第二十八章 锐角三角函数（4大压轴考法40题专练）-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学下册压轴题攻略（人教版）

第二十八章 锐角三角函数（4大压轴考法40题专练） 目录 题型一：特殊角的三角函数综合题 1 题型二：由锐角三角函数值求锐角综合题 15 题型三：同角三角函数关系综合题 34 题型四：解直角三角形及其应用 53 题型一：特殊角的三角函数综合题 1．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）和均为等腰直角三角形，按如图所示的方式放置，的顶点与斜边的中点重合，边与边相交于点，若，，，则的面积为 ． 2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在矩形中，，，点是的中点，点是对角线上一点，与关于直线对称，交于点，当中有一个内角为时，则的长为 ． 3．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）如图，中，，，，P是上方一动点，射线，连接交的外接圆于点D，则的最小值为 ． 4．（23-24九年级上·江苏·期末）若α，β为锐角且时，现有公式：，利用此公式求解下列问题： (1)求的值； (2)若A，B为锐角且时，求的值； (3)求的值． 5．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】（1）如图 1，在正方形中，点 E、 F分别是 、上的两点，连接、 ，，则的值为 ； 【类比探究】（2）如图 2 ，在矩形 中， ，点 E是 上的一点，连接、 ，且，求的值； 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，，点E为 上一点，连接，过点 C作的垂线交的延长线于点 G，交 的延长线于点 F，求的值； 6．（23-24九年级上·天津滨海新·期末）抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，已知，抛物线顶点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是线段上的一个动点，过点D作轴于点E,延长交抛物线于点F,求线段的最大值及此时点D的坐标； (3)在y轴上是否存在一点P,使得．若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 7．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）综合与实践 周末小亮遇到了这样一道题： 【作业】如图1，中，，G为其重心，D为的中点，以G为圆心，长为半径画，过A点作的两条切线，切点分别为E、F，求的值． 【小亮的解答】连接． G为重心，D为的中点， A、G、D在一直线上， ， ， 、与相切， ， 在中，， ，同理，， ， ． 小明阅读了以上内容进行了一些反思，请你根据反思内容完成对应的任务 【反思1】小亮的解答过程中得到“”的依据是重心的一个性质：三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍．课本中并没有给出这样的结论，所以不能直接应用得到“”．要想证明，只要作出如图2的辅助线（连接并延长交于H，连接）即可． 【任务1】请你在图2的基础上，帮小亮完善得到“”的过程． 【反思2】若将【作业】中“如图”去掉，其它条件保持不变，的值是否会发生改变？ 【任务2】请你求出满足什么条件时，的值保持为？ 【反思3】若将【作业】中“G为其重心，D为的中点”改为“D为边上一动点，G为线段上一点，”其它条件保持不变，的值是否会发生改变？ 【任务3】若，，请你直接写出的长度在什么范围内时，的值保持为？ 题型二：由锐角三角函数值求锐角综合题 8．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期末）现在很多家庭都使用折叠型餐桌来节省空间，两边翻开后成为圆形桌面如图①，餐桌两边和平行且相等，如图②，小华用皮尺量得，，那么桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加(    ) A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·吉林松原·期末）如图，已知，B为双曲线上的一点，，C为y轴的正半轴上一动点，当（    ）时，最大． A． B． C． D．1 10．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，扇形中，，，点为的中点，将扇形绕点顺时针旋转，得到扇形，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 11．（22-23九年级上·河北保定·期末）如图，直线与反比例函数的图象交于点，直线与直线交于点M，与反比例函数图象交于点N． （1） ． （2）当 时，，此时 ． 12．（22-23九年级上·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，是第一象限内任意一点，连接、，若，，则我们把叫做点的“双角坐标”．例如，点的“双角坐标”为． （1）点的“双角坐标”为 ； （2）若“双角坐标”为，则点坐标为 ； （3）若点到轴的距离为1，则的最小值为 ． 13．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）将一副三角板如图拼接：含角的三角板（）的长直角边与含（角的三角板）的斜边恰好重合．已知，P是上的一个动点，连接． (1)当点P运动到的平分线上时，求的长； (2)当点P在运动过程中出现时，求此时的度数． 14．（22-23九年级上·陕西西安·期末）问题提出： (1)如图1，点E，F分别在正方形的边，上，，连接，则线段，和之间的数量关系是 ．（提示：将绕点A旋转至） (2)问题探究：如图2，在四边形中，，，点E，F分别在边，上，．已知，都不是直角，则当与满足 时，成立， (3)问题解决：为进一步落实国家“双减”政策，丰富学生的校园生活，某校计划为同学们开设实践探究课．学校内有一个空置讲堂，如图3，其俯视图是边长为的正方形，高为，现需用隔音板材填充，，，（板材填充至顶部，隔板上门的面积忽略），分隔中四个空间进行实践教学，点E，F分别在边，上，，，求共需消耗的板材面积． 15．（22-23九年级上·北京东城·期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点A，记线段OA的中点为M．若点A，M，P，Q按逆时针方向排列构成菱形AMPQ，其中，，则称菱形AMPQ是点A的“-旋半菱形”，称菱形AMPQ边上所有点都是点A的“-旋半点”．已知点． (1)在图1中，画出点A的“30°-旋半菱形”AMPQ，并直接写出点P的坐标； (2)若点是点A的“-旋半点”，求的值； (3)若存在使得直线上有点A的“-旋半点”，直接写出b的取值范围． 题型三：同角三角函数关系综合题 16．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，在矩形中，，，将沿射线平移a个单位长度得到，连接，，则当是直角三角形时，a的值为 ． 17．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以为邻边作矩形，连接，则 ． 18．（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，，点P从点A出发，以每秒5个单位的速度沿向终点C匀速运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作交于点Q，以为边向上作正方形，设正方形与重叠部分面积为S（平方单位），点P的运动时间为t（秒）． (1)用含t的代数式表示线段的长度为______； (2)当点N落在线段上时，求t的值； (3)求S与t之间的函数关系式； (4)当点N恰好落在的角平分线上时，直接写出t的值． 19．（22-23九年级上·山东济南·期末）（1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点F．填空： ①线段，之间的数量关系为________；②的度数为______． （2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，直线和直线交于点F，请判断的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3所示，和均为直角三角形，，，当点B在线段的延长线上时，求线段和的长度． 20．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）【问题提出】 （1）如图①，在中，，点D为上一点，且，过点D作于点E，若，则的长为 ； 【问题探究】 （2）如图②，在中，，点D是边上一点，连接，过点D作交于点E，过点B作于点F，交于点G，试判断与是否相似，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，是一块菜园平面示意图，，，是边上的中线，于点F，交于点G，交于点E，经测量，米，现欲沿修一条灌溉水渠，请你求出灌溉水渠的长度．    21．（22-23九年级上·山东青岛·期末）已知，如图，在中，，，于，直线从点出发沿方向匀速运动，速度为；运动过程中始终保持，直线交于，交于点；过点作，交于，交于点，连接，设运动时间是（s）（），解答下列问题： (1)当为何值时，？ (2)设四边形的面积为，试求出与的函数关系式；是否存在某一时刻，使的值最大？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 22．（22-23九年级上·江苏南京·期末）定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点）的圆，称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”． (1)如图①，在中，，，，则边上的伴随圆的半径为___________． (2)如图②，中，，，直接写出它的所有伴随圆的半径． (3)如图③，中，点在边上，，为的中点，且． ①求证：的外接圆是的边上的伴随圆； ②的值为___________． 题型四：解直角三角形及其应用 23．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，在正方形中，分别是边上的点，且分别在边上，且与交于点O，记，若，则（    ） A． B． C． D． 24．（24-25九年级下·全国·期末）图（1）是一个倾斜角为的斜坡的横截面，，斜坡顶端B与地面的距离为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），y与x之间近似满足函数关系（a，b是常数，），图（2）记录了x与y的相关数据，则y与x的函数关系式为 ． 25．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，若点恰好落在边上． (1)连接，求证：． (2)若，求点A到直线的距离． 26．（23-24九年级上·浙江·期末）图1是一把可折叠的哑铃椅，其侧面可抽象成图2，为支撑杆，M为靠背的中点，点N可在斜支柱上滑动，通过调节螺母可将点N固定在斜支柱上的六个孔位处，靠背随之绕点C转动，当点N位于第一个孔位处时，；当点N位于最后一个孔位处时，．已知，，，坐凳与水平地面l平行． (1)在点N从第一个孔位滑动到最后一个孔位的过程中，求点M所运动的路径长（结果保留π） (2)在转动的过程中，求点H到水平地面l的最大距离． （结果精确到．参考数据：．） 27．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）中山公园原址为一个叫刘家屯的小山头，1898年沙俄强占旅大期间，将这里改为绿地．日占时期改为圣德公园，多次作为我地下党的接头地点，传递了许多抗日情报．大连解放后的1945年11月，市政府为纪念孙中山先生，改名中山公园，历经多年修建了5个小亭，其中敬闲亭位于山头最高处．某中学超越小组的同学们，带着测量工具来到此地，为测量敬闲亭设计了如下方案，请根据以下材料，完成项目任务． 项目 测量敬闲亭的高度及底面圆的半径 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 说明：点H为亭底面圆圆心，在A、C处分别测得亭顶端的仰角为、，，测角仪高度，测角仪所在位置与亭底部边缘距离．点B、D、M、H在同一条直线上． 参考数据 ，，，，，最后结果保留． 任务1 求敬闲亭的高度的长． 任务2 求敬闲亭底面圆的半径的长． 28．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）在中，、、所对的边分别为a、b、c，求证：． 证明：如图1，过点C作于点D，则：在中，，在中，， ， ． 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在锐角中，、、所对的边分别为a、b、c，若，，，求的度数； (2)如图3，一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号，参考数据：，） 29．（24-25九年级上·山东·期末）（1）一个几何体的三个视图如图所示（单位：）．若其俯视图为正方形，根据图中数据计算这个几何体的表面积． （2）如图所示，某市有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，为了便于行走，市城建局启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，试求的长度约为多少米？（保留一位小数，参考数据：） 30．（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，是的切线，为上的一点，，延长交的延长线于点， (1)求证：为的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留）； (3)若，求的值． 31．（23-24九年级下·河北石家庄·期末）如图1，四边形中，，，，为四边形的对角线，．    (1)求点到的距离； (2)如图2，点在边上，且．以为圆心，长为半径作，点为上一点，连接交于．． ①当与相切时，求的长； ②当时，直接写出的长． 32．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别为和上的点，连接，交于点O，若．求证：； 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，，点E为边上一点，点F为对角线上一点，连接，交于点O，若，，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，在矩形中，，点E为边上一点，点F为边上一点，若平分，且，求的长． 33．（24-25九年级上·全国·期末）（1）【操作发现】如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的度数为 ； （2）【类比探究】如图2，在等边三角形内任取一点，连接，，，求证：以，，的长为三边必能组成三角形； （3）【解决问题】如图3，在边长为的等边三角形内有一点，，，求的面积； （4）【拓展应用】如图4是，，三个村子位置的平面图，经测量，，，为内的一个动点，连接，，，求的最小值． 34．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D． (1)当时，直接写出点A、B、C、D的坐标： A ，B ，C ，D ； (2)如图1，直线交x轴于点E，若，求抛物线的表达式； (3)如图2，在（2）的条件下，若点N为的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，交于点F；过点F作，垂足为H．设点P的横坐标为t，记． ①用含t的代数式表示f； ②请直接写出f的最大值为： ． 35．（23-24九年级下·重庆大足·期末）等边中，点在线段上，连接． (1)如图，过点作于点，若，，求的长； (2)如图，点在线段的延长线上，点在线段上，连接，若，，求证：； (3)如图，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点是直线上一动点，将沿直线翻折得到，在点运动过程中，最小时，请直接写出的面积． 36．（23-24九年级下·北京·期末）对于平面直角坐标系中的，点，点，给出如下定义：线段为⊙的弦，点是弦上任意一点．若，则称点是点关于的倍关联点． 已知，的半径为2，点的坐标为． (1)在点，，中，是点关于的2倍关联点的是 ； (2)在直线上，若是点关于⊙的2倍关联点，直接写出的取值范围； (3) 与轴正半轴交于点，对于线段上任意一点，在  上都存在点，使得点是点关于的倍关联点，直接写出的最大值和最小值． 37．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，对于线段与直线，给出如下定义：若线段关于直线的对称线段为(，分别为点，的对应点)，则称线段为线段的“关联线段”． 已知点，． (1)线段为线段的“关联线段”，点的坐标为，则的长为______，的值为______； (2)线段为线段的“关联线段”，直线经过点，若点，都在直线上，连接，求的度数； (3)点，，线段为线段的“关联线段”，且当取某个值时，一定存在使得线段与线段有公共点，直接写出的取值范围． 38．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，，是边的中点．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，过点作于点，当点不与点重合时，以为邻边作，设点的运动时间为秒．    (1)用含有的代数式表示线段的长． (2)当点到点的距离相等时，求的长． (3)当的某条对角线与边垂直时，求的值． (4)作点关于直线的对称点，连结，当时，直接写出的值． 39．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，连接，，点D在抛物线上一点． (1)求证；是等腰直角三角形． (2)连接，如图1，若平分，求点D的坐标． (3)如图2，若点D在线段的下方抛物线上一点，画于点E． ①求的最大值． ②在线段上取点F，连，，若，且点C关于直线的对称点恰好落在抛物线上，求点D的坐标（直接写出答案）． 40．（24-25九年级上·重庆·期末）在中，，，点在射线上，连接，过点作，交于点，交于点． (1)如图，，，求长度； (2)如图，点在射线上，满足，连接，探究线段之间的数量关系并证明； (3)如图，在（）的条件下，点为平面内一动点，满足，当最小时，在射线、射线上分别有点、点，使得，当最小值时，请直接写出的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十八章 锐角三角函数（4大压轴考法40题专练） 目录 题型一：特殊角的三角函数综合题 1 题型二：由锐角三角函数值求锐角综合题 15 题型三：同角三角函数关系综合题 34 题型四：解直角三角形及其应用 53 题型一：特殊角的三角函数综合题 1．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）和均为等腰直角三角形，按如图所示的方式放置，的顶点与斜边的中点重合，边与边相交于点，若，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形面积，角，边等性质，相似三角形判定及性质．根据题意先判定，利用相似三角形性质得，继而得到，，的面积，继而得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴设， ∵是等腰直角三角形， ∴，是直角三角形， ∴， 则：， ∵， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵的顶点与斜边的中点重合， ∴， ∵是的外角， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：， 当时，（舍）， 当时，，且， 故符合题意， 则：，， ∴， ∴， ∴的高， ∴， ∴的高， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在矩形中，，，点是的中点，点是对角线上一点，与关于直线对称，交于点，当中有一个内角为时，则的长为 ． 【答案】或 【分析】利用勾股定理得出，利用三角函数得出，求得，分两种情况讨论：①当时；②当时，则，利用轴对称的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 当中有一个内角为时，分两种情况： 当时，如图1所示： 则，四边形是矩形， ∴； 当时，如图所示： 则， ∴，， ∴， 由轴对称的性质得：， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、勾股定理、矩形的判定与性质、含角的直角三角形的性质及特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握矩形的性质和轴对称的性质是解题的关键． 3．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）如图，中，，，，P是上方一动点，射线，连接交的外接圆于点D，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】连接，取中点M，连接，，中，根据，，可得，即可得是直角三角形，且，再根据，可得，进而得，即有点D在以为直径的圆上，即点M为该圆圆心，结合图形有，当且仅当A、M、D三点共线时取等号，即当A、M、D三点共线时，有最小值，最小值为：，问题随之得解． 【详解】解：连接，取中点M，连接，，如图， ∵中，，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D在以为直径的圆上，即点M为该圆圆心， ∵如图，，当且仅当A、M、D三点共线时取等号， ∴当A、M、D三点共线时，有最小值，最小值为：， ∵中，，， ∴， ∵， ∴， 即有最小值，最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形、圆周角定理、勾股定理等知识，构造合理的辅助线，证明是直角三角形，点D在以为直径的圆上，是解答本题的关键． 4．（23-24九年级上·江苏·期末）若α，β为锐角且时，现有公式：，利用此公式求解下列问题： (1)求的值； (2)若A，B为锐角且时，求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查解直角三角形，特殊角的三角函数值，解题的关键是利用公式解决问题． （1）利用公式根据特殊角的三角函数值求解即可； （2）利用公式求解即可； （3）利用（2）中结论求解即可． 【详解】（1）（1） ； （2）当时，， 即 ； （3）由（2）可知，， ∴原式． 5．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】（1）如图 1，在正方形中，点 E、 F分别是 、上的两点，连接、 ，，则的值为 ； 【类比探究】（2）如图 2 ，在矩形 中， ，点 E是 上的一点，连接、 ，且，求的值； 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，，点E为 上一点，连接，过点 C作的垂线交的延长线于点 G，交 的延长线于点 F，求的值； 【答案】（1）1；（2）；（3）． 【分析】（1）首先根据正方形的性质得到，，然后证明出，根据可得，由此可得得到，即可得到； （2）根据矩形的性质可得，再根据同角的余角相等可得.进而可得，由此可以求出的值． （3）过点F作，则可得四边形是矩形，根据“同角的余角相等”和“对顶角相等”可得，由此可证，进幼儿可求出． 【详解】（1）设与的交点为G， ∵四边形是正方形，， ， ， ， ，， ． 在和中 ， ， ， ． 故答案为：1 （2）∵四边形是矩形， ， ， 则， ， ∴． （3）如图，过点F作， 则，， ， ∴四边形是矩形, ， 又， ， 则, ， ， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定与性质等知识．采用类比的数学思想方法是解题的关键． 6．（23-24九年级上·天津滨海新·期末）抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，已知，抛物线顶点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是线段上的一个动点，过点D作轴于点E,延长交抛物线于点F,求线段的最大值及此时点D的坐标； (3)在y轴上是否存在一点P,使得．若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)2； (3)存在，或 【分析】（1）设，结合，对称轴为顶点的横坐标为，确定，得到．构造方程组求解即可． （2）根据得到，结合，设直线的解析式为，设，则，则，计算即可． （3）如图，设，过点P作于点G，结合，设，则，，利用特殊角的三角函数计算即可． 【详解】（1）设，∵，抛物线顶点的横坐标为， ∴， 解得， ∴． ∴， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）根据得到， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 设，则， ∴， ∵抛物线开口向下，故当时，有最大值，且最大值为2， 此时． （3）存在，且或．理由如下： 如图，设，过点P作于点G， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得， 故点； 当点P关于原点的对称点，根据对称性质，此时的点P也符合条件的， 故 故点或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，线段型构造二次函数求最值，角的和问题，特殊角的三角函数值，正切函数，原点对称，熟练掌握待定系数法，三角函数是解题的关键． 7．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）综合与实践 周末小亮遇到了这样一道题： 【作业】如图1，中，，G为其重心，D为的中点，以G为圆心，长为半径画，过A点作的两条切线，切点分别为E、F，求的值． 【小亮的解答】连接． G为重心，D为的中点， A、G、D在一直线上， ， ， 、与相切， ， 在中，， ，同理，， ， ． 小明阅读了以上内容进行了一些反思，请你根据反思内容完成对应的任务 【反思1】小亮的解答过程中得到“”的依据是重心的一个性质：三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍．课本中并没有给出这样的结论，所以不能直接应用得到“”．要想证明，只要作出如图2的辅助线（连接并延长交于H，连接）即可． 【任务1】请你在图2的基础上，帮小亮完善得到“”的过程． 【反思2】若将【作业】中“如图”去掉，其它条件保持不变，的值是否会发生改变？ 【任务2】请你求出满足什么条件时，的值保持为？ 【反思3】若将【作业】中“G为其重心，D为的中点”改为“D为边上一动点，G为线段上一点，”其它条件保持不变，的值是否会发生改变？ 【任务3】若，，请你直接写出的长度在什么范围内时，的值保持为？ 【答案】任务一：见解析；任务二：若B、E在异侧，无论为何值，都不等于30度；若B、E在同侧，；任务三： 【分析】（1）根据点G是的重心，可得出，，进而得出，根据相似三角形的性质即可解答； （2）分B、E在异侧和在同侧两种情况进行讨论即可； （3）分当E点在外时，当F点在外时，点E在边上，点F在边上，情况进行讨论即可． 【详解】（1）证明：点G是的重心， 、为中和边上的中线， 即D是的中点，H是中点， ，， ，， ， ，即 ； （2）若B、E在异侧，不论为何值，始终等于，不等于 若B、E在同侧，，D为的中点， ， ，， ，， ，， 如图，当E点在外时， ， ， ， ，则， 如图，当F点在外时， ， ， ， ，则， 点E、F在内，包括点E在边上，或点F在边上， 如图，点E在边上，则， 过点D作于点M ，令， ， ， ， ， ， ， ， ， ，解得：， ，， ， 点F在边上，点D在点处，则， 过点作与点N，令， ， ， ， ， ， ， ， ，解得， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理及特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． 题型二：由锐角三角函数值求锐角综合题 8．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期末）现在很多家庭都使用折叠型餐桌来节省空间，两边翻开后成为圆形桌面如图①，餐桌两边和平行且相等，如图②，小华用皮尺量得，，那么桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆形补全，设圆心为，连接，过点作于点，进而得出，的长以及，的度数，进而勾股定理求得，根据，即可求解． 【详解】解：将圆形补全，设圆心为，连接，过点作于点， 由题意可得出：， 是的直径， ，， ∴ ， 餐桌两边和平行且相等， ， ， ， ， ， ， ， ， 桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加平方米． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了垂径定理，平行线的性质，勾股定理，解直角三角形，扇形面积计算以及三角形面积求法等知识，熟练掌握弓形的面积求法是解题关键． 9．（23-24九年级上·吉林松原·期末）如图，已知，B为双曲线上的一点，，C为y轴的正半轴上一动点，当（    ）时，最大． A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】作圆过A，B且与y轴相切点为Q，当C与Q重合时，最大，设圆心，用n的代数式表示出，，即可求解． 【详解】解：设的中点为M，作轴于点H，作轴于点G， ∵， ∴ ∴， 设，则， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为：， 把代入得， ∴， ∴直线的解析式为：， 设过A，B且与y轴相切的圆的圆心为，切点为Q， ∵是的中垂线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， 当C与Q重合时，最大， ∵，， ∴ ， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的特征，以及圆周角定理推论的应用，特殊角的三角函数值，求一次函数解析式，勾股定理，两点间距离公式，解题的关键是作出辅助线，找出使最大的位置． 10．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，扇形中，，，点为的中点，将扇形绕点顺时针旋转，得到扇形，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，过点作交的延长线于点，设交于点，交于点，根据题意得出，进而根据即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作交的延长线于点，设交于点，交于点， ∵ 则四边形是正方形， ， ∴， ， ， ， 在中，， ， ， ， ∴， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了求扇形面积，旋转的性质，正方形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键． 11．（22-23九年级上·河北保定·期末）如图，直线与反比例函数的图象交于点，直线与直线交于点M，与反比例函数图象交于点N． （1） ． （2）当 时，，此时 ． 【答案】 8 2 4 【分析】将代入即可k，过A点作轴于点E，交于点F，，，即有，，，由，可得，进而可得，，解方程即可求出，问题随之得解． 【详解】根据题意，将代入中， 即有：， ∴，即反比例函数解析式为， 过A点作轴于点E，交于点F， 根据题意，直线轴，M、N的纵坐标均为n， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵轴，， ∴，，， ∴， ∵直线轴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 解得：，或者（舍去）， 经检验，是原方程的根， ∴，， ∴， 故答案为：8，2，． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图形与性质，解直角三角形，解分式方程等知识，根据，得到，进而得到，是解答本题的关键． 12．（22-23九年级上·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，是第一象限内任意一点，连接、，若，，则我们把叫做点的“双角坐标”．例如，点的“双角坐标”为． （1）点的“双角坐标”为 ； （2）若“双角坐标”为，则点坐标为 ； （3）若点到轴的距离为1，则的最小值为 ． 【答案】 90 【分析】（1）分别求出的值，得出、算出，得出，说明为等边三角形，从而得出答案； （2）根据、的度数和、的值可求坐标； （3）根据三角形内角和定理知若要使取得最小值，即取得最小值，则需取得最大值，中点为圆心，1为半径画圆，与直线相切于点P，由知此时最大，，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴ 即点P的“双角坐标”为． 故答案为：． （2）如图，点P的“双角坐标”为，作于点B， ∵“双角坐标”为， ∴，， 设，则，， 解得：， ，， ∴点P的点坐标为． 故答案为：． （3）根据三角形内角和定理知若要使取得最小值，即取得最小值，则需取得最大值，如图， ∵点P到x轴的距离为1，， ∴以OA中点为圆心，1为半径画圆，与直线相切于点P，在直线上任取一点P′，连接、，交圆于点Q， ∵∠OPA＝∠1， ， ∴， ∴此时最大，， ∴的最小值为: ． 故答案为：90． 【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质、锐角的三角函数、三角形的内角和定理、外角的性质及圆周角定理，根据内角和定理推出取得最小值即为取得最大值，且找到满足条件的点P位置是关键． 13．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）将一副三角板如图拼接：含角的三角板（）的长直角边与含（角的三角板）的斜边恰好重合．已知，P是上的一个动点，连接． (1)当点P运动到的平分线上时，求的长； (2)当点P在运动过程中出现时，求此时的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）作，在直角中，由直角三角形的特征得，再由正切三角函数得，可求，由，则的长可以求得，然后在直角中利用勾股定理得，即可求解； （2）分两种情况进行讨论：①当P点在的左边时，由余弦函数，可求，由，即可求解；②当P点在的右边时，同理①即可求解． 【详解】（1）解：如图（1），作交于， 在中，，， ， ， 中，， ， 平分， ， ， ， ； （2）解：①当P点在的左边时，如图（2）所示， 根据（1）中结论，，， 又 ， ； ②当P点在的右边时，如图（3）所示， 同①可得， ； 综上所述：的度数为或． 【点睛】本题考查了直角三角形的特征，等腰三角形的性质，勾股定理，特殊角的三角函数，掌握相关的性质，能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 14．（22-23九年级上·陕西西安·期末）问题提出： (1)如图1，点E，F分别在正方形的边，上，，连接，则线段，和之间的数量关系是 ．（提示：将绕点A旋转至） (2)问题探究：如图2，在四边形中，，，点E，F分别在边，上，．已知，都不是直角，则当与满足 时，成立， (3)问题解决：为进一步落实国家“双减”政策，丰富学生的校园生活，某校计划为同学们开设实践探究课．学校内有一个空置讲堂，如图3，其俯视图是边长为的正方形，高为，现需用隔音板材填充，，，（板材填充至顶部，隔板上门的面积忽略），分隔中四个空间进行实践教学，点E，F分别在边，上，，，求共需消耗的板材面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)将绕点A旋转至，根据旋转的性质可知：，，由，可得，即可证得，据此即可得线段，和之间的数量； (2)把绕A点旋转到，使和重合，连接，方法同(1)即可证得，，故当点F、D、G三点共线时，，据此即可解答； (3)将绕点A顺时针旋转得到，则，，，再根据正方形的性质可得点T，B，C共线，可证得∴，可得，设，则，，，利用勾股定理可求得，，，，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ，， 如图1，将绕点A旋转至， ，，，， ， 点F，D，G共线， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：把绕A点旋转到，使和重合，连接， ，，，， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 点F，D，G共线， ， ，即， 故当时，， 故答案为：； （3）解：如图，将绕点A顺时针旋转得到， 则，，． ∵四边形ABCD是正方形， ，， ，点T，B，C共线． ， ． 在与中， ， ． 设，则，，， 在中，， 得， 解得或， 或， 或， ， ，，， 由勾股定理，得， ， ∴所需板材面积， 答：共需消耗板材面积为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，根据旋转的性质，构造全等三角形是解决本题的关键． 15．（22-23九年级上·北京东城·期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点A，记线段OA的中点为M．若点A，M，P，Q按逆时针方向排列构成菱形AMPQ，其中，，则称菱形AMPQ是点A的“-旋半菱形”，称菱形AMPQ边上所有点都是点A的“-旋半点”．已知点． (1)在图1中，画出点A的“30°-旋半菱形”AMPQ，并直接写出点P的坐标； (2)若点是点A的“-旋半点”，求的值； (3)若存在使得直线上有点A的“-旋半点”，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)图见解析；P (2)45°或30° (3) 【分析】对于（1），根据“-旋半菱形”的定义做出图形，并求出相应的长度，写出坐标即可； 对于（2），分点B在，，上时，分别求出符合条件的结果； 对于（3），先确定b的最大值，即直线时，b最大，再结合直线的特点求出直线与y轴的夹角，进而求出点R的坐标，即可得出答案． 【详解】（1）如图所示．点． 根据题意可知，， ∴． 根据勾股定理得，且， 所以点； （2）∵点是点A的“旋半点”， ∴点B在菱形边上， 分情况讨论： ①当B在上， 如图：作轴交于点C， 根据题意可知四边形时菱形， ∴． 在中，， ∴； ②当B在上， 如图：作轴交于点C，交与点D， 设，则， ∵，， ∴， ∴． 根据勾股定理，得． ∵， ∴， ∴，解得：，（舍去）； ∴，即； ③当B在上， 此时：， ∴这样的点B不存在， 综上所述：或； （3）． 设直线与x轴交于T，与y轴交于R，当Q在直线上，且直线时，b最大，如图： 在中，令得，令，得， 即，， ∴ ∴ ∴． 设，则，根据勾股定理，得 ， 解得， 则， 所以点． 将点代入，得． 由点A的“α-旋半菱形”的定义知，四边形在x轴上方， ∴直线上有点A的“α-旋半点”，， b的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了菱形性质，点的坐标，勾股定理，相似三角形的判定及性质，特殊角的三角形函数值，一次函数，解题的关键是掌握以上相关知识点，并能够综合运用，难度较大． 题型三：同角三角函数关系综合题 16．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，在矩形中，，，将沿射线平移a个单位长度得到，连接，，则当是直角三角形时，a的值为 ． 【答案】或． 【分析】分两种情况：①如图1，，②如图2，，分别作辅助线，构建相似三角形，证明三角形相似列比例式可得对应a的值． 【详解】解：①如图1，，延长交于G，过点作，交的延长线于H， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，即， 设，， ∴， 由平移得：， ∴，， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴，即，   ∴， ∴； ②如图2，，延长交于M，则， ∴， 由平移得：，， 同理设，，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 综上，a的值是或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平移的性质、勾股定理、三角函数、三角形相似的性质和判定、直角三角形的性质等知识点；解题关键是画出两种情况的图形，依题意进行分类讨论． 17．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以为邻边作矩形，连接，则 ． 【答案】 【分析】连接，交于点O，设交于点P，交于点H．先证明 ，再证明，进而证明，从而证明，从而得到，求出，即可求出，即可求出． 【详解】解：如图，连接，交于点O，设交于点P，交于点H． ∵四边形为正方形， ∴互相垂直平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴矩形为正方形， ∴． ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵正方形的边长为3， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角函数的应用，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，勾股定理等知识，综合性较强，熟知相关知识，正确添加辅助线进行角的转化是解题关键． 18．（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，，点P从点A出发，以每秒5个单位的速度沿向终点C匀速运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作交于点Q，以为边向上作正方形，设正方形与重叠部分面积为S（平方单位），点P的运动时间为t（秒）． (1)用含t的代数式表示线段的长度为______； (2)当点N落在线段上时，求t的值； (3)求S与t之间的函数关系式； (4)当点N恰好落在的角平分线上时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)点N恰好落在的角平分线上时，t的值为或 【分析】（1）先根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，利用，求出即可； （2）根据正方形的性质得出，，根据平行线的性质得出，即可求出t的值； （3）分， 两种情况求出S与t之间的函数关系式即可； （4）过点N作于点D，于点K，用t分别表示出，，，然后分点N恰好落在的角平分线上，点N恰好落在的角平分线上两种情况求出t的值，并说明点N不可能在的平分线上． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； 故答案为：． （2）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， 解得：； （3）解：当时，； 当时，如图所示： ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 综上分析可知，； （4）解：过点N作于点D，于点K，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 当点N恰好落在的角平分线上时， ∵，， ∴， ∴， 解得：； 当点N恰好落在的角平分线上时， ∵，， ∴， ∴， 解得：； ∵，， ∴， ∴点N不可能在的平分线上； 综上分析可知，点N恰好落在的角平分线上时，t的值为或． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定，三角函数的应用，勾股定理，角平分线的性质，三角形面积的计算，矩形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是画出图形，数形结合，并注意分类讨论． 19．（22-23九年级上·山东济南·期末）（1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点F．填空： ①线段，之间的数量关系为________；②的度数为______． （2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，直线和直线交于点F，请判断的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3所示，和均为直角三角形，，，当点B在线段的延长线上时，求线段和的长度． 【答案】（1）①；②；（2）；；（3）； 【分析】（1）①根据证明，即可得出； ②根据全等三角形的性质得出，设交于点O，根据，结合三角形内角和定理，得出即可得出结果； （2）证明，可得，，根据三角形的外角得出，，即可得结论； （3）根据勾股定理求出，根据三角函数求出，求出，证明，求出，得出． 【详解】解：（1）①∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴； 故答案为：； ②∵， ∴， 设交于点O， ∵， ∴， 即． 故答案为：． （2）结论：， ．理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． （3）在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理、三角函数的计算，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，特殊角的三角函数值． 20．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）【问题提出】 （1）如图①，在中，，点D为上一点，且，过点D作于点E，若，则的长为 ； 【问题探究】 （2）如图②，在中，，点D是边上一点，连接，过点D作交于点E，过点B作于点F，交于点G，试判断与是否相似，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，是一块菜园平面示意图，，，是边上的中线，于点F，交于点G，交于点E，经测量，米，现欲沿修一条灌溉水渠，请你求出灌溉水渠的长度．    【答案】（1）2；（2）与相似，理由见解析；（3）米 【分析】（1）证明，得出，即，得出； （2）证明，，得出； （3）过点E作于点H，证明为等腰直角三角形，得出（米），证明，得出米，根据，得出米，求出米，根据勾股定理得出米，即可求出结果． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：； 故答案为：2． （2）与相似，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （3）过点E作于点H，如图所示：    ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴（米）， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴米， ∵， ∴米， ∴米， ∴米， ∵米， ∴（米）． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． 21．（22-23九年级上·山东青岛·期末）已知，如图，在中，，，于，直线从点出发沿方向匀速运动，速度为；运动过程中始终保持，直线交于，交于点；过点作，交于，交于点，连接，设运动时间是（s）（），解答下列问题： (1)当为何值时，？ (2)设四边形的面积为，试求出与的函数关系式；是否存在某一时刻，使的值最大？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)；存在；当时，y可以取最大值 (3)存在；当时，点在线段的垂直平分线上 【分析】（1），可以得到，，，，，利用三角函数的比值即可以求得答案； （2）由，得到，即：，求出，求出，根据四边形的面积等于的面积的面积的面积可以得到答案，求顶点坐标可以得到答案； （3）若点M在线段的垂直平分线上，则，构造关于t的方程，得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，，于D， ∴，， ， 又∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴， 根据解析（1）可知，， ∴ ， ∴当时，y可以取最大值． （3）解：若点M在线段的垂直平分线上， 则有， 由（1）（2）知道，，， ∴， 解得：， 即当时，点在线段的垂直平分线上． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形面积的计算，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． 22．（22-23九年级上·江苏南京·期末）定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点）的圆，称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”． (1)如图①，在中，，，，则边上的伴随圆的半径为___________． (2)如图②，中，，，直接写出它的所有伴随圆的半径． (3)如图③，中，点在边上，，为的中点，且． ①求证：的外接圆是的边上的伴随圆； ②的值为___________． 【答案】(1)2 (2)或或 (3)①见解析；② 【分析】（1）先依据勾股定理求得的长，然后依据切线的性质可知为圆的直径，故此可求得的伴随圆的半径等于的一半； （2）当O在上时，连接，过点A作．由等腰三角形的性质和勾股定理求得，依据切线的性质可证明，接下来证明，由相似三角形的性质可求得的半径；当O在上且与相切时，连接、过点A作，垂足为E．先证明，由相似三角形的性质可求得的半径，当O在上且与相切时，连接、过点B作，过点A作，垂足为E．先依据面积法求得的长，然后再证明，由相似三角形的性质可求得的半径； （3）①连接、，先证明，从而得到，于是可得到，接下来证明，从而可证明； ②设的半径为r，依据勾股定理定理依据求得、、的长，从而可求得接下来，由可求得的值，再用r表示出、即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵是圆的切线，， ∴为圆的直径． ∴边上的伴随圆的半径为2． 故答案为：2． （2）解：当O在上时，如图（1）所示：连接，过点A作， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理可知， ∵与相切， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设的半径为r，则， ∴， ∴， ∴的边上的伴随圆的半径为； 当O在上时，如图（2），连接、过点A作，垂足为E， ∵与相切， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设的半径为r，则， ∴， ∴， 如图（3）所示：连接、过点B作，过点A作，垂足为E， ∵， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； 综上所述，的伴随圆的半径分为或或． （3）证明：①证明：如图（4）连接、， ∵为直角三角形， ∴的外接圆圆心O在中点上， 设的半径为r，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴是的切线． ∴的外接圆是某一条边上的伴随圆； ②如图（4）设圆O的半径为r， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴ ∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，勾股定理，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数的定义，解题的关键是作出辅助线，画出相应的图形，注意分类讨论． 题型四：解直角三角形及其应用 23．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，在正方形中，分别是边上的点，且分别在边上，且与交于点O，记，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，过点作交于点，作交于点，延长、交于点，过点作，根据平行线的性质得出，从而得出，设，则，证明四边形是平行四边形，得出，在中，勾股定理算出，得出，证明，得出，根据，得出，在中，列方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作交于点，作交于点，延长、交于点，过点作， ∴， ∴， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴在中，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴解得：或， 当时，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】该题主要考查了解直角三角形，勾股定理，二次根式的性质，正方形的性质，平行四边形的性质和判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确做出辅助线． 24．（24-25九年级下·全国·期末）图（1）是一个倾斜角为的斜坡的横截面，，斜坡顶端B与地面的距离为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），y与x之间近似满足函数关系（a，b是常数，），图（2）记录了x与y的相关数据，则y与x的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式和解直角三角形，待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 先求出，再根据待定系数法，即可求得二次函数的解析式． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴点B的坐标为． ∵，在抛物线上， ∴， 解得， ∴y关于x的函数关系式为， 故答案为：． 25．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，若点恰好落在边上． (1)连接，求证：． (2)若，求点A到直线的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据含的直角三角形的性质，得到，证明为等边三角形，为等边三角形，即可证明； （2）过点A作于点D．求出，根据为等边三角形，解直角三角形即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转得到． ∴，，， ∴为等边三角形，为等边三角形． ∴，， ∴． （2）解：如图，过点A作于点D．    ∵， ∴， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴点A到直线的距离为． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 26．（23-24九年级上·浙江·期末）图1是一把可折叠的哑铃椅，其侧面可抽象成图2，为支撑杆，M为靠背的中点，点N可在斜支柱上滑动，通过调节螺母可将点N固定在斜支柱上的六个孔位处，靠背随之绕点C转动，当点N位于第一个孔位处时，；当点N位于最后一个孔位处时，．已知，，，坐凳与水平地面l平行． (1)在点N从第一个孔位滑动到最后一个孔位的过程中，求点M所运动的路径长（结果保留π） (2)在转动的过程中，求点H到水平地面l的最大距离． （结果精确到．参考数据：．） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了点的运动轨迹，弧长公式，解直角三角形等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形． （1）根据题意求出旋转角，再利用弧长公式求解即可． （2）根据图象可得当时，点H到地面的距离最大．过点D作于T，过点H作于点J，交于点K．则四边形是矩形，得出，在中，求出，在中，求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：， ． 点N位于第一个孔位处时，， 当点N位于最后一个孔位处时，． 旋转角为， ， 当点N从第一个孔位滑动到最后一个孔位时， 故点M运动路径长． （2）解：如图，当时，点H到地面的距离最大． 过点D作于T，过点H作于点J，交于点K． 则四边形是矩形， ∴， 在中，， 在中，， ， 在线段转动过程中，H点到地面l的最大距离为． 27．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）中山公园原址为一个叫刘家屯的小山头，1898年沙俄强占旅大期间，将这里改为绿地．日占时期改为圣德公园，多次作为我地下党的接头地点，传递了许多抗日情报．大连解放后的1945年11月，市政府为纪念孙中山先生，改名中山公园，历经多年修建了5个小亭，其中敬闲亭位于山头最高处．某中学超越小组的同学们，带着测量工具来到此地，为测量敬闲亭设计了如下方案，请根据以下材料，完成项目任务． 项目 测量敬闲亭的高度及底面圆的半径 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 说明：点H为亭底面圆圆心，在A、C处分别测得亭顶端的仰角为、，，测角仪高度，测角仪所在位置与亭底部边缘距离．点B、D、M、H在同一条直线上． 参考数据 ，，，，，最后结果保留． 任务1 求敬闲亭的高度的长． 任务2 求敬闲亭底面圆的半径的长． 【答案】任务1：敬闲亭的高度的长约为；任务2：敬闲亭底面圆的半径的长约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 任务1：延长交于点F，根据题意可得：，，，然后设，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答； 任务2：设与相交于点S，根据题意可得：，，然后利用线段的和差关系，进行计算即可解答． 【详解】解：任务1：延长交于点F， 由题意得：，，， 设， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴敬闲亭的高度的长约为； 任务2：如图：设与相交于点S， 由题意得：，， ∴， ∴敬闲亭底面圆的半径的长约为． 28．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）在中，、、所对的边分别为a、b、c，求证：． 证明：如图1，过点C作于点D，则：在中，，在中，， ， ． 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在锐角中，、、所对的边分别为a、b、c，若，，，求的度数； (2)如图3，一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号，参考数据：，） 【答案】(1) (2)平方米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用以及三角形内角和定理等知识． （1）根据题目提供的方法进行证明，解得，则，然后由三角形内角和定理求出的度数即可； （2）过点作于点，由三角形内角和定理求出，再由锐角三角函数定义求出的长，然后求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图2，过点作于点， 在中，， 在中，， ， ， 即， 解得：， ， ， ∴的度数为； （2）解：如图3，过点作于点， ，， ， 在△中，（米）， 又， 即， 解得：（米）， （平方米）． 29．（24-25九年级上·山东·期末）（1）一个几何体的三个视图如图所示（单位：）．若其俯视图为正方形，根据图中数据计算这个几何体的表面积． （2）如图所示，某市有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，为了便于行走，市城建局启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，试求的长度约为多少米？（保留一位小数，参考数据：） 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查根据三视图计算几何体的表面积，解直角三角形的实际应用： （1）根据三视图，得到几何体为底面边长为，高为的长方体，根据长方体的表面积公式进行计算即可； （2）分别解直角三角形和直角三角形，求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：（1）由三视图可知：几何体为底面边长为，高为的长方体， 其表面积为：； （2）在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 答：的长度约为． 30．（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，是的切线，为上的一点，，延长交的延长线于点， (1)求证：为的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留）； (3)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接、，证明，得，即，从而即可得证； （2）令交于点，利用角平分线的性质及三线合一得，，，，进而利用三角函数求得，，从而求得，再求出，即可得解； （3）由题可设则，证明，得设，则，，在中，由勾股定理得，从而，解得或（舍去），在中，利用三角形函数求解即可． 【详解】（1）证明：连接、， ∵点在圆上，为切点， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线； （2）解：令交于点， ∵，，， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴在中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴； （3）解：由题可设则， ∵，， ∴， ∴ 设，则，， 在中，， ∴ ∴， ∴， 又， ∴， ∴或（舍去） ∴在中，． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，切线的判定，三线合一，解一元二次方程，相似三角形的判定及性质，熟练掌握切线的判定，三线合一，解一元二次方程，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 31．（23-24九年级下·河北石家庄·期末）如图1，四边形中，，，，为四边形的对角线，．    (1)求点到的距离； (2)如图2，点在边上，且．以为圆心，长为半径作，点为上一点，连接交于．． ①当与相切时，求的长； ②当时，直接写出的长． 【答案】(1)4 (2)①；②5或11 【分析】（1）由勾股定理求出的长，然后根据三角函数的定义求出到的距离即可； （2）①连接，由（1）以及可以求出的长，然后根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理求出的长即可； ②过作与，所以四边形为矩形，在中运用勾股定理即可求出的长，从而可以求出的长． 【详解】（1）解：过作于，如图： ，，， ， 在中，， ， 即点到的距离为4； （2）解：①连接，如图： 由（1）知，， ， ， ， ，，， ， 是的切线， ， ； ②过作于，如图：   ，， 四边形为矩形， ，， 在中，， ； 同理，， 或11． 【点睛】本题主要考查了圆的切线，矩形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，合理构造直角三角形是本题解题的关键． 32．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别为和上的点，连接，交于点O，若．求证：； 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，，点E为边上一点，点F为对角线上一点，连接，交于点O，若，，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，在矩形中，，点E为边上一点，点F为边上一点，若平分，且，求的长． 【答案】（1）见解析（2）（3） 【分析】（1）根据，利用同角的余角相等得出，再根据即可证出， （2）作于点，由，得到，设，则，，，由，得到，，，由，得到，求出，，同理，，得到，，即可求解， （3）作于H，交于G，则，，结合（2）的结论得到，求出长，利用勾股定理解题即可． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键是：连接辅助线，熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ， ， 即，， ， 又， ， 在和中 ， ． ． （2）作于点， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴， 设，则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （3）作于H，交于G， 平分，且， ，， ∵，， ∴， ， ， 过点，交于点M， 则四边形是平行四边形，， ∵， ∴ ∴， ，，， ． 33．（24-25九年级上·全国·期末）（1）【操作发现】如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的度数为 ； （2）【类比探究】如图2，在等边三角形内任取一点，连接，，，求证：以，，的长为三边必能组成三角形； （3）【解决问题】如图3，在边长为的等边三角形内有一点，，，求的面积； （4）【拓展应用】如图4是，，三个村子位置的平面图，经测量，，，为内的一个动点，连接，，，求的最小值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4） 【分析】（1）证明是等边三角形即可； （2）以为边长作等边，使P、D分别在的两侧，连接．利用全等三角形的性质以及三角形的三边关系即可解决问题； （3）将绕点A按逆时针方向旋转，得到，只要证明，利用勾股定理即可解决问题； （4）将绕点C顺时针旋转得到，连接，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理求出，根据，得出当最小时，最小，根据两点之间线段最短，得出当P，D在上时，最小，求出最小值即可． 【详解】解：（1）∵将绕点顺时针旋转，得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴； （2）证明：如图，以为边长作等边，使P、D分别在的两侧，连接， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， 又∵， ∴， ∴以，，的长为三边必能组成三角形． （3）如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接， ∴， ，， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴， 即， ∴，负值舍去， ∴， ∴． （4）如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，， ∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴当P，D在上时，最小，且最小值为的长， ∴的最小值为. 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，解直角三角形，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 34．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D． (1)当时，直接写出点A、B、C、D的坐标： A ，B ，C ，D ； (2)如图1，直线交x轴于点E，若，求抛物线的表达式； (3)如图2，在（2）的条件下，若点N为的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，交于点F；过点F作，垂足为H．设点P的横坐标为t，记． ①用含t的代数式表示f； ②请直接写出f的最大值为： ． 【答案】(1)，，， (2) (3)①；② 【分析】 （1）当时，抛物线的表达式为：，即可求解； （2）由点、的坐标得，直线的表达式为：，进而求出点，，利用，即可求，解，故点、的坐标分别为、，，代入抛物线即可作答； （3）①证明，故，则，即可求解； ②，即可求解． 【详解】（1） 当时，抛物线的表达式为：， 令，则或；当时，，函数的对称轴为， 故点、、、的坐标分别为、、、； 故答案为：、、、； （2） ，令，则，则点， 函数的对称轴为，故点的坐标为， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 令，则，故点，， 则， ， 解得：， 故点、的坐标分别为、，， 抛物线的表达式为：， （3） ①如图，作与的延长线交于点， 由（2）知，抛物线的表达式为：， 故点、的坐标分别为、，则点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：； 设点，则点； 则， 由点，、的坐标得，直线的表达式为：， 则点，故， ，轴， 故，， ，故， 则， ； ②； 当时，． 故答案为： 35．（23-24九年级下·重庆大足·期末）等边中，点在线段上，连接． (1)如图，过点作于点，若，，求的长； (2)如图，点在线段的延长线上，点在线段上，连接，若，，求证：； (3)如图，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点是直线上一动点，将沿直线翻折得到，在点运动过程中，最小时，请直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）由可设，则，由勾股定理可得，求出，进而利用三角函数即可求解； （）延长，使，连接，过点作，可得为等边三角形，进而得到，，再证明，得到，证明，得到，即得，即可得到，即得，再根据即可求证； （）由题意可知，点在以点为圆心，为半径的圆上，当点三点共线时，最小，过点作于，过点作于，过点作于，则，解直角三角形求出，，得到， 由勾股定理得，再求出，得到，证明，得到，可得，最后根据三角形面积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴； （2）解：延长，使，连接，过点作， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴； （3）解：由题意可知，点在以点为圆心，为半径的圆上，当点三点共线时，最小，过点作于，过点作于，过点作于，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 由旋转可得，，， ∴， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，解直角三角形，旋转的性质，折叠的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 36．（23-24九年级下·北京·期末）对于平面直角坐标系中的，点，点，给出如下定义：线段为⊙的弦，点是弦上任意一点．若，则称点是点关于的倍关联点． 已知，的半径为2，点的坐标为． (1)在点，，中，是点关于的2倍关联点的是 ； (2)在直线上，若是点关于⊙的2倍关联点，直接写出的取值范围； (3) 与轴正半轴交于点，对于线段上任意一点，在  上都存在点，使得点是点关于的倍关联点，直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1)、； (2)； (3)最小值是1，最大值是． 【分析】（1）根据新定义可知，，所以是的中点，连接，根据垂径定理可知，，据此判断可得出结果； （2）可推出点在以为直径的圆上运动，当直线于相切于点时，设直线交轴于，交轴于，解求得，进而得出，解求得结果，当直线于相切于点时，设直线交轴于，交轴于，同样的方法得出结果； （3）根据，，可求得的最小值是，此时点在点或点处，；连接，，可得出，从而，进而得到，从而得到，进一步得出结果． 【详解】（1）如图， 图中， ∵，，则应为，但此时不在圆上，故点不是点关于⊙的倍关联点， 图中， ∵，，则在圆上，故点是点关于⊙的倍关联点， 图， 连接，作于， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是点关于⊙的倍关联点． 故答案为、． （2）如图， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， 当直线于⊙相切于点时，设直线交轴于，交轴于， 可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 当直线于⊙相切于点时，设直线交轴于，交轴于， 连接， 可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）∵，， ∴的最小值是， 当点在点或点时，， 如图， 连接，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，即点是的中点，最大，当，最小，此时， 此时， 综上所述，的最小值是，最大值时． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，与圆有关的位置关系，一次函数的图像和性质等知识，解决问题的关键是根据新定义转化题意． 37．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，对于线段与直线，给出如下定义：若线段关于直线的对称线段为(，分别为点，的对应点)，则称线段为线段的“关联线段”． 已知点，． (1)线段为线段的“关联线段”，点的坐标为，则的长为______，的值为______； (2)线段为线段的“关联线段”，直线经过点，若点，都在直线上，连接，求的度数； (3)点，，线段为线段的“关联线段”，且当取某个值时，一定存在使得线段与线段有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）由、关于直线对称，得到，由题意得，把的中点代入，求出即可； （2）连接，，，以为圆心，的长为半径画圆，由，，可得，，根据对称的性质可得，，推出点、、、都在圆上，得到是直线与圆相交所得的长为的弦，分为当在轴的左侧时，取的中点，连接，当在轴的右侧时，两种情况讨论，即可求解； （3）设直线与轴交于点，连接，，求出当时，与相切时，当时，经过点时，两种特殊情形的值，即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：，， ， 、关于直线对称， ， 由题意得：， ， 、关于直线对称， 直线经过的中点， ，， 的中点为，即， 把代入， 得：， 解得：， 故答案为：，； （2）连接，，，以为圆心，的长为半径画圆， ，， ，， 线段为线段的“关联线段”， 直线解析式为：，点、关于直线的对称点是、， ，， 点、、、都在圆上， 点，都在直线上， 是直线与圆相交所得的长为的弦， 如下图，当在轴的左侧时，取的中点，连接， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如下图，当在轴的右侧时， 同理可求， 综上所述，的度数为或； （3）设直线与轴交于点，连接，． ， 当时，与相切时，， ，， ， ， 解得：（负值已舍去）； 当时，经过点时，， ，，， ，， ， 解得：， 线段与线段有公共点， 或． 【点睛】本题考查轴对称的性质，一次函数的图像与性质，三角函数，圆的相关性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 38．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，，是边的中点．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，过点作于点，当点不与点重合时，以为邻边作，设点的运动时间为秒．    (1)用含有的代数式表示线段的长． (2)当点到点的距离相等时，求的长． (3)当的某条对角线与边垂直时，求的值． (4)作点关于直线的对称点，连结，当时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或； (4)或． 【分析】（）利用勾股定理求出，可得，再直角三角形可得，最后根据平行四边形的性质即可求解； （）如图，作于点，可得垂直平分，进而得，又由得，即可得，再利用三角函数即可求解； （）分两种情况：和，画出图性质，利用三角函数解答即可求解； （）设交直线于点，由轴对称可得，，进而得，即得，得到，由此可得，又由，可得，即得，再分点在线段上和点在线段上两种情况，画出图形解答即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴； （2）解：如图，作于点，则，    ∵点到点的距离相等， ∴垂直平分， ∵是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，如图，则，    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得 ； 当时，如图，则，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴解得； 综上所述，的值为或； （4）解：设交直线于点， ∵点与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点在线段上，如图，    则， 解得； 当点在线段上，如图，    则， 解得； 综上，的值为或． 【点睛】此题考查了勾股定理、平行四边形的性质、线段的垂直平分线的性质、轴对称的性质、锐角三角函数与解直角三角形，运用数形结合与分类讨论数学思想解题是解题的关键． 39．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，连接，，点D在抛物线上一点． (1)求证；是等腰直角三角形． (2)连接，如图1，若平分，求点D的坐标． (3)如图2，若点D在线段的下方抛物线上一点，画于点E． ①求的最大值． ②在线段上取点F，连，，若，且点C关于直线的对称点恰好落在抛物线上，求点D的坐标（直接写出答案）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，即可得即问题得解； （2）过点作交于点, 交于，连接，利用等腰直角三角形的性质可得，然后求出直线的解析式为：再联立即可求解； （3）求得直线的解析式为：①设过点D的坐标为 过点与直线平行的直线解析式为过点作轴的平行线交于点，通过联立方程可得点的坐标为根据可得点横坐标为, 即可得, 进而可得再证明为等腰直角三角形，即问题得解；②设点关于的对称点为点(且点在抛物线上) ，则有垂直平分线段，即由图可知抛物线上除点、点外，再无其它点到原点的距离为，由此可得点与点重合，此时对称轴即为斜边的中线，即点为中点，过点作于点，连接，再计算出可得可知点与点重合，则点与点重合，符合要求，问题随之得解. 【详解】（1）证明: 令可得 令 可得 解得 ∴, ， ， 为等腰直角三角形； （2）过点作 交于点, 交于, 连接, 如图, 为等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ∵平分 ， 即根据“三线合一”可知：即 ， ， 是等腰直角三角形，即 ， ∴， 设直线的解析式为，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：， 联立 ， 解得 (舍去) , ， ； （3）∵, 设直线BC的解析式为，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为： ， ①设点的坐标为过点与直线平行的直线解析式为过点作y轴的平行线交于点, 如图, 联立 可得 则 ， ∴解得 , 即点的坐标为根据可得点横坐标为， 即可得, ∴当有最大值时，点的坐标为, , 即： 当 时， ∵, ， ， 为等腰直角三角形， ， ∴此时的最大值为 ②设点关于的对称点为点(且点在抛物线上) ，则有垂直平分线段， 即 由图可知抛物线上除点、点外，再无其他点到原点的距离为， ∴点与点重合，此时对称轴即为斜边的中线， 即点为中点， 过点作于点, 连接, ∵, 为等腰直角三角形， 且可得为等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， ， 此时若点与点重合，则点与点重合，满足 此时点坐标为:； 若点不与点重合： 点为定点(中点) ，且点在线段上，即： 第一种情况：当点从点往点靠近时，点也会逼近点，此时形成的角会越来越小， ∴即不存在的情况； 第二种情况：当点从点往点靠近时，与的夹角将越来越小，则在的另一个锐角会越来越大， ∴即不存在的情况； 综上: 点与点重合满足要求, 即. 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，正切，等腰三角形的判定与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识，问题的难点在第三问的第二小问，确定F点为BC的中点是解答本题的关键. 40．（24-25九年级上·重庆·期末）在中，，，点在射线上，连接，过点作，交于点，交于点． (1)如图，，，求长度； (2)如图，点在射线上，满足，连接，探究线段之间的数量关系并证明； (3)如图，在（）的条件下，点为平面内一动点，满足，当最小时，在射线、射线上分别有点、点，使得，当最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）过点作于，则，求出，，在中，解直角三角形求出，，即可求出，解直角三角形求出，由即可解答； （2）过点作交的延长线于点，交于点，则，证明，推出，，再证明，推出，即可得出结论 （3）作交于点Q，过点A作于点H，过点N作交于点G，取的中，连接，证明四点共圆，是等腰直角三角形，得到，当与重合时，即两点重合时，有最小值，证明，根据，，再证明，得到，当三点共线时，有最小值，最小值为的长，证明，得到，设，则，求出，，中，，求出，利用的面积为即可解答． 【详解】（1）解：过点作于，则， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：．证明如下： 过点作交的延长线于点，交于点，则， ∵， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：作交于点Q，过点A作于点H，过点N作交于点G，取的中，连接， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴四点共圆， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 如图，当与重合时，即两点重合时，有最小值， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∵点是的中点， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 如图，当三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 在中，， ∴ 整理得： 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查全等三角形的性质与判定，解直角三角形，四点共圆的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，解题的关键是：构造全等三角形． 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