专题3 微专题(3) 带电粒子在复合场中的运动(Word教参)-【精讲精练】2025年高考物理二轮专题辅导与训练

命题点一　带电粒子在组合场中的运动 1．带电粒子的“电偏转”和“磁偏转”的比较 垂直进入磁场(磁偏转) 垂直进入电场(电偏转) 情景图 受力 FB＝qv0B，FB大小不变，方向总指向圆心，方向变化，FB为变力 FE＝qE，FE大小、方向不变，为恒力 运动规律 匀速圆周运动 r＝，T＝ 类平抛运动 vx＝v0，vy＝t x＝v0t，y＝t2 2．带电粒子在组合场中运动的处理方法 (1)明性质：要清楚场的性质、方向、强弱、范围等。 (2)定运动：带电粒子依次通过不同场区时，由受力情况确定粒子在不同区域的运动情况。 (3)画轨迹：正确地画出粒子的运动轨迹图。 (4)用规律：根据区域和运动规律的不同，将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理。 (5)找关系：要明确带电粒子通过不同场区的交界处时速度大小和方向的关系，上一个区域的末速度往往是下一个区域的初速度。 　一绝缘材质圆筒的横截面如图所示，其圆心为O，半径为R，筒内有垂直于纸面向里的匀强磁场。圆筒下面有平行金属板M、N，其中M板带正电荷，N板带等量负电荷，两板相距为d，板长为4d，电势差为U。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子自M板的左端点P处紧贴M板以平行于M板的速度射入电场，经N板中点处的小孔S射入磁场中。粒子与圆筒发生一次碰撞后仍从S孔射出。设粒子与圆筒碰撞过程中没有动能损失，且电荷量保持不变，不计粒子的重力，求： (1)带电粒子进入电场时的初速度v0； (2)磁场的磁感应强度B的大小； (3)若仅将磁感应强度增加为原来的2倍，粒子也可以从S孔射出，求粒子与圆筒的碰撞次数n。 [解析]　(1)带电粒子在电场中做类平抛运动，水平方向有2d＝v0t 竖直方向有d＝·t2 联立解得v0＝。 (2)粒子到S时速度与水平方向夹角θ，满足 tan θ＝＝1，解得θ＝45°，则v＝v0 粒子与圆筒发生一次碰撞后仍从S孔射出，轨迹如图所示 根据几何关系可知r＝R 粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝ 联立解得B＝ 。 (3)若仅将磁感应强度增加为原来的2倍，则r′＝R，粒子第一次与圆筒碰撞位置在小孔S左侧圆周，粒子与圆筒为弹性碰撞，每碰撞一次，圆心角改变90°，如图所示，根据对称性可知粒子与圆筒碰撞次数为3次。 [答案]　(1)　(2) 　(3)3次 1．(2024·广东江门一模)如图所示，在x<0的区域存在方向竖直向上、大小为E0的匀强电场，在x>0区域存在垂直纸面向外的匀强磁场B(B未知)。一个质量为m的带正电粒子甲从A点(－d，0)以速度v0沿x轴正方向进入电场，粒子甲从B点进入磁场后，恰好与静止在C点、质量为的中性粒子乙沿x轴正方向发生弹性正碰，且有一半电荷量转移给粒子乙。已知C点横坐标为xC＝d，不计粒子重力及碰撞后粒子间的相互作用，忽略电场变化引起的效应。求： (1)粒子甲的比荷； (2)粒子甲刚进入磁场时的速率和磁感应强度B的大小； (3)若两粒子碰撞后，立即撤去电场，同时在x<0的区域加上与x>0区域内相同的磁场，试通过计算判断两粒子碰撞后能否再次相遇，如果能，求再次相遇的时间Δt。 解析　(1)粒子在电场中沿x轴匀速直线运动，有d＝v0t 沿y轴匀加速直线运动d＝at2，a＝ 联立解得＝。 (2)沿y轴匀加速直线运动vy＝at＝v0 进入磁场中粒子速度与x轴的夹角的正切值tan θ＝＝，θ＝60° 则进入磁场速率v＝2v0 由几何关系可得sin 60°＝，又由qvB＝ 解得B＝。 (3)甲乙粒子在C点发生弹性碰撞，设碰后速度为v1、v2，由题意可得 mv＝mv1＋mv2，mv2＝mv12＋×mv22，解得v1＝v，v2＝v 两粒子碰后在磁场中都做匀速圆周运动qv1B＝，qv2B＝，r1＝r2＝d 两粒子在磁场中一直做轨迹相同的匀速圆周运动，周期分别为T1＝，T2＝ 则两粒子碰后再次相遇需满足Δt－Δt＝2π 解得再次相遇时间Δt＝。 答案　(1)　(2)2v0　　(3)见解析 2．如图所示，在光滑的水平面上有一直角坐标系，其中在第一象限2 m≤x≤4 m的范围内存在一沿＋y方向的有界匀强电场，其场强大小E＝400 V/m，电场的上边界满足方程y＝，在第三、四象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B大小未知，现在在电场线上边界各处依次静止释放比荷＝50 C/kg的带负电微粒(不计重力)，发现经过一段时间后，所有带电微粒均能通过从x轴离开磁场区域。 (1)试写出带电微粒进入磁场时的速度大小v与横坐标x的关系式； (2)如果这些带电微粒离开磁场时的位置均在x轴负半轴，求磁感应强度B的大小范围； (3)控制B的大小在1 T≤B≤3 T范围内，取不同的B值，带电微粒都会在一定区域内离开磁场，求所有带电粒子离开磁场时的最大区域值和最小区域值。 解析　(1)根据动能定理可得qEd＝mv2，即有qE＝mv2 解得v＝ ＝50 x(2 m≤x≤4 m) (2)根据公式，可得R＝＝ 所以小球经此磁场偏转后打中的坐标为x′＝x－＝x 要求所有从不同位置入射的粒子都在x轴负半轴离开，则要求x′<0 所以0<B<2 T (3)因为离开磁场时的坐标为x′＝x－＝x 而2 m≤x≤4 m，则Δx′＝Δx＝2 分析可知B＝1 T时所有小球出磁场时区域值最大，即Δx′＝2 m 当B＝2 T时所有小球出磁场时区域值最小，即Δx′＝0 m 答案　(1)v＝50x(2 m≤x≤4 m)　(2)0<B<2 T (3)2 m，0 m 命题点二　带电粒子在叠加场中的运动 1．三种典型情况 (1)若只有两个场，合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态。例如电场与磁场叠加满足qE＝qvB时、重力场与磁场叠加满足mg＝qvB时、重力场与电场叠加满足mg＝qE时。 (2)若三场共存，合力为零时，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力F＝qvB的方向与速度v垂直。 (3)若三场共存，粒子做匀速圆周运动时，则有mg＝qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB＝m。 2．当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。 　(2024·陕西安康统考一模)如图所示，竖直平面内的直角坐标系xOy第一象限内存在沿x轴正方向、电场强度大小为E1(未知)的匀强电场，x轴下方存在互相垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E2(未知)、方向沿y轴正方向，磁场方向垂直纸面向里。一质量为m、带电荷量为＋q的小球从点P(6l，8l)处沿x轴负方向以一定的速度水平抛出，恰好沿y轴负方向经过原点O，Q点是x轴上的一点，Q点到原点O的距离为6l，从Q点向下引一足够长、与x轴负方向的夹角θ＝的绝缘光滑挡板，小球离开O点后恰好做圆周运动并垂直撞到挡板上，已知小球每次与挡板碰撞后垂直反弹，速率变为碰撞前的，当小球运动到距Q点最远时撤去电场E2，同时使磁场反向而磁感应强度大小不变，重力加速度大小为g，不计空气阻力。求： (1)小球的初速度大小v0； (2)匀强电场的电场强度大小E1、E2的比值k； (3)磁场反向后小球到x轴的最远距离d。 [解析]　(1)小球以一定的初速度恰好沿y轴负方向经过原点，则小球沿E1负方向做匀减速直线运动的末速度为零，则有qE1＝ma，6l＝at2 沿y轴负方向有8l＝gt2 联立可得E1＝，t＝4 则小球的初速度大小v0＝at＝3。 (2)由题意可知有mg＝qE2，E2＝ 所以匀强电场的电场强度大小E1、E2的比值 k＝3∶4。 (3)小球刚进入x轴下方的速度为v＝gt＝4 则由几何关系可得第一个圆周运动的半径为 r1＝6l 由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝，r＝ 则磁感应强度为B＝ 根据题意可知，小球之后做圆周运动的半径为rn＝r1 所以小球运动到Q点的最远距离为l1＝r1＋2r1·＋2r1＋2r1＋…＝54l 磁场反向后，小球先沿挡板做匀加速直线运动，加速度为a1＝＝g 当qv1B＝mg cos 时，小球距离x轴最远，则可得v1＝ 则小球沿挡板移动的距离为l2＝＝l 小球到x轴的最远距离d＝(l1＋l2)sin ＝l＋27l。 [答案]　(1)3　(2)3∶4　(3)l＋27l 3．(2024·甘肃平凉模拟)如图所示，在空间直角坐标系中，yOz平面右侧存在沿z轴负方向的匀强磁场，左侧存在沿y轴正方向的匀强磁场，左、右两侧磁场的磁感应强度大小相等；yOz平面左侧还有沿y轴负方向的匀强电场。现从空间中坐标为(d，0，0)的P点发射一质量为m、电荷量为＋q(q>0)的粒子，粒子的速度方向沿xOy平面且与y轴正方向相同；经时间t后粒子恰好垂直于y轴进入yOz平面左侧，粒子从z轴上某点返回yOz平面右侧，不计粒子的重力。求： (1)匀强磁场的磁感应强度B的大小； (2)匀强电场的电场强度E的大小； (3)粒子返回yOz平面右侧时的速度v的大小。 解析　(1)粒子在xOy平面内做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得qv0B＝ 运动周期T＝＝ 由题意知粒子在xOy平面内运动圆周t＝T 联立解得B＝。 (2)粒子经过y轴后沿y轴负方向做匀加速直线运动，同时在洛伦兹力作用下做圆周运动，粒子返回xOy平面右侧的过程中恰好做个圆周运动，所用时间t′＝＝2t 沿y轴方向，有r＝d＝·at′2，根据牛顿第二定律有qE＝ma 联立解得E＝。 (3)根据上述分析可知v0＝ 粒子返回xOy平面右侧时，沿y轴方向的速度大小为vy＝at′，又v＝ 解得v＝。 答案　(1)　(2)　(3) 4．(2024·贵州安顺统考期末)如图所示，一个质量为m、带电量为＋q的穿孔小球套在固定的水平光滑绝缘细杆上(孔的内径略大于杆的直径)，杆和小球位于磁感应强度大小为B1、方向水平向里的匀强磁场和水平向右的匀强电场中，细杆的右端位于两竖直虚线的左侧虚线处。两竖直虚线间距为L，虚线间有磁感应强度大小为B2、方向水平向外的匀强磁场和场强大小为E2＝、方向竖直向上的匀强电场。现将小球在杆上某一位置由静止释放，经时间t1运动到细杆的右端，此时小球与杆恰好没有相互作用，重力加速度为g，不计空气阻力。 (1)求两虚线左侧匀强电场的场强大小E1； (2)磁感应强度B2多大时，小球恰好能到达右侧虚线？ (3)若磁感应强度B2为第(2)问中的0.5倍，则小球在两虚线间运动多长时间？ 解析　(1)小球在杆上某一位置由静止释放，经时间t1运动到细杆的右端，此时小球与杆恰好没有相互作用，设此时速度为v，有 ·t1＝v，qB1v＝mg，解得E1＝。 (2)由qE2＝mg可知，小球在右侧虚线之间做匀速圆周运动，若小球恰好能到达右侧虚线，轨迹如图(a)所示： 图(a) 由图可知R＝L 由洛伦兹力提供向心力qvB2＝ 解得B2＝。 (3)若磁感应强度B2为第(2)问中的0.5倍，则 B2′＝ 小球在两虚线间运动半径为R′＝＝2L 轨迹如图(b)所示 图(b) 由几何关系可知θ＝30° 小球在两虚线间运动时间t＝·＝。 答案　(1)　(2)　(3) 命题点三　带电粒子在交变电场、磁场中的运动 1．变化的电场或磁场如果具有周期性，粒子的运动也往往具有周期性，这种情况下要仔细分析带电粒子的受力情况和运动过程，弄清楚带电粒子在变化的电场、磁场中各处于什么状态，做什么运动，画出一个周期内的运动轨迹的草图。 2．解题思路 　(2024·宁波二模)现代仪器中常利用电场、磁场来控制带电粒子的运动。如图甲所示，A、B为平行板电容器，极板长为L＝30 cm，间距为d＝50 cm，现在A、B间加如图乙所示的方波形电压，其中U0＝500 V，T＝3×10-6s。现有比荷为＝1×108 C/kg、初速度为v0＝1×105 m/s的正离子，自t＝0 s时刻开始从两板正中间平行极板方向O1O2连续射入电容器，在极板右侧一定距离处放置一荧光屏，离子打到荧光屏上会有亮点，不计离子重力和离子间相互作用，不考虑电容器的边缘效应。 (1)求能飞越电容器的正离子，在离开电场时的速度； (2)若虚线MN右侧不加磁场，试确定荧光屏上发光亮点的长度； (3)撤去荧光屏，在虚线MN右侧加一垂直纸面向里磁感应强度为B＝ T的匀强磁场，若在虚线MN右侧放一收集板，要使所有进入MN右侧的正离子都被收集板收集，求收集板垂直MN放置时在纸面内的最短长度x1；以及收集板平行MN放置时在纸面内的最短长度x2。 [解析]　(1)能飞越电场(电容器)的正离子，在电场中时间恒为t＝＝3×10-6s 加速度为a＝＝1×1011m/s2 其中加速时间为t1＝2×10-6s，减速时间为t2＝1×10-6s，所有粒子飞出时竖直方向速度为vy＝at1－at2＝105m/s 飞出电场时速度方向和大小均相同，均为v＝×105m/s，与平行极板方向夹角为45°。 (2)由于粒子飞出电场时速度方向和大小均相同，均为v＝×105m/s，方向与水平成45°，因此发光的亮点为一直线。t＝0时刻飞入的粒子，竖直向下偏转最大，假设能飞出极板，则y＝at12＋at1t2－at22＝35 cm>25 cm 故粒子并不能飞出极板，因此粒子最远能从下极板边缘飞出。 t＝2×10-6s时刻飞入的粒子，竖直向上偏转最大。假设能飞出极板，则y＝at22＋at2t1－at12＝5 cm<25 cm，故粒子并能飞出极板，距离下极板为30 cm。 因此粒子飞出电场时的宽度为30 cm，光屏上发光亮点的长度也为30 cm。 (3)粒子在磁场中的半径 R＝＝25 cm 如图甲所示，其中O1O2＝30 cm，C为O1O2中点，由勾股定理得AC＝20 cm ①收集板垂直MN放置时，在纸面内的最短长度x1＝AB＝5 cm。 ②再画出以C为圆心的轨迹圆，如图乙所示，收集板平行MN放置时在纸面内的最短长度x2＝PQ，因O1CQP为平行四边形，所以x2＝PQ＝O1O2＝15 cm。 [答案]　(1)v＝×105m/s，与平行极板方向夹角为45°　(2)30 cm　(3)5 cm，15 cm 5．制造芯片，要精准控制粒子的注入。如图甲所示，是控制粒子运动的装置示意图，两块边长均为d的正方形金属板M、N上、下正对水平放置，极板间距也为d。以该装置的立方体中心O点为原点建立直角坐标系，并在极板间加沿y轴负方向的匀强磁场(磁感应强度大小未知)，两极板接到电压为U的电源上。现有一束带正电粒子以速度v0沿x轴正方向从左侧持续注入极板间，恰好沿x轴做匀速直线运动。不考虑电磁场的边缘效应，粒子的重力忽略不计，粒子之间的静电力忽略不计。 (1)求磁感应强度B的大小； (2)若仅撤去磁场，该带电粒子束恰好击中点，求粒子的比荷； (3)若仅撤去电场，求带电粒子束离开立方体空间的位置坐标； (4)若将磁场方向改为沿z轴正方向，并将两极板接到电压按如图乙所示变化的电源上，t＝0时刻让粒子从中心O点沿x轴正方向以速度v0注入，试通过计算说明从粒子注入后到击中极板前会经过z轴几次。 解析　(1)粒子做匀速直线运动，则有q·＝qv0B，B＝。 (2)粒子做类平抛运动x＝－＝v0t，a＝＝，z＝＝at2 联立可得粒子的比荷＝ (3)粒子做匀速圆周运动，则有qv0B＝，R＝，则2R＝< 所以粒子在磁场中运动半个周期，从左边界飞出，则带电粒子束离开立方体空间的位置坐标； (4)粒子沿z轴做变速直线运动，在xOy平面内做圆周运动，周期为T＝＝≈ 由乙图可知，在0～时间内加速，粒子在z轴方向的位移l1＝at12＝ 在－时间内减速，粒子在z轴方向的位移 l2＝at1t2－at22＝ 在－时间内向反方向加速，粒子在z轴方向的位移l3＝at32＝ 在－时间内向反方向减速到速度为零，粒子在z轴方向的位移l4＝at3t4－at42＝ 粒子回复最初的方向接着重复最初的运动，运动时间为t5＝t1＋t2＝ 此时距板的距离为Δl＝l－(l3－l1－l2)－(l4－l1－l2)＝，则由Δl＝at62，t6＝ 到达极板所用总时间为t＝t1＋t2＋t3＋t4＋t5＋t6≈ 粒子每个周期经过一次z轴，n＝≈1.7取整数，所以经过1次。 答案　(1)　(2)　(3) (4)1次 6．(2024·天津模拟)科研人员经常利用电场和磁场控制带电粒子的运动。如图甲所示，在坐标系xOy的第三象限内平行于x轴放置一对平行金属板，上极板与x轴重合，板长和板间距离均为2d，极板的右端与y轴距离为d，两板间加有如图乙所示的交变电压。以O1(0，－d)为圆心、半径为d的圆形区域内存在垂直坐标平面向里的匀强磁场(图中未画出)。在P(－3d，－d)点处有一个粒子源，沿x轴正方向连续不断地发射初速度大小为v＝、质量为m、电荷量为＋q的带电粒子。已知t＝0时刻入射的粒子恰好从下极板右边缘飞出；t＝时刻入射的粒子进入圆形磁场区域后恰好经过原点O。在第一、二象限某范围内存在垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，不计粒子重力及粒子之间的相互作用力。 (1)求U0； (2)求圆形区域内匀强磁场的磁感应强度； (3)为了使所有粒子均能打在位于x轴上的粒子接收器上的0～3d范围内，求在第一、二象限内所加磁场的磁感应强度的大小和磁场区域的最小面积。 解析　(1)所有进入极板间的粒子沿x轴正方向的分运动均为匀速直线运动，在极板间的运动时间为t＝＝T，t＝0时刻入射的粒子进入极板间，沿y 轴方向有q＝ma，前半个周期内，粒子沿y轴方向发生的位移＝a，解得U0＝。 (2)不同时刻射出的粒子沿y轴方向加速和减速的时间相同，所有粒子均沿x轴正方向以速度v＝进入圆形磁场区域，t＝时刻入射的粒子恰沿半径方向进入磁场，粒子做匀速圆周运动经过原点O。根据几何关系可知粒子运动半径r1＝d，根据qvB1＝m，可得磁场的磁感应强度B1＝。 (3)从极板间射出的粒子在2d范围内沿x轴正方向进入圆形磁场，满足磁聚焦的条件，均在坐标原点O汇聚，从原点O沿x轴正方向和负方向180°范围内进入第一、二象限，为使其均能打在x轴上0～3d 范围内，如图所示。 粒子在磁场内做圆周运动的半径r2＝1.5d， qvB2＝m 解得磁感应强度大小B2＝ 磁场范围的最小面积S＝πr22＋π(2r2)2 解得S＝πd2。 答案　(1)　(2)　(3)　π 学科网（北京）股份有限公司 $$