期中）观察图①，②，③，④得 ； ； ； ； …… (1)观察面图中小圆圈的排列方式，你发现了什么规律？你能表示出来吗？ (2)根据（1）中的规律，计算：； (3)根据（1）中的规律，计算：． 29．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）在数列a1，a2，a3，…an中，，且任意相邻的三个数的乘积都相等，若前n个数的乘积等于64，则n可能是（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 30．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，甲、乙两动点分别同时从正方形的顶点沿正方形的边开始匀速运动，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的倍，那么它们第一次相遇在边上，请问它们第次相遇在哪条边上?（   ） A． B． C． D． 31．（23-24七年级上·福建漳州·阶段练习）汉诺塔问题是指有三根杆子和套在杆子上的若干大小不等的碟片，按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上； （1）每次只能移动1个碟片． （2）较大的碟片不能放在较小的碟片上面． 如图所示，将1号杆子上所有碟片移到2号杆子上，3号杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动到另一根杆子为移动一次，记将1号杆子上的个碟片移动到2号杆子上最少需要次，则（    ） A．31次 B．33次 C．62次 D．63次 32．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）成都准备建立急救服务系统，各急救站之间由电话线相互联络，每个急救站必须能够同其他所有急救站进行联络，或者直接联络，或者最多通过另一个急救站来联络，每个急救站最多能够通过三条电话线．如图上表示这种网络的一个例子，它联络着七个急救站，按这种方式建立的网络系统最多能够联络______个急救站． 33．（24-25七年级上·四川广安·期中）观察图形，探索规律． 图1是三条长度都为a的线段构成的小三角形；图2是4个边长都为a的小角形拼成的大三角形：图3是9个边长都为a的小三角形拼成的大三角形；图4是16个边长都为a的小三角形拼成的大三角形。按此规律排列，图n中共有长度为a的线段 条．    34．（24-25七年级上·全国·期末）某长方形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列． [观察思考] 当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推． [规律总结] （1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加 块； （2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为 （用含n的代数式表示）． [问题解决] （3）现有2025块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？ 35．（24-25七年级上·山东青岛·期中）在运用归纳策略寻找规律时，要先在若干简单情形中寻找、发现、验证相应的规律，再考虑一般情况，最后给出合理解释，并用数学语言简洁地表达规律．操作方法： 如图1，用一个平面将正方体截去1个顶点（截面不经过其它顶点），得到一个新几何体，称为第1次操作；如图2，用平面逐个截去上一次操作的新增顶点（每个截面都不经过其它顶点），又得到一个新几何体，称为第2次操作．按照此种方法可以继续操作下去． 问题：在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第100次操作新产生多少个截面？ 理解问题： 在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第2次操作新产生______个截面． 拟定计划： 直接研究“在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第100次操作新产生多少个截面？”有困难，我们可以先研究简单的情形，从而发现规律，解决问题． 实施计划： 请从“探究简单情形、发现猜想规律、验证或解释规律”等方面，写出你的思考过程并解决问题． 思考过程： 解决问题：在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第100次操作新产生______个截面． 回顾反思： （1）在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第n次操作新产生______个截面； （2）在正方体的每个顶点处都同时按上述方法进行操作，第100次操作新产生______个截面，其中截面形状是六边形的有______个． 36．（24-25七年级上·广东深圳·期中）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 (1)图1中阴影部分的面积是 ，= ． (2)请你利用图2，再设计能求的值的几何图形．（只画出图形即可） (3)根据以上规律， ① ．（为正整数） ② ．（为正整数） ( 9 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14数字与图形的规律探究问题（巩固提升20题+能力培优8题+拓展突破8题） 知识清单 一、图形规律探究的一般步骤： 1.写序号:记每组图形的序数为“1，2, 3，...，n"(如题图中的图分别标为图①，图②，图③，...； 2.数图形个数:在图形数量变化时，要记录每组图形个数(图①，图②,图③，...分别是由几个图形组成)； 3.寻找图形数量与序数n的关系： ①观察所给图形和上一个图(基础图)，找出增加的部分； ②将增加的图形个数用含序数的式子表示出来； ③归纳出含有序数n的关系式． 二、数字规律探究的一般步骤： 1.当所给的组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正数列、奇数列、偶数列还是正整数列经过平方、平方加1或减1等运算后的数列，然后再看这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现还是只出现一种符号，最后把数字规律和符号规律结合起来从而得到结果； 2. 当数字是分数和整数结合时，先把这组数据的所有整数写成分数，然后分别推断出分子和分母的规律，最后得到该组第n项的规律； 3.当所给的代数式含有系数时，先观察其每一项的系数之间是否有自然数列、正整数列、奇数列、偶数列或交替存在一定的对称性，然后观察其指数是否存在相似的规律，最后将系数和指数的规律结合起来求得结果． 三、等式规律探究的一般步骤 1.标序数； 2.对比式子与序号，即分别比较等式中各部分与序数(1，2, 3, 4，...，n)之间的关系，把其隐含的规律用含序数的式子表示出来，通常方法是将式子进行拆分，观察式子中数字与序号是否存在倍数或者次方的关系； 3.根据找出的规律得出第n个等式，并进行检验． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）观察下列算式：，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（   ） A．2 B．4 C．8 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，熟练掌握有理数的乘方运算是解题的关键；因此此题分别得出，，，，，，，，…，然后可得规律，进而问题可求解 【详解】解：因为，，，，，，，，…， 所以，所以末位数字是8． 故选C． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·新定义a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字变化规律，代数式求值， 分别求出，进而得出数字变化规律，再根据规律得出答案即可． 【详解】因为， 所以，， ， 可知三个数一个循环，， 所以． 故选：A． 3．（24-25七年级上·河南安阳·期中）有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是，可发现第次输出的结果是，第次输出的结果是，第次输出的结果是．依次继续下去，第次输出的结果是（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，数字类规律探究，根据流程图求出第4次、第5次、第6次的输出结果，发现从第3次开始，输出结果每3个数一个循环，分别是4、2、1，用2024减去2，再除以3，即可求出结果． 【详解】解：第1次输出结果是16， 第2次输出结果是8， 第3次输出结果是4， 第4次输出结果是， 第5次输出结果是， 第6次输出结果是， ……， 从第3次开始，输出结果每3个数一个循环，分别是4、2、1， ， ∴第2024次输出结果是1． 故选：D． 4．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）如图，下列各正方形中四个数之间均具有相同的规律，根据此规律，第n个正方形中的，则n的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查数字规律问题，根据已知图形找出a、b、c、d的数量关系是解题的关键． 首先由已知图形可得，然后找出a、b、c、d的数量关系，最后建立方程求解． 【详解】由已知图形中数字的规律可得： ，，， ∵第n个正方形中的 ∴ 解得 即 解得． 故选：B． 5．（24-25七年级上·福建南平·期中）有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是1，可以得出第1次输出的结果是4，第2次输出的结果是2，依次继续下去…，第2025次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．2024 【答案】A 【分析】此题考查数字类规律探究，有理数的运算，掌握图形中的计算程序图的计算过程，发现计算结果的规律每3次为一个循环组，根据得到答案，是解题的关键． 【详解】解：开始输入的值是1，每次输出的结果为： 第次：4， 第次：2， 第次：1， 第次：4， 第次：2， 第次：1， 每3次为一个循环组， ∵， ∴第次输出的结果与第3次输出的结果相同，即为1， 故选A． 6．（24-25七年级上·江苏南通·期中）观察下面三行数： ，4，，16，，64，．．．；① 0，6，，18，，66，．．．；② ，2，，8，，32，．．．；③ 设、、分别为第①②③行的第99个数，则的值为（　　） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查数字的变化类，根据题目中的数据，可以发现第一行数字的变化特点，从而可以写出第n个数的式子，同理可以发现第二行的数字就是第一行对应的数字加上2，第三行数字的特点就是第一行对应的数字除以2，然后即可得到每行的第99个数字，再作和即可解答本题． 【详解】解：由题目中的数据可得， 第一行数据的第n个数是， 第二行数据的第n个数是， 第三行数据的第n个数是， 故第一行的第99个数是，第二行数据的第99个数是，第三行数据的第99个数是， ， 故选A． 7．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）已知一个由50个偶数排成的数阵．用如图所示的框去框住四个数，并求出这四个数的和．在下列给出备选答案中，有可能是这四个数的和的是（   ） A．80 B．172 C．148 D．224 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数字变化规律，可利用图例，看出框内四个数字之间的关系，上下相差，左右相差，利用此关系表示四个数之和，再进行求解即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：作表示框住的四个数，如图： ∴框中的四个数之和为： ， 当分别为时，分别为， 由题图可知，，即， 故选：B． 8．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、．．．、癸烷等，烷烃中甲烷的化学式是，乙烷的化学式是，丙烷的化学式是，⋯，其分子结构模型如图所示，按照此规律，设碳原子（C）的数目为（为正整数），则它们的化学式都可以用下列哪个式子来表示（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是数字规律探究题，读懂题意，找出规律，列出关系式是解题的关键．设碳原子的数目为，氢原子的数目为，由观察可知，进而即可得出答案． 【详解】解：设碳原子（C）的数目为（为正整数），氢原子的数目为， 观察可知，， ， ， ， 碳原子（C）的数目为，则它们的化学式为， 故选：A． 9．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）如图所示，图（1）表示1张餐桌和6张椅子（三角形表示餐桌，每个小圆表示一张椅子），图（2）表示2张餐桌和8张椅子，图（3）表示3张餐桌和10张椅子…；若按这种方式摆放28张桌子需要的椅子张数是（   ） A．25张 B．50张 C．54张 D．60张 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，根据所给图形，依次求出图形中桌子和椅子的张数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 摆1张桌子，需要的椅子张数为：； 摆2张桌子，需要的椅子张数为：； 摆3张桌子，需要的椅子张数为：； …， 所以摆n张桌子，需要的椅子张数为张． 当时，（张） 故选：D． 10．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）电子跳蚤游戏盘（如图）为，，，，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离是（   ） A．3 B．5 C．7 D．11 【答案】B 【分析】本题考查图形的变化类，根据题意可以求出前几个点所在的位置以及到三角形顶点的距离，从而发现其中的规律，本题得以解决． 【详解】, ， ， ， ， ∵, ， ， ， ， ， 此时与重合，即经过次跳跃，电子跳蚤回到起跳点， ， 与重合， ∴与C之间的距离是 故选：B. 11．（24-25七年级上·江苏南通·期中）有一组按规律排列的式子：，，，，．第个式子是 （为正整数）． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究．分析这列式子：正负相间，且其分母依次是1，2，3…，分子依次是3，5，7，9，…，故第n个式子是． 【详解】解：观察正负相间，则第n个式子的系数可表示为，且其分母依次是1，2，3…，分子依次是3，5，7，9，…，则第n个式子的分子可表示为， 故第n个式子是． 故答案为：． 12．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在中．“…”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故⋯类似地的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字规律，解一元一次方程的运用，找出规律，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 根据题意，设，则原式变形得，再根据解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】解：设， 则 ∴， 整理得，， 解得，， 故答案为： ． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）将全体正偶数排成一个三角形数阵，按照如图排列的规律，第10行第5个数（从左往右数）是 ． 【答案】100 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，先分别表示各行的第一个数，再总结规律，利用规律解题即可． 【详解】解：观察数字的变化可知：第n行有n个偶数， 因为第1行的第1个数是：； 第2行的第1个数是：； 第3行的第1个数是：；…， 所以第n行的第1个数是：， 所以第10行第5个数是：． 故答案为： 14．（2024七年级上·全国·专题练习）观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第个“星阵”中★的个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查规律型中的图形变化问题，由图可知，第①个“星阵”中★的个数为，第②③④个“星阵”中★的个数依次为、、，即可得出第个“星阵”中★的个数．解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律． 【详解】解：：∵第①个“星阵”中★的个数为：， 第②个“星阵”中★的个数为：， 第③个“星阵”中★的个数为：， 第④个“星阵”中★的个数为：， … ∴第个“星阵”中★的个数为：． 故答案为：． 15．（24-25七年级上·广东东莞·阶段练习）据说奥特曼很非常喜欢动脑钻研学习数学，如图所示，是他把同样大小的黑色棋子按照规律摆放在正方形的边上，如果他摆放到第个图形，聪明的你知道他摆放第个图形需要黑色棋子的个数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到规律．仔细观察图形得到变化规律为每增加一个正方形黑色棋子增加5个，据此解答即可． 【详解】解：第一个图形有个棋子， 第二个图形有个棋子， 第三个图形有个棋子， 第个图形有个棋子， 故答案为：． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…，按照此规律． （1）第5个图中正方形和等边三角形的个数之和为 个； （2）第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为 个． 【答案】 48 【分析】（1）第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、个正方形和个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、个正方形和个等边三角形组成；…，第5个图由5个正六边形、个正方形和个等边三角形组成；求和即可； （2）第n个图由n个正六边形、个正方形和个等边三角形组成；求和即可． 本题考查了整式的规律，熟练掌握规律的探索是解题的关键． 【详解】（1）解：第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、个正方形和个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、个正方形和个等边三角形组成；…，第5个图由5个正六边形、个正方形和个等边三角形组成； 故（个）； 故答案为：48． （2）解：根据题意，得第n个图由n个正六边形、个正方形和个等边三角形组成； 故个， 故答案为：． 17．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产．“河图洛书”中用实心点或空心点的个数表示数字．观察图1中的每一组点所对应的数字，回答下列问题： (1)根据“洛书”，把数字1-9填入图2对应的空格； (2)根据图2所填数字，我们不难发现：方格中每一行、每一列、每条对角线上的三个数之和都相等．请将6，6，6，8，8，8，10，10，10填入图3方格中，使它们符合“洛书”的规律． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查探索与表达规律．根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”解答即可． 【详解】（1）解：， 根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”，可知三行、三列、两对角线上的三个数之和都等于15， 填图如下： ； （2）解：， 根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”，可知三行、三列、两对角线上的三个数之和都等于24， 填图如下： ． 18．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期中）观察下列三列数： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…；③ (1)第①行第10个数是 第②行第10个数是 (2)第②③行中的数与第①行中的数分别有什么关系？ (3)若在每行取第k 个数，这三个数的和正好为，求k的值． 【答案】(1)； (2)第②行中的数是第①行中相应的数；第③行中的数是第①行中相应的数 (3)50 【分析】本题主要考查了数字规律，一元一次方程的应用，解题的关键是找出数字规律． （1）根据第①和②行规律进行解答即可； （2）根据给出的数字，得出规律进行解答即可； （3）设所选第一行的数为x，则第二行的数为，第三行的数为，根据题意列出方程进行解答即可． 【详解】（1）解：根据规律可得，第①行第10个数是； 第②行第10个数是； （2）解：第②行中的数是第①行中相应的数；第③行中的数是第①行中相应的数； （3）解：设所选第一行的数为x，则第二行的数为，第三行的数为，根据题意得： ， 解得：， 令， 解得：． 19．（24-25七年级上·河南郑州·期中）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形，第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图个圆点……按照此规律解答： (1)第4幅图中圆点的个数是____________个； (2)第n幅图中圆点的个数是____________个； (3)现有个圆点，则是第几幅图？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形的变化规律，解题的关键是由所给的图形总结出存在的规律． （1）首先根据前几个图形圆点的个数规律即可发现规律，得出第4幅图中圆点的个数； （2）首先根据前几个图形圆点的个数规律即可发现规律，然后用代数式表示出来即可； （3）令（2）中的式子等于求出即可． 【详解】（1）第一幅图4个圆点，即； 第二幅图7个圆点，即， 第三幅图个圆点，即， 第4幅图中圆点的个数是． （2）由（1）可得， 第n幅图中圆点的个数是． （3）令， 解得， 若有个圆点，则是第幅图． 20．（2024七年级上·全国·专题练习）文化情境·传统文化  小明下五子棋的时候，用棋子按一定的规律摆了如下三个图案，若小明继续摆下去． (1)摆第5个图案需用________颗棋子； (2)按照此规律摆下去，摆第个图案需要________颗棋子（用含的代数式表示）； (3)当需要摆第2025个图案时，现在共有8100个棋子，是否够用？请说明理由． 【答案】(1)21 (2) (3)不够，见解析 【分析】本题考查整式——图形类规律探索，找出变化规律是解题的关键． （1）根据所给图形中棋子的个数找出规律，即可求解； （2）根据（1）中得出的规律，用含的代数式表示出第个图案中棋子的个数即可； （3）根据（2）中结论，令求出棋子数量，再与比较即可判断． 【详解】（1）解：由图可知，第个图案中有颗棋子，， 第个图案中有颗棋子，， 第个图案中有颗棋子，， ……以此类推， 第个图案中棋子个数为：， 故答案为：； （2）解：由（1）可知，摆第个图案需要颗棋子， 故答案为：； （3）不够，理由如下： 当时，， 故摆第2025个图案时个棋子不够用． 21．（2024七年级上·全国·专题练习）观察一列数，，，，具有下面的规律，，，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数字的变化规律，代数式求值，根据变化规律得出和的关系是解题的关键； 按照规律找到和关系即可求解； 【详解】解：，， 当时， 可得：，， ， 即； 故选：C 22．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，将，，，，，0，1，2，3，这九个数分别填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，若，，分别表示其中一个数，则的值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字规律探索，代数式求值，一元一次方程的应用．先根据所有数字之和确定每行、每列、每条对角线上的三个数之和，利用方程求出a，b，c的值，进而即可解答． 【详解】解：∵， 且每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴三行、三列、两对角线上的三个数之和都等于， ∴， ， ， ∴，，， ∴． 故选：D 23．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）有依次排列的个数：，，，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：，，，，，这称为第次操作；做第次同样的操作后也可产生一个新数串：，，，，，，，，，继续操作下去，从数串，，开始操作第次以后所产生的那个新数串的所有数之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了数字变化类，根据题意分别求得第一次操作增加数字，，第二次操作所增加数字，可以发现是定值，从而求得第次操作后所有数之和为，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵第一次操作增加数字：，， 第二次操作增加数字：，，，， ∴第一次操作增加， 第二次操作增加， 即每次操作加， ， ∴第次操作后所有数之和为， 故选：． 24．（24-25七年级上·山东青岛·期中）将正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，根据以上操作，若要得到2025个正方形，则需要操作的次数是（   ） A．506 B．507 C．508 D．509 【答案】A 【分析】由题意可知，第1次：分别连接各边中点如图2，得到个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到个正方形…，以此类推，根据以上操作，则第n次得到个正方形，由此规律代入求得答案即可．此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出正方形个数的变化规律是解题关键． 【详解】解：∵第1次：分别连接各边中点如图2，得到个正方形； 第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到个正方形，…， 以此类推，根据以上操作，若第n次得到2025个正方形，则， 解得：． 故选：A 25．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个图形，图形①面积是正方形纸片面积的，图形②面积是图形①面积的2倍的，图形③面积是图形②面积的2倍的，…，图形⑥面积是图形⑤面积的2倍的，图形⑦面积是图形⑥面积的2倍．计算面积的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律以及有理数的混合运算，利用数形结合是解本题的关键，． 根据题意表示出图形①、②、③、④、⑤、⑥的面积，根据图形⑦的面积是图形⑥面积的2倍表示出图形⑦的面积，可得等于正方形纸片的面积减去图形⑦的面积，即可求解． 【详解】解：根据题意得： 图形①面积是， 图形②面积是， 图形③面积是，， 图形④面积是， 图形⑤面积是， 图形⑥面积是， ∵图形⑦面积是图形⑥面积的2倍， ∴； ∵七部分的面积之和为1， ∴， 故答案为：． 26．（24-25七年级上·广西玉林·期中）少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到设计师们的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个中的基础图形组成的有规律的图案：第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由个基础图形组成，…，如图，按此规律排列下去，第个图案中的基础图形个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的规律探究，代数式求值．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意可推导一般性规律为，第n个图案由个基础图形组成，将代入，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，第1个图案由4个基础图形组成， 第2个图案由个基础图形组成， 第3个图案由个基础图形组成， ∴可推导一般性规律为，第n个图案由个基础图形组成， 将代入得，， 故答案为：． 27．（24-25七年级上·全国·期末）观察理解． 在化学世界中，图①表达的是甲烷（wán）的分子结构示意图，记为：； 图②表达的是乙烷的分子结构示意图，记为：； 图③表达的是丙烷的分子结构示意图，记为： ； 则图ⓝ表达的烷类分子结构示意图应记为： ． 【答案】； 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先分别求出图①、图②、图③中，分子结构示意图含有和的个数，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：由图①可知，分子结构示意图中含有的个数为1个，含有的个数为， 由图②可知，分子结构示意图中含有的个数为2个，含有的个数为， 由图③可知，分子结构示意图中含有的个数为3个，含有的个数为， 归纳类推得：图ⓝ表达的分子结构示意图中含有的个数为个，含有的个数为， 则图③表达的是丙烷的分子结构示意图，记为：， 图ⓝ表达的烷类分子结构示意图应记为：， 故答案为：；． 28．（24-25七年级上·四川成都·期中）观察图①，②，③，④得 ； ； ； ； …… (1)观察面图中小圆圈的排列方式，你发现了什么规律？你能表示出来吗？ (2)根据（1）中的规律，计算：； (3)根据（1）中的规律，计算：． 【答案】(1)从1开始，n个连续的奇数相加，它们的和为， (2)10000 (3)9775 【分析】本题考查了图形的变化类，解题的关键是仔细观察图形并找到规律． (1)根据图形的变化寻找规律：从1开始，n个连续的奇数相加，它们的和为，用代数式表示即可； (2)根据(1)中的规律即可求解； (3)根据(1)中的规律即可求解． 【详解】（1）解：观察图形的变化可知： ； ； ； ； 发现规律∶ 从1开始，1个奇数的和是1；前2个奇数的和等于2的平方，即；前3个奇数的和等于3的平方，即；前4个奇数的和等于4的平方，即，…… ∴从1开始，n个连续的奇数相加，它们的和为． ∴ (n是正整数)； （2）解： ； （3）解： ． 29．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）在数列a1，a2，a3，…an中，，且任意相邻的三个数的乘积都相等，若前n个数的乘积等于64，则n可能是（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化类，根据数字的变化每三个为一组，寻找规律式即可求解，解题的关键是寻找规律 【详解】解：∵a1，a2，a3，…an中任意相邻的三个数的乘积都相等， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，共6个相乘， ∴ 故选：C 30．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，甲、乙两动点分别同时从正方形的顶点沿正方形的边开始匀速运动，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的倍，那么它们第一次相遇在边上，请问它们第次相遇在哪条边上?（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形类规律变化问题，设出正方形的边长，根据甲的速度是乙的速度的倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答，根据题意找到规律是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵乙的速度是甲的速度的倍，时间相同， ∴甲乙所行的路程比为， 把正方形的每一条边平均分成份，由题意知： ①第一次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ②第一次相遇到第二次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ③第二次相遇到第三次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ④第三次相遇到第四次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ⑤第四次相遇到第五次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ∴四次一个循环， ∵， ∴它们第次相遇在边上， 故选：． 31．（23-24七年级上·福建漳州·阶段练习）汉诺塔问题是指有三根杆子和套在杆子上的若干大小不等的碟片，按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上； （1）每次只能移动1个碟片． （2）较大的碟片不能放在较小的碟片上面． 如图所示，将1号杆子上所有碟片移到2号杆子上，3号杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动到另一根杆子为移动一次，记将1号杆子上的个碟片移动到2号杆子上最少需要次，则（    ） A．31次 B．33次 C．62次 D．63次 【答案】D 【分析】本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题．根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱，然后把最大的盘子移动到3柱，再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可． 【详解】解：时，； 时，小盘柱，大盘柱，小盘从3柱柱，完成，即； 时，小盘柱，中盘柱，小盘从2柱柱，大盘柱，再用的方法转移， 即， 以此类推，， ． 故选：D． 32．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）成都准备建立急救服务系统，各急救站之间由电话线相互联络，每个急救站必须能够同其他所有急救站进行联络，或者直接联络，或者最多通过另一个急救站来联络，每个急救站最多能够通过三条电话线．如图上表示这种网络的一个例子，它联络着七个急救站，按这种方式建立的网络系统最多能够联络______个急救站． 【答案】10 【分析】本题考查简单的极端原理，解题的关键是分情况考虑，正确画出图形．我们首先求出急救站的最多个数，然后验证是否可以构成具有这么多急救站的网络．选取一个特定的急救站，把它看作基地．它可以同另外1个、2个或3个急救站联络；急救站A，B和C中的每一个都还有两条未使用的电话线，因而每一个都能再与两个急救站联络；外面的急救站中的每一个都还有两条未使用的电话线，可以使用这些电话线把外面的急救站与所有的急救站紧密联络． 【详解】解：在这个问题中给出的例子说明，至少有7个急救站可以用这种方式进行联络．我们首先求出急救站的最多个数，然后验证是否可以构成具有这么多急救站的网络．让我们选取一个特定的急救站，把它看作基地．它可以同另外1个、2个或3个急救站联络，如图所示： （为了考虑到可能存在三条电话线并未完全使用的基地，就说A，B和C不一定不同．） 急救站A，B和C中的每一个都还有两条未使用的电话线，因而每一个都能再与两个急救站联络，如图所示： （同样，图中所示急救站不一定不同．）现在，我们来验证是否可以建立包含10个急救站的网络．在上面的图中，只有基地能与其他急救站紧密联络．例如，A距离B和C以外联络的急救站“太远了”． 但是这些外面的急救站中的每一个都还有两条未使用的电话线，可以使用这些电话线把外面的急救站与所有的急救站紧密联络． 这要求试着进行，最后我们确实会得到含有10个急救站的网络系统，如图所示： 故答案为：10． 33．（24-25七年级上·四川广安·期中）观察图形，探索规律． 图1是三条长度都为a的线段构成的小三角形；图2是4个边长都为a的小角形拼成的大三角形：图3是9个边长都为a的小三角形拼成的大三角形；图4是16个边长都为a的小三角形拼成的大三角形。按此规律排列，图n中共有长度为a的线段 条．    【答案】 【分析】本题主要考查了图形变化类，熟练掌握图形变化的规律，是解题的关键， 观察图形变化规律，每个图形三角形的数目都可以写成一边上三角形个数的平方，而图中小三角形边的数目可以写成行数和的3倍，据此计算边数． 【详解】第①个图形有个三角形，共有长度为a的线段3条， 第②个图形有个三角形，共有长度为a的线段（条）， 第③个图形有个三角形，共有长度为a的线段（条），第③个图形有个三角形，共有长度为a的线段（条）， 第⑤个图形有个三角形，拼成大正方形边长为，共有长度为a的线段（条）， ……， 按此规律， 则第n个图形中三角形的个数：个三角形，图中共有长度为a的线段（条）． 故答案为：． 34．（24-25七年级上·全国·期末）某长方形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列． [观察思考] 当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推． [规律总结] （1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加 块； （2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为 （用含n的代数式表示）． [问题解决] （3）现有2025块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？ 【答案】（1）2；（2）；（3）1010块 【分析】本题为图形规律题，解题的关键是发现规律，并能列代数式表示其中的规律，一元一次方程、代数式的应用． （1）由图观察即可； （2）由每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖，再结合题干中的条件正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，递推即可； （3）利用上一小题得到的公式建立方程，即可得到等腰直角三角形地砖剩余最少时需要正方形地砖的数量． 【详解】解：（1）观察图1可知：中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形，所以每增加一块正方形地砖，等腰直角三角形地砖就增加2块； 故答案为：2； （2）观察图形2可知：中间一个正方形的左上、左边、左下共有3个等腰直角三角形，它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形，右边还有1个等腰直角三角形，即；图3和图1中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形，均有图2一样的规律，图3：；归纳得：（即）； ∴若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为 块； 故答案为：； （3）由规律知：等腰直角三角形地砖块数是偶数， ∴用块， 再由题意得：， 解得：， ∴等腰直角三角形地砖剩余最少为1块，则需要正方形地砖1010块． 35．（24-25七年级上·山东青岛·期中）在运用归纳策略寻找规律时，要先在若干简单情形中寻找、发现、验证相应的规律，再考虑一般情况，最后给出合理解释，并用数学语言简洁地表达规律．操作方法： 如图1，用一个平面将正方体截去1个顶点（截面不经过其它顶点），得到一个新几何体，称为第1次操作；如图2，用平面逐个截去上一次操作的新增顶点（每个截面都不经过其它顶点），又得到一个新几何体，称为第2次操作．按照此种方法可以继续操作下去． 问题：在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第100次操作新产生多少个截面？ 理解问题： 在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第2次操作新产生______个截面． 拟定计划： 直接研究“在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第100次操作新产生多少个截面？”有困难，我们可以先研究简单的情形，从而发现规律，解决问题． 实施计划： 请从“探究简单情形、发现猜想规律、验证或解释规律”等方面，写出你的思考过程并解决问题． 思考过程： 解决问题：在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第100次操作新产生______个截面． 回顾反思： （1）在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第n次操作新产生______个截面； （2）在正方体的每个顶点处都同时按上述方法进行操作，第100次操作新产生______个截面，其中截面形状是六边形的有______个． 【答案】理解问题：3，；（1）；（2）， 【分析】本题考查图形类规律探索，理解题意，通过前几次操作，观察新产生的截面数量和截面形状是六边形的数量规律，进而即可解答，总结出这些规律是解题关键． 【详解】理解问题：由题意可知：第1次操作新产生个截面； 第2次操作新产生个截面， 第3次操作新产生个截面， 第4次操作新产生个截面， …… 所以第n次操作新产生个截面， 所以第100次操作新产生个截面； （1）由理解问题可知第n次操作新产生个截面； （2）在正方体的每个顶点处都同时按上述方法进行操作，则第n次操作新产生个截面， 所以第100次操作新产生个截面； 第1次操作截面形状是六边形的有0个； 第2次操作截面形状是六边形的有个； 第3次操作截面形状是六边形的有个； 第4次操作截面形状是六边形的有个； …… 所以第n次操作截面形状是六边形的有个， 所以第100次操作截面形状是六边形的有个． 36．（24-25七年级上·广东深圳·期中）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 (1)图1中阴影部分的面积是 ，= ． (2)请你利用图2，再设计能求的值的几何图形．（只画出图形即可） (3)根据以上规律， ① ．（为正整数） ② ．（为正整数） 【答案】(1)， (2)如图所示（标序号部分）即为所求： (3)①；② 【分析】（1）阴影部分的面积等于部分⑥的面积； （2）依照题目的示范作图即可； （3）①利用数形结合的思想，用整个正方形的面积减去阴影部分的面积即可确定答案；②利用整体思想，令将等式两边同时乘以得：，两式子相减，即可得出答案． 【详解】（1）由题知， 正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， 所以图中阴影部分的面积与部分⑥的面积相等． 又因为部分①的面积为：， 部分②的面积为：， 部分③的面积为：， …， 依次类图，部分n的面积为． 当时， ． 所以阴影部分的面积为． ∵， ∴． 故答案为：；． （2）如图所示（标序号部分）即为：求的值的几何图形 （3）①根据（2）中的发现可知， ． 故答案为：． ②令 将等式两边同时乘以得：， 将②式减去①式得，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查图形变化的规律，数形结合思想以及整体思想的巧妙运用是解题的关键． ( 27 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$