7.3定义、命题、定理（五大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（人教版2024）

7.3定义、命题、定理 题型一 命题的判断 1．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）下列语句，不是命题的是（    ） A．两点之间线段最短 B．在同一个平面内两直线不平行就相交 C．连接A，B两点 D．对顶角相等 2．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）下面的语句中，哪个不是命题（    ） A．任何一个三角形一定有一个角是直角 B．对顶角相等 C．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 D．过直线m外一点A作m的平行线 3．（23-24七年级下·山东威海·期中）下列语句中，不是命题的是（  ） A．钝角大于直角 B．三个角对应相等的两个三角形全等 C．过点A作直线l的垂线，垂足为B D．若一个三角形的三边a，b，c满足，那么该三角形是直角三角形 4．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）下列句子中，是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 题型二 判断命题真假 1．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）下列命题中，是真命题的是（   ） A．若一个数的倒数等于它本身，则这个数是 B．互补的两个角一定有一个锐角，一个钝角 C．偶数都能被整除 D．画出一个角的平分线 2．（23-24七年级下·山西大同·阶段练习）下列命题是真命题的是（　　） A．在同一平面内，两条直线的位置关系有：平行，垂直和相交． B．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． C．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离． D．过一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 3．（22-23七年级下·青海西宁·阶段练习）下列命题中，真命题的个数有（    ） ①有一条公共边且相加等于的两个角是邻补角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③内错角相等；④对顶角相等：⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（23-24七年级下·贵州黔东南·阶段练习）有以下4个命题：①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；②同旁内角互补；③在同一平面内，如果直线，那么；④如果，那么．其中假命题有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三 定理 1．“同角或等角的补角相等”是(  ) A．定义 B．基本事实 C．定理 D．假命题 2．下列命题中，不是定理的是（　　） A．直角三角形两锐角互余 B．两直线平行，同旁内角互补 C．n边形的内角和为（n﹣2）×180° D．相等的角是对顶角 3．有下列描述：①过点 A 作直线 AF // BC ；②连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；③两直线平行，同旁内角互补；④垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理 的有（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 4．下列说法正确的是（    ） A．命题是定理，定理是命题 B．命题不一定是定理，定理不一定是命题 C．真命题有可能是定理，假命题不可能是定理 D．定理可能是真命题，也可能是假命题 题型四 命题的题设与结论 1．（23-24七年级下·广东惠州·期中）用“如果…那么…”形式将命题“同角的补角相等”可以改写成 ． 2．（23-24七年级下·四川绵阳·期中）命题“同旁内角互补”的题设是 ，结论是 ，这是一个 命题（填“真”或“假”）． 3．（23-24七年级下·湖北黄石·阶段练习）命题“两个锐角互余的三角形是直角三角形”中，题设： ，结论 ． 4．（23-24七年级下·甘肃定西·阶段练习）命题“邻补角互补”的题设是 ，结论是 ，它是一个 （填“真”或“假”）命题． 题型五 命题的逆命题 1．（23-24七年级下·山东烟台·期末）命题“等边三角形的各个内角都等于”，其逆命题是 ． 2．（23-24七年级下·山东济南·阶段练习）命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题是 （“如果……那么……”的形式表示）． 3．（23-24七年级下·江苏南京·期中）“偶数能被整除”的逆命题是 ． 4．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）命题“在数轴上，表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等”的逆命题是 ． 1．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行． 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直． 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题… 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明． 下面请你一起完成数学老师所说的任务． 2．（23-24七年级下·江苏南京·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 3．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 4．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.3定义、命题、定理 题型一 命题的判断 1．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）下列语句，不是命题的是（    ） A．两点之间线段最短 B．在同一个平面内两直线不平行就相交 C．连接A，B两点 D．对顶角相等 【答案】C 【分析】本题考查了命题：判断一件事情的语句叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．命题都是由题设和结论两部分组成的．根据命题的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．两点之间线段最短，是命题； B．在同一个平面内两直线不平行就相交，是命题； C．连接A，B两点，为描述性语言，不是命题； D．对顶角相等，是命题． 故选：C． 2．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）下面的语句中，哪个不是命题（    ） A．任何一个三角形一定有一个角是直角 B．对顶角相等 C．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 D．过直线m外一点A作m的平行线 【答案】D 【分析】本题考查了命题的定义，根据判断一件事情的语句，叫做命题，命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由题设事项推出的事项，逐一判断即可． 【详解】解：A、如果一个图形是三角形，那么一定有一个角是直角，是一个假命题，故不符合题意； B、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，是一个真命题，故不符合题意； C、如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，是一个真命题，故不符合题意； D、过直线m外一点A作m的平行线，这不是命题，故符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级下·山东威海·期中）下列语句中，不是命题的是（  ） A．钝角大于直角 B．三个角对应相等的两个三角形全等 C．过点A作直线l的垂线，垂足为B D．若一个三角形的三边a，b，c满足，那么该三角形是直角三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了命题的定义，根据命题的定义进行判断即可． 【详解】解：A．钝角大于直角是命题，故A不符合题意； B．三个角对应相等的两个三角形全等，是命题，故B不符合题意； C．过点A作直线l的垂线，垂足为B，不是命题，故C符合题意； D．若一个三角形的三边a，b，c满足，那么该三角形是直角三角形，是命题，故C不符合题意． 故选：C． 4．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）下列句子中，是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 【答案】A 【分析】本题考查了命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．分析是否是命题，需要分别分析各选项是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句即可． 【详解】解：A、对顶角相等，符合命题的概念，故本选项符合题意； B、a，b两条直线平行吗，是问句，未做判断，故本选项不符合题意； C、画一个角等于已知角，不符合命题的概念，故本选项不符合题意， D、过一点画已知直线的垂线，不符合命题的概念，故本选项不符合题意； 故选A． 题型二 判断命题真假 1．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）下列命题中，是真命题的是（   ） A．若一个数的倒数等于它本身，则这个数是 B．互补的两个角一定有一个锐角，一个钝角 C．偶数都能被整除 D．画出一个角的平分线 【答案】C 【分析】本题考查了命题的真假，根据倒数的定义、互补的定义、偶数的定义及命题的定义逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、若一个数的倒数等于它本身，则这个数是或，原命题是假命题，不合题意； 、互补的两个角可能有一个锐角，一个钝角，也能两个角都是直角，原命题是假命题，不合题意； 、偶数都能被整除，原命题是真命题，符合题意； 、画出一个角的平分线，不是命题，该选项不合题意； 故选：． 2．（23-24七年级下·山西大同·阶段练习）下列命题是真命题的是（　　） A．在同一平面内，两条直线的位置关系有：平行，垂直和相交． B．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． C．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离． D．过一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【答案】B 【分析】本题主要考查了两条直线的位置关系、垂线段的性质、点到直线的距离以及平行线公理等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 【详解】解：A．在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种，故该命题为假命题； B．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故该命题为真命题； C．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故该命题为假命题； D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该命题为假命题； 故选：B． 3．（22-23七年级下·青海西宁·阶段练习）下列命题中，真命题的个数有（    ） ①有一条公共边且相加等于的两个角是邻补角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③内错角相等；④对顶角相等：⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】分别利用邻补角的定义、对顶角的性质及平行线的性质及判定分别判断后即可确定正确的选项． 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解邻补角的定义，对顶角的件质及平行线的性质及判定等知识，难度不大． 【详解】解：①有一条公共边的角且互补的两个角叫邻补角，故原命题正确，是真命题，符合题意；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；③两条平行直线被第三条线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；④对顶角相等，正确，是真命题，符合题意； ⑤平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题错误，是假命题，不符合题意；真命题有2个； 故选：C． 4．（23-24七年级下·贵州黔东南·阶段练习）有以下4个命题：①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；②同旁内角互补；③在同一平面内，如果直线，那么；④如果，那么．其中假命题有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了命题，平行线的性质，直线的位置关系，垂线的性质，绝对值的意义，熟练掌握知识点是解题的关键．根据平行线的性质，直线的位置关系，垂线的性质，绝对值的意义逐个判断即可． 【详解】①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确，是真命题； ②两直线平行，同旁内角互补，原说法错误，是假命题； ③在同一平面内，如果直线，那么，正确，是真命题； ④如果，那么，正确，是真命题； 综上，假命题有1个， 故选：A． 题型三 定理 1．“同角或等角的补角相等”是(  ) A．定义 B．基本事实 C．定理 D．假命题 【答案】C 【分析】根据定义、公理、定理的定义即可得出. 【详解】解：“同角或等角的补角相等”定理，它是由等量代换推理得到的，是真命题． 故选C． 【点睛】本题考查了定义、公理、定理的区别与联系：定义：对于一个名词或术语的意义的规定就是这个名词或术语的定义． 定理：经过严格的推理论证，正确的命题即为定理； 公理：人们在长期的实践中总结出来的，不需要经过严格的推理论证，即为公理． 2．下列命题中，不是定理的是（　　） A．直角三角形两锐角互余 B．两直线平行，同旁内角互补 C．n边形的内角和为（n﹣2）×180° D．相等的角是对顶角 【答案】D 【分析】根据定理是正确的命题判断． 【详解】直角三角形两锐角互余，A是定理； 两直线平行，同旁内角互补，B是定理； n边形的内角和为（n﹣2）×180°，C是定理； 相等的角不一定是对顶角，D不是定理． 故选D． 【点睛】本题考查了命题和定理，命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3．有下列描述：①过点 A 作直线 AF // BC ；②连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；③两直线平行，同旁内角互补；④垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理 的有（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【答案】B 【分析】通过真命题（公理或其他已被证明的定理）出发,经过受逻辑限制的演绎推导,证明为正确的结论的命题或公式叫做定理. 【详解】①是题目条件或者要求,不是定理; ②是三角形中位线定义,不是定理; ③是定理; ④是假命题,应该是垂直于同一直线的两条直线互相平行. 故选B. 【点睛】该题考查了定理定义,首先先判断该句是否是真命题,如果是真命题的话,再判断是否经过逻辑推理可以进行证明,如果是,就说明该句是定理. 4．下列说法正确的是（    ） A．命题是定理，定理是命题 B．命题不一定是定理，定理不一定是命题 C．真命题有可能是定理，假命题不可能是定理 D．定理可能是真命题，也可能是假命题 【答案】C 【分析】根据命题和定理的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、命题不一定是定理，所以本选项错误； B、命题不一定是定理，但定理一定是命题，所以本选项错误； C、真命题有可能是定理，假命题不可能是定理，所以本选项正确； D、定理不可能是假命题，所以本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理，定理是命题，并且是真命题，但真命题不一定是定理，熟知命题和定理的定义及其关系是解题的关键． 题型四 命题的题设与结论 1．（23-24七年级下·广东惠州·期中）用“如果…那么…”形式将命题“同角的补角相等”可以改写成 ． 【答案】如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题；先找到命题的题设和结论，再写成“如果…那么…”的形式即可． 【详解】解：用“如果…那么…”形式将命题“同角的补角相等”可以改写成“如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等”； 故答案为：如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等． 2．（23-24七年级下·四川绵阳·期中）命题“同旁内角互补”的题设是 ，结论是 ，这是一个 命题（填“真”或“假”）． 【答案】 两个角是同旁内角 这两个角互补 假 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式，有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 【详解】解：命题中，已知的事项是“两个角是同旁内角”， 由已知事项推出的事项是“这两个角互补”，所以“两个角是同旁内角”是命题的题设部分，“这两个角互补”是命题的结论部分，这是一个假命题， 故答案为：两个角是同旁内角，这两个角互补，假． 3．（23-24七年级下·湖北黄石·阶段练习）命题“两个锐角互余的三角形是直角三角形”中，题设： ，结论 ． 【答案】 一个三角形的两个锐角互余 这个三角形是直角三角形 【分析】本题考查的是命题与定理，根据命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项解答即可． 【详解】解：命题“两个锐角互余的三角形是直角三角形”中，题设：一个三角形的两个锐角互余，结论：这个三角形是直角三角形， 故答案为：一个三角形的两个锐角互余，这个三角形是直角三角形． 4．（23-24七年级下·甘肃定西·阶段练习）命题“邻补角互补”的题设是 ，结论是 ，它是一个 （填“真”或“假”）命题． 【答案】 两个角互为邻补角 这两个角互补 真 【分析】本题考查命题与定理、判断命题的真假，把命题改写成“如果…，那么…”的形式，然后根据如果的后面是题设，那么的后面是结论写出即可．把命题改写成“如果…，那么…”的形式是解题的关键． 【详解】解：命题“邻补角互补”可以改写为：如果两个角互为邻补角，那么这两个角互补； 则题设是：两个角互为邻补角，结论是：这两个角互补.这是一个真命题， 故答案为：两个角互为邻补角；这两个角互补；真. 题型五 命题的逆命题 1．（23-24七年级下·山东烟台·期末）命题“等边三角形的各个内角都等于”，其逆命题是 ． 【答案】三个内角都是的三角形是等边三角形 【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的结论和条件互换作为新命题的条件和结论并写出对应的命题即可． 【详解】解：命题“等边三角形的各个内角都等于”，其逆命题是：三个内角都是的三角形是等边三角形 故答案为：三个内角都是的三角形是等边三角形． 2．（23-24七年级下·山东济南·阶段练习）命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题是 （“如果……那么……”的形式表示）． 【答案】如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三个角都相等 【分析】本题考查了把命题改成“如果…，那么…”形式及逆命题的定义，关键是要找到什么是条件什么是结论．本命题是判断一个三角形是等边三角形，所以“如果”后面的是三角形具备的条件，那么后面的是“等边三角形”这一结论 【详解】解：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形， 则逆命题是：如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三个角都相等． 故答案为：如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三个角都相等 3．（23-24七年级下·江苏南京·期中）“偶数能被整除”的逆命题是 ． 【答案】如果一个数能被整除，那么这个数是偶数． 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为모一个命题的逆命题，根据给出的命题将其结论与条件互换即得到其逆命题即可． 【详解】解：“偶数能被整除”的逆命题是：如果一个数能被整除，那么这个数是偶数， 故答案为：如果一个数能被整除，那么这个数是偶数． 4．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）命题“在数轴上，表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等”的逆命题是 ． 【答案】在数轴上，到原点的距离相等的点表示的数互为相反数 【分析】本题考查了写出命题的逆命题，根据题意写出命题的逆命题即可． 【详解】解：命题“在数轴上，表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等”的逆命题是：在数轴上，到原点的距离相等的点表示的数互为相反数， 故答案为：在数轴上，到原点的距离相等的点表示的数互为相反数． 1．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行． 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直． 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题… 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明． 下面请你一起完成数学老师所说的任务． 【答案】见解析 【分析】本题考查了命题、平行线的判定与性质，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．证明小明说的命题：如图1（见解析），先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据平行线的判定即可得证；小丽说的命题，通过画图举出反例即可得． 【详解】解：命题“在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行”为真命题． 已知：如图1，，， 求证：， 证明：作直线分别于直线、、相交， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直”为假命题， 如图2，，，而． 2．（23-24七年级下·江苏南京·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查命题与证明，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理，属于中考常考题型． 写出已知，求证，根据同位角相等两直线平行即可证明． 【详解】解：已知：，， 求证：， 证明：， ． ， ， ， ． 3．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 4．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案； 【详解】解：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （对顶角相等）， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$