第一讲 圆柱与圆锥（单元讲义）-2024-2025学年六年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（北师大版）学生版+教师版

2024-2025学年六年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（北师大版） 第一讲 圆柱与圆锥 （导图+知识精讲+易错点拨+12大考点讲练+易错压轴练+难度分层练） 目录 栏目一 课前指导 讲义介绍 2 栏目二 思维导图 一目了然 3 栏目三 知识精讲 梳理脉络 3 知识点01：面的旋转、圆柱和圆锥的特征 3 知识点02：圆柱的表面积 4 知识点03：圆柱的体积 4 知识点04：圆锥的体积 5 栏目四 易错点拨 查漏补缺 5 易错知识点01：圆柱的基本特征 5 易错知识点02：圆柱的侧面积 5 易错知识点03：圆柱的表面积 5 易错知识点04：圆柱的体积 6 易错知识点05：圆锥的基本特征 6 易错知识点06：圆锥的体积 6 易错知识点07：圆锥的高的测量 6 易错知识点08： 圆柱与圆锥的关系 6 易错知识点09：实际问题的求解 6 栏目五 考点讲练 明确目标 7 考点一：圆柱的认识及特征 7 考点二：圆锥的认识及特征 7 考点三：点、线、面、体之间的联系 8 考点四：圆柱的展开图 9 考点五：圆柱的侧面积 10 考点六：圆柱的表面积 10 考点七：圆柱的体积 11 考点八：圆柱的容积 13 考点九：立体图形的切拼（圆柱） 14 考点十：圆锥的体积（容积） 15 考点十一：圆柱与圆锥体积的关系 17 考点十二：体积的等积变形（（圆柱、圆锥） 19 栏目六 易错真题 培优必刷 7 栏目七 压轴专练 冲刺拔尖 20 栏目八 培优巩固 拔尖冲刺 39 培优巩固优选题专练 39 拔尖冲刺优选题专练 42 同学你好！恭喜你进入新的学期，开启新的章程！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于预习，复习，培优，拔尖使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点01：面的旋转、圆柱和圆锥的特征 1. 点的运动形成线，线的运动形成面，面的运动形成体，这就是“点、线、面、体”之间的关系，这个关系可以简记为“点动成线，线动成面，面动成体”。 2.圆柱是由2个大小相同的圆面和1个曲面围成的，圆柱上下粗细均匀。圆锥是由1个圆面和1个曲面围成的。 3.圆柱的特征：（1）圆柱有两个底面和一个侧面；（2）两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面；（3）圆柱有无数条高，所有的高都相等。 圆锥的特征：（1）圆锥有一个底面和一个侧面；（1）圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面；（3）圆锥只有一条高。 4. 圆柱和圆锥的切面： （1）把圆柱平行于底面横切，切面是大小相同的圆；沿底面直径纵切，切面是大小相同的长方形。（2）把圆锥横切，每个切面是圆，但大小不同；沿底面直径纵切，切面是大小相同的等腰三角形。 知识点02：圆柱的表面积 1.如果用S表表示圆柱的表面积，S侧 表示圆柱的侧面积，S底 表示圆柱的底面积，d表示底面的直径，r表示底面的半径，h表示圆柱的高，那么圆柱的表面积的计算公式可以表示为 S表=S侧+2S底 或S表=πdh+2π（d÷2）2或S表=2πrh+2πr2 2. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的只有一个底面，有的没有底面，解题时要根据实际情况选择合适的解题方法。 3. 用同一张长方形纸片可以围成底面积不同的两个圆柱。用宽作为圆柱的底面周长，所围成的圆柱的底面积小；用长作为圆柱的底面周长，所围成的圆柱的底面积大。 4. 横截圆柱后求表面积时，侧面积不变，底面积会发生变化，变化的规律是每截一次增加两个底面，截的次数比截成的段数少1。 知识点03：圆柱的体积 1. 圆柱的体积=底面积×高，用字母表示是V=Sh。 2. 计算一个圆柱的体积时，如果已知这个圆柱的高和底面半径或底面直径或底面周长，要先求出底面积，再求体积，也可以列综合算式计算。 （1）已知圆柱的底面积S和高h，求圆柱体积的计算方法：V=Sh。 （2）已知圆柱的底面半径r和高h，求圆柱体积的计算方法：V=πr2h （3）已知圆柱的底面直径d和高h，求圆柱体积的计算方法：V=π（d÷2）2h （4）已知圆柱的底面周长C和高h，求圆柱体积的计算方法：V=π（C÷π÷2）2h 3. 物体完全浸没在水中，物体的体积等于升高的那部分水的体积。 应用等量代换法可以将不规则物体的体积计算转化为圆柱的体积计算。 利用体积不变的特性，应用转化的思想方法，把不规则的图形转化为规则的图形来计算，能帮助我们解决许多生活中的复杂问题。 知识点04：圆锥的体积 1.圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的。。 2.圆锥体积的计算方法： （1）已知底面半径r和高h，求圆锥体积的方法：V=πr2h； （2）已知底面直径d和高h，求圆锥体积的方法：V=π（d÷2）2h； （3）已知底面周长C和高h，求圆锥体积的方法：V=π（C÷x÷2）2h 3. 圆柱和圆锥的体积与高分别相等，则它们的底面积之间的关系是Sm推=3Sm壮；圆柱和圆锥的体积与底面积分别相等，则它们的高之间的关系是h锥=3h柱 圆柱的易错知识点 易错知识点01：圆柱的基本特征 易错点：混淆圆柱的底面与侧面。需明确圆柱有两个底面，是两个大小相同的圆；侧面是一个曲面。 圆柱的高：两个底面间的距离叫做圆柱的高，圆柱有无数条高且长度相等。 易错知识点02：圆柱的侧面积 公式：S侧=Ch或S侧=πdh或S侧=2πrh（C为底面周长，d为底面直径，r为底面半径，h为高）。 易错点：计算时不注意单位统一，或错误地使用底面直径或半径计算侧面积。 易错知识点03：圆柱的表面积 公式：S表=S侧+2S底=2πrh+2πr²（S侧为侧面积，S底为底面积）。 易错点：忽视圆柱体的实际应用情况，如计算无盖水桶的表面积时，只计算一个底面和侧面的面积之和。 易错知识点04：圆柱的体积 公式：V=Sh或V=πr²h（S为底面积，h为高）。 易错点：在计算过程中，容易混淆底面积和高，导致计算结果错误。 圆锥的易错知识点 易错知识点05：圆锥的基本特征 易错点：混淆圆锥的底面与侧面，以及圆锥的高。需明确圆锥有一个底面，是一个圆；侧面是一个曲面；圆锥的高是从顶点到底面圆心的距离，圆锥只有一条高。 易错知识点06：圆锥的体积 公式：V=(1/3)Sh或V=(1/3)πr²h（S为底面积，h为高）。 易错点：在计算圆锥体积时，容易忘记乘以(1/3)，导致计算结果错误。 易错知识点07：圆锥的高的测量 方法：把圆锥放在水平面上，在圆锥的顶点上放一个平面的东西（如木板），并与底面平行，测量这两个平面间的距离，即为圆锥的高。 易错点：测量时不注意保持圆锥和水平面的稳定，导致测量结果不准确。 综合应用中的易错点 易错知识点08： 圆柱与圆锥的关系 易错点：只有在等底等高的条件下，圆柱的体积才是圆锥体积的3倍，圆锥的体积才是圆柱体积的(1/3)。忽视这一条件，容易导致错误判断。 易错知识点09：实际问题的求解 易错点：在解决实际问题时，容易忽视题目中的实际情况，如计算圆柱形物体的表面积时，需要根据物体的具体形状（如是否有盖、是否空心等）来确定计算哪些面的面积。 考点一：圆柱的认识及特征 【精讲题】（23-24六年级下·安徽亳州·期中）一个长方形绕其一条边旋转一周，可以得到一个（    ）。 A．长方体 B．圆柱体 C．圆锥体 【答案】B 【思路点拨】我们知道，点运动构成线，线运动构成面，而面运动构成体，以长方形或正方形的一边为轴，旋转一周，长方形或正方形的另外两个顶点绕轴旋转构成两个等圆，这两个圆面是圆柱的两个底，与轴平行的一边构成一个曲面，这就是圆柱的侧面，长方形或正方形这个面就构成圆柱，据此判断。 【规范解答】一个长方形绕其一条边旋转一周，可以得到一个圆柱体。 故答案为：B 【精练题01】（23-24六年级下·浙江金华·期末）给左边四个图形分类。甲同学把①②分为一类。③④分为一类。这样分类的理由是( )；乙同学把①②③分为一类，④为一类。这样分类的理由是( )。 【答案】 按底面是四边形和圆形分类（答案不唯一） 按柱体和锥体分类（答案不唯一） 【思路点拨】根据图形的特性进行分析，①②的底面都是四边形，而③④的底面都是圆形；①②③都是柱体，④是锥体。 【规范解答】据分析可知，甲同学把①②分为一类。③④分为一类。这样分类的理由是按底面是四边形和圆形分类；乙同学把①②③分为一类，④为一类。这样分类的理由是按柱体和锥体分类。（答案不唯一） 考点二：圆锥的认识及特征 【精讲题】（23-24六年级下·山西晋城·期末）一个直角三角形，两条直角边的长分别为6厘米和8厘米，如果以较长的直角边所在的直线为轴旋转一周，那么可以得到一个( )，得到的图形的底面积是( )平方厘米。 【答案】 圆锥 113.04 【思路点拨】根据圆锥的特征可知，以较长的直角边所在的直线为轴旋转一周，那么可以得到一个圆锥，直角三角形的长直角边是圆锥的高，短直角边是圆锥的底面半径，根据圆的面积公式，代入数据可得解。 【规范解答】 （平方厘米） 可以得到一个圆锥，得到的图形的底面积是113.04平方厘米。 【精练题01】（23-24六年级下·陕西咸阳·期中）将一个高3cm的圆锥沿高切开，表面积增加了12cm2，这个圆锥的半径是4cm。( ) 【答案】× 【思路点拨】根据圆锥切开的方式可知，截面是等腰三角形，底边是圆锥底面的直径，高是圆锥的高，增加的表面积是该截面面积的2倍，再结合解答即可。 【规范解答】截面的底边： 12÷2×2÷3 ＝6×2÷3 ＝12÷3 ＝4（cm） 因为截面的底边是圆锥底面的直径，所以圆锥底面的直径是4cm，半径是2cm，则题干说法错误。 故答案为：× 考点三：点、线、面、体之间的联系 【精讲题】（22-23六年级下·辽宁大连·期末）下面的立体图形，不能通过平面图形旋转而得到的是（    ）。 A．球 B．正方体 C．圆锥 D．圆台 【答案】B 【思路点拨】绕半圆的半径旋转一周得到球；绕直角三角形的一条直角边旋转一周得到圆锥，绕直角梯形的一条直角边旋转一周得到圆台，正方体无法旋转得到，据此解答即可。 【规范解答】由分析可知：正方体不能通过平面图形旋转得到。 故答案为：B。 【精练题01】（23-24六年级下·陕西西安·期中）如图，转动长方形ABCD得到圆柱I和Ⅱ。 (1)圆柱I是以( )边所在直线为轴旋转而成的，高是( )厘米； (2)圆柱Ⅱ的底面积是( )平方厘米。 【答案】(1) BC/AD 2 (2)12.56 【思路点拨】（1）根据面动成体，圆柱I是以长方形的宽为轴旋转而成的。高就是长方形的宽。 （2）圆柱Ⅱ是以长方形的长为轴旋转的，底面是以长方形的宽为半径的圆。即底面积＝。 【规范解答】（1）圆柱I是以BC（AD）边所在直线为轴旋转而成的，高是2厘米。 （2）3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 则圆柱Ⅱ的底面积是12.56平方厘米。 考点四：圆柱的展开图 【精讲题】（23-24六年级下·辽宁大连·期末）一个底面半径为6cm、高为10cm的圆柱，将它的侧面沿虚线剪开（如图），得到的平行四边形的面积是（    ）cm2。 A．60π B．120π C．360π D．无法确定 【答案】B 【思路点拨】平行四边形的面积就是圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式，代入数据计算即可。 【规范解答】2×π×6×10 ＝12π×10 ＝120π（cm2） 这个平行四边形的面积是（120π）cm2。 故答案为：B 【精练题01】（23-24六年级下·河南驻马店·期末）一个圆柱的侧面展开后是边长为18.84厘米的正方形，这个圆柱的高是( )厘米，底面半径是( )厘米。 【答案】 18.84 3 【思路点拨】圆柱侧面沿高展开是正方形，说明圆柱的底面周长＝高，且圆柱的底面周长和高都等于正方形边长，底面半径＝底面周长÷圆周率÷2。 【规范解答】18.84÷3.14÷2＝3（厘米） 这个圆柱的高是18.84厘米，底面半径是3厘米。 考点五：圆柱的侧面积 【精讲题】（23-24六年级下·辽宁辽阳·期末）一个圆柱的底面半径是6cm，它的高是6cm，这个圆柱的侧面积是( )cm2。 【答案】226.08 【思路点拨】根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，底面周长＝2r，代入数据解答即可。 【规范解答】2×3.14×6×6 ＝2×18.84×6 ＝37.68×6 ＝226.08（cm2） 所以这个圆柱的侧面积是226.08cm2。 【精练题01】（23-24六年级下·辽宁锦州·期末）一个圆柱，如果它的高截去3厘米，表面积就减少94.2平方厘米，它的底面半径是( )厘米。 【答案】5 【思路点拨】当把圆柱的高截短时，减少的表面积其实就是截去部分圆柱的侧面积。通过底面周长＝圆柱侧面积÷高，可以求出底面周长，再根据半径＝周长÷圆周率÷2，可以求出底面半径，据此解答。 【规范解答】94.2÷3＝31.4（厘米） 31.4÷3.14÷2＝5（厘米） 即它的底面半径是5厘米。 考点六：圆柱的表面积 【精讲题】（2024六年级下·河南驻马店·学业考试）一个圆柱体，如果沿直径劈成两个半圆柱体，表面积将增加180平方厘米，如果截成两个小圆柱体，表面积增加56.52平方厘米，那么原圆柱体的表面积是( )平方厘米。 【答案】339.12 【思路点拨】沿着直径劈成两个半圆柱体，则增加两个长为圆柱的高，宽为底面直径的长方形的面积；用增加的面积÷2，求出一个截面的面积，一个面的面积＝底面直径×高；根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高；底面周长＝π×直径；由此可知，用一个截面的面积×π，即可求出圆柱的侧面积；沿横截面截成两段后，会增加2个面的面积，也就等于圆柱的2个底面积；根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面积×2＋侧面积，据此解答。 【规范解答】180÷2×3.14＋56.52 ＝90×3.14＋56.52 ＝282.6＋56.52 ＝339.12（平方厘米） 原圆柱的表面积是339.12平方厘米。 【精练题01】（23-24六年级下·河南驻马店·期末）一个圆柱形水池，底面周长是25.12米，深2.5米，要在它的底面和四周抹上水泥，如果每平方米用水泥8千克，共需水泥多少千克？ 【答案】904.32千克 【思路点拨】根据圆周长公式：C＝2πr求出底面半径，通过观察可知，水池抹水泥的面积相当于圆柱的一个侧面积加上一个底面积，也就是无盖的圆柱表面积，根据无盖圆柱的表面积公式：S＝πr2＋Ch，代入数据即可求出水池抹水泥的面积。再乘8即可求出水泥的质量。 【规范解答】3.14×（25.12÷3.14÷2）2＋25.12×2.5 ＝3.14×42＋25.12×2.5 ＝3.14×16＋25.12×2.5 ＝50.24＋62.8 ＝113.04（平方米） 113.04×8＝904.32（千克） 答：共需水泥904.32千克。 考点七：圆柱的体积 【精讲题】（2024六年级下·河南驻马店·学业考试）将一个圆柱体剪切拼成一个近似的长方体后，它的表面积比原来增加了16cm2，已知圆柱的半径是2cm，那么圆柱的体积是（    ）cm3。 A．25.12 B．50.24 C．62.8 D．78.5 【答案】B 【思路点拨】将一个圆柱切拼成一个近似的长方体后，表面积比原来增加了两个长方形的面积，这两个长方形的长等于圆柱的高，宽等于圆柱的底面半径；用增加的表面积除以2再除以圆柱的底面半径，计算出圆柱的高；根据圆柱的体积＝底面积×高，代入相应数值计算，即可计算出圆柱的体积。 【规范解答】圆柱的高：16÷2÷2＝4（cm） 3.14×22×4 ＝3.14×4×4 ＝3.14×16 ＝50.24（cm3） 因此圆柱的体积是50.24cm3。 故答案为：B 【精练题01】（23-24六年级下·河南商丘·期末）一个高1分米的圆柱，如果高增加1厘米，它的表面积就增加了12.56平方厘米，原来这个圆柱的体积是( )立方厘米。 【答案】125.6 【思路点拨】根据题意，一个圆柱的高增加1厘米，底面积不变，那么增加的表面积等于高为1厘米的圆柱的侧面积；根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，底面周长＝侧面积÷高，代入数据，求出底面周长；再根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝底面周长÷π÷2，代入数据，求出底面半径；再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出高1分米的圆柱的体积，注意单位名数的统一。 【规范解答】12.56÷1÷3.14÷2 ＝12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 1分米＝10厘米 3.14×22×10 ＝3.14×4×10 ＝12.56×10 ＝125.6（立方厘米） 一个高1分米的圆柱，如果高增加1厘米，它的表面积就增加了12.56平方厘米，原来这个圆柱的体积是125.6立方厘米。 考点八：圆柱的容积 【精讲题】（23-24六年级下·山西晋城·期末）一个斜着放置的圆柱体容器（如图）最多可以容纳60mL的水，涂色部分表示已有的水，如果将容器放正后加满水，还要加水（    ）。 A．杯 B．杯 C．30mL D．20mL 【答案】B 【思路点拨】 将一整杯水看作单位“1”，如图，将水分成上下两部分，下半部分是杯，上半部分是杯的，将两部分相加是现在水的杯数，1－现在水的杯数＝还要加的杯数；用60mL×还要加的杯数即可求出还要加的体积。 【规范解答】＋× ＝＋ ＝＋ ＝（杯） 1－＝（杯） 60×＝25（mL） 如果将容器放正后加满水，还要加水杯或25mL。 故答案为：B 【精练题01】（23-24六年级下·广东茂名·期末）一个蓄水桶，从里面量，底面半径是5分米，深是10分米。 （1）这个蓄水桶最多可以装水多少升？ （2）做一个这样的无盖蓄水桶，需要铁皮多少平方米？ 【答案】（1）785升 （2）392.5平方分米 【思路点拨】（1）根据圆柱的容积公式：容积＝底面积×高，代入数据，求出蓄水桶的容积，注意单位名数的换算； （2）求需要铁皮的面积，就是求这个圆柱形蓄水桶的表面积，因为是无盖，需要铁皮的面积＝圆柱的表面积＝底面积＋侧面积；代入数据，即可解答。 【规范解答】（1）3.14×52×10 ＝3.14×25×10 ＝78.5×10 ＝785（立方分米） 785立方分米＝785升 答：这个蓄水桶最多可以装水785升。 （2）3.14×52＋3.14×5×2×10 ＝3.14×25＋15.7×2×10 ＝78.5＋31.4×10 ＝78.5＋314 ＝392.5（平方分米） 答：做一个这样无盖蓄水桶，需要铁皮392.5平方分米。 考点九：立体图形的切拼（圆柱） 【精讲题】（23-24六年级下·安徽亳州·期中）把高15厘米的圆柱平行于底面切成两段，表面积增加了40平方厘米，原来圆柱体的体积是( )立方厘米。 【答案】300 【思路点拨】圆柱平行于底面切成两段，表面积会增加两个底面的面积，用增加的总面积除以2即可求出一个底面积，用底面积乘圆柱的高即可求出圆柱的体积。 【规范解答】40÷2＝20（平方厘米） 20×15＝300（立方厘米） 则原来圆柱体的体积是300立方厘米。 【精练题01】（23-24六年级下·广东惠州·期末）把一个棱长是4分米的正方体削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是( )立方分米，削去部分的体积是( )立方分米。 【答案】 50.24 13.76 【思路点拨】（1）把一个棱长是4分米的正方体削成一个最大的圆柱，这个圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱长4分米。圆柱体积：先求出圆柱底面半径，半径＝直径÷2＝4÷2＝2分米，根据圆柱体积公式：圆柱体积＝底面积×高，底面积＝3.14×半径2，据此解答。 （2）削去部分体积：用正方体体积－圆柱体积，。据此解答。 【规范解答】（1）圆柱体积： 底面半径＝4÷2＝2（分米） 底面积＝3.14×22＝12.56（平方分米） 圆柱体积＝12.56×4＝50.24（立方分米） 这个圆柱的体积是50.24立方分米。 （2）削去部分的体积： 正方体体积＝4×4×4＝64（立方分米） 削去部分体积＝64－50.24＝13.76（立方分米） 削去部分的体积是13.76立方分米。 考点十：圆锥的体积（容积） 【精讲题】（23-24六年级下·河南驻马店·期末）将下图中的直角三角形ABC以直角边AB所在的直线为轴旋转一周，所得立体图形的体积是( )立方厘米。 【答案】25.12 【思路点拨】以6厘米的直角边为轴，旋转一周后得到的立体图形是个圆锥，圆锥的底面半径是2厘米，高是6厘米，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，列式计算即可。 【规范解答】3.14×22×6× ＝3.14×4×6× ＝25.12（立方厘米） 所得立体图形的体积是25.12立方厘米。 【精练题01】（23-24六年级下·河南商丘·期末）把三角形ABC（如图）沿着边AB和BC分别旋转一周，得到两个圆锥，谁的体积大？大多少立方厘米？ 【答案】以BC边旋转得到的圆锥的体积大；大169.56立方厘米 【思路点拨】沿着边AB旋转一周，得到的是底面半径是6厘米，高是9厘米的圆锥； 沿着边BC旋转一周，得到的是底面半径是9厘米，高是6厘米的圆锥，根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×；代入数据，求出两个圆锥的体积，再进行比较；再用大体积的圆锥－小体积的圆锥，进而解答。 【规范解答】以AB边旋转：圆锥的底面半径6厘米，高是9厘米； 体积：3.14×62×9× ＝3.14×36×9× ＝113.04×9× ＝1017.36× ＝339.12（立方厘米） 以BC边旋转：圆锥的底面半径是9厘米，高是6厘米。 体积：3.14×92×6× ＝3.14×81×6× ＝254.34×6× ＝1526.04× ＝508.68（立方厘米） 508.68＞339.12，以BC边旋转得到的圆锥的体积大； 508.68－339.12＝169.56（立方厘米） 答：以BC边旋转得到的圆锥的体积大，大169.56立方厘米。 考点十一：圆柱与圆锥体积的关系 【精讲题】（23-24六年级下·浙江金华·期末）如图，长方形ABCD的长是4厘米。宽是3厘米，对角线AC把长方形分成阴影和空白两个三角形。以AB所在的直线为轴，把长方形旋转一周，空白三角形扫过的空间大小和阴影三角形扫过的空间的大小比是多少？ 【答案】1∶2 【思路点拨】根据题意可知，长方形扫过的空间是一个底面半径是4厘米，高是3厘米的圆柱；空白三角形出扫过的空间是一个底面半径是4厘米，高是3厘米的圆锥，由此可知，圆柱与圆锥的等底等高；圆柱的体积是圆锥体积的3倍；阴影三角形扫过的体积等于圆柱的体积－圆锥的体积；可以将圆锥的体积看做1，那么圆柱的体积就是3，那么阴影扫过的空间的大小就是3－1＝2，据此求出空白三角形扫过的空间大小和阴影三角形扫过的空间的大小的比。 【规范解答】长方形扫过的空间是一个圆柱体；空白三角形扫过的空间是一个圆锥体；它们是等底等高； 设圆锥的体积是1； 则圆柱的体积是：1×3＝3； 阴影三角形扫过的体积是：3－1＝2； 三角形扫过的空间大小和阴影三角形扫过的空间的大小比是＝1∶2。 答：三角形扫过的空间大小和阴影三角形扫过的空间的大小比是1∶2。 【精练题01】（23-24六年级下·山西吕梁·期末）如图，一个圆柱形的玻璃容器，底面直径是12厘米，里面装满水，把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水。在里面放入等底等高的圆柱和圆锥（水完全浸没），已知它们的高均为6厘米，这时水面升高了0.5厘米。 （1）圆柱形容器的高是多少厘米？ （2）放到水里的圆柱和圆锥的体积分别是多少立方厘米？它们的底面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）10厘米 （2）圆柱的体积：42.39立方厘米；圆锥的体积：14.13立方厘米；7.065平方厘米 【思路点拨】（1）把圆柱形容器的体积看作单位“1”，已知把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水，则剩下的水占容器里的（1－60%），用剩下的水除以剩下的水占总体积的分率，即可求出圆柱形容器的体积，再根据圆柱的高＝V圆柱÷r2÷π，代入数据解答即可； （2）看图可知，水面上升的体积就是圆柱和圆锥的体积之和，圆柱容器的底面积×水面上升的高度＝圆柱和圆柱的体积之和，再等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍。以体积之和为单位“1”，圆柱的体积占体积之和的。根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用圆柱和圆锥的体积之和乘，即可求出圆柱的体积，再用体积之和减去圆柱的体积，即可求出圆锥的体积；最后根据圆柱的底面积＝V圆柱÷h，代入数据求出圆柱和圆锥的底面积。 【规范解答】（1）452.16毫升＝452.16立方厘米 452.16÷（1－60%） ＝452.16÷40% ＝1130.4（立方厘米） 1130.4÷（12÷2）2÷3.14 ＝1130.4÷62÷3.14 ＝1130.4÷36÷3.14 ＝31.4÷3.14 ＝10（厘米） 答：圆柱形容器的高是10厘米。 （2）（12÷2）2×0.5×3.14 ＝62×0.5×3.14 ＝36×0.5×3.14 ＝18×3.14 ＝56.52（立方厘米） 56.52×＝42.39（立方厘米） 56.52－42.39＝14.13（立方厘米） 42.39÷6＝7.065（平方厘米） 答：放到水里的圆柱的体积是42.39立方厘米，圆锥的体积是14.13立方厘米，它们的底面积是7.065平方厘米。 考点十二：体积的等积变形（（圆柱、圆锥） 【精讲题】（23-24六年级下·广东湛江·期末）手工课上，湛湛用一块75.36立方厘米的圆柱形橡皮泥，捏成一个高是9厘米的圆锥，它的体积是( )立方厘米，底面积是( )平方厘米。 【答案】 75.36 25.12 【思路点拨】将圆柱形橡皮泥捏成圆锥形状，橡皮泥的大小不变，那么这个圆锥的体积也是75.36立方厘米。圆锥体积＝底面积×高÷3，那么圆锥底面积＝圆锥体积×3÷高，将数据代入求出这个圆锥的底面积即可。 【规范解答】75.36×3÷9 ＝226.08÷9 ＝25.12（平方厘米） 所以，它的体积是75.36立方厘米，底面积是25.12平方厘米。 【精练题01】（23-24六年级下·陕西宝鸡·期末）一个底面半径是3厘米的圆锥，高为20厘米，将这个圆锥铁块熔铸成一个宽5厘米、高4厘米的长方体，长方体的长是多少厘米？ 【答案】9.42厘米 【思路点拨】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥的体积，圆锥铁块熔铸成长方体，体积不变，用圆锥的体积除以长方体的宽，再除以长方体的高，即可求出长方体的长。 【规范解答】3.14×32×20×÷5÷4 ＝3.14×9×20×÷5÷4 ＝28.26×20×÷5÷4 ＝565.2×÷5÷4 ＝188.4÷5÷4 ＝37.68÷4 ＝9.42（厘米） 答：长方体的长是9.42厘米。 1．（2024•大观区）一个长方形的长是，宽是。如图所示，以长为轴旋转一周形成圆柱甲，以宽为轴旋转一周形成圆柱乙，下面说法正确的是　　 A．圆柱甲的底面积比圆柱乙的底面积大 B．圆柱甲的底面积和圆柱乙的底面积相等 C．圆柱甲的表面积和圆柱乙的表面积相等 D．圆柱甲的体积比圆柱乙的体积小 【思路点拨】利用圆柱的侧面积底面圆的周长高，圆柱的表面积上下底面面积侧面积，圆柱的体积底面积高分别进行计算即可。 【规范解答】解：圆柱甲的底面积， 圆柱甲的侧面积， 圆柱甲的表面积， 圆柱甲的体积； 圆柱乙的底面积， 圆柱乙的侧面积， 圆柱乙的表面积， 圆柱乙的体积， 故选：。 【考点评析】本题考查的是圆柱的侧面积，表面积和体积的应用。解决这类问题的关键是熟练记忆公式，并能灵活运算。 2．（2024•乾安县）如图，把一个体积是的圆柱形木块，削成两个顶点相连的完全相同的圆锥形木块，形成“沙漏”状，则每个圆锥的体积是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】通过观察图形可知，每个圆锥的底面积与圆柱的底面积相等，每个圆锥的高是圆柱高的一半，等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以每个圆锥的体积是圆柱体积一半的。据此解答。 【规范解答】解： （立方分米） 答：每个圆锥的体积是12立方分米。 故选：。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。 3．（2024•潍坊）如图，将圆柱形容器中的水倒入圆锥形容器中，　　正好倒满。（单位： A． B． C． 【思路点拨】根据圆柱体积底面积高，圆锥体积底面积高，分别计算出水的体积和各选项圆锥形容器的容积即可。 【规范解答】解： ． ． ． 将圆柱形容器中的水倒入圆锥形容器中，选项的圆锥形容器正好倒满。 故选：。 【考点评析】本题考查的是圆柱、圆锥的体积公式的应用。 4．（2024•麻城市）一个圆柱和一个圆锥的体积和底面积都相等，圆柱的高是30厘米，圆锥的高是 　90　厘米。 【思路点拨】等底等高的圆锥是圆柱体积的，因此，圆锥与圆柱的体积和底面积相等时，圆锥的高就是圆柱高的3倍，据此解答。 【规范解答】解：（厘米） 答：圆锥的高是90厘米。 故答案为：90。 【考点评析】本题考查的是圆柱、圆锥的体积公式的应用。 5．（2024•尧都区）如图：把一个底面直径10厘米，高12厘米的圆柱等切成若干份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了 　120　平方厘米，该圆柱的体积是 　　立方厘米。 【思路点拨】依据题意可知，这个长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了2个长是圆柱的高，宽是圆柱的底面半径的长方形的面积，利用圆柱的体积底面半径底面半径高，结合题中数据计算即可。 【规范解答】解：（厘米） （平方厘米） （立方厘米） 答：这个长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了120平方厘米，该圆柱的体积是942立方厘米。 故答案为：120，942。 【考点评析】本题考查的是圆柱的体积公式的应用。 6．（2024•沈河区）两个底面都是圆形，且侧面是一个曲面的立体图形，一定是圆柱。 　　（判断对错） 【思路点拨】从圆柱的定义入手进行分析：两个底面都是圆形，侧面是一个曲面的立体图形，不一定都是圆柱，圆柱上下两个底面面积相等，否则就不是圆柱。 【规范解答】解：根据圆柱的定义：圆柱是由两个大小相等、相互平行的圆形（底面）以及连接两个底面的一个曲面（侧面）围成的几何体。可知原题没有强调上下两个底面相等，说法不严密，所以错误。 故答案为：。 【考点评析】本题考查了圆柱的特征的掌握能力。解题关键是牢记圆柱上下底面是大小相等的两个圆。 7．（2024•定州市）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的高与底面直径的比值等于．　　（判断对错） 【思路点拨】因为“圆柱的侧面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高”并结合题意可得：圆柱的底面周长等于圆柱的高，设圆柱的底面直径是，根据“圆的周长”求出圆柱的底面周长，进而根据题意求解即可． 【规范解答】解：设圆柱的底面直径为，则： ． 答：这个圆柱的高与底面直径的比值等于． 故答案为：． 【考点评析】解答此题应明确：圆柱的侧面展开后是一个正方形，即圆柱的底面周长等于圆柱的高，进而解答即可． 8．（2014春•象山县月考）按要求计算． （1）如图1，求表面积．（单位：厘米） （2）如图2，求体积．（单位：分米） 【思路点拨】（1）圆柱的表面积侧面积两个底面积，侧面积底面周长高，底面积半径半径． （2）圆锥的体积，据此代入数据即可解答． 【规范解答】解：（1） （平方厘米） 答：表面积是628平方厘米． （2） （立方分米） 答：圆锥的体积是314立方分米． 【考点评析】本题直接用圆柱的表面积公式和圆锥的体积公式计算． 9．（2024•鲅鱼圈区）一个圆柱形木块，如果沿直径切成4块（如图，表面积会增加96平方厘米；如果切成3个圆柱（如图，表面积会增加113.04平方厘米。 （1）这个圆柱形木块的底面半径是多少？ （2）这个圆柱形木块的高是多少？ （3）若要把这个圆柱形木块削成一个最大的圆锥（如图，那么削去部分的体积是多少？ 【思路点拨】依据题意可知，圆柱形木块，如果沿直径切成4块，增加的面积等于4个长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径的长方形的面积；切成3个圆柱，增加的面积等于4个底面圆的面积， （1）利用圆的面积半径半径，结合题中数据计算即可； （2）依据（1）结合分析去计算； （3）削去部分的体积圆柱的体积，由此解答本题。 【规范解答】解：（1）（平方厘米），则半径是3厘米。 答：底面半径是3厘米。 （2）底面直径：（厘米） （厘米） 答：这个圆柱形木块的高是4厘米。 （3） （立方厘米） 答：削去部分的体积是75.36立方厘米。 【考点评析】本题考查的是圆柱的体积公式的应用。 10．（2024•定远县）2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号运载火箭在卫星发射中心点火发射，发射取得圆满成功。26日航天员叶光富、李聪、李广苏成功入驻空间站。 （1）长征二号运载火箭的总长约58.3米，小强收藏了这一型号的火箭模型（如图，模型的高度与实际高度的比是，这一模型的高度是多少厘米？ （2）整流罩是运载火箭的重要组成部分，外形通常由近似的圆柱和圆锥组成。图2是某型号运载火箭整流罩模型示意图，圆柱的底面直径是2分米，该模型的体积是多少立方分米？ 【思路点拨】（1）依据题意结合比例尺的知识可知，这一模型的高度实际高度比例尺，由此列式计算，注意单位统一； （2）模型的体积圆柱的体积圆锥的体积，利用圆柱的体积底面半径底面半径高，圆锥的体积底面半径底面半径高，结合图中数据计算即可。 【规范解答】解：（1）58.3米厘米 （厘米） 答：这一模型的高度是58.3厘米。 （2）（分米） （立方分米） 答：该模型的体积是15.7立方分米。 【考点评析】本题考查的是圆柱、圆锥的体积公式的应用。 11．（2024•如皋市）青青在学习了圆柱和圆锥的体积知识后，她希望探究下面的问题：两个圆柱同底等高，将它们按照下图分别切割出与圆柱底面相等的圆锥，图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等吗？先判断再想办法说明理由。（可以在图上画一画来帮助说明哦 【思路点拨】依据题意结合图示可得：，，利用圆柱的体积底面半径底面半径高，圆锥的体积底面半径底面半径高，结合题意去解答。 【规范解答】解：图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等。 假设圆柱的底面积为，高为，如图： ，图①中两个圆锥的体积之和，图②中圆锥的体积，所以图①中两个圆锥的体积等于图②中圆锥的体积等于圆柱体积的。 【考点评析】本题考查的是圆柱、圆锥的体积公式的应用。 12．（2024•历下区）已知冰融化成水后，体积会减少，现有一块的冰，经过一段时间后，全部融化成水。 （1）这块冰融化成水后，水的体积是多少立方厘米？ （2）一张长方形铁皮如图所示，把图中阴影部分剪下，刚好做成一个带盖的圆柱形铁桶（接缝忽略不计），底面圆的直径为。现将问题（1）的水全部倒入这个圆柱形铁桶中，请问是否能全部容纳？取 【思路点拨】（1）水的体积冰的体积，由此计算即可； （2）依据题意结合图示可知，圆柱的高是厘米，利用圆柱的体积底面半径底面半径高，结合题中数据计算即可。 【规范解答】解：（1）（立方厘米） 答：水的体积是282.6立方厘米。 （2）（厘米） （厘米） （立方厘米） 答：能全部容纳。 【考点评析】本题考查的是圆柱体积公式的应用。 13．（2024秋•古田县期中）完全相同的水杯，分别往里面注水，水量如图中的涂色部分所示。如果再往每个水杯中分别放人大小样的方糖，完全溶解后，　　杯糖水最甜。 A． B． C． D． 【思路点拨】根据含糖率的意义，含糖率，①号水杯是2块方糖溶解在2份的水中；②号水杯是2块方糖溶解在3份水中；③号水杯是1块方糖溶解在3份水中；④号水杯是3块方糖溶解在4份水中；据此分别求出糖与水的比值，然后进行比较即可。 【规范解答】解：、 、 、 、 所以杯糖水最甜。 故选：。 【考点评析】此题考查的目的是理解含糖率的意义，圆柱容积的意义、比的意义及应用。 14．（2024•潍城区）如图4个杯子中均装有定量的开水（图中阴影部分表示水的体积），如果把3克盐溶解在水中，那么含盐率最高的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据圆柱的体积公式：，正方体的体积公式：，长方体的体积公式：，圆锥的体积公式：，把数据代入公式分别求出4个杯子里各有水的体积，再进行比较，水的体积最小的杯子里含盐率就最高。据此解答。 【规范解答】解：、 （立方厘米） 、 （立方厘米） 、 （立方厘米） 、 （立方厘米） 所以含盐率最高的是圆锥形容器。 故选：。 【考点评析】此题主要考查圆柱的体积公式、正方体的体积公式、长方体的体积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 15．（2024•埇桥区）如图所示，把一个圆柱平均分成若干份，可以拼成一个近似的长方体。长方体的长相当于圆柱的 　底面周长的一半　，长方体的宽相当于圆柱的 　　，　　相当于圆柱的高。我们已经知道：长方体的体积长宽高，长方体的体积公式还可以表示为 　　，由此推导出圆柱的体积公式 　　。 【思路点拨】根据圆柱体积公式的推导过程可知，把一个圆柱切拼成一个近似长方体，拼成的长方体的长等于圆柱底面周长的一半，长方体的宽等于圆柱的底面半径，长方体的高等于圆柱的高，根据长方体的体积公式推导出圆柱的体积公式。 【规范解答】解：把一个圆柱平均分成若干份，可以拼成一个近似的长方体。长方体的长相当于圆柱的底面周长的一半，长方体的宽相当于圆柱的底面半径，长方体的高相当于圆柱的高，长方体的体积长宽高，长方体的体积还可以表示为：，由此推导出圆柱的体积公式：。 故答案为：底面周长的一半，底面半径，长方体的高，，。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握圆柱体积公式的推导方法及应用。 16．（2024•江北区）如图，一个密封容器由等高的圆锥和圆柱组成，圆锥底面半径是3分米，圆柱底面半径是2分米，容器内装有水，若按照图1放置，水深比圆柱的高的一半多2分米，若颠倒这个容器如图2，那么容器中的水刚好装满圆锥部分，这个容器中圆柱部分的高是 　8　分米。取 图1 图2 【思路点拨】根据体积的意义可知，这个密封的容器无论正放还是倒放，容器里水的体积不变。根据圆锥的体积公式：，圆柱的体积公式：，设圆柱、圆锥的高为分米，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：设圆柱、圆锥的高为分米。 答：这个容器圆柱部分的高是8分米。 故答案为：8。 【考点评析】此题主要考查圆锥的体积公式、圆柱的体积公式的灵活运用，以及列方程解决问题的方法及应用，关键是熟记公式。 17．（2024•南宁）小思把一块圆柱形的橡皮泥，切成三块（如图①，表面积增加了50.24平方厘米；切成两块（如图②，表面积增加了48平方厘米，这块橡皮泥的体积是 　75.36　立方厘米。 【思路点拨】通过观察图形可知，把这个圆柱横切成3块，表面积增加了50.24平方厘米，表面积增加4个切面的面积，据此可以一个切面（圆柱的底面）的面积，再根据圆的面积公式：，可以求出圆柱的底面半径；把这个圆柱纵切成两块，表面积增加了48平方厘米，表面积增加两个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面直径，据此可以求出圆柱的高，然后根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：（平方厘米） （厘米） （立方厘米） 答：这块橡皮泥的体积是75.36立方厘米。 故答案为：75.36。 【考点评析】此题主要考查圆的面积公式，长方形的面积公式、圆柱的表面积公式、圆柱的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 18．（2024•未央区）一个圆柱体和一个圆锥体底面积相等，体积的比是，已知圆柱的高是54分米，则圆锥的高是27分米。 　　（判断对错） 【思路点拨】一个圆柱体和一个圆锥体底面积相等，体积的比是，已知圆柱的高是54分米，根据圆柱的体积公式：，圆锥的体积公式：，据此列比例求出圆锥的高，然后与27分米进行比较即可。 【规范解答】解：设圆柱和圆锥的底面积为平方分米，圆锥的高为分米。 所以圆锥的高是27分米。 故答案为：。 【考点评析】此题主要考查圆柱的体积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，列比例解决问题的方法及应用。 19．（2020秋•高新区期中）一个圆锥的底面积增加，高减少，那么体积就不会改变。　　（判断对错） 【思路点拨】根据圆锥的体积公式：，设原来圆锥的底面积为，高为，锥的底面积增加，高减少，则变化后圆锥的体积为：，求出变化的体积与原来的体积进行比较即可。 【规范解答】解：设原来圆锥的底面积为，高为， 原来的体积是： 锥的底面积增加，高减少， 则变化后圆锥的体积为： 因此，一个圆锥的底面积增加，高减少，那么体积就不会改变。这种说法是错误的。 故答案为：。 【考点评析】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 20．（2024春•宛城区期中）一个零件，需要在一个棱长为10厘米的正方体铜块上，用车床铣xí（削去一个如图所示的半圆柱，加工成型后它的体积和表面积分别为多少？取 【思路点拨】通过观察图形可知，加工成型后的体积等于正方体的体积减去半圆柱的体积，成型后的表面积表面积减去半圆柱的两个底面（一个圆）的面积再减去一个长方形的面积，然后加上圆柱侧面积的一半。据此解答即可。 【规范解答】解： （立方厘米） （平方厘米） 答：加工成型后它的体积是858.7立方厘米，表面积是605.94平方厘米。 【考点评析】此题主要考查正方体的体积公式、表面积公式、圆柱的体积公式、表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 21．（2024•东昌府区）如图1，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了有颜色水。其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米。已知水的流速是1.57立方厘米分钟。 （1）圆锥内漏完水需要多少时间？ （2）请你在图2中用阴影表示出此时圆柱内的水。 【思路点拨】（1）根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式求出圆锥容器内水的体积，然后根据“包含”除法的意义，用除法解答。 （2）因为等底等等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，底面积也相等时，圆柱的高是圆锥高的，据此解答即可。 【规范解答】解：（1） （分钟） 答：圆锥内漏完水需要36分钟。 （2）（厘米） 答：圆柱容器内水深2厘米。 作图如下： 【考点评析】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。 22．（2024•蒸湘区）如图是一个无盖的长方体玻璃容器，水面的高度是。把一个底面半径是的圆锥形铅锤完全浸入水中，水面上升了，这个铅锤的高是多少厘米？ 【思路点拨】根据题意可知，把这个圆锥形铅锤放入长方体容器中，上升部分水的体积就等于这个铅锤的体积，根据长方体的体积公式：，圆锥的体积公式：，那么，把数据代入公式解答。 【规范解答】解： （厘米） 答：这个铅锤的高是6厘米。 【考点评析】此题主要考查长方体的体积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 23．（2022•通州区）我国古代劳动人民早在2000多年前，就会计算不同形状物体的体积。《九章算术》中记载的圆柱体体积计算方法是“周自相乘，以高乘之，十二而一”，也就是底面周长的平方乘高，再除以12。 （1）想一想，上面的计算方法中，圆周率的取值是 　3　。 （2）如果一个圆柱的底面周长18厘米，高10厘米。你能分别用我们学过的方法和《九章算术》中记载的方法算出圆柱的体积吗（圆周率取近似值？ 【思路点拨】（1）根据题干描述，古代的圆柱体积计算方法为：，现在方法是，通过化简即可得出圆周率的取值； （2）现在的方法：圆柱的体积公式，先算出底面圆的半径，再把数据代入公式，即可得出答案。 古人的方法：根据题干描述，古代的圆柱体积计算方法为：，将数据代入公式，即可得出答案。 【规范解答】解：（1） 答：圆周率的取值是3。 （2）方法 （立方厘米） 方法 （立方厘米） 答：圆柱的体积是270立方厘米。 故答案为：（1）3，（2）270立方厘米。 【考点评析】本题考查学生对现代和古人求圆柱体积方法的掌握和运用，本题要注意的取值为3。 24．（2024秋•六合区期中）数学探索。 明明把长方体侧面沿着一条棱打开（如图，发现长方体侧面就是一个大长方形，它的侧面积可以用计算，算出的是底面周长； 明明想：三棱柱（底面是边长的等边三角形）是不是沿着一条棱打开也可以得到一个长方形呢？于是他动手操作（如图，它的侧面积可以用 　　计算，　　算出的是底面周长； 于是，明明大胆地猜测：底面直径是4厘米的圆柱的侧面积可以用 　　计算，　　算出的是底面周长。（如果有困难，可以先画画，再计算。 【思路点拨】根据长方体的侧面积底面周长高，推导出三棱柱的侧面积底面周长高，圆柱的侧面积底面周长高。据此解答。 【规范解答】解：三棱柱（底面是边长的等边三角形）是不是沿着一条棱打开也可以得到一个长方形呢？于是他动手操作（如图，它的侧面积可以用计算，算出的是底面周长； 底面直径是4厘米的圆柱的侧面积可以用计算，算出的是底面周长。 如图： 故答案为：，；，。 【考点评析】此题主要考查长方体侧面积公式的灵活运用，三棱柱的侧面积公式、圆柱的侧面积公式的推导方法及应用。 25．（2024•宁波）王师傅做了一个底面积为的铁质圆锥零件，为了防止生锈，把它缓缓放入一个长方体油漆缸中，并完全浸没。由于操作不当，油漆缸底部受损开裂，一段时间后开始渗漏，直至油漆全部漏完。油漆高度随时间变化如图所示： ①圆锥零件浸入油漆缸 　10　分钟后开始渗漏。 ②求铁质圆锥的高度是多少厘米？ ③油漆平均每分钟漏掉多少立方厘米？ 【思路点拨】（1）通过观察统计图可知，圆锥零件浸入油漆缸10分钟后开始渗漏。 （2）把圆锥理解放入油漆缸中，上升部分油漆的体积就等于圆锥零件的体积，通过观察统计图可知，放入圆锥零件后，液面上升了5厘米，根据长方体的体积公式：，圆锥的体积公式：，那么，把数据代入公式解答。 （3）首先求出油漆的体积，然后用油漆的体积除以漏的时间分钟）即可。 【规范解答】解：（1）圆锥理解浸入油漆缸10分钟后开始渗漏。 （2） （厘米） 答：铁质圆锥的高度是15厘米。 （3） （立方厘米） 答：油漆理解每分钟漏掉300立方厘米。 故答案为：10。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握折线统计图的特点及作用，长方体的体积公式、圆锥的体积公式及应用。 26．（2023•云阳县）一个底面是正方形的容器里（如图1所示）装着水，从里面量底面边长是，水的高度，把一个铁质实心圆锥直立在容器里（如图2所示）后，水的高度上升到了，刚好没过圆锥高的，圆锥的底面积是多少？ 【思路点拨】由题意得：浸在水中的部分的体积等于高为厘米的长方体的体积，即：（立方厘米）；露出水面部分的小圆锥的高为12厘米，其高是大圆锥的，半径也是大圆锥的，所以体积是大圆锥的，所以露出水面的小圆锥体与整个圆锥体的体积之比为，所以浸在水中的部分圆锥体的体积是整个圆锥体体积的，用除法即可求出大圆锥体的体积，进而即可求出底面积。 【规范解答】解：浸在水中的圆锥体体积为： （厘米） 露出水面部分的小圆锥的高为12厘米，其高是大圆锥的，半径也是大圆锥的，所以体积是大圆锥的，即露出水面的小圆锥体与整个圆锥体的体积之比为。 所以整个圆锥体体积为： （立方厘米） 圆锥体底面积为： （平方厘米） 答：圆锥的底面积是112平方厘米。 【考点评析】解答此题的关键是先求出浸入水中的部分占圆锥体积的几分之几，从而问题得解。 培优巩固优选题专练 1．（23-24六年级下·陕西宝鸡·期末）下图中，以直线为轴旋转一周，可以得出圆柱体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】以长方形或正方形的一边所在的直线为轴旋转一周，由于长方形或正方形的特征，它的上、下两个面是以长方形或正方形的另一条边为半径的两个完全一样的圆，与轴平行的一边通过旋转形成一个曲面，这样就得到一个圆柱，据此解答。 【规范解答】 根据分析可知，以直线为轴旋转一周，可以得出圆柱体的是。 故答案为：C 2．（23-24六年级下·河南驻马店·期末）一个圆柱与一个圆锥等底等体积，已知圆柱的高是12dm，圆锥的高是（    ）dm。 A．4 B．8 C．12 D．36 【答案】D 【思路点拨】根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，圆柱的高h柱＝V÷S，圆锥的高h锥＝3V÷S，所以当圆柱和圆锥等底等体积时，圆锥的高是圆柱高的3倍，据此解答。 【规范解答】12×3＝36（dm） 圆锥的高是36dm。 故答案为：D 3．（22-23六年级下·陕西咸阳·期末）一个圆锥的底面积是16平方分米，高是6分米，它的体积是（    ）立方分米。 A．32 B．48 C．96 【答案】A 【思路点拨】已知圆锥的底面积和高，根据圆锥的体积公式V＝Sh，代入数据计算，即可求出它的体积。 【规范解答】×16×6＝32（立方分米） 它的体积是32立方分米。 故答案为：A 4．（2024六年级下·河南驻马店·学业考试）一个圆柱的底面周长是2.512dm。高是5cm，它的侧面积是( )cm2。 【答案】125.6 【思路点拨】根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，代入数据，即可解答，注意单位名数的统一。 【规范解答】2.512dm＝25.12cm 25.12×5＝125.6（cm2） 它的侧面积是125.6cm2。 5．（23-24六年级下·陕西咸阳·期中）泾阳茯砖茶的外形规格整齐，色泽黑褐，金花显露，是六大茶类中黑茶的特色产品。某厂家要给底面半径是10cm，高是30cm的圆柱形茯砖茶包装盒的侧面贴一圈商标纸，贴一个这样的包装盒至少需要( )cm2商标纸。 【答案】1884 【思路点拨】圈商标纸的部分是圆柱的侧面，根据圆柱侧面积＝底面周长×高，列式计算即可。 【规范解答】2×3.14×10×30 ＝62.8×30 ＝1884（cm2） 贴一个这样的包装盒至少需要1884cm2商标纸。 6．（23-24六年级下·广东深圳·期中）乐乐家把收获的稻谷堆成了高2.4m，底面直径为4m的圆锥形，一共收获了( )m3的稻谷。 【答案】10.048 【思路点拨】已知收获的稻谷堆成一个圆锥形，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，即可求出一共收获稻谷的体积。 【规范解答】×3.14×（4÷2）2×2.4 ＝×3.14×22×2.4 ＝×3.14×4×2.4 ＝10.048（m3） 一共收获了10.048m3的稻谷。 7．（23-24六年级下·山西吕梁·期中）底面直径和高都是2分米的圆柱，它的侧面展开一定是正方形。( ) 【答案】× 【思路点拨】圆柱的侧面展开图一般是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高；特殊情况下，圆柱的侧面展开图是正方形，此时圆柱的底面周长和高相等。 已知圆柱的底面直径是2分米，根据公式C＝πd，求出圆柱的底面周长，再与高比较，即可判断。 【规范解答】3.14×2＝6.28（分米） 6.28≠2 所以，底面直径和高都是2分米的圆柱，它的侧面展开不是正方形。 原题说法错误。 故答案为：× 8．（2024六年级下·辽宁·专题练习）侧面积相等的两个圆柱，表面积不一定相等。( ) 【答案】√ 【思路点拨】圆柱的侧面积＝（r是半径，h是高），圆柱的表面积＝侧面积＋2个底面积。侧面积相等的两个圆柱的底面半径和高也不一定相等，则底面积也不一定相等，所以表面积不一定相等。 【规范解答】面积相等的两个圆柱，半径不一定相等，则表面积不一定相等。 故答案为：√ 9．（23-24六年级下·辽宁辽阳·期末）把一个底面半径是6cm，高是8cm的铁制圆锥放入盛满水的桶里，将有多少立方厘米的水溢出？ 【答案】301.44立方厘米 【思路点拨】求溢出的水的体积，就是求圆锥的体积，根据圆锥的体积公式，代入数据计算即可。 【规范解答】 （立方厘米） 答：将有301.44立方厘米的水溢出。 10．（23-24六年级下·陕西西安·期中）一台压路机的滚筒是圆柱形，滚筒的宽是2米，横截面半径是0.5米，滚筒每分滚动10周，滚筒一分压过的路面是多少平方米？ 【答案】62.8平方米 【思路点拨】滚筒滚动一周的面积就是这个圆柱形的侧面积，利用圆柱的侧面积＝圆柱的底面周长×宽＝，即可求得一周压过的路面面积，每分钟转10周，即乘10即可。 【规范解答】 （平方米） 6.28×10＝62.8（平方米） 答：滚筒一分压过的路面是62.8平方米。 拔尖冲刺优选题专练 11．（23-24六年级下·浙江金华·期末）实验小学六年级泥塑兴趣小组的同学塑造了一个长方体，其棱长总和为56分米，长是宽的2倍，宽是高的2倍，然后他们又把这个长方体等积变形成一个正方体，最后把这个正方体削成了一个最大的圆柱体，这个圆柱体的体积是（    ）立方分米（结果用多少个π表示）。 A．13π B．14π C．15π D．16π 【答案】D 【思路点拨】根据长方体的棱长总和公式：（长＋宽＋高）×4，用棱长总和除以4即可求出长＋宽＋高的长度，即56÷4＝14（分米），由于长是宽是2倍，宽是高的2倍，说明高最短，那么长相当于高的4倍，也就是高是1份，宽是2份，长是4份，用14÷（1＋2＋4）即可求出一份量，也就是高的长度，据此即可求出长和宽的长度，根据长方体体积公式：长×宽×高，求出长方体的体积，由于等积变形，正方体的体积和长方体的体积相同，再根据正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长，据此即可求出正方体的棱长，也就是最大的圆柱的高和底面直径，根据圆柱的体积公式：底面积×高，代入数据即可求解。 【规范解答】56÷4＝14（分米） 14÷（1＋2＋4） ＝14÷7 ＝2（分米） 宽：2×2＝4（分米） 长：2×4＝8（分米） 体积：2×4×8＝64（立方分米） 64＝4×4×4 所以正方体的棱长是4分米。 圆柱的体积：π×（4÷2）2×4 ＝π×22×4 ＝π×4×4 ＝16π（立方分米） 所以圆柱的体积是16π立方分米。 故答案为：D 12．（23-24六年级下·浙江金华·期末）下列四组概念，具有如下图这样关系的是（    ）。 A．平行四边形、长方形、正方形 B．长方体、圆柱、圆锥 C．三角形、等腰三角形、直角三角形 D．长方体、长方形、正方形 【答案】A 【思路点拨】A．正方形是特殊的长方形，长方形是特殊的平行四边形，所以平行四边形包含长方形，长方形包含正方形，所以平行四边形、长方形、正方形是包含关系，据此解答。 B．长方体、圆柱、圆锥都是独立的，所以长方体、圆柱、圆锥不是包含关系；据此解答； C．三角形包含等腰三角形和直角三角形，而等腰三角形包含等腰直角三角形，不包含直角三角形，所以三角形、等腰三角形、直角三角形不是包含关系，据此解答； D．正方形是特殊的长方形，长方体不包含长方形，所以长方形、长方形、正方形不是包含关系；据此解答。 【规范解答】根据分析可知，具有如下图这样关系的是平行四边形、长方形、正方形。 故答案为：A 13．（23-24六年级下·山西吕梁·期末）下列情况不能ab表示的是（    ）。 A．“五一”期间，水果店里的苹果搞促销活动，每千克苹果a元，卖出正好是b千克，求这些苹果卖出的钱 B．植树节到了，六（1）班要去山坡上栽树，结果3天只栽了b棵树，求a天他们栽树的棵数 C．求底面积为a，高为b的圆锥的体积 D．求阴影部分的面积 【答案】A 【思路点拨】A选项，根据单价×数量＝总价，代入数据即可解答。 B选项，先用总棵数b除以天数3，即可求出每天种的棵数，再乘天数a即可求出a天他们栽树的棵数； C选项，根据圆锥体积＝×底面积×高，代入数据即可解答。 D选项，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据即可求出长方形的面积，长方形平均分成3份，阴影部分占1份，根据分数的意义，可知阴影部分占长方形面积的，根据分数乘法的意义，长方形的面积×＝阴影部分的面积。 【规范解答】A．a×b＝ab（元） 根据分析可知，这些苹果卖出的钱是ab元。 B．b÷3×a ＝b×a ＝ab（棵） a天他们栽树的棵数是ab棵。 C．×a×b＝ab 圆锥的体积是ab。 D．a×b×＝ab 阴影部分的面积是ab。 不能ab表示的是“这些苹果卖出的钱”。 故答案为：A 14．（2024·四川成都·小升初真题）一个组合零件是由圆柱和圆锥粘合而成的（如图），若把圆柱和圆锥重新掰开，表面积就会增加50.42cm2，那么原来这个组合零件的体积是( )cm3。 【答案】201.68 【思路点拨】根据题意，若把圆柱和圆锥重新掰开，表面积就会增加50.42cm2，增加的是2个底面圆的面积；用增加的表面积除以2，求出底面积； 原来这个组合零件的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，根据圆柱的体积公式V＝Sh，圆锥的体积公式V＝Sh，代入数据计算即可求解。 【规范解答】底面积：50.42÷2＝25.21（cm2） 25.21×6＋×25.21×（12－6） 25.21×6＋×25.21×6 ＝151.26＋50.42 ＝201.68（cm3） 原来这个组合零件的体积是201.68cm3。 15．（23-24六年级下·浙江金华·期末）如图（单位：厘米）请你从长方体和圆柱体的体积公式类推求出图中这个直柱体的体积是( )立方厘米。 【答案】192 【思路点拨】长方体的体积＝长×宽×高，长方体的底面积＝长×宽，所以长方体的体积＝底面积×高；圆柱的体积＝底面积×高；也就是长方体和圆柱的体积都可以用“底面积×高”计算；观察发现：图中这个直柱体两个底面是完全相同的等腰梯形，上下一样粗细，所以这个直柱体的体积也可以用“底面积×高”来计算。根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入相应数值计算出这个直柱体的底面积，再根据底面积×高，计算这个直柱体的体积。 【规范解答】（5＋11）×4÷2×6 ＝16×4÷2×6 ＝64÷2×6 ＝32×6 ＝192（立方厘米） 因此这个直柱体的体积是192立方厘米。 16．（23-24六年级下·河南驻马店·期末）淘气有一个近似圆锥形的玩具（如图），这个玩具的体积约是( )立方厘米。如果用一个长方体盒子包装玩具，这个盒子的容积至少是( )立方厘米。 【答案】 94.2 360 【思路点拨】求这个玩具的体积，根据圆锥的体积＝×底面积×高，代入相应数值计算即可；把这个玩具装在一个长方体盒子中，则长方体盒子的长至少为6厘米，宽至少为6厘米，高至少为10厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数值计算，所得结果即为这个盒子的容积至少是多少立方厘米。 【规范解答】 （立方厘米） 6×6×10＝360（立方厘米） 因此这个玩具的体积约是94.2立方厘米；这个盒子的容积至少是360立方厘米。 17．（23-24六年级下·河南驻马店·期末）一个圆柱的底面直径和高都是8分米，如果沿着底面直径纵切成两半，表面积增加64平方分米。( ) 【答案】× 【思路点拨】如果将圆柱沿着底面直径纵切成两半，它的表面积会增加2个长方形的面积，长方形的长等于圆柱的高，宽等于圆柱的底面直径，根据长方形的面积＝长×宽即可解答，先求出1个长方形的面积，再乘2即可求出增加的面积。 【规范解答】8×8×2＝128（平方分米） 一个圆柱的底面直径和高都是8分米，如果沿着底面直径纵切成两半，表面积增加128平方分米。原题干说法错误。 故答案为：× 18．（23-24六年级下·陕西西安·期末）一个圆柱和一个圆锥等底等高，体积和是251.2立方米，这个圆锥的体积是62.8立方米。( ) 【答案】√ 【思路点拨】根据圆柱与圆锥的体积关系：等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，则等底等高圆柱体积＋圆锥体积＝圆锥体积×4，据此可计算得出答案。 【规范解答】等地等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，则等底等高圆柱体积＋圆锥体积＝圆锥体积×4，体积和是251.2立方米，则圆锥体积为：251.2÷4＝62.8（立方米）。题干表述正确。 故答案为：√ 19．（2024·四川成都·小升初真题）妈妈的茶杯高15厘米（如图），茶杯中部那圈装饰带是今年“母亲节”淘气花10元钱为妈妈购买的礼物，这样妈妈再也不担心烫伤手了。已知这条装饰带宽5厘米，它的面积是多少？ 【答案】94.2平方厘米 【思路点拨】观察可知，沉着茶杯的高把装饰带剪开，会得到一个长方形，长方形的长等于茶杯的底面周长，宽是5厘米，根据圆的周长公式，长方形的面积＝长宽，代入数据计算即可得解。 【规范解答】 （平方厘米） 答：它的面积是94.2平方厘米。 20．（23-24六年级下·河南驻马店·期末）学校一个自来水管的内直径是2厘米，水管内水流的速度是每秒5厘米。一位同学洗手后忘记关水龙头，10分钟可以浪费多少升水？ 【答案】9.42升 【思路点拨】根据1分钟＝60秒，用乘法求出10分钟相当于600秒，然后用600秒乘水流的速度，即可求出10分钟流出的水流的长度，再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据即可求出水流出的体积，再根据1升＝1000立方厘米，将单位换算成升即可。 【规范解答】10×60＝600（秒） 600×5＝3000（厘米） 3.14×（2÷2）2×3000 ＝3.14×12×3000 ＝3.14×1×3000 ＝9420（立方厘米） 9420立方厘米＝9.42升 答：10分钟可以浪费9.42升水。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（北师大版） 第一讲 圆柱与圆锥 （导图+知识精讲+易错点拨+12大考点讲练+易错压轴练+难度分层练） 目录 栏目一 课前指导 讲义介绍 2 栏目二 思维导图 一目了然 3 栏目三 知识精讲 梳理脉络 3 知识点01：面的旋转、圆柱和圆锥的特征 3 知识点02：圆柱的表面积 4 知识点03：圆柱的体积 4 知识点04：圆锥的体积 5 栏目四 易错点拨 查漏补缺 5 易错知识点01：圆柱的基本特征 5 易错知识点02：圆柱的侧面积 5 易错知识点03：圆柱的表面积 5 易错知识点04：圆柱的体积 6 易错知识点05：圆锥的基本特征 6 易错知识点06：圆锥的体积 6 易错知识点07：圆锥的高的测量 6 易错知识点08： 圆柱与圆锥的关系 6 易错知识点09：实际问题的求解 6 栏目五 考点讲练 明确目标 7 考点一：圆柱的认识及特征 7 考点二：圆锥的认识及特征 7 考点三：点、线、面、体之间的联系 7 考点四：圆柱的展开图 8 考点五：圆柱的侧面积 8 考点六：圆柱的表面积 8 考点七：圆柱的体积 8 考点八：圆柱的容积 9 考点九：立体图形的切拼（圆柱） 9 考点十：圆锥的体积（容积） 9 考点十一：圆柱与圆锥体积的关系 10 考点十二：体积的等积变形（（圆柱、圆锥） 11 栏目六 易错真题 培优必刷 11 栏目七 压轴专练 冲刺拔尖 15 栏目八 培优巩固 拔尖冲刺 19 培优巩固优选题专练 19 拔尖冲刺优选题专练 20 同学你好！恭喜你进入新的学期，开启新的章程！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于预习，复习，培优，拔尖使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点01：面的旋转、圆柱和圆锥的特征 1. 点的运动形成线，线的运动形成面，面的运动形成体，这就是“点、线、面、体”之间的关系，这个关系可以简记为“点动成线，线动成面，面动成体”。 2.圆柱是由2个大小相同的圆面和1个曲面围成的，圆柱上下粗细均匀。圆锥是由1个圆面和1个曲面围成的。 3.圆柱的特征：（1）圆柱有两个底面和一个侧面；（2）两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面；（3）圆柱有无数条高，所有的高都相等。 圆锥的特征：（1）圆锥有一个底面和一个侧面；（1）圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面；（3）圆锥只有一条高。 4. 圆柱和圆锥的切面： （1）把圆柱平行于底面横切，切面是大小相同的圆；沿底面直径纵切，切面是大小相同的长方形。（2）把圆锥横切，每个切面是圆，但大小不同；沿底面直径纵切，切面是大小相同的等腰三角形。 知识点02：圆柱的表面积 1.如果用S表表示圆柱的表面积，S侧 表示圆柱的侧面积，S底 表示圆柱的底面积，d表示底面的直径，r表示底面的半径，h表示圆柱的高，那么圆柱的表面积的计算公式可以表示为 S表=S侧+2S底 或S表=πdh+2π（d÷2）2或S表=2πrh+2πr2 2. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的只有一个底面，有的没有底面，解题时要根据实际情况选择合适的解题方法。 3. 用同一张长方形纸片可以围成底面积不同的两个圆柱。用宽作为圆柱的底面周长，所围成的圆柱的底面积小；用长作为圆柱的底面周长，所围成的圆柱的底面积大。 4. 横截圆柱后求表面积时，侧面积不变，底面积会发生变化，变化的规律是每截一次增加两个底面，截的次数比截成的段数少1。 知识点03：圆柱的体积 1. 圆柱的体积=底面积×高，用字母表示是V=Sh。 2. 计算一个圆柱的体积时，如果已知这个圆柱的高和底面半径或底面直径或底面周长，要先求出底面积，再求体积，也可以列综合算式计算。 （1）已知圆柱的底面积S和高h，求圆柱体积的计算方法：V=Sh。 （2）已知圆柱的底面半径r和高h，求圆柱体积的计算方法：V=πr2h （3）已知圆柱的底面直径d和高h，求圆柱体积的计算方法：V=π（d÷2）2h （4）已知圆柱的底面周长C和高h，求圆柱体积的计算方法：V=π（C÷π÷2）2h 3. 物体完全浸没在水中，物体的体积等于升高的那部分水的体积。 应用等量代换法可以将不规则物体的体积计算转化为圆柱的体积计算。 利用体积不变的特性，应用转化的思想方法，把不规则的图形转化为规则的图形来计算，能帮助我们解决许多生活中的复杂问题。 知识点04：圆锥的体积 1.圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的。。 2.圆锥体积的计算方法： （1）已知底面半径r和高h，求圆锥体积的方法：V=πr2h； （2）已知底面直径d和高h，求圆锥体积的方法：V=π（d÷2）2h； （3）已知底面周长C和高h，求圆锥体积的方法：V=π（C÷x÷2）2h 3. 圆柱和圆锥的体积与高分别相等，则它们的底面积之间的关系是Sm推=3Sm壮；圆柱和圆锥的体积与底面积分别相等，则它们的高之间的关系是h锥=3h柱 圆柱的易错知识点 易错知识点01：圆柱的基本特征 易错点：混淆圆柱的底面与侧面。需明确圆柱有两个底面，是两个大小相同的圆；侧面是一个曲面。 圆柱的高：两个底面间的距离叫做圆柱的高，圆柱有无数条高且长度相等。 易错知识点02：圆柱的侧面积 公式：S侧=Ch或S侧=πdh或S侧=2πrh（C为底面周长，d为底面直径，r为底面半径，h为高）。 易错点：计算时不注意单位统一，或错误地使用底面直径或半径计算侧面积。 易错知识点03：圆柱的表面积 公式：S表=S侧+2S底=2πrh+2πr²（S侧为侧面积，S底为底面积）。 易错点：忽视圆柱体的实际应用情况，如计算无盖水桶的表面积时，只计算一个底面和侧面的面积之和。 易错知识点04：圆柱的体积 公式：V=Sh或V=πr²h（S为底面积，h为高）。 易错点：在计算过程中，容易混淆底面积和高，导致计算结果错误。 圆锥的易错知识点 易错知识点05：圆锥的基本特征 易错点：混淆圆锥的底面与侧面，以及圆锥的高。需明确圆锥有一个底面，是一个圆；侧面是一个曲面；圆锥的高是从顶点到底面圆心的距离，圆锥只有一条高。 易错知识点06：圆锥的体积 公式：V=(1/3)Sh或V=(1/3)πr²h（S为底面积，h为高）。 易错点：在计算圆锥体积时，容易忘记乘以(1/3)，导致计算结果错误。 易错知识点07：圆锥的高的测量 方法：把圆锥放在水平面上，在圆锥的顶点上放一个平面的东西（如木板），并与底面平行，测量这两个平面间的距离，即为圆锥的高。 易错点：测量时不注意保持圆锥和水平面的稳定，导致测量结果不准确。 综合应用中的易错点 易错知识点08： 圆柱与圆锥的关系 易错点：只有在等底等高的条件下，圆柱的体积才是圆锥体积的3倍，圆锥的体积才是圆柱体积的(1/3)。忽视这一条件，容易导致错误判断。 易错知识点09：实际问题的求解 易错点：在解决实际问题时，容易忽视题目中的实际情况，如计算圆柱形物体的表面积时，需要根据物体的具体形状（如是否有盖、是否空心等）来确定计算哪些面的面积。 考点一：圆柱的认识及特征 【精讲题】（23-24六年级下·安徽亳州·期中）一个长方形绕其一条边旋转一周，可以得到一个（    ）。 A．长方体 B．圆柱体 C．圆锥体 【精练题01】（23-24六年级下·浙江金华·期末）给左边四个图形分类。甲同学把①②分为一类。③④分为一类。这样分类的理由是( )；乙同学把①②③分为一类，④为一类。这样分类的理由是( )。 考点二：圆锥的认识及特征 【精讲题】（23-24六年级下·山西晋城·期末）一个直角三角形，两条直角边的长分别为6厘米和8厘米，如果以较长的直角边所在的直线为轴旋转一周，那么可以得到一个( )，得到的图形的底面积是( )平方厘米。 【精练题01】（23-24六年级下·陕西咸阳·期中）将一个高3cm的圆锥沿高切开，表面积增加了12cm2，这个圆锥的半径是4cm。( ) 考点三：点、线、面、体之间的联系 【精讲题】（22-23六年级下·辽宁大连·期末）下面的立体图形，不能通过平面图形旋转而得到的是（    ）。 A．球 B．正方体 C．圆锥 D．圆台 【精练题01】（23-24六年级下·陕西西安·期中）如图，转动长方形ABCD得到圆柱I和Ⅱ。 (1)圆柱I是以( )边所在直线为轴旋转而成的，高是( )厘米； (2)圆柱Ⅱ的底面积是( )平方厘米。 考点四：圆柱的展开图 【精讲题】（23-24六年级下·辽宁大连·期末）一个底面半径为6cm、高为10cm的圆柱，将它的侧面沿虚线剪开（如图），得到的平行四边形的面积是（    ）cm2。 A．60π B．120π C．360π D．无法确定 【精练题01】（23-24六年级下·河南驻马店·期末）一个圆柱的侧面展开后是边长为18.84厘米的正方形，这个圆柱的高是( )厘米，底面半径是( )厘米。 考点五：圆柱的侧面积 【精讲题】（23-24六年级下·辽宁辽阳·期末）一个圆柱的底面半径是6cm，它的高是6cm，这个圆柱的侧面积是( )cm2。 【精练题01】（23-24六年级下·辽宁锦州·期末）一个圆柱，如果它的高截去3厘米，表面积就减少94.2平方厘米，它的底面半径是( )厘米。 考点六：圆柱的表面积 【精讲题】（2024六年级下·河南驻马店·学业考试）一个圆柱体，如果沿直径劈成两个半圆柱体，表面积将增加180平方厘米，如果截成两个小圆柱体，表面积增加56.52平方厘米，那么原圆柱体的表面积是( )平方厘米。 【精练题01】（23-24六年级下·河南驻马店·期末）一个圆柱形水池，底面周长是25.12米，深2.5米，要在它的底面和四周抹上水泥，如果每平方米用水泥8千克，共需水泥多少千克？ 考点七：圆柱的体积 【精讲题】（2024六年级下·河南驻马店·学业考试）将一个圆柱体剪切拼成一个近似的长方体后，它的表面积比原来增加了16cm2，已知圆柱的半径是2cm，那么圆柱的体积是（    ）cm3。 A．25.12 B．50.24 C．62.8 D．78.5 【精练题01】（23-24六年级下·河南商丘·期末）一个高1分米的圆柱，如果高增加1厘米，它的表面积就增加了12.56平方厘米，原来这个圆柱的体积是( )立方厘米。 考点八：圆柱的容积 【精讲题】（23-24六年级下·山西晋城·期末）一个斜着放置的圆柱体容器（如图）最多可以容纳60mL的水，涂色部分表示已有的水，如果将容器放正后加满水，还要加水（    ）。 A．杯 B．杯 C．30mL D．20mL 【精练题01】（23-24六年级下·广东茂名·期末）一个蓄水桶，从里面量，底面半径是5分米，深是10分米。 （1）这个蓄水桶最多可以装水多少升？ （2）做一个这样的无盖蓄水桶，需要铁皮多少平方米？ 考点九：立体图形的切拼（圆柱） 【精讲题】（23-24六年级下·安徽亳州·期中）把高15厘米的圆柱平行于底面切成两段，表面积增加了40平方厘米，原来圆柱体的体积是( )立方厘米。 【精练题01】（23-24六年级下·广东惠州·期末）把一个棱长是4分米的正方体削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是( )立方分米，削去部分的体积是( )立方分米。 考点十：圆锥的体积（容积） 【精讲题】（23-24六年级下·河南驻马店·期末）将下图中的直角三角形ABC以直角边AB所在的直线为轴旋转一周，所得立体图形的体积是( )立方厘米。 【精练题01】（23-24六年级下·河南商丘·期末）把三角形ABC（如图）沿着边AB和BC分别旋转一周，得到两个圆锥，谁的体积大？大多少立方厘米？ 考点十一：圆柱与圆锥体积的关系 【精讲题】（23-24六年级下·浙江金华·期末）如图，长方形ABCD的长是4厘米。宽是3厘米，对角线AC把长方形分成阴影和空白两个三角形。以AB所在的直线为轴，把长方形旋转一周，空白三角形扫过的空间大小和阴影三角形扫过的空间的大小比是多少？ 【精练题01】（23-24六年级下·山西吕梁·期末）如图，一个圆柱形的玻璃容器，底面直径是12厘米，里面装满水，把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水。在里面放入等底等高的圆柱和圆锥（水完全浸没），已知它们的高均为6厘米，这时水面升高了0.5厘米。 （1）圆柱形容器的高是多少厘米？ （2）放到水里的圆柱和圆锥的体积分别是多少立方厘米？它们的底面积是多少平方厘米？ 考点十二：体积的等积变形（（圆柱、圆锥） 【精讲题】（23-24六年级下·广东湛江·期末）手工课上，湛湛用一块75.36立方厘米的圆柱形橡皮泥，捏成一个高是9厘米的圆锥，它的体积是( )立方厘米，底面积是( )平方厘米。 【精练题01】（23-24六年级下·陕西宝鸡·期末）一个底面半径是3厘米的圆锥，高为20厘米，将这个圆锥铁块熔铸成一个宽5厘米、高4厘米的长方体，长方体的长是多少厘米？ 1．（2024•大观区）一个长方形的长是，宽是。如图所示，以长为轴旋转一周形成圆柱甲，以宽为轴旋转一周形成圆柱乙，下面说法正确的是　　 A．圆柱甲的底面积比圆柱乙的底面积大 B．圆柱甲的底面积和圆柱乙的底面积相等 C．圆柱甲的表面积和圆柱乙的表面积相等 D．圆柱甲的体积比圆柱乙的体积小 2．（2024•乾安县）如图，把一个体积是的圆柱形木块，削成两个顶点相连的完全相同的圆锥形木块，形成“沙漏”状，则每个圆锥的体积是　　 A． B． C． D． 3．（2024•潍坊）如图，将圆柱形容器中的水倒入圆锥形容器中，　　正好倒满。（单位： A． B． C． 4．（2024•麻城市）一个圆柱和一个圆锥的体积和底面积都相等，圆柱的高是30厘米，圆锥的高是 　　厘米。 5．（2024•尧都区）如图：把一个底面直径10厘米，高12厘米的圆柱等切成若干份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了 　　平方厘米，该圆柱的体积是 　　立方厘米。 6．（2024•沈河区）两个底面都是圆形，且侧面是一个曲面的立体图形，一定是圆柱。 　　（判断对错） 7．（2024•定州市）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的高与底面直径的比值等于．　 　（判断对错） 8．（2014春•象山县月考）按要求计算． （1）如图1，求表面积．（单位：厘米） （2）如图2，求体积．（单位：分米） 9．（2024•鲅鱼圈区）一个圆柱形木块，如果沿直径切成4块（如图，表面积会增加96平方厘米；如果切成3个圆柱（如图，表面积会增加113.04平方厘米。 （1）这个圆柱形木块的底面半径是多少？ （2）这个圆柱形木块的高是多少？ （3）若要把这个圆柱形木块削成一个最大的圆锥（如图，那么削去部分的体积是多少？ 10．（2024•定远县）2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号运载火箭在卫星发射中心点火发射，发射取得圆满成功。26日航天员叶光富、李聪、李广苏成功入驻空间站。 （1）长征二号运载火箭的总长约58.3米，小强收藏了这一型号的火箭模型（如图，模型的高度与实际高度的比是，这一模型的高度是多少厘米？ （2）整流罩是运载火箭的重要组成部分，外形通常由近似的圆柱和圆锥组成。图2是某型号运载火箭整流罩模型示意图，圆柱的底面直径是2分米，该模型的体积是多少立方分米？ 11．（2024•如皋市）青青在学习了圆柱和圆锥的体积知识后，她希望探究下面的问题：两个圆柱同底等高，将它们按照下图分别切割出与圆柱底面相等的圆锥，图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等吗？先判断再想办法说明理由。（可以在图上画一画来帮助说明哦 12．（2024•历下区）已知冰融化成水后，体积会减少，现有一块的冰，经过一段时间后，全部融化成水。 （1）这块冰融化成水后，水的体积是多少立方厘米？ （2）一张长方形铁皮如图所示，把图中阴影部分剪下，刚好做成一个带盖的圆柱形铁桶（接缝忽略不计），底面圆的直径为。现将问题（1）的水全部倒入这个圆柱形铁桶中，请问是否能全部容纳？取 13．（2024秋•古田县期中）完全相同的水杯，分别往里面注水，水量如图中的涂色部分所示。如果再往每个水杯中分别放人大小样的方糖，完全溶解后，　　杯糖水最甜。 A． B． C． D． 14．（2024•潍城区）如图4个杯子中均装有定量的开水（图中阴影部分表示水的体积），如果把3克盐溶解在水中，那么含盐率最高的是　　 A． B． C． D． 15．（2024•埇桥区）如图所示，把一个圆柱平均分成若干份，可以拼成一个近似的长方体。长方体的长相当于圆柱的 　　，长方体的宽相当于圆柱的 　　，　　相当于圆柱的高。我们已经知道：长方体的体积长宽高，长方体的体积公式还可以表示为 　　，由此推导出圆柱的体积公式 　　。 16．（2024•江北区）如图，一个密封容器由等高的圆锥和圆柱组成，圆锥底面半径是3分米，圆柱底面半径是2分米，容器内装有水，若按照图1放置，水深比圆柱的高的一半多2分米，若颠倒这个容器如图2，那么容器中的水刚好装满圆锥部分，这个容器中圆柱部分的高是 　　分米。取 图1 图2 17．（2024•南宁）小思把一块圆柱形的橡皮泥，切成三块（如图①，表面积增加了50.24平方厘米；切成两块（如图②，表面积增加了48平方厘米，这块橡皮泥的体积是 　　立方厘米。 18．（2024•未央区）一个圆柱体和一个圆锥体底面积相等，体积的比是，已知圆柱的高是54分米，则圆锥的高是27分米。 　　（判断对错） 19．（2020秋•高新区期中）一个圆锥的底面积增加，高减少，那么体积就不会改变。　　（判断对错） 20．（2024春•宛城区期中）一个零件，需要在一个棱长为10厘米的正方体铜块上，用车床铣xí（削去一个如图所示的半圆柱，加工成型后它的体积和表面积分别为多少？取 21．（2024•东昌府区）如图1，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了有颜色水。其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米。已知水的流速是1.57立方厘米分钟。 （1）圆锥内漏完水需要多少时间？ （2）请你在图2中用阴影表示出此时圆柱内的水。 22．（2024•蒸湘区）如图是一个无盖的长方体玻璃容器，水面的高度是。把一个底面半径是的圆锥形铅锤完全浸入水中，水面上升了，这个铅锤的高是多少厘米？ 23．（2022•通州区）我国古代劳动人民早在2000多年前，就会计算不同形状物体的体积。《九章算术》中记载的圆柱体体积计算方法是“周自相乘，以高乘之，十二而一”，也就是底面周长的平方乘高，再除以12。 （1）想一想，上面的计算方法中，圆周率的取值是 　　。 （2）如果一个圆柱的底面周长18厘米，高10厘米。你能分别用我们学过的方法和《九章算术》中记载的方法算出圆柱的体积吗（圆周率取近似值？ 24．（2024秋•六合区期中）数学探索。 明明把长方体侧面沿着一条棱打开（如图，发现长方体侧面就是一个大长方形，它的侧面积可以用计算，算出的是底面周长； 明明想：三棱柱（底面是边长的等边三角形）是不是沿着一条棱打开也可以得到一个长方形呢？于是他动手操作（如图，它的侧面积可以用 　　计算，　　算出的是底面周长； 于是，明明大胆地猜测：底面直径是4厘米的圆柱的侧面积可以用 　　计算，　　算出的是底面周长。（如果有困难，可以先画画，再计算。 25．（2024•宁波）王师傅做了一个底面积为的铁质圆锥零件，为了防止生锈，把它缓缓放入一个长方体油漆缸中，并完全浸没。由于操作不当，油漆缸底部受损开裂，一段时间后开始渗漏，直至油漆全部漏完。油漆高度随时间变化如图所示： ①圆锥零件浸入油漆缸 　　分钟后开始渗漏。 ②求铁质圆锥的高度是多少厘米？ ③油漆平均每分钟漏掉多少立方厘米？ 26．（2023•云阳县）一个底面是正方形的容器里（如图1所示）装着水，从里面量底面边长是，水的高度，把一个铁质实心圆锥直立在容器里（如图2所示）后，水的高度上升到了，刚好没过圆锥高的，圆锥的底面积是多少？ 培优巩固优选题专练 1．（23-24六年级下·陕西宝鸡·期末）下图中，以直线为轴旋转一周，可以得出圆柱体的是（    ）。 A． B． C． D． 2．（23-24六年级下·河南驻马店·期末）一个圆柱与一个圆锥等底等体积，已知圆柱的高是12dm，圆锥的高是（    ）dm。 A．4 B．8 C．12 D．36 3．（22-23六年级下·陕西咸阳·期末）一个圆锥的底面积是16平方分米，高是6分米，它的体积是（    ）立方分米。 A．32 B．48 C．96 4．（2024六年级下·河南驻马店·学业考试）一个圆柱的底面周长是2.512dm。高是5cm，它的侧面积是( )cm2。 5．（23-24六年级下·陕西咸阳·期中）泾阳茯砖茶的外形规格整齐，色泽黑褐，金花显露，是六大茶类中黑茶的特色产品。某厂家要给底面半径是10cm，高是30cm的圆柱形茯砖茶包装盒的侧面贴一圈商标纸，贴一个这样的包装盒至少需要( )cm2商标纸。 6．（23-24六年级下·广东深圳·期中）乐乐家把收获的稻谷堆成了高2.4m，底面直径为4m的圆锥形，一共收获了( )m3的稻谷。 7．（23-24六年级下·山西吕梁·期中）底面直径和高都是2分米的圆柱，它的侧面展开一定是正方形。( )（判断对错） 8．（2024六年级下·辽宁·专题练习）侧面积相等的两个圆柱，表面积不一定相等。( )（判断对错） 9．（23-24六年级下·辽宁辽阳·期末）把一个底面半径是6cm，高是8cm的铁制圆锥放入盛满水的桶里，将有多少立方厘米的水溢出？ 10． （23-24六年级下·陕西西安·期中）一台压路机的滚筒是圆柱形，滚筒的宽是2米，横截面半径是0.5米，滚筒每分滚动10周，滚筒一分压过的路面是多少平方米？ 拔尖冲刺优选题专练 11．（23-24六年级下·浙江金华·期末）实验小学六年级泥塑兴趣小组的同学塑造了一个长方体，其棱长总和为56分米，长是宽的2倍，宽是高的2倍，然后他们又把这个长方体等积变形成一个正方体，最后把这个正方体削成了一个最大的圆柱体，这个圆柱体的体积是（    ）立方分米（结果用多少个π表示）。 A．13π B．14π C．15π D．16π 12．（23-24六年级下·浙江金华·期末）下列四组概念，具有如下图这样关系的是（    ）。 A．平行四边形、长方形、正方形 B．长方体、圆柱、圆锥 C．三角形、等腰三角形、直角三角形 D．长方体、长方形、正方形 13．（23-24六年级下·山西吕梁·期末）下列情况不能ab表示的是（    ）。 A．“五一”期间，水果店里的苹果搞促销活动，每千克苹果a元，卖出正好是b千克，求这些苹果卖出的钱 B．植树节到了，六（1）班要去山坡上栽树，结果3天只栽了b棵树，求a天他们栽树的棵数 C．求底面积为a，高为b的圆锥的体积 D．求阴影部分的面积 14．（2024·四川成都·小升初真题）一个组合零件是由圆柱和圆锥粘合而成的（如图），若把圆柱和圆锥重新掰开，表面积就会增加50.42cm2，那么原来这个组合零件的体积是( )cm3。 15．（23-24六年级下·浙江金华·期末）如图（单位：厘米）请你从长方体和圆柱体的体积公式类推求出图中这个直柱体的体积是( )立方厘米。 16．（23-24六年级下·河南驻马店·期末）淘气有一个近似圆锥形的玩具（如图），这个玩具的体积约是( )立方厘米。如果用一个长方体盒子包装玩具，这个盒子的容积至少是( )立方厘米。 17．（23-24六年级下·河南驻马店·期末）一个圆柱的底面直径和高都是8分米，如果沿着底面直径纵切成两半，表面积增加64平方分米。( )（判断对错） 18．（23-24六年级下·陕西西安·期末）一个圆柱和一个圆锥等底等高，体积和是251.2立方米，这个圆锥的体积是62.8立方米。( )（判断对错） 19．（2024·四川成都·小升初真题）妈妈的茶杯高15厘米（如图），茶杯中部那圈装饰带是今年“母亲节”淘气花10元钱为妈妈购买的礼物，这样妈妈再也不担心烫伤手了。已知这条装饰带宽5厘米，它的面积是多少？ 20．（23-24六年级下·河南驻马店·期末）学校一个自来水管的内直径是2厘米，水管内水流的速度是每秒5厘米。一位同学洗手后忘记关水龙头，10分钟可以浪费多少升水？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$