精品解析：天津市天津中学2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试卷

天津中学2024-2025 学年第一学期高二年级形成性检测（二） 数学试卷 一、单选题： 本题共 10 小题， 每小题 3 分， 共 30 分 1. 已知椭圆的焦距为8，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为10，则椭圆 的标准方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 2. 若数列满足，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知曲线表示双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在等差数列中，如果，那么（ ） A. 95 B. 100 C. 135 D. 80 6. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则 A. B. C. D. 7. 已知数列是递增数列，且对于任意，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 等比数列的前项和为，若，，，，则（ ） A. 30 B. 31 C. 62 D. 63 9. 过点作圆：的切线，直线：与直线平行，则直线与的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线E 的右焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与双曲线 E的一条渐近线交于A，B两点，若，则双曲线 E的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 二、填空题： 本题共 5 小题， 每小题 4 分， 共 20 分 11. 以坐标原点为顶点，为焦点的抛物线的标准方程为 ______. 12. 已知数列的前项和为，且，则________ 13. 若等差数列满足，，则当______时，的前项和最小. 14. 已知直线与曲线有且只有一个公共点，则实数的取值范围为________ 15. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且满足，设弦的中点M到y轴的距离为d，则的最小值为__________． 三、解答题： 本题共 5 小题， 共 50 分 16. 在公差不为零的等差数列中，，且为和的等比中项，求： （1）数列的通项公式； （2）数列的前项和． 17. 已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点的距离减去它到y轴距离的差都是1． (1)求曲线C的方程； (2)过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，，求直线l的方程． 18. 已知数列满足，且． （1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和为. 19. 如图，在三棱柱中，平面， （1）求证：平面； （2）若，求 ①与平面所成角的正弦值； ②直线与平面的距离. 20. 设，是椭圆上的两点，已知向量，，若且椭圆的离心率，短轴长为2，为坐标原点． （1）求椭圆的方程； （2）试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津中学2024-2025 学年第一学期高二年级形成性检测（二） 数学试卷 一、单选题： 本题共 10 小题， 每小题 3 分， 共 30 分 1. 已知椭圆的焦距为8，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为10，则椭圆 的标准方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义与方程，即可求解. 【详解】由题意可知，，，即，，， 所以椭圆的标准方程为 或 . 故选：B 2. 若数列满足，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定数列的周期即可求解. 【详解】, 所以， 所以， 所以数列周期为3，由，可得， 所以. 故选：D 3. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，抛物线的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，再由点到直线的距离公式即可求得距离. 【详解】由，得焦点坐标为，又双曲线渐近线方程为， 即，则由点到直线的距离公式得. 故选：A. 4. 已知曲线表示双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线方程的性质令可得； 【详解】由题意知，，解得，所以实数的取值范围是． 故选：A． 5. 在等差数列中，如果，那么（ ） A. 95 B. 100 C. 135 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求解即可. 【详解】在等差数列中，成等差数列， 后者等数数列的公差为， 则. 故选：B. 6. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，根据点关于平面的对称点，求得的坐标，利用向量的数量积的坐标运算，即求解. 【详解】由题意，空间直角坐标系中，点关于平面的对称点， 所以,则，故选D. 【点睛】本题主要考查了空间直角坐标系的应用，以及空间向量的数量积的坐标运算，其中解答中熟记空间向量数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7. 已知数列是递增数列，且对于任意，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数的单调性，结合可得. 【详解】因为，且数列是递增数列， 所以，即. 故选：C 8. 等比数列的前项和为，若，，，，则（ ） A. 30 B. 31 C. 62 D. 63 【答案】B 【解析】 【分析】先求等比数列的通项公式，再求. 【详解】因为数列为等比数列，且，，所以为递增数列. ，且，所以，， 所以，。 所以. 故选：B 9. 过点作圆：的切线，直线：与直线平行，则直线与的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断点在圆上，求出切线的方程以及的值，利用两平行直线间的距离公式即可求解． 【详解】因为满足圆的方程， 所以点在圆上，又，所以， 因，则，解得， 故切线：，即. 因为切线与直线平行，所以，解得， 故直线：， 则平行直线与间的距离为. 故选：A. 10. 已知双曲线E 的右焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与双曲线 E的一条渐近线交于A，B两点，若，则双曲线 E的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离、圆的弦长公式及勾股定理建立关系求得，即可求出离心率. 【详解】令点，双曲线E 的渐近线方程为， 由对称性不妨取直线，取中点，连接，则， ，而， 由，得，在中，， 则，解得， 所以双曲线 E的离心率. 故选：A 二、填空题： 本题共 5 小题， 每小题 4 分， 共 20 分 11. 以坐标原点为顶点，为焦点的抛物线的标准方程为 ______. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线焦点求出，即可得解. 【详解】因为抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，所以抛物线开口向左， 设抛物线的标准方程为，所以，解得. 所以抛物线方程为. 故答案为： 12. 已知数列的前项和为，且，则________ 【答案】 【解析】 【分析】利用公式求数列的通项得解. 【详解】当时，； 当时，，，两式相减得，不适合， 故. 故答案为： 【点睛】本题主要考查递推公式求通项，考查和的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 13. 若等差数列满足，，则当______时，的前项和最小. 【答案】18 【解析】 【分析】根据等差数列的性质得，，再根据数列和定义即可判断. 【详解】由，所以， 又，所以，所以当时，的前项和最小. 故答案为：18 14. 已知直线与曲线有且只有一个公共点，则实数的取值范围为________ 【答案】或 【解析】 【分析】结合曲线的图像，通过平移直线，即可求解. 【详解】曲线，即，表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分）． 如图，、、， 当直线经过点时，，求得； 当直线经过点、点时，，求得； 当直线和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得，求得，或（舍去）， 故要求的实数的取值范围为或. 故答案为：或. 15. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且满足，设弦的中点M到y轴的距离为d，则的最小值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】设,利用余弦定理表示出，利用抛物线定义结合梯形中位线性质表示出，从而可得的表达式，进而利用基本不等式化简，可求得答案. 【详解】由抛物线可得准线方程为， 设，由余弦定理可得, 由抛物线定义可得P到准线的距离等于 ，Q到准线的距离等于， M为的中点，由梯形的中位线定理可得M到准线的距离为， 则弦的中点M到y轴的距离， 故， 又， 则，当且仅当时，等号成立， 所以 的最小值为1， 故答案为：1 【点睛】关键点点睛：本题综合性较强，涉及到余弦定理和抛物线定义以及基本不等式等，解答的关键是利用抛物线的定义表示出弦 的中点M到y轴的距离，结合余弦定理表示出的表达式，进而转化为利用基本不等式求最值问题. 三、解答题： 本题共 5 小题， 共 50 分 16. 在公差不为零的等差数列中，，且为和的等比中项，求： （1）数列的通项公式； （2）数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等比数列性质得，然后结合，求得数列的首项、公差，从而求出通项公式； （2）利用等差数列前n项和公式直接求解即可． 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由为和的等比中项，则， 又， 则，解得，或(舍去)， 所以. 【小问2详解】 根据等差数列前n项和公式得. 17. 已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点的距离减去它到y轴距离的差都是1． (1)求曲线C的方程； (2)过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，，求直线l的方程． 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】(1)根据条件有化简得答案. (2)有抛物线过交点的弦长公式有，然后设出直线方程与抛物线方程联立求出代入，可计算出，得到直线方程. 【详解】(1)设点是曲线C上任意一点， 那么点满足：． 化简得曲线C的方程为． (2)由题意得，直线的方程为， 设，． 由得． 因为，故， 所以． 由题设知，解得或． 因此直线的方程为或． 【点睛】本题主要考查曲线与方程、直线与抛物线的位置关系，属于中档题. 18. 已知数列满足，且． （1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和为. 【答案】（1） 数列是等差数列，且公差，其首项为： ，解得： （2） 【解析】 【分析】（1）利用递推关系式可整理出，从而证得为等差数列；根据等差数列通项公式求解出，进而得到；（2）由（1）可得，利用裂项相消法求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得： 【点睛】本题考查利用递推关系式求解数列通项公式、裂项相消法求数列的前项和的问题，其中涉及到利用定义式证明数列为等差数列，属于常规题型. 19. 如图，在三棱柱中，平面， （1）求证：平面； （2）若，求 ①与平面所成角的正弦值； ②直线与平面的距离. 【答案】（1）证明： 在三棱柱中，四边形为平行四边形. 所以，因为平面，平面，所以平面. （2）①； ②. 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，主要证明即可；（2）建立坐标系，先求出平面的法向量，利用空间向量解决. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为平面，平面，所以，，又，所以两两互相垂直.如图建立空间直角坐标系，则，所以，，，设平面的法向量为，则 ，即 令，则，，于是. ①设直线与平面所成的角为，则 . 所以与平面所成角的正弦值为. ②因为面，所以直线与平面的距离就是点到平面的距离 设A到面的距离为，则 20. 设，是椭圆上的两点，已知向量，，若且椭圆的离心率，短轴长为2，为坐标原点． （1）求椭圆的方程； （2）试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）； （2）△AOB的面积为定值1，证明如下： ①如下图，当直线斜率不存在时，即，由 得 又在椭圆上， 所以 ，所以三角形的面积为定值. ②如下图，当直线斜率存在时：设的方程为 必须即 得到， ∵，∴ 代入整理得：，， ， 所以的面积为定值. 【解析】 【分析】（1）由已知直接确定值即可； （2）分斜率存不存在两种情况，求出面积或面积表达式即可证明. 【详解】（1）∵由题意知，， 则， ∴椭圆的方程为； (2)△AOB的面积为定值1，证明略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $