7.1.2两条直线垂直（同步课件）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（人教版2024）

7.1.2 两条直线垂直 主讲： 人教版（2024）数学七年级下册 第七章 相交线与平行线 1.理解垂线的有关概念、性质及画法； 2.知道垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用它们解决问题. 学习目标 观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？ 情境引入 情境引入 在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b．当b的位置变化时，a，b所成的∠α也会发生变化． 当∠α=90°时, 这两根木条垂直. 新知探究 一般地，当两条直线a、b相交所成的四个角中有一个角是直角时，我们说a与b互相垂直，记作“a⊥b”. 两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 如图，AB⊥CD，垂足为O. 垂足 A B C O D A B C O D 新知探究 由上可知 ，如果两条直线相交所成的四个角中有一个角等于90°,那么这两条直线互相垂直．在图中，如果直线AB，CD相交于点O，∠AOD=90°,那么AB丄CD．这个推理过程可以写成下面的形式： 符号语言表示： ∵∠AOD=90° ∴AB⊥CD（垂直的定义） A B C O D 新知探究 在日常生活中 ，两条直线互相垂直的情形很常见 ，例如图中窗户上互相垂直的木条 、网球拍上互相垂直的网线．你能再举出其他例子吗？ 新知探究 新知探究 探究 如图,用三角尺或量角器画已知直线l的垂线. (1)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？ (2)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？ l A 一条 l B 一条 你发现了什么？ 新知探究 可以发现 ，经过一点（在已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线．由此得到关于垂线的基本事实： 在同一平面内 ，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. l A 一条 l B 一条 新知探究 例2 如图，过点P画出射线AB或线段AB的垂线. (1) (2) (3) 典例精析 解：如图所示. 思考 如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？ 新知探究 探究 如图，P是直线l外一点，PO⊥l，垂足为O，我们称PO为点P到直线l的垂线段. A是直线l上除点O外一点，连接PA. 测量并比较线段PO与PA的长度，你能得到什么结论？改变点A的位置呢？ O l A P 结论： 线段PO的长度比线段PA的长度短. 新知探究 可以发现，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 简单说成：垂线段最短. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. O l A P 新知探究 对于下图,现在你知道如何挖渠能使渠道最短了吗？ m 垂线段最短 新知探究 1.如图，在三角形ABC中，过点B画边AC的垂线，下列画法正确的是 ( ) D A C B D 随堂检测 2.在下列条件中：①两直线相交所成的四个角都是直角；②两直线相交，对顶角互补；③两直线相交所成的四个角都相等，可以判定两条直线互相垂直的是（ ） A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ D 随堂检测 3.如图，点P,Q分别代表两个村庄，直线l代表两个村庄之间的一条公路.根据居民出行的需要，计划在公路l上的某处设置一个公交车站. (1)若考虑到村庄P居住的老年人较多，计划建一个离村庄P最近的车站，请在公路l上画出车站的位置(用点M表示),依据是什么？ (2)若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄P和村庄Q的距离之和最小，请在公路l上画出车站的位置(用点N表示),依据是什么？ P. ·Q l M N 解：（1）如图，点M即为所求.依据：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． （2）如图，点N即为所求.依据：两点之间线段最短. 随堂检测 1.如图，直线AB,CD相交于点O,OF⊥CD,OE平分∠BOC. (1)若∠BOE=60°,求∠AOF的度数； (2)若∠BOD:∠BOE=4:3,求∠AOF的度数. 解：(1)因为OE平分∠BOC,∠BOE=60°， 所以∠BOC=2∠BOE=120°, 所以∠AOC=180°-∠BOC=60°. 因为OF丄CD,所以∠COF=90°, 所以∠AOF=∠COF-∠AOC=90°- 60°=30°. 能力提升 1.如图，直线AB,CD相交于点O,OF⊥CD,OE平分∠BOC. (2)若∠BOD:∠BOE=4:3,求∠AOF的度数. (2)因为OE平分∠BOC,所以∠BOE=∠COE. 因为∠BOD:∠BOE=4:3， 所以设∠BOD=4x°，则∠BOE=3x°, 所以∠COE=3x°, 因为∠BOD+∠BOE+∠COE=180°, 所以10x=180，解得x=18， 所以∠BOD=4×18°=72°， 所以∠AOC=∠BOD=72°. 因为OF丄CD，所以∠COF =90°， 所以∠AOF =∠COF -∠AOC=90°-72°=18°. 能力提升 2.如图，已知O为直线AB上一 点，OE平分∠BOC，OD平分∠AOC, 则OE与OD有什么位置关系?为 什么? 解：OE⊥OD.理由如下： 因为OE平分∠BOC，OD 平分∠AOC， 所以∠COE= ∠BOC，∠COD= ∠AOC. 因为∠AOC+∠BOC=180°, 所以∠COD+∠COE= （∠AOC+∠BOC） =×180°=90°, 即∠DOE=90°,所以OE⊥OD. 能力提升 垂线 定义 性质 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足. 性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; 性质2：垂线段最短. 课堂小结 1.点到直线的距离是指这点到这条直线的( ) A.垂线段 B.垂线的长 C.长度 D.垂线段的长度 D 课后作业 2.在下列语句中，正确的是( ) A.在同一平面内，一条直线只有一条垂线 B.在同一平面内，过直线上一点的直线只有一条 C.在同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条 D.在同一平面内，垂线段就是点到直线的距离 C 课后作业 3.如图，在三角形ABC中，AB⊥BC,其中AC=2.5,AB=1,P是线段BC上任意一点，那么线段AP的长度可能为( ) A.0.5 B.0.7 C.1.5 D.4 C 课后作业 主讲： 人教版（2024）七年级数学下册 感谢聆听 Lavf57.83.100 $$